Энтропийные характеристики квантовых каналов и проблема аддитивности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Широков, Максим Евгеньевич

• Широков, Максим Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Широков, Максим Евгеньевич

Обозначения

Введение

0.1 Проблематика и цели работы.

0.2 Содержание диссертации.

0.3 Основные результаты, полученные в диссертации

0.4 Апробация работы.

1 Сильная аддитивность х-пропускной способности конечномерных квантовых каналов

1.1 Основные понятия и определения.

1.2 Свойства оптимальных ансамблей для квантовых каналов с ограничениями.

1.3 Свойство сильной аддитивности х-пропускной способности

1.4 Расширение Шора.

1.5 Оптимальные множества квантового канала.

1.6 О наследственных множествах состояний составной квантовой системы.

1.7 Структура оптимальных множеств тензорного произведения двух квантовых каналов.

2 Вероятностные меры на множестве квантовых состояний

2.1 Свойства вероятностных мер на множестве квантовых состояний.

2.2 Энтропийные функционалы.

2.3 О выпуклых замыканиях и выпуклых расширениях полунепрерывных снизу и непрерывных функций.

2.4 О сильном СЕ-свойстве выпуклых множеств.

2.4.1 Об одном классе выпуклых множеств.

2.4.2 О выпуклом замыкании.

2.4.3 Сильное СЕ-свойство для выпуклых //-компактных множеств.

3 Квантовая энтропия и ^-емкость

3.1 О свойствах квантовой энтропии

3.2 хемкость.

3.2.1 Оптимальное среднее.

3.2.2 Оптимальная мера.

3.2.3 Свойства ^-емкости.

3.3 Примеры.

3.3.1 Конечные множества состояний и сходящиеся последовательности

3.3.2 Множества С(а) и Кн,h.

3.3.3 Множество Va,c.

3.3.4 Множество Л® В.

3.3.5 Орбита компактной группы симметрий.

3.4 Другой подход к определению С (А) и ЩЛ).

4 ^-пропускная способность и связанные с ней характеристики бесконечномерных квантовых каналов

4.1 Х"пРопУскная способность и выходное оптимальное среднее квантового канала с ограничением.

4.2 Оптимальная мера.

4.3 Х"ФункДия квантового канала.

4.4 Выпуклое замыкание выходной энтропии квантового канала

4.5 О непрерывности функций и Яф.

4.6 Аппроксимация квантовых каналов.

4.6.1 Вводные замечания.

4.6.2 Топология сильной сходимости на множестве квантовых каналов

4.6.3 хФУпкЦия и выпуклое замыкание выходной энтропии как функции канала.

4.6.4 Об аппроксимации Яф-оптимальной меры

4.6.5 ^-пропускная способность как функция канала

4.7 Квантовые каналы с конечной х-пропускной способностью

4.7.1 Общие свойства.

4.7.2 О расширении квантового канала на множество всех положительных нормированных функционалов

4.7.3 Об одном классе каналов.

4.8 Об определении меры сцепленности.

5 О проблеме аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов

5.1 Свойства аддитивности для бесконечномерных квантовых каналов.

5.2 Метод конечномерной аппроксимации при исследовании свойств аддитивности и его применение.

5.2.1 Сильная аддитивность ^-пропускной способности

5.2.2 Супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии.

5.3 Эквивалентность конечномерной и бесконечномерных гипотез аддитивности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энтропийные характеристики квантовых каналов и проблема аддитивности»

0.1 Проблематика и цели работы

Начиная с классических работ А.Н. Колмогорова и А.Я.Хинчина вероятностные методы широко использовались в теории информации. В последние десятилетия прошлого века началось интенсивное развитие квантового аналога теории К.Шеннона, в котором важную роль играют методы некоммутативной теории вероятностей. В настоящее время данное направление исследований выделилось в отдельную научную дисциплину - квантовую теорию информации [23],[61].

Начало исследованию проблемы передачи классической информации по квантовому каналу было положено в 1970-х годах, когда была установлена верхняя граница С(Ф) (the Holevo bound) для количества классической информации, которое можно передать по квантовому каналу Ф [20]. С математической точки зрения квантовый канал есть некоммутативный аналог марковского отображения, а величина С(Ф) является одной из целого ряда энтропийных характеристик, описывающих такие отображения. Важнейшей характеристикой квантового канала Ф является классическая пропускная способность С(Ф) этого канала, которая определяет предельную скорость асимптотически безошибочной передачи сообщений при кодировании их состояниями на входе канала и квантовом измерении-декодировании на выходе. Вопрос о точном значении классической пропускной способности С(Ф) квантового канала Ф оставался открытым вплоть до 1990-х годов, когда возросший в связи с появлением знаменитых работ П.Шора (см.[76]) интерес к квантовой теории информации привел к появлению в этой области новых методов и представлений. В 1996 г. А.С.Холево и независимо Б.Шумахером и М.Вестморлендом была доказана теорема об асимптотической достижимости указанной выше границы (см.[22],[70]), которая дает общее выражение для классической пропускной способности квантового канала

С( Ф)= lim 1 >.

00 П

Для многих конкретных каналов Ф доказано равенство С(Ф) = С(Ф). Однако вопрос о справедливости тождества С(Ф) = С(Ф) до сих пор остается открытым.

В силу теоремы Холево-Шумахера-Вестморленда величина С(Ф) имеет смысл пропускной способности квантового канала Ф при кодировании классических сообщений с помощью состояний-произведений. В данной работе эта величина называется х-пРопУСКной способностью квантового канала Ф.

Для доказательства тождества С(Ф) = С(Ф) достаточно показать, что для любых двух квантовых каналов Ф и Ф имеет место следующее свойство аддитивности х-пропускной способности

С{Ф ® Ф) = С(Ф) + С(Ф). (0.1.1)

В настоящее время равенство (0.1.1) доказано для квантовых каналов Ф и Ф определенных типов, в частности, когда Ф - произвольный канал, а Ф - либо тождественный канал [23], либо канал, разрушающий сцеплениость [75], либо унитальный (бистохастический) кубитный канал [53]. Таким образом, для канала Ф одного из указанных типов имеет место равенство С(Ф) = С(Ф).

Гипотеза о справедливости равенства (0.1.1) для всех квантовых каналов является одной из основных открытых аналитических проблем квантовой теории информации.

Причиной возможного нарушения равенства (0.1.1) является наличие т.н. сцепленных состояний составной квантовой системы, которые характеризуются особым видом зависимости отдельных подсистем, не имеющей аналога в классической теории вероятностей. Математически составная квантовая система описывается тензорным произведением гильбертовых пространств, а сцепленные состояния соответствуют единичным векторам из Н ® К, не представимым в виде тензорных произведений единичных векторов из Н и /С. Использование сцепленных состояний в качестве кодов гипотетически может увеличить количество передаваемой квантовым каналом классической информации, подобно тому, как сцепленное измерение при декодировании увеличивает количество классической информации [47]. Такая ситуация не имеет классического аналога и связана с возможностью достижения выпуклым функционалом максимальных значений на чистых сцепленных состояниях (см. подробности в [23]).

Наличие сцепленных состояний проявляется при анализе другой открытой проблемы квантовой теории информации - гипотезы о справедливости для любых двух квантовых каналов Ф и Ф следующего свойства аддитивности минимальной выходной энтропии

Нтф <3 Ф) = Ят;п(Ф) + Нт1п(Ф), (0.1.2) где минимальная выходная энтропия Нтт квантового канала определяется как точная нижняя грань выходной энтропии канала на всем множестве входных состояний этого канала. За счет чистых сцепленных состояний левая часть равенства (0.1.2) гипотетически может быть меньше правой. В [1] установлена связь гипотезы аддитивности минимальной выходной энтропии квантового канала с аналитической проблемой мультипликативности р-норм вполне положительных отображений.

Проблемы аддитивности х-пронускной способности и минимальной выходной энтропии показывают особую роль сцепленных состояний составной квантовой системы. Следует, однако, заметить, что сам факт существования сцепленных состояний не только является препятствием для обобщения на квантовый случай свойств классических каналов и систем, но и дает принципиально новые возможности построения таких систем обработки и передачи информации, как квантовый компьютер, квантовые криптографические протоколы и системы сжатия данных. Сцепленные состояния являются информационным ресурсом для построения таких систем (см. [6],[23],[61]). Изучение эффекта сцеплен-ности представляет собой одно из основных направлений исследований в некоммутативной теории вероятностей. Актуальным является вопрос о выборе мер сцеплениости - количественных характеристик состояния составной квантовой системы, определяющих "уровень его сцеплениости". Из общих соображений сформулирована система аксиом, которым должна удовлетворять любая мера сцепленности и предложено несколько функций на множестве состояний составной квантовой системы - кандидатов на роль такой меры (см., например, обзор в [51]). Однако, ни для одной из этих функций в настоящее время не доказано выполнение всех указанных аксиом. Перспективным кандидатом на роль меры сцепленности продолжает оставаться т.н. сцепленностъ формирования Ер (Entanglement of Formation=EoF), в конечномерном случае определенная в [33]. Одним из основных требований к мере сцепленности является выполнение следующего свойства аддитивности EoF

EF(px ® о-у) = EF[px) + EF(aY) (0.1.3) для всех состояний-произведений рх®&у составной квантовой системы XY, полученной объединением двух составных квантовых систем X и Y. В [68] показано, что это свойство равносильно формально более сильному свойству супераддитивпости EoF

Ef(U>xy) > Ef(cjx) + Ef{uy) (0.1.4) для всех состояний шху квантовой системы XY указанного выше вида, где сих и иу - частичные (маргинальные) состояния составных квантовых подсистем X и Y, соответствующие состоянию loXy- Как и в случае проблем аддитивности ^-пропускной способности и аддитивности минимальной выходной энтропии квантового канала, причиной возможного нарушения равенства (0.1.3) (неравенства (0.1.4)) является наличие сцепленных состояний составной квантовой системы XY.

Важное направление исследований - поиск адекватного определения ЕоБ для произвольного состояния бесконечномерной составной квантовой системы и изучение аналитических свойств ЕоР при таком определении.

Существенным этапом в развитии квантовой теории информации явилось доказательство в 2003 г. эквивалентности в конечномерном случае всех рассмотренных выше свойств (супер)аддитивности на глобальном уровне, т.е. эквивалентности гипотез об их выполнении для всех конечномерных квантовых каналов и состояний, которая показывает существование единой глобальной гипотезы аддитивности (в конечномерном случае). Отдельные этапы этого доказательства получены несколькими авторами, а окончательное завершение - П.Шором [77]. Исследованию глобальной гипотезы аддитивности в последнее время посвящена обширная литература (см. обзор в [28]). Несмотря на активные попытки многих исследователей, до сих пор не удается ни доказать эту гипотезу, ни опровергнуть ее путем поиска контрпримера, в том числе и с помощью современных ЭВМ. Без преувеличения можно сказать, что в настоящее время данная гипотеза является главной открытой математической проблемой квантовой теории информации и ее разрешение (положительное или отрицательное) во многом определит дальнейшее развитие этой научной дисциплины.

В последнее время возрастает интерес к бесконечномерным квантовым системам и каналам, в частности, к квантовым гауссовским каналам [46]. Переход к бесконечномерному случаю связан с радикальным ухудшением аналитических свойств основных энтропийных характеристик. Достаточно сказать, что множество квантовых состояний перестает быть компактным, а такая важная характеристика квантового состояния, как энтропия, из непрерывной ограниченной функции превращается в полунепрерывную снизу функцию, принимающую бесконечные значения на плотном подмножестве множества квантовых состояний. Поэтому представляет значительный интерес разработка специальных методов аппроксимации, позволяющих, вопреки указанным выше трудностям, переносить на бесконечномерный случай некоторые важные результаты, доказанные в рамках конечномерной модели.

Для каналов бесконечной размерности характерны следующие особенности. Первая состоит в необходимости введения ограничений на входные ансамбли состояний (таких, например, как ограничение на среднюю энергию состояний ансамбля для гауссовских квантовых каналов), хотя входные ограничения оказываются полезными и при исследовании гипотезы аддитивности для каналов конечной размерности. Другая особенность состоит в естественном появлении бесконечных, вообще говоря, континуальных ансамблей, которые определяются как борелевские вероятностные меры на множестве всех квантовых состояний.

Данная работа посвящена систематическому исследованию рассмотренных выше проблем, причем основное внимание уделяется в ней бесконечномерным квантовым системам и каналам. К числу основных целей диссертации относятся:

1) исследование свойства аддитивности ^-пропускной способности конечномерных и бесконечномерных квантовых каналов с произвольными ограничениями;

2) исследование свойств обобщенных ансамблей квантовых состояний - вероятностных мер на множестве квантовых состояний;

3) исследование аналитических свойств энтропийных характеристик бесконечномерных квантовых каналов и состояний;

4) построение методов аппроксимации, позволяющих обобщать на бесконечномерный случай результаты, доказанные в рамках конечномерной квантовомеханической модели;

5) исследование вопроса об адекватном определении сцепленности формирования ЕоР для произвольного состояния бесконечномерной составной квантовой системы;

6) доказательство сильной аддитивности х-пропускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для определенных типов бесконечномерных квантовых каналов;

7) доказательство бесконечномерной версии теоремы Шора и теоремы об эквивалентности конечномерной и бесконечномерной глобальных гипотез аддитивности.

0.2 Содержание диссертации

Диссертация состоит из 5 глав, краткое содержание которых представлено ниже.

В главе 1 рассматривается х-пропускная способность конечномерного квантового канала с ограничениями. Получено характеристическое свойство оптимальных ансамблей для такого канала, обобщающее известное свойство "максимальной равноудаленности" оптимальных ансамблей для канала без ограничений. Вводится понятие сильной аддитивности х-пропускной способности и доказывается теорема об эквивалентности этого свойства и нескольких других свойств (суб, супер) аддитивности для двух заданных конечномерных квантовых каналов. Показано, что сильная аддитивность х-проиускной способности имеет место для некоторых нетривиальных классов каналов. Исследуется связь свойств аддитивности и сильной аддитивности х-пропускной способности.

Изучаются структурные свойства двух подмножеств состояний, названных оптимальными, которые связаны с х-пРопУскн°й способностью и минимальной выходной энтропией квантового канала. Показано, что именно свойство сильной аддитивности х-пропускной способности для двух квантовых каналов гарантирует определенные соотношения между оптимальными множествами их тензорного произведения и оптимальными множествами самих этих каналов.

В главе 2 исследуются свойства обобщенных квантовых ансамблей - вероятностных борелевских мер на множестве квантовых состояний, а также свойства некоторых энтропийных функционалов на этом множестве. Полученные результаты, в частности, доказательство открытости барицентрического отображения позволили установить некоторые свойства функций на множестве квантовых состояний, а также наблюдения о возможности расширения функций, определенных на множестве чистых состояний, до выпуклых или вогнутых функций на всем множестве квантовых состояний.

В главе 3 исследуются в бесконечномерном случае свойства квантовой энтропии и х-пропускной способности, рассматриваемой как функция множеств квантовых состояний и поэтому называемой ^емкостью множества.

Рассмотрены условия ограниченности и непрерывности сужения квантовой энтропии на некоторые подмножества квантовых состояний, а также условия существования состояния с максимальной энтропией для этих подмножеств. Получены условия сходимости для квантовой энтропии, расширяющие известные ранее результаты.

Подробно изучаются свойства %-емкости как функции множеств квантовых состояний. Для каждого множества с конечной х-емкостыо показано существование оптимального среднего - однозначно определенного состояния, обладающего рядом специальных свойств. Получены достаточные условия существования оптимальной меры для множеств состояний с конечной ^-емкостью, а также построены примеры множеств, не имеющих оптимальной меры. Выделен класс множеств, названных регулярными, для которых свойства, связанные с х-емкостыо, аналогичны свойствам множеств состояний конечномерной квантовой системы. Приведены примеры нерегулярных множеств, демонстрирующие существенно бесконечномерные свойства %-емкости. Показана возможность конечномерной аппроксимации хемкости и оптимального среднего произвольного множества состояний с конечной х-емкостыо.

В главе 4 рассматриваются х-пропускная способность бесконечномерных квантовых каналов с ограничениями и связанные с ней энтропийные характеристики - Х"ФункЧия и выпуклое замыкание выходной энтропии. Вводится понятие выходного оптимального среднего для квантового канала с ограничением, определяемым выпуклым подмножеством состояний. Получены достаточные условия существования оптимальной меры, приведены примеры их применения, а также примеры, показывающие, что оптимальная мера существует не всегда. Исследуются аналитические свойства х-функции и выпуклого замыкания выходной энтропии бесконечномерного квантового канала.

Рассматривается метод конечномерной аппроксимации бесконечномерных квантовых каналов. Для его реализации исследуются свойства топологии сильной сходимости на множестве всех каналов и свойства непрерывности относительно этой топологии основных энтропийных характеристик канала.

Рассматривается класс квантовых каналов, имеющих при отсутствии ограничений конечную хпропускную способность. Этот класс содержит, в частности, каналы с непрерывной выходной энтропией, которые, обладая непрерывными энтропийными характеристиками, проявляют и специфические свойства бесконечномерных каналов такие, например, как отсутствие оптимальной меры. Для каналов указанного класса получено бесконечномерное обобщение свойства максимальной равноудаленности оптимального ансамбля. Приведены примеры квантовых каналов, для которых определены хпропускная способность и выходное оптимальное среднее, получены условия существования оптимальной меры.

С помощью полученных результатов исследуется проблема обобщения на бесконечномерный случай понятия сцепленности формирования ЕоР.

В главе 5 исследуются связи между различными свойствами (суб, супер)аддитивности для квантовых каналов бесконечномерной размерности.

Разработаны методы доказательства сильной аддитивности хпР°пускной способности и супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии для бесконечномерных квантовых каналов, использующие технику конечномерной аппроксимации и основанные на результатах главы 4. Полученные методы позволили доказать справедливость указанных свойств для некоторых классов бесконечномерных каналов, а также основной результат этой главы - теорему, утверждающую, что из выполнимости конечномерной глобальной гипотезы аддитивности следует как сильная аддитивность х~пропускной способности, так и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех бесконечномерных квантовых каналов. Эта теорема позволяет получить бесконечномерное обобщение теоремы Шора - утверждение об эквивалентности различных гипотез аддитивности для всех квантовых каналов.

0.3 Основные результаты, полученные в диссертации

1) доказаны сильная аддитивность х-пропускной способности и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для двух бесконечномерных квантовых каналов, один из которых произвольный, а другой является прямой суммой тождественного канала и канала, разрушающего сцепленность;

2) доказано, что из выполнимости гипотезы аддитивности для всех конечномерных квантовых каналов следует как сильная аддитивность х-пропускной способности для всех бесконечномерных квантовых каналов, так и супераддитивность выпуклого замыкания выходной энтропии для всех бесконечномерных квантовых каналов, в частности, супераддитивность ЕоГ для всех состояний бесконечномерной составной квантовой системы; получено бесконечномерное обобщение теоремы Шора - утверждение об эквивалентности различных гипотез (супер)аддитивности для всех квантовых каналов; исследованы аналитические свойства ^-функции и выпуклого замыкания выходной энтропии бесконечномерного квантового канала как функций пары (канал, состояние), в частности, получено достаточное условие непрерывности этих функций для сходящихся последовательностей таких пар и обобщение на случай х-функции теоремы Саймона о мажорированной сходимости для квантовой энтропии; доказана открытость барицентрического отображения на множестве всех борелевских вероятностных мер на множестве квантовых состояний и получены связанные с этим свойством результаты, в частности, установлена непрерывность выпуклой оболочки любой непрерывной ограниченной функции на множестве квантовых состояний и непрерывность максимального ограниченного сверху выпуклого расширения на множество квантовых состояний любой непрерывной ограниченной функции, определенной на множестве чистых состояний; для любого множества с конечной х-емкостыо доказано существование и единственность оптимального среднего, относительная компактность этого множества, показана устойчивость по отношению к квантовому шуму и возможность конечномерной аппроксимации Х-емкости и оптимального среднего; исследованы свойства х-емко-сти как функции множеств квантовых состояний, выделен класс множеств, названных регулярными, для которых доказаны свойства аналогичные свойствам множеств состояний в конечномерном гильбертовом пространстве, такие, например, как существование оптимальной меры, построены примеры нерегулярных множеств, проявляющих существенно бесконечномерные свойства.

0.4 Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

• "General theory of information transfer and combinatorics" (April 26 - 30, 2004, Bielefeld, Germany);

• "Квантовая информация - 2004" (4-8 октября 2004 г., Москва);

• "Quantum statistics - quantum measurements, estimation and related topics" (November 15 - 19, 2004, Newton Institute, Cambridge);

• VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (2-8 октября 2005 г., Сочи);

• Конференция в институте Макса Планка по квантовой оптике, (18 - 23 апреля 2006 г., Мюнхен, Германия).

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах:

• Семинар кафедры высшей математики Московского физико-технического института (рук. д.ф.-м.н. Е.С.Половинкин);

• Семинар "Бесконечномерный анализ и математическая физика" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. О.Г.Смолянов);

• Семинар "Ортогональные ряды" механико-математического факультета Московского государственного университета рук. д.ф.-м.н., чл.корр. РАН Б.С.Кашин);

• Семинар "Теория приближений и теория экстремальных задач" механико-математического факультета Московского государственного университета (рук. д.ф.-м.н. В.М.Тихомиров);

• Семинар отдела теории вероятностей и математической статистики Математического института им. В.А.Стеклова РАН рук. д.ф.-м.н. академик РАН Ю.В.Прохоров).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ ([81-97]), из которых 10 - в журналах, рекомендованных ВАК для публикации материалов докторских диссертаций ([81-90]).

Вклад автора в совместных работах. В работах [1-2] автору принадлежит доказательство теорем об эквивалентности различных свойств (суб, супер) аддитивности для двух конечномерных квантовых каналов и теоремы о свойствах расширения Шора. В работе [3] автору принадлежит доказательство теоремы, в которой получено достаточное условие существования оптимальной меры для квантового канала с ограничением, а также конструкция примера, показывающего, что оптимальная мера существует не всегда. В работе [4] автором построен пример бесконечномерного квантового канала, разрушающего сцепленность и определены его основные характеристики.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Широков, Максим Евгеньевич, 2007 год

1. Амосов Г.Г., Холево A.C. О гипотезе мультипликативности для квантовых каналов // Теория вероятностей и ее применения. -2002. Т.47. N.1. - С.143-146.

2. Балашов М.В. О Р-свойстве выпуклых компактов// Математические заметки. 2002. Т.71. N.3. - С.323-333.

3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М: Мир, 1977.

4. Богачев В.И. Основы теории меры. Москва-Ижевск: РХД, 2003.

5. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М: Мир, 1982.

6. Валиев К.А., Кокин A.A. Квантовые компьютеры: Надежды и реальность. Москва-Ижевск: РХД, 2002.

7. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. -М: Наука, 1974.

8. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М.:Наука, 1978.

9. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М: Наука, 1989.

10. Кудрявцев J1.Д. Курс математического анализа. М.:Высшая школа, 1988.

11. Муштари Д.Х. Избранные теоремы теории банаховых пространств. Учебно-методическое пособие. Казань, 2002.

12. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры. М.: Мир, 1983.

13. Половинкин Е.С., Балашов М.В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М: Физматлит, 2004.

14. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей// Теория вероятностей и ее применения. 1956. Т.1. N.2 - С.177-238.

15. Pud М., Саймой Б. Методы современной математической физики. Т.1: Функциональный анализ. М.:Мир, 1977.

16. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

17. Сарымсаков Т. А. Введение в некоммутативную теорию вероятностей. ФАН, Ташкент, 1985.

18. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. М.:Мир, 1968.

19. Холево A.C. О квазиэквивалентности локально-нормальных состояний/ / Теоретическая и математическая физика. 1972. Т.13. N.2. - С.184-199.

20. Холево A.C. Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи// Проблемы передачи информации. 1973. Т.9. N.3. - С.3-11.

21. Холево A.C. О пропускной способности квантового канала связи/ / Проблемы передачи информации. 1979. Т.15. N.4. - С.3-11.

22. Холево A.C. Квантовые теоремы кодирования// УМН 1998. Т.53. N.6. - С.193-230.

23. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. -М.-МЦНМО, 2002.

24. Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. -Москва-Ижевск, ИКИ, 2003.

25. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. 2-е изд., доп. Москва-Ижевск, РХД, 2003.

26. Холево А. С. Классическая пропускная способность квантовых каналов с ограничениями// Теория вероятностей и ее применения. 2003. T.48. N.2. - С.359-374, e-print quant-ph/0211170.

27. Холево А.С. Комплементарные каналы и проблема аддитивности// Теория вероятностей и ее применения. 2006. Т.51. N.1. -С.134-143, e-print quant-ph/0509101.

28. Холево А.С. Мультипликативность £>-норм вполне положительных отображений и проблема аддитивности в квантовой теории информации// УМН 2006. T.61. N.2. - С.113-152.

29. Чепцов Н.Н. Статистические решающие правила и оптимальные выводы.- М.: Наука, 1972.

30. Alfsen Е. Compact convex sets and boundary integrals. Springer Verlag, 1971.

31. Amosov G.G. On strong superadditivity for a class of quantum channels // e-print quant-ph/0610098.

32. Audenaert K.M.R., Braunstein S.L. On strong subadditivity of the entanglement of formation// Comm. Math. Phys. 2004. V.246. -P.443-452, e-print quant-ph/0303045.

33. Bennett C.H., DiVincenzo D.P., Smolin J.A., Wootters W.K. Mixed State Entanglement and Quantum Error Correction. //Phys. Rev. A 1996. V.54. N.5. - P.3824-3851, e-print quant-ph/9604024.

34. Bourgin R.D. Geometric aspects of convex sets with the Radon-Nikodiym property. Lecture Notes in Mathematics, V.993, Springer-Verlag, Berlin, 1983.

35. Bourgin R.D., Edgar G.A. Noncompact simplexes in Banach spaces with the Radon-Nikodiym property// J. Functional Analysis. 1976. V.23. N.2. - P.162-176.

36. Dell'Antonio G.F. On the limits of sequences of normal states// Commun. Pure Appl. Math. 1967. V.20. - P.413-430.

37. Davies E.B. Information and Quantum Measurements// IEEE Trans.Inf.Theory. 1978. V.24. - P.596-599.

38. Devetak I., Shor P. W. The capacity of a quantum channel for simultaneous transmission of classical and quantum information// quant-ph/0311131.

39. Donald M.J. Further results on the relative entropy// Math. Proc. Cam. Phil. Soc. 1987. V.101. - P.363-373.

40. Edgar G.A. Extremal integral representations// J. Functional Analysis. 1976. V.23. N.2. - P.145-161.

41. Eisert J., Simon C., Plenio M.B. The quantification of entanglement in infinite-dimensional quantum systems// J. Phys. A 2002. V.35. - P.3911, e-print quant-ph/0112064.

42. Fukuda M. Simplification of additivity conjecture in quantum information theory// quant-ph/0608010.

43. Harremoes P., Topsoe F. Maximum Entropy Fundamentals// Entropy. 2001. V.3. - P.191-226.

44. Harremoes P. Information Topologies with Applications// Entropy, Search, Complexity. Bolyai Society Mathematical Studies, Springer, 2007. - P.113-150.

45. Holevo A.S. On quantum communication channels with constrained inputs// e-print quant-ph/9705054.

46. Holevo A.S., Werner R.F. Evaluating capacities of Bosonic Gaussian channels// Phys. Rev. A. 2001. V.63. - P.032312.

47. Holevo A.S. Remarks on the classical capacity of quantum channel// quant-ph/0212025.

48. Horodecki M., Horodeeki PHorodeeki R. General teleporta-tion channel, singlet fraction and quasi-distillation// e-print quant-ph /9807091.

49. Horodeeki M., Shor P.W., Ruskai M.B. General Entanglement Breaking Channels// Rev. Math. Phys. 2003. V.15. - P.629-641, e-print quant-ph/0302031.

50. Giovannetti V., Guha S., Lloyd S., Maccone L., Shapiro J.H. Minimum output entropy of bosonic channels: a conjecture // e-print quant-ph /0404005.

51. Keyl M. Fundamentals of Quantum Information Theory// e-print quant-ph/0202122.

52. King C.y Ruskai M.B. Minimal Entropy of States Emerging from Noisy Quantun Channels// IEEE Trans.Inf.Theory. 2001. V.47. -P.192-209.

53. King C. Additivity for unital qubit channels// J.Math.Phys. 2002. V.43. N.10. - P.4641-4653.

54. King C., Matsumoto K., Nathanson M., Ruskai M.B. Properties of Conjugate Channels with Applications to Additivity and Multiplica-tivity// quant-ph/0509126.

55. Lima A. On continuous convex functions and split faces// Proc. London Math. Soc. 1972. V.25. N.3. - P.27-40.

56. Lindblad G. Entropy, Information and Quantum Measurements// Comm. Math. Phys. 1973. V.33. N.4. - 305-322.

57. Lindblad G. Expectation and Entropy Inequalities for Finite Quantum Systems// Comm. Math. Phys. 1974. V.39. N.2. - P.lll-119.

58. Lindblad G. Completely Positive Maps and Entropy Inequalities// Comm. Math. Phys. 1975. V.40. N.2. - P.147-151.

59. Majewski A.W. On the мера of entanglement// J.Phys.A. 2002. V.35. N.l. - P.123-134, e-print quant-ph/0101030.

60. Matsumoto K., Shimono Т., Winter A.j/ Remarks on additivity of the Holevo channel capacity and of the entanglement of formation// e-print quant-ph/0206148.

61. Nielsen M.A., Chuang I.L. Quantum Computation и Quantum Information. Cambridge University Press, 2000.

62. Nielsen M.A. Continuity bounds for entanglement// Phys. Rev. A. 2000. V.61. - P.064301.

63. Ohya M., Petz D. Quantum Entropy and Its Use. Texts and Monographs in Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

64. Ozawa M. On information gain by quantum measurement of continuous observable// J.Math.Phys. 1986. V.27. - P.759-763.

65. Parthasarathy K. Probability measures on metric spaces.- New York and London: Academic Press, 1967.

66. Parthasarathy K. Extremal States in Coupled System// e-print quant-ph/0307182.

67. Paulsen V.I. Completely Bounded Maps and Operators Algebras. -Cambridge University Press, 2002.

68. Pomeransky A.A. Strong superadditivity of the entanglement of formation follows from its additivity// Phys.Rev.A. 2003. V.68. P.032317, e-print quant-ph/0305056.

69. Powers R.T., Stormer E. Free states of the canonical anticommutation relations// Comm. Math. Phys. 1970. V.16. - P.l-33.

70. Schumacher B., Westmoreland M.D. Sending Classical Information via Noisy Quantum Channels// Phys. Rev. A. 1997. V.56. -P.131-138.

71. Schumacher B., Westmoreland M.D. Optimal signal ensemble// e-print quant-ph/9912122.

72. Schumacher B., Westmoreland M.D. Relative entropy in quantum information theory// e-print quant-ph/0004045.

73. Shannon C.E. A mathematical theory of communication//Bell System Tech. J. 1948. V.27. - P.379-423, 623-656.

74. Shor P. W. Quantum computing//International congress of mathematicians, Berlin, 1998.

75. Shor P. W. Additivity of the classical capacity of entanglement breaking quantum channel// J.Math.Physics. 2002. V.43. - P.4334-4340, e-print quant-ph/0201149.

76. Shor P.W. Capacities of Quantum Channels and How to Find Them// e-print quant-ph/0304102.

77. Shor P. W. Equivalence of additivity questions in quantum information theory // Comm. Math. Phys. 2004. V.246. N.3. - P.4334-4340, e-print quant-ph/0305035.

78. Simon B. Convergence theorem for entropy// appendix in Lieb E.H., Ruskai M.B. Proof of the strong subadditivity of quantum mechanical entropy// J.Math.Phys. 1973. V.14. - P.1938-1941.

79. Uhlmann A. Entropy and optimal decomposition of states relative to a maximal commutative subalgebra// e-print quant-ph/9704017.

80. Wehrl A. General properties of entropy// Rev. Mod. Phys. 1978. V.50. - P.221-250.Работы, содержащие основные результаты диссертации:

81. Холево А.С., Широков М.Е. Проблема аддитивности для квантовых каналов с ограничениями // УМН 2004. Т.59. N.2. -С.195-196.

82. Вернер Р.Ф., Холево А.С., Широков М.Е. О понятии сцеплен-ности в гильбертовом пространстве// УМН 2005. Т.60. N.2. -С.153-154.

83. Холево А.С., Широков М.Е. Непрерывные ансамбли и классическая пропускная способность квантовых каналов бесконечной размерности// Теория вероятностей и ее применения. 2005. Т.50. N.l. - С.98-114, e-print quant-ph/0408176.

84. Широков М.Е. О структуре оптимальных множеств квантового канала// Проблемы передачи информации. 2006. Т.42. N.4. -С.23-40, e-print quant-ph/0402178.

85. Широков М.Е. Энтропийные характеристики подмножеств состояний I// Известия РАН. Серия Математическая. - 2006. Т.70. N.6. - С.193-222.

86. Широков М.Е. Энтропийные характеристики подмножеств состояний II// Известия РАН. Серия Математическая. - 2007. Т.71. N.1. - С.187-224.

87. Широков М.Е. О супераддитивности выпуклого замыкания выходной энтропии квантового канала// УМН 2006. Т.61. N.6. -С.198-199.

88. Широков М.Е. О свойствах квантовых каналов, связанных с классической пропускной способностью// Теория вероятностей и ее применения. 2007. T.52. N.2. - С.293-329.

89. Holevo A.S., Shirokov М.Е. On Shor's channel extension and constrained channels// Comm. Math. Phys. 2004. V.249. - P.417-430, e-print quant-ph/0306196.

90. Shirokov M.E. The Holevo capacity of infinite dimensional channels and the additivity problem// Comm. Math. Phys. 2006. V.262. -P.137-159, e-print quant-ph/0408009.

91. Shirokov M.E. On the additivity conjecture for channels with arbitrary constrains// e-print quant-ph/0308168.

92. Werner R.F., Holevo A.S., Shirokov M.E. Separability and entanglement-breaking in infinite dimensions// e-print quant-ph /0504204.

93. Shirokov M.E. On channels with finite Holevo capacity// e-print quant-ph/0602073.

94. Shirokov M.E. Properties of probability measures on the set of quantum states and their applications// e-print math-ph/0607019.

95. Shirokov M.E. The convex closure of the output entropy of infinite dimensional channels and the additivity problem// e-print quant-ph/0608090.

96. Широков M.E. О непрерывности классической пропускной способности квантового канала// Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ. 2004. С.155-160.

97. Холево А.С., Широков М.Е. Непрерывные ансамбли и пропускная способность квантовых каналов бесконечной размерности// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2005. Т.12 N.4. - С.1225-1226.