Двухжидкостная гидродинамика сверхтекучего гелия с учетом концентрационных зависимостей и вязкости фазового превращения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Зайцев, Ю.Н.

• Зайцев, Ю.Н.
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Зайцев, Ю.Н.

Введение

Глава I. Обзор литературы

Глава 2. Уравнения двухжидкостной гидродинамики

2.1. Двухжидкостная модель

2.2. Основные термодинамические соотношения

2.3. Вывод диссипативных уравнений двухжидкостной гидродинамики

2.4. Уравнения двухжидкостной гидродинамики при отсутствии диссипации фазового превращения. Преобразование Лежандра. Сравнение с уравнениями Халатни-кова, Лондона, Хиллса и Робертса.

2.5. Бездиссипативные уравнения. Аналоги интегралов Коши-Лагранжа, Бернулли, теорем Томсона, Лагран-жа. Безвихревые течения. Вывод бездиссипативных уравнений из вариационного принципа

Глава 3. Краевые задачи двухжидкостной гидродинамики

3.1. Ламинарный пограничный слой в сверхтекучем гелии.

3.2. Асимптотический профиль пограничного слоя при обтекании сверхтекучим гелием охлаждаемой пластины.

3.3. Автомодельное решение уравнений гидродинамического пограничного слоя в сверхтекучем гелии

3.4. Течение сверхтекучего гелия между двумя вращающимися цилиндрами

3.5. Циркуляционное течение сверхтекучего гелия вокруг цилиндра

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухжидкостная гидродинамика сверхтекучего гелия с учетом концентрационных зависимостей и вязкости фазового превращения»

В предлагаемой работе содержится теоретическое построение макроскопической модели сверхтекучего гелия с точки зрения общих принципов механики сплошной среды, а также проведен расчет решений некоторых краевых задач двухжид-костной гидродинамики сверхтекучего гелия на основе дисси-пативных .уравнений и с учетом специфического механизма теплопередачи.

В первой главе приводится обзор литературы по данному вопросу. Рассматриваются различные двухжидкостные модели, описывающие движение сверхтекучего гелия и принципы их построения.

Вторая глава содержит теоретическое построение модели сверхтекучего гелия, предлагаемой автором. Предполагается, что сверхтекучий гелий представляет собой микроскопически однородную смесь двух жидкостей: нормальной и сверхтекучей. При этом, сверхтекучая жидкость в отличие от нормальной мыслится как истинная идеальная жидкость, лишенная какой-либо вязкости, а также тепловых свойств. Выводятся основные термодинамические соотношения, даются определения парциальных величин нормальной и сверхтекучей жидкостей. Учитывается зависимость этих величин от концентрации. Доказана теорема об инвариантности выбора парциальных энергий нормальной.и сверхтекучей жидкостей. Подробно обсуждаются, локальные законы сохранения массы, импульса и энергии. Выводится энтропийное уравнение. Применяется обобщенный принцип Онзагера. В результате полностью определяется модель взаимодействия сверхтекучей и нормальной жидкостей. В частности, сила, действующая со стороны нормальной жидкости на сверхтекучую, оказывается такой, что при движении и превращении нормальной жвдкости в сверхтекучую и обратно последняя не приобретает дополнительного импульса. Более того, это взаимодействие таково, что вихри сверхтекучей жидкости всегда сохраняются и для нее всегда имеют место интегралы Коши-Лагранжа и Бернулли, а также теоремы Томсо-на и Гельмгольца.

Подробно обсуждаются полученные в результате применения принципа Онзагера диссипативные законы. Подчеркивается важность уравнения фазового равновесия обеих жидкостей, которое замыкает систему уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия. Построенная теория позволяет рассматривать существенно новые диссипативные процессы, . характеризуемые коэффициентом вязкости фазового превраще-. ния и коэффициентом перекрестного эффекта . -объемной вязт-кости нормальной жидкости и вязкости фазового превращения.

Отдельно рассмотрен случай отсутствия диссипации фазового превращения. Показано, что в этом случае уравнение фазового равновесия при помощи преобразования Лежандра позволяет рассматривать.термодинамические величины не как функции от концентрации, а как функции от квадрата разности скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей. Этот факт дает возможность для простого сравнения выведенной системы уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия с диссипативными уравнениями Халатникова, Хиллса и Робертса и другими. Подчеркивается, что в отличие от предложенной теории, в уравнениях этих авторов в неявной форме сделано предположение о том, что имеет место вполне конкретное уравнение фазового равновесия.

Обсуждаются бездиссипативные уравнения. Установлена справедливость теорем Томсоиа, Лагранжа, интегралов Коши-Лагранжа и Бернулли для нормальной жидкости. Доказана теорема о сохранении вихря некоторого векторного поля. Предложен вывод бездиссипативных уравнений из вариационного принципа Лагранжа для сплошных сред.

Третья глава содержит решение некоторых интересных краевых задач на уравнения гидродинамики сверхтекучего гелия.

Исследована структура ламинарного пограничного слоя в сверхтекучем гелии. Показано, что этот пограничный слой. существенно отличается от пограничного слоя в обычной вязкой теплопроводной жидкости. Пограничный слой в гелии имеет сложную структуру .и состоит из температурного слоя и охватывающего его гидродинамического пограничного слоя. -Выведены уравнения обоих пограничных слоев. В температурном пограничном слое происходит смена механизма передачи тепла, в результате чего образуются перпендикулярные к поверхности тела потоки нормальной и сверхтекучей жидкостей, что ведет к нарушению обычно выставляемого при исследовании гидродинамического пограничного слоя условия непротекания на внутренней границе гидродинамического пограничного слоя.

Решена задача об обтекании сверхтекучим гелием полубесконечной пластины, которая во всех точках имеет одинаковую температуру, вообще говоря, отличную от температуры набегающего потока гелия. Найдено распределение темпера-, туры, давления и скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей в температурном и гидродинамическом пограничных слоях. Рассчитано гидродинамическое сопротивление пластины. Показано, что наличие теплового потока между гелием и пластиной оказывает существенное влияние на величину сопротивления, в частности, в этом случае нельзя использовать формулы Блазиуса.

Рассмотрен случай, когда.температура пластины распределена по закону, Т = Cj+CgCx)"^ ^pCg - константы). Показано, что в этом случае уравнения гидродинамического пограничного слоя имеют автомодельное решение.

Подробно.исследуется случай обтекания гелием охлаждаемой пластины. Показано, что при этом образуется асимптотический пограничный слом, в котором сила сопротивления не зависит от вязкости гелия и пропорциональна произведению разности скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей в набегающем потоке на величину теплового потока между пластиной и гелием.

Найденный при исследовании теплообмена между гелием и твердым телом малый параметр позволяет эффективно использовать методы теории асимптотического сращивания для решения краевых задач.

Решена задача о течении гелия между, двумя вращающимися цилиндрами. Рассчитан момент сил, действующих на каждый цилиндр. Показано, что на величину момента сил существенное влияние оказывает как движение сверхтекучей.жидкости, так и наличие теплового потока между цилиндрами. Таким обра-. зом, при измерении вязкости сверхтекучего гелия в цилиндрическом вискозиметре необходимо учитывать этот тепловой поток.

Исследована задача о вращении пилиндра в бесконечном объеме сверхтекучего гелия. Определены условия, при кото-, рых эта задача имеет ограниченное решение. Найдено распределение температуры, давления и скоростей.Показано, что при наличии циркуляционного течения сверхтекучей жидкости, момент сил, действующих на цилиндр, линейно зависит от потока тепла между гелием и поверхностью цилиндра и не зависит от вязкости.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Зайцев, Ю.Н.

вывод ы

1. Предложен строгий вывод уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия с учетом вязкости фазового превращения и концентрационных зависимостей термодинамических функций. Выведено уравнение фазового равновесия движущихся жидкостей, замыкающее систему.

2. Выведены уравнения температурного и гидродинамического пограничных слоев в случае ламинарного течения сверхтекучего гелия. Установлена их структура. Показано, что температурный пограничный слой лежит глубоко внутри гидродинамического. Гидродинамический пограничный слой описывается уравнениями Прандтля для нормальной жидкости,vк которым в качестве граничных условий задается скорость "вдува" или "отсоса" нормальной жидкости на поверхности обтекаемого тела, которая определяется из решений уравнений температурного пограничного слоя.

3. Описывается решение задачи об обтекании потоком сверхтекучего гелия пластины, имеющей заданную постоянную температуру. Найдены поля скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей и рассчитан коэффициент гидродинами. ческого сопротивления.

4. В случае, когда температура пластины меньше температуры набегающего потока гелия, показано, что на некотором удалении от носика пластины образуется асимптотический пограничный слой. Рассчитаны характеристики этого слоя, найдены распределения полей скоростей и температуры. Определено гидродинамическое сопротивление пластины.

5. Решена задача об обтекании полубесконечной пластины, температура поверхности которой распределена по зако

-1/9 ну Т = Сj + С^ х ' . Уравнения гидродинамического пограничного слоя в этом случае имеют автомодельное реше-. ние.

6. Решена задача о движении сверхтекучего гелия между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами, имеющими различную температуру. Рассчитан момент сил, действующий на цилиндр. Показано, что момент зависит не только от скоростей вращения цилиндров, но и от скорости вращения сверхтекучей жидкости и от величины и направления теплового потока между цилиндрами. Результаты решения задачи . качественно подтверждаются экспериментальными дан. ными.

7. Исследована задача о вращении цилиндра в бесконечном объеме сверхтекучего.гелия. Показано, что задача имеет ограниченное решение, когда температура цилиндра меньше температуры гелия.на некоторую конечную величину.

Рассчитан момент сил, действующий на цилиндр, который прямо пропорционален тепловому потоку между цилиндром и гелием.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе предложена полная система уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия. Существенным отличием выведенной системы уравнений от ранее предлагавшихся теорий является учет диссипации фазового превращения, которая в предложенной теории характеризует-, ся двумя диссипативными коэффициентами: собственно коэффициентом вязкости фазового превращения и коэффициентом перекрестного эффекта диссипации фазового превращения и объемной вязкости нормальной жидкости.

Предлагаемая система уравнений двухжидкостной гидродинамики выведена на основе общих.принципов механики сплошной среды. Построение модели, описывающей движение сверхтекучего гелия, опирается на несколько общепринятых предположений о строении и движении сверхтекучего гелия. Последовательно проводится двухжидкостное кинематическое, описание, когда сверхтекучий гелий формально рассматривается как своеобразная микроскопически однородная .смесь, двух взаимопроникающих и взаимопревращающихся жидкосте, занимающих одно и то же пространство. Для каждой из этих компонент вводятся своя внутренняя энергия, скорость движения, давление, плотность и т.п. Такое предположение о модели сверхтекучего гелия позволяет применять при выводе полной системы.уравнений классические методы механики сплошной среды. В частности, при выводе основных термодинамических соотношений используются обычные термодинамические определения и результаты классической теории химически реагирующих газовых и жидких смесей, хотя, как подчеркивается, сверхтекучий гелий такой смесью никоим образом не является.

Термодинамическое состояние сверхтекучего гелия задается одной функцией массовой плотности внутренней энергии всей смеси в целом или двумя функциями массовых, плотностей внутренних энергий нормальной и сверхтекучей жидкостей. Причем, последние можно определять неоднозначно, что непосредственно следует из доказанной в первой главе теоремы об инвариантности выбора парциальных энергий нормальной и сверхтекучей жидкостей. Этот интересный факт позволяет при решении конкретных задач выбирать функции массовых плотностей парциальных внутренних.энергий наиболее удобным в каждом частном случае образом. При этом существенным отличием построеной термодинамической модели от ранее предлагавшихся является отсутствие явной зависимости внутренних энергий от скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей. В предложенной теории внутренние парциальные энергии , аналогично тому, как это делается в классической термодинамике химически реагирующих смесей,-рассматриваются как функции концентрации нормальной (или, что.аналогично, сверхтекучей) жидкости. Оказывается, что такое предположение позволяет не только избежать введения скоростей в термодинамику, но и дает возможность получить обобщение ранее . предлагавшихся моделей. . . .

Динамические уравнения, описывающие движение сверхтекучего гелия, получены из достаточно.общих принципов и. положений механики сплошной среды. Подробно выведены и про

118. анализированы уравнения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии всего сверхтекучего гелия. При этом сверхтекучая компонента рассматривается как истинная иде- . альная жидкость, лишенная какой-либо вязкости, а также тепловых свойств (энтропия её полагается равной нулю). Причем, не делается более никаких конкретных предположений о характере взаимодействия сверхтекучей жидкости с нормальной. В результате выведено энтропийное уравнение. К полученному источнику энтропии нормальной жадности (который в данном случае совпадает с источником энтропии всего сверхтекучего гелия) применен обобщенный принцип Онзагера, позволяющий полностью замкнуть .систему уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия. При этом в теорию введена диссипация фазового превращения. Полученные .диссипативные. уравнения показывают, что .при движении и взаимном превращении нормальной и сверхтекучей жидкостей последняя не получает импульса от нормальной жидкости.

Отличительным свойством предложенного вывода от вы-, вода Ландау является отсутствие, предположения о безвихревом характере движения сверхтекучей жидкости. Тем не менее, выведенные уравнения допускают такие движения сверхтекучего гелия, когда во все время движения во всей.области течения .отсутствуют вихри сверхтекучей жидкости. Таким образом, безвихревое движение сверхтекучей жидкости является частным случаем полученной модели движения сверхтекучего гелия.

Переход к модели, не учитывающей диссипативных эффектов в сверхтекучем гелии, позволяет провести более сложную

119. классификацию вихревых и безвихревых течений сверхтекучего гелия. Ддя таких (бездиссипативных)течений имеют место два аналога теорем Томсона и Лагранжа, а также по два интеграла Коши-Лагранжа и Бернулли. Вторым векторным полем, которое может оставаться во все время движения безвихревым , является векторное поле

Д - ^ - ^

Sn введение которого позволяет движения сверхтекучего гелия разбить на три типа

1) rot \fs * О

2) roi Й = О , rot А Ф О —* , —>

3) ГО t If} = О , roi А -О

С точки зрения этой классификации уравнения Ландау описывают второй и третий классы течений.

Особенно просто и непосредственно эти теоремы (и, соответственно, классификация) следуют из вариационного вывода уравнений движения сверхтекучего гелия из вариационного принципа. Этот вывод приведен в п.2.5., где уравнения гидродинамики сверхтекучего гелия выводятся как в предположении об "идеальности" смеси нормальной и сверхтекучей жидкостей, когда считается, что парциальные энергии не зависят от концентрации, так и в общем случае концентрационной зависимости.

Диссипация фазового превращения, введенная в теорию, меняет вид уравнения фазового равновесия, замыкающего систему диссипативных уравнений двухжидкостной гидродинамики.

При анализе и сравнении полученной системы уравнений, с диссипативными уравнениями, предложенными другими авторами, в частности с уравнениями Халатникова, Хиллса и.Ро-бертса, большой интерес, представляет частный случай, когда пренебрегается диссипацией фазового превращения. Оказывается, что это предположение позволяет проанализировать появление в уравнениях зависимости термодинамических величин от разности скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей. Пренебрежение диссипацией фазового превращения в уравнениях позволяет с помощью преобразования Лежандра перейти от зависимости термодинамических величин от концентрации к зависимости от квадрата разности скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей. В результате появляется возможность простого сравнения предложенных уравнений с уравнениями Халатникова, Лондона, Хиллса и Робертса, которые как показано, по-существу, являются частным случаем полученной системы диссипативных уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия. Таким образом, сделан вывод, что нет никакой принципиальной необходимости для введения зависимости термодинамических функций от скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей. Более того, эту зависимость можно рассматривать только, когда отсутствует диссипация фазового превращения и, следовательно, имеет место условие фазового равновесия п - и - to-g)* которое Ландау фактически формально ввел в свою теорию, записав основное термодинамическое тождество в следующем виде d U - у dg + Td(ps) + (гги-ш) d{p*(vL-Vs)) или, что эквивалентно, d Р- fdju + gs dT + jf* d (%,-Vc f

Решение некоторых краевых задач на полученные уравнения двухжидкостной гидродинамики, предложены в третьей главе.

В первом пункте исследуется ламинарный пограничный слой в сверхтекучем гелии. Показано, что структура этого слоя существенно отличается от структуры.пограничного слоя в обычной вязкой теплопроводной жидкости. Вблизи поверхности образуются два вложенных один в другой пограничных слоя: температурный и гидродинамический. В температурном пограничном слое происходит смена механизма передачи тепла молекулярной теплопроводностью механизмом передачи тепла внутренней конвекцией. Одновременно в указанном слое изменяются температура и давление, которые на выходе из. температурного пограничного слоя практически сразу достигают предельных значений. Толщина температурного пограничного слоя оказывается сложной функцией температуры и давления, но не зависит от скорости потока гелия и от величины теплового потока между поверхностью и гелием.

Гидродинамический пограничный слой в сверхтекучем гелии охватывает температурный. Его уравнения оказываются в точности уравнениями Прандтля для нормальной жидкости. Но граничное условие непротекания на поверхности, в силу того, что в температурном пограничном слое образуются перпендикулярные поверхности потоки жидкостей,, не выполняется. Вместо этого, на внутренней границе гидродинамического пограничного слоя задается скорость отсоса или вдува. Эта скорость однозначно определяется при решении уравнений температурного пограничного слоя и зависит только от тем-., пературы поверхности и температуры и давления внешнего потока.

Сила гидродинамического сопротивления зависит как от скорости набегающего потока гелия, так и от величины.теплового потока между гелием и обтекаемой поверхностью.

В случае, когда температура пластины меньше температуры набегающего потока, уравнения диссипативной двухжидкостной гидродинамики имеют простое асимптотическое решение, аналогичное решению задачи об асимптотическом профиле пограничного слоя, образующегося при течении обычной вязкой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с равномерно распределенным по ее поверхности отсосом. Показано, что сила сопротивления в этом случае не зависит от коэффициента вязкости и пропорциональна произведению потока тепла между пластиной и гелием на разность скоростей нормальной и сверхтекучей жидкостей в набегающем потоке.

В третьем пункте рассмотрен случай, когда уравнения гидродинамического пограничного слоя в сверхтекучем гелии имеют автомодельное решение. Такое решение существует, если температура пластины распределена по закону Т= Сн+ С%Х/2.

Найдены распределения температуры и скоростей, определена сила сопротивления пластины.

Найденный при исследовании пронесса теплопередачи между гелием и твердым телом малый параметр позволяет эффективно применять методы теории асимптотического сращивания для решения краевых задач в гелии.

В четвертом пункте поставлена и решена задача о течении сверхтекучего гелия между двумя вращающимися коакси- . альными цилиндрами в присутствии теплового потока от одного цилиндра к другому. Показано, что .этот поток тепла оказывает существенное влияние на величину моментов сил, действующих на пилиндры, и использование обычных формул при. определении коэффициента вязкости во вращающемся вискозиметре может привести к неверным результатам. Наряду с величиной потока тепла момент сил зависит также от скорости течения сверхтекучей жидкости. В частном случае, когда между неподвижными цилиндрами.имеется циркуляционное течение сверхтекучей жидкости, поток тепла между цилиндрами приводит к появлению момента сил, причем величина и направо ление момента зависят от величины.и направления потока тепла и не зависят от вязкости гелия. . В пятом пункте решена задача о вращении охлаждаемого цилиндра в бесконечном объеме сверхтекучего гелия. Показано, что ограниченное решение этой задачи.,существует только в случае., когда температура цилиндра меньше температуры гелия на бесконечности на некоторую конечную величину. Найдено распределение температуры и скоростей нормальной. и сверхтекучей жидкостей, определен момент сил, действующих на цилиндр. Показано, что в случае циркуляционного течения сверхтекучей жидкости на неподвижный цилиндр действут момент сил, величина которого пропорциональна потоку тепла между гелием и цилиндром.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Зайцев, Ю.Н., 1984 год

1. Ландау Л.Д. Теория сверхтекучести гелия 1.. ЖЭТФ, 1941, т.II, стр.592.

2. Landau L.D. The Theory of superfluid of helium II- Journ. Phys. USSR, 1941, v. 5, N1, p* 71.

3. Landau L.D. Theory of the superfluidity of helium XI- Phys. Rev., 1941, v.,60, p. 356.

4. Ландау Л.Д. Теория сверхтекучести гелия II. УФН, 1967, т.93, вып.З, стр.495.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. Физ-матгиз, М., 1966, гл.16.

6. Zilsel P.R. Liquid helium II: The hydrodynamics of the two-fluid model Phys. Rev., 1950, v. 79, p. 309.

7. Zilsel P.R. Liquid helium II: Bose-Einstein condensation and two-fluid model.- Phys. Rev., 1953, v.92, p. 1106.

8. Eckart С» The eleotrodynamics of material media.- Phys. Rev., 1938, v.54, H 11, p. 920.

9. London P. Superfluids, v.II: Macroscopic Theory of superfluid helium. N-Y, 1954.

10. Халатников И.М. Введение в теорию сверхтекучести. М., "Наука", 1965.

11. Халатников И.М. Теория сверхтекучести. М., "Наука", 1971.

12. Khalatnikov I.M. Phenomenological Theory of super-fluid 4He in "The Physics of Liquid and Solid Helium", ed. Ъу K.H.Bennemann,J.Ketterson,N-X,1976.

13. Clark A., Jr., Ph.D. Thesis, Massachusetts Instituteof Technology, 1963, см. также в бз. , приложение У1.

14. Lin С.С. Hydrodynamics of helium II Enrico Fermi Scuola, XXI Corso, 1963, p.93.

15. Lhuillier D., Francois M., Karatchentzeff M., Conjugate variables and variational prinoiple in su-perfluld helium- Phys.Rev.,1975,B12, N7, p.2656.

16. Jackson H.W. Variational methods in the hydrodynamic theory of liquid 4He Phys. Rev., 1978, B18, N 11, p. 6082.

17. Jaokson H.W. Foundations of a comprehensive theory of liquid 4He Phys. Rev., 1979, B19, N5, p.2556.

18. Dingle R.B. The hydrodynamics of helium II Proc. Phys. Soo., bond., 1950, A62, p.648.

19. Dingle R.B. The theory of the propogation of first and second sound in helium II. Energy theorems and irreversible processes. Proc. Phys. Soc., bond., 1950, A63, p.638.

20. Dingle R.B. Theories of helium II.- Advan. Phys., 1952; v. 1, N 2, p.111.

21. Lhuillier D. Thermodynamic inequalities of superfluid Phys.Lett., 1976, 56A, N4, p.295.

22. Lhuillier D., Francois M. A hydrodynamic model for superfluid helium with vorticies.- Low Temperature Physics LT 14, 1975, v.1, p.177.

23. Халатников И.М. Гидродинамика растворов посторонних частиц в гелии II. ЖЭТФ, 1952, т.23, стр.169.

24. Geurst J.A. Canonical form of generalaised two-fluid equatios for helium II. Phys. Lett., 1976, A59, N 5, p.351.

25. Hillel A.J., Hall H.E., Lucas P. Friction forces of a rectilinear vortex of liquid helium II. J.Phys. Cs Solid State Phys., 1974, v.7, N 18, p.3341.

26. Iordansky S.V. On the mutual friction between the normal and superfluid components in a rotating Bose gas.- Ann. Phys., 1964, v.29, N 3, p.335.

27. Iordansky S.V. On the mutual friction in a superfluid Phys. Lett., 1965, v.15, N 1, p.34.

28. Покровский В.Л., Халатников И.М. Гамильтонов формализм в классической и двухжидкостной гидродинамике. Письма ЖЭТФ, 1976, т.23, № II, стр.653.

29. Лебедев В.В., Халатников И.М. Канонические уравнения вращающегося сверхтекучего 4Не. Письма ЖЭТФ, 1978, т.28, № 2, стр.89.

30. Khalatnikov I.M., Lebedev V.V. Canonical equations of hydrodynamics of quantum liquids. J. Low Temp. Phys., 1978, v.32, N 5-6, p.789.

31. Hills R.N., Roberts P.H. On Landau's two-fluid model for helium II. J. Inst. Math. Applic., 1972, v.9, N 1,p.56.

32. Hills R.N., Roberts P.H. Superfluid mechanics for a high density of vortex lines. Aroh. Ration. Mech. Analysis, 1977, v.66, N 1, p.43.

33. Hills R.N*у Roberts P.H. Healing and relaxation in flows of helium II. Int. J. Eng. Sci., 1977,v.15, N 5, p.305.

34. Hills R.N., Roberts P.H. Healing ana relaxation in flows of helium II. First, second and fourth sound. -J.Low Temp. Phys., 1978, v.30, N 5-6, p.709.

35. Hills R.N., Roberts P.H. Healing and relaxation in flows of helium II. Ill: Pure superflow. -J.Phys. C., 1978, v.11, N 22, p.4485.

36. Donelly P.J., Hills R.N., Roberts P.H. Superflow in restricted geometries. Phys. Rev. Lett., 1979, v.42, N 11, p.725.

37. Donelly P.J., Roberts P.H. A theory of temperature-dependent Energy levels: thermodynamic properties of He II. J. Low Temp. Phys., 1977, v. 27, N 5-6, p. 687.

38. Roberts P.H., Donelly R.J. Superfluid mechanics. -Ann. Rev. of Fluid Mech., 1974, v.6, p.179.

39. Putterman S.J., Roberts P.H. Non-Linear hydrodynamics4and a one fluid theory of superfluid He . -Phys. Lett., 1982, A89, N 9, p.444.

40. Springett B.E. Modification on Stokes' Law for a heated sphere in liquid helium II. J. Low Temp. Phys., 1971, v.5, N 1, p.45.

41. Lynch R. Low-Reynolds-number-heat-exchange drag in liquid helium II. J. Low Temp. Phys., 1982, v. 46, N 5-6,p. 391.

42. Green A.E., Naghdi P.M. A dynamical theory of interacting continua. Int. J. Eng. Sci., 1965, v. 3, N 2 ,p. 231.

43. Green A.E., Naghdi P.M. Global properties of mixtures- Arch. Rat. Mech. Anal., 1971, v. 43, N 1, p. 45.

44. Green A.E., Naghdi P.M. On basic equatiohs for mixtures- Quart. J. Mech. Appl. Math., 1969, v. 22, pt. 4, p. 427.

45. Green A.E., Naghdi P.M. Entropy inequalities for mixtures. Qurt. J. Mech. Appl. Math., 1971, v.24, pt. 4, p. 473.

46. Mttller I. A thermodynamic theory of mixtures of fluids- Arch. Rat. Mech. Anal., 1968, т. 28, N 1, p. 1.

47. Green A.E., Laws N. Global entropy production inequality. Quart. J. Mech. Appl. Math., 1972, v. 25,pt. 1, p. 1.

48. Coleman B.D., Nail W. Ihe thermodynamics of elastic materials with heat conduction and viscosity. -Aroh. Rat. Anal., 1963, v.13, N 3, p. 167.

49. Nail W. A mathematical theory of the mechanical behavior of continuous media. Arch. Rat. Mech. Anal., 1958, v. 2, N 3, p. 197.

50. Lebon G., Jou D. Linear irreversible thermodynamics and the phenomenological theory of liquid helium II.- J. Phys. C., 1983, v.16, N 6, L199.

51. Hawaii P., Tilley J. Linear irreversible thermodynamics and the phenomenologlcal theory of liquid helium II. J. Phys. C., 1982, v.15, p.4075.

52. Lebon G., Jou D. A continuum theory of liquid helium II based on the classical theory of irreversible process. J. Non-Equl. Thermodyn., 1979, v. 4,1. N 5, p. 259.

53. Паттерман С. Гидродинамика сверхтекучей жидкости. М., "Мир", 1978.

54. Wilks J. The properties of liquid and solid helium. Oxford, 1967.

55. Brooks J.S., Donnelly R.J. The calculated thermodynamic properties of superfluid helium-4. J. Phys.

56. Chem. Ref.Data, 1977, v.6, p.1.

57. Есельсон Б.Н., Григорьев B.H., Иванцов В.Г., Рудавский З.Я. Свойства жидкого и твердого гелия. М., Издательство стандартов, 1978.

58. Donelly R.J. Experimental superfluidity. Chioago, 1967.

59. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., 1974.

60. Козлов Л.Ф. Теоретические исследования пограничного слоя. Киев, 1982.

61. Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массообмен в пограничных слоях. М., "Энергия", 1971.

62. Emmons H.W., Leigh D.C. Tabulation on the Blasius function with blowing and suction. ARC CP, 1954, N 157, p.1v

63. Шульман З.П., Берковский Б.М. Автомодельная задача ламинарного пограничного слоя на проницаемой поверхности. ИФЖ, 1963, т.12, стр. 125.

64. Hunt Т.К. Heat torques and circulation in superfluid helium.- phys. Rev., 1968, v. 170, p. 245.

65. Коц Л.Я., Никифорович H.A., Толмачев В.В. Исследование задачи о скачке Капицы. в сб. Двухжидкостная гидродинамика сверхтекучего гелия, М., Издательство Московского университета, 1980., стр.52.

66. Зайцев Ю.Н., Толмачев В.В. Уравнения двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия при наличии диссипации. там же, стр.10.

67. Зайцев Ю.Н. Вывод уравнений идеальной двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия из вариационного принципа. там же, стр. 26.

68. Толмачев В.В. Уравнения двухжидкостной гидродинамики для сверхтекучего гелия при отсутствии диссипации.- там же, стр.4.

69. Зайцев Ю.Н. Результирующая сила и момент сил, действующие на плоскую конечную пластинку при передаче ею тепла в обтекающий стационарный поток сверхтекучего гелия. там же, стр.69.

70. Зайцев Ю.Н. Исследование аналога течения Куэтта для сверхтекучего гелия. там же, стр.62.

71. Зайцев Ю.Н. Течение сверхтекучего гелия вдоль неподвижной твердой стенки с фиксированной температурой. Рукопись деп. в ВИНИТИ 8.09.83, Ш 5135-83 Деп.

72. Зайцев Ю.Н. Преобразование Лежандра уравнений двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия. в сб.в сб. "У Всес. съезд по теор. и прикл. механике", Алма-Ата, "Наука", 1981, стр. 158.

73. Зайцев Ю.Н., Толмачев В.В. Диссипативные уравнения двухжидкостной гидродинамики сверхтекучего гелия. ДАН СССР, 1981, т. 256, М, стр. 815.

74. Зайцев Ю.Н. Результирущая сила и момент сил, действующие на плоскую конечную пластинку при передаче ею тепла в обтекающий стационарный поток гелия II. в сб. "Некоторые вопросы математики и механики", Издательство МГУ, 1981, стр. 101.