Экспериментальное исследование механизмов неустойчивостей фронта кристаллизации при дендритном росте льда в переохлажденной воде тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Леонов, Андрей Алексеевич

• Леонов, Андрей Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Леонов, Андрей Алексеевич

Нпсдспмс.

Глава 1. Литературным обзор.

1.1. Модифицированная проблема Стефана.

1.2. Решение Иванцова.

1.3. Константа стабильности.

1.4. «Универсальный закон» дендритного роста.

1.5. Теория разрешимости.

1.6. Образование боковых ветвей дендрита.

1.6.1. Механизм селективного усиления теплового шума.

1.6.2. Динамические осцилляции вершины дендрита и образование боковых ветвей.

1.7. Экспериментальное тестирование теорий дендритного роста.

1.8. Постановка задачи исследования.

Глава 2. Методические вопросы исследования.

2.1. Объект исследования.

2.2. Экспериментальная методика.

2.3. Методы фрактального анализа изображений и временных рядов.

2.4. Методы динамического и спектрального анализа.

2.5. Выводы.

Глава 3. Экспериментальное исследование влшпшн поверхностной кппстпкп па дендрптнын рост льда и переохлажденной воде.

3.1. Состояние проблемы.

3.2. Температурная зависимость положения первой боковой ветви дендрита льда.

3.3. Фрактальный анализ контуров дендритов льда.

3.4. Анизотропия кинетического эффекта.

3.5. Выводы.

Глава 4. Экспериментальное исследование нестационарного роста вершины изотермического дендрита льда.

4.1. Состояние проблемы.

4.2. Двухстадийный рост дендрита.

4.3. связь нестационарного роста вершины дендрита с динамикой боковых ветвей.

4.3.1. Кинетические кривые роста в лабораторной системе отсчета.

4.3.2. Флуктуации направленного роста дендрита льда.

4.3.3. Стационарные решения дендритной проблемы.

4.3.4. Осцилляции вершины в системе отсчета Иванцова.

4.4. Обсуждение результатов. Природа флуктуации скорости роста дендрита.

4.4.1. Флукту ации числа Пекле и «константы стабильности».

4.4.2. Флуктуация движущей силы фазового перехода.

4.4.3. Роль анизотропных свойств межфазной границы в эмиссии боковых ветвей.

4.5. Выводы.

Глава 5. Исследование дендритного роста льда методами динамического и спектрального анализа.

5.1. Выбор обобщенных координат и фазовых пространств.

5.2. Исследование хаотической динамики вершин депдритов льда.

5.2.1. Фазовые портреты депдритов.

5.2.2. Спектральный анализ хаотических осцилляции вершины дендрита.

5.3. Обсуждение результатов.

5.3.1. Сравнение с осцилляторной моделью образования боковых ветвей дендрита.

5.3.2. Характеристики фазовых портретов.

5.3.3. Хаос и нелинейность.

5.3.4. Статистическая функция распределения. Открытые вопросы.

5.4. Пространственно - временной хаос при дендритном росте льда.

5.4.1. Спектры осцилляции вершины дендрита и первых боковых ветвей.

5.4.2. Пространственно-временная фрактальность дендрита.

5.4.3. Влияние роста боковых ветвей на динамику вершины дендрита.

5.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальное исследование механизмов неустойчивостей фронта кристаллизации при дендритном росте льда в переохлажденной воде»

Актуальность темы. Дендритная форма кристалла является наиболее общей формой затвердевания, наблюдаемой в природе. Изучение физики дендритного роста актуально для I прикладных и фундаментальных исследований. Первое определяется се важностью для металлургии, так как процесс образования боковых ветвей и корсенинг определяет в итоге масштабную шкалу микросегрегации примеси в слитке, а также многие биографические и физические свойства поликристаллических металлов и сплавов, зависящие от размеров зерна и состояния границ зерен (предел текучести, предел прочности, ударная вязкость, хрупкость, предельная деформация, склонность к сверхпластичности, проводимость, магнитная восприимчивость и т.д.). Второе определятся тем, что дендритная кристаллизация является типичным примером формирования пространственно неоднородных диссипативиых структур в первоначально однородной неравновесной нелинейной среде, в которой макроскопическая динамика определяется диффузионным нолем. В математическом аспекте проблема дендритной кристаллизации сводится к решению уравнения диффузии с граничными условиями на движущейся межфазной границе (проблема свободной границы) [1-3]. Подобные задачи возникают при анализе неустойчивостей фронтов химической реакции в пористой среде, диффузионного горения, диффузионной агрегации частиц, популяции бактерий и т.д. Поэтому дендритная кристаллизация имеет множество аналогов в природе и ее исследование важно не только для кристаллофизики, но и для минералогии, химической физики, геологии, биологии и даже медицины, где дендритные формы некоторых кристаллов используются для диагностики заболеваний.

Наиболее сложным и нерешенным в настоящее время вопросом дендритообразования является процесс образования боковых ветвей. В литературе рассматривается два основных механизма этого процесса применительно для роста кристаллов из однокомпонентных расплавов: механизм селективного усиления шума, приложенного к вершине дендрита [4,5], и осцилляторный механизм, в котором первые боковые ветви образуются вследствие колебаний вершины дендрита [2]. Первый из них экспериментально верифицирован на ряде модельных материалов (ксенон [6], NILjBr [7]), а второй подтвержден в единственной работе на основе анализа обнаруженных топких осцилляции вершины дендритов пивалиновой кислоты в условиях микрогравитации [8]. В этой работе высказано предположение, что нестационарное поведение вершины дендрита является фундаментальным свойством дендритного роста и его исследование представляет современную нерешенную составляющую проблемы свободной границы.

Цель настоящем диссертационной работы состояла в экспериментальном исследовании механизмов образования боковых ветвей дендритов льда, растущих в переохлажденной воде. Система лед-вода выбрана в качестве объекта исследования, во-первых, как удобная однокомионентная модельная система, так как она прозрачна, имеет низкую температуру равновесия и легко достижимую область переохлаждений AT от 0.4 до 4°С, в которой реализуются собственно депдритиые формы кристаллов льда, а во-вторых, система лед вода интересна сама но себе и играет очень важную роль в природе и практической деятельности человека.

В соответствии с поставленной целыо были сформулированы следующие задами исследовании:

- создать экспериментальные условия для in situ исследования с высоким пространственным и временным разрешением кинетики и морфологии роста изотермических дендритов льда в переохлажденной чистой воде;

- выявить область переохлаждений воды, соответствующих преимущественно диффузионному росту льда, для сопоставления результатов исследования с предсказаниями теорий дендритообразования, так как последние основаны на предположении, что основным каналом теплоотвода является диффузия тепла от фазовой границы в твердую и жидкую фазы;

- экспериментально верифицировать предсказания теорий образования боковых ветвей, основанных на механизме селективного усиления шума, приложенного к вершине дендрита в отношении, главным образом, температурных зависимостей положения первой боковой ветви, отсчитанного от вершины дендрита, и фрактальной размерности контура всего дендрита;

- исследовать влияние поверхностной кинетики па особенности морфологии дендритов льда, растущих в переохлажденной воде;

- экспериментально исследовать проблему нестационарного роста вершины дендрита в контексте верификации осцилляторного механизма образования боковых ветвей;

- проанализировать полученные экспериментальные результаты и сделать заключение о физической природе образования боковых ветвей и охарактеризовать роль динамики вершины кристалла в процессе ветвления дендритов льда.

Научная новизна полученных результатов состоит в том, что впервые:

- детально исследован эволюционный морфологический переход «депдрит-огранпая игла» в области переохлаждений от 2 до 4°С и установлено существенное влияние анизотропной поверхностной кинетики на дендритообразование в этой области переохлаждения;

- обнаружена нестационарная кинетика вершины изотермического дендрита, выраженная в наличии двух стадий его эволюции: начальной неустановившейся стадии с постепенным увеличением скорости вершины и последующей квазистационарной стадии, характеризуемой хаотической динамикой вершины, постоянством средней ее скорости и фрактальной размерности контура всего дендрита;

- установлено, что флуктуации направления роста вершины дендрита и корсснинг ответственны за формирование основных особенностей трехмерной структуры дендритов льда - продолговатых утонений, составляющих угол 40-60° к оси дендрита.

Научная ценность н практическая значимость работы. Научная ценность работы заключается в том, что вопреки распространенной точке зрения о стационарном состоянии вершины изотермического дендрита впервые экспериментально обнаруженная хаотическая динамика вершины дендрита, растущего в однокомпонептном расплаве в условиях земной гравитации, является, во-первых, фундаментальным свойством дендритообразования, ответственным за формирование разветвленной фрактальной формы кристалла, а во-вторых, еще одним примером самозарождающегося пространственно-временного динамического хаоса. Практическая значимость работы определяется возможностью использования ее результатов для разработки технологии создания новых структур, а также прогнозирования поведения материалов в сильно неравновесных условиях.

На защиту' выносятся следующие основные положения:

1. Экспериментально исследованный в области переохлаждений от 2 до 4°С эволюционный морфологический переход между дендритной формой кристалла л е. да и формой в виде огранной иглы, который обусловлен, как показано, прогрессирующим влиянием анизотропной поверхностной кинетики па рост льда в переохлажденной воде.

2. Установленный механизм формирования разветвленной дендритной структуры, основанный на экспериментально выявленной корреляции между нерегулярными осцилляциями направления и модуля скорости вершит,i дендрита и динамикой первого поколения боковых ветвей.

3. Установленная хаотическая природа дендритов льда с развитыми боковыми ветвями, выраженная в стохастическом характере фазовых портретов временных зависимостей ускорения вершины дендрита, и выявленная область переохлаждения воды, в которой фазовый портрет дендрита приобретает свойства странного аттрактора, что, как предполагается, обусловлено влиянием поверхностной кинетики на хаотическую динамику вершины дендритов льда.

4. Установленные механизмы формирования особенностей трехмерной структуры дендритов льда, выраженных в наличии продолговатых утонении кристалла, которые связаны с флуктуациями формы вершины дендрита и корсенингом - поглощением отдельных боковых ветвей соседними.

Апробации работы. Полученные результаты были представлены па следующих конференциях и семинарах:

Тринадцатая международная конференция по росту кристаллов ICCG-13 (Киото, Япония, 2001 г.); Всероссийская научная конференция «Дефекты структуры и прочность кристаллов» (Черноголовка, 2002 г.); X национальная конференция по росту кристаллов НКРК-2002 (Москва, 2002 г.); IV международная конференция «Рост монокристаллов и тепломассоперепос» ICSC-2003 (Обнинск, 2003 г.); III международная конференция «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» на базе XLI международного семинара «Актуальные проблемы прочности» (Тамбов, 2003 г.); Вторая международная конференция по физике кристаллов «Кристаллофизика 21-го века» посвященная памяти М.П. Шаскольской (Москва, 2003 г.); Международный междисциплинарный симпозиум «Фракталы и прикладная синергетика» ФиПС-2003 (Москва, 2003 г.); Всероссийская конференция «Дефекты структуры и прочность кристаллов», посвященная памяти академика Г.В. Курдюмова (Москва, 2004 г.); V Международная конференция «Нелинейные процессы и проблемы самоорганизации в современном материаловедении» (Воронеж, 2004 г.); II Всероссийская конференция «Физико-химические процессы в конденсированном состоянии и на межфазных границах» («ФАГРАН-2004») (Воронеж, 2004 г.).

Структура п объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка цитированной литературы, содержащего 183 наименования, и приложения. Полный обьем составляет 148 страниц машинописного текста, в том числе 44 иллюстрации и приложение.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Леонов, Андрей Алексеевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена экспериментальному изучению дендритного роста льда в переохлажденной воде в контексте сравнения с предсказаниями различных теорий дендритообразовапия. В теоретическом плане дендритный рост кристалла из расплава сводится к проблеме свободной границы - решению уравнения диффузии с граничными условиями на движущейся межфазной границе кристалл — расплав или кристалл — раствор. В одномерном случае решение этой задачи (задачи Стефана) хорошо известны из курса математической физики: вследствие выделения скрытой теплоты кристаллизации скорость фазового перехода асимптотически стремится к нулю как и-Г1'2 [147,148]. В 1947 году Г.П. Иванцов получил стационарное решение для растущего кристалла в двух и трехмерном случае в виде параболы и параболоида соответственно, вершина которого растет с постоянной скоростью и радиусом кривизны, а их произведение определяется только исходным переохлаждением расплава. Решения Иванцова были успешно верифицированы во многих экспериментальных, аналитических и численных исследованиях и считаются фундаментальными решениями проблемы свободной границы.

В последнее время, сначала на основе численных расчетов, а затем экспериментально было обнаружено, что вершина дендрита совершает тонкие колебательные движения, в спектре которых содержатся характерные частоты образования первых боковых ветвей. В [8] было высказано предположение, что осцилляции вершины дендрита являются фундаментальным свойством дендритного роста, непосредственно связанным с динамикой образования боковых ветвей дендрита.

Экспериментальные данные, полученные в диссертационной работе, подтверждают ключевую роль осцилляции вершины в формировании разветвленной фрактальной структуры дендритов льда, растущих в бидистиллированной воде. Кроме того, впервые обнаружено, что осциллирует не только скорость и кривизна вершины изотермического дендрита, а также функционалы этих величин, например, число Пекле и «константа стабильности», но флуктуирует также направление роста вершины, что как предполагается, и является первопричиной осцилляций скорости вследствие анизотропии поверхностных (прежде всего кинетических) свойств межфазной границы лед-вода.

В настоящее время широкое распространение получили методы теорий нелинейных динамических систем в связи с разнообразием таких систем в различных областях естествознания. Дендритный рост, как известно, является типичным примером морфогенеза неравновесной нелинейной системы. Методы спектрального, фрактального и динамического анализа только начинают использоваться для изучения дендритного роста, правда, пока только, в упрощенных численных расчетах, предсказывающих простые регулярные осцилляции вершины, синхронизированные с динамикой первого поколения боковых ветвей. В представленной диссертационной работе впервые предпринята попытка исследования обнаруженных хаотических колебаний вершины дендрита льда и их связи с формированием его разветвленной фрактальной структуры с использованием методов динамического анализа.

Наиболее важен здесь вопрос о физической природе хаотического поведения вершины дендрита с развитыми боковыми ветвями: является ли оно истинным хаосом, т.е. результатом действия па систему случайной внешней силы, или хаотические осцилляции самозарождаются в результате развития неустойчивостей в динамической системе, на которую не действуют случайные силы. В диссертационной работе установлено, что механизм образования дендритных ветвей, основанный на селективном усилении теплового шума, непрерывно действующего на вершину, не согласуется с особенностями дендритного роста льда в переохлажденной воде, а основным механизмом ветвления являются сложные нерегулярные осцилляции вершины, которые спонтанно возникают в ходе роста изотермического кристалла льда. Таким образом, в работе показано, что рост дендрита льда в переохлажденной воде представляет собой еще один пример морфогенеза диссипативной системы, демонстрирующей детерминированный хаос. Это позволяет использовать для характерпзации дендритного роста топологические свойства фазовых портретов временных рядов, связанных с динамикой его вершины (временную зависимость скорости или ускорения вершины). Обнаружено, в частности, интересное явление, состоящее в существенной перестройке фазового портрета дендрита в результате прогрессирующего с ростом переохлаждения влияния поверхностной кинетики на рост льда в переохлажденной воде. Кроме того, эмпирически установленное в работе постоянство во времени значений пространственной и временной фрактальной размерности изотермического дендрита позволяет рассматривать эти интегральные характеристики в качестве инвариантов свободного дендритного роста и использовать их для параметризации дендритов, растущих при различных переохлаждениях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Леонов, Андрей Алексеевич, 2004 год

1. Ивапцов Г.П. Температурное поле вокруг шарообразного, цилиндрического и иглообразного кристалла, pacxyuiero в переохлажденном расплаве // Доклады АН СССР. 1947. Т. 58. №4. 567-569.

2. Kessler D.A., Koplik J., Levine A. Pattern selection in fingered growth phenomena // Adv. Phys. 1988. V.37. №.3. P.255-339.

3. Langer J.S., Miiller-Krumbhaar H. Theory of dendritic growth//Acta Metallurgica. 1978. V.26. P.1681-1687.

4. Langer J.S. Dendritic sidebranching in the three-dimensional symmetric model in presence of noise // Phys. Rev. A. 1987. V. 36. P. 3350-3358.

5. Brener E., Temkin D. Noise-induced sidebranching in the three-dimensional nonaxisymmetric dendritic growth// Phys. Rev. E. 1995. V. 51. P. 351-359.

6. Bisang U., Bilgram J.H. Shape of the tip and the formation of sidebranches of xenon dendrites // Phys. Rev. 1996. V.54. №.5. P.5309-5326.

7. Dougherty A., Kaplan P.D., Gollub J.P. Development of side branching in cr>'stal growth // Phys. Rev.Lctt. 1987. V.58. К2Л6. P.1652-1655.

8. LaCombe J.C., Coss M.B., Frci J.E., Giummarra G., Lupulesku A.O., and Glicksman M.E. Evidence for tip velocity oscillations in dendritic solidification // Phys.Rev. E. 2002. V. 65. №3. P.031604.

9. Huang S.C., Glicksman M.E. Fundamentals of dendritic solidification - I // Acta metallurgica. 1981.V.29. P.701-715.

10. Huang S.C., Glicksman M.E. Fundamentals of dendritic solidification - II // Acta metallurgica. 1981. V.29.P.717-734.

11. Lindenmeyer C.S., Orrok G.T., Jackson K.A., Chalmers B. Rate of growth of ice cr>'Stals in supercooled water//J. Chem. Phys. 1957. V.27. P.822.

12. Hallet J. Experimental studies of the crystallization of supercooled water// J. Atmos. Sci. 1964. V.21.P.671-682.

13. Pruppacher H.R. On the growth of ice crystals in supercooled water and aqueous solution drops // Pure Appl. Geophys. 1967. V. 68. P. 186-195.

14. Macklin W.C., Ryan B.F. Growth velocities of ice in supercooled water and aqueous sucrose solutions// Phil. Mag. 1968. V.17. P.83-87.

15. Kallungal J.P, Barduhn A. Growth rate of an ice crystal in subcooled pure water // AlChE Journal. 1977. V.23.№.3. P.294-303.

16. Langer J.C, Sekerka R.F., Fujioka T. Evidence for a universal law of dendritic growth rates // J. Cr>-st. Growth. 1978. V.44. P.414-418.

17. Ohsaka K., Trinh E.H. Apparatus for measuring the growth velocity of dendritic ice in undercooled water//J. Cr>-st. Growth. 1998. V.194. P.138-142.

18. Dougherty Л., Gollub J.P. Steady-state dendritic growth of NIl4Br from solution // Phys. Rev. Л. 1988. V. 38. № 6. P. 3043-3053.

19. Nagashima K., Furukawa Y. Nonequilibrium effect of anisotropic interface kinetic on the directional growth of ice cr>'stal // J. Cr>-st. Growth. 1997. V.171. P.577-585.

20. Rubinstein E.R., Glicksman M.E. Dendritic growth kinetics and structure. I. Pivalic acid // J. Cr>'stal Growth. 1991. V. 112. P. 84-96.

21. Rubinstein E.R., Glicksman M.E. Dendritic growth kinetics and structure. II. Camphene // J. Cr>'stal Growth. 1991. V. 112. P. 97-110.

22. Pomeau Y., Ben Amar M. / Solid far from Equilibrium. Cambridge University Press. Cambridge. 1992. P. 365.

23. Иванцов Г.П. Тепловые н диффузионные процессы при росте кристаллов // Рост кристаллов. Т. 1. М.: АН СССР. 1957. 98-109.

24. Langer J.S. Dendrites, viscous fingers, and the theory of pattern formation // Science. 1989. V.243.N.3. P.1150-1155.

25. Langcr J.S., MuUer-Krumbhaar II. Theor>' of dendritic growth -II. Instabilities in the limit of vanishing surface tension // Acta Metallurgica. 1978. V. 26. P. 1689-1695.

26. Langer J.S., Muller-Krumbhaar II. Theor>' of dendritic growth -III. Effect of surface tension // Acta Metallurgica. 1978. V. 26. P. 1697-1708.

27. Misbah C, Muller-Kurmbhaar II. Dynamique d'une frontiere librc: un siege fascinant de morphogenesc//Ann. Phys. Fr. 1994. V. 19. P. 601-643.

28. Laxmanan V. Dendritic solidification. I. Analysis of current theories and models // Acta metall. 1985.V.33.№6. P.1023-1035.

29. Aziz M.J., Boettinger W.J, On the transition from short-range diffusion-limited to collision- limited growth in allow solidification // Acta Metall. Mater. 1994. V.42. №.2. P.527-537.

30. Те.мкии Д.Е. Кинетические условия на фронте кристаллизации с уметом сегрегации примеси // Кристаллография. 1987, Т.32. №.6. 1331-1335.

31. Владимиров В.В., Габович М.Д., Солощенко И.А., Хомич В.А., Циолко В.В. Примесный механизм возб}"ждепия коротковолновых периодических структур на поверхности затвердевающего расплава//ЖЭТФ. 1991. Т.ЮО. №3(9). 841-848.

32. Zuo R., Guo Z. Two-dimensional analysis on solute segregation in crystal growth from melt // Journal of Cr>stal Growth. 1996. V. 158. P. 377-384.

33. Битов В.М., Максимов Л.М. К задаче о замерзании раствора соли // Инж.-физ. ж'>рнал. 1986. №5, 817-821.

34. Kresin М., КбгЬег Ch. Interference of additives on cr>'stallization kinetics. Comparison between theor>' and measurements in aqueous solutions // J. Chem. Phys. 1991. V. 95. № L P . 5249-5255.

35. Karma Л., Langer J.S. Impurity effects in dendritic solidification // Phys. Rev. Л. 1984. V. 30. №6. P. 3147-3155.

36. Sei Т., Gonda Т., Arima Y. Grovvih rate and moфhology of ice cr>stals growing in a solution of trehalose and water//J. Cr>'st. Grovvih. 2002. V. 240. P. 218-229.

37. Papapetrou A. Unterzuchungen iiber dendritischcs Wachstum von Kristallen. // Zs. Kristallogr. 1935. V. 95. №1/2. P. 89-130.

38. Ben-Jacob E., Garik P. The formation of patterns in non-equilibrium grovvih // Nature. 1990. V. 343. № 8. P. 523-530.

39. Те.мкин Д.Е. 0 скорости роста кристаллической иглы в переохлажденно.м расплаве // Доклады АН СССР. 1960. Т. 132. № 6. 1307-1310.

40. Те.мкин Д.Е. О молекулярной шероховатости границы кристалл-расплав // Механиз.м и кинетика кристаллизации. Минск. Наука и техника. 1964. 86-97.

41. Темкин Д.Е. Кинетический фазовый переход при фазово.м превращении в бинарном сплаве // Кристаллография. 1970. Т. 15. Л'^ 5. 884-893.

42. Те.мкин Д.Е. Устойчивость плоского фронта при фазовом превращении в одноко.мпонеитпой системе // Кристаллография. 1976. Т. 21. № 4. 661-669.

43. Brcner Е.А., Mel'nikov V.I. Pattern selection in two-dimensional dendritic grovvih. // Adv. Phys. 1991. V.40. №.1. P.53-97.

44. Miiller-Krumbhaar H., Zimmer M., Ihle Т., Saito Y. Moфhology and selection process in diffusion-controlled grovvih patterns // Physica A. 1996. V. 224. P. 322-337.

45. Бренер E.A., Есипов Э., Мелышков В.И. Спектр скоростей роста изолированного дендрита// Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 45. К- 12. 595-597.

46. Бренер Е.Л., Гейликмап М.Б., Те.мкин Д.Е. Рост иглообразного дендрита в канале // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 5. 241-255.

47. Бренер Е.А., Есипов Э., Мельников В.И. Отбор скорости и направления роста изолированного дендрита // ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 3. 236-244.

48. Бренер Е.А., Иорданский СВ., Мельников В.И. Устойчивость роста иглообразного дендрита//ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 12. 320-329.

49. Бренер Е.А. Влияние кинетических эффектов па рост дву.мерного дендрита // ЖЭТФ. 1989. Т. 96. К-1(7). 237-245.

50. Ben Лтаг IvI., Brener E. Theor>' of pattern selection in three-dimensional nonaxisjTnmetric dendritic growth//Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 589-592.

51. Brener E. Needle cr>'stal solution in three-dimensional dendrite growth // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71.№22. P. 3653-3656.

52. Bisang U., Bilgram J.H. Shape of the tip and the formation of sidebranches of xenon dendrites // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. № 21. P. 3898-3901.

53. Mullins W.W., Sekerka R.S. Moфhological stability of a particle growing by diffusion or heat flow//J. Appl. Phys. 1963. V.34. №.2. P.323-329.

54. Матлинз В., Секерка P. Морфологическая устойчивость частицы, растущей за счет диффузии или теплоотвода // Проблемы роста кристаплов. М. Мир. 1968. 89-105.

55. Матлипз В., Секерка Р. Устойчивость плоской поверхности раздела фаз при кристатлизации разбавленного бинарного сплава // Проблемы роста крнстатлов. М. Мир. 1968. 106-126.

56. Sekerka R.F. Moфhological stability//J. Cr>-st. Growth. 1968. V. 3. № 4. P. 71-81.

57. Sekerka R.F. Moфhological stability // Crystal Growth. Amsterdam, London: North-Holland Pub!. Co. N.Y.: American Elsevier Publ. Co. Inc., 1973. P. 403-443.

58. Saffman P.G., Taylor G.L The penetration of a fluid into a medium or Hele-Shaw Cell containing a more viscous liquid // Proc. Roy. Soc. Lond. 1958. V.245. №.2. P.312-329.

59. Chuoke R.L., Meurs P., Poel С The instability of slow, immiscible, viscous liquid-liquid displacements in permeable media // Trans. Metall. Soc. of AIME. 1959. P. 188-194.

60. Chen J.D., Wilkinson D. Pore-scale viscous fingering in porous media // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55.P. 1892-1895.

61. Maloy K.J., Fcder J., Jossang T. Viscous fingering fractals in porous media // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. P. 2688-2691.

62. Maloy K.J., Feder J., Jossang T. Radial fingering in a Hele-Shaw sell // Report Scries, Cooperative Phenomena Project. Department of Physics. University of Oslo. 1985. K2.9. PAIS.

63. Homsy G.M. Viscous fingering in porous media // Ann. Rev. Fluid Mech. 1987. V.19. P.271- 311.

64. Buka A., Kertesz J., Vicsek T. Transitions of viscous fingering patterns in nematic liquid cr>'stals//Nature. 1986. V. 323. P. 424-425.

65. Pleters R., Langer J.S. Noise-driven sidebranching in the boundar>'-!ayer model of dendritic solidification//Phys.Rev Lett. 1986. V. 56. P. 1948-1951.

66. Gonzalez-Cinca R., Ramirez-Piscina L., Casadement J., Harnandez-Machado A. Sidebranching induced by external noise in solutal dendritic growth // Phys. Rev. E. 2001. V.63. P.051602.

67. Georgelin M., Pocheau A., Onset of sidebranching in directional solidification // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. № 3. P. 3189-3203.

68. Li Q., Beckennan С Scaling behavior of three-dimensional dendrites // Phys. Rev. E. 1998. V. 57. №3. P. 3176-3188.

69. Brencr E.A., Temkin D.E. Sidebranching in the three dimensional dendritic grovMh // Письма в ЖЭТФ 1994. Т. 59. 697-702.

70. Kessler D.A., Koplik J., Levine H. Geometric models on interface evolution. II. Numerical simulation// Phys. Rev. A. 1984. V. 30. № 6. P. 3161-3174.

71. La Combe J.C., Koss M.B., Fradkov V.E., Glicksman M.E. Three-dimensional dendrite-tip morphology // Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 2778-2786.

72. Honjo H., Ohta S. New experimental findings in two-dimensional dendritic crystal growth // Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55. Ni 8. P. 8411-8440.

73. Kassner K., Misbah C, Miiller-Krumbhaar, Valance A. Directional solidification at high speed. I. Secondary instabilities // Phys Rev. E. 1994. V. 49. Ki 6. P.5477-5494.

74. Kassner K., Misbah C , Miiller-Krumbhaar, Valance A. Directional solidification at high speed. II. Transition to chaos // Phys Rev. E. 1994. V. 49. №.6. P.5495-5515.

75. La Combe J.C., Koss M.B., Glicksman M.E. Nonconstant tip velocity in microgravity dendritic growth// Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. № 15. P. 2997-3000.

76. Poole P.I I., Sciortino F., Essmann U., Stanley I I.E. Phase behaviour of metastable water // Nature. 1992. V.360. P.324-328.

77. Шибков A.A., Головин Ю.И., Желтов М.А., Королев А.А., Власов А.А. Исследование кинетики и морфолопш неравновесного роста льда в переохлажденной воде // Кристаллография. 2001. Т. 46. № 3. 549-555.

78. Шибков А.А., Желтов М.А., Королев А.А., Леонов А.А. Кинетическая фазовая диаграм.ма фрактальнььх и евклидовых форм неравновесного роста льда Ih в переохлажденной воде // Доклады РАН. 2003. Т. 389. № 4. 497-500.

79. Shibkov А.А., Golovin Yu.L, Zheltov М.А., Korolev A.A., Leonov A.A. Moфhology diagram of nonequilibrium patterns of ice cr>'stals growing in supercooled water // Physica A. 2003. V. 319. P. 65-79.

80. Шибков A.A., Головин Ю.И., Желтов М.А., Королев А.А., Леонов А.А. Морфологическая диаграм.ма неравновесных структур роста льда в переохлажденной воде // Материаловедение. 2002. № И 15-21.

81. Кроиовер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. М. Постмаркет. 2000. 352 с.

82. Смирнов Б.М. Физика фракталы1ых кластеров. М.: Наука. 1991. 134 с.

83. Иваиюк Г.Ю. Фракталы1ые геологические среды: размерность, основные типы, генетические следствия // Физика Земли, 1997. № 3. 21-31.

84. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 230 с.

85. Маидельброт Б. Фрактальная геометрия природы. РХД. Ижевск. 2002. 656 с.

86. Grassberger Р., Procaccia I. Characterization of strange attractors // Phys. Rev. Lett. 1983. V. 20. № 5. P. 346-349.

87. Шустер Г. Детерминированный хаос. М. Мир. 1988. 240 с.

88. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. 528 с.

89. Климоитович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. М. Наука. 1990. 316 с,

90. Климоитович Ю.Л. Введение в физику открытых систем. М. «Янус-К». 2002. 284 с.

91. Данилов Ю.Л. Лекции по нелинейной динамике. М, Постмаркет, 2001, 124 с.

92. Эбелинг В., Энгель Л., Файстель Р. Физика процессов эволюции. М. «Эдиториат УРСС». 2001.328 с.

93. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике М. «Эдиториат УРСС». 2001. 317с.

94. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З, Введение в нелинейн>то физику, М. Наука, 1988, 368 с,

95. Зельдович Я,Б,, Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная аси.мптотика // УФН. 1985. Т. 146. №3. 493-506.

96. Матинецкий Г,Г,, Потапов Л.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М. «Эдиториат УРСС». 2000. 336 с.

97. Матинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинеЙ11>то динамику. М. «Эдиториат УРСС». 2002. 256 с.

98. Томпсон Дж,М,Т, Неустойчивости и катастрофы в науке и технике, М, Мир. 1985. 254 с.

99. Хованова Н.Л., Хованов И.Л. Методы анатиза временных рядов. Саратов. ГосУНЦ «Колледж», 2001,120 с,

100. Фейгенбаум М, Универсатыюсть в поведении нелинейных систем // УФН, 1983, Т, 141. № 2, 343-374,

101. Мун Ф, Хаотические колебания, М, Мир, 1990, 310 с,

102. Kotier G.R., Tiller \У.Л. Stability of the needle cr>-stal // J. Crj'st. Growlh, 1968, V,2, P,287- 307,

103. Tirmizi S,H., Gill \V,N. Effect of natural convection on growth velocity and moфhology of dendritic ice cr>'stals //J, Cr>st, Growth, 1987, V,85, P.488-502,

104. Tirmizi S.H., Gill W.N. E.xperimental investigation of the dynamics of spontaneous pattern formation during dendritic ice cr>'stal growth // J. Cr>'st. Growth. 1989. V.96. P.277-292.

105. Koo K.K., Ananth R., Gill W.N. Tip splitting in dendritic growth of ice cr>'stals // Phys. Rev. A. 1991. V.44. №.6. P.3782-3790.

106. Черепанова T.A. Флуктуациопный механизм неустойчивости раступ1их граней кристаллов//Доклады ЛИ СССР. 1976. Т. 226. №5 1066-1068.

107. Зельдович Я.Б., Баренблатт Г.И., Либрович В.Б., Махваладзе Г.М. Математическая теория горения и взрыва М.: На>'ка. 1980. 479 с.

108. Furukavva Y., Shimada W. Three-dimensional pattern formation during growth of ice dendrites - its relation to universal law of dendritic growth // J. Cryst. Growth. 1993. V.128. P.234-239.

109. Чернов A.A., Гиваргизов Е.И., Багдасаров X.C, Кузнецов B.A., Де.мьянец Л.И., Лобачев А.П. Современная крнсталлофафия. Т.З. Образование кристаллов. М.: На>Тча, 1980. 408 с.

110. Ihle Т., Miiller-Krumbhaar II. Fractal and compact growth moфhologies in phase transitions with diffusion transport // Phys. Rev. 1994. V. 49. № 4. P. 2972-2991.

111. Wittcn T.A., Sander L.M. Diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. Lett. 1983. V.27. P.5686-5697.

112. Brcncr E., Mullcr-Krumbhaar II., Temkin D., Abel T. Moфhology diagram of possible structures in diffusional growth // Physica A. 1998. V. 249. P. 73-81.

113. Nada II., Furukawa Y. Anisotropic growthkinetics of ice crystals from water studied by molecular dynamics simulation//!. Cr>'st. Growth. 1996. V. 169. P. 587-597.

114. Tong X., Beckerman C, Li Q. Phase-field simulations of dendritic cr>'stal growth in a forced flow// Phys. Rev. E. 2003. V. 63. P. 061601.

115. Зад>'мкин СИ., Хокоиов Х.Б., Шокаров Х.Б. Акустический эффект кристаллизации и плавления вещества//ЖЭТФ. 1975. Т. 68. № 2. 1315-1319.

116. Сахаров И.И. О природе акустического излучения при фазовых превращениях и корректности условия Стефана// Инж.-<1)из. жури. 1994. Т. 67. № 1-2. 23-26.

117. Качурин Л.Г., Бекряев В.И., Псаломщиков В.Ф. Экспериментальное исследование электрокинетического явления, возникающего при кристаллизации слабых водных растворов //ДАН СССР. 1967. Т.174. Х« 5. 1122-1125. 118. Качурин Л.Г., Колев СИ., Псаломщиков В.Ф. Импульсное радиоизл>^1ение, возникающее при кристаллизации ВОДЕЛ И некоторых диэлектриков //ДАН СССР. 1982. Т. 267. №2. 347-350.

119. Гудзенко O.II., Лапшин Л.И., Косот>ров Л.В., Трохан Л.М. Электромашитпое нзл>'^ 1ение, возникающее при замораживании жидкостей //Жури, техи, физ, 1985, Т. 55. №З.С.612-614.

120. Жаворонков Н.М., Нехорошев Л.В., Гусев Б.В., Баранов Л.Т., Холпанов Л.П., Щербак Л., Мустафин Ю.М. Свойство коллоидиььх систем генерировать низкочастотный неременный ток//Докл. АН СССР. 1983. Т. 270. № 1. 124-126.

121. Шибков Л.Л., Желтов М.Л., Королев Л.Л. Собственное электромагнитное изл>'чеиие раст>'щего льда// Природа. 2000. № 9. 12-20.

122. Шибков Л.Л., Головин Ю.И., Желтов М.Л., Королев Л.Л. И.чтульсное электромагнитное и акустическое излучение при быстрой кристаллизации переохлажденной капли воды//Кристаллография, 2001. Т, 46. № 1. 155-158.

123. Shibkov Л.Л., Golovin Yu.I., Zheltov М.Л,, Korolev Л.Л., Leonov Л.Л. In situ monitoring of growth of ice from supercooled water by a new electromagnetic method // J. Cr>'st. Grovvlh. 2002. V.236. №.1-3. P.434-440.

124. Ribeiro J.C. On the therma-dielectric effect // Лп. Acad, Brasil Science, 1950. V. 22. №.3. P.325-348.

125. Workman E,Y,, Reynolds S.E. // Electrical phenomena occurring during the freezing of dilute aqueous solutions and their possible relationship to thunderstorm electricity. // Phys. Rev. 1950.V.78.№.3.P.254-259.

126. Качурии Л.Г,, Бекряев В.П., Псаломщиков В.Ф. Экспери.ментальное исследование электрокинетического явления, возникающего при кристаллизации слабых водных растворов // ДЛИ СССР. 1967. Т,174. № 5. 1122-1125.

127. Bronshteyn V. Л,, Chernov Л,Л. Freezing potentials arising on solidification of dilute aqueous solutions of electrolytes // J. Gr>'st, CrovMh. 1991. V, 112. P.129-145.

128. Newhousc S., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom a attractors near quasipcriodic fiowsan Г"", m>3 IICommun. Math, Phys, 1978. V. 64. P. 35^0.

129. Moon F.C. Experimental models for strange attractor vibration in elastic systems // New approaches to nonlinear problems in dynamics. P.J. Holmes. P. 487-495.

130. Moon F.C, Holmes W.T. Double Poincare sections of a quasiperiodically forced, chaotic attractor// Phys. Lett. Л. 1985. V, 111. № 4. P, 157-160.

131. Moon F.C, Li G,X, The fractal dimension of the two-well potential strange attractor // Physica D, 1985, V, 17, P, 99-108.

132. Moon F.C, Li G.X. Fractal basin boundaries and homoclinic orbits for periodic motion in two-well potential // Phys. Rev. Lett. 1985. V.55. №14. P. 1439-1442,

133. Manneville P., Pomean Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamic systems // Physica D. 1980. V.l. P.219-226.

134. Asu C.S. Л generalized theor>' of cell-to-cell mapping for nonlinear dynamical system // J. Apple. Mech. 1981. V.48. P.634-642.

135. Krenzer E.J. Analysis of chaotic systems using the cell mapping approach // Ingenier-Archiv. 1985.V.55.P.285-294.

136. I lurst I I.E. Long-time storage capacity of reser\'oirs // Trans. Am. Soc .Civ. Eng. 1951 .V. 116. P.770-808.

137. Bertolini D., Cassettari M., Salvetti G. Nucleation process and solidification rate of supercooled water// Physica Scripta. 1988. V.38. P.404-407.

138. Water. A comprehensive treatise. V.l. The physics and physical chemistr>' of water. Plenum press. New-York-London. 1972. 577 p.

139. Мартюшев JI.M., Селезнев В.Д., Сконинов C.A. Компьютерное моделирование потерь устойчивости и развития депдритнььх форм методо.м диффузионны.х потоков // Кристаллография. 1997. Т.42. №5. 802-808.

140. Мартюшев JI.M., Селезнев В.Д. Принцип максимальности производства энтропии как критерий отбора морфологических фаз при кристаллизации // Доклады РАН. Физика. 2000. Т.371. №4. 446-448.

141. Мартюшев Л.М., Селезнев В.Д., Кузнецова И.Е. Применение принципа .максимальности производства энтропии к анализу .морфологической устойчивости растущего кристалла //ЖЭТФ. 2000. Т.118. №1(7). 149-162.

142. Мартюшев Л.М., Кузнецова И.Е., Селезнев В.Д. Расчет полной .морфологической фазовой диаграммы перавповесно раст>'щего сферического кристалла при произвольном режиме роста//ЖЭТФ. 2 Т,121. Г^22. 363-371.

143. Galenko Р.К., Krivilov M.D., Buzilov S.V. Bifurcations in a sidebranch surface of a free- growing dendrite//Phys. Rev. E. 1997. V.55.№1. P.611-619.

144. Галепко П.К., Кривилев М.Д. Изотермический рост кристаллов в перео.хлажденных бинарных сплавах // Математическое .моделирование. 2000. Т. 12. №11. 17-37.

145. Аксельрод Е.Г., Мартюшев Л.М., Левкипа Е.В. Кинетические особенности роста одинокого дендрита при кристаллизации из раствора // Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. JV220. 64-70.

146. Axclrod E.G., Martiouchev L.M., Lyovkina Y.V. Kinetics of free sidebranch dendrite growth from solution// Phys. Status. Solidi(a). 2000. V.182. P.687-696.

147. Тихонов A.II., Са.марский A.A. Уравнения .математической физики. М.: Паука. 1997. 735 с.

148. Лыков Л.В. Теория теплопроводности. М.: Наука. 1974. 768 с.

149. Комаров В.Ф., Северин Л.В., Мелихов И.В. Флуктуации скорости роста кристаллов гппса// Кристаллография. 2000. Т. 45. №2. 364-370.

150. Singer Н.М., Bilgram J.H. E.xtracting contours of cr>'stals // J. Cr>'stal. 2004. V. 261. P. 122- 134.

151. Singer H.M., Bilgram J.H. Quantitative description of moфhological transitions in diffusion- limited growlh of xenon cr>'stals // Phys. Rev. E. 2004. V.70 P. 031601.

152. Пайтген X.O., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М.: Мир. 1993. 176 с.

153. Лайно В.Д. ЬСтастеры в физике, хи.мии, биолоп^ш. Ижевск: НИИ. «Регулярная и хаотическая динамика». 2001. 256. с.

154. Базыкин Л.Д. Нелинейная динамика взаимодейств>10и1их популяций. Москва-Ижевск: Инстит>т ко.мпыотерных исследований. 2003. 368 с.

155. Лнищенко B.C. Знакомство с нелинейной дина\н1кой. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 144 с.

156. Глснсдорф П., Пригожий И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуации. М.: Едиториат УРСС. 2003. 280 с.

157. Симо К., мейл С, Шенсине Л. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейпости. Ижевск. Инстит>т компьютерпььх псследовапий. 2002. 304 с.

158. Морозов Л.Д. Введение в теорию фракталов. Москва-Ижевск. Ипстит>т компыотерпых исследований. 2002. 160 с.

159. Б>тенин И.В., Неймарк 10.И., Фуфаев И.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний. М. HajTca. 1987.382 с.

160. Шпбков Л.Л., Попов В.Ф., Желтов М.Л., Королев Л.Л., Скворцов В.В., Власов Л.Л., Леонов Л.Л. Исследование механиз.мов формирования неравновеснЕлх CTpj-KTyp льда в перео.хлаждешюй воде // BCCTIHIK ТГУ. 2001. Т. 6. № 2. 170-178.

161. Shibkov Л.Л., Golovin Yu.L, Zheltov М.Л., Korolev Л.Л., Leonov Л.Л. In situ monitoring of growlh of ice from supercooled water by a new electromagnetic method // J. Cr>-st. Growlh. 2002. V. 236. № 1-3. p. 434-440.

162. Шибков Л.Л., Желтов М.Л., Королев Л.Л., Леонов Л.Л. Исследование многообразия форм неравновесной межфазной границы лед-вода // Вестник ТГУ. 2002. Т. 7, № 3. 365-372.

163. Шибков Л.Л., Головин Ю.И., Желтов М.Л., Королев Л.Л., Леонов Л.Л. Морфология и кинетика неравновесного роста кристалла из сильно переохлажденного расплава // X Национальная конференция по росту кристаллов ИКРК-2002 (Москва, 2002). 15.

164. Шибков Л.Л., Головин Ю.И., Желтов М.Л., Королев Л.Л., Скворцов В.В., Леонов Л.Л. Собственное электро.маппгпюс изл>-чепие раст>лцего льда // X Национальная конференция по рост)' кристаглов 11КРК-2002 (Москва, 2002). 41.