Диссипативные динамические явления в Бозе-конденсированных атомарных газах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мурышев, Андрей Евгеньевич

• Мурышев, Андрей Евгеньевич
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мурышев, Андрей Евгеньевич

Введение.

Глава 1. Литературный обзор.

1.1. Термодинамика идеального Бозе-газа

1.2. Кинетика Бозе-конденсации

1.3. Бозе-конденсация в слабо-неидеальном Бозе-газе

1.4. Динамика Бозе-конденсата

1.5. Сверхтекучесть и вихревые состояния.

1.6. Солитоны в Бозе-конденсированных газах

Глава 2. Оптические свойства Бозе-конденсированного атомарного водорода.

Глава 3. Бозе-конденсация и коллапс в Бозе-газе с отрицательной длиной рассеяния в ловушке.

Глава 4. Вихревые массивы в Бозе-конденсированных газах.

Введение 72.

4.1. Критическая скорость и образование вихрей

4.2. Уравнения эволюции вихревого массива

4.3. Диссипативная динамика вихревого массива.

Глава 5. Солитоны в Бозе-конденсированных газах.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Диссипативные динамические явления в Бозе-конденсированных атомарных газах»

1

Введение.

Бозе-Эйнштейновская конденсация (БЭК) разреженного газа, независимо предсказанная Бозе [1] и Эйнштейном [2] в 1924 году, впервые была обнаружена экспериментально в 1995 году в экспериментах с парами атомов щелочных металлов в JILA [3], MIT [4] и RICE [5]. Атомы, удерживаемые в магнитной ловушке, были охлаждены до сверхнизких температур порядка долей микрокельвина. После охлаждения магнитное поле ловушки выключалось и свободное расширение газа наблюдалось оптическими методами. При этом было зарегистрировано, что газ состоит из двух фракций: быстро расширяющегося теплового облака и медленно расширяющегося конденсата. Это послужило первым свидетельством Бозе-конденсации атомов. В настоящее время Бозе-конденсация атомарных газов получена уже более чем в тридцати лабораториях мира. Широкий интерес исследователей к этому уникальному явлению обусловил бурное развитие области [6, 7]

Природа Бозе-конденсации лежит в волновых свойствах материи и тесно связана с основами квантовой механики. По мере того как температура газа понижается, характерная длина волны де Бройля частицы газа увеличивается. Ниже определенной температуры (называемой температурой БЭК), характерная длина волны частиц газа превышает среднее расстояние между частицами, и тепловые волновые пакеты начинают перекрываться. При этом становятся существенными эффекты з введение. 5 квантовый объект, обычно называемый Бозе - конденсатом. БЭК проявляется как фазовый переход, сопровождаемый резким изменением физических свойств образца (смотри, например, [8]).

Уникальность и необычность явления Бозе-конденсации атомарных газов заключается в том, что в результате фазового перехода Бозе-конденсации разреженный газ приобретает свойства, кардинально отличные от свойств класических газов и характерных скорее для конденсированного состояния вещества. Прежде всего здесь следует назвать появление в газе дальнего порядка, коллективный характер возбуждений, нетривиальную зависимость свойств и динамики газа от межатомного взаимодействия. В то же время наличие фазовой когерентности, позволяющей рассматривать Бозе-конденсат как когерентную волну материи, подобную когерентной световой волне, приводит к явлениям, ранее наблюдавшимся лишь в волновой оптике, таким, например, как волновой коллапс.

Хотя эксперименты 1995 года с атомами щелочных металлов открыли новый этап в исследовании Бозе-конденсации, экспериментальное и теоретическое исследование этого явления, играющего важную роль во многих областях физики, имеет давнюю историю. Сверхтекучесть в гелии рассматривалась Лондоном как проявление Бозе-конденсации (1938) (свидетельство БЭК в гелии было впоследствии получено из распределения атомов гелия по импульсам, измеренного в экспериментах по рассеянию нейтронов [9]). Идея Бозе-конденсации послужила основой первой успешной феноменологической модели сверхпроводимости [10] (1935), а введение. 6 впоследствии Бозе-конденсация Куперовских пар электронов стала основой микроскопической теории сверхпроводимости. С шестидесятых годов ведутся исследования возможности Бозе-конденсации в газе экситонов в молекулярных кристаллах и полупроводниках [11].

Первые работы, направленные на достижение Бозе-конденсации в атомарных газах, начались более двадцати лет назад экспериментами со спин-поляризованным водородом [12, 13]. И, хотя успеха в Бозе-конденсации атомарного водорода удалось добиться лишь в 1998 году [14], эти эксперименты сыграли важную роль в развитии техники магнитного удержания атомов и испарительного охлаждения (смотри [6]). Другой важной составляющей успеха в Бозе-конденсации стала техника оптического удержания и охлаждения нейтральных атомов, получившая развитие в восьмидесятые годы [15, 16, 17]. Пары атомов щелочных металлов, оптические переходы которых могут быть возбуждены промышленными лазерами, оказались удачной средой для достижения Бозе-конденсации. Сочетанием лазерного и испарительного охлаждения щелочных атомов экспериментаторам удалось достичь необходимых для Бозе-конденсации температур.

Бозе-конденсированные атомарные газы обладают важными отличиями от известных ранее сверхтекучих систем, таких, например, как жидкий гелий. Прежде всего следует упомянуть пространственную неоднородность и ограниченность газа в ловушке. Впервые Бозе-конденсация проявляет себя в перестройке распределения газа не только в импульсном, но и в координатном пространстве. Конечность системы привносит не только количественные, но и качественные отличия в свойствах. введение. 7

Так, например, в ограниченной геометрии становится возможна Бозе-конденсация в газе с притяжением между частицами. Другой важной особенностью атомарных газов является их разреженность, математически выраженная наличием малого газового параметра. Существование малого параметра позволяет дать теоретическое описание основных свойств газа из первых принципов. Это дает уникальную возможность с высокой точностью экспериментально проверить существующие теории.

Диссертация посвящена теоретическому исследованию диссипа-тивных динамических явлений в термодинамически неравновесных разреженных Бозе - конденсированных газах. Основной идеей, связывающей вместе различные части Диссертации, является определяющая роль взаимодействия конденсата с тепловым облаком в релаксации различных возбужденных состояний Бозе-конденсата. Представленные результаты имеют непосредственное отношение к выполняемым в настоящее время экспериментальным исследованиям.

Диссертация организована следующим образом. После краткого Введения в Главе 1 дается краткий обзор области и объясняются основные понятия, используемые в Диссертации. В Главе 2 исследуется влияние перестройки энергетического распределения тепловых атомов, связанной с потерями конденсатных частиц за счет спиновой релаксации, на оптические свойства Бозе-конденсированного атомарного водорода. В главе 3 рассматривается коллапс Бозе-конденсата и исследуется стабилизирующая роль трехчастичной рекомбинации атомов в эволюции конденсата в газе атомов с отрицательной длиной рассеяния в ловушке. введение. 8

В Главах 4 и 5 рассматриваются макроскопические возбуждения Бозе-конденсата - вихри и солитоны. В главе 4 рассматриваются такие вопросы, как возникновение вихрей в Бозе-конденсате во вращающейся ловушке и их распад за счет взаимодействия с тепловыми частицами в неподвижной ловушке. После краткого введения, в первой части главы анализируется спектр элементарных возбуждений Бозе-конденсата в гармоническом потенциале в режиме Томаса-Ферми. На основе анализа спектра определяется критическая скорость течения Бозе-конденсата, при которой происходит спонтанное рождение вихрей. В последующих разделах выводятся уравнения, описывающие эволюцию конденсата с вихрями и теплового облака в неподвижной ловушке. На основе анализа этих уравнений определяется закон, по которому происходит распад вихрей и остановка вращения теплового облака. В Главе 5 строится теория солитонов в цилиндрических Бозе-конденсатах. В первой части главы исследуется динамическая устойчивость состояния с одним неподвижным солитоном в цилиндрической ловушке, то есть стоячей волны материи с одной узловой плоскостью, перпендикулярной оси циллиндрически симметричной ловушки. Во второй части исследуется динамическая устойчивость движущихся солитонов. В третьей части Главы исследуется термодинамическая неустойчивость солитонов. Определяется коэффициент рассеяния тепловых возбуждений на солитоне и с его помощью находится закон распада солитона за счет трения о тепловое облако. В Заключении приводятся основные результаты и выводы Диссертации.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мурышев, Андрей Евгеньевич

заключение. 142 на поверхность конденсата, где они исчезают. Таким образом, вращение конденсата останавливается. Проведено сравнение результатов теории с экспериментом [83].

В Главе 5 исследована динамическая устойчивость и диссипативная динамика темных солитонов в цилиндрических Бозе-конденсатах. Показано, что взаимодействие аксиальной и радиальной степеней свободы в ловушке снимает интегрируемость системы и приводит к рассеянию тепловых возбуждений на солитоне. Определен коэффициент отражения тепловых возбуждений от солитона и с его помощью найден закон распада солитона за счет трения о тепловое облако. В квазиодномерном случае диссипативная динамика солитонов определяется слабой неинтегрируемостью уравнения Гросса-Питаевского и время жизни солитона может быть очень большим. Для недавно полученных квазиодномерных Бозе-газов [139] построенная теория предсказывает существование солитонов с временами жизни более секунды. Это открывает возможности изучения диссипативных явлений, связанных с квантовым характером бозонного поля. Физическая картина меняется на противоположную, когда аксиальный размер солитона становится сравним с радиальным размером конденсата. В этом случае неинтегрируемость уравнения Гросса-Питаевского становится сильной, и отсутствие топологического заряда ведет к быстрой диссипативной динамике. Результаты теории объясняют эксперименты [105], а температурная зависимость времени жизни солитона открывает новые возможности для термометрии Бозе-конденсированных газов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мурышев, Андрей Евгеньевич, 2002 год

1. S. Bose, Z. Phys. 26, 178 (1924).

2. A. Einstein, Sitzber. Kgl. Preuss. Akad. Wiss. 261 (1924).

3. M. H. Anderson et al, Science 269, 198 (1995).

4. К. B. Davis et al, Phys. Rev. Lett. 75, 3969 (1995).

5. С. C. Bradley, C. A. Sackett, J. J. Tollett, and R. G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 75, 1687 (1995).

6. W. Ketterle, D. S. Durfee, and D. M. Stamper-Kurn, Proceedings of the International School of Physics 'Enrico Fermi', edited by M.Inguscio, S. Stringari, and C. Wieman (IOS press, Amsterdam, 1999).

7. F. DaJfovo, S. Giorgini, L. Pitaevskii, and S. Stringari, Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999).

8. L. Landau and E. Lifshitz, Statistical Physics, Part 1 (Pergamon Press, Oxford-Frankfurt, 1980).

9. P. Sokol, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 51.

10. H. London and F. London, Proc. Roy. Soc. (London) A149, 71 (1935).

11. J. P. Wolfe, J. L. Lin, and D. W. Snoke, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 281.

12. I. F. Silvera, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 160.

13. T. J. Greytak, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 131.

14. D. Fried et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3811 (1998).

15. S. Chu, Rev. Mod. Phys. 70, 685 (1998).

16. C. Cohen-Tannoudji, Atomic Physics, edited by C. Wieman, D. Wineland, and S. Smith (AIP, New York, 1995), Vol. 14, p. 193.

17. W. D. Philips, Rev. Mod. Phys. 70, 721 (1998).

18. J. R. Ensher et al, Phys. Rev. Lett. 77, 4984 (1996).

19. G. Baym et al, Phys. Rev. Lett. 83, 1703 (1999).

20. M. Holzmann and G. Baym, Phys. Rev. Lett. 87, 120403 (2001).

21. Nikolay Prokof'ev and Boris Svistunov, cond-mat/0103149.

22. O. J. Luiten, M. W. Reinolds, and J. Т. M. Walraven, Phys. Rev. A 53, 381 (1996).1. Литература 144

23. М. Holland and J. Cooper, Phys. Rev. A 55, 3670 (1997).

24. W. Ketterle and N. J. van Druten, Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics, edited by B. Bederson and H. Walther (Academic Press, San Diego, 1996), Vol. 37, p. 181.

25. V. E. Zakharov, Basic Plasma Physics, V. 2, edited by A. A. Galeev and R. N.Sudan (North Holland, Amsterdam, 1984).

26. В. V. Svistunov, J. Moscow Phys. Soc. 1, 373 (1991).

27. C. W. Gardiner et al, Phys. Rev. Lett. 81, 5266 (1998).

28. E. P. Gross, Nouvo Cimento 20, 454 (1961).

29. E. P. Gross, J. Math. Phys. 4, 195 (1963).

30. L. P. Pitaevskii, Sov. Phys. JETP 13, 451 (1961).

31. Y. Kagan, G. Shlyapnikov, and J. Walraven, Phys. Rev. Lett 76, 2670 (1996).

32. V. V. Goldman, I. F. Silvera, and A. J. Leggett, Phys. Rev. В 24, 2870 (1981).

33. D. A. Huse and E. D. Siggia, J. Low Temp. Phys. 46, 137 (1982).

34. L. Hau et al, Phys. Rev. A 58, R54 (1998).

35. P. R. de Gennes, Superconductivity of Metals and Alloys (Benjamin, New York, 1966).

36. E. M. Lifshitz and L. P. Pitaevskii, Statistical Physics, Part 2 (Pergamon Press, Oxford, 1980).

37. M. Andrews et al, Phys. Rev. Lett. 79, 553 (1997).

38. S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 77, 2360 (1996).

39. P. Ohberg et al, Phys. Rev. A 56, R3346 (1997).

40. M. Fliesser, A. Cordas, R. Graham, and P. Szepfalusy, Phys. Rev. A 56, 4879 (1997), cond-mat/9707122.

41. Y. Castin and R. Dum, Phys. Rev. Lett. 77, 5315 (1996).

42. Y. Kagan, E. L. Surkov, and G. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 55, R18 (1997).

43. D. S. Jin et al., Phys. Rev. Lett. 77, 420 (1996).

44. M.-O. Mewes et al, Phys. Rev. Lett. 77, 988 (1996).

45. D. S. Jin et al., Phys. Rev. Lett. 78, 764 (1997).

46. D. Stamper-Kurn, H.-J. Miesner, S. I. M. Andrews, and W. Ketterle, Phys. Rev. Lett. 81, 500 (1998), cond-mat/9801262.

47. P. O. Fedichev, G. V. Shlyapnikov, and J. Т. M. Walraven, Phys. Rev. Lett 80, 2269 (1998).

48. P. O. Fedichev and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 58, 3146 (1998).

49. Y. Kagan, E. L. Surkov, and G. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 54, R1753 (1996).

50. Y. Castin and R. Dum, Phys. Rev. Lett. 77, 5315 (1996).

51. Y. Kagan, E. L. Surkov, and G. Shlyapnikov, Phys. Rev. Lett. 79, 2604 (1997).

52. C. A. S. et al., Phys. Rev. Lett. 82, 876 (1999).

53. Elizabeth A. Donley et al., preprint cond-mat/0105019.1. Литература 145

54. A. Smerzi and S. Fantoni, Phys. Rev. Lett. 78, 3589 (1997).

55. P. 0. Fedichev and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A. 63, 045601 (2001).

56. C. Raman et al, Phys. Rev. Lett. 83, 2502 (1999).

57. F. Dalfovo and S. Stringari, Phys. Rev. A 53, 2477 (1996).

58. M. Edwards et al, Phys. Rev. A 53, (1996).

59. B. Jackson, J. F. McCann, and C. S. Adams, Phys. Rev. Lett. 80, 3903 (1998).

60. K. W. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 84, 806 (2000).

61. C. Raman et al, Phys. Rev. Lett. 87, 210402 (2001).

62. M. R. Matthews et al, Phys. Rev. Lett. 83, 2498 (1999).

63. P. C. Haljan, I. Coddington, P. Engels, and E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 87, 210403 (2001).

64. S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 82, 4371 (1999).

65. F. Dalfovo and S. Stringari, Phys. Rev. A 63, 011601 (2001).

66. S. Sinha and Y. Castin, Phys. Rev. Lett 87, 190402 (2001).

67. D. L. Feder, A. A. Svidzinsky, A. L. Fetter, and C. W. Clark, Phys. Rev. Lett 86, 564 (2001).

68. R. Dum, J. I. Cirac, M. Lewenstein, and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 80, 2972 (1998).

69. Phys. Rev. Lett. 79, 4728 (1997).

70. B. P. Anderson et al, Phys. Rev. Lett. 86, 2926 (2001).

71. A. E. Muryshev, H. B. van Linden van Heuvell, and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 60, (1999).

72. D. L. Feder et al, Phys. Rev. A 62, 053606 (2000).

73. L. Dobrek et al, Phys. Rev. A 60, (1999).

74. H. Pu, С. K. Law, J. H. Eberly, and N. P. Bigelowl, Phys. Rev. A 59, 1533 (1999).

75. A. Fetter, J. Low Temp. Phys. 113, 189 (1998).

76. D. S. Rokhsar, Phys. Rev. Lett. 79, 2164 (1997).

77. J. J. Garcia-Ripoll and V. M. Perez-Garcia, Phys. Rev. A 60, 4864 (1999).

78. P. O. Fedichev and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 60, R17779 (1999).

79. E. Lundh, C. J. Pethick, and H. Smith, Phys. Rev. A 58, 4816 (1998).

80. Chevy, K. W. Madison, V. Bretin, and J. Dalibard, Phys. Rev. A 64, 031601 (2001).

81. S. Inouye et al, Phys. Rev. Lett. 87, 080402 (2001).

82. E. L. Bolda and D. F. Walls, Phys. Rev. Lett. 81, 5477 (1998).

83. W. W. J. D. K. W. Madison, F. Chevy, preprint cond-mat/0004037.

84. T. Bergeman, Phys. Rev. 161, 189 (1972).

85. R. J. Donnelly, Quantized vortices in helium II (Cambridge University Press, Cambridge, 1991).

86. E. B. Sonin, Phys. Rev. В 55, 485 (1997).

87. F. Zambelli and S. Stringari, Phys. Rev. Lett. 81, 1754 (1998).

88. S. Sinha, Phys. Rev. A 55, 4325 (1997).1. Литература 146

89. A. A. Svidzinsky and A. L. Fetter, Phys. Rev. A 58, 3168 (1998).

90. D. L. Feder, A. A. Svidzinsky, A. L. Fetter, and C. W. Clark, Phys. Rev. A 58, 3168 (1998).

91. F. Chevy, K. W. Madison, and J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 85, 2223 (199).

92. B. P. Anderson, P. C. Haljan, С. E. Wieman, and E. A. Cornell, Phys. Rev. Lett. 85, 2857 (2000).

93. A. A. Svidzinsky and A. L. Fetter, Phys. Rev. A 62, 063617 (2000).

94. W. W. J. D. K. W. Madison, F. Chevy, preprint cond-mat/0108195.

95. A. E. Muryshev and P. 0. Fedichev, preprint cond-mat/0004264.96. 0. N. Zhuravlev, A. E. Muryshev, and P. 0. Fedichev, Phys. Rev. A 64, 053601 (2001).

96. D. Petrov, M. Hollzmann, and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. Lett. 81, 5266 (1998).

97. D.S. Petrov and G. V. Shlyapnikov, e-print cond-mat/0006339.

98. V. Zakharov and A. B. Shabat, Sov. Phys. JETP 37, 823 (1973).

99. R. Rajaraman, Solitons and Instantons (North-Holland, Amsterdam-New York-Oxford, 1982).

100. Y. Kivshar and B. L.-Davis, Phys. Rep. 298, 81 (1998).

101. T. Busch and J. Anglin, Phys. Rev. Lett. 84, 2298 (2000).

102. A. D. Jackson, G. M. Kavoulakis, and C. J. Pethick, Phys. Rev. A 58, 2417 (1998).

103. J. D. et al., Science 287, 97 (2000).

104. S. B. et al, Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999).

105. B. P. A. et al, Phys. Rev. Lett. 86, 2926 (2001).

106. S. Burger et al, Phys. Rev. Lett. 83, 5198 (1999).

107. P. xdiberg and L. Santos, Phys. Rev. Lett. 86, 2918 (2001).

108. T. Busch and J. R. Anglin, Phys. Rev. Lett. 87, 010401 (2001).

109. S. Coen and M. Haelterman, Phys. Rev. Lett. 87, 140401 (2001).

110. T. Busch and J. R. Anglin, Phys. Rev. A 60, (1999).

111. H. P. S. Raghavan and N. P. Bigelow, Phys. Rev. A 63, 063603 (2001).

112. E. Kuznetsov and S. Turitsin, Sov. Phys. JETP 67, 1583 (1988).

113. P. O. Fedichev, A. E. Muryshev, and G. V. Shlyapnikov, Phys. Rev. A 60, 3220 (1999).

114. D. Fried et al., Phys. Rev. Lett. 81, 3807 (1998).

115. Y. Kagan and G. V. Shlyapnikov, Phys. Lett. A 130, 483 (1988).

116. T. W. Hijmans, Y. Kagan, G. V. Shlyapnikov, and J. Т. M. Walraven, Phys. Rev. В 48, 12886 (1993).

117. Y. Kagan, Bose Einstein Condensation, edited by A. Griffin, D. W. Snoke, and S. Stringari (Cambridge University Press, Cambridge, 1995), p. 202.

118. H. Т. C. Stoof, J. M. V. A. Kollman, and B. J. Verhaar, Phys. Rev. В 38, 4688 (1988).

119. M. O. Oktel and L. S. Levitov, Phys. Rev. Lett. 83, 6 (1999).

120. С. C. Bradley, C. A. Sackett, and R. G. Hulet, Phys. Rev. Lett. 78, 985 (1997).1. Литература 147

121. P. Ruprecht, M. Holland, К. Burnett, and M. Edwards, Phys. Rev. A 51, 1671 (1995).

122. R. Dodd et al, Phys. Rev. A 54, 661 (1996).

123. E. Shuryak, Phys. Rev. A 54, 3151 (1996).

124. M. Houbiers and H. Stoof, Phys. Rev. A 54, 3151 (1996).

125. T. Bergeman, Phys. Rev. A 55, 3658 (1997).

126. V. Bagnato, D. Pritchard, and D. Kleppner, Phys. Rev. A 35, 4354 (1987).

127. M. Kosmatov, V. Shvets, and V. Zakharov, Physica D 52, 16 (1991).

128. R. Feynman, Statistical Mechanics: a set of lectures (Benjamin Reading, Massachusetts, 1982).

129. M. Tsubota, K. Kosamatsu, and M. Ueda, cond-mat/0104523.

130. E. Zaremba, Phys. Rev. A 57, 518 (1998).

131. F. Dalfovo, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari, Phys. Rev. A 54, 4213 (1996).

132. E. Lundh, C. J. Pethick, and H. Smith, Phys. Rev. A 55, 2126 (1997).

133. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relativistic Theory (Pergamon Press, Oxford, 1977).

134. A. B. Migdal and S. Weinberg, Qualitative methods in quantum theory (W. A. Benjamin, INC, London, 1977).

135. F. Chevy, K. Madison, V. Bretin, and J. Dalibard, cond-mat/0104218.

136. D. Guery-Odelin, Phys. Rev. A 62, 033607 (2000).

137. R. Spreeuw, T. Pfau, U. Janicke, and M. Wilkens, Europhys. Lett. 32, 469 (1995).

138. A. Gorlitz et al, Phys. Rev. Lett. 87, 130402 (2001).