Динамические процессы в полупроводниках с мелкими донорами в условиях примесного пробоя тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат физико-математических наук Воронин, Игорь Николаевич

• Воронин, Игорь Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронин, Игорь Николаевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ВЫВОД СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

§1.1. Постановка задачи.

§1.2. Система уравнений.

§1.3. Краткие выводы.

Глава П. ТЕМПЕРАТУНЮ-ПОЛЕВЫЕ ПЕШОДИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ

§2.1. Адиабатическое приближение.

§2.2. Условия возникновения температурно-полевых автоколебаний.

§2.3. Краткие выводы.

Глава III. ТЕМПЕРАТУШО-КОНЦЕНТРАЩОННО-ПОЛЕВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ.

§3.1. Предварительные замечания.

§3.2. Условия возникновения автоколебаний.

§3.3. Краткие выводы.

Глава 1У. ТШГГЕШЫЙ ЭФФЕКТ.

§4.1. Предварительные замечания.

§4.2. Условия возникновения триггерного эффекта.

§4.3. Устойчивость стационарных решений.

§4.4. Краткие выводы.

Глава У. СТОХАСТИЧЕСКИЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ С

МЕЛКИМИ ДОНОРАМИ В УСЛОВИЯХ ПРИМЕСНОГО ПРОБОЯ.

§5.1. Предварительные замечания.

§5.2. Условия возникновения стохастических автоколебаний.

§5.3. Краткие выводы.

СВОДКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ ДИССЕРТАЦИИ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические процессы в полупроводниках с мелкими донорами в условиях примесного пробоя»

Актуальность проблемы

Последние два десятка лет многие исследователи проявляют пристальный интерес к изучению различных механизмов высокочастотных неустойчивостей в полупроводниках /1-17/. Это обусловлено, с одной стороны, возможностью практического использования указанных явлений в полупроводниках и, с другой стороны, этот интерес стимулирован дальнейшим прогрессом нелинейной теории динамических систем. В чем заключается этот прогресс?

Рассмотрим динамическую систему вида: Хб (ВЛ) j> где X - /Т -мерный вектор фазового пространства размерности t в котором определена нелинейная дифференцируемая функция . Основы математического аппарата теории нелинейных систем вида (B.I) в значительной степени развиты (хотя и для других целей) в знаменитых работах Пуанкаре,и Ляпунова. На 1 связь этого аппарата с задачами теории нелинейных колебаний впервые указал А.А.Андронов /19,20/ - ученик Л.И.Мандельштама, чья школа приблизительно в 1930 г. во многом определила дальнейшее развитие теории нелинейных колебаний в научном мире. Основы теперь уже классической теории нелинейных колебаний (теории динамических систем с одно- и двумерным фазовым пространством) логически полно изложены в монографии /21/. В последние двадцать лет теория динамических систем сделала шаг вперед как по проблематике работ /22-26/, так и по уровню развития своих математических методов /27-31/. Кроме систем с разрывными колебаниями /21,32-34/ новые направления теории включают в себя проблемы автоколебаний распределенных систем (в частности, описание гидродинамической турбулентности), стохастическую динамику простых систем с размерностью фазового пространства П >2 (странные аттракторы, если стохастичность в системе собственная, т.е. не связанная с воздействием шумов) /17,18,35-53,56,58,70-72/, а также прямо противоположную задачу - задачу о самоорганизации в очень сложных системах, как в отсутствие, так и при наличии флуктуаций (синэргетика) /74-79/.

Коль скоро в дальнейшем нас будут интересовать в частности стохастические автоколебания, остановимся на этом подробнее.Рассмотрим стохастические автоколебания в динамической системе (B.I) на примере странного аттрактора и гомоклинической структуры. Под стохастическими автоколебаниями будем понимать установившиеся случайные процессы в неконсервативных динамических системах, поддерживаемые за счет регулярных источников энергии.Аналогично тому, как предельный цикл в фазовом пространстве динамической системы есть образ периодических автоколебаний, странный аттрактор и притягивающая гомоклиническая структура (см.ниже) могут служить математическим образом стохастических автоколебаний.

Остановимся сначала на странном аттракторе (этот термин ввели йоэль и Такенс /46/). Долгое время считалось, что никаких других аттракторов (притягивающих множеств) кроме состояний равновесия и предельных циклов не существует. Это, однако, верно лишь для фазового пространства размерности не более двух. Качественно же новые объекты, такие как странные аттракторы, появляются только в фазовых пространствах размерности И Ь3 . Следуя работе /58/ стохастическим аттрактором (странный аттрактор есть частный случай) будем называть инвариантное замкнутое множество W в фазовом пространстве со следующими свойствами:

1) существует окрестность V,"Wc V , состоящая из таких X. , что X (€) \\J при i сх=> ;

2) любое начальное распределение R, , сосредоточенное на V , при Ъсходится к инвариантному распределению Р на Лл7 , не зависящему от ;

3) распределение вероятностей Р - перемешивающее (т.е. автокорреляционные функции стремятся к нулю при "t-ъоо , см. ниже (В.5) ).

Первое свойство отражает свойство притяжения к аттрактору всех фазовых траекторий, попавших в некоторую его окрестность. Второе свойство можно представить себе следующим образом.Пусть Р0 есть распределение вероятностей, с которым выбираются начальные данные. Другими словами, вводя Q , мы допускаем наличие случайного механизма, действующего в начальный момент времени. Инвариантность распределения р означает, что для любой фазовой функции интеграл не зависит от . Третье свойство исключает существование предельных циклов.

Наиболее популярным сейчас примером установившихся хаотических автоколебаний служит аттрактор Э.Лоренца /48/:

Гх^У-сХ в.2)

Z = -&Z4 XY

Система (В.2) приближенно описывает конвективные движения в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости /49/. К системе (В.2) приводится ряд интересных задач. Например, Хакен и Грэхем показали, что уравнения одномодовой генерации твердотельного лазера сводятся к (В.2) /50,51/. В работе /52/ показано, что система (В.2) описывает нелинейный осциллятор, частота которого инерционным образом зависит от энергии колебаний. Как показывает численное интегрирование, при значениях параметров t «28, 6,в системе (В.2) имеется единственное устойчивое предельное множество - странный аттрактор Лоренца. Можно построить фазовое пространство системы Лоренца. Однако, для понимания структурных особенностей аттрактора проще воспользоваться отображением Пуанкаре (отображением последова-ния) /55,21,28/. Это значит, что вместо исследования поведения самих траекторий в фазовом пространстве, мы будем исследовать задаваемое ими отображение точек некоторой секущей поверхности

2 в себя. При этом каждой точке ставится в соответствие последующая, в которой данная траектория вновь пересекает Понятно, что если удается построить отображение nt?-( 4iе-1 и А к' - координаты предыдущей и последующей точек отображения), то о системе дифференциальных уравнений можно забыть. Дивергенция потока системы (В.2) отрицательна (^ + -О+б** ё) <0 ) » поэтому фазовый объем системы сжимается до нуля. Следовательно притягивающее множество -аттрактор - имеет меру нуль. В этом легко убедиться и наглядно. Хенон /53/ предложил отображение плоскости в себя в виде У l-<xyi ; (В.З) которое (при a el,4; $ =0,3) сохраняет основные свойства аттрактора Лоренца; системы типа (В.З) часто встречаются в проблемах, связанных с биологией и экологией.

Дискретность времени в таких задачах связана с сезонностью или сменой поколений /54/.

Странный аттрактор системы (В.З) имеет вид, показанный на рис.1,2 и 3 /53/. В пределах аттрактора координаты всех предыдущих и последующих точек отображения "гуляют" совершенно хаотически не достигая никакого видимого асимптотического режима. Как видно из рисунков, каждая "линия" при последовательном увеличении расщепляется на множество других линий. Это - множество типа хорошо известного в математике канторова множества. Последнее нигде не плотно, но его нельзя представить в виде набора изолированных точек - оно имеет мощность континуума. Его можно представить себе как иерархию структур типа, изображенных на рис.4. Будем вырезать кружочки так, как показано на рисунке. Тогда бесконечное множество таких кружочков будет представлять собой пример канторова множества.

Нерегулярность блуждания фазовых траекторий внутри аттрактора объясняется неустойчивостью всех или почти всех этих траекторий /35/: точки на секущей поверхности Z , близкие друг к другу в начальный момент времени, расходятся в дальнейшем сколь угодно (в пределах аттрактора).

В настоящее время еще не найдены явные и общие аналитические критерии, гарантирующие существование странного аттрактора в динамической системе (B.I) (практически в каждом конкретном случае приходится выполнять численное интегрирование). Поэтому одной из наших целей будет нахождение аналитических условий, vS- g ом

0.30.2

OA 0

45

Рис. "I. 10^ noc ледоЬательных точек отображения (&-3) [53],

Q.2{ <3

0.20 *%* J • ,

0.<9

0.18 '

0.17 '•J;. 4 •A •

0J6

0.15

0.55 0.60 0.65 0Л0

Puc• 2. Увеличение квадратика на Рис. {. I /0 раъ. [53]. i ]

- 10

0.191

0.190

0.189

СН88

0Л87-"

ОЛ86 "

0.-185

-v.

0.625 0.630

Рис. 3. У&еличение HQ Рис. 2-.

0.635

О.б^о кваЭраткка i W раз, [53].

Рис. k. к! преЗ с плавлению о «анторо&ом нножест&е.

- 12 при которых в системе следует ожидать возникновения стохастических автоколебаний. В этой связи мы приходим к понятию го-моклинической структуры (гомоклинические или двоякоасимптотичес-кие решения впервые рассмотрел А.Пуанкаре в связи с проблемами небесной механики /55/).

Давно было замечено, что эти структуры играют важную роль для возникновения хаоса /28,31/. Гомоклиническая структура представляет собой сложное образование, не встречающееся у двумерных динамических систем. Однако, для многомерных систем ее существование столь же естественно, как и существование состояний равновесия или предельных циклов.

Следуя работе /56/, под гомоклинической структурой будем понимать окрестность гомоклинической траектории. Вопрос о том, как определяется указанная окрестность, будет рассмотрен ниже. Гомоклиническая траектория возникает в результате пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий (сепаратрис) седловых циклов или состояний равновесия. При этом гомоклиническая траектория двоякоасимптотическая к седловому циклу или еедловому состоянию равновесия, т.е. при t^-^ она стремится к одному из указанных простейших движений.

Заметим, что гомоклиническая траектория (в отличие от гомоклинической структуры) встречается уже в двумерных динамических системах /56/ (рис.5). Она представляет собой петлю - выходящая из седла сепаратриса возвращается в него же. Действительно, такая гомоклиническая (дврякоасимптотическая) траектория стремится при к единственному седловому состоянию равновесия.Однако, такая траектория исчезает при малом возмущении параметров системы (т.е. она не груба /21/). Наоборот, гомоклиническая

Рис. 5 R объяснению юионлинической траектории

Рис. 6. Пример ipacpa . 6 символической динамике структура Сп>г) может быть грубой /28,80/. Перейдем к описанию таких структур.

Пусть фазовое пространство более чем двумерно и имеется единственная особая точка типа седло-узел или седло-фокус. В этом случае реализуются устойчивые и неустойчивые сепаратрис-ные поверхности. Пересечение этих поверхностей образует гомо-клиническую траекторию. Рассмотрим поведение фазовых траекторий в окрестности гомоклинической траектории. Пусть поток фазовых траекторий попадает внутрь гомоклинической структуры (т.е. в окрестность гомоклинической траектории). Под потоком фазовых траекторий будем понимать траектории выходящие, например, из неустойчивой особой точки (таковою может быть, в частности, абсолютно неустойчивая бесконечность). Здесь возникает ряд вопросов: все ли входящие траектории останутся в гомоклинической структуре или, может быть, часть выйдет, или, наоборот, все покинут ее? Для ответа на эти вопросы удобно воспользоваться методом секущей поверхности. Допустим, что поверхность 21 пересекает все фазовые траектории гомоклинической структуры. Тогда на этой поверхности имеется точечное отображение Т . Обозначим через Sg и S2 устойчивую и неустойчивую сепаратрис-ные поверхности, соответственно, а через и - кривые пересечения этих поверхностей с поверхностью 2 .А.Пуанкаре /55/ показал, что кривые и Sx пересекаются в бесконечной последовательности точек, называемых гомоклиническими. Нетрудно понять, что эти точки порождает гомоклиническая траектория при своем пересечении с секущей поверхностью. Рассмотрим достаточно малую окрестность гомоклиничееких точек, которую обозначим через £ . Тогда для такой окрестности имеют место следующие утверждения /28/: I) существует множество Si? точек топологической меры нуль, которые как при преобразовании т , так и при преобразовании Т" (обратном) не выходят за пределы окрестности £ ; 2) существуют множества точек также топологической меры нуль, не покидающих окрестность £ либо только при преобразованиях Т , либо толь

T~i х А . х ; 3) все остальные точки рано или поздно покинут указанную окрестность (при этом необходимо проделать разное, но конечное число преобразований

Ti-p -1 или / ).

Теперь можно уточнить определение гомоклинической структуры. Окрестность гомоклинической кривой, для которой имеют место утверждения D-3), называется гомоклинической структурой.

Совокупность описанных выше движений носит довольно сложный и тонкий характер. При этом гомоклиническая структура выступает как сложный разделитель потока фазовых траекторий: часть потока выходит из структуры, часть остается, чтобы затем опять разделиться.

Представим теперь, что выходящий из гомоклинической структуры поток фазовых траекторий затем опять вливается в поток траекторий, входящих в гомоклиническую структуру. В этом случае в динамической системе установятся стохастические автоколебания.

Следуя работе /80/, назовем гомоклиническую структуру притягивающей, если из некоторой ее окрестности фазовые траектории при возрастании времени не могут выходить и все близкие к ней фазовые траектории в нее входят. Из сказанного выше следует, что притягивающая гомоклиническая структура (наряду со странным аттрактором) может служить математическим образом стохастических автоколебаний.

Отметим, что гомоклинические структуры имеют прямое отношение к странным аттракторам. Например, при изменении параметров в системе Лоренца (Б.2) гомоклиническая структура непосредственно предшествует возникновению странного аттрактора. Однако, ответа на вопрос: возможны ли странные аттракторы, представляющие собой притягивающие гомоклинические структуры, пока нет.

С появлением символической динамики удалось дать полное описание фазовых траекторий в окрестности гомоклиничеекой структуры /27,28,31,57/ (Море, например, описал все движения биллиард-ного шара на плоскости Лобачевского).

Согласно методам символической динамики, каждой фазовой траектории ставится в соответствие траектория графа (рис.6), т.е. бесконечная в обе стороны последовательность нудей и единиц.Нуль означает, что траектория проходит вблизи периодического движения, а единица - делает оборот вблизи гомоклиничеекой траектории. Простой гомоклиничеекой траектории соответствует последовательность (.0001000.), другим гомоклиническим траекториям соответствует любая другая последовательность нулей и единиц с нулями по краям. Периодическим траекториям соответствует периодическая последовательность нулей и единиц. Заметим, что если представить себе последовательность нулей и единиц как дробную часть числа в двоичной системе, то рациональные числа будут соответствовать периодическим движениям, а иррациональные - стохастическим. При этом множество периодических движений (рациональных чисел) - счетное, а стохастических - континуум (оба множества - всюду плотные). Следовательно, для динамических систем размерности 3 стохастические движения - отнюдь не экзотика, а нечто внутренне данным системам присущее.

Отметим, наконец, некоторыестатистическиесвойства стохастических движений наблюдаемых величин /58/. Имеются общие теоремы, согласно которым в ограниченном фазовом пространстве имеется хотя бы одно инвариантное (относительно динамической системы) распределение вероятностей -Р . Напомним, что инвариантность означает, что для любой фазовой функции j* интеграл не зависит от времени. Если выбрано инвариантное распределение, то можно проводить обычное усреднение по времени:

- йт 4r/f(>QcLt (в.4)

О стохастичности динамической системы можно судить по автокорреляционной функции: = ^/ бо, /бо> =[f ы,)т dpоо (в.5)

Когда £(£)-*- 9 при t с=о для люб0й функции J- и °° * т0 сворят» чт0 в системе есть перемешивание, которое свидетельствует о стохастичности динамической системы.

Цель работы.

Задача настоящей диссертации состояла в исследовании сильно неравновесных динамических процессов в полупроводниках с мелкими донорами в условиях примесного пробоя и, может быть, примесной подсветки образца. Для системы третьего порядка исследуются условия возбуждения периодических и стохастических автоко

- 18 лебаний, а также триггерный эффект (эффект переключения) электронной температуры, напряженности электрического поля и концентрации свободных электронов (фазовое пространство размерности П «3). В связи с этим необходимо:

1. Обосновать исследуемую модель.

2. Исследовать количество и устойчивость особых точек системы (включая бесконечность) в зависимости от вариации параметров задачи.

3. Найти условия на параметры задачи, при которых реализуется тот или иной динамический режим в системе (т.е. та или иная фазовая структура): а) простой аттрактор (предельный цикл), соответствующий периодическим автоколебаниям; б) три состояния равновесия (из них два устойчивых и одно -неустойчивое), соответствующие триггерному эффекту; в) гомоклиническая структура, соответствующая возможным стохастическим автоколебаниям.

4. Убедиться в устойчивости нетривиальных решений.

5. Потребовать устойчивости однородного состояния образца.

Научная новизна.

1. В диссертационной работе для системы третьего порядка (трехмерное фазовое пространство) в явной форме найдены условия возникновения как периодических, так и стохастических автоколебаний электронной температуры, напряженности электрического поля и концентрации свободных носителей заряда.

2. Получены условия, при которых полупроводник работает как триггер. Выбор размерности (как и физических величин, описываемых фазовыми переменными) фазового пространства имеет принципиальное значение, т.к. отражает не только физику дела, но и выявляет богатство динамических режимов в системе. В связи с этим следует сделать два замечания. Во-первых, в ряде работ /9,10,12,13/ в связи с задачей о микроволновом излучении в полупроводниках показано, что в режиме ударной ионизации могут возникать периодические автоколебания напряженности электрического поля и концентрации свободных электронов. При этом для возмелкими донорами (Т=27 К) - Ей: 45 В/см. При этом статическая дифференциальная проводимость образца оказывалась положительной и возникновение неустойчивости объяснялось наличием отрицательной динамической дифференциальной проводимости образца на определенных частотах. Однако, при указанных выше полях, вообще говоря, надо учитывать и разогрев носителей заряда. При этом статическая дифференциальная проводимость может оказаться отрицательной /2,59-61/ со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Во-вторых, при исследовании периодических автоколебаний до сих пор ограничивались, в основном, системами второго порядка. Однако, в двумерном фазовом пространстве невозможен стохастический режим автоколебаний.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации результаты можно использовать для проектирования радиофизических объектов с различными функциональными возможностями. Варьируя физические параметры системы (нагрузочное сопротивление, ЭДС батареи постоянного тока, интенсивность примесной подсветки и т.д.) можно менять ее динамические режимы. При этом система может работать как генератор перионикновения автоколебаний в

S h (ТУ77 К) требовалось элек-Е350 В/см, а в кремнии с трическое поле напряженности дических или стохастических автоколебаний, или как триггер.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на XI совещании по теории полупроводников (г.Ужгород, октябрь 1983 г.), на семинаре по теории полупроводников физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова и на семинаре кафедры физики полупроводников.

Публикации.

Основные результаты диссертационной работы представлены в публикациях /59-62/.

Содержание работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронин, Игорь Николаевич, 1984 год

1. Калашников С.Г., Курова И.А. Об электрической неустойчивости в германии. ФТТ, 1963, т. 5, № 1., с. 3224-3230.

2. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. О возможности реком-бинационной неустойчивости в полупроводниках. ФТТ, 1965, т. 7, № 3, с. 750-758.

3. Иглицын М.И., Пель Э.Г., Перова Л.Я., Фистуль В.Н. Неустойчивость электронно-дырочной плазмы полупроводника, обусловленная нелинейностью вольтамперных характеристик. ФТТ, 1966, т. 8, № 12, с. 3606-3612.

4. Волков А.Ф., Коган Ш.М. Физические явления в полупроводниках с отрицательной дифференциальной проводимостью. УФН, 1968, т. 96, № 4, с. 633-672.

5. Волков А.Ф., Шульман А.Я. Неустойчивость в полупроводникахс нелинейной вольтамперной характеристикой. ФТТ, 1969, т. II, № II, с. 3I6I-3I68.

6. Бонч-Бруевич В.Л. К вопросу о рекомбинационных автоколебаниях. ФТП, 1969, т. 3, № 3, с. 357-362.

7. Toda М. A Plasma Instability Induced by .Electron-Hole Generation in Impact Ionisation. J. Appl. Phys., v. 37, No. 1, p. 32-36.

8. Владимиров В.В., Головинский П.М., Горшков В.Н. Плазменные автоколебания в полупроводниках на частотах субмиллиметрового диапазона. ФТП, 1981, т. 15, № I, с. 40-43.

9. Мицкявичюс Р. Неустойчивость электронно-дырочной плазмы, обусловленная запаздыванием ударной ионизации. ФТП, 1983, т. 17, № 3, с. I459-1462.

10. Владимиров В.В., Горшков В.Н. Неустойчивости электронно-дырочной плазмы в условиях ударной ионизации и микроволновое излучение. ФТП, 1980, т. 14, № 3, с. 417-423.

11. Владимиров В.В., Горшков В.Н., Головинский Л.М. Автоколебания в полупроводниках в условиях примесного пробоя. ФТП,1981, т. 15, № 8, с. 1542-1545.

12. Сабликов В.А. Условия возбуждения рекомбинационных волн в ограниченных полупроводниках. ФТП, 1982, т. 16, К? 10,с. I759-1767.

13. Пирагас К., Скайстис Э. Температурно-концентрационные автоколебания в системе стационарно фотовозбуждаемых носителей. ФТТ, 1981, т. 23, № 8, с. 2331-2333.

14. Антонов А.А., Кац Л.И. Температурно-электрическая неустойчивость в n-lnSb в постоянном электрическом поле. ФТП,1982, т. 16, № 6, с. 1050-1053.

15. Бонч-Бруевич В.Л., Ле By Ки. Стохастические автоколебания носителей заряда в полупроводнике с примесями. 1ЭТФ, 1983, т. 85, № 6, с. I701-1707.

16. Ott Е. Strange Attractors and Chaotic Motions of DynamicalSystems. Rev.Mod.Phys., 1981, v. 53, No. 4, p. 655-671.

17. Andronov A. Compt. Rend. Acad. Sci., Paris, 1929 ,v. 189, p. 559-565.

18. Андронов А.А. В сб. "Академик Л.И. Мандельштам. К 100-летию со дня рождения". М., "Наука", 1979, с. 70.

19. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М., "Наука", 1981, 360 с.

20. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. Серия "Итоги науки". М., ВИНИТИ, 1965, 214 с.

21. Гапонов А.В., Рабинович М.И. Мандельштам Л.И. и современная теория нелинейных колебаний и волн. УФН, 1979, т. 128, № 4, с. 172-201.

22. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Пер. с англ. под ред. Шабата А.Б. М., "Мир", 1977, 170 с.

23. Нелинейные волны. Сборник под ред. Гапонова А.В. М., "Наука", 1979, 250 с.

24. Нелинейные волны (взаимодействие и распространение). Сборник под ред. Гапонова А.В. М., "Наука", 1981, 183 с.

25. Алексеев В.М. Символическая динамика (XI Математическая школа, Киев, 1975). Киев, Ин-т математики АН УССР, 1976, с. 155-167.

26. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М., "Наука", 1972, 352 с.

27. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов, метод обратной задачи. Под ред. Новикова С.П. М., "Наука", 1980, 248 с.

28. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Майер А.Г., Гордон И.И. Качественная теория динамических систем. М., "Наука", 1966, 310 с.

29. Moser J. Stable and Random Motions in Dynamical System. Princeton, Hew-Jepsy, 1973, 162 p.

30. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М., "Наука", 1974, 215 с.

31. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. М., "Наука", 1978, 250 с.

32. Гапонов А.В., Островский JI.A., Фрейдман Г.И. Аттрактор Лоренца. Изв. вузов. Сер. радиофизика, 1967, т. 10, № 6,с. II7-I24.

33. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность. УФН, 1978, т. 104, № I, с. 123-168.

34. Странные аттракторы. Сборник переводов под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. М., "Мир", 1980, 156 с.

35. Заславский Г.М. Стохастическая необратимость нелинейных систем. М., "Наука", 1970.

36. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний. УФН, 1971, т. 105, № I, с. 3-39.

37. Пиковский А.С., Рабинович М.И. Простой автогенератор со стохастическим поведением. ДАН СССР, 1978, т. 239, № 2, с.301-304.

38. Feigenbaum M.J. The Universal Metric Properties of Non-linear Transformations. J. Stat. Phys., 1979, v.21, No.6, p. 669-706.

39. Feigenbaum M.J. Communs. Math.Phys., 1980,v.77, p.65-71. Kautz R.L. The Josephson Effect in Hysteric Junctions: Range and Stability of Phase Lock. J.Appl.Phys., v.52, No. 5, p. 3528.

40. Гапонов А.В., Рабинович М.И., Шапиро М.Ф. Возможный механизм стохастзации пульсаций интенсивности излучения ОКГ. Вестник МГУ. Сер. физика и астрономия, 1978, т. 19, № 4, с. 125-136.- 87

41. Ruelle D., Takens P. Strange Attractora. Coramuns. Math. Phys., 1971, v. 20, No.3, p. 167-171.

42. Ораевский A.H. Стохастизация квантовых осцилляций. Квантовая электроника, 1981, т. 5, № II, с. 7-15.

43. Lorenz E.N. J. Atmoa. Sci.,1963, No.20, p. 130-141.

44. McLaughlin J.В., Martin P.O. Transition to Turbulence in Statically Stressed Fluid System. Phys.Rev.,1975, v.12, No. 1, p. 186-203.

45. Haken H. Analogy between Higher Instabilities in Fluidsand Lasers. Phys. Lett., v. 53A, No. 1, p. 77-81.

46. Graham R. Onset of Self-Pulsing in Laser and the Lorenz Model. Phys. Lett., 1976, v. 58A , No. 7, p. 440-442.

47. Shimizu T., Morioka N. Chaos end Limit Cycles in the Lorenz Model. Phys.Lett., 1978, v. 66A, No.3, p.182-184.

48. Хенон M. В кн. Странные аттракторы. М., "Мир", 1980, с. 152-166.

49. May R. Nature, 1976, v. 261, No. 5560, p. 450-461.

50. Пуанкаре А. Избр. труды, 1972, т. 2, М., "Наука".

51. Пиковский А.С., Рабинович М.И. О странных аттракторах в физике. В кн. Нелинейные волны, 1979. М., "Наука", с. 176-186.

52. Шильников Л.П. Математический сборник, 1967, т. 74, № 3, с. 378-385.

53. Синай Я.Г. Стохастичность динамических систем. В кн. Нелинейные волны, 1979. М., "Наука", с. 192-205.

54. Воронин И.Н. Неравновесные процессы в системе с горячими электронами в условиях примесного пробоя. В кн. Одиннадцатое совещание по теории полупроводников. Тезисы докладов, 1983, Ужгород, с. 128.

55. Воронин И.Н. Температурно-полевые автоколебания в образцес мелкими донорами. Рук. деп. в ВИНИТИ от 9.II.83, № 5992-83.

56. Воронин И.Н. Температурно-концентрационно-полевые автоколебания в условиях примесного пробоя. Рук. деп. в ВИНИТИ от 30.08.83, № 4813-83. Рук. представлена Моск. ун-том.

57. Воронин И.Н. Триггерный эффект в полупроводнике с мелкими донорами в условиях примесного пробоя. Рук. деп. в ВИНИТИ от 30.08.83, № 4812-83. Рук. представлена Моск. ун-том.

58. Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г. Физика полупроводников. М., "Наука", 1977, 416 с.

59. Басс Ф.Г., Гуревич Ю.Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда. М., "Наука", 1975, 245 с.

60. Bauer G., Kahlet Н. Low—temperature Hon—ohmic Galvanomag— netic Effects in Generate n-InSb. Phys.Rev., 1972, v.5, No. 2, p. 566-579.

61. Lifshits T.M., Oleinikov A.Ya., Shulman A. Ye. On the Electron Gas Energy Relaxation Mechanisms in n-InSb at Helim Temperatures. Phys.Status Solidi,1966,v.14,p.511-521.

62. Oliver D.J. Electrical Properties of n-GaAs. Phys.Rev.,1962, v.127, No.4, p. 1045-1052.

63. Бонч-Бруевич В.Л., Звягин И.П., Миронов А.Г. Доменная электрическая неустойчивость в полупроводниках. М., "Наука", 1972, 287 с.

64. Андронов А.А. Сбор, трудов. М., Изд-во АН СССР, 1956, с.ПО.

65. Aoki К., Kobayashi Т., Yamamoto К. Photocurrent noise Observed by Resonant Photoexitation at 4»2 К in n-GaAs. J. Phys. Soc. Japan, 1981, v.50, No.2, p. 357-358.

66. Aoki K., Kobayashi Т., Yamamoto K. Periodic Oscillations and Turbulence of Hot-carrier Plasma at 4.2 К in n-GaAs. J.Phys. (Prance). Proc. 3rd Int. Conf. on Hot Carriers inSemiconductors, Montpellier, 1981, p. C7-51.

67. Aoki К., Kobayashi Т., Yamamoto К, Chaotic Motions in the Electrical Avalanche Breakdown Caused by Weak Photoexcitation in n-GaAs. J.Phys.Soc.Jpn-,1982,v.51,N0.8,p.2373-2374.

68. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., "Наука", 1977, 470 с.

69. Хакан Г. Синэргетика. Дерев, с англ. под ред. Климонтовича Ю.Л. и Осовда С.М. М., "Мир", 1980.

70. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М., "Наука", 1976, 180 с.

71. Бонч-Бруевич В.Л. Проблема Бенара для горячих электронов в полупроводниках. ЖЭТФ, 1974, т. 67, № 6, с. 2204-2214.

72. Бонч-Бруевич В.Л. О возникновении сверхрешетки электронной температуры при наличии постоянного электрического поля. ЖЭТФ, 1976, т. 71, № 4, с. I583-I59I.

73. Бонч-Бруевич В.Л. О некоторых эффектах, связанных с возникновением температурной сверхрешетки в полупроводнике с горячими электронами. ЖЭТФ, 1978, т. 74, № I, с. 156-163.

74. Бонч-Бруевич В.Л. К теории температурной сверхрешетки в полупроводниках с горячими электронами. Вестник Моск. ун-та. Сер. физика и астрономия, 1978, т. 19, № 2, с. II0-II5.

75. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М., "Наука", 1976, 210 с.

76. Абакумов В.Н., Перель В.И., Яссиевич И.Н. Захват носителей заряда на притягивающие центры в полупроводниках. ФТТ, 1978, т. 12, № I, с. 3-32.