Двойные алгебры Ли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Коновалова, Елена Игоревна

• Коновалова, Елена Игоревна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Коновалова, Елена Игоревна

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Классические r-матрицы для алгебр Ли малой размерности

1.1. Классические r-матрицы для sl(2, С)

1.2. Классические r-матрицы для трехмерных разрешимых алгебр Ли

ГЛАВА 2. Классификация решений MYBE для sl(2, С).

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Решение MYBE для st(2, С).

ГЛАВА 3. О разложении sl(3, С) в прямую сумму подалгебр.

3.1. Классификация подалгебр 51(3, С).

3.2. Разложениие я((3, С) в прямую сумму двух подалгебр.

ГЛАВА 4. Решения MYBE для 51(3, С), не представимые в виде разности проекторов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двойные алгебры Ли»

Понятие классической r-матрицы впервые появилось в начале 80-х годов прошлого века, в работах Е.К.Склянина[2, 18]. Классические г-матрицы являются квазиклассическим аналогом квантовых r-матриц, которые возникают в квантовом методе обратной задаче рассеивания. Самостоятельный интерес классические r-матрицы представляют в связи с методом Адлера-Костанта-Саймса[16, Теорема 1.2.3] построения вполне интегрируемых га-мильтоновых систем и связями с групповыми скобками Пуассона.

Дадим основные определения диссертации. Пусть д — алгебра Ли над полем комплексных чисел С и R: д —;► д — линейный оператор.

Определение 0.1 Говорят, что R — классическая г-матрица, если скобка x,y}R:=^([Rx,y}-h[x,Ry]) (1) удовлетворяет тождеству Якоби.

Определение 0.2 Будем говорить, что две классические r-матрицы R\ и i?2 эквивалентны, если существует (р G Aut(^) такой, что R± = (pR2tp~1.

Классическая r-матрица задает на алгебре Ли 0 структуру алгебры Ли с коммутатором [ж, у]я. Алгебру Ли g вместе с классической г-матрицей называют двойной алгеброй Ли.

Основная задача: классифицировать классические г-матрицы с точностью до эквивалентности. В первой главе диссертации эта задача решена для трехмерных алгебр Ли. Хорошо известно, что алгебра Ли размерности три является либо простой (изоморфной sl{2, С)), либо разрешимой. Первый раздел главы 1 посвящен классификации r-матриц для простой трехмерной алгебры Ли. Основной результат этого раздела представлен в теореме 1.3.

Второй раздел первой главы посвящен классификации r-матриц для трехмерных разрешимых алгебр Ли. Классификация представлена в теореме 1.3.

Модифицированным классическим уравнением Янга-Бакстера (MYBE) называется уравнение

Rx, Ry] - R([Rx, у] + [ж, Ry]) = -[*, у]. (2)

Уравнение MYBE является достаточным условием для того, чтобы R являлся классической г-матрицей.

Если ср автоморфизм алгебр Ли д, R — решение MYBE, то (pR(p~x также решение MYBE, таким образом, группа Aut(g) действует на множестве решений MYBE.

Во множестве всех решений MYBE выделяют следующую серию решений. Пусть д представлена в виде прямой суммы двух своих подалгебр Ли как линейных подпространств: g = Qi + 02) Pi ~ проектор на дг- параллельно дополнительной подалгебре, тогда R = Pl—Р2 ~ решение уравнения MYBE. Задача разложения алгебры Ли в виде суммы двух ее подалгебр представляет самостоятельный интерес. В книге А.Л.Онищика[9] задача решена для случая, когда g — компактная вещественная алгебра Ли. В статье Ю.А.Бахтурина и др.[1] исследуется вопрос, можно ли алгебру Ли представить в виде суммы 5 — 01+02 двух ее простых и нильпотентных подалгебр.

Общая проблема заключается в классификации для заданной алгебры Ли 0 всех решения MYBE с точностью до действия группы Aut(g). В случае, когда g полупростая алгебра Ли и R является кососимметрическим оператором относительно формы Киллинга, эта задача решена в работе А.А. Белавина и В.Г. Дринфельда[4]. Эта задача равносильна описанию групповых скобок Пуассона[7]. В своей книге А.Г. Рейман и М.А. Семенов-тян-Шанский[16, стр. 253] отмечают, что задача нахождения всех решений MYBE до сих пор не решена.

Во второй главе диссертации проведена классификация решений MYBE для s[(2,C). Первый раздел второй главы является вводным, в нем описан подход к изучению решений MYBE, предложенный М. А. Семеновом-тян-Шанским[17]. Классификация решений представлена во втором разделе второй главы в теореме 2.11.

В третьей и четвертой главах диссертации проведена классификация решений MYBE для g = лС(3, С) с точностью до действия группы Aut(g). Первый раздел третьей главы является вспомогательным, в нем получена классификация подалгебр зГ(3, С) (см. теорему 3.14). Классификация подалгебр s[(3,C) размерности большей или равной двум, может быть получена из результатов работы А.Ф.Баранника и др.[3], но в диссертации для удобства изложения, была получена независимо. Второй раздел третьей главы является основным, в нем получена классификация решений модифицированного уравнения Янга-Бакстера, представленных в виде разности двух проекторов. Результат представлен в теореме 3.21. Четвертая глава завершает классификацию решений MYBE для алгебры Ли sl(3, С). В основной теореме этой главы, в теореме 4.1, представлена классификация решений MYBE, которые не представимы в виде разности двух проекторов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Коновалова, Елена Игоревна, 2009 год

1. Bahtutin Y., TValavadze M., Tvalavadze T. Sums of simple and nilpotent Lie subalgebras// Common Algebra 30 №9, 2002, P. 4455-4471.

2. Sklyanin E.K. On complete integrability of the Landau-Lifshitz equation// Preprint LOMI, Leningrag: LoMI, 1980, P. 3-79.

3. Баранник А.Ф., Москаленко Ю.Д., Фущич В.И., Подалгебры афинной алгебры AIGL(3, К)// Препринт 89-65, Киев: Математический институт Академии Наук Украины, 1989.

4. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли. Функц.анализ, 1982, вып.З, с. 129.

5. Белавин А.А., Дринфельд В.Г. Уравнения треугольников и простые алгебры Ли. Препринт ИТФ. 1982-18, Черноголовка: ИТФ.

6. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, М: Мир, 1978. — 342 с.

7. Дринфельд В.Г. Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрических смысл уравнения Янга-Бакстера// ДАН СССР, 268(2),1983, С. 285-287.

8. Готто М., Гроссханс Ф., Полупростые алгебры Ли// М.: Мир, 1981. — 171 с.

9. Онищик Л.А. Топология транзитивных групп преобразований// М.: Физ-матлит, 1995. — 384 с.

10. Панов А. Н. Коновалова Е.И. Классические r-матрицы для алгебр Ли малой размерности // Теоретическая физика т. 7, Самара, изд-во Самарский университет, 2006, с. 10-17.

11. Коновалова Е.И. Разложение st(3, С) в прямую сумму подалгебр Ли как линейных подпространств // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия, № 7(57) Самара: 2007, с. 63-72.

12. Коновалова Е.И. Решения MYBE для алгебры Ли д = 51(3, С) // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Материалы конференции, М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008, с. 129-130.

13. Коновалова Е.И. Решения модифицированного классического уравнения Янга-Бакстера для алгебры Ли g = sl(3, С) // Вестник Самарского государственного университета, естественнонаучная серия, № 6(65), Самара: 2008, с. 90-104.

14. Рейман А.Г., Семенов-тян-Шанский М.А. Интегрируемые системы // Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 352 с.

15. Семенов-тян-Шанский М.А. Что такое классическая г-матрица// Функц. анализ и его прил., 1983, 17, №4, С. 17-33.

16. Склянин Е.К. Квантовый метод обратной задачи рассеяния// Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1980, т. 95, С.55-128.