Исследование гиперболичности групп с одним соотношением тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Бускин, Николай Владиславович

• Бускин, Николай Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование гиперболичности групп с одним соотношением»

Определение гиперболической группы было сформулировано М. Громовым (см. [6]) в терминах метрических свойств графа Кэли группы относительно заданной системы порождающих. Классическим примером таких групп являются фундаментальные группы гиперболических многообразий, то есть фактормногообразий гиперболического пространства по действию дискретной группы изометрий. Гиперболические группы обладают многими интересными свойствами. Например, в классе гиперболических групп разрешимы такие классические проблемы комбинаторной теории групп как проблема равенства и проблема сопряженности элементов группы. Что касается проблемы изоморфизма, то известно, что она разрешима в классе гиперболических групп без кручения (см. Зела 3., [15]) и в классе относительно гиперболических групп без кручения, у которых все параболические группы это конечно порожденные абелевы группы (см. Даман и Ф., Гроувс Д., [3]).

В некотором смысле гиперболические группы похожи на свободные группы, поэтому интересно знать, как класс гиперболических групп пересекается с классом конечно порожденных групп с одним соотношением (они тоже в известном смысле похожи на свободные, см. [10], [22]), то есть, какие группы с одним соотношением будут гиперболическими, а какие нет. В общем случае эта проблема не решена. Отметим, что имеется до сих пор не доказанная гипотеза С. Герстена, характеризующая гиперболические группы с одним соотношением в терминах их подгрупп:

Гипотеза. Группа с одним соотношением гиперболична в том и только том случае, когда она не содержит в качестве подгруппы группу Баумслага-Солитэра В3(п,т) = (а,Ь\а~1Ьпа ~ Ьт) ни для каких п,т ^ 0.

Отметим, что даже если гипотеза верна, то остается неясным, как проверять по представлению группы с одним соотношением, содержит ли она группу Баумслага-Солитэра или нет.

Продвижение в классификации групп с одним соотношением в частных случаях было получено в работе [7], причем методы, использованные в этой работе, опирались на другое, эквивалентное определение гиперболичности, формулируемое в терминах изопериметрического неравенства для диаграмм над групповым представлением. Дадим это необходимое определение.

Пусть группа С задана порождающими и определяющими соотношениями в = (Л|тг>, где А это множество порождающих (алфавит), а 71 это множество соотношений. Группа С называется конечно представленной, если множества А и 71 могут быть выбраны конечными.

Пусть Р(А) это свободная группа над алфавитом А и ф : Р{Л) —> С это канонический эпиморфизм. Будем говорить, что слово равно 1 в группе С, если ф(и>) = 1 в С. Для такого слова гп мы имеем равенство в группе Р(А) где £ 6 ^(Л), Ду € 7г, и ^ = ±1, ^ = 1,., Ж

Наименьшее число ё, из всех таких возможных равенств для слова и> будем обозначать с1(гп).

Будем говорить, что группа С = (А\71) удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству, если существует константа Ь ^ ^ 0 такая, что для любого слова и>, равного 1 в группе й, выполнено ¿(и)) ^ Ь\и)\, где |ги| это длина слова т.

Это определение имеет простую наглядную интерпретацию в терминах диаграмм над группами: если М это минимальная редуцированная диаграмма для слова -ш, определяющего тривиальный элемент группы £ (см. §2 главы 1), то ¿(т) это число 2-клеток этой диаграммы или площадь, а |ги| это длина ее границы дМ или периметр. Таким образом, линейное изопериметрическое неравенство это действительно неравенство между площадью и периметром.

Конечно представленная группа С называется гиперболической, если она удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству.

Диссертация в основном (главы 1, 2) посвящена исследованию того, какие группы с одним соотношением (с ограничениями на длину или на вид соотношения) являются гиперболическими, а какие нет.

Осветим более подробно предмет исследования в главе 1. В работе [7] С. Иванов и П. Шупп полностью классифицировали по свойству гиперболичности группы с одним соотношением Я, содержащим не более трех вхождений некоторого порождающего а±г. В более сложном случае, когда число вхождений порождающего равно 4, ими были классифицированы группы с одним соотношением вида (А \ аТда^аТ^аТз), где Л - конечный алфавит, а 6 Л и То, Т\, Т2, Т3 - попарно различные слова в свободной группе Р(Л\{а}).

Автором диссертации решалась задача классификации по свойству гиперболичности двупорожденных групп с одним соотношением вида (а, Ъ | аЬщаЪ712аб"3), щ £ Ъ, с некоторыми ограничениями на

Пг, подобными тем, которые авторы [7] налагали па Т{. Итогом работы явилась классификация по гиперболичности таких групп, содержащаяся в формулировках теорем 1.1 и 1.2 (см. §1 главы 1). Методы, по существу, заимствованы из работы [7], но при этом они были модифицированы, что позволило значительно сократить объемы технической работы, неизбежно возникавшей при "лобовом" применении методов.

Глава 2 содержит классификацию по гиперболичности двупорожденных групп с одним соотношением длины 8. Эта классификация была получена автором совместно с О. В. Богопольским и А. А. Бутурлакиным. Для групп с длиной соотношения ^ 7 такая классификация следует из результатов работы [7], классификация в случае длины 8 это нетривиальный новый результат.

В определенном смысле, наугад выбранное представление с одним соотношением с вероятностью 1 определяет гиперболическую группу (см. по этому поводу [13]). То есть, негиперболических групп с одним соотношением сравнительно мало. Тем не менее, при малых длинах соотношения группы эта статистика может не подтверждаться (что и наблюдается в сводной таблице в конце главы 2).

Задача классификации групп с одним соотношением небольшой длины интересна также потому, что такие группы часто возникают в геометрии и бывает полезно уметь отвечать на вопрос об их гиперболичности или негиперболичности.

Методы доказательства гиперболичности (негиперболичности) в основном не отличаются от изложенных в главе 1 и происходящих из работы [7]. Вместе с тем есть отдельные интересные наблюдения и технические результаты, облегчающие во многих случаях классификацию. Например, в работе [26] было показано (на основе общих результатов Громова о гиперболических группах), что полупрямое расширение свободной группы ранга 2 ^ Ъ с помощью ее автоморфизма а бесконечного порядка не является гиперболической группой. Таким образом, группы с одним соотношением представимые в виде указанного расширения, заведомо не являются гиперболическими.

Кроме того, при классификации использовался известный результат С. Герстена и X. Шорта ([4, 5]), гласящий, что ссли конечно представленная группа С удовлетворяет условиям малого сокращения С(р)&Т(д) с ^ + ^ <2, то она гиперболическая. Для проверки условий С(р)&Т(д) для данного представления использовалась компьютерная программа, предоставленная А. А. Бутурлакиным. С помощью этой программы для каждого представления удалось вычислить соответствующие р иди, используя затем результат Герстена и Шорта, определить, какие из рассматриваемых групп заведомо являются гиперболическими.

В некоторых случаях удавалось (возможно, после замены порождающих) прямо сослаться на результаты работы С. Иванова и П. Шуппа ([7]).

Результат главы 2 оформлен в виде списка всех заданий групп с двумя порождающими и циклически приведенным соотношением длины 8 (с точностью до переименования а ^ 6, обращения порождающих а —> а~1 и циклической перестановки определяющего соотношения. Каждое представление снабжено комментарием в виде знака "+" (группа гиперболична) или "-" (негиперболична) и, в тех случаях когда это необходимо, коротким пояснением (замена порождающих, ссылка на соответствующий пример или теорему). Также рядом с представлением указываются условия малого сокращения С(р)&Т(д), которым удовлетворяет данное представление.

Из известных нам результатов, посвященных классификации групп по гиперболичности, отметим работы В. Н. Безверхнего и Н. Б. Безверхней [18], Н. Б. Безверхней [19]. В работе [18] классифицируются группы с одним определяющим соотношением вида (а\,. . ,ап,р,д\Л(а1,. ,ап,р) = В{аъ ., ат д)), где в слово А нетривиальным образом входит порождающий р, а в слово В - порождающий д. В работе [19] классифицируются все двупорожденные группы с одним определяющим соотношением, представимые в виде расширения свободной группы ранга 2 с помощью специального эндоморфизма.

В. Н. Безверхний и Н. Б. Безверхняя в отличие от нас использовали комбинационную теорему Бествины и Фейна, см. [1], [2].

Очевидно, что не все двупорожденные группы с одним соотношением путем автоморфной замены порождающих можно представить как расширение свободной группы ранга 2 с помощью эндоморфизма. Рассмотрим, например, группу С = (а, Ь | а~гЬ3а3Ь) из формулировки нашей теоремы 1.1. С помощью замены а ь-» аЬ~2, Ь »—> Ъ ее можно представить в виде С = (а, 6 | а~1Ь3аЬ~2аЬ~2аЬ). Вводя порождающие аг = Ъ~гаЪ\ г £ получаем представление

С = (6, {аг]1еЪ | аз1аоа.2а,1, {ат = 6~1а¿6}¿eZ> = (ао,«1,«г,сгз, 6 | 1ао& = а^Ъ^аф = аг, = аз,Ь~1аф = а^а^а^).

Таким образом, получается расширение свободной группы ранга 4 с помощью ее автоморфизма бесконечного порядка. Можно доказать, что и другие автоморфные замены порождающих этой группы могут привести только к расширениям с помощью эндоморфизма свободных групп ранга ^ 4.

Конечно, теоретически не исключено, что данная группа все же представима в виде расширения свободной группы ранга 2 с помощью специального эндоморфизма. В общем случае вопрос о такой представимости является отдельной сложной проблемой и выходит за рамки нашего исследования.

Глава 3 диссертации посвящена экономной отделимости элементов свободной группы подгруппами конечного индекса. Как известно, любой нетривиальный элемент свободной группы отделяется некоторой подгруппой конечного индекса. Есть гипотеза О. В. Богопольского (см. [25, Проблема 15.35]) о том, что произвольный элемент и) свободной группы Рп длины ^ 2 отделяется подгруппой индекса ^ С 1п|и>|, |и>| это длина приведенного слова ю, С -некоторая константа, зависящая от п. В диссертации представлено доказательство этого утверждения для элементов т £ Еп не принадлежащих коммутанту [Т7^,^] свободной группы Рп. При этом строится даже нормальная отделяющая подгруппа.

Получена оценка (более слабая) в общем случае: произвольный элемент и) ф 1 отделяется подгруппой индекса ^ ^ + 2. При доказательстве используется техника перечисления подгрупп свободной группы с помощью накрытий букета размеченных окружностей (эта техника изложена, например, в [20]).

Существуют и другие варианты этой проблемы. Сравнительно недавно появились работы, посвященные экономной отделимости нормальными подгруппами. Из результатов работы Халид Боу-Раби [8] следует, что элемент ъи свободной группы -Р„,п ^ 2, отделяется нормальной подгруппой индекса 0(|и>|3).

В работе И. Ривина [14] утверждается, что если элемент ии лежит в 7к^п \ 7к+1^п, то т отделяется нормальной подгруппой индекса 0(111^ |ги|). При этом Й. Малестсйн и А. Путман в [11] доказали, что к = 0(\и)\).

Отметим, что ни из одного из этих результатов не следует оценка ^г + 2, полученная автором настоящей работы. Кроме того, методы исследования отличаются от методов, применяемых в [8], [14].

Я (автор) выражаю благодарность моему научному руководителю О. В. Богопольскому за помощь в первых шагах в математике как науке и постановку задач, определивших направление этих шагов.