Динамические задачи термоэлектроупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кирютенко, Александр Юрьевич

• Кирютенко, Александр Юрьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кирютенко, Александр Юрьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Колебания неограниченной термоэлектроупру-

гой среды

1.1 Уравнения термоэлектроупругости в пространстве при установившихся колебаниях. Асимптотический анализ

1.2 Плоские волны в неограниченной термоэлектроупругой среде

1.3 Анализ типов волн для керамики класса 6 тт

Глава 2. ГИУ термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний

2.1 Постановка краевых задач термоэлектроупругости

2.2 Обобщенная теорема взаимности

2.3 Фундаментальные решения в термоэлектроупругости и

их интегральные представления

2.4 Граничные интегральные уравнения связанной термоэлектроупругости

2.5 Асимптотический анализ краевой задачи термоэлектроупругости при установившихся колебаниях

Глава 3. Некоторые нестационарные задачи термоэлектроупругости

3.1 Об одной приближенной модели расчета полей в линейной термоэлектроупругости

3.2 Тепловой удар по слою (точное и приближенное решения). Сравнение результатов

3.3 Задача Даниловской в термоэлектроупругости

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические задачи термоэлектроупругости»

Введение

Бесконтактные методы измерения температуры тел играют большую роль для контроля и автоматизации производственных процессов, в системах идентификации и медицине. Температура является универсальной характеристикой состояния твердых, жидких и газообразных тел, а также процессов и реакций, проходящих в телах. Измеряя температуру объекта, в ряде случаев можно судить и о других его параметрах, однозначно связанных с температурой. Поэтому в настоящее время весьма актуальна проблема расчета параметров для конструирования различных типов тепловых и температурных датчиков, например, на основе пиро- и пьезоактивных материалов, в которых при воздействии теплового потока наводится разность потенциалов, подлежащая определению с учетом взаимного влияния теплового, упругого и электрического полей. Учет связанности этих полей в различных задачах термоэлектроупругости также необходим в связи с постоянной миниатюризацией устройств пьезоакустики и пьезоэлектроники, созданных из различных пьезо- и пироактивных материалов, в которых тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние на происходящие процессы. Одним из примеров применения пироэлектрических датчиков для измерения тепловых потоков [26], [97] является устройство для измерения параметров дыхания - его частоты и интенсивности. Обзор реальных устройств, пьезо- и пироактивных материалов, их характеристики и примеры применения изложены в монографиях и статьях [1], [2], [9], [25], [29], [33], [34], [37], [38], [39], [43], [50], [60], [64], [66], [73], [74], [82].

Уравнения термопьезоэлектричества, сформулированные Миндли-ным [101] в начале 60-х годов нашего столетия, составляют основу крае-

вых задач термоэлектроупругости [53, 55], которые имеют важные приложения при расчете пьезо- и пиродатчиков. Отметим, что в этой части механики деформируемого твердого тела, посвященной изучению взаимного влияния тепловых, электрических и упругих полей, гораздо меньше законченных результатов, чем, например, в термоупругости или электроупругости. Среди наиболее значимых работ, посвященных обобщенным постановкам краевых задач, отметим [7], [78], [79]. В ряде работ, посвященных общим вопросам термоэлектроупругости, авторам удалось получить законченные результаты [7], [14], [104], [105].

Теория термоэлектроупругости, являясь обобщением термоупругости и электроупругости, опирается на методы исследования нестационарных процессов в этих теориях, основанные либо на концепции малой связанности, либо на асимптотических методах малых и больших времен.

Дадим краткий обзор решенных задач в термоэлектроупругости. В [59] автором отмечено, что в последнее время в литературе уделяется большое внимание связанным задачам, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. Для постановки таких задач необходимо ввести определяющие соотношения (линейные или нелинейные), т. е. построить модель среды, учитывающую взаимодействие полей согласно известным экспериментальным фактам. В этой работе построена связанная модель для случая физически линейных и нелинейных сред для малых деформаций.

В работе [103] обсуждена общая процедура построения фундаментальных решений связанных задач теории упругости при наличии электрических, температурных и других полей. Задача сведена к одно-

мерной посредством разложения обобщенной функции Дирака по плоским волнам. Решение представлено в виде интеграла по сфере единичного радиуса. Рассмотрена как гармоническая зависимость от времени, так и случай импульсного нагружения; в последнем случае аналитическое решение построено для материалов, в которых отсутствует диссипация. Представлены конкретные результаты вычислений функций Грина для указанных выше классов задач.

В [83] квазистатические уравнения теории пьезоэлектричества и термопьезоэлектричества модернизированы для применения метода конечных элементов. Полученные результаты способствуют решению задачи размещения и оценке чувствительности датчиков в перспективных информационных системах. Эффективность иллюстрируется двумя частными примерами. Первый из них - двухслойная пьезоэлектрическая полоса как деталь робототехнической системы. Второй пример - алюминиевая балка с нанесенными двумя полимерными слоями, которые используются как активаторы и сенсоры при оценке и регулировании распределения температур в балке от краевого источника.

В [108] на основе предложенного авторами ранее метода решена двумерная пьезотермоупругая задача ортотропной пластины, представляющей группу тт2, одна поверхность которой нагрета, а другая электрически заряжена. Численные расчеты проведены для селенида кадмия. Упругое смещение и распределение напряжений сравнивались с решениями термоупругой задачи без учета пьезоэффекта. Исследовалось влияние поверхностного электрического заряда на упругие смещения, поле напряжений, электрический потенциал, плотность зарядов и электрические смещения.

В работе [84] предложен обобщенный метод решения трехмерной

задачи пьзотермоупругости в гексагональных твердых телах класса бтт. Введены две функции пьезотермоупругого потенциала, четыре функции пьезоупругого потенциала и пьезоэлектрический потенциал. Получены отдельные несвязанные разрешающие уравнения для функций потенциалов из уравнений движения для напряжений и уравнения упругостатики.

В [7] исследованы задачи об установившихся колебаниях ограниченных термоэлектроупругих и электроупругих тел, а также пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Допускаются как классические главные и естественные граничные условия, так и механические и электрические контактные краевые условия, включающие контакт с жесткими штампами и электроды, запитываемые генераторами тока. Даны обобщенные постановки задач. Доказана дискретность спектра и полнота системы собственных функций для электроупругих тел и пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Отмечены свойства вещественной части спектра задач для термоэлектроупругих тел. Изучены вопросы разрешимости неоднородных задач. Установлены свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел при изменении их модулей в механических, электрических и тепловых граничных условиях.

В работе [45] рассматривается применение численных схем МГЭ для класса плоских задач термоэлектроупругости об установившихся колебаниях ограниченных тел с частично электродированной границей.

В [65] изучена модель пироэлектрического приемника излучения, представляющая собой пьезокерамическую пластину, торцы которой полностью покрыты электродами и замкнуты через внешний контур

заданного комплексного сопротивления Z. На одной лицевой поверхности задан тепловой поток, на другой - конвективный обмен тепла с окружающей средой. Принято, что лицевые поверхности свободны от механических напряжении, и керамика поляризована вдоль оси, перпендикулярной лицевым поверхностям. В рамках линейной связанной теории электротермоупругости построено аналитическое решение для амплитудных составляющих перемещений, электрического потенциала и приращения температуры, а также находится разность потенциалов на электродах. При построении модели учтено, что электроды имеют малую толщину и, как следствие, пренебрегалось их механическим воздействием на пьезокерамический элемент и неравномерностью распределения тепла, а также учтена малость толщины пластины по сравнению с ее размерами в плане. Для оценки влияния механических перемещений на искомую разность потенциалов была рассмотрена упрощенная модель такой же задачи, основанная на связанных термоэлектрических полях.Также построено аналитическое решение, позволяющее находить амплитудные составляющие электрического потенциала и приращения температуры, а также разность потенциалов на электродах. Получены асимптотические оценки при малых и больших частотах модуляции для этой упрощенной модели. С помощью численных расчетов выявлены диапазоны частот расхождения искомой разности потенциалов для упрощенной постановки задачи.

В [68] рассмотрены прикладные задачи механики связанных полей, описывающие эффекты взаимодействия различных физических полей с полем деформаций в твердых деформируемых телах. Для решения стационарных задач использован метод граничных интегральных уравнений с учетом дополнительных средств, позволяющих избежать инте-

грирования по объему при наличии массовых сил различной физической природы. Обсуждены также конкретные примеры примененения предложенного подхода.

В [111] представлена уточненная теория термоэлектромеханики тонких слоистых анизотропных оболочек, подвергающихся механическим, электрическим и термическим воздействиям. Для этого были выписаны определяющие уравнения пьезотермоупругости анизотропных пьезоэлектрических материалов, а основные термоэлектромеханические уравнения и граничные условия выведены при помощи принципа Гамильтона. Обсуждено применение предложенной теории для динамических измерений и управления. В следствии весьма общих предположений относительно свойств материалов и геометрии оболочки, разработанная теория может быть использована для конструкций из самых разнообразных материалов, например, пьезокерамики, пьезополимеров и т. д., имеющих самые разнообразные формы, например, оболочки, плиты, кольца, стержня и т. д. Приведены результаты конкретных расчетов.

В [98] рассмотрена математическая постановка связанной задачи термоупругости о распространении волн в тонком полубесконечном стержне из пьезоэлектрика. Уравнение для теплового потока содержит время релаксации, что обеспечивает конечность скорости распространения тепла в среде. Задачу удалось решить аналитически с использованием преобразования Лапласа. Обсуждены основные закономерности в распространении скачков перемещений и температуры. Поле деформаций в стержне является непрерывным. Приведен пример расчета.

Методом Лехницкого-Стро в [113] построено общее решение плоской

задачи термоэлектроупругости в случае анизотропной среды. Особое внимание уделено случаям кратных собственных значений. Решение задачи о коллинеарных трещинах на границе раздела двух сред сведено к известной задаче линейного сопряжения - задаче Гильберта.

В [61] дано краткое изложение сущности метода, предлагаемого для решения некоторых связанных динамических контактных задач, возникающих при исследовании проведения системы "массивное тело -многослойная полуограниченная термоэлектроупругая среда".

Как указывалось выше, развитие исследований в области термоэлектроупругости опирается на результаты, полученные ранее в работах по электроупругости и термоупругости.

Среди наиболее значимых работ по электроупругости отметим монографии и статьи: [3], [4], [6], [20], [23], [27], [35], [36], [41], [42], [46], [53], [55], [57], [67], [70], [71], [72], [80], [69], [10], [91], [62], [63].

Термоупругие эффекты вносят значительный вклад в характеристики физических полей в термоэлектроупругости. Исследованию динамических эффектов в задачах термоупругости посвящены [40], [99], [88]. В [96] рассмотрена система уравнений типа III в теории Грина и Нагди для линейных термоупругих сред. В терминах преобразования Лапласа по временной координате решены две одномерные задачи о температурном скачке во времени на границе полупространства, при этом граница или жестко заделана, или свободна от напряжений. Обращения преобразований выполнены для малых времен, и решения для напряжения и температуры в среде проиллюстрированы графиками.

В [54] получено точное решение в замкнутой форме связанной динамической задачи термоупругости для полупространства с граничным условием первого рода. Исследовано нормальное напряжение, перпен-

дикулярное свободной поверхности, в окрестности фронта упругой волны.

В [110] дана математическая постановка и решение связанной задачи электротермоупругости для совокупности коаксиальных цилиндров из пьезокерамики. Учтена зависимость пьезоэлектрических коэффициентов от температуры. Результаты расчетов используются при анализе работы твердотельного двигателя, применяемого в космических исследованиях. Приводится сопоставление теории и эксперимента.

Одним из эффективных методов анализа установившихся колебаний упругих и электроупругих тел является метод граничных интегральных уравнений и его дискретный аналог - метод граничных элементов (МГЭ). Этому направлению посвящены работы [8], [11], [12], [13], [14], [15], [17], [20], [21], [22], [47], [48], [49], [103], [77].

Главное препятствие на пути интенсивного исследования краевых задач термоэлектроупругости - относительно большая размерность этой модели (смещения щ, потенциал ср и температура в), в силу чего число решенных (даже численно) краевых задач относительно невелико.

С другой стороны, результаты даже тех немногих работ, в которых анализируются численно или аналитически основные свойства решений, свидетельствуют о том, что влияние фактора связанности на электрический потенциал весьма невелико. Это обстоятельство наводит на мысль о возможности упрощения процедуры исследования задач термоэлектроупругости в части исследования интегральных характеристик (например, наведенной разности потенциалов), осуществлении декомпозиции исходной задачи и уменьшении числа основных неизвестных.

Основной целью настоящей диссертационной работы является исследование динамических процессов в термоэлектроупругих средах с учетом и без учета связанности, выяснение тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.

Глава 1 посвящена изучению колебаний неограниченной термоэлек-троупругой среды.

В параграфе 1.1 из общих уравнений связанной термоэлектроупру-гости в линейном приближении (уравнений движения, уравнений Максвелла в квазистатическом приближении и уравнения притока тепла) и определяющих соотношений получена общая система уравнений в частных производных, описывающая движение термоэлектроупругой среды. Проведено обезразмеривание общей системы, позволяющее привести ее к виду, удобному для дальнейшего изучения и анализа. Приведены уравнения, описывающие движение термоэлектроупругой среды в важном частном случае для пьезокерамики, поляризованной вдоль оси Охз ( класс 6шт) [55]. Далее на основе общего случая, описанного выше, выполнено обезразмеривание в случае среды класса 6 тт, проанализирована полученная система уравнений, выявлены параметры связанности полей, приведены безразмерные параметры и постоянные для титаната бария и селенида кадмия.

В 1.2, 1.3 на основе анализа уравнений движения для связанной термоэлектроупругой среды класса 6 тт изучена структура плоских волн в связанной задаче для бесконечной среды, исследовано влияние

связанности и частоты колебаний на скорости и коэффициенты затухания. Теоретический и численный анализ дисперсионного уравнения позволил классифицировать волны следующим образом:

1) квазитепловая волна, подверженная дисперсии и затуханию;

2) квазипродольная электроупругая волна, скорость которой слабо зависит от частоты, с затуханием, зависящим от направления распространения;

3) квазипоперечная электроупругая волна, скорость которой слабо зависит от частоты, с сильно неоднородным по направлению распространения затуханием;

4) электроупругая БН-волна, не подверженная дисперсии и затуханию.

Приведены результаты численных расчетов по определению характеристик термоэлектроупругих волн для титаната бария и селенида кадмия.

Глава 2 посвящена некоторым вопросам установившихся колебаний для ограниченных термоэлектроупругих тел. В 2.1 изложена общая постановка краевых задач термоэлектроупругости с различными видами краевых условий.

В 2.2 сформулирована обобщенная теорема взаимности, которая обобщает приведенную в [55] на случай наличия сосредоточенных зарядов и используется далее в 2.4 для вывода соответствующих граничных уравнений.

В 2.3 дано представление фундаментальных решений в линейной термоэлектроупругости в виде однократных интегралов по конечному отрезку, обобщающее известное представление для задач электроупругости [21].

В 2.4, основываясь на теореме взаимности, получен аналог формулы Сомильяны для термоэлектроупругости и сформулированы граничные интегральные уравнения связанной термоэлектроупругости, понижающие размерность исследуемой задачи на единицу и позволяющие применить классический вариант метода граничных элементов к новому классу задач.

В 2.5 решение плоской краевой задачи для пьезокерамики класса 6 тт в случае установившихся колебаний сведено к решению последовательности краевых задач, процедура последовательного решения которых в свою очередь приводит к процедуре раздельного решения краевой задачи электроупругости и теплопроводности на каждом этапе. Отмечено, что это может быть осуществлено при помощи сведения к системе ГИУ.

Глава 3 посвящена анализу связи теплового и электрического полей в условиях нестационарного воздействия.

В 3.1 предложена приближенная модель расчета полей в линейной термоэлектроупругости для конечных тел. В предположении равенства нулю безразмерного коэффициента при инерционном члене в уравнениях движения с учетом малости параметров связанности, исходная краевая задача сведена к последовательному решению двух задач:

1) задачи теплопроводности;

2) задачи электроупругости с массовыми и поверхностными силами и поверхностными зарядами.

В 3.2 в качестве иллюстрации расмотрены точное и приближенное решения задачи о тепловом ударе по слою из термоэлектроупруго-го материала. Приведены безразмерные параметры и постоянные, ис-

пользуемые в этом случае, для титаната бария и селенида кадмия, на основе анализа которых в рамках метода возмущений построены асимптотики передаточных функций точного решения. Построены асимптотики наведенной разности потенциалов в случае наличия и отсутствия тока при различных случаях тепловой нагрузки. Проанализированы результаты и выявлены критерии применимости метода для конкретных пьезо- и пироактивных материалов на примере титаната бария и селенида кадмия.

В 3.3 в рамках линейной термоэлектроупругости [55] рассмотрена задача о внезапном воздействии на границу полупространства а?з = О температурного поля (обобщенная задача Даниловской). Получено представление для передаточной функции и для конкретных типов тепловой нагрузки на основе анализа безразмерных параметров построены асимптотики передаточной функции и потенциала на электроде. Произведено сравнение точных и приближенных решений.

Основные результаты диссертационной работы содержатся в публикациях [14], [15], [16], [17], [18], [19].

В работах [14], [17] Ватульяну А.О. принадлежит общая постановка задачи, обсуждение методов ее решения и результатов, Наседкину A.B. принадлежит способ обезразмеривания и обсуждение результатов, автору принадлежит асимптотический анализ и проведение расчетов скоростей и коэффициентов затухания.

В работе [15] Ватульяну А.О. и Наседкину A.B. принадлежит постановка задачи, основные идеи по ее реализации и методика вычисления интегралов, автору принадлежит конкретизация этих идей для определенного класса материалов.

В работах [16], [18] Ватульяну А.О. принадлежит постановка зада-

чи и основные идеи асимптотического анализа, автору и Федоровой В.В. принадлежит построение решений и их асимптотический анализ в равной степени.

В работе [19] Ватульяну А.О. принадлежит основная идея о сведении процедуры решения задачи термоэлектроупругости к последовательному решению двух более простых задач, автору принадлежит конкретная реализация этого подхода в одномерной задаче для слоя и численные расчеты.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов: 94-0101259, 97-01-01000 и 96-15-96216).

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кирютенко, Александр Юрьевич

Заключение.

В работе получены следующие результаты.

1. Изучены типы волн в неограниченной термоэлектроупругой среде класса 6 тт. Предложена классификация типов волн:

1) квазитепловая волна, подверженная дисперсии и затуханию;

2) квазипродольная электроупругая волна, скорость которой слабо зависит от частоты, с затуханием, зависящим от направления распространения;

3) квазипоперечная электроупругая волна, скорость которой слабо зависит от частоты, с сильно неоднородным по направлению распространения затуханием;

4) электроупругая БН-волна, не подверженная дисперсии и затуханию.

2. Построены фундаментальные решения в связанной термоэлек-троупругости для среды класса 6 тт в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку.

3. Сформулирована система ГИУ в термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний.

4. Построены решения для нестационарных задач термоэлектроупругости для слоя, выявлена область изменения параметров, где динамическая и квазистатическая постановки дают расхождение менее 1%.

5. Построено решение задачи Даниловской в термоэлектроупругости, исследована область применимости концепции слабосвязанной задачи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кирютенко, Александр Юрьевич, 1999 год

Литература

[1] Аронов Б.С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики. Л.:Энергоатомиздат, Ленинградское отд., 1990.-272 с.

[2] Аронов Б.С. Об электромеханическом преобразовании энергии в пьезокерамических стержнях.// Акустический журнал. -1980.-т.26.- N 3.-С.456-459.

[3] Баженов В.М., Улитко А.Ф. Исследование динамического поведения пьезокерамического слоя при мгновенном электрическом нагружении. // Прикл. механика. - 1975.-II, N 1.- С.22-27.

[4] Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. - Новосибирск: Наука, 1982. - 240 с.

[5] Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. - М.:Наука, 1969.-344 с.

[6] Белоконь A.B., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости. // Изв. СКНЦ ВШ, сер. естеств. науки -1982 .-N2 -С .29-39.

[7] Белоконь А. В., Наседкин А. В. Колебания термоэлектроупругих тел ограниченных размеров // Соврем, пробл. мех. сплош. среды. - Ростов н/Д, 1995. - С. 31-46.

[8] Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир., 1984. - 494 с.

[9] Берлинкур Д., Керран Д., Яффе Г. Пьезоэлектрические и пье-зомагнитные материалы и их применение в преобразователях // Физическая акустика / Под ред. У.Мэзона. М.; Мир, 1966. Т. 1. ч. А. С.204 - 326.

[10] Болкисев А. М. Исследование электроакустической чувствительности пьезоэлектрических тел на основе теоремы о взаимности работ // Прикл. мех. (Киев). - 1991. - 27, N 7. - С. 109-114.

[11] Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов - М.: Мир., 1987 - 524 с.

[12] Бурчуладзе Т.В., Гегелия Т.Г. Развитие метода потенциала в теории упругости. - Тбилиси: 'Мецниераба', -1985.-226 с.

[13] Ватульян А.О., Гусева И.А., Сюнякова И.М. О фундаментальных решениях для ортотропной среды и их применения. // Изв. СКНЦ ВШ, Сер. естеств. науки.- 1989.-N2.-C.81-85.

[14] Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. Плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупру-гости. // Прикладная механика и техническая физика, 1996, т.37, N 5, С. 135-142.

[15] Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. О формулировке граничных интегральных уравнений связанной термоэлектро-упругости. // Межвузовский сборник научных трудов 'Интегро-дифференциальные операторы и их приложения'., Ростов-на-Дону: Изд. центр Донского государственного технического университета, 1996, вып.2, С.19-25.

[16] Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Федорова В.В. Задача Даниловской в термоэлектроупругости. / / Межвузовский сборник научных трудов 'Интегро-дифференциальные операторы и их приложения', Ростов-на-Дону: Изд. центр Донского государственного технического университета, 1997, вып.2, С.25-30.

[17] Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Наседкин A.B. О некоторых особенностях плоских волн и фундаментальных решений в термоэлектроупругости. //Тезисы докладов Международной научной конференции 'Современные проблемы механики сплошной среды', г.Ростов-на-Дону, 19-21 июня 1995 г., Ростов-на-Дону: МП "Книга", С. 8.

[18] Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю., Федорова В.В. О нестационарном тепловом воздействии на термоэлектроупругую среду, //Труды III Международной научной конференции 'Современные проблемы механики сплошной среды', г.Ростов-на-Дону, 7-8 октября 1997 г., Ростов-на-Дону: МП "Книга", т. 1, С. 69-73.

[19] Ватульян А.О., Кирютенко А.Ю. К асимптотическому анализу уравнений термоэлектроупругости //Труды Международной конференции 'Математика в индустрии', изд-во Таганрогского Гос. пединститута, г.Таганрог, 1998 г., С.67-68.

[20] Ватульян А.О., Кубликов B.J1. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости // ПММ. 1989. Т.53, вып.6. С.1037-1041.

[21] Ватульян А.О., Кубликов B.JI. Метод граничных элементов в электроупругости.// Межвуз. сб. н. трудов. "Мех. деф. тв. тела". Изд - во ДГТУ, г. Ростов н/Д, С.17 - 21.

[22] Ватульян А.О., Кубликов B.JI. Метод граничных интегральных уравнений в смешанных задачах электроупругости. // Тез.докл.Всесоюзн.конф. "Смешаные задачи механ.деф.тв.тела". Одесса.-1989.-С.б4.

[23] Гетман И.П., Устинов Ю.А. Распространение волн в поперечно-неоднородных пьезоактивных волноводах. //Акуст. журн. -1985,31, т. З.-С. 314-317.

[24] Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов. - Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. -144 с.

[25] Глозман И.А. Пьезокерамика. -М.: Энергия, 1972.-288 с.

[26] Глушко A.A., Кременчугский Л.С., Скляренко С.К. / Ин-т медико - биологических проблем; Ин-т физики АН УССР, Киев / A.c. 693197 (СССР), Способ исследования функции внешнего дыхания человека.- Опубл. в Б.И. 1979, N 39.

[27] Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций, т. 5. Электроупругость. Киев: Наук, думка, 1989.-151 с.

[28] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. - М.:Гос.изд.физ.-мат.лит., 1962. - 1100 с.

[29] Гутин Л.Я. Теория пьезоэлектрических вибраторов, применяемых в гидроакустике.// Л.: Судостроение, 1977.-272 с.

[30] Даниловская В.И. Температурные напряжения в упругом полупространстве, возникающие вследствие внезапного нагрева его границы. // ПММ, 1950, т. 14, в.З.

[31] Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования.- М.:Наука, 1971.- 288 с.

[32] Диткин В.А, Прудников А.П. Операционное исчисление.-М.: Высш. школа, 1975.-407 с.

[33] Джагупов Р.Г., Ерофеев A.A. Пьезокерамические элементы в приборостроении и автоматике.- М.:Машиностроение, 1986.- 282 с.

[34] Домаркас В.И., Кажис Р.-И.Ю. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи.- Вильнюс:Минтис, 1975.-255 с.

[35] Жарий О.Ю. Разряд пьезокерамического стержня при ударном нагружении. //Прикл.механика.- 1981.-t.17. N 3.- С.98-103.

[36] Жарий О.Ю.,Улитко А.Ф. Введение в механику нестационарных колебаний и волн. Киев: Выща школа, 1989.-184 с.

[37] Кажис Р.И. Ультразвуковые информационно-измерительные системы. Вильнюс: Москлас, 1986.- 305 с.

[38] Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Электротермовязкоупругость. Киев: Наукова думка, 1988.

[39] Кременчугский Л.С.,Ройцина О.В. Пироэлектрические приемные устройства. Киев: Наук, думка, 1982.-363 с.

[40] Коваленко А.Д. Основы термоупругости. - Киев: Наукова думка, 1970. - 307 с.

[41] Коломиец Г.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания пьезокерамических тел. // Тепловые напряжения в элементах конструкций.-Киев: Наукова думка, 1969. - N 8.-С.15-24.

[42] Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред.- Киев: Наукова думка, 1985. - 175 с.

[43] Королев М.В., Карпельсон А.Е. Широкополосные ультразвуковые пьезопреобразователи. - М.¡Машиностроение. 1982. - 158 с.

[44] Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа.- М.: Наука, 1974. - 224 с.

[45] Кубликов В. Л. Применение численных схем МГЭ в задачах электроупругости и термоэлектроупругости // Соврем, пробл. мех. сплош. среды: Междунар. науч. конф., Ростов-на-Дону, 19-21 июня. 1995: Тез. докл. - Ростов н/Д, 1995. - С. 28-29.

[46] Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Сенник H.A. Механические модели пьезоэлектриков для электронного машиностроения. // Механика деформируемого твердого тела.-М.:ВИНИТИ, 1984.-17.-С.3-62.

[47] Кузнецов C.B. Фундаментальные решения уравнений Ляме для анизотропных сред. // Изв. АН СССР, MTT.-1989.-N4.-C. 50-54.

[48] Купрадзе В.Д. Методы теории потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963.-472 с.

[49] Купрадзе В.Д.,Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи метематической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.-603 с.

[50] Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения -М.: Изд-во иностр.лит., 1949.-719 с.

[51] Лурье А.И. Операционное исчисление и его приложение к задачам механики. -М.-Л.:Гостехиздат, 1950.-432 с.

[52] Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. М.; ГИТТЛ, 1957. 335 с.

[53] Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред.-М.: Мир,-1991.-560 с.

[54] Молотов М. В., Килль И. Связанная динамическая задача термоупругости для полупространства // Прикл. мат. и мех. (Москва). - 1996. - 60, N 4.- С. 687-696.

[55] Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир,1986.-160 с.

[56] Новацкий В. Динамические задачи термоупругости. М.; Мир, 1970.-256 с.

[57] Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел.-М.:Наука, 1988.-472 с.

[58] Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах.- Л.:Наука, 1980.-280 с.

[59] Победря Б. Е. Определяющие соотношения связанных полей // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. - 1992. - N 3. - С. 101-108.

[60] Подводные электроакустические преобразователи: Справочник. /Под ред. В.В. Богородского. - Л.Судостроение, 1984.- 258 с.

[61] Пряхина О.Д. Эффективный метод решения связанных динамических контактных задач термоэлектроупругости. //Труды II Международной научной конференции 'Современные проблемы

механики сплошной среды', г.Ростов-на-Дону, 19-20 сентября 1996 г., Ростов-на-Дону: ООО МП "Книга", т.2, С. 134 - 137.

[62] Пряхина О.Д., Тукодова О.М. Антиплоская динамическая контактная задача для электроупругого слоя //Изв. АН СССР, ПММ. - т. 52. - Вып.5. - 1988. - С. 844-849.

[63] Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости //ПММ.

- т. 62. - Вып.5. - 1998. - С. 834-839.

[64] Пьезокерамические преобразователи. Справочник. /Пугачев С.И. и др. - J1. Судостроение, 1984.- 256 с.

[65] Скалиух А. С. Об одном варианте расчета теплового пироэлектрического приемника излучения // Соврем, пробл. мех. сплош. среды: Междунар. науч. конф., Ростов-на-Дону, 19-21 июня, 1995: Тез. докл. - Ростов н/Дону, 1995. - С. 48-49.

[66] Смажевская Е.Г., Фельдман Н.Б. Пьезоэлектрическая керамика.

- М.: Советское радио, 1971.- 199 с.

[67] Соловьев А.Н. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамического тела прямоугольного сечения. // Прикл.мех.-1984.-т.20, N9.- С. 1235 - 1240.

[68] Стоян Ю. Г., Элькип Б. С., Тугаев А. С., Воробьева Л. Н. Метод граничных интегральных уравнений в прикладных задачах механики связанных полей // Интегр. уравнения и краев, задачи мат. физ.: Сб. тр. Всес. конф., Владивосток, 22-26 окт., 1990. Ч. 1. - Владивосток, 1992. - С. 53-59.

[69] Тимошкина Е. А. Электроупругие волны в пьезоматериалах с периодической структурой. // Тр. 17 науч. конф. мол. ученых Инта мех. АН Украины, Киев, 19-22 мая, 1992. Ч. 2. / Ин-т мех. АН Украины. - Киев, 1992. - С. с. 153-157 : ил. - Библиогр.: 4 назв. -Деп. в УкрИНТЭИ 07.07.92, 1022-Ук 92.

[70] Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел. // Тепловые напряжения в элементах конструкций.-Киев: Наукова думка, 1975.-N 15.- С.90-99.

[71] Улитко А.Ф. К теории электромеханического преобразования энергии в неравномерно-деформируемых пьезокерамических телах. // Прикл.механика.-1977.-13, N 10.- С.115-123.

[72] Улитко А.Ф. О некоторых особенностях постановки граничных задач электроупругости. // Совр.проблемы мех. и авиации. М: 1982.-С.290-300.

[73] Ультразвуковые преобразователи. /Кикучи Е. и др. -М.:Мир, 1972.-424 с.

[74] Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля. /Ермолов И.Н. и др. -М.:Машиностроение, 1986.-280 с.

[75] Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах .-М..-Наука, 1985,-388 с.

[76] Хантингтон Г. Упругие постоянные кристаллов. // Успехи физ.наук. 1961.-74, N 2.- С. 303-352.

[77] Хуторянский Н. М., Coca X. А., Зу В. Метод граничных элементов для плоских задач электроупругости // Прикл. пробл. прочн. и пластич. / НГУ. - 1997. - N 56. - С. 183 - 195.

[78] Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные апроксимации для вариационных задач пироэлектроичества. I. Постановка задач и анализ установившихся вынужденных колебаний.// Дифференциальные уравнения 1993,т.29, N 7, С. 1252 - 1260.

[79] Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные апроксимации для вариационных задач пироэлектроичества. II. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач.// Дифференциальные уравнения 1994,т.ЗО, N 2, С. 317 - 326.

[80] Шульга Н.А., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел.-Киев:Наукова думка, 1990.- 228 с.

[81] Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. - М.:Наука, 1964.- 342 с.

[82] Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. -М.:Мир, 1974.-288 с.

[83] Ashida Fumihiro, Noda Naotake, Tauchert Theodore R. A two-dimensional piezothermoelastic problem in an orthotropic plate exhibiting crystal class mm2 // Nihon kikai gakkai ronbunshu. A. = Trans. Jap. Soc. Mech, Eng. A. - 1993. - 59, N 559. - C. 842 - 848.

[84] Ashida F., Tauchert T. R., Noda N. A general solution technique for three dimensional problems of piezothermoelasticity in hexagonal solids or class 6 mm // 18th Int. Congr. Theor. and Appl. Mech., Haifa, Aug. 22-28. 1992. - Haifa, 1992. - C. 15.

[85] Berlincourt, D., Jaffe, H., Shiozawa, L.R., //Phys. Rev., 129 (1963)

[86] Chadwick P., Seet L.T.C. Wave propagation in a transversely isotropic heat - conducting elastic material // Mathematika. 1970. V. 17. P. 255 - 274.

[87] Chandrasckharaiah D.S., Keshavan H.R. Thermoelastic plane waves in a transversely isotropic body // Acta Mech. 1991. V.87, N 1/2. P. 11 - 22.

[88] Chen TeiChen, Jang Horng-I., Tseng Ampere A. Transient thermal stresses in a multilayered anisotropic medium // Trans. ASME. J. Appl. Mech.- 1995.- 62, N 4.- C. 1067-1069.

[89] Crump K.S. Numerical inversion of Laplas transforms using Fourier series aproximation. // J. Assoc. Comp. Mach.- 1976.-23,1. -P. 89-96.

[90] Davis B., Martin B. Numerical inversion of Laplas transform: a survey and comparison of methods. //J. Comp. Phys.- 1979.-33,1. -P.l-39.

[91] Ding Haojiang, Wang Guoqing, Liang Jian General and fundamental solutions of plane piezoelectroelastic problem // Lixue xuebao = Acta mech. sin.- 1996.- 28, N 4. - C. 441-448.

[92] Dokteci M.C. Vibrations of piezoelectric crystals // Int. J. Eng. Sei. 1980.V. 18, N 3. P. 431 - 448.

[93] Durbin F. Numerical inversion of Laplas transforms: an efficient improvement to Dubner and Abate's method // Comput. J .-17,4-P. 371 -376.

[94] Hetnarski R.B. Coupled thermoelastic problem for the half-space. // Bull. Acad. Polon. Sci. Techn., 1964, 12, N 1.

[95] Hetnarski R.B. Coupled one-dimensional thermal shock problem for small times. // Arch. Mech. Stos., 1961, 13, N 2.

[96] Li Hong, Dhaliwal Ranjit S. Thermal shock problem in themoelasticity without energy dissipation // Indian J. Pure and Appl. Math. - 1996. - 27, N 1. - C. 85-101.

[97] Kaplan H., Leftwich R.F. /Barners Engineering Co., Stamfort, Connecticut, USA/. A guide to infrared temperature measurements.

- Instrum. and Contr. Syst., 1978, 51, N 1, P. 33 - 35.

[98] Majhi M. C. Discontinuities in generalized thermoelastic wave propagation in a semi-infinite piezoelectric rod //J. Techn. Phys.

- 1995. - 36. N 3. - C. 269-278.

[99] Maksudov F.G., Mamedov J.M., On the solution for quasi-static problems of uncoupled classical and general thermoelasticity / / Relat. Probl. Anal. Proc. Int. Symp., Tbilisi, June 6-11, 1991. -Tbilisi, 1993.

- P. 157 - 163.

[100] McDonald J.R. Accelerated convergence, divergence, iteration, extrapolation and curve fitting. //J. Appl. Phys.- 1964. -10, 10.-P. 3034 - 3041.

[101] Mindlin R.D. On the equations of motion of piezoelectric crystals // Problems of continuum mechanics/ Ed. J. Radok. Philadephia : SIAM, 1961. P. 282 - 290.

[102] Narayanan G.V., Beskos D.E. Numerical operational methods for time dependent linear problems. // Int. J. Num. Meth.Eng.-1982.-18, 8.- P. 1829 - 1854.

[103] Norris Andrew N. Dynamic Green's functions in anisotropic piezoelectric, thermoelastic and piroelastic solids // Proc. Rog. Soc. London. A.-1994.-447. N 1929.- P. 175 - 188.

[104] Paul H.S., Renganathan K. Free vibration of a pyrolectric layer of hexagonal (6mm) class //J. Acoust. Soc. Amer. 1985. V. 78, N 2. P. 395 - 397.

[105] Paul H.S., Raman G.V. Wave propagation in a hollow pyroelectric circular cylinder of crystal class 6mm // Acta Mech. 1991. V. 87, N 1/2. P.37-46.

[106] Piessens R. A bibliography on numerical inversion of the Laplas transform and applications. //J. Comp. Appl. Math.-1975.-l,l.- P. 115 - 128.

[107] Piessens R., Dang N.D.P. A bibliography on numerical inversion of the Laplas transform and applications: a supplement. //J. Comp. Appl. Math.-1976.-2,2.- P. 225 - 228.

[108] Rao S. S., Sunar M. Analysis of distributed thermopiezoelectric sensors and actuators in advanced intelligent structures // AIAA Journal. - 1993. - 31. N 7. - C. 1280 - 1286.

[109] Roy Choudhury S. A note on axisymmetric thermoelastic interactions in on unbouded body with cylindrical cavity // Acta. Mech.-1994.-104, N 1-2.- P. 91 - 96.

[110] Stam Mike, Carman Greg Electrothermoelastic behavior of piezoelectric coupled cylinders // AIAA Journal. - 1996. - 34, N 8. -C. 1612 - 1618.

[111] Tzou H.S., .Bao Y. A theory on anisotropic piezothermoelastic shell laminates with sensor/actuator applications //J. Sound and Vibr. -1995. - 184. N 3. - C. 453-473.

[112] Vatulian A.O., Kublikov V.L. Boundary element method in electroelasticity. // Boundary Elements Communications 1995. v.6. P.59 - 61.

[113] Yang X.-X., Shen S., Kuang Z.-B. The degenerate solution for piezothermoelastic materials // Eur. J. Mech. A [J. mec. theor. et appl.]. - 1997 - 16, N 5. - C. 779-793.