Топология и комбинаторика действий торов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Панов, Тарас Евгеньевич

• Панов, Тарас Евгеньевич
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Панов, Тарас Евгеньевич

Введение

История предмета исследований, его актуальность

Содержание диссертации и основные результаты

Благодарности

Глава 1. Основные комбинаторные и геометрические понятия

1.1. Выпуклые многогранники

1.2. /-векторы и соотношения Дена-Соммервилля

1.3. Вееры

1.4. Симплициальные комплексы и кусочно-линейные отображения

1.5. Барицентрическое подразбиение

1.6. Двойственность Александера

1.7. Симплициально клеточные комплексы и симплициальные частично упорядоченные множества

1.8. Кубические комплексы

Глава 2. Кольца граней

2.1. Кольца граней симплициальных комплексов

2.2. Гомологические свойства колец граней: Тог-алгебры и числа Бетти

2.3. Симплициальные комплексы Коэна-Маколея

2.4. Горенштейновы комплексы и соотношения Дена

Соммервилля

2.5. Кольца граней симплициальных частично упорядоченных множеств

2.6. Симплициально клеточные комплексы Коэна-Маколся

2.7. Горенштейновы симплициально клеточные комплексы

2.8. Обобщенные соотношения Дена-Соммервилля

Глава 3. Торические многообразия

3.1. Классическая конструкция

3.2. Торические многообразия многообразия как факторпространства: конструкция Батырева-Кокса

3.3. Гамильтоновы действия тора и симплектическая редукция

3.4. Пространство орбит действия компактного тора

Глава 4. Квазиторические многообразия

4.1. Определение и конструкция квазиторических многообразий Дэвиса-Янушкевича

4.2. Полиориентации и комбинаторные квазиторические данные

4.3. Канонические гладкости и стабильно комплексные структуры

4.4. Веса действия тора и знаки неподвижных точек

4.5. Когомологии и характеристические классы квазиторических многообразий

4.6. Роды Хирцебруха квазиторических многообразий

4.7. Пример: многообразие ограниченных флагов

4.8. Квазиторические представители в классах кобордизмов

4.9. Торические и квазиторические многообразия

4.10. Башни Ботта

Глава 5. Локально стандартные Т-многообразия

5.1. Предварительные результаты о когомологиях Тмногообразий

5.2. Характеристические подмногообразия

5.3. Пространства орбит и многообразия с углами

5.4. Кольца граней многообразий с углами

5.5. Когомологии локально стандартных Т-многообразин

5.6. Т-многообразия над гомологическими многогранниками

5.7. Т-многообразия над гранеацикличными многообразиями с углами

5.8. Графы весов

5.9. Раздутия Т-многообразий и Г-графов

Глава 6. Момент-угол-комплексы и многообразия

6.1. Общая конструкция момент-угол-комплекса Д/с

6.2. Конструкция Бореля и пространство Дэвиса

Янушкевича

6.3. Клеточное разбиение момент-угол-комплекса

6.4. Кольцо когомологий момент-угол-комплекса

6.5. Виградуированные числа Бетти комплекса Ztc

6.6. Конфигурации координатных подпространств

6.7. Момент-угол-комплекс как множество Кемпфа-Несс

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Топология и комбинаторика действий торов»

История предмета исследований, его актуальность

Теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область алгебраической топологии. За последние 15 лет на стыке эквивариантной топологии, алгебраической и сим-плектической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры возникла новая область исследований — тори-ческая топология, которая быстро привлекла внимание большого числа специалистов из разных областей и активно развивается в настоящее время.

В центре внимания торической топологии находятся действия тора, пространства орбит которых несут богатую комбинаторную структуру. Такие действия естественно возникают в самых различных областях, а изучение их алгебраических, комбинаторных и топологических свойств приводит к новым взаимосвязям и интересным постановкам задач. Благодаря торической топологии фундаментальные результаты ряда областей математики получили новое развитие и нашли неожиданные замечательные приложения.

Первоначальный импульс этому развитию придала торическая геометрия — теория торических многообразий в алгебраической геометрии [Хо77, Да78]. Эта теория устанавливает взаимно однозначное соответствие между алгебраическими многообразиями с действием комплексного тора, имеющим плотную орбиту, и комбинаторными объектами — веерами. При помощи вееров алгеброгео-метрические свойства торических многообразий полностью переводятся на язык комбинаторной геометрии. Торическая геометрия предоставляет богатый источник явных примеров алгебраических многообразий и имеет богатые приложения в таких областях, как теория особенностей и математическая физика. Пространство орбит неособого проективного торического многообразия по действию компактного тора Тп представляет собой выпуклый простой многогранник Р.

В симплектической геометрии, после появления теоремы выпуклости Лтьи—Гиёмина-Стернберга [А182] и формулы Дуистер-маата-Хекмана [ОН82] в начале 1980-х годов, активно изучались гамильтоновы действия групп. В работе Делзанта [Ое88] было показано, что в случае действия тора размерности, равной половине размерности многообразия, образ отображения моментов определяет многообразие с точностью до эквивариантного симплектомор-физма. В симплектической геометрии, как и в торической геометрии, различные геометрические конструкции имеют комбинаторную интерпретацию в терминах многогранников.

Имеется тесная взаимосвязь между алгебраическими и сим-плектическими многообразиями с действием тора: проективное вложение неособого торического многообразия определяет сим-плектическую форму и отображение моментов. Образом отображения моментов является многогранник, двойственный к вееру. Как в алгебраической, так и в симплектической ситуации, действие компактного тора локально изоморфно стандартному действию тора Тп на Сп покоординатными вращениями. Факторпространство многообразия по такому действию тора представляет собой многообразие с углами, которое несёт комбинаторную структуру, отражающую структуру частично упорядоченного множества стационарных подгрупп. Это позволяет полностью восстановить многообразие и действие. Замечательно, что такой подход работает и в обратном направлении: в терминах топологических инвариантов пространства с действием тора удаётся интерпретировать и доказывать весьма тонкие комбинаторные результаты топологически. Оказалось, что данная специфика алгебраических торических многообразий имеет чисто топологическую природу, что вызвало глубокое проникновение идей и методов торической и симплектической геометрии в алгебраическую топологию с начала 1990-х годов.

Дальнейшие исследования выявили ряд важных классов многообразий с действием тора, происхождение которых восходит к торическим или симплектическим многообразиям. Эти более общие многообразия как правило не являются алгебраическими или симплектическими, но в то же время обладают важнейшими топологическими свойствами их алгебраических или симплектических предшественников. Таким образом, была существенно расширена область приложений методов торической топологии в комбинаторике и коммутативной алгебре. Опишем некоторые из этих классов.

Подход Дэвиса-Янушкиевича [О Л91] к изучению торических многообразий с топологической точки зрения привёл к появлению квазиторических многообразий. Этот класс многообразий определяется двумя условиями: действие тора локально выглядит как стандартное представление Тп в комплексном пространстве Сп, а пространство орбит С] является комбинаторным простым многогранником. (Оба условия выполнены для действия тора на неособом проективном торическом многообразии.) Работы Бухштабера-Рэя [БР98], [ВГШ1] показали, что квазиторические многообразия играют важную роль в теории комплексных кобордизмов — классической области алгебраической топологии ^68]. В отличие от торических многообразий, квазиторические многообразия могут не быть комплексными или почты комплексными, однако они всегда допускают стабильно колтлексную структуру, которая определяется в чисто комбинаторных терминах — при помощи так называемой характеристической функции, сопоставляющей гиперграням многогранника примитивные векторы целочисленной решётки. Характеристическая функция играет роль веера, сопоставляемого то-рическому многообразию в алгебраической геометрии.

Хаттори и Масуда ввели в [НМОЗ] намного более широкий класс тор-многообразий, которые также можно рассматривать как далеко идущее обобщение торических многообразий. Тор-многообразие М представляет собой 2п-мерное гладкое компактное многообразие с эффективным локально стандартным действием тора Тп, множество неподвижных точек которого непусто (заметим, что оно всегда конечно). Несмотря на достаточную общность этого класса, тор-многообразия допускают комбинаторное описание, аналогичное описанию торических многообразиям в терминах вееров или многогранников. Роль последних играют так называемые мулътивееры и мулътилтогогранники.

Пространство орбит (2 квазиторического или тор-многообразия является многообразием с углами, а его грани образуют относительно обратного включения симплициальное частично упорядоченное множество ¿>. В случае квазиторического многообразия последнее представляет собой множество граней симплициального комплекса /С, двойственного к простому многограннику С}.

Комбинаторный подход к изучению гамильтоновых действий тора привёл к понятию ГКМ-многообразий. Согласно [GZ99], компактное 2п-мерное многообразие М с эффективным действием тора Тк (к ^ п) называется ГКМ-мпогообразием, если множество неподвижных точек конечно, М обладает инвариантной почти комплексной структурой, и веса представлений тора Тк в касательных пространствах к неподвижным точкам попарно линейно независимы. Эти многообразия были названы в честь Горески, Коттвица и Макферсона, которые впервые ввели их в [СКМ98]. Там же было показано, что «1-остов» такого многообразия М, т.е. множество точек, имеющих стационарную подгруппу коразмерности не больше 1, может быть описано при помощи графа с метками (Г, а). Этот граф, называемый графол1 весов (или ГКМ-графом), позволяет вычислять важные топологические инварианты многообразия М, такие как его числа Бетти или кольцо эквивариантных когомологий. Изучение таких графов приобрело самостоятельный комбинаторный интерес благодаря работам Гиллёмина-Зары [GZ99] и других. Отметим, что в топологии идея сопоставления графа с метками многообразию с действием окружности использовалась начиная с 1970-х годов, см., например, работу Мусина [Му80].

Стенли был одним из первых, кто осознал большой потенциал торических действий для комбинаторных приложений, использовав его для доказательства гипотезы Макмюллена о числах граней симплициальных многогранников и гипотезы о верхней граница для триангуляций сфер. Его результаты и методы легли в основу известной монографии [St96] и предопределили дальнейшие приложения коммутативной алгебры и гомологических методов в комбинаторной геометрии.

Многие идеи Стенли находят и топологическое применение; в частности, кольцо граней (или кольцо Стенли-Риснера) Ъ[1С] сим-плициального комплекса 1С является важной составляющей в вычислении кольца когомологий квазиторического многообразия М. В ходе вычисления этого кольца Дэвис и Янушкевич сопоставили некоторое вспомогательное Тт-пространство Z^ каждому комплексу 1С с т вершинами, и рассмотрели его гомотопическое фак-торпространство (или конструкцию Бореля) DJ(JC). Определение пространства Z& идейно связано с конструкцией Винберга [Ви71] универсального пространства для групп отражений и аналогично определению комплекса Кокстера. В [DJ91] показано, что кольцо когомологий пространства DJ(JC) (или эквивариантные ко гомологии многообразия М) изоморфно кольцу граней Ъ[К] для любого 1С. Кольцо обычных когомологий Н*(М) получается из Z[/C] факторизацией по идеалу, порождённому некоторыми линейными формами, в точности как и для торических многообразий.

С появлением понятия кольца граней стало ясно, что многие тонкие комбинаторные свойства комплексов /С можно интерпретировать алгебраически. Изучение колец граней получило самостоятельное развитие и привело к новому классу колец Коэна-Маколея, имеющему геометрическую природу. В частности, возникло новое топологическое понятие симплициального комплекса Коэна-Маколея 1С, для которого Z[/С] является кольцом Коэна— Маколея. Подробное изложение этих понятий можно найти в монографии [ВН98], где также подчёркивается важность гомологического подхода. Например, в [St96] и [ВН98] рассматриваются размерности биградуированных компонент векторных пространств ТоГ]фь . ;„m](k[/C], к), называемые алгебраическими числам Бетти кольца к [/С], для любого поля к. Эти числа являются весьма тонкими инвариантами: они зависят от комбинаторики /С, а не только от топологии его реализации |/С|, и полностью определяют «обычные» топологические числа Бетти для \1С\. Теорема Хохстера [Но77] выражает алгебраические числа Бетти через симплициальные когомологий полных подкомплексов в /С.

Более подробно ознакомиться с основными этапами развития торической топологии можно по работе [DJ91j, монографии [БП04-2] и недавнему обзору Бухштабера—Рэя [BR08].

Содержание диссертации и основные результаты

Результаты диссертации опубликованы в двух монографиях [ВР02], [ББП04] и 21 работе [БП98], [БП99], [БП00-2], [БП00-3], [БП00-4], [БП04-1], [БП04-2], [МП08], [Па97], [Па98-1], [Па98-2], [Па99], [Па01], [Па08], [ВРОО], [BPR07], [ММР07], [МР06], [Ра08], [PR08], [PRV04],

Диссертация состоит из введения, 6 глав и приложений. Главы включают разделы и подразделы; все главы pi большинство разделов содержат отдельные введения. Объём диссертации — 250 стр., объём приложений — 50 стр., список литературы включает 104 наименования.