Дискретные группы изометрий гиперболического пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Маслей, Александр Викторович

• Маслей, Александр Викторович
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Маслей, Александр Викторович

Оглавление

Введение

1 Определения и предварительные результаты

1.1 Группа Р8Ь(2, С) и ее действие на И3 и С

1.2 Двупорожденные подгруппы Р8Ь(2, С)

1.3 Теорема комбинирования Клейна — Маскита

1.4 Группы с двумя эллиптическими порождающими

2 Достаточные условия дискретности

2.1 Группы с двумя локсодромическими порождающими

2.2 Группы с локсодромическим и эллиптическим порождающими

3 Условия дискретности для групп Маскита

3.1 Группы, порожденные непараболическим элементом и инволюцией

3.2 Группы Маскита

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные группы изометрий гиперболического пространства»

Введение

Объектом исследования в данной работе являются дискретные группы сохраняющих ориентацию изометрий трехмерного гиперболического пространства Н3. Теория дискретных групп преобразований восходит к мемуарам А. Пуанкаре и Ф. Клейна конца XIX века. С самых истоков эта тематика элегантно сочетает в себе идеи анализа, теории групп, топологии и геометрии. В последние сорок лет интерес к ней во многом связан с программой геометризации У. Тер-стона, в которой гиперболические многообразия и орбифолды играют ключевую роль.

Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изометрий Н3 изоморфна группе РЭЬ(2, С). Элемент д е Р8Ь(2,С), где д = {±М} и М е 8Ь(2, С), называется эллиптическим, параболическим или локсодромическим, если Ьт2{М) е [0;4), ^2(М) = 4 или 1г2(М) € С\[0;4] соответственно. Нетривиальный непараболический элемент оставляет инвариантной единственную геодезическую в Н3, которая называется его осью.

Дискретные подгруппы Р8Ь(2, С) действуют собственно разрывно в Н3. Тем самым объясняется интерес к ним с точки зрения теории униформизации. Основные сведения по теории дискретных групп можно найти в [1, 2, 3, 4].

Существует несколько подходов к изучению свойства дискретно-

сти подгрупп РЭЬ(2,С). Напомним, что если стабилизатор точки р Е Н3 в дискретной группе С < Р8Ь(2,С) не тривиален, то он изоморфен одной из точечных групп: циклической, диэдральной, тетраэдральной, октаэдральной или икосаэдральной. В [5] Д. А. Дерев-нин, А. Д. Медных и в [6] Ф. Геринг, Т. Маршалл, Г. Мартин установили нижние оценки на расстояния между точками в Н3, стабилизаторы которых в дискретной группе изоморфны группе тетраэдра, октаэдра или икосаэдра. Оценки на расстояния между осями эллиптических элементов в дискретной группе были найдены в [7, 8]. Все эти результаты являются необходимыми условиями дискретности.

Достаточные условия дискретности даются теоремой комбинирования Клейна — Маскита (см. §1.3) и теоремой Пуанкаре о фундаментальном многограннике (см. [9, 10, 11]). Эти теоремы позволяют выписать копредставление группы.

В 1977 году Т. Йоргенсен [12] показал, что вопрос о дискретности группы С < Р8Ь(2,С) сводится к вопросу о дискретности ее двупорожденных подгрупп. Для некоторых классов двупорожденных групп известны критерии дискретности. В [13] описаны все дискретные подгруппы Р8Ь(2,М) с двумя порождающими. Критерии дискретности для большинства 7?/Р-групп приведены в [14, 15]. Тем не менее, классификация всех двупорожденных дискретных групп до сих пор остается открытой и весьма сложной проблемой. Поэтому возникает интерес к нахождению необходимых и достаточных условий дискретности, которые проясняют ситуацию в целом.

Среди необходимых условий дискретности для двупоржденных групп отметим теоремы Т. Йоргенсена [16] и Д. Тана [17]. Эти условия имеют вид нестрогих неравенств, связывающих квадраты следов каждого из двух порождающих и след их коммутатора. Имен-

но неравенство Йоргенсена позволяет свести вопрос о дискретности произвольной группы к рассмотрению ее двупорожденных подгрупп.

Целью диссертации является развитие теории дискретных групп изометрий Н3. Основное внимание уделено получению достаточных условий дискретности для групп с двумя непараболическими порождающими, а также применению этих и других условий дискретности для исследования групп специального вида.

В работе получены следующие основные результаты:

— разработан новый метод исследования дискретности двупорожденных групп изометрий Н3;

— установлены достаточные условия дискретности для групп изометрий Н3, порожденных двумя непараболическими элементами;

— дан ответ на вопрос Б. Маскита о дискретности групп изометрий Н3 специального вида.

Перейдем к описанию структуры работы и точным фомулировкам основных результатов. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы. Нумерация утверждений и рисунков состоит из двух чисел - номера главы и порядкового номера в главе. Работа содержит 9 рисунков. Список литературы приведен в порядке цитирования, за исключением работ автора по теме диссертации, выделенных в отдельную часть. Список литературы насчитывает 46 наименований. Общий объем диссертации: 77 страниц.

Введение содержит информацию об актуальности работы, ее целях и основных результатах.

Первая глава носит вспомогательный характер. В параграфе 1.1 изложены определения, а также некоторые известные факты о геометрии гиперболического пространства и группе его сохраняющих

ориентацию изометрий. В параграфе 1.2 обсуждаются параметры двупорожденной группы и их геометрический смысл. В параграфе 1.3 сформулирована теорема комбинирования Клейна — Маскита. Главу завершает параграф 1.4, в котором приводится обзор результатов о дискретности групп, порожденных двумя эллиптическими изометриями.

Вторая глава посвящена достаточным условиям дискретности для групп, порожденных двумя непараболическими изометриями.

Основным результатом параграфа 2.1 является достаточное условие дискретности для групп с двумя локсодромическим порождающими.

Теорема 2.1. [1*] Пусть группа G — (f,g) < PSL(2,C) такова, что fug- локсодромические элементы с величинами сдвигов Tf и т9, S(f,g) и 9(f,g) - расстояние и угол между осями порождающих. Обозначим af = arcsin(l/ch(ry/2)) и ag = arcsin(l/ch(r5/2)). Предположим, что выполнено одно из следующих условий: (1) af + ag < 9(f, g),

(2 )«, + «»*(/,,) и chf(/,g) > + \

Тогда G - неэлементарная дискретная группа и G = (/) * (g).

Основной результат параграфа 2.2 - достаточное условие дискретности для групп с локсодромическим и эллиптическим порождающими.

Теорема 2.2. [1*] Пусть группа G = (f,g) < PSL(2,C) такова, что f - локсодромический элемент с величиной сдвига Tf, g - эллиптический элемент порядка п > 2, 5(f. g) и 6(f. g) - расстояние и угол между осями порождающих. Предположим, что

выполнено неравенство

сЬ(ту/2) со$(-к/п) вт0(/, д) + 1 sh.(тf/2) 8т(7г/п)

Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Доказательства этих теорем проводятся следующим образом. Для циклических групп, соответсвующих порождающим, строятся фундаментальные множества, которые удовлетворяют всем условиям теоремы комбинирования Клейна — Маскита.

Третья глава посвящена условиям дискретности для групп изо-метрий специального вида, которые называются группами Маскита. Кроме того, в ней получены достаточные условия дискретности для групп, порожденных непараболической изометрией и инволюцией (т.е. эллиптической изометрией второго порядка).

В параграфе 3.1 рассматриваются группы с двумя непараболическими порождающими, один из которых является инволюцией. Для таких групп неравенства из теорем 2.1 и 2.2 упрощаются и получаемые оценки не зависят от угла 9(/,д). Следующие две теоремы улучшают эти оценки, учитывая значение 9{/,д).

Теорема 3.1. [2*] Пусть группа С = (/,д) < Р8Ь(2,С) такова, что / - эллиптический элемент порядка т > 3 и д - инволюция. Предположим, что выполнено одно из следующих условий:

(1) в(/,д) < тг/4 и бЪ.5(/. д) > <*8(тг/т) соз0(/; д),

(2) ви,д) > тг/4 и вЬ <*(/,$) > (*е(тг/т)8т0(/,0).

Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = (/) * (д).

Теорема 3.2. [2*] Пусть группа С = (/,д) < РБЬ(2,С) такова, что f - локсодромический элемент с величиной сдвига Tf и д - инволюция. Обозначим = агсзт(1/сЬ(г//2)). Предположим,

что выполнено одно из следующих условий:

(1) еи,д)<фич<ои,91

(2) в{/,д) < тг/4, а! > 0(/,</) и сЬ <*(/,<?) > сЬЦу/2) соз 0(/, д),

(3) 0(/, д) > тг/4 и а/ < тг/2 - 0(/, р),

(4) > тг/4, а/ > тг/2 -£(/,<?) и сЪ6(!,д) > аЦт;/2)зтв(/,д). Тогда С - неэлементарная дискретная группа и С = {/) * (д).

Доказательства этих теорем основаны на том факте, что в любой группе с двумя порождающими, один из которых является инволюцией, существует подгруппа специального вида, наличие некоторых свойств у которой влечет их наличие у самой группы.

В 1989 году Б. Маскит [18] сформулировал следующий вопрос: при каких условиях на порождающие группа (/, д) < Р8Ь(2,С) такая, что элемент / имеет две неподвижные точки Е С и д(гх) = г<1, является дискретной? Фигурирующие в этом вопросе группы будем называть группами Маскита. В [18] показано, что дискретные группы Маскита разбиваются на пять семейств. Одно из них содержит только элементарные группы и вопрос о их дискретности сводится к известным результатам. Для оставшихся четырех семейств имеют место достаточные условия дискретности и недискретности, полученные в [18] и [19], которые, однако, не дают полного ответа на вопрос Маскита.

В параграфе 3.2 дан частичный ответ на вопрос Маскита. Этот ответ приведен в следующих четырех теоремах, сформулированных в терминах параметров двупорожденной группы. Параметрами группы (/. <?) < Р8Ь(2,С) называется упорядоченная тройка раг(/, д) = где 7 = Н!дГ1д~1) -2, р = 1г2(/) - 4 и /3' = - 4. Обозначим V = { - 4зт2(7г/т) | т Е Ж, т> 2 } и [0. +оо).

Теорема 3.7. [4*] Пусть в = (/,р) < Р8Ь(2,С) и

рах</,0) = (-4,-4,/3').

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если 0 < |/3' + 4| < 1, то С - недискретная группа;

(2) если —8 < /3' < 0, то группа С дискретна тогда и только тогда, когда

(3' Е {-4-4соэ2 — т <Е Z, га > 3 } и {-48т2 — те2,т>2};

т т

(3) если + 4| > 4, то С - дискретная группа;

(4) если (3' = • (г + 4) - 4, к Е {2,3,4,8,9,10} и г Е { — 4 8т2(7г/т) | т е Ж, т > 2 }, то С - дискретная группа;

(5) если /3' е С \ М, |/3' + 4| < 4 и (3' = р + ди, где р, д Е ^ о; = гу^ и п Е N. то С - дискретная группа;

(6) если ¡3' Е С \ Ж, + 4| < 4 и (3' = р + ди, где р, д Е Ъ, со — (1 + гу/Ап — 1)/2 мп^М, то С - дискретная группа.

Теорема 3.8. [4*] Яг/сть С = (/,#) < Р8Ь(2,С) и

раг(/,<7) = (-3,-3,/3').

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если хотя бы для одного к Е {0,2,4} выполнено неравенство 0 < \(3' + 4 — е^/3! < I, то й - недискретная группа;

(2) если (З1 = ■ (г + 4) - 4, к Е {0,2,4} иге [-4, +оо), то группа С дискретна тогда и только тогда, когда г Е £>;

(3) если /3' = е7^/3 • (г + 4) - 4, к Е {1,3,5} иг Е 1), то С - дискретная группа.

Теорема 3.9. [4*] Пусть С = (¡,д) < Р8Ь(2,С) и

раг(/,р) = (-2,-2,/3/).

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств

О < |/3' + 4 - екжг/2\ < 1, О < |/3' + 4 - 2екш/2\ < {уД - 1)/2 или 2 < 1/3' + 4| + \(3' + 4 - 2е^/2| < >/3 + 1

при к е {ОД, 2.3}, то С - недискретная группа;

(2) если /3' = ежЫ/2 • (г + 4) - 4, /се {0,1, 2, 3} и г е [-4, +оо), то группа (7 дискретна тогда и только тогда, когда г е £>.

Теорема 3.10. [4*] Пусть в = (/,$) < Р8Ь(2,С) и

Тогда имеют место следующие свойства:

(1) если выполнено хотя бы одно из следующих неравенств

О < \(3' + 4 - еш/3\ <1 шш 0 < \/3' + 4 - 2е^/3| < 1/2

я/ш к € {0,1, 2, 3, 4, 5}, то (7 - недискретная группа;

(2) если Р' = ежЫ/3 • (г + 4) — 4, к е {0,1,2,3,4,5} ¿г г е [-4, +оо), то группа С дискретна тогда и только тогда, когда г е £>.

Доказательства этих теорем используют следствие теоремы 3.2 и условия дискретности из [7, 17, 18, 19].

Результаты диссертации докладывались на семинаре «Инварианты трехмерных многообразий» под руководством члена-корреспондента РАН Веснина А. Ю. (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2012, 2013, 2014); семинаре «Геометрия, топология и их приложения» под руководством академика РАН Тайманова И. А. (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2013, 2014); семинаре «Дифференциальная геометрия и приложения» под руководством академика РАН Фоменко А. Т. (МГУ, Москва, 2013); семинаре отдела анализа и геометрии ИМ СО РАН

под руководством академика РАН Решетняка Ю. Г. (ИМ СО РАН, Новосибирск, 2014).

Результаты диссертации были представлены на Международных конференциях «Дни геометрии в Новосибирске» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 4-ой Международной геометрической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Александра Даниловича Александрова (Санкт-Петербург, 2012); 20-ой Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2013); Международной конференции «Геометрия и анализ на метрических структурах» (Новосибирск, 2013); Международной конференции «Квантовая и классическая топология трехмерных многообразий» (Челябинск, 2014); Международных школах-семинарах «Ломоносовские чтения на Алтае» (Барнаул, 2011, 2012); Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2011, 2012, 2013); 44-ой Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, 2013).

За результаты, вошедшие в диссертационную работу, автору были присуждены стипендия имени профессора Л. В. Сабинина (НГУ, Новосибирск, 2012, 2014) и грамота за лучший доклад на 20-ой Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (МГУ, Москва, 2013).

Основные результаты диссертации опубликованы в шестнадцати печатных и электронных изданиях [1*]-[16*], три из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1*, 2*, 3*], тринадцать — в тезисах докладов и материалах конференций [4*]-[16*]. Результаты работы [3*] получены авторами совместно, при равном вкладе, и являются неделимыми.

Глава 1

Определения и предварительные результаты

1.1 Группа Р8Ц2, С) и ее действие на М3 и С

Следуя [1, 4], приведем основные факты о трехмерном гиперболическом пространстве и группе его сохраняющих ориентацию изо-метрий.

Пусть М не является единичным элементом И и элементом —Ы. Он называется эллиптическим, если Ьг2(М) € [0;4); параболическим, если ^2(М) = 4; локсодромическим, если Ьх2(М) е С \ [0;4]. Эллиптический элемент называется примитивным, если Ьт2(М) = 4 сое2(тт177,) для некоторого п 6Е М, и непримитивным, если Ьт2(М) = 4 соз2(7г/с/п) для таких к.п <Е М, что 1 < к < п/2 и (к.п) = 1. Локсодромический элемент называется гиперболическим, если > 4, и строго локсодромическим в противном случае. На группе 8Ь(2,С) рассмотрим топологию, индуцированную нормой || • ||.

обозначим

Ьг(М) = а + (1 и ||М|| = ^/\а\2 + \Ъ\2 + \с\2 + \<1\2.

Напомним, что PSL(2,C) = SL(2, C)/{±Id}. Элемент этой группы называется эллиптическим (в том числе примитивным или непримитивным), параболическим или локсодромическим (в том числе гиперболическим или строго локсодромическим), если таким является его представитель в SL(2,C). В дальнейшем мы не будем различать матрицу М е SL(2, С) и класс эквивалентности {±М} е PSL(2, С). Группа G < PSL(2,C) называется дискретной, если она является дискретным множеством в фактортопологии.

Рассмотрим модель Пуанкаре гиперболического пространства Н3,

IcZzI2 dt2

т.е. множество {(z,t) : z G С, t > 0} с метрикой ds2 — -—-•

Множество ОТ3 будем называть абсолютом и отождествлять его с расширенной комплексной плоскостью С. Эта модель конформна. Геодезическими в ней являются дуги окружностей, перпендикулярные абсолюту, и лучи, перпендикулярные абсолюту. Геодезическими гиперплоскостями - полусферы, перпендикулярные абсолюту, и полуплоскости, перпендикулярные абсолюту.

Если геодезические £\ и £2 имеют общую точку на абсолюте, то угол между ними положим равным нулю. В противном случае существует единственная перпендикулярная им геодезическая £3. Углом между £i и £2 назовем величину двугранного угла, образованного гиперплоскостью, содержащей £\ и £3, и гиперплоскостью, содержащей

£2 и е3.

Хорошо известно, что группа всех сохраняющих ориентацию изо-метрий И3 изоморфна PSL(2.C), и элемент g = \ ] Е PSL(2.C)

Vе dJ

действует на Н3 следующим образом:

(az + b)(cz + d) 4- act2 t

g(z, t) =

\cz + d\2 + \c\4z ' \cz + + \c\2V 13

При этом он действует на С дробно-линейным преобразованием

Легко видеть, что непараболические элементы, и только они, имеют две различные неподвижные точки в С, а параболические элементы, и только они, - ровно одну (см., например, [1, §4.3]). Для локсодромического элемента выделяют притягивающую и отталкивающую неподвижные точки. Точнее, пусть д - локсодромический элемент и г\,г<1 Е С - его неподвижные точки. Точка называется притягивающей, если Нш^оо дп(г) = для всех геС \ Соответственно, точка 2:2 называется отталкивающей. Отметим, что притягивающая неподвижная точка элемента д является отталкивающей неподвижной точкой элемента д~1.

Осью непараболического элемента д назовем геодезическую в Н3, соединяющую его неподвижные точки в С, и будем обозначать ее £д. Ось 1д инварианта относительно действия д. Более того, если д -эллиптический элемент, то £д - множество его неподвижных точек.

Непараболический элемент д сопряжен в РЭЬ(2, С) элементу вида

тд = 1п х и = ср. Величины тд и (рд называются величиной сдвига и углом поворота элемента д. Заметим, что если д - эллиптический элемент, то угол определен с точностью до знака. Действительно,

Поэтому д одновременно сопряжен h и h~l. Тем не менее, корректно определена величина cos срд.

Группа G < PSL(2,C) называется элементарной, если существует

az + Ь

Обозначим

в этом случае к = 1 и h 1 — khk \ где к

конечная С-орбита в Н3 и С. В противном случае группа С называется неэлементарной.

Для группы С < Р8Ь(2,С) и точки р <Е Н3 и С обозначим через стабилизатор р в С. Полную классификацию элементарных дискретных групп дает следующая теорема.

Теорема 1.1. [4, §2.1] Пусть С < Р8Ь(2,С) - элементарная дискретная группа. Тогда имеет место один из следующих случаев:

(1) группа С конечна и имеет неподвижную точку в Н3;

(2) С = для некоторого р е С;

(3) существует С-орбита в С, состоящая из двух точек. В этом случае имеется такая подгруппа Н < С индекса 2, что Н = Нр для некоторого р е С.

Следующая теорема позволяет свести вопрос о дискретности неэлементарной группы к изучению ее двупорожденных подгрупп.

Теорема 1.2. [4, §2.4] Пусть группа С < Р8Ь(2,С) не элементарна. Тогда следующие утверждения равносильны.

(1) Группа С дискретна.

(2) Каждая подгруппа с двумя образующими в С дискретна.

Эта теорема была установлена Т. Йоргенсеном [12] в 1977 г. Отметим, что он использовал определение элементарной группы, отличное от того, которое дано выше. А именно, в [12] группа называется элементарной, если коммутатор любых двух ее элементов бесконечного порядка имеет след равный двум. Геометрический смысл этого определения объясняет следующее предложение.

Предложение 1.1. [1, §4.3] Элементы ¡.д е Р8Ь(2,С) имеют общую неподвижную точку в С тогда и только тогда, когда

М/рГ^"1) = 2.

Два приведенных определения элементарной группы не эквивалентны. Это видно из следующего примера. Пусть группа (7 < Р8Ь(2, С) имеет два эллиптических порождающих / и д бесконечного порядка и = {р} для некоторого р е Н3. Тогда любой ее элемент оставляет неподвижной точку р, но / и д не имеют общих неподвижных точек в С.

1.2 Двупорожденные подгруппы Р8Ь(2,С)

Пусть /,д е РЭЬ(2,С). Тогда определены следующие величины

7(/, 9) = Ч!дГ19~1) ~ 2, Ш) = <*2(/) - 4, ¡3(д) = 1г2Ы - 4,

которые не зависят от выбора матриц из 8Ь(2,(С), представляющих /и д. Для непараболического элемента д имеет место следующая взаимосвязь между величинами тд, (рд и /3(д).

Лемма 1.1. [20] Пусть д е Р8Ь(2,С) - нетривиальный непараболический элемент. Тогда

сЬ(Тд) = Ш+1+Ш, С05Ы=№) + 4|-№)1

Приведем простое следствие этой леммы.

Следствие 1.1. Пусть д <Е Р8Ь(2,С) - нетривиальный непараболический элемент. Тогда

сЬ(т9/2) = фЖ±А+ША±А}

Р{д) + 4| + \Р{д)\ — 4

8Ь(г5/2) = ^

Пусть /,д е Р8Ц2.С) - нетривиальные непараболические элементы. Обозначим через £(/,<?) гиперболическое расстояние между

осями и £д, и через в(/,д) - угол между осями и £д. Заметим, что 3(/,д) > 0 и 0 < #(/,#) < тт/2. Имеет место следующая взаимосвязь между величинами 6(/,д), в(/,д) и 7(/,$), /?(/),

Лемма 1.2. [7] Пусть /, р е Р8Ь(2,С) - нетривиальные непараболические элементы, которые не имеют общих неподвижных точек на абсолюте. Тогда

сЬ(2 6(/,д)) = соз(2 вЦ,д)) =

47 (/,<?)

Ш)М 47 (/,<?)

+ 1

+ 1

+

ШЖд)

Эта лемма имеет очевидное следствие.

47 (/,<?)

мт

47 (/,<?) РиШя)

Следствие 1.2. Пусть /,5 е Р8Ь(2,С) - нетривиальные непараболические элементы, которые не имеют общих неподвижных точек на абсолюте. Тогда

= у /?(/)/%) + 2 + 2т(/, д) ШЖд)

27(/,Р) , 1 ШЖя) 2 + 27 и, 9) Ш)Р(д) 1 2'

соб 0(/,р) = ^ ШЖд) + 2 — 27 (/,$) ДЯ/%) Ч

эт 0(/,я)

27 (1,9)

+

_1_ 27 (/,<?)

ДЯ/%)

Н

Пусть (/,д) - группа, порожденная элементами /,д е Р8Ъ(2,С). Упорядоченную тройку (-у, /?. /5'), где 7 = 7(¡,д), (5 = /3(/) и ¡3' = будем называть параметрами группы (/,<?) и обозначать

раг(/,р) = (7;/3,/Г).

Очевидно, параметры группы зависят от выбора ее порождающих. При этом имеет место следующая теорема.

Теорема 1.3. [21] Пусть 7 е С\{0} и /3,(3' е С. Тогда существует группа (/,<?) < Р8Ь(2,С), единственная с точностью до сопряжения в Р8Ц2,С), такая, что раг(/,<7) = (7

1.3 Теорема комбинирования Клейна — Маскита

В этом параграфе будет сформулирован результат, полученный Ф. Клейном в [22] и обобщенный Б. Маскитом в [23, 24].

Говорят, что группа (7 < Р8Ъ(2,С) действует разрывно в точке г Е С, если существует окрестность II этой точки такая, что д(и) П и = 0 для всех элементов д е С, кроме единичного. Множество всех точек, в которых С действует разрывно называется множеством разрывности группы С и обозначается Я(С). Следуя [23, 24, 25], группу С < Р8Ь(2,С) будем называть клейновой, если ф 0. Клейнова группа дискретна (см., например, [25, II.С]). Пусть С - клейнова группа. Множество Б С С называется частичным фундаментальным множеством группы С, если (1)

(2) В с

(3) д(-О) П В = 0 для всех элементов д е С, кроме единичного. Если множество удовлетворяет условиям (1)-(3) и

(4) у 9(Р) =

дес

то оно называется фундаментальным множеством группы С. Условие (3) означает, что любые две точки из Б не С-эквивалентны, а условие (4) - что любая точка из С-эквивалентна некоторой

точке из В.

Теорема комбинирования Клейна — Маскита. [24] Пусть Сп,С?2 - клейновы группы; Н - их общая подгруппа; 1^1,1)2, А - частичные фундаментальные множества групп С2, Н соответственно. Обозначим Ег = и^ея ^(А), ¿де г = 1,2; Б = Е'хПЕ^ПД ¿г через V - внутренность множества И. Предположим, что В' ^ 0 и Е1иЕ2 = -Д(Са) и ^(Сг). Тогда группа С, порожденная группами м является клейновой; В' - частичное фундаментальное множество группы С; С = Сх *я ^2 ^ #(-£}) П I) = 0 Эля всех элементов д е кроме единичного.

Эта теорема является достаточным условием дискретности. Далее она будет использована в случаях, когда циклические группы и имеют тривиальную общую подгруппу Н. Если теорема комбинирования выполнена для таких групп, то, в частности, группа дискретна и является свободным произведением Са *

1.4 Группы с двумя эллиптическими порождающими

Данный параграф посвящен группам, порожденным двумя эллиптическими элементами / и д. Результаты о дискретности таких групп будут сформулированы в терминах расстояний 5(/,д) и углов в(/,д) между осями порождающих.

Пусть 5(/,д) = 0, т.е. оси £f и £д имеют хотя бы одну общую точку в е3 и С. Тогда группа (/, д) элементарна. Напомним, что все элементарные дискретные группы классифицированы (см. теорему 1.1).

Пусть 6(/,д) / 0 и 0{/,д) = 0, т.е. оси и ¿д лежат в одной гиперплоскости. Тогда группа (¡-,д) оставляет инвариантной гиперплоскость, перпендикулярную и £д, и сохраняет ее ориентацию.

Следовательно, h(f,g)h~1 < PSL(2,M) для некоторого h е PSL(2, С). Критерии дискретности подгрупп PSL(2,M) с двумя эллиптическими порождающими были получены А. Кнаппом в [26] и Дж. Матель-ски в [27] (см. также [5]). Поскольку свойство группы быть дискретной сохраняется при сопряжении, все дискретные группы {f,g) описываются этими критериями.

Пусть 6(f,g) ф 0 и 9(f,g) — тт/2, т.е. оси if и 1д являются взаимно перпендикулярными геодезическими. В этом случае критерий дискретности групп (f,g) был установлен Е.Я. Клименко в [28].

Таким образом, критерии дискретности известны только для некоторых семейств двупорожденных групп. Тем не менее, имеют место весьма общие необходимые и достаточные условия дискретности.

Ф. Геринг и Г. Мартин показали, что в дискретной группе (f,g), порождающие которой не являются инволюциями (т. е. эллиптическим элементами порядка два), расстояние S(f,g) либо равно нулю, либо ограничено снизу. Точнее, справедлива следующая теорема.

Теорема 1.4. [7] Пусть G = (/,<?) < PSL(2,C) - дискретная группа такая, что fug- эллиптические элементы порядков т > 3 и п > 2, 5(f,g) - расстояние между осями if и £д. Тогда либо 5(f: g) = 0, либо имеет место неравенство

Замечание 1.1. Если группа (/,<?) порождена двумя инволюциями, то она является элементарной. Этот факт очевиден, если оси и £д имеют общую точку в Н3 и С. В противном случае рассмотрим общий перпендикуляр к осям if и £д. Две точки, которые он соединяет на абсолюте, образуют конечную орбиту.

В любом случае для проверки дискретности группы (/, д) можно воспользоваться теоремой 1.1.

С другой стороны, как видно из следующих двух теорем, если в группе (/,<7), порождающие которой не являются инволюциями, расстояние S(f,g) достаточно велико, то она дискретна и изоморфна свободному произведению циклических групп (/) и (д).

Теорема 1.5. [29] Пусть группа G = (/,<?) < PSL(2,C) такова, что fug- эллиптические элементы порядков т > 3 и п > 2, S(f,g) - расстояние между осями if и £д. Предположим, что выполнено неравенство

^ и, cos(7r/m) cos(7r/n) + 1

ch S(f,g)>-. , . (1.1)

sm(7r/т) sm(7r/nj

Тогда G - неэлементарная дискретная группа и G — (/) * (g).

Эта теорема была установлена Ф. Герингом, К. Маклаханом и Г. Мартином. Неравенство (1.1) в ней не зависит от угла 9(f.g). Следующий результат А. А. Рассказова улучшает эту оценку, учитывая значение 6(f.g).

Теорема 1.6. [30] Пусть группа G = (f:g) < PSL(2,C) такова, что fug- эллиптические элементы порядков т > 3 и п > 2, 5(f,g) и 6(f,g) - расстояние и угол между осями ij и £д. Предположим, что выполнено неравенство

Ch 5(1. g) > COS(7r/m) C/0S^/") C°S в{{'g) + 1. (1.2)

sin(7T/m) sin(7T/n) Тогда G - неэлементарная дискретная группа и G = (f) * (g).

Глава 2

Достаточные условия дискретности

Как отмечено в пункте 1.1, каждый элемент группы Р8Ь(2, С) является эллиптическим, параболическим или локсодромическим. Для групп, порожденных двумя эллиптическими элементами, достаточные условия дискретности были получены Ф. Герингом, К. Макла-ханом, Г. Мартином и А. А. Рассказовым (см. теоремы 1.5 и 1.6). В данной главе мы установим достаточные условия дискретности для групп, порожденных двумя локсодромическими элементами, и групп, порожденных локсодромическим и эллиптическим элементами.

называется изометрической окружностью. Легко видеть, что радиусы окружностей 1д и 1д-г совпадают. Обозначим

Напомним, что для элемента д = д(оо) ф сю, множество

такого, что

2.1 Группы с двумя локсодромическими порождающими

Для локсодромического элемента д Е Р8Ь(2,С) с величиной сдвига тд обозначим

Из этого определения следует, что 0 < ад < 7г/2.

Пусть д Е Р8Ь(2,С) - гиперболический элемент с неподвижными точками ±гп Е С, причем ш - его притягивающая неподвижная точка. Здесь и далее будем полагать, что

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Маслей, Александр Викторович, 2014 год

Литература

[1] Бердон, А. Геометрия дискретных групп / А. Бердон. — Москва: Наука, 1986. - 304 с.

[2] Крушкаль, С. J1. Клейновы группы и униформизация в примерах и задачах / С. Л. Крушкаль, Б. Н. Апанасов, Н. А. Гусев-ский — Новосибирск: Наука, 1981. — 249 с.

[3] Ratcliffe, J. Foundations of Hyperbolic Manifolds. Second Edition / J. Ratcliffe. - New York: Springer-Verlag, 2006. - 779 p.

[4] Груневальд, Ф. Группы, действующие на гиперболическом пространстве / Ф. Груневальд, Й. Меннике, Ю. Эльстродт. — Москва: МЦНМО, 2003. - 640 с.

[5] Деревнин, Д. А. Геометрические свойства дискретных групп, действующих в пространстве Лобачевского с неподвижными точками / Д. А. Деревнин, А. Д. Медных // Докл. АН СССР. - 1989. - 300, №1. - С. 27-30.

[6] Gehring, F. W. Recent Results in the Geometry of Kleinian Groups / F.W. Gehring, Т.Н. Marshall, G.J. Martin // Comput. Methods Funct. Theory. - 2003. - 2, №1. - P. 249-256.

[7] Gehring, F. W. Commutators, collars and the geometry of Mobius groups / F. W. Gehring, G. J. Martin // J. Anal. Math. — 1994. — 63, №1. - P. 175-219.

[8] Gehring, F. W. The spectrum of elliptic axial distances in Kleinian groups / F. W. Gehring, T. H. Marshall, G.J. Martin 11 Indiana Univ. Math. J. - 1998. - 47. - P. 1 - 10.

[9] Poincaré, H. Théorie des groupes fuchsiens / H. Poincaré // Acta Math. - 1882. - 1. - P. 1-62.

[10] Poincaré, H. Mémoire sur les groupes Kleinéens / H. Poincaré // Acta Math. - 1883. - 3. - P. 49-92.

[11] Epstein, D. B.A. An Exposition of Poincare's Polyhedron Theorem / D.B.A. Epstein, C. Petronio // Enseign. Math., II. Sér. - 1994. - 40. - P. 113-170.

[12] Jorgensen, T. A note on subgroups of SL(2,C) / T. J0rgensen // Q. J. Math. - 1977. - 28, №110. - P. 209-211.

[13] Gilman, G. Two-generator discrete subgroups of PSL(2,C) / G. Gilman. - Providence, Rhode Island: AMS, 1995. - 204 p.

[14] Gehring, F. W. Kleinian groups with real parameters / F. W. Gehring, J. P. Gilman, G.J. Martin // Commun. Contemp. Math. - 2001. - 3, №2. - P. 163-186

[15] Klimenko, E. All discrete RP-groups whose generator have real trace / E. Klimenko, N. Kopteva // Int. J. Algebra Comput. — 2005. - 15, №3. - P. 577-618.

[16] J0rgensen, T. On discrete groups of Mobius transformations / T. J0rgensen // Am. J. Math. - 1976. - 98. - P. 739-749.

[17] Tan, D. On two-generator discrete groups of Möbius transformations / D. Tan // Proc. Am. Math. Soc. — 1989. — 106. - P. 763-770.

[18] Maskit, В. Some special 2-generator Kleinian groups / B. Maskit // Proc. Am. Math. Soc. - 1989. - 106. - P. 175- 186.

[19] Клименко, Е.Я. Об одном классе двупорожденных подгрупп PSL(2,C) / Клименко Е. Я. // Сиб. мат. ж. - 1989. - 30, №5. -С. 74-76.

[20] Gehring, F. W. Chebyshev polynomials and discrete groups / F. W. Gehring, G.J. Martin // Proceedings of the Conference on Complex Analysis (Tianjin, 1992). - 1994. - P. 114-125.

[21] Gehring, F. W. Stability and extremality in J0rgensen's inequality / F. W. Gehring, G. J. Martin // Complex Variables, Theory Appl. - 1989. - 12, №1-4. - P. 277-282.

[22] Klein, F. Beiträge zur Riemann'sehen Funktionentheorie/ F. Klein // Math. Ann. - 1883. - 21. - P. 141-218.

[23] Maskit, B. Construction of Kleinian groups / В. Maskit // Proceedings of the Conference on Complex Analysis, Minnesota, 1964. - 1965. - P. 281 -296.

[24] Maskit, В. On Klein's combination theorem / B. Maskit // Trans. Am. Math. Soc. - 1965. - 120. - P. 499-509.

[25] Maskit, В. Kleinian groups / B. Maskit. — Berlin: SpringerVerlag, 1987. - 326 p.

[26] Knapp, A. W. Doubly generated Fuchsian groups / A. W. Knapp // Mich. Math. J. - 1968. - 15. - P. 289-304.

[27] Matelski, J. P. The classification of discrete 2-generator subgroups of PSL(2,R) / J. P. Matelski 11 Isr. J. Math. - 1982. -21, №4. - P. 309-317.

[28] Клименко, E. Я. О дискретных группах в трехмерном пространстве Лобачевского, порожденных двумя поворотами / Е. Я. Клименко //Сиб. мат. ж. - 1989. - 30, № 1.-С. 123- 128.

[29] Gehring, F. W. On the discreteness of the free product of finite cyclic groups / F. W. Gehring, С. Maclachlan, G.J. Martin // Mitt. Math. Semin. Gießen. - 1996. - 228. - P. 9-15.

[30] Rasskazov, A. On the distance between the axes of elliptic elements generating a free product of cyclic groups / A. Rasskazov // Adv. Geom. - 2006. - 6, №1. - P. 85-92.

Список публикаций автора по теме диссертации

[1*] Маслей, A.B. Достаточные условия дискретности для дву-порожденных подгрупп PSL(2,C) / A.B. Маслей // Сиб. мат. ж. - 2013. - 54, №5. - С. 1069- 1086.

[2*] Маслей, A.B. Достаточные условия дискретности для подгрупп PSL(2,C), порожденных инволюцией и непараболическим элементом / A.B. Маслей // Мат. заметки. — 2014. — 95, №2. - С. 317-320.

[3*] Исаченко, Н. А. Расстояние между осями эллиптических элементов в дискретных подгруппах PSL(2,C) / H.A. Исаченко, A.B. Маслей // Вестн. Омск, ун-та. - 2011. - №4. - С. 31 - 36.

[4*] Маслей, А. В. О необходимых и достаточных условиях дискретности для подгрупп PSL(2,C) / A.B. Маслей // Сборник научных статей Международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае», Барнаул. — 2013. — С. 39-44.

[5*] Маслей, А. В. Оценки расстояний между осями эллиптических элементов в дискретных подгруппах PSL(2;C) / А. В. Маслей // Материалы 49-ой Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. Математика. — 2011. — С. 82.

[6*] Маслей, А. В. Двупорожденные группы изометрий гиперболического пространства: орбиты точек и дискретность [Электронный ресурс] / A.B. Маслей // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2011», Новосибирск. — 2011. — Режим доступа: http://math.nsc. ru/conference/geomtop2011/abstracts/Maslei.pdf

[7*] Маслей, А. В. Двупорожденные группы изометрий гиперболического пространства / A.B. Маслей // Сборник научных статей Международной школы-семинара «Ломоносовские чтения на Алтае», Барнаул. — 2011. — С. 115- 120.

[8*] Маслей, А. В. Условия дискретности двупорожденных групп изометрий И3 / A.B. Маслей // Материалы 50-й юбилейной Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. Математика. — 2012. - С. 79.

[9*] Маслей, А. В. О дискретных группах изометрий трехмерного гиперболического пространства / A.B. Маслей // Мате-

риалы школы-конференции по геометрическом анализу, Горно-Алтайск. - 2012. - С. 33-35.

[10*] Masley, A. Two-generated, groups of Mobius transformations: geometry and sufficient conditions of the discreteness / A. Masley // Abstracts of the Fourth Geometry Meeting dedicated to the centenary of A.D. Alexandrov, Saint-Petersburg.—2012.—P. 72-73.

[11*] Маслей, А. В. О достаточных условиях дискретности для групп мебиусовых преобразований с двумя порождающими [Электронный ресурс] / А. В. Маслей // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске, 2012», Новосибирск. — 2012. — Режим доступа: http://math.nsc. ru/conference/geomtop2012/abstracts/Masley.pdf

[12*] Маслей, А. В. Необходимые и достаточные условия дискретности для некоторого класса двупорожденных мебиусовых групп / А. В. Маслей // Тезисы Международной (44 Всероссийской) молодежной школы-конференции «Современные проблемы математики», Екатеринбург. — 2013. — С. 189191.

[13*] Маслей, А. В. Условия дискретности групп изометрий пространства Лобачевского в терминах расстояний [Электронный ресурс] / А. В. Маслей // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ - 2013», Москва. — 2013. — Режим доступа:

http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2013/ 2189/5578 8_3 905.pdf

[14*] Маслей, А. В. Условия дискретности мебиусовых групп с двумя непараболическими порождающими / А. В. Маслей // Материалы 51-й Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск. Математика. — 2013. — С. 55.

[15*] Маслей, А. В. Необходимые и достаточные условия дискретности для групп Маскита / А. В. Маслей // Тезисы Международной конференции «Дни геометрии в Новосибирске» -2013», Новосибирск. - 2013. - С. 61.

[16*] Masley, A. On Discreteness of Maskit subgroups of PSL(2, C) [Электронный ресурс] / A. Masley // Abstracts of the International Conference "Geometry and Analysis on Metric Structures", Novosibirsk. — 2013. — Режим доступа: http://get.math.nsc.ru/wordpress/wp-content/ uploads/2013/12/Masley.pdf