Совместные нелинейные колебания неуравновешенного ротора и массивно-податливых опор тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Степанова, Полина Петровна

• Степанова, Полина Петровна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Степанова, Полина Петровна

Оглавление

Введение

1 Прецессионное движение ротора, укреплённого на гибком валу в упругих массивных опорах

1.1 Модель системы "ротор-массивные опоры"

1.2 Вывод уравнений движения

1.3 Прямые синхронные прецессии

1.3.1 Симметричные прецессии

1.3.2 Гиперболоидальная прецессия

1.3.3 Коническая прецессия

1.3.4 Цилиндрическая прецессия

1.4 Устойчивость симметричных прецессий

1.4.1 Устойчивость цилиндрической прецессии

1.4.2 Устойчивость симметричной конической прецессии

2 Прецессионное движение ротора в линейных массивно-упругих опорах

2.1 Уравнения движения

2.2 Критические угловые скорости

2.3 Симметричные прецессии

2.3.1 Гиперболоидальная прецессия

2.3.2 Коническая прецессия

2.3.3 Цилиндрическая прецессия

2.4 Влияние массы опор на критические частоты турбомоле-кулярного насоса

3 Прецессионное движение ротора с нелинейной характеристикой упругости опор типа Герца

3.1 Внутреннее трение

3.2 Уравнения движения

3.3 Симметричные прецессии

3.3.1 Гиперболоидальная прецессия

3.3.2 Коническая прецессия

3.3.3 Цилиндрическая прецессия

3.4 Границы потери устойчивости при переходе через нулевые корни характеристического полинома

3.4.1 Устойчивость симметричной конической прецессии

3.4.2 Устойчивость цилиндрической прецессии

3.5 Потеря устойчивости при переходе через чисто-мнимые корни характеристического полинома

3.5.1 Граница возбуждения автоколебаний в межрезонансной области

3.5.2 Граница возбуждения автоколебаний в зарезонанс-

ной области

4 Прецессионное движения ротора с нелинейной характеристикой опор типа Дуффинга

4.1 Уравнения движения

4.2 Симметричные прецессии

4.2.1 Гиперболоидальная прецессия

4.2.2 Коническая прецессия

4.2.3 Цилиндрическая прецессия

4.3 Границы потери устойчивости при переходе через нулевые корни характеристического полинома

4.4 Потеря устойчивости при переходе через чисто-мнимые корни характеристического полинома

Заключение Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Совместные нелинейные колебания неуравновешенного ротора и массивно-податливых опор»

Введение

Высокоскоростные роторные машины широко используются в современной транспортной, промышленной, бытовой и высокоточной технике. Обычно вращение происходит на большой угловой скорости, где под большой угловой скоростью понимается скорость, превышающая резонансную. Для выхода на рабочий режим система должна пройти резонансные зоны, что отрицательно сказывается на конструкциях, приводит к нарушению стабильной работы и к разрушению механизма. Техногенные катастрофы последнего времени, например, авария на Саяно-Шушенской ГЭС, показывают важность углубленного изучения динамики роторных машин и выдвигают высокий уровень требований к безопасности и надежности эксплуатации. Надежность работы роторных машин тесно сзязана с резонансными свойствами как ротора в целом, так и его опор, а также с обеспечением допустимого уровня их колебаний.

Современный уровень, предъявляемый к техническим характеристикам роторных машин, определяется возможностью повышения их частоты вращения. С ростом угловой скорости существенную роль приобретают такие факторы, как нелинейность системы, внутреннее и внешнее трение, гироскопическое воздействие, влияние динамики опорных конструкций. Все эти вопросы требуют углубленных теоретических исследований.

На основании вышеизложенного можно заключить, что исследование совместных нелинейных колебаний неуравновешенного ротора и массивно-податливых опор является актуальным.

В данной работе рассматривается прецессионное движение неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу, установленном в массивных упругих опорах. Изучаются вопросы нахождения критических частот для линейно-упругих опор и определения резонансной области и

условий возникновения автоколебаний и хаотических колебаний в случае нелинейных характеристик упругости опор. Учитывается трение со стороны окружающей среды и внутреннее трение в системе. Проводится сравнение полученных результатов с результатами для жестких и упругих безмассовых опор.

Краткий исторический обзор развития динамики роторов представлен во введениях к известным монографиям Ф. М. Диментберга [6], В. А. Гробова [5], Genta [33], Yamamoto, Ishida [47]. Более подробный обзор имеется в статье Нельсона [39]. В историческом обзоре И. А. Пасынковой и В. С. Сабанеева [24] отмечаются заслуги российских и советских ученых в изучении динамики роторов.

В 1869 г. шотландский ученый Уильям Рэнкин опубликовал короткую заметку [44], в которой впервые было приведено описание влияния центробежных и упругих сил на вращение гибкого вала, приводящее к появлению вращения оси вала в изогнутом состоянии. Для такого движения Рэнкин ввел термин "centrifugal whirling" , который соответствует термину "прецессия оси ротора" в русскоязычной литературе.

Шведский инженер Карл Лаваль в 1883 г. получил патент на морскую паровую турбину, представляющую из себя одноступенчатую турбину с гибким валом, с рабочей скоростью выше критической "whirling speed" Рэнкина.

В 1894 г. С. Данкерлей в [32] предложил эмпирические формулы для расчета критических угловых скоростей вала с дисками.

В 1895 г. профессор Мюнхенского университета Аугуст Фёппль построил первую математическую модель вращающегося вала [34] на основании исследований вала Лаваля, учитывающую влияние дисбаланса ротора. Для модели невесомого вала с диском, эксцентрично укрепленным посередине между опорами, было обнаружено явление самоцентрирования ротора, которое представляет собой стремление центра масс ротора занять положение на линии опор при неограниченном росте угловой скорости вращения ротора, что теоретически обосновало возможность ра-

боты на сверхкритических скоростях. В своей работе Фёппль допустил некоторые ошибки, которые были исправлены А. Стэваром [46] в 1896 г.

Существование второй критической скорости на основе экперимен-тальных данных было отмечено в 1916 г. в работе В. Керра [36], что подтверждало возможность безопасного преодоления первой критической скорости.

Независимо от Фёппля профессор Ирландского Королевского Колледжа Г. Джеффкотт в 1918 г. в работе [35] представил математическую модель системы с двумя степенями свободы, где ротор рассматривается как твердый диск, эксцентрично урепленный на гибком безмассовом валу, что позволило получить точную формулу для критических скоростей. В этой же работе Джеффкотт подтвердил возможность устойчивого вращения вала в закритической области.

Влияние внутреннего трения на потерю устойчивости в закритической области впервые обнаружено в 1923 г. А. Кимбаллом в работах [37] и [38].

Во всех указанных выше работах рассматривались линейные уравнения движения и основные усилия были направлены на определение критических скоростей вращения ротора.

Влияние нелинейных характеристик упругости опор исследовалось в статье Д. Меркина [15], где для модели жёсткого статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы при общих предположениях о нелинейности были определены неустойчивые режимы и показана возможность гироскопической стабилизации цилиндрической прецессии при отсутствии сил сопротивления.

Целью данной работы является изучение влияния динамики массивно-податливых опор с нелинейными упругими характеристиками на прецессионное движение неуравновешенного ротора, укрепленного на гибком невесомом валу. Проведено качественное исследование цилиндрических, симметричных конических и гиперболоидальных прямых синхронных прецессий при нелинейных характеристиках упругости опор типа Герца

и типа Дуффиига с учетом внешнего и внутренного трения. Во всем диапазоне частот проведено исследование устойчивости по линейному приближению стационарных вращений системы "ротор - массивные опоры".

Используемый метод изначально разработан И. А. Пасынковой для жёстого неуравновешенного ротора с четырьмя степенями свободы, установленного в нелинейно-упругих опорах [18, 19, 20, 22]. Было найдено точное решение уравнений движения ротора, представляющее собой прямую круговую синхронную прецессию. Типы прецессии — цилиндрические, конические и гиперболоидальные различаются по виду поверхности, описываемой осью вращения ротора. Гиперболоидальные прецессии представляют собой связанные цилиндрические и конические прецессии. Такие прецессии были обнаружены, например, в работах Кривцова при изучении вращения центрифуги в линейном случае [11], [12]. Впоследствии, в работах [23, 42, 43] метод И. А. Пасынковой был успешно применён к неуравновешенному ротору, закреплённому на гибком валу в упругих невесомых опорах.

В данной работе модель, рассматриваемая в [23, 42, 43], усложнена учётом масс опор. Система "ротор—массивные опоры" имеет восемь степеней свободы. Такая модель рассматривалась В. А. Гробовым [5], где по методике, основанной на асимптотических методах, проводился расчёт амплитуд стационарных и нестационарных колебаний роторов вблизи резонансов при учете внешнего трения. При исследовании этой модели в [5] либо обе опоры предполагались линейно-упругими, либо одна из них с кусочно-линейной характеристикой упругости.

Типичные для шариковых подшипников качения нелинейные характеристики упругости опор типа Герца рассматривались Д. Р. Меркиным в [15] для ротора с двумя степенями свободы, а также в работах A.C. Кельзона и A.C. Меллера [7, 9, 10] в задаче о вынужденных колебаниях без учёта сил сопротивления. A.C. Кельзоном и A.C. Меллером были получены параметры цилиндрической и конической прецессий полностью

уравновешенного ротора и установлена устойчивость некоторых режимов. Для статически неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу в невесомых опорах, нелинейные характеристики опор типа Герца рассматривались в [28].

Присущие подшипникам скольжения нелинейные характеристики упругости опор типа Дуффинга рассматривались Д. Р. Меркиным [15] для ротора с двумя степенями свободы, В. А. Гробовым [5] для ротора на гибком валу в безмассовых опорах с одной неподвижной опорой, И. А. Пасынковой [21] в случае полностью неуравновешенного жёсткого ротора без учёта сил сопротивления, и для статически неуравновешенного ротора, закреплённого на гибком валу в невесомых опорах [28].

Известно, что в нелинейных механических системах возможно возникновение автоколебаний. Изучение автоколебаний в динамике роторов проводилось в работе А. Тондла [30] для статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы, укрепленного в опорах с квазилинейными характеристиками упругости, был предложен приближенный способ нахождения автоколебаний. В диссертации И. А. Пасынковой [28] были найдены границы возбуждения автоколебаний при рассмотрении нелинейных характеристик упругости опор типа Герца и типа Дуффинга для случая жесткого ротора с четырьмя степенями свободы и ротора, укрепленного на гибком невесомом валу в безмассовых опорах.

Рассматриваемая в данной работе модель "ротор-массивно-упругие опоры" относится к разряду сложных механических систем, так как имеет большое число степеней свободы(8) и содержит нелинейные характеристики. Такие системы допускают возникновение хаотических колебаний. В книге [16] Ф. Мун отмечает, что хаотические колебания возможны в механических системах с вращением и при колебаниях изогнутых упругих структур. "Термин "хаотический" применяется в тех детерминированных задачах, где отсутствуют случайные или непредсказуемые силы или параметры... В современной литературе термин "хаотический" применяется к таким движениям в детеминированных физических и ма-

тематических системах, траектории которых обнаруживают сильную зависимость от начальных условий." [16]

В первой главе диссертации дано описание модели "ротор-массивные опоры" с учётом внешнего трения, приведены уравнения движения в общем виде, в которых опоры могут иметь как линейные, так и нелинейные характеристики упругости. Приведено описание метода исследования. Получены аналитические выражения для амплитудно-частотных харак-теристик(АЧХ) цилиндрической, симметричных конической и гипербо-лоидальной прецессий. В общем виде проведено исследование устойчивости по линейному приближению цилиндрической и симметричной конической прецессий, получены условия границ неустойчивых режимов при переходе через нулевые корни характеристического полинома.

Во второй главе рассмотрено прецессионное движение ротора в линейных упругих опорах. Выписаны уравнения движения системы и получено уравнение для нахождения критических скоростей вращения ротора. Обнаружены дополнительные критические скорости, обусловленные влиянием динамики массивных опор. Получены аналитические выражения и построены графики АЧХ симметричных прецессий для динамически вытянутого и динамически сжатого роторов. На больших угловых скоростях вращения обнаружен эффект балансировки ротора. Проведён рассчет критических скоростей турбомолекулярного насоса с учетом масс опор и проведено сравнение с результатами Genta [33] для жёстких опор и И. А. Пасынковой [43] для упругих безмассовых опор, показано влияние масс опор. Результаты второй главы опубликованы в [25].

В третьей главе рассматривается прецессионное движение неуравновешенного ротора для случая нелинейных характеристик упругости опор типа Герца i^d^l) = c^l^l3/2, учитывается внутреннее трение. Получены уравнения движения системы, для симметричных прецессий получены аналитические выражения и построены графики амплитудно-частотных характеристик для динамически вытянутого и динамически сжатого ротора. Проведено исследование устойчивости по линейному

приближению цилиндрической и симметричной конической прецессии, построены условия границ потери устойчивости. Проведено сравнение с работами И. А. Пасынковой [23, 42, 43], где рассмотрены случаи невесомых опор. Выявлены различные сценарии потери устойчивости. Бифуркации могут иметь как "жёсткий" характер со срывом или скачком амплитуды, так и "мягкий" характер, когда потеря устойчивости сопровождается отделением двух устойчивых состояний равновесия. Данная терминология используется В. И. Арнольдом [1], Ю. Неймарком и П. Ландой [17]. Для случая цилиндрической прецессии определена граница возбуждения автоколебаний, проведено численное интегрирование системы на различных угловых скоростях, показывающее сложную динамику движения ротора. Без учёта масс опор автоколебания наблюдались только в закритической области [2, 14, 28, 30, 45]. Однако в связи с появлением дополнительных резонансов, связанных с динамическими свойствами опор, автоколебания могут появиться в межрезонансной или за-резонансной областях в зависимости от параметров системы. Характер полученных аттракторов (предельный цикл или странный аттрактор) подтверждён с помощью вычисления спектра ляпуновских показателей. Для вычисления спектра показателей Ляпунова применяется алгоритм Беннетина, приведенный в работах [13, 40]. В рассматриваемых случаях обнаружена хаотизация предельных циклов на частотах, удаленных от границы возбуждения автоколебаний. В каждом случае построено отображение Пуанкаре. Результаты этой главы опубликованы в [29].

В четвертой главе изучается прецессионное движение системы "ротор-массивные опоры" с нелинейными упругими характеристиками типа Дуффинга ^(1^1) =

1^1 + и с учетом внутреннего трения.

Выписаны уравнения движения системы, для симметричных прецессий получены аналитические формулы и построены графики АЧХ для динамически вытянутого и динамически сжатого ротора. Проведено исследование устойчивости по линейному приближению цилиндрической и симметричной конической прецессии, найдены границы потери устойчиво-

сти стационарных движений. Для цилиндрической прецессии определена граница возбуждения автоколебаний, проведено численное интегрирование системы при различных угловых скоростях. Обнаружен переходный хаос, т. е. хаотизация предельного цикла с дальнейшей синхронизацией и переходом к новому предельному циклу. Результаты опубликованы в работах [26] и [27].

Результаты, выносимые на защиту:

• Исследовано влияние массы опор на динамику прецессионного движения статически и моментно неуравновешенного ротора при общих предположениях о нелинейности упругих характеристик опор, получены выражения для амплитудно-частотных характеристик и определены границы потери устойчивости симметричных гипербо-лоидальных, конических и цилиндрических прецессий.

• Исследовано влияние динамических свойств опор на критические частоты и ширину рабочего диапазона в случае линейно-упругих опор, показано появление дополнительных критических частот, обусловленных упругостью и массами опор. Показано, что массивные опоры оказывают балансирующее влияние на больших угловых скоростях вращения ротора (отсутствует самоцентрирование ротора).

• Для нелинейных характеристик упругих опор типа Герца и типа Дуффинга при учете внешнего трения проведено исследование симметричных гиперболоидальных, конических и цилиндрических прецессий, показано существование дополнительных нелинейных резо-нансов, обусловленных динамикой тяжелых опор, построены амплитудно-частотные характеристики, проведено исследование потери устойчивости, обнаружена возможность бифуркаций «жесткого» и «мягкого» типов.

• Для нелинейных характеристик упругих опор типа Герца и типа Дуффинга численно исследовано влияние внутреннего трения на

прецессионное движение ротора в межрезонансной и зарезонансной областях, построены границы возбуждения автоколебаний, показана возможность существования хаотических колебаний, в том числе переходного хаоса.

Глава 1

Прецессионное движение ротора, укреплённого на гибком валу в упругих массивных опорах

1.1 Модель системы "ротор-массивные опоры"

Рассмотрим ротор, который представляет собой абсолютно твёрдое динамически симметричное тело, насаженное на упругий вал, массой которого можно пренебречь по сравнению с массой тела. Гибкий вал укреплён в упругих массивных опорах с заданными характеристиками жёсткости и массами. Примем схему ротор - опоры, предложенную В.А. Гробовым в [5].

Пусть ротор имеет массу М, а длина вала равна Ьг. Моменты инерции ротора равны (осевой) и ^ (трансверсальный). Дисбаланс ротора характеризуется тремя величинами: е — статический эксцентриситет, т.е. смещение центра масс ротора от оси его вращения, 5 — угол между осью динамической симметрии ротора и прямой, параллельной оси вращения и проходящей через центр масс, и е — угол между плоскостью, в которой лежит угол 6, и плоскостью, проходящей через ось вращения и его центр масс. Модель ротора изображена на рис. 1.1, на котором показаны все характеристики дисбаланса.

Опоры, рассматриваемые как точечные массы М\ и М2, совпадают с точками ф1 и (¿2 оси вала(рис. 1.1). Модель упругих опор представлена на рис. 1.2, такая модель была предложена А. С. Кельзоном в [7].

Пусть ротор установлен вертикально, что позволяет не учитывать

Рис. 1.1. Модель ротора, характеристики дисбаланса

вал

подшипник упругая опора

Рис. 1.2. Модель опор

силу тяжести. Точка крепления твёрдого тела к валу <5 находится на расстоянии е] Ь, от J-oPl опоры, = 1,2), где Ь — расстояние между опорами. Если точка расположена снаружи от J-oPí опоры, то е3 < О,

так что всегда выполняется условие е\ + в2 = 1.

Предполагаем, что ротор вращается с постоянной угловой скоростью со и перемещение ротора вдоль оси вращения пренебрежимо мало.

Введём следующие системы координат: Охуг— инерциальная система координат с осью Ог, совпадающей с направлением оси вращения ротора в его неподвижном состоянии; система координат , жёст-

ко связанная с ротором и с осью (5 £ направленной вдоль касательной к изогнутой оси вала(см. рис. 1.3).

Угол между проекцией касательной к изогнутой оси на плоскость О ху и осью О х обозначим а, угол между проекцией этой же касательной на плоскость О у г и осью О г — ¡3.

Система "ротор - опоры" имеет восемь степеней свободы. Обобщённые координаты можно выбрать следующим образом: (х, у) — декартовы координаты точки (а, /3) — углы, определяющие направление оси (х3,у3) — декартовы координаты точки С}3, {] = 1.2).

1.2 Вывод уравнений движения

1

Рис. 1.3. Система координат

Кинетическая энергия с точностью до линейных членов относительно параметров дисбаланса е, 5 и квадратичных членов относительно обобщённых координат и их производных может быть записана в виде[28]:

т = 1-мх (ж2 + у2) + (ж2 + у2) +

(X2 + у2 + еи{у соз(о; €) - х 8т(ш Щ + ]-Зр{и>2 - 2ш/3а)+ (1.1)

¿Л ¿л

-ь- Зь {а2 + /З2) + (- Зг) 5 и (а г - е) - /3 сов(о; Ь — е

Вал предполагается линейно-упругим, так что потенциальная энергия изогнутого вала может быть записана в виде:

пв = ^ СП ((ж - х0)2 + {у- Уо)2) + \ С22 ({а - а0)2 + (¡3 - /50)2) + +С12 ((х - хо)(а - «о) + (у- Уо)(Р - Ро)) ■

(1.2)

Здесь введены обозначения С = {с/т}, (/,ш = 1,2) — матрица жесткости упругого вала, закрепленного в жестких подшипниках; (жо, Уо) — декартовы координаты точки о, которая является проекцией точки на линию опор (¿1(^2', углы (ско, /0о) определяют направление прямой (^1(^2 и предполагаются малыми. Величины (хо, уо, ско, А)) характеризуют перемещение ротора как твердого тела (см. рис. 1) и могут быть вычислены как функции декартовых координат х3, у0 точек (3-,:

х0 = е2Х1 + ехх2, у0 = е2 у\ + е1 у2,

ао = (ж2 - xi)/ь, р0 = (г/з - у\)/ь.

(1.3)

Введем комплексные переменные:

4- ¿к. (п = п 1 сл

(1.4)

Опоры предполагаются изотропными и упругими. В этом случае вос-

Б = х + г у, = х3 + г у3, = 0,1, 2)

станавливающие силы в опорах имеют только радиальные составляющие, и реакция ^-ой опоры может быть записана в виде:

(1.5)

Здесь — смещение точки от ее равновесного положения, п^ = Эх/^х] — единичный вектор направления Функции являют-

ся непрерывно дифференцируемыми, возрастающими и /^(0) = 0, они могут быть как линейными, так и нелинейными.

Будем предполагать, что на ротор и опоры действуют силы внешнего трения со стороны окружающей среды. Силы внешнего трения характеризуются диссипативной функцией:

где Де- ~ коэффициенты внешнего трения в роторе и опорах соответственно.

Уравнения Лагранжа //-го рода относительно комплексных переменных (1.4) могут быть записаны в форме

(1.6)

МБ + Де£> + сп(5 — 5о) + С12(7 — 7о) = Меси2 ехр(г^),

За - г+ /хе/,27 + с12(Б - 50) + с22(7 - 7о) = (1-7)

= (</г — )8ш2 ехр(г(с<^£ — б)),

(сце2 - ~ + (с!2е2 - —) (7 - 7о),

сце2 -

М252 + Д25'2 + ^2(|(52|) А =

(1.8)

(спб! + - 5о) + (с12в1 + —) (7 - 7о)

сце 1 + —

Введем обозначения для левых частей уравнений (1.8)

= + А, 3 = 1,2. (1.9)

В силу предположения о линейной упругости вала уравнения (1.8) являются линейными алгебраическими относительно (51, 7). Следовательно, возможно найти точное решение:

5 = (ез-А + Л) > = сп + С12 ез

3=1,2

= ^ (~гу ( § + ^ ^ ) ' ^ = с22 езь + (-1)' с*12, .7=1,2 ^ '

7

.7=1,

где С* = {сг*то} — матрица податливости вала. Компоненты этой матрицы с*1т зависят от способа крепления вала. Для различных видов опор эти функции можно найти во многих монографиях, например, [5].

Решения (1.10) используем для исключения переменных (б*, 7) из уравнений (1.7). После подстановки (1.10) в уравнения (1.7) получим дифференциальную систему из двух уравнений относительно комплексных переменных ¿х, ¿>2, каждое 4-ого порядка:

^ + + + + =

7=1,2

= Меш2 ехр(ги^),

7—1,2

+(ДеЬ2 + Л^ + е3 Ь Л^ =

= (^ — Зр)5ш2 eщ)(i(u^t — е). Для перехода к уравнениям в безразмерном виде введем безразмерное

время т и безразмерные переменные по формулам:

т = щ = //г,

(1.12)

где /г — некоторая малая длина, например, статический эксцентриситет е или величина Ь 6.

Выбор характерной угловой скорости шо зависит от вида нелинейности Рассмотрим два вида нелинейности, когда реакции опор изменяются по формуле Герца:

(1.13)

и по формуле Дуффинга:

(1.14)

Ь) Ь)

где с0 ,с\ - постоянные, характеризующие упругие свойства опор. Для нелинейности типа Герца целесообразно выбрать

2 сРл/К

ш1 = ±Ж~

(1.15)

а для нелинейности типа Дуффинга:

(1.16)

Безразмерные дифференциальные уравнения примут вид:

(1.17)

= с2 ехр(гПт),

( j2 ^

— {Sj+(72jNJ) + {kl^ + in{l~l)) — (sJ+a2jNJ) + T T

+e3klN3) = /rf202exp(«(i7r - г)). В уравнениях (1-17) использованы обозначения

х jp и 1 /1 х и МЬ2 ^

A = 1 = 1- X, к = ——, = -,

Jt Jtl м и о

¿Ъ = ТТ1-' = Mujl, = X23LMwl, (1.18)

М

Ш

M* . e , L 5

П = _ т = 1-2 с?! = ¿2 = -

шо М п К

Безразмерные функции реакций опор и Л^ имеют вид:

Л(Ы) = ^ = + м + Л(Ы) (1-19)

Отметим, что всегда справедливо к (1 — Л) > 0. Если ротор представляет собой динамически сжатое тело, то Л > 1, следовательно, к < 0. Если динамически вытянутое, то Л < 1, и к > 0. Случай ротора, обладающего шаровой симметрией, т. е. Л = 1, в данной работе не рассматривается.

1.3 Прямые синхронные прецессии

В данной работе следуем методу, предложенному И.А. Пасынковой[28]. Система (1.17) допускает точное решение вида:

в3 = Я3 ехр(г (р3) ехр(Шт), ^ = 1,2, (1.20)

где Я3,<р3 - вещественные постоянные, Я3 > 0.

Это решение представляет собой установившееся движение ротора, являющееся прямой синхронной круговой прецессией. Величины ком-

плексной амплитуды Ш3 ехр(г^) - смещения опор в системе координат, вращающейся вместе с ротором.

Для жёсткого ротора тип прямой круговой прецессии (цилиндрическая, коническая или гиперболоидальная) определяется видом поверхности, которую заметает в пространстве ось вращения ротора [19]. Для ротора с гибким вращающимся валом в [28] были введены определения цилиндрической, конической или гиперболоидальной прецессий в зависимости от вида поверхности, которую заметает в пространстве неде-формированная ось вала или ось подшипников, то есть прямая (Зхфг, которая характеризует перемещение вала как твердого тела (см. [42, 43]).

Соответствие между типом прецессии и параметрами комплексной амплитуды Я3 и (р3 представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1.

Тип прецессии Фазы Радиусы

цилиндрическая ч>\ = ч> 2 = и.2

коническая ч>\ = ч>1 к-1 ф -^2

<¿>1 = <£>2 + 7г

гиперболоидальная ч>1 ф ч> 2

В результате подстановки решения (1.20) в систему (1.17) получим систему линейных алгебраических уравнений относительно величинехр(г^)

У^ (А3 + г 0,С3) Я3 ехр(г <р3) = ^

^ (1.21)

ХД-1 )3{В3+гПВ3)113 ехр(г^) = П2ехр(-гг),

7=1,2

где коэффициенты А3, В3, С3, равны:

Аз = - +т3+ а1з + а1з це ^ П2+

+(Т\3т3 П4,

В3=ке3 Ы^А - (1 + ке3т3+ а2з 1А2А + к а2з цА

Щ \ Щ ) (122)

(/ (В, ) \

ез-] + <Т\3 3 \ + Ре т3№2,

(/ (Ш ) \

е3ц3 + де(1 + а2з 3д •7 )^ - (?2з(Рз + крет3)0,2. Разрешим систему (1.21) относительно (ехр(г^х), ехр(гс/?2)), получим:

.. , а2 + ¿ШЭ3-,) + (-1)^(4,-, + гПС3.3) ехр(-ге)) ехр(г^) =-—-.

(1.23)

Я3ф

где Дм - определитель системы (1.21):

= ^ (А3Вз_3 + Ш{А30з^ + - (1.24)

7=1,2

При отсутствии сил сопротивления (де = 0, = 0) определитель системы (1.21) принимает вид:

А = АХВ2 + А2Вг, (1.25)

где А,, вычислены по формулам (1.22) при ¡ле = 0, /л3 = 0.

Множество А = 0 задаёт в пространстве {Г2. Ттц, .й^} поверхность нелинейных резонансов, которая разделяет это пространство на области, где прецессии имеют качественно различный характер[19]. Если функции реакций опор ¡3(Я3) линейны, то А = 0 представляет собой уравнение для нахождения критических частот вращения ротора. Из (1.23) получим выражение для

(-1)7 ((ПС3_, с08(£) - 8ш(е)) + прз-а гап{(р3) + соз(£) + 81П(£))^2 • ^ "

Используя тождество |ехр(г^)| = 1, из (1.23) можно получить аналитическое выражение для амплитудно-частотной характеристики:

где

К3 = ¿\ А) + с1] В) + {4 С2 + с1\ Б]) П2+ +(-1>7 2 д.2 сов(г) (А3 В3 + П2С3 Р3) + (1.28)

+{-1)э 2 ¿М2 ^ ап(£) [В3 С3 — А3 И3),

1.3.1 Симметричные прецессии

Рассмотрим возможность существования симметричных круговых прецессий, когда опоры описывают окружности равных радиусов, т.е. = Л2 = Я. Для этого предположим, что опоры обладают одинаковыми характеристиками: /1 = /2 = /, ¡л\ = /¿2 = А4, Ш1 = ш2 = т. Пусть ротор укреплён в середине между опорами, т.е. е\ = е2 = 1/2, тогда матрица податливости вала имеет диагональный вид, и её ненулевые компоненты равны

* _ ^ * _ Ь (

Си " 48^7' С22 " 12Ж7' (1'29)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Степанова, Полина Петровна, 2013 год

Литература

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений — М.: Наука, 1978, — 304 с.

2. Болотин В. В. Нелинейные колебания валов за критическими скоростями вращения // Проблемы прочности в машиностроении. Вып. 1. - М.: Изд-во АН СССР. 1958, - с. 25-53.

3. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. — М.: Физматгиз, 1961 — 339 с.

4. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука. 1986. — 544 с.

5. Гробов В. А. Асимптотические методы расчёта изгибных колебаний валов турбомашин. — М.: Изд-во АН СССР. 1961. — 166 с.

6. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. 248 с.

7. Кельзон А. С., Циманский Ю.П., Яковлев В.И. Динамика роторов в упругих опорах. — М.: Наука, 1982. 280 с.

8. Кельзон А. С., Меллер А. С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах // Доклады РАН - 1991 -Т.318, №-1 -с. 69-72.

9. Кельзон А. С., Меллер А. С. К динамике роторов в подшипниках качения // Доклады РАН - 1992 - Т.323

10. Кельзон А. С., Меллер А. С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах // Доклады РАН - 1991 -Т.318, №1 -с. 69-72.

11. Кривцов A.M. Динамика неуравновешенного твердого тела на упругих опорах: Автореф. дисс. кандидата наук: 01.02.01 / С.-Петербург. гос. техн.ун-т. - СПб, 1995. - 18 с.

12. Кривцов A.M. Стационарное движение несбалансированного ротора центрифуги в околорезонансных областях // Труды СП6ГТУ.1 993. N446. С.190-193.

13. Кузнецов С. П. Динамический хаос. — М.: Физматлит, 2001. — 296 с.

14. Кушулъ М. Я. Автоколебания роторов (Динамика быстроходных веретен). - М.: Изд-во АН СССР. 1963. - 168 с.

15. Меркин Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающегося ротора, установленного в нелинейных подшипниках // ПММ. 1983. Т. 47. Вып. 3. С. 378-384.

16. Мун Ф. Хаотические колебания — М.: Мир. 1990. — 311 с.

17. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — М.: Наука. 1987. — 424 с.

18. Пасынкова И. А. Прецессии жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Проблемы и перспективы прецизионной механики и управления в машиностроении. Материалы международной конференции. — Саратов: Изд-во Саратовского ун-та,

1997. - с. 83-85.

19. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1997. Вып. 4 (№22) - с. 88-95.

20. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1.

1998. Вып. 1 - с. 82-86.

21. Пасынкова И. А., Лебедева И. М. Установившиеся вращения ротора в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления// Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 1998. Вып. 3-е. 101-106.

22. Пасынкова И. А., Архипова И. М. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения. Избранные труды. — СПб.: Изд-во НИИ Химии СПб. ун-та, 2000. - с. 65-72.

23. Пасынкова И. А. Конические прецесии ротора Джеффкота с четырьмя степенями свободы в нелинейных упругих опорах // Четвёртые Поляховские чтения. Избранные труды. — СПб.: Изд-во "ВВМ" 2006. с. 146-156.

24. Пасынкова И. А., Сабанеев В. С. Из истории развития динамики роторов // Четвёртые Поляховские чтения. Избранные труды. — СПб.: Изд-во "ВВМ" 2006. с. 644-654.

25. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Влияние массы и упругости опор на критические частоты неуравновешенного ротора Джефф-котта // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2008 Вып. 2, — с. 141-147.

26. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Цилиндрическая прецессия неуравновешенного ротора в массивно-податливых опорах// В сб.: Пятые Поляховские чтения. Избранные труды. 2009. — с. 101-106.

27. Пасынкова И. А., Степанова П. П. Прецессии неуравновешенного ротора Джеффкотта в массивно-податливых опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2011. Вып. 4 - с. 134-141.

28. Пасынкова И. А. Динамика прецессионного движения неуравновешенного ротора: Автореф. дисс. доктора наук: 01.02.01 / СПбГУ. - СПб., 2007. - 32 с.

29. Степанова П. П. Прецессии неуравновешенного ротора в массивных нелинейно-упругих опорах // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер.1. 2012. Вып. 4 - с. 125-132.

30. Тондл А. Автоколебания механических систем // М.: Мир, 1979. 429 с.

31. ГОСТ 19534-74. Балансировка вращающихся тел. Термины. / Изд-во стандартов — 1974. — 49 с.

32. Dunkerley S. On the whirling and vibrations of shafts // Phil. Trans. R. Soc. London. Ser. A. - 1894. - Vol. 185, Pt.l. - Pp. 279-360.

33. Genta G., Vibration of structure and machines: practical aspects. — Berlin: Springer-Verlag, 1999. — 599 pp.

34. Foppl A., Das Problem der Laval'schen Turbinenwelle // Der Civilin-

genieur 1895. - Vol.41 - pp 333-342.

35. Jeffcott H. H. The periods of lateral vibrations of loaded shafts. The rational derivation of Dunkerley's emperical rule for determining whirling speeds // Proceedings of the Royal Society. Series A. — 1918 — Vol. 95, no. A666

36. Kerr W., On the Whirling Speeds of Loaded Shafts // Engineering. - 1916. - P.150.

37. Kimball A., Internal Friction Theory of Shaft Whirling // Phys. Review. - 1923. - no.2. - P.703.

38. Kimball A., Internal Friction as a Cause of Shaft Whirling // Phil. Mag. - 1925. - Vol. 49. - Pp. 724-727.

39. Nelson F. C., A brief history of early rotor dynamics // Journal of Sound and Vibration, 37, 2003 — pp. 8-11

40. Parker T.S., Chua L. 0. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. — NY: Springer Verlag, 1989. — 357 pp.

41. Pasynkova I. A. Bifurcations of Cylindrical Precessions of an Unbalanced Rotor// Technische Mechanik, vol. 26, 2006, N 1, pp. 1-10.

42. Pasynkova I. A. Whirling Motion of an Unbalanced Rotor in Linear and Nonlinear Elastic Bearings //7. Magdeburger Maschinenbau-Tage. 11.-12. Oktober 2005 an der Otto-von-Guericke-Universitaet Magdeburg. Tagungsband. 2005. pp. 143-148.

43. Pasynkova I. A. Cylindrical Precessions of an Unbalanced Jeffcott Rotor with four Degrees of Freedom in Non-linear Elastic Supports// Technische Mechanik, vol. 26, 2006, N 2, pp. 117-130.

44. Rankine W. J. M. On the centrifugal whirling of shafts // The Engineer - 1869. - April. - Vol. 27 - p. 249.

45. Smith D. M. The Motion of a Rotor carried by a Flexible Shaft in Flexible Bearings / Proc. R. Soc. London, Ser. A. — 1933. — Vol. 142 -Pp. 92-118.

46. Stevart A. Note sur la turbine de Laval // Revue universelle des Mines, Ser. 3. - 1896. - Vol. 33, no. 2. - Pp. 141-161.

47. Yamamoto T., Ishida Y. Linear and Nonlinear Rotordynamics // Wiley k Sons - 2001. - 358 pp.