Электродинамика периодически-неоднородных открытых диэлектрических направляющих структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.07, кандидат технических наук Смирнов, Александр Александрович

• Смирнов, Александр Александрович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Смирнов, Александр Александрович

Введение

Глава 1. Распространение электромагнитных полей в неограниченных средах с периодически изменяющимся по одной из декартовых координат показателем преломления

1.1 Введение

1.2 Н - и Е - постановки дисперсионных задач

1.3 Расчет дисперсии плоских волн в Я - постановке

1.4 Расчет дисперсии плоских волн в Е- постановке

1.5 Расчет дисперсии Н-и Е- волн

1.6 Обсуждение результатов

1.7 Выводы

Глава 2. Симметричные волны круглого диэлектрического волновода с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления

2.1 Введение

2.2. Постановка краевой задачи

2.3. Составление дисперсионных уравнений

2.4. Результаты расчета дисперсионных зависимостей

2.5. Обсуждение результатов

2.6. Выводы

Глава 3. Электромагнитные волны слабонаправляющего градиентного световода с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления

3.1 Введение

3.2 Постановка краевой задачи

3.3 Дисперсионное уравнение

3.4 Расчет дисперсионных зависимостей, обсуждение результатов

3.5 Выводы 172 ф

Глава 4. Диэлектрические волноводы с импедансными поверхностями

4.1 Введение

4.2 ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом

0 4.2.1 Постановка краевой задачи

4.2.2 Составление дисперсионного уравнения

4.2.3 Численные результаты 182 ^ 4.3 Круглый ДВ со спирально проводящей поверхностью

4.3.1 Постановка краевой задачи

4.3.2 Составление дисперсионного уравнения

4.3.3 Численные результаты

4.4 Круглый ДВ, покрытый резистивной пленкой

4.4.1 Постановка краевой задачи

4.4.2 Составление дисперсионного уравнения

4.4.3 Численные результаты

4.5 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамика периодически-неоднородных открытых диэлектрических направляющих структур»

Открытые направляющие структуры, в частности, диэлектрические волноводы (ДВ) находят широкое применение как линии передачи, а их отрезки как базовые элементы различных устройств во всех участках высокочастотного диапазона. В диапазонах СВЧ и КВЧ на основе ДВ строятся такие функциональные узлы, как линии задержки, антенны бегущей волны, открытые диэлектрические резонаторы, антенные облучатели. На основе диэлектрических волноводов с резистивными слоями строятся фиксированные и поляризационные аттенюаторы, согласующие устройства. Периодически -нерегулярные ДВ используются при создании различных частотно избирательных устройств. Слоистый круглый ДВ является строгой математической моделью оптического волокна и декомпозиционной базой различных функциональных узлов оптического диапазона.

Диссертация посвящена исследованию особенностей распространения электромагнитного поля в немагнитных неограниченных и ограниченных средах, диэлектрическая проницаемость которых периодически изменяется в направлении распространения поля (вдоль оси z). Примером открытой направляющей структуры с периодической зависимостью е от продольной координаты является оптическое волокно, на базе которого выполняются решетки Брэгга, используемые при создании частотно-избирательных устройств оптического диапазона. Кроме того, в диссертации исследуются особенности распространения электромагнитного поля в периодически-нерегулярных диэлектрических волноводах и в круглом однородном ДВ, покрытом тонкой резистивной пленкой.

Актуальность темы: Успехи в области оптических технологий приводят к тому, что телекоммуникационные системы переходят к передаче данных в магистральных сетях по оптоволокну. Целесообразность подобного перехода стимулируется высокой пропускной способностью таких сетей [1 - 8] и большой скоростью передачи информации.

Сегодня оптическое волокно достаточно широко используется и в телекоммуникационных, и в компьютерных сетях любого масштаба. Об оптических сетях, как о самостоятельной технологии, заговорили в связи с освоением метода плотного мультиплексирования с разделением по длине волны, а также с разработкой функциональных узлов оптического диапазона, таких как оптоволоконные широкополосные оптические усилители, оптические фильтры, достаточно точные волновые демультиплексоры, оптические мультиплексоры ввода/вывода каналов, узкополосные лазеры и ряда других [1

-7].

Брэгговские решетки широко используются в системах связи. В лазерной технике они применяются для достижения одномодовости. Волоконные Брэгговские решетки используются в различных устройствах оптического диапазона таких, как фильтры, мультиплексоры, компенсаторы дисперсии. Их основные достоинства - низкие потери, легкость соединения с другими участками волоконного тракта, низкий температурный коэффициент длины, простая конструкция, дешевизна.

Актуальность проводимых исследований определяется отсутствием методик, позволяющих производить теоретические расчеты характеристик распространения волн в волоконных структурах с периодически изменяющимся в продольном направлении показателем преломления. Создание таких методик позволит разрабатывать новые устройства и совершенствовать имеющиеся.

Оптоволоконная решетка Брэгга [3, 5, 6] представляет собой участок волокна, в сердцевине которого коэффициент преломления периодически изменяется вдоль направления распространения волны. Эти изменения можно вызвать воздействием ультрафиолетового излучения, прикладываемого с помощью интерферометра или фазовой маски. Таким способом получают пространственную дифракционную решетку, позволяющую разрешить главные максимумы дифракционной картины для различных длин волн [3, 5, 6]. Схематически волоконная решетка Брэгга изображена на рис. В.1.

Принцип ее действия заключается в следующем: две волны, распространяющиеся в одном направлении с фазовыми постоянными /?, и /?2, будут обмениваться энергией, если выполняется условие Брэгга:

IA-AI-2?. где d - период волоконной решетки.

В отражающем фильтре (рис. В.1) энергия прямой волны переходит в энергию рассеянной волны, распространяющейся в обратном направлении и имеющей ту же длину Л, при условии:

I = или

Р - = 2 • /? =

2-л-п-к

Полагая р=-—, где Л0 - длина волны падающего света в вакууме, К neff - эффективный показатель преломления волновода или волокна, получаем, что волна отражается при условии: Л =2-ле# •d.

Л0 называется Брэгговской длиной волны. Эффективность отражения уменьшается по мере расхождения длины волны падающего света с Брэгговской длиной волны. При прохождении через решетку света сложного спектрального состава отражается только Брэгговская длина волны, в то время как остальные длины волн проходят, не отражаясь [7].

Волоконные решетки классифицируются на короткопериодные и длиннопериодные [7]. Короткопериодные решетки также называются Брэгговскими решетками и имеют период порядка 0,5 мкм. Период короткопериодной решетки сравним с длиной волны. Длиннопериодные решетки имеют период от нескольких сотен мкм до нескольких мм. Период

Решетка Брэгга лочка

Сердцевина

Модуляция показателя преломления

Рис. В.1 Однородная Брэгговская решетка с постоянными амплитудой изменения показателя преломления и периодом. длиннопериодной решетки намного больше длины волны. В настоящее время созданы волоконные Брэгговские решетки с чрезвычайно малыми потерями (0,1 дБ), высоким соответствием геометрических размеров решетки заданным (отклонение от заданных размеров не превышает ±0,05 нм) и высоким подавлением помех соседнего канала (40 дБ) [6]. В диссертационной работе предлагается методика описания физических процессов, происходящих в волоконной решетке Брэгга, не зависящая от геометрических параметров исследуемой решетки.

Такой параметр, как температурный коэффициент длины, характеризует изменение длины волокна в зависимости от температуры. У Брэгговских решеток он обычно составляет 1,25-10"2 нм/°С. Однако, это изменение можно компенсировать, добавляя в среду решетки материалы, которые имеют отрицательный температурный коэффициент увеличения длины. Такие пассивные температурно-компенсированные решетки имеют температурные коэффициенты длины около 0,07-10"2 нм/°С. Это обеспечивает очень малый сдвиг центральной длины волны в эксплуатационном диапазоне температур (100 °С) и означает, что Брэгговские решетки могут работать фактически без контроля температуры [6]. Такие свойства решеток делают их очень привлекательными для выполнения на их основе различных функциональных узлов оптического диапазона.

Несмотря на большой интерес к волоконным решеткам, вопрос получения (записи) закона изменения их показателя преломления до сих пор не закрыт. В этом направлении постоянно ведутся исследования [8 - 12]. Запись волоконных решеток основана на использовании фоточувствительной сердцевины оптического волокна. Обычное кремниевое волокно при добавлении примеси германия становится чрезвычайно фоточувствительным. Подвергая это волокно воздействию ультрафиолетового излучения (УФ), можно вызвать изменение показателя преломления материала сердцевины. В таком волокне решетка может быть создана с помощью облучения волокна двумя интерферирующими ультрафиолетовыми пучками. Наведенная на сердцевину интерференционная картина вызывает периодические изменения показателя преломления вдоль волокна. Там, где интенсивность УФ излучения высокая, показатель преломления увеличивается, а где она мала - показатель остается без изменений. Требуемое для получения решеток изменение показателя преломления достаточно мало - около 10"4. Для производства решеток также могут быть использованы другие методы, например, применение фазовых масок [6]. Фазовая маска является дифракционным оптическим элементом. С ее помощью падающее на волокно УФ излучение "расщепляется" на лучи, которые, интерферируя между собой, прочерчивают решетку внутри волокна [6].

Недавно впервые была осуществлена запись решеток показателя преломления в германосиликатном световоде непрерывным излучением Аг лазера УФ диапазона (333-364 нм) [12]. Индуцированный показатель преломления в световоде с молекулярным 10% содержанием Ge02 в сердцевине составил 1.9-10"4 при плотности мощности излучения 1.7-105 Вт/см2. Полученные решетки обладают примерно такой же термостабильностью, что и решетки, записанные с помощью KrF - лазера (248 нм). Можно отметить, что излучение ближнего УФ диапазона может быть использовано для записи длиннопериодных решеток показателя преломления в германосиликатных световодах. Так как максимально индуцированный в сердцевине показатель преломления составил 1.9-10"4, то широко распространенный Аг+ - лазер без удвоения частоты может быть использован для изготовления фотоиндуцированных решеток различных типов с большим периодом. Эти исследования показали, что данный способ фотовозбуждения может быть использован и для записи Брэгговских решеток, однако тогда для повышения когерентности УФ излучения необходимо выделение одной лазерной линии. При этом значительно снижается интенсивность УФ излучения и, по-видимому, эффективность наведения показателя преломления. Из проведенных экспериментов следует, что даже значительное увеличение времени облучения не позволяет компенсировать понижение интенсивности записывающего излучения.

Важным вопросом, возникающим при решении задач, связанных с передачей информации через волоконные решетки, является вопрос о влиянии отклонений геометрических параметров решетки, а также параметров среды от заданных на характеристики сигнала, передаваемого через данные решетки [13 - 16]. В частности, отклонения параметров решетки от расчетных могут привести к фазовым и амплитудным погрешностям передаваемого сигнала. Характеристики оптических узлов обычно деградируют за счет случайных флуктуаций геометрических размеров решетки, а также за счет отклонения показателя преломления от заданного значения. Рэлеевское рассеяние, например, является типичным примером рассеяния, обусловленного случайными флуктуациями показателя преломления. Случайные колебания геометрии устройства, шероховатость поверхностей и хаотичность в периодичности решеток приводят к увеличению рассеяния во многих оптических узлах.

Таким образом, на основании вышеизложенного можно утверждать, что волоконные Брэгговские решетки, широко применяемые в волоконно-оптической связи, требуют высокой точности изготовления. Кроме того, они должны быть невосприимчивы к поляризационному воздействию, в них нежелательно отклонение показателя преломления от заданного значения. Решетка также должна быть лишена двойного лучепреломления и дихроизма. Поэтому процесс изготовления решетки должен сопровождаться теоретическим анализом ее характеристик с целью недопущения перечисленных выше нежелательных явлений.

Для анализа характеристик волоконных решеток Брэгга в процессе и после их изготовления используется теория оптических цепей [17]. Данная теория является аналогичной теории электрических цепей. Теория оптических цепей основана на неинтерферометрическом и интерферометрическом методах измерения характеристик оптических устройств.

Неинтерферометрические методы построены на прямом эксперименте. У передатчика модулируется интенсивность выходного луча, а приемник фиксирует прошедший через оптическое устройство сигнал. В данном эксперименте по связи мощности на выходе передатчика и мощности на входе приемника получают электрическую передаточную функцию, по которой вычисляется величина оптической передаточной функции и групповое время задержки. Данная схема измерений может быть дополнена устройствами, позволяющими анализировать поляризацию света, проходящего через оптическую систему. Однако чувствительность неинтерферометрического метода ограничена погрешностями прямых измерений.

Интерферометрическое измерение с фиксированной поляризацией в схеме с одним передатчиком является самой простой формой измерения в теории оптических цепей. Интерферометрический метод измерения с низкой когерентностью света позволяет получить импульсную характеристику устройства с высоким пространственным разрешением. Напротив, интерферометрический метод измерения с высокой степенью когерентности света позволяет определить коэффициент отражения, по которому может быть рассчитана импульсная характеристика. Пространственное разрешение ограничено диапазоном перестройки лазера по длине волны. Несмотря на ограниченность перестройки лазера, решетки с большой длиной могут быть исследованы благодаря высокой когерентности одномодового лазера. В любом случае импульсная характеристика позволяет определять структуру изотропной решетки. Полученные результаты измерений подвергаются анализу, по результатам которого можно исправлять ошибки изготовления оптического устройства. Для исправления показателя преломления оптического устройства применяют локальное ультрафиолетовое излучение.

Для расчета некоторых типов профилей Брэгговских решеток в оптическом диапазоне может быть применен так называемый транспортный метод (Transport method), широко использующийся в общей теории цепей при расчетах характеристик электронных приборов и устройств, работающих в СВЧ

- диапазоне [6, 18, 19]. Данный метод обеспечивает хорошую точность практических расчетов Брэгговских волоконных решеточных структур. К сожалению, подробное его описание фактически невозможно встретить в широко доступной научной литературе, т.к. практические результаты, которые достигаются с его помощью, имеют большую коммерческую стоимость, поэтому заинтересованные в подобных исследованиях организации стараются не предавать их широкой огласке, а используют их исключительно для служебного пользования.

В настоящее время разрабатывается достаточно много оптических устройств, у которых показатель преломления гармонически изменяется вдоль направления распространения волн. Постоянно совершенствуются методы изготовления устройств такого типа. Создаются методы контроля их геометрических и физических параметров. Однако вопросы, связанные с математическим, описанием процессов прохождения волн в таких структурах, находятся в начальной стадии развития. Очевидно, что разработка методов расчета ДВ с периодически изменяющимися вдоль оси параметрами является сегодня одним из самых перспективных направлений прикладной электродинамики, которые способны продвинуть развитие и совершенствование элементной базы СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн.

Целью диссертации является:

- Разработка общей методики расчета характеристик распространения электромагнитных полей в неограниченных средах с периодически изменяющимся по одной из декартовых координат показателем преломления, в круглых открытых ДВ с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления (в том числе градиентных);

- исследование особенностей распространения электромагнитных волн в открытых направляющих диэлектрических структурах с периодически изменяющимся вдоль их оси показателем преломления;

- исследование особенностей распространения волн в периодически-нерегулярных круглых ДВ и в диэлектрическом волноводе, покрытом тонкой резистивной пленкой;

- создание эффективных алгоритмов и программ, позволяющих проводить электродинамический расчет дисперсионных характеристик и характеристик затухания волн указанных направляющих структур.

Методы исследования.

Представленные в диссертационной работе теоретические результаты получены на основе методов Бубнова-Галеркина [20 - 25], метода частичных областей (МЧО) [26 - 37] и метода поверхностного тока [38 - 41] (МПТ).

Алгоритмы, созданные на основе методов Бубнова-Галеркина, МЧО, и МПТ, удобны для использования в системах автоматизированного проектирования (САПР) функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн, ввиду их универсальности и простоты алгебраизации функциональных уравнений, получаемых в результате реализации граничных условий.

Научная новизна. В диссертационной работе:

- предложен общий подход к исследованию характеристик распространения волн в ограниченных и неограниченных диэлектрических средах с периодически изменяющимся в направлении распространения показателем преломления;

- исследованы характеристики плоских волн в неограниченных средах с периодически изменяющимся в направлении распространения показателем преломления;

- исследованы характеристики Я - и Е - волн, распространяющихся в неограниченных средах с периодически изменяющимся показателем преломления;

- исследованы характеристики Н - волн, в волоконных световодах с периодически изменяющимся в направлении распространения показателем преломления;

- исследованы характеристики волн, распространяющихся в слабонаправляющих градиентных световодах с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления.

- предложена методика расчета характеристик распространения в круглых периодически-нерегулярных ДВ;

- исследованы особенности распространения волн в круглом ДВ со спирально проводящей поверхностью и в диэлектрическом волноводе, покрытом резистивной пленкой.

Обоснованность и достоверность научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации, подтверждается:

- использованием при расчете направляющих структур теоретически обоснованных методов;

- сравнением численных результатов, полученных различными методами;

- численной проверкой выполнения предельных переходов от рассматриваемых структур к структурам, решения краевых задач для которых достоверно известны;

- проверкой полученных результатов на сходимость.

Практическая ценность работы заключается:

- в создании алгоритмов и программ, позволяющих производить расчет дисперсионных характеристик волн, распространяющихся в волоконных световодах с периодически изменяющимся вдоль направления распространения волн показателем преломления;

- в создании алгоритмов и программ, позволяющих производить расчет дисперсионных характеристик волн, распространяющихся в

1Н слабонаправляющих градиентных световодах с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления;

- в создании алгоритмов и программ, позволяющих производить расчет ф дисперсионных характеристик волн, распространяющихся в периодически-нерегулярных ДВ;

- в создании алгоритмов и программ, позволяющих производить расчет дисперсионных характеристик волн, распространяющихся в ДВ, покрытых резистивной пленкой. х. Указанные алгоритмы и программы являются основой для создания системы компьютерного проектирования функциональных узлов СВЧ, КВЧ и оптического диапазонов волн.

Реализация и внедрение результатов.

Пакеты программ переданы в ННИПИ "Кварц", ФГУП НИИИС им. Седакова, Институт химии высокочистых веществ РАН.

Положения, выносимые на защиту:

1. Обоснование применения метода Галеркина для расчета характеристик волн, открытых направляющих диэлектрических структур с периодически изменяющимися в направлении распространения волн параметрами.

2. Модификация формулы Брэгга для открытых направляющих ^ диэлектрических структур СВЧ, КВЧ и оптического диапазона с периодически изменяющимся в направлении распространения волн показателем преломления.

3. Приближенный метод расчета характеристик волн круглого открытого ДВ с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления.

4. Результаты расчета дисперсии волн ДВ с периодически изменяющимся ^ вдоль направления их распространения показателем преломления.

5. Постановка и решение дисперсионной задачи для волн в слабонаправляющем градиентном ДВ с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления. ф 6. Результаты исследования дисперсионных свойств волн слабонаправляющего градиентного ДВ с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления.

7. Формулировки краевых задач и алгоритмы расчета характеристик распространения волн периодически-нерегулярных ДВ и импедансных ^ открытых направляющих структур СВЧ и КВЧ диапазонов.

Апробация работы.

Ф Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

- Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии. ИСТ - 2002", Н.Новгород, 2002;

- II Международной научно-технической конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", Самара, 2003;

- Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии. ИСТ-2004", Н.Новгорд, 2004;

- Ill Международной научно-технической конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", Волгоград, 2004.

- Всероссийской научно-технической конференции "Информационные системы и технологии. ИСТ-2005", Н.Новгорд, 2005;

- IV Международной научно-технической конференция "Физика и технические приложения волновых процессов", Н.Новгород, 2005.

Краткое содержание работы

Во введении проводится анализ современного состояния вопроса, ставится цель диссертационной работы, обосновывается ее актуальность, формулируются задачи исследований, определяется новизна полученных результатов и их практическая ценность, формулируются основные положения, выносимые на защиту, кратко излагается содержание диссертации.

В первой главе диссертации: приводятся результаты исследования дисперсионных свойств волн в неограниченных периодически неоднородных в направлении распространения волн диэлектрических средах в Н- и Е— постановках, полученные с использованием метода Бубнова-Галеркина. Методика составления дисперсионных уравнений сводится к следующим операциям. Записав уравнения Максвелла для случая распространения гармонической волны в изотропной электронейтральной среде без потерь и предположив отсутствие зависимости компонент поля от одной из поперечных координат, приходим к волновому уравнению относительно электрической (магнитной) компоненты волны. Используя метод разделения переменных, получаем дифференциальные уравнения относительно функции Z(z), описывающей продольную зависимость компоненты электрического (магнитного) поля. Разложив функции Z(z) и e(z) в ряды: где у - постоянная распространения волны в бесконечной периодической среде, подставив эти ряды в полученное дифференциальное уравнение, с использованием процедуры Галеркина получаем бесконечную систему однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ьт. Записывая условие нетривиальности решений этой системы, получаем характеристическое уравнение относительно у.

Результаты решения этого уравнения показывают, что нормированная постоянная распространения линейно зависит от частоты не во всем частотном диапазоне. На дисперсионных характеристиках имеются горизонтальные участки, которым соответствует резкое (резонансное) возрастание нормированной постоянной затухания. Расположение т -го горизонтального участка на частотной зависимости фазовой постоянной и соответствующего ему участка резкого возрастания коэффициента затухания определяется соотношением:

4-neff.d/ Лт~ /т +1' где Хт - длина волны падающего света в вакууме (брэгговская длина волны), neff =-Д= - эффективный показатель преломления среды, 2-d — период структуры, т = 0,1,2,. Это условие брэгговского отражения волны от периодической структуры [5].

В главе рассматривается случай распространения плоских волн двух поляризаций под углом к оси периодичности среды. При этом плоские волны образуют поля с зависимостью от поперечной координаты, соответствующие волнам типа Н и Е, если связывать классификацию с осью z, вдоль которой периодически изменяется показатель преломления среды. Приводятся результаты расчета дисперсии и затухания.

Корректность постановки дисперсионной задачи и правильность расчетов проверяются по выполнению предельных переходов от периодически неоднородных сред к практически однородным средам (е2 «е{) и к средам с малыми изменениями параметров на расстояниях порядка длины волны (d » Я). Достоверность результатов проверяется также сходимостью решений по волновым числам и по числу собственных функций, учитываемых в представлениях полей.

Во второй главе диссертации: приводятся результаты исследования дисперсионных свойств симметричных волн типа Н в круглом диэлектрическом волноводе с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления. Дисперсионные уравнения составляются с использованием методов Бубнова-Галеркина и частичных областей (МЧО). При их решении применяется итерационный процесс.

В данном случае решается система двух трансцендентных уравнений. Первое из них составляется на основе дифференциального уравнения, описывающего продольную зависимость поля, с использованием описанной выше процедуры Галеркина. Второе получается из граничных условий на поверхности ДВ.

Записав условия неразрывности тангенциальных компонент поля на границе раздела двух диэлектрических сред, подставив в эти условия выражения для электрической и магнитной компонент поля и приравняв в полученных уравнениях коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем характеристические уравнения относительно а и %т, где волновым числом р, возникает неоднозначность решения дисперсионной задачи, то есть мы получаем множество характеристических уравнений относительно а и р при различных т. Полагая, что продольная периодичность внутренней области слабо влияет на характер продольной зависимости поля во внешней области, то есть в этой области доминирует нулевая пространственная гармоника, из всей системы указанных характеристических уравнений оставляем лишь одно - с т = О. Таким образом, получаем систему двух трансцендентных уравнений относительно поперечного для внутренней области волнового числа а и постоянной распространения у. Для ее решения используется итерационный процесс. На основе составленного алгоритма были получены численные результаты.

Анализ численных результатов показал, что у частотных зависимостей фазовых постоянных волн в нижней части частотного диапазона имеются горизонтальные участки. В области частот, соответствующей этим "полочкам", у постоянной затухания наблюдаются всплески. Качественный вид частотных зависимостей для фазовой постоянной и постоянной затухания для случая ограниченной среды не изменился по сравнению со случаем неограниченной среды. Сохранилось и месторасположение "полочек" на частотной оси.

Поскольку все %т связаны с продольным

Анализ дисперсионных зависимостей показал, что центральные точки * . горизонтальных участков дисперсионных характеристик различных волн несколько смещены друг относительно друга, отсюда можно утверждать, что для различных волн эффективные показатели преломления в принципе разные, (neff=nlp), но близкие по величине. Значение эффективного показателя • преломления приближенно можно определить как: n,eff = с/у , где с phase скорость света в окружающей среде, Vphase - фазовая скорость волны, направляемой волокном.

Критические частоты волн, распространяющихся в волоконном световоде с периодическим изменением показателя преломления вдоль оси распространения, близки к критическим частотам волн H0q обычного h регулярного) волокна, определяемым как: а)"^ = — 04 =, где h0 - q -й корень уравнения: JQ(a-a) = 0. Благодаря этому при нахождении критической частоты волны Я01, на первом шаге итерационного процесса берем hn =3.832, для волны Н02 - /г12 = 7.02, Я03 - hl3 =10.17, и так далее. Численные отличия значений критических частот, определяемые по формуле, справедливой для обычного (регулярного) волокна, объясняются периодичностью направляющей структуры.

Были получены частотные 'зависимости коэффициентов замедления основной т = 0 и высших т = ±1,±2 гармоник. Из этих зависимостей следует, что с ростом частоты коэффициент замедления всех гармоник асимптотически стремится к значению пп = . Таким образом, на высоких частотах распространение волн в волокне с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления происходит в целом по тем же канонам, что и в регулярном диэлектрическом волноводе. При этом, поскольку фазовые скорости гармоник с ростом их номера уменьшаются, коэффициенты замедления высших гармоник стремятся к асимптоте сверху.

На критической частоте коэффициент замедления основной (т-0) гармоники, соответствующей волне Н0ч, как и должно быть, равен единице.

Были рассчитаны частотные зависимости действительной части трех вышерассмотренных пространственных гармоник. Формула п, определят физический смысл эффективного показателя преломления. При расчетах использовалась первая из вышеприведенных формул. Результаты, получаемые при использовании и той, и другой формул, одинаковы. Из полученных дисперсионных зависимостей видно, что эффективный показатель преломления волокна для основной гармоники (w = 0) не зависит от частоты, для других гармоник имеет место явно выраженная частотная зависимость. Причем для гармоник с высокими номерами она во всем частотном диапазоне имеет аномальный характер.

Достоверность полученных результатов проверена сходимостью решений по волновым числам и по числу собственных функций, учитываемых в представлениях полей.

Предложенный метод расчета дисперсионных характеристик волн волокна с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления строго применим лишь для симметричных волн магнитного типа. Однако с помощью него можно установить общие физические закономерности распространения волн в периодически-нерегулярных волоконных световодах, которые характерны и для симметричных волн типа Е, и для гибридных волн.

В третьей главе диссертации: описываются постановка и решение краевой задачи для слабонаправляющего периодически-нерегулярного градиентного волокна с усеченным параболическим профилем. Дисперсионное уравнение составляется на основе процедуры Бубнова-Галеркина с phase представлением поля в направляющей структуре набором пространственных .• гармоник. Приводятся дисперсионные зависимости основной LP00 волны для различных типов волокон (со слабой, средней и сильной градиентностью). ф Показывается, что, когда волокно обладает слабой градиентностью, центры частотных интервалов всплеска затухания строго соответствуют условию Брэгга. С увеличением градиентности центры указанных интервалов смещаются в область более низких частот. Объясняется это следующим образом: согласно формуле Брэгга значения длины волны, соответствующие ^ максимальному отражению от периодической направляющей структуры, определяются [5] как где ncff- эффективный показатель преломления сердцевины волокна, т - номер гармоники. С увеличением ф градиентности эффективный показатель преломления возрастает, что приводит к увеличению длины волны, соответствующей максимальному отражению (затуханию в периодической направляющей структуре). Приводятся дисперсионные зависимости для LPlp волн при различных значениях / и q для волокна со слабой градиентностью.

Представляемые результаты демонстрируют хорошую сходимость решений: амплитуды гармоник с ростом их номера быстро и равномерно убывают. Это подтверждает корректность выбранного представления продольной зависимости поля и алгебраизации дисперсионной задачи. Ф В четвертой главе диссертации: описываются постановка и решение краевых задач для диэлектрических волноводов с импедансными поверхностями.

В главе рассматривается круглый открытый ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом, круглый ДВ со спирально проводящей поверхностью и круглый ДВ, покрытый резистивной пленкой.

Процедуры составления дисперсионных уравнений в рассматриваемых задачах однотипны и сводятся к следующим операциям. Уравнения Гельмгольца в общем случае решаются относительно продольных компонент ф обоих векторов Герца. По найденным значениям векторов Герца электрического и магнитного) для первой и второй областей находятся выражения для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Найденные значения векторов напряженностей электрического и магнитных полей подставляются в граничные условия. Запись граничных условий: - для круглого открытого ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом имеет вид: Я2, (г = а) = Hz2 (г = а); Н^ (г = а) = Н{г = а);

Ez2(r = a) = W(z)-Hy2(r = a); E<p2(r = d) = -W{z)-Hz2(r = a), где = импеданс внешней поверхности, е(z) = st + А • cos

2-я D )

- для круглого ДВ со спирально проводящей поверхностью: Ел[г = а) = Es2(r = а) = 0; Нл (r = a) = Hs2(r = а); Ел(г = а) = Ez2(r = а); Е^{г = а) = Е92(г = а), где Ея=Ег-$ту/ + Е9-со*у/\ Hs =Нг -smyz + H^ -cosy/, ' sin^ = —-—, с/ - шаг спирали, а - радиус ДВ; 2-я-а

- для круглого ДВ, покрытого резистивной пленкой (параметры пленки а и е таковы, что <j»s-co): Ezi(r = а) = Ez2(r = а); Е^(г = а) = Ev2(r = а);

Н„(г = а)-Нz2{r = а) = А-сг• Е^(г = а); Я„(г = а)-Н,г(г = а) = -А-ст■ Ел{г = а), где д -а — поверхностная проводимость резистивной пленки, приводит к системам линейных однородных алгебраических уравнений. ф

Приравнивая к нулю их главные определители, получаем дисперсионные уравнения волн, распространяющихся в рассматриваемых структурах.

На основе составленных алгоритмов были получены численные результаты в виде дисперсионных зависимостей волн, распространяющихся в рассматриваемых направляющих структурах.

Для ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом расчеты проводились в нулевом приближении. В связи с этим полученные, частотные зависимости соответствуют частотным зависимостям постоянных распространения нулевых гармоник волн. Из них следует, что постоянные распространения основных (т = 0) гармоник во всем частотном диапазоне .

It являются чисто действительными величинами (Д, 0у) = 0), распространение основных гармоник начинается с нулевых частот. Таким образом, основные гармоники не имеют критических частот. На низких частотах поле "прилипает". к импедансной поверхности, оказываясь слабо замедленным. При этом внешнее поле создается поверхностными магнитными токами, созданными скачком тангенциальных компонент электрического поля, имеющим место в предлагаемой математической модели. Из частотной зависимости коэффициентов замедления основных (т = 0) гармоник первых шести волн стремление к указанной величине происходит снизу. Из этого следует, что на высоких частотах в волокне с периодически изменяющимся на поверхности волокна показателем преломления имеет место диэлектрический эффект (как и в регулярном диэлектрическом волноводе), заключающийся во втягивании с ростом частоты поля в ДВ. Поперечные волновые числа II области для всех рассматриваемых волн имеют чисто мнимое значение во всем диапазоне частот. Этот факт подтверждает отсутствие критических частот у основных (т = 0) гармоник и говорит о том, что поле основных гармоник рассматриваемых волн имеет поверхностный характер.

Из дисперсионных зависимостей, полученных для круглого ДВ со спирально проводящей поверхностью, следует, что лишь одна волна не имеет критической частоты. Будем называть ее НЕ00. У всех остальных волн есть частоты, на которых постоянная распространения р' обращается в нуль. Таким образом, на низких частотах волны рассматриваемой структуры уподобляются волнам экранированного волновода, образуемого спиральной линией. Из анализа частотных зависимостей постоянных затухания первых шести (по порядку следования корней дисперсионного уравнения) волн," распространяющихся в круглом ДВ со спирально проводящей поверхностью, видно, что с ростом частоты коэффициенты замедления основных гармоник всех волн асимптотически стремится к значению щ = при этом следует, что на низких частотах все волны, за исключением первой, имеют всплеск затухания (/Г*0). Можно отметить, что с увеличением номера волны увеличивается и амплитуда этого всплеска. В области частот, где волны становятся затухающими, поперечные волновые числа становятся комплексными. Это говорит о том, что затухание связано с излучением. Коэффициент замедления волн с ростом частоты асимптотически стремится к значению , при этом стремление к указанной величине происходит снизу.

Из анализа частотных зависимостей поперечных волновых чисел для внешней области II направляющей структуры следует, что на частотах ниже критических частот поверхностных волн мнимые части поперечных волновых чисел всех волн (за исключением первой) в области II больше нуля (lm(ar2)>0). При достижении критической частоты \т(а2) = 0. При дальнейшем увеличении частоты Im(ar2) < 0, что соответствует поверхностным волнам, у которых поле экспоненциально убывает по радиальной координате при удалении от поверхности ДВ. Таким образом, поле волн на частотах ниже критической нарастает при удалении от ДВ. Это говорит о том, что на частотах ниже критических мы имеем дело с вытекающими волнами, при достижении критической частоты вытекающие волны переходят в поверхностные.

В случае ДВ покрытого резистивной пленкой, численно были исследованы волны £01 и ЕНи. Из частотных зависимостей видно, что при уменьшении частоты поверхностные волны переходят в быстрые волны.

Поведение решений дисперсионного уравнения для волны ЕНп имеет свои принципиальные особенности. Оставаясь в Ш-м квадранте, решения при уменьшении частоты переходят через линию /?' = £0 в область быстрых волн hase >с)■ При дальнейшем уменьшении частоты решения переходят в область II, где соответствуют вытекающим волнам. Частотная область у вытекающей волны ЕНп значительно шире, чем у волны £01. На низких частотах вытекающая волна ЕНи так же, как и £01, переходит в медленную волну.

Существование быстрых поверхностных волн объясняется влиянием резистивной пленки. В обычном диэлектрическом волноводе медленные . поверхностные волны ЕНХт непосредственно переходят в вытекающие. Численные исследования показывают, что при увеличении проводимости пленки частотные области существования вытекающих волн Е0т, ЕНЫ сужаются, минимальные значения относительной фазовой постоянной увеличиваются. Из частотных зависимостей видно, что у волны ЕНи затухание больше, чем у Е0]. Это объясняется тем, что распространение несимметричной ' волны сопровождается протеканием в пленке как продольных, так и азимутальных токов. При распространении симметричной волны в пленке протекают только продольные токи.

Показано, что нанесение на поверхность диэлектрических волноводов тонких резистивных слоев приводит к существенному изменению особенностей распространяющихся в ней волн, а в некоторых случаях и к изменению их • спектра.

Результаты проведенных исследований опубликованы в работах [42 - 56].

Заключение диссертации по теме «Антенны, СВЧ устройства и их технологии», Смирнов, Александр Александрович

4.5 Выводы

Перечислим основные результаты исследований, представленные в настоящей главе:

1. Предложена методика составления дисперсионных уравнений, описывающих распространение волн в круглом открытом ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом.

2. Разработан алгоритм расчета и произведены численные исследования дисперсионных зависимостей основных гармоник (т = 0) волн, распространяющихся в круглом открытом ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом.

3. Предложена методика составления дисперсионных уравнений, описывающих распространение волн в круглом ДВ со спирально проводящей поверхностью.

4. Разработан алгоритм расчета и произведены численные исследования дисперсионных зависимостей волн, распространяющихся в круглом ДВ со спирально проводящей поверхностью.

5. На основе полученных численных результатов показано, что при увеличении плотности намотки спирали происходит увеличение коэффициента замедления волн распространяющихся в направляющей структуре и смещение критических частот волн в область более высоких частот.

6. Разработан алгоритм расчета дисперсионных зависимостей волн распространяющихся в круглом ДВ, покрытом резистивной пленкой. Произведены численные исследования дисперсионных зависимостей волн £01 и ЕНХт, распространяющихся в данной направляющей структуре.

7. Показано существование в ДВ, покрытом резистивной пленкой, быстрых поверхностных волн и волн, медленных во всем частотном диапазоне, направляемых резистивной пленкой.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

It

Перечислим основные результаты диссертационной работы:

1. Предложен метод составления дисперсионных уравнений, Н - и Е — волн в неограниченных диэлектрических средах, показатель преломления которых периодически изменяется в направлении распространения волн.

2. Исследованы дисперсионные свойства волн, распространяющихся в средах с периодически изменяющимся показателем преломления. Показано, что на частотных характеристиках фазовых постоянных р' имеются горизонтальные участки, которым соответствует резкое (резонансное) возрастание постоянной затухания р". Предложена формула, определяющая положение горизонтальных участков частотных зависимостей фазовой постоянной и участков резкого возрастания затухания являющаяся модификацией известной формулы Брэгга.

3. На основе решения двумерной задачи выявлена общая закономерность для волн Н - и Е - типов - смещение горизонтальных участков дисперсионных характеристик и участков резкого возрастания затухания при увеличении параметра р = sin & (Э - угол между направлением распространения плоских волн, образующих Я - и Е - волны структуры, и осью z ) в область более высоких частот.

4. Предложена методика составления дисперсионных уравнений, описывающих распространение симметричных волн типа Н в круглом диэлектрическом волноводе (волоконном световоде), показатель преломления сердцевины которого периодически изменяется вдоль оси направляющей структуры. Разработан итерационный алгоритм их решения на основе которого рассчитаны дисперсионные зависимости для симметричных волн типа Н, волоконного световода, диэлектрическая проницаемость сердцевины которого изменяется по гармоническому закону.

5. Предложена модификация формулы Брэгга, определяющей расположение i; ч центров горизонтальных участков дисперсионных характеристик и максимумов затухания для ДВ с периодически изменяющейся вдоль оси z диэлектрической проницаемостью.

6. Произведена классификация симметричных волн типа Н, распространяющихся в периодически-неоднородной ограниченной цилиндрической поверхностью диэлектрической среде. Определены критические частоты этих волн. Показано, что они, сохраняя последовательность, несколько отличаются от критических частот соответствующих волн регулярного ДВ.

7. Показано, что в ДВ с периодически (по продольной координате) изменяющейся диэлектрической проницаемостью поверхностные волны на своих критических частотах переходят в вытекающие.

8. Предложена методика составления дисперсионных уравнений, описывающих распространение волн в слабонаправляющем градиентном волоконном световоде с периодически изменяющейся вдоль его оси диэлектрической проницаемостью. Разработан алгоритм решения дисперсионной задачи и произведены численные исследования дисперсионных зависимостей волн LP^ .

9. Показано, что в слабоградиентном волокне центры частотных интервалов всплеска затухания строго соответствуют условию Брэгга. С увеличением градиентности они (центры указанных интервалов) смещаются в область более низких частот. Дано физическое объяснение этому факту.

Ю.На основе анализа частотных зависимостей поперечных волновых чисел направляющей структуры, показано, что мнимые части поперечных волновых чисел волн градиентного периодически-нерегулярного волокна во всем частотном диапазоне имеют отрицательные значения, то есть волны имеют поверхностный характер.

11.Предложена методика составления дисперсионных уравнений волн круглого открытого ДВ с периодически изменяющимся поверхностным импедансом. Разработан алгоритм расчета дисперсионных характеристик, произведены численные исследования дисперсионных зависимостей основных гармоник ( т = 0).

12.Предложена методика составления дисперсионных уравнений волн . круглого ДВ со спирально проводящей поверхностью. Разработан алгоритм расчета дисперсионных характеристик, произведены численные исследования дисперсионных зависимостей симметричных гибридных волн. Показано, что на частотах ниже критических поверхностные волны, как и в обычном ДВ, переходят в вытекающие, поля которых нарастают при удалении от ДВ.

13.Разработан алгоритм расчета дисперсионных характеристик волн, круглого ДВ, покрытого резистивной пленкой. Произведены численные исследования дисперсионных зависимостей волн £01 и ЕНЫ, данной направляющей структуры. Показано существование в ДВ, покрытом резистивной пленкой, быстрых поверхностных волн и волн, медленных во всем частотном диапазоне, направляемых резистивной пленкой.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Смирнов, Александр Александрович, 2006 год

1. Унгер Х.-Г. Планарные и волоконные оптические волноводы. М.: Мир, 1980.-656 с.

2. Гауэр Дж. Оптические системы связи. М.: Радио и связь, 1989. - 500 с.

3. Убайдуллаев P.P. Волоконно-оптические сети. М.: Экотрендз, 2000. - 267 с.

4. Элион Г., Элион X. Волоконная оптика в системах связи. М.: Мир, 1981. -196 с.

5. Бараш JI. Оптическая сеть // Компьютерное обозрение www.itc-ua.com.2000.-№33.

6. Брэгговские волоконные решетки // Телеком транспорт www.tt.ru. 2002. -№7.

7. Даффи Джим Против затухания оптического сигнала // Сети www.ops.ru.2001.-№7.

8. Andre Girard and others. Guide to WDM technology & testing. Canada: Optical engineering, - 2000. - 194 p.

9. R. Kashyap Optical fiber technology. 1994. - V.l. -№17.

10. Williams D.I., Ainsli B.J., Kashyap R., Maxwell G.D., Armitage J.R., Campbell R.J., Wyatt R. Proc. SPIE 1993. - V.2044. - №55.ф 11. Neustruev V.B. // Physics condense matter. 1994. - V.6901. - №6.

11. Дианов E.M., Васильев С.А., Стародубцев Д.С., Фролов А.А., Медведков О.И. Запись решеток показателя преломления в германосиликатных световодах излучением ближнего УФ диапазона // Квантовая электроника. 1997. - Т.24. - №2. - С.160-162.

12. Crosignani В., Porto P.Di., Bertolott М. Statical properties of scattered light. -New York: Academic, 1975. - 120 p.

13. Brinkineyer E. Analysis of the backscattering method for single-mode optical fibers // Optical soc. amer. 1980. - V.70. - №8. - P. 1010-1012.

14. Basu A., Ballantyne J.M. Random fluctuations in first-order wave-guide grating filters // Appl. opt. 1979. - V. 18. - №15. - P.2575-2579.

15. Ricardo Fecced, Michalis N. Zervas Effects of random phase and amplitudeq errors in optical fibers Bragg gratings // Lightwave technology. 2000. - V.18.1. -P.90-101.

16. Devid Sandel, Reiynold Noe, G. Neys, B. Borcet Optical network analysis and longitudinal structure characterization of fiber Bragg grating // Lightwave technology. 1998. - V.16 - №12. - P.2435-2442.

17. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 2000. - 575 с.

18. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ: Учебник для вузов по специальности "Электронные приборы и устройства". М.: Высшая• школа, 1990. 335 с.

19. Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980.-408 с.

20. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1980.-270 с.

21. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустрель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М., 1978. - 260 с.

22. Тимошенко С.П., Янг Д.Х., Уивер У. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967.-444 с.

23. Ф 24. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука,1987.-304с.

24. Гуляев В.И., Баженов В.А., Гоцуляк Е.А. Устойчивость нелинейных механических систем. Львов: Выща школа Издательство при Львовском университете, 1982. - 254 с.

25. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. -440 с.Ч

26. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М.: Наука, 1967. - 460 с.

27. Никольский В.В. К обоснованию метода Трефтца для задач дифракции // Труды МИРЭА. 1974. - Вып.70. - С.3-35.

28. Никольский В.В. Проекционные методы в электродинамике (экранированные и открытые системы) // Сб. научно методических статей по прикладной электродинамике. 1976. - Вып.1 - С.4-50.

29. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Т.П. Современные методы проектирования линий передачи и резисторов сверх и крайне высоких частот. М.: Педагогика - Пресс, 1988. - 328 с.

30. Никольский В.В., Никольская Т.Н. Электродинамика распространения радиоволн. М.: Наука, 1989. - 544 с.

31. Позняк JI.T. Метод частичных областей в задачах о собственных дифференциальных операторов. Л.: Изд-во СПбГУ, 1993. - 138 с.

32. Когтев А.С., Раевский С.Б. Дифракция на отрезке слоистого волновода в диапазоне комплексных волн // Известия вузов. Радиофизика. 1994. -Т.37, - №4. - С.458-469.

33. Майстренко В.К., Радионов А.А., Раевский С.Б. О применении метода частичных областей для расчета волноводов со сложным поперечным сечением // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1994. - №4. - С.66-70.

34. Раевский С.Б., Сморгонский В.Я. Дисперсионные уравнения гофрированного эллиптического волновода // Радиотехника и электроника. 1972. Т. 17, №6. - С.1297-1300.

35. Радионов А.А., Раевский С.Б. Расчет дисперсионных характеристик и коэффициентов затухания прямоугольных гофрированных волноводов. Депонированная рукопись. // Известия вузов. Радиофизика. 1977. - Т.20, №5. -С.801-804.

36. Илларионов Ю.А., Раевский С.Б., Сморгонский В.Я. Расчет гофрированных и частично заполненных волноводов. М.: Советское радио, 1980.-200 с.

37. Горячев Ю.А., Калмык В.А., Раевский С.Б. Особенности распространения симметричных Е волн в круглом двухслойном экранированном волноводе с резистивной пленкой // Изв. Вузов СССР - Радиоэлектроника. - 1979, - Т.22, -№9, - С.29-32.

38. Калмык В.А., Маркова С.А., Раевский С.Б. Симметричная Е волна в двухслойном круглом волноводе с резистивной пленкой между слоями. // Радиотехника и электроника. - 1975, - Т.20, - №7, - С. 1496-1498.

39. Раевский С.Б., Балабанова Т.Н. Двухслойные цилиндрические волноводы с резистивными пленками // Изв. Вузов СССР Радиофизика. - 1982, -Т.25, -№1, — С.99-103.

40. Веселов Г.И., Раевский С.Б. Слоистые метало-диэлектрические волноводы. М.: Радио и связь, 1988. - 247 с.

41. Раевский С.Б, Смирнов А.А. Приближенный метод расчета дисперсии волн в волокне с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления // Антенны. 2004. - Т.80. - №1. - С.31-35.

42. Раевский С.Б., Смирнов А.А., Шишков Г.И. О расчете периодически-ц нерегулярных направляющих структур оптического диапазона. // III

43. Раевский С.Б., Смирнов А.А., Шишков Г.И. Распространение электромагнитных волн в периодически-неоднородных средах // Антенны. 2005. - Т.96. - №5. - С.64-72.

44. Раевский С.Б., Смирнов А.А. Круглый градиентный световод с периодически изменяющимся вдоль оси показателем преломления // Антенны. 2006. - №5.

45. Раевский С.Б., Смирнов А.А., Шишков Г.И. Е и Н - волны в периодически-неоднородных средах // Антенны. - 2006. - №5.

46. Рудоясова Л.Г., Смирнов А.А. Диэлектрический волновод, покрытый тонкой резистивной пленкой // Антенны. 2006. №5.

47. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.-525 с.

48. Раевский А.С., Раевский С.Б. Неоднородные направляющие структуры, описываемые несамосопряженными операторами. М.: Радиотехника, 2004.-110 с.

49. Виноградова Н.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979.-384 с.

50. Кузнецов Д.С. Специальные функции. М.: Высшая школа, 1965. - 423 с.

51. Справочник по специальным функциям / Под редакцией М. Абрамовича, И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 830 с.

52. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. М.: Наука, 1967. - 304 с.

53. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1971. 1008 с.

54. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. -М.: Наука, 1983. 750 с.

55. Морс Ф.М. Фешебах Г. Методы теоретической физики, Т.1. М.: Издательство иностранной литературы, 1958. - 930 с.

56. Э. Маделунг Математический аппарат физики. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. - 618 с.

57. Силин Р.А., Сазонов В.П. Замедляющие системы. М.: Советское радио, 1966.-632 с.

58. Раевский А.С., Раевский С.Б. Неоднородные направляющие структуры, описываемые несамосопряженными операторами. М.: Радиотехника, 2004.- 110 с.

59. Калашников С.Г. Электричество. Учебное пособие М.: Физматлит, 2003,-624 с.

60. Калашников B.C., Прусов А.В. Техническая электродинамика. Направляющие системы и направляемые волны. Учебное пособие. СПб.: СПбГУАП., 2001.-48 с.

61. Федоров Н.Н. Основы электродинамики. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1980. 399 с.

62. Глаголевский В.Г. Электродинамика. Электричество и волны. СПб.: СПбГУАП, 1995. - 80 с.

63. Никольский В.В, Никольская Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. -М.: Наука, 1983.-280 с.

64. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. -440 с.

65. Гершензон Е.М. Электродинамика: Учебное пособие для студентов. М.: Academia, 2002. - 349 с.

66. Петров Б.М. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Горячая линия, 2005. - 382 с.

67. Детлаф А.А. Курс физики: учебное пособие. М.: ИЦ "Академия", 2005. ф - 720 с.

68. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики: Колебания и волны. Квантовая физика. Физика ядра и элементарных частиц. М.: Физматлит, 2003.-552 с.

69. Детлаф А.А., Лебедев А.К., Яворский Б.М. Справочник по физике для студентов вузов и инженеров, М.: ТД Оникс, 2003. - 1056 с.

70. Савельев И.В. Основы теоретической физики: Учебник. СПб: Лань, 2005.-496, 432 с.

71. Топтыгин И.Н. Современная электродинамика. Теория электромагнитныхявлений в веществе. М.:РХД, 2005. - 848 с.

72. Ерохин Г.А., Чернышев О.В., Козырев Н.Д., Кочержевский В.Г. Антенно-фидерные устройства и распространение радиоволн Учебник для вузов. -М.: Гор. линия Телеком, 2004. - 490 с.

73. Бобровников Л.З. Электроника. Учебник для вузов. Спб.: Питер, 2004. -^ 560 с.

74. Альперт Я.Л., Гинзбург В.Л., Фейнберг Е.Л. Распространение радиоволн. -М. Гос.изд.тех.литературы, 1953. 884 с.

75. Черенкова Е.Л., Чернышев О.В. Распространение радиоволн. М.: Радиои связь, 1984.-740 с.

76. Сивухин Д.В. Общий курс физики. T.III Электричество. М.: Физматлит, 2005. - 656 с.

77. Фейман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 7. -М.: Мир, 1966.-290 с.

78. Раевский С.Б. Комплексные волны в двухслойном круглом экранированном волноводе. // Изв. вузов СССР. Сер. Радиофизика, Т. 15, -№ 1, 1972, С. 112-116.ч

79. Раевский А.С., Раевский С.Б. О комплексных волнах круглого диэлектрического волновода в поглощающей среде. // Радиотехника и электроника, 1998, Т. 43,-№12, С. 1409-1412.