Формирование заданных распределений интенсивности лазерного излучения гибридными методиками на основе алгоритмов локального и глобального поиска тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Ильина, Инна Вячеславовна

• Ильина, Инна Вячеславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ильина, Инна Вячеславовна

Введение.

Глава 1. Методики и технологии решения задачи формирования лазерного излучения с заданным профилем интенсивности

Литературный обзор).

§1.1. Оптические элементы и системы для формирования лазерного излучения.

§ 1.2. Методики расчета фазовых оптических элементов.

§ 1.2.1. Аналитические методы.

§ 1.2.2. Численные методы расчета элементов формирующей оптики.

§1.2.2.1. Итерационные алгоритмы на основе алгоритма Гершберга

Сакстона.

§1.2.2.2. Методы безусловной оптимизации.

§ 1.2.2.3. Алгоритмы глобального поиска.

§ 1.2.2.4. Гибридные алгоритмы.

Глава 2. Исследование эффективности применения алгоритма Гершберга-Сакстона для формирования заданных распределений интенсивности одномодового и многомодового по поперечным индексам лазерного излучения.

§2.1. Алгоритм Гершберга-Сакстона для формирования заданных распределений интенсивности одномодового по поперечным индексам лазерного излучения.

§2.1.1. Принципиальная схема алгоритма Гершберга-Сакстона.

§2.1.2. Принцип расчета оптической схемы.

§2.1.3. Зависимость эффективности алгоритма Гершберга-Сакстона от выбора начальных условий.

§2.2. Алгоритм Гершберга-Сакстона для формирования заданных распределений интенсивности многомодового по поперечным индексам лазерного излучения.

§2.2.1. Методика расчета фазовой функции корректора в алгоритме

Гершберга-Сакстона для формирования многомодового излучения.

§2.2.2. Анализ эффективности модифицированного алгоритма Гершберга-Сакстона и основные результаты формирования многомодового излучения.

Глава 3. Гибридные методики для формирования лазерного излучения с заданным распределением интенсивности.

§3.1. Гибридные алгоритмы на основе алгоритма покоординатного спуска и алгоритма Гершберга-Сакстона.

§3.1.1. Алгоритм покоординатного спуска с постоянным и переменным шагом для формирования лазерного излучения с заданным распределением интенсивности.

§3.1.2. «Последовательный» гибридный алгоритм (ПГА).

§3.1.3. Встроенный гибридный алгоритм (ВГА).

§3.2. Гибридные алгоритмы на основе генетического алгоритма.

§3.2.1. Принципиальная схема генетического алгоритма и его ^ применение для формирования лазерного излучения.

§3.2.2. Гибридные алгоритмы: объединение генетического алгоритма с алгоритмом покоординатного спуска и алгоритмом Гершберга

Сакстона.

Глава 4. Жидкокристаллический фазовый транспарант - элемент, осуществляющий формирование.

§4.1. Принцип работы жидкокристаллического модулятора.

§4.2. Построение математической модели жидкокристаллического модулятора ЬС-2002.

§4.2.1. Матричный метод Джонса.

§4.2.2. Определение угла скручивания, ориентации оси молекулярного директора и максимального двулучепреломления ЖКМ ЬС-2002.

§4.3. Комплексная функция пропускания ЖКМ ЬС-2002: теоретические и экспериментальные результаты.

§4.3.1. Теоретически рассчитанные комплексные функции пропускания

ЖКМ LC-2002.

§4.3.2. Экспериментально измеренные комплексные функции пропускания ЖКМ LC-2002.

§4.3.2.1. Измерение амплитудной функции пропускания ЖКМ LC

§4.3.2.2. Измерение фазовой функции пропускания ЖКМ LC-2002.

Глава 5. Экспериментальная реализация и анализ эффективности алгоритмов формирования заданных распределений интенсивности.

§5.1. Экспериментальная установка для формирования лазерного излучения с заданным распределением интенсивности.

§5.2. Анализ влияния комплексной функции пропускания ЖКМ на точность формирования заданных распределений интенсивности.

§5.3. Экспериментальное формирование заданных распределений интенсивности алгоритмом Гершберга-Сакстона, покоординатного спуска и генетическим алгоритмом.

§5.3.1. Алгоритм Гершберга-Сакстона.

§5.3.2. Алгоритм покоординатного спуска.

§5.3.3. Генетический алгоритм.

§5.4. Применение гибридных алгоритмов для формирования заданных распределений интенсивности.

§5.4.1. «Последовательный» гибридный алгоритм.

§5.4.2. «Встроенный» гибридный алгоритм.

§5.4.3. Гибридный алгоритм на основе генетического алгоритма и алгоритма Гершберга-Сакстона.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование заданных распределений интенсивности лазерного излучения гибридными методиками на основе алгоритмов локального и глобального поиска»

Актуальность темы:

Широкое применение лазерных источников излучения в современных промышленных технологиях [1-4] (лазерная обработка материалов, лазерная литография и печать), медицине [4,5], химии [6,7], навигационных, информационных и локационных системах [8-10], выдвинуло на передний план задачу оптимизации параметров лазерного излучения. Требования, предъявляемые к лазерному излучению, значительно варьируются и зависят от конкретной задачи. Так, например, для осуществления высококачественной резки металлов необходимо получение возможно более «острой» фокусировки светового пучка на поверхности обрабатываемой детали [11]. Излучение с равномерным по сечению профилем интенсивности используется для повышения эффективности различных нелинейных оптических процессов [12], в задачах лазерного термоядерного синтеза [13] и при изготовлении полупроводников [14]. При лазерной термообработке (закалке) материалов оптимальным также является использование пучков квадратной или прямоугольной формы с «плоской вершиной» [15], хотя в некоторых случаях может потребоваться излучение с неравномерным профилем интенсивности, например, линейно нарастающим по сечению пучка [16,17]. В системах оптической связи, при транспортировке мощного светового излучения на протяженных атмосферных трассах, и различных метрологических устройствах предпочтительным является использование вихревых пучков [18-21]. Кроме того, применение вихревых пучков [22-26] (бесселевых пучков высших порядков [24], лагерр-гауссовых пучков [25-26]), ввиду наличия у них ненулевого орбитального углового момента, позволяет существенно расширить возможности лазерных пинцетов, активно используемых в современной биомеханике, микробиологии, микро и нанотехнологии для захвата и перемещения частиц микронных и субмикронных размеров [27-28].

Как известно, для осуществления многих технологических процессов необходимо лазерное излучение высокой плотности мощности (106-Ю10Вт/см2), поэтому наряду с лазерами, работающими в режиме генерации фундаментальной ТЕМ00-моды, широко используются мощные лазерные комплексы, работающие в режиме многомодовой генерации. Так, например, для лазерной резки, сверления, гравирования и сварки успешно применяются газовые С02-лазеры, работающие в режиме генерации нескольких поперечных лазерных мод, и многомодовые твердотельные Кс1:УАС-лазеры [29-32]. В соответствии с этим, актуальной задачей является формирование заданных распределений интенсивности как одномодового, так и многомодового по поперечныхм индексам лазерного излучения.

Для формирования заданных распределений интенсивности лазерного излучения широко используются внерезонаторные фазовые корректоры, то есть оптические элементы, воздействующие непосредственно на пространственную структуру волнового фронта лазерного излучения. В многочисленных работах авторов приводятся примеры успешного применения рефрактивных оптических систем [33-34], элементов отражающей оптики (зеркал с переменным по сечению коэффициентом отражения [35], деформируемых зеркал [36]), дифракционных оптических элементов (голографических [37-38], киноформных [39], бинарных [40]) для формирования заданных распределений интенсивности.

Одной из ключевых проблем, возникающих при использовании фазовых корректоров (независимо от типа выбранного элемента), является расчет его фазовой функции, то есть волнового фронта, который необходимо задать исходной световой волне для формирования требуемого распределения интенсивности в определенной плоскости. Для расчета фазовых функций корректоров предложены как аналитические (метод геометрических трансформаций [41], метод стационарной фазы [10, 42]), так и численные методы (алгоритм Гершберга-Сакстона [43], алгоритм симулированного отжига

44]), причем последние применяются наиболее активно, так как подходят для решения значительно более широкого класса задач формирования. Однако на настоящий момент не существует универсального алгоритма, позволяющего формировать различные заданные распределения интенсивностей лазерного излучения с высоким качеством. В соответствии с этим, разработка надежных и универсальных методик расчета фазовой функции корректоров, позволяющих эффективно решать задачи формирования различной сложности, является актуальной задачей.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных методик для внерезонаторного формирования заданных распределений интенсивности лазерного излучения в дальней зоне. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

1. Анализ эффективности формирования в дальней зоне заданных распределений интенсивности лазерных пучков итерационными алгоритмами разных типов: алгоритмом Гершберга-Сакстона, алгоритмами локального и глобального поиска.

2. Разработка, численная и экспериментальная реализация гибридных методик для эффективного формирования заданных распределений интенсивности, проведение сравнительного анализа их относительной эффективности.

Научная новизна результатов:

1. Впервые проведено количественное исследование зависимости ошибки формирования в дальней зоне заданных распределений интенсивности лазерного излучения алгоритмом Гершберга-Сакстона от выбора начальной фазовой функции. Продемонстрирована возможность уменьшения величины ошибки формирования в несколько раз путем подбора соответствующего числа мод Цернике и их амплитуд, используемых в разложении начальной фазовой функции.

-82. Впервые проведен количественный анализ зависимости ошибки формирования алгоритмом Гершберга-Сакстона многомодовых по поперечным индексам световых пучков с заданным пространственным распределением интенсивности от выбора начальных параметров оптической схемы и лазерного излучения. К данным параметрам отнесены характерные размеры пучка во входной и выходной плоскостях оптической системы, длина волны лазерного излучения и фокальная длина линзы, используемой в формирующей системе. На примере одномодовых пучков впервые продемонстрировано, что при неоптимальном выборе указанных параметров точность формирования заданных распределений интенсивности может быть повышена путем подбора начальной фазовой функции для алгоритма Гершберга-Сакстона.

3. Впервые предложены и экспериментально реализованы гибридные алгоритмы расчета фазовой функции корректора, основанные на объединении алгоритма покоординатного спуска или генетического алгоритма с алгоритмом Гершберга-Сакстона. Впервые численно и экспериментально исследована относительная эффективность данных гибридных алгоритмов по сравнению с одиночным применением указанных итерационных алгоритмов.

4. Впервые предложена модификация алгоритма Гершберга-Сакстона, позволяющая рассчитать фазовую функцию управляющего элемента для формирования заданных распределений интенсивности в дальней зоне из многомодового по поперечным индексам лазерного излучения.

Научная и практическая значимость работы:

1. Применение процедуры, развитой в настоящей работе для анализа точности формирования заданных распределений интенсивности алгоритмом Гершберга-Сакстона, позволяет априорно оценить точность формирования при заданных параметрах расчетной схемы и лазерного излучения и снизить, при необходимости, ошибку формирования путем подбора начальной фазовой функции.

2. Предлагаемые в работе гибридные алгоритмы, основанные на совместном выполнении алгоритма покоординатного спуска или генетического алгоритма с алгоритмом Гершберга-Сакстона, являются надежными универсальными методиками, позволяющими осуществлять эффективное формирование заданных распределений интенсивности в тех случаях, когда качество формирования при одиночном применении рассматриваемых итерационных алгоритмов оказывается неудовлетворительным.

3. Модификация алгоритма Гершберга-Сакстона, предложенная в работе, позволяет расширить область применения данного алгоритма и использовать его для решения задачи формирования заданных распределений интенсивности многомодового по поперечным индексам лазерного излучения.

Защищаемые положения:

1. Эффективное формирование заданных распределений интенсивности лазерного излучения в дальнем поле достигается при использовании гибридных методик управления внерезонаторными фазовыми корректорами, основанных на объединении алгоритма Гершберга-Сакстона с генетическим алгоритмом или алгоритмом покоординатного спуска. При этом ошибка формирования не зависит от выбора начального фазового приближения и слабо зависит от количества итераций генетического алгоритма и алгоритма покоординатного спуска.

2. Алгоритм Гершберга-Сакстона проявляет свойство алгоритма локального поиска в задачах формирования заданных распределений интенсивности. При этом точность формирования заданных распределений интенсивности с использованием алгоритма Гершберга-Сакстона зависит от характерного размера пучка во входной плоскости, размера заданного пучка в плоскости формирования, длины волны излучения, фокальной длины формирующей дальнее поле линзы, а также от выбора начального фазового приближения. 3. Для многомодового лазерного пучка модификация алгоритма Гершберга-Сакстона, учитывающая при выборе фазовой функции формирующего элемента распределение фазы каждой из присутствующих поперечных мод с весовым коэффициентом, представляющим собой относительную интенсивность моды, позволяет формировать заданные распределения интенсивности в дальней зоне.

Апробация работы:

Основные результаты работы докладывались на международных конференциях: «3-я Международная молодежная школа «Современные проблемы лазерной физики»» (Россия, 2009), «7lh International Workshop on Adaptive Optics for Industry and Medicine» (Белое Озеро, Шатура, 2009), SPIE Optics&Photonics (Сан-Диего США, 2008), «Photonics-West» (Сан-Хосе, США, 2007), «Conference on Lasers and Electro-Optics (CLEO/EUROPE)» (Мюнхен, Германия, 2007), «6th International Workshop on Adaptive Optics for Industry and Medicine» (Galway, Ireland, 2007), «8th International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling (LFNM)» (Харьков, Украина, 2006), «3rd International Conference on Laser Optics for Young Scientists (LOYS)» (Санкт-Петербург, 2006). Результаты работы докладывались на научных семинарах US AJFRL (Альбукерке, США, 2008), на семинаре кафедры общей физики и волновых процессов в МГУ (2009).

Публикации:

По материалам диссертации опубликовано 12 работ, в том числе 4 статьи в рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией Минобрнауки РФ для публикации научных результатов диссертации.

Личный вклад автора

Все представленные в диссертационной работе оригинальные результаты были получены автором лично, либо при его непосредственном участии.

Структура и объем диссертации:

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и одного приложения. Общий объем работы - 173 страницы, включая 70 рисунков и 6 таблиц. Список цитируемой литературы включает 222 наименования, в том числе 12 авторских публикаций.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Ильина, Инна Вячеславовна

Выводы:

• При экспериментальной реализации формирования заданных распределений интенсивности алгоритмом Гершберга-Сакстона, алгоритмом покоординатного спуска, генетическим алгоритмом и основанными на указанных алгоритмах гибридными методиками продемонстрирована эффективность применения последних по сравнению с одиночным применением итерационных алгоритмов. Так, например, точность экспериментального формирования кольцевого распределения интенсивности гибридными алгоритмами оказалась в среднем в 1.6 раз выше точности формирования при одиночном применении алгоритма Гершберга-Сакстона и в 2.6 раза выше по сравнению с одиночным применением алгоритма покоординатного спуска и генетического алгоритма.

- 156-ЗАКЛЮЧЕНИЕ:

В настоящей диссертационной работе для формирования лазерного излучения с заданным пространственным распределением интенсивности предложены и реализованы универсальные гибридные методики, основанные на объединении алгоритмов локального и глобального поиска (алгоритма покоординатного спуска и генетического алгоритма) с алгоритмом Гершберга-Сакстона.

Предварительно в работе была исследована относительная эффективность одиночного применения указанных итерационных алгоритмов, и проанализированы основные факторы, на неё влияющие. Было показано, что точность формирования заданных распределений интенсивности и устойчивость решений, находимых алгоритмом Гершберга-Сакстона, зависят от нескольких факторов, а именно: от выбора начальных параметров расчетной схемы и лазерного излучения (характерных размеров начального и формируемого пучков, длины волны излучения и фокальной длины используемой линзы), а также от выбора начального фазового приближения. Продемонстрирована возможность сокращения ошибки формирования в 2-4.2 раза путем детального подбора указанных выше начальных параметров. Предложена оригинальная модификация алгоритма Гершберга-Сакстона, позволяющая рассчитывать фазовые функции корректора для формирования заданных распределений многомодового по поперечным индексам лазерного излучения. Подобная модификация позволяет значительно расширить сферу применения данного алгоритма.

Эффективность формирования заданных распределений интенсивности алгоритмом покоординатного спуска (с постоянным и переменным шагом) и генетическим алгоритмом (алгоритм элитарного отбора, при ограничении числа итераций не более 3000 для пяти управляющих параметров) зависит от количества и, в случае АПС, амплитуды управляемых параметров (полиномов

Цернике, в виде линейной комбинации которых представлялась искомая фазовая функция корректора). Было показано, что при использовании 20-ти первых полиномов Цернике в разложении фазовой функции, качество формирования, как правило, оказывается низким. Сокращение количества управляющих параметров, например, с 20-ти до пяти специальным образом отобранных в каждой конкретной задаче формирования полиномов Цернике, позволяет в некоторых случаях повысить точность формирования. Так, например, при представлении начальной фазовой функции в виде линейной комбинации полиномов Цернике Zз, Ъ^) ошибка формирования эллиптического распределения интенсивности с помощью АПС была уменьшена в 6.8 раз (с 13% до 1.9%), а с помощью ГА в 7 раз (с 8.3% до 1.2%). Тем не менее, выполнение данной процедуры не всегда приводит к столь значительному сокращению ошибки формирования и достижению высокой точности формирования. Так, при формировании кольцевого и квадратного распределений интенсивности данные алгоритмы оказались малоэффективны при выборе в качестве начальной фазовой функции комбинации, как 20-ти, так и пяти полиномов Цернике.

Для эффективного решения задач формирования различной сложности в работе было предложено несколько гибридных алгоритмов: последовательный (ПГА) и встроенный (ВГА) гибридные алгоритмы, основанные на совместном применении алгоритма покоординатного спуска и алгоритма Гершберга-Сакстона. В ПГА алгоритм Гершберга-Сакстона выполнялся после реализации алгоритма покоординатного спуска, а в ВГА заданное количество итераций алгоритма Гершберга-Сакстона выполнялось на каждой итерации алгоритма покоординатного спуска. Кроме того, был предложен последовательный гибридный алгоритм, в котором после реализации генетического алгоритма выполнялся алгоритм Гершберга-Сакстона. Данные гибридные алгоритмы не зависят от выбора начальной фазовой функции, кроме того, итоговая ошибка формирования при использовании

- непоследовательных гибридных алгоритмов практически не зависит от количества итераций выполняемого на первом этапе алгоритма (АПС или ГА). Было показано, что в тех случаях, когда одиночное применение итерационных алгоритмов Гершберга-Сакстона, покоординатного спуска и генетического алгоритма неэффективно, гибридные алгоритмы являются надежными и эффективными методиками, использование которых позволяет повысить точность формирования в среднем в 2-5 раз.

Эффективность предлагаемых гибридных алгоритмов была исследована не только численно, но и экспериментально. Для экспериментальной реализации в качестве формирующего оптического элемента был выбран жидкокристаллический модулятор ЬС-2002 (Но1оеуе), поскольку такой элемент может воспроизводить широкий спектр пространственных частот. Для наиболее эффективного использования и максимально полного учета особенностей данного фазового элемента были экспериментально измерены его основные характеристики, а именно угол скручивания в жидкокристаллической ячейке, угол ориентации директора и максимальное двулучепреломление, на основе которых была построена математическая модель ЖКМ. В модели были рассчитаны комплексные функции пропускания ЖКМ и определены условия, а именно ориентация осей поляризатора и анализатора у/7 и у/2, при которых достигается максимально возможная для данного ЖКМ при заданной длине волны (650 нм) глубина фазовой модуляции (5лш=1.4т1; рад). Экспериментально измеренная при данных условиях (^//=160°; ^9=105°) комплексная функция пропускания ЖКМ хорошо согласовалась с результатами математической модели ЖКМ (при этом ¿>лш. = 1.39л-±0.097град), и была учтена при проведении численного моделирования задачи формирования с использованием реального фазового корректора - ЖКМ.

При экспериментальном формировании заданных распределений интенсивности алгоритмом Гершберга-Сакстона, алгоритмом покоординатного спуска, генетическим алгоритмом и основанными на указанных алгоритмах гибридными методиками, было достигнуто хорошее соответствие экспериментальных результатов результатам численного моделирования и продемонстрирована эффективность применения гибридных методик по сравнению с одиночным применением итерационных алгоритмов. Так, например, точность экспериментального формирования кольцевого распределения интенсивности гибридными алгоритмами оказалась в среднем в 1.6 раз выше точности формирования при одиночном применении алгоритма Гершберга-Сакстона, и в 2.6 раза выше по сравнению с одиночным применением алгоритма покоординатного спуска и генетического алгоритма.

Помимо гибридных алгоритмов для эффективного формирования одномодового по поперечным индексам лазерного излучения, на основе алгоритма Гершберга-Сакстона была предложена оригинальная методика формирования многомодового по поперечным индексам лазерного излучения с заданными распределениями интенсивности. На каждой итерации данного алгоритма при расчете фазовой функции формирующего элемента учитывается распределение фазы каждой из присутствующих в излучении поперечных мод с весовым коэффициентом, представляющим собой относительную интенсивность данной моды. Продемонстрирована возможность формирования пучка с супергауссовым профилем интенсивности 3-го порядка из 2-х модового (ТЕМоо и ТЕМ01) и 4-х модового (ТЕМ00 ,ТЕМП1> ТЕМ10, ТЕМ02) исходного излучения с высокой точностью (ошибка формирования составила соответственно 4.98 и 1.47%).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ильина, Инна Вячеславовна, 2010 год

1. Williams S.W., Marsden P.J., Roberts N.C., Sidhu J., Venables M.A. Excimer laser beam shaping and material processing using diffractive optics // Proc. SPIE, 1998.-V. 3343. -P.205-211.

2. Hoffmann P., Geider M. Recent developments in Laser System Technology for welding applications//CIRP Annals, 1995. V. 1. - P. 151-156.

3. Steen W.M. Laser material processing. London: Springer-Verlag, 2003.

4. Webb C.E., Webb J. Handbook of Laser Technology and Applications. IoP: Bristol & Philadelphia, 2004. - T. 3. - C. 1557-1720, 1951-2180.

5. Azar D.T., Koch D.D. LASIK Fundamentals, Surgical Techniques, and Complications. -N.Y.: Marcel Dekker Inc., 2002.

6. Bliss E.S., Peterson R.L., Salmon J.T. Laser beam control and diagnostic systems for the copper-pumped dye laser system at Lawrence Livermore National Laboratory//Proc. SPIE, 1993.-V. 1859.-P. 130-144.

7. Forbes A., Botha L. Isotope separation with infrared laser beams // В сб. Laser beam shaping applications. Dickey F., Holswade S., Shealy D. Editors. CRC Press. Boca Raton, FL, 2006. - P. 183-209.

8. Борейшо A.C. Лазеры: устройство и действие. СПб.: Мех.Ин-т, 1993. С. 194-202.

9. Алексеев В.Н. Формирование и наведение лазерных пучков с помощью внутрирезонаторных пространственно временных модуляторов света: дисс. . докт. техн. наук. - г. Сосновый Бор: НИИКИ ОЭП, 2009.

10. Гончарский А.В., Попов В.В., Степанов В.В. Введение в компьютерную оптику. -М.:Изд-во МГУ, 1991.-С. 7-60.

11. Абильсиитов Г.А. Технологические лазеры. М.: Машиностр-е, 1991 -Т. 1.

12. Kasinski J.J., Burnham R.L. Near-diffraction-limited laser beam shaping with diamond-turned aspheric optics // Opt. Lett., 1997. V. 22. No. 14. - P. 10621064.

13. Kato Y., Mima K., Miyanaga N., Arinaga S., Kitagawa Y., Nakatsuka M. Random phasing of lasers for uniform target acceleration and plasma instability suppression//Phys. Rev. Lett., 1984,-V. 53.-P. 1057-1060.

14. Cordingley J. Application of a binary diffractive optic for beam shaping in semiconductor processing by lasers // Appl. Opt., 1993, V. 22. - P. 36443647.

15. Koebner. H. Industrial Applications of Lasers. N.Y.: Wiley-Interscience, 1988.

16. Haupt C., Pahlke M., Krupka R., Tiziani H.J. Computer-generated microcooled reflection holograms in silicon for material processing with a C02 laser // Appl. Opt., 1997. -V. 36.-P. 4411-4418.

17. Galantucci L.M., Tricario L., Perotti G. An Experimental and Numerical Study on the Influence of Not Uniform Beam Energy Distribution in Laser Steel Hardening//CIRP Annals Manuf. Tech., 1999. - V. 48. No.l. -P. 155-158.18