Достаточные условия устойчивости движения, заданного нормальной системой линейных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, Костюк А.К.

• Костюк А.К.
• 1949

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Достаточные условия устойчивости движения, заданного нормальной системой линейных дифференциальных уравнений»

Еа всем протяжении развития механики ученые и инженеры, под давлением различных запросов4 техники и-естествознания, вынуждены! бшги,так или иначе; заншать-ся вопросами* связанными о, так называемой,, устойчивостью движения, в частности равновесия® При атом различ-ньте учёные, различные школы, е различное время вносили различные модификации в отдельные составные части это-, го-сложного и далеко неясного понятия1.

Процесс уточнения этого понятия протекая на ойщем * фоне уточнения принципиальных основ механики. Тем«не ме нее, несмотря на творческую работу ряда круцннх ученых; на блестящее разрешение ряда прикладных вопросов, связанных с устойчивостью, понятие это было во всех отно-шениях далеко от совершенства, как в смысле формулиров-ки, так а в смысле .строгости применяемых методов.

Только в 1892 году Александр Михайлович ЛЯПУНОВуъ~

I V 1 У своей классической работе!"общая задача об устойчивости движения" дал строгую | матеыатическуи-формулировку■ понятия устойчивости й развернутое систематическое !из-лояение методов исследования заданного двинения на-, устойчивость. | Таким обравой,. с появлением этого труда теория устойчивости двивеная стал& самостоятельной . отраслью математическогоанализа,прилозшаой не только к зада--чаы механики* но и к задачам других естественных наук. к ' * 1 i Применение этой теории-к самш разнообраБНш задачам техники и естествознания породило различиив направления и толкования-постановки вопроса об устойчиво стЕ,данной Л&шуновщуИ ¿месте тем возбудило .инте- ■ рес к ней не только ученых,- в .совершенстве, владеющих математическим аппаратом,!но такхе широкого круга при-. кладников. ;

В настоящей работе, говоря об устойчивости движения (состояния) заданного!нормальной системой линейных диференциалышх уравнений; мы будем исходить из той постановки задачи, которую ¿ал Ляпунов в первой^главе вн-ч неуказанной книги-,' принимая за^функции Qs координаты / движения. Лри.этомбу,^ стро гие, н аиб од е е простые достаточные у^ловия- устойчивос ти., I ;. прилоашые к самому, широкому классу движений указанного типе/та^-,проверкЕ которнх.быян.бы дбстуша .для большинства интересующихся устойчивостью й выполнение- котор .J рых дзлало-бы ненужным применение, бонее тонких -и сложных приемов Сесли они сущёстзувт),- требувдих , большой. \: математической подготовки!

-з- ,

Заключение диссертации по теме «Другие cпециальности», Костюк А.К.

3 А К 1 Ю Ч Е НИ Е

Мы-установили- наиболее простые условия устойчивости , движения, заданного/нормальной системой линейных диференциальных- уравнений, наложив 'на. как функции £ един-■ 1; . » ственное ограничение. ^ непрерывности. Метод, которым мы .'

I . ' пользовались при решении этого, вопроса, позволяет- расшит -рить возможность приложения критерий "Л" и "В" к исследований устойчивости невозмущенного движения более широкого класса систем, при .одном лишь условии, чтобы уравнения -возмущенного движения имели специальный вид,.а также при решении некоторых специальных, вопросов, связанных с устойчивостью движения, При этом критерии "А" и "В" являются условиями устойчивости, или неустойчивости тривиального решения целого, множества-.систем специального .вида одной и той

Г' I

-же квадратичной формы г «Следовательно, мы могли.бы настоящую работу назвать: пУсловия устойчивости тривиального решения множества систем диф еренциальных уравнений специального вида.квадратичной формы- Р Откуда, как- частный случай, получай бы достаточные условия устойчивости дви-■гения, заданного.;,линейной системой диф еренциальных уравнений , ибо уравнения возмущенного движения такой системы принадлежат к одному из вышеуказанных множеств.

Такое название с формальной точки зрения было бы более правильно. ' '!

Однако, мы отказались от этого по следующему-соображению. Каздое такое множество систем определяется главной своей часть», предетавлявщей нормальную систему линейных однородных дифференциальных уравнений, без которой- тривиальное решение этого множества'всегда устойчиво.

Поэтому мы.ограничилась более простым названием; при котором условия "А"; и "В" в общем случае являются достаточными, указав при этом на. возможность использования их при решении других специальных вопросов* связанных, с устойчивостью движения материальной системы.

Так как- вшеуказанные условия устойчивости охватывают более .широкий нласс движений, то при исследовании устойчивости движения, заданного, линейной системой ди-ференциальных уравнений, они ограничивают число случаев, поддающихся исследованию и это вполне-естественно.

Действительно, если мы хотим в большом масштабе осмотреть местность, - то дблкнн подняться на некоторую высоту и чем больше она, тем шире наш кругозор/ но при . этом мы теряем возможность более точно осмотреть отдельные части;этой местности и'наоборот, если щ хотим;более точно осмотреть тот или другой'небольшой участок, то мы должны снизиться, но тогда мы теряем возможность осмотреть всю мевтность. Конечно, можно осмотреть и отдельные части местности, находясь-на большой высоте,, но, очевидно, для этого мы должны иметь особые-инструменты (если они существуют) и ,нв только иметь, но и уметь ими пользоваться. Мы. не поставили целью настоящей работы дать,по возмояности,наиболее простой инструмент, пользование которщ доступно большинству людей, интересую- , щихся вопросами устойчивости. Правда этот инструмент в некоторых случаях, нужно Признать грубым,- но ценность его от этого не уменьшается, зачем выполнять работу топ кой хрупкой бритвой, если ее монно быстрее и проще выполнить топором. .

К а за н й

Май 1949 г.

I И ТЕ? А ТУ Р -А

ЛЯПУНОВ А«М. "'-"Общая- задача об устойчивости • ' - ' движения". ■;' /.

О.Н.Т.П. .1,935 г. . " с. ЕР7ГИН Н-П. ' . -"Приводимые системы"« . . . '

А.Н.СССР* ХШД946 г.

3. МШШН Й>Г. , ' -"Некоторые вопросы теорий устойчиво ' . стй в. смысле Ляпунова". ' , Казанский А-.й.^ 7Д937-' г.

4. "Записки семинара по. теории устойчивости движения - , Веонно-воздупшая Академия.1946 г.' п

5.'АЛЛЕЛЬ П.',' .-»Фигуры равновесия вращающейся одно-, , • родной жидкости". ■ ; , о. к. т.к.; - . п

6. СТЕПАНОВ'В.В. • -"Курс диференциальных. уравнений". Г.О.Н.Т.И.' 1939 г. - ■ / н

7,.,'СМИРНОВ В.И. '•' -"Курс высшей, математики".

- Том. Ш, Г• Т»Т«И.:-1933"г'»

II и