Дифференциальные и интегральные преобразования оптических сигналов на основе резонансных диэлектрических дифракционных решеток и многослойных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.05, кандидат наук Головастиков, Никита Владимирович

• Головастиков, Никита Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Головастиков, Никита Владимирович

Оглавление

Введение 5 Глава 1. Преобразование пространственно-временного двумерного

оптического импульса резонансной дифракционной решёткой

1.1. Дифракция пространственно-временного импульса на периодической структуре

1.2. Резонансные представления коэффициентов отражения и пропускания решётки

1.3. Параболическое приближение

1.3.1. Резонансное представление коэффициента пропускания

1.3.2. Преобразование огибающей импульса при дифракции на резонансной решётке

1.3.3. Численный пример

1.4. Гиперболическое приближение

1.4.1. Резонансное представление коэффициента пропускания

1.4.2. Преобразование огибающей импульса при дифракции на резонансной решётке

1.4.3. Численный пример

1.5. Выводы 38 Глава 2. Резонансные дифракционные решётки для временного и пространственного дифференцирования

2.1. Временное дифференцирование

2.1.1. Дифракция импульса на дифракционной решётке

2.1.2. Сравнительный анализ качества дифференцирования в отражении и в пропускании

2.1.3. Расчёт параметров дифференцирующей решётки

2.2. Пространственное дифференцирование

2.2.1. Дифракция пучка на дифракционной структуре

2.2.2. Расчёт параметров дифференцирующей решётки

2.2.3. Влияние параметров решётки на качество дифференцирования

2.3. Выводы 61 Глава 3. Преобразования оптических импульсов брэгговской решёткой с

дефектным слоем. Дифференцирование и интегрирование оптических

сигналов

3.1. Дифракция трёхмерного импульса на БРДС

3.2. Резонансное представление коэффициентов отражения и пропускания

БРДС

3.3. Преобразование огибающей импульса при дифракции на БРДС

3.3.1. Класс преобразований огибающей трёхмерного импульса

3.3.2. Случай высокодобротного резонанса

3.3.3. Случай низкодобротного резонанса

3.4. Частные случаи преобразования

3.4.1. Временное дифференцирование в отражении

3.4.2. Вычисление оператора Лапласа в отражении

3.4.3. Временное интегрирование в пропускании

3.4.4. Пространственное интегрирование в пропускании

3.5. Выводы 91 Глава 4. Трёхслойная структура с '-образным профилем показателя преломления для дифференцирования оптических сигналов

4.1. Оптические свойства '-структуры

4.2. Дифференцирование импульса '-структурой

4.3. Численное моделирование оптического дифференциатора

4.3.1. Передаточная функция оптического дифференциатора

4.3.2. Пространственное дифференцирование

4.3.3. Временное дифференцирование

4.3.4. Дифференцирование по направлению

4.4. Планарный оптический дифференциатор

4.5. Выводы 109 Заключение 111 Список литературы

Приложение А. Решение уравнения Клейна-Гордона

Приложение Б. Связь между коэффициентами разложения передаточных функций в ряд

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные и интегральные преобразования оптических сигналов на основе резонансных диэлектрических дифракционных решеток и многослойных структур»

Введение

Актуальность темы и степень её разработанности

В последнее время значительный прогресс в разработке оптических устройств и компонентов фотоники вызвал интерес к разработке полностью оптических систем обработки информации. Оптические устройства и компоненты фотоники рассматриваются как новая платформа (новая элементная база) для аналоговых электронно-оптических вычислительных систем, которые могут преодолеть фундаментальные физические ограничения, связанные с традиционными интегральными схемами на основе полупроводников [1-4].

Использование технологии волоконной и беспроводной оптической связи позволило достичь чрезвычайно высокой скорости передачи и пропускной способности, достигающей десятков терабит в секунду, что значительно превосходит скорость в несколько гигабит в секунду, доступную современной электронике [5]. Таким образом, в настоящее время главным фактором, сдерживающим рост скорости обработки информации, является частота дискретизации аналогово-цифрового и цифро-аналогового преобразования, необходимого для цифровой обработки. Возможным решением указанной проблемы может стать обработка сигналов непосредственно в оптическом диапазоне с использованием фотонного процессора. Фотонный процессор исключит необходимость не только в оптико-электронном и электрооптическом преобразователях, но и в дискретизации аналогового сигнала для последующей цифровой обработки. Фотонный процессор должен выполнять операции обработки сигналов, в первую очередь спектральную фильтрацию, непосредственно над комплексной огибающей оптического сигнала [3].

Среди преимуществ интегральных фотонных схем - возможности параллельной обработки сигналов, отсутствие перекрёстных электромагнитных помех, низкие энергозатраты при распространении и обработке сигналов,

низкое тепловыделение [1, 6, 7]. Фотонные схемы, основанные на обработке оптических сигналов, позволят увеличить величину скорости обработки сигналов на несколько порядков по сравнению со значением, достижимым при использовании традиционных цифровых технологий , что особенно важно при обработке больших объёмов данных [2].

Одна из возможностей осуществления оптической обработки информации заключается в реализации фундаментальной концепции цифровой обработки сигналов на основе оптических технологий. Для этого необходимо создание фотонных эквивалентов базовых устройств, входящих в состав электронных схем [8]. В первую очередь речь идет об операциях оптического дифференцирования и оптического интегрирования.

Важным перспективным применением оптических дифференциаторов и интеграторов является аналоговое решение дифференциальных уравнений во временной [9-14] и пространственной [15, 16] областях. Интегральная схема, состоящая из дифференциаторов и интеграторов позволит решать научные и инженерные задачи, которые описываются дифференциальными уравнениями, в реальном времени, то есть на порядки быстрее, чем это происходит сейчас с применением электронных вычислительных устройств. Такая скорость необходима для мгновенной обработки информации, например, в системах управления с обратной связью, оперирующих пикосекундными временными промежутками [9], или при большом объёме обрабатываемой информации, например при моделировании нелинейных эффектов [2].

В дополнение к аналоговым оптическим вычислениям, оптические дифференциаторы и интеграторы представляют большой интерес для широкого спектра приложений, включающих формирование пучков и импульсов заданной формы [17, 18], метрологию [19], оптические запоминающие устройства [20]; формирование импульсов заданной формы [21], обнаружение тёмных солитонов [22], аналого-цифровое преобразование [23].

Настоящая диссертация посвящена теоретическому описанию и расчёту дифракционных структур, выполняющих пространственное и временное

дифференцирование и интегрирование. Под временным дифференцированием оптического импульса понимается дифференцирование огибающей импульса. Под пространственным дифференцированием понимается дифференцирование пространственного профиля светового пучка по пространственной координате.

Наиболее универсальным и известным подходом для реализации пространственных преобразований оптических полей являются оптические схемы, основанные на пространственном разделении частот пучка с последующей фильтрацией. Подобные схемы достаточно громоздки, поскольку состоят из набора линз, пространственного модулятора света (англ. spatial light modulator, SLM) и дифракционных решёток [18, 24]. Отдельно следует выделить предложенные для выполнения операций дифференцирования и интегрирования по пространственной переменной компактные аналоги Фурье-коррелятора с градиентными линзами, в котором пространственный фильтр представлен метаповерхностью, кодирующей функцию комплексного пропускания дифференцирующего или интегрирующего фильтра [16, 25-28]. Структуры на основе метаповерхностей компактнее, чем пространственные модуляторы света, однако по-прежнему требуют дополнительных линз, выполняющих преобразование Фурье. Кроме того, метаповерхности в таких структурах обычно представляют собой массив нанорезонаторов, что делает их производство достаточно сложным.

Для осуществления пространственного дифференцирования были предложены плазмонные структуры на основе схемы Кречмана [29, 30]. Отметим также пространственное дифференцирование и интегрирование плазмонов с использованием метаповерхностей из графена [31]. Основной недостаток плазмонных дифференцирующих структур заключается в том, что условие наличия нуля в спектре отражения может выполняться для них лишь приближённо [30], что ухудшает качество дифференцирования.

В работе [32] для выполнения операций дифференцирования и интегрирования оптического сигнала по пространственной переменной была предложена трехслойная диэлектрическая структура с "W-образным" профилем

показателя преломления (англ. W-type waveguide) [33-36]. W-структура является простейшей волноводной структурой, в которой могут распространяться вытекающие моды. Возбуждение вытекающих мод приводит к резонансным особенностям в спектрах отражения и пропускания, что позволяет осуществлять операции преобразования оптического пучка. Отметим, что операции дифференцирования с использованием «W-структуры» ранее не рассматривались.

Для выполнения операций временного дифференцирования и интегрирования оптического импульса были предложены различные варианты волоконных брэгговских решеток [9, 21, 37-50]. При этом операция дифференцирования может быть выполнена как при пропускании, так и при отражении. Для дифференцирования использовались длиннопериодные волоконные решетки (англ. long-period fiber gratings) [37-41] (дифференцирование осуществляется в пропускании благодаря взаимодействию моды сердечника и моды обкладки в одномодовом волокне), брэгговские волоконные решётки с дефектным слоем (англ. п phase-shifted Bragg gratings) [42-44] (дифференцирование осуществляется в отражении благодаря появлению разрешённой частоты в запрещённой зоне, вызванному введением дефекта), брэгговские структуры с апериодической модуляцией показателя преломления [45-47] (дифференцирование осуществляется в отражении и в пропускании благодаря специально подобранному распределению показателя преломления, формирующему заданную функцию комплексного отклика дифференциатора заданного порядка). Для выполнения интегрирования предложены периодические волоконные брэгговские решётки (англ. uniform fiber Bragg gratings) [9, 21, 48] и брэгговские структуры с апериодической модуляцией показателя преломления [49, 50]. Общим недостатком брэгговских структур является их относительно большой продольный размер, составляющий от десятков микрон до единиц сантиметров, а также неспособность преобразовывать импульсы, распространяющиеся в

свободном пространстве. Кроме того, брэгговские решётки с дефектом позволяют выполнять операцию дифференцирования лишь в отражении, что приводит к усложнению оптической схемы.

Для выполнения операций временного дифференцирования также были предложены интерферометры Маха-Цендера [51-54], кольцевые резонаторы [55-59], фотонные кристаллы [60, 61], микро- и нанорезонаторы [7, 55, 58, 62]. Характерный размер интерферометров и кольцевых резонаторов составляет десятки микрон, фотонные кристаллы ещё компактнее. Однако все эти структуры выполняются интегрально и не позволяют преобразовывать оптические импульсы, распространяющиеся в свободном пространстве.

Для выполнения операций временного дифференцирования [63] и интегрирования [64] огибающей падающего импульса были предложены резонансные дифракционные решётки. Указанные операции осуществляются в окрестности частот резонансов, связанных с возбуждением в решетке собственных квазиволноводных мод. Возможность дифференцирования обусловлена тем фактом, что в окрестности частот волноводных резонансов коэффициенты отражения и пропускания решетки (как функции частоты) при определенных условиях совпадают с передаточной функцией дифференцирующей линейной системы. К преимуществам резонансных дифракционных решёток следует отнести их компактность по сравнению с системами пространственной фильтрации (продольный размер порядка 1 микрона в ближнем ИК диапазоне, поперечный размер от десятков до сотен периодов [65, 66]) и простоту в изготовлении по сравнению с метаповерхностями. Кроме того, диэлектрические резонансные решётки с горизонтальной плоскостью симметрии позволяют добиться строгого нуля коэффициента отражения [67], необходимого для дифференцирования, что является преимуществом по сравнению с плазмонными структурами. В отличие от волоконных решёток и интегральных структур, дифракционные решетки предназначены для преобразования оптических импульсов, распространяющихся в свободном пространстве, и позволяют осуществлять как

временные, так и пространственные преобразования. Отметим, что в работах [63, 64] возможность дифференцирования в отражении, а также возможность пространственного дифференцирования с использованием резонансных дифракционных решёток не рассматривались.

Эффект возбуждения собственных квазиволноводных мод наблюдается в брэгговских решётках с дефектным слоем (БРДС), которые были предложены для осуществления пространственного дифференцирования [68] и вычисления оператора Лапласа по пространственным координатам [69] от пространственного профиля падающего монохроматического пучка. Однако, возможности выполнения операций временного дифференцирования и интегрирования, а также пространственного интегрирования с использованием БРДС ранее не рассматривались.

Наряду с временными преобразованиями оптических импульсов и пространственными преобразованиями оптических пучков интерес представляют пространственно-временные преобразования оптических сигналов [18]. Во всех приведённых выше работах операции временного и пространственного преобразования формы оптического сигнала рассматривались по отдельности. В работе [70] на основе численного моделирования предсказано, что при дифракции пространственно-временного волнового пакета на резонансной дифракционной структуре может происходить существенное изменение его формы. Однако в известных работах отсутствует теоретическое описание данного явления, не описан класс преобразований огибающей пространственно-временного оптического импульса, реализуемых резонансными дифракционными структурами.

Цель диссертационной работы:

Теоретическое описание преобразований пространственно-временных оптических сигналов, происходящих при дифракции на резонансных дифракционных структурах (дифракционных решётках и многослойных структурах), расчет параметров резонансных дифракционных структур для

выполнения операций временного и пространственного дифференцирования и

интегрирования.

Задачи диссертационной работы:

1. Теоретически описать преобразования огибающей двумерного пространственно-временного оптического импульса, происходящие при дифракции на резонансной дифракционной решётке.

2. Исследовать возможность выполнения операции временного дифференцирования при отражении и операции пространственного дифференцирования в пропускании с помощью резонансных дифракционных решёток.

3. Описать общий класс преобразований огибающей трёхмерного падающего импульса, происходящих при дифракции на брэгговской решётке с дефектным слоем.

4. Исследовать возможность осуществления операций временного и пространственного дифференцирования, интегрирования и вычисления оператора Лапласа по пространственным координатам с помощью брэгговской решётки с дефектным слоем.

5. Исследовать возможность выполнения операций временного, пространственного и пространственно-временного дифференцирования с помощью трёхслойной структуры с «^-образным» профилем показателя преломления.

Научная новизна:

1. Получены параболическое и гиперболическое дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие преобразования двумерных пространственно-временных импульсов, происходящие при дифракции на резонансной дифракционной решётке. Получены решения данных уравнений в виде интегралов свертки. Показано, что в гиперболическом приближении ядро интеграла свертки удовлетворяет условию причинности.

2. Теоретически и на основе численного моделирования дифракции света показано, что резонансная субволновая диэлектрическая дифракционная решётка позволяет выполнить операции дифференцирования огибающей падающего импульса одновременно при отражении и в пропускании. Операции дифференцирования при отражении и в пропускании реализуются при различных центральных частотах падающего импульса. Теоретически и на основе численного моделирования дифракции света показано, что резонансная субволновая диэлектрическая дифракционная решётка позволяет выполнить операцию пространственного дифференцирования падающего монохроматического оптического пучка.

3. Получено аналитическое описание класса преобразований огибающей трёхмерного пространственно-временного импульса, происходящих при дифракции на брэгговской решётке с дефектным слоем.

4. Теоретически и на основе численного моделирования дифракции света показано, что брэгговская решётка с дефектным слоем позволяет выполнить операции временного и пространственного дифференцирования, интегрирования и вычисления оператора Лапласа по пространственным координатам.

5. Предложен дифференциатор на основе трёхслойной структуры с W-образным профилем показателя преломления. Теоретически и на основе численного моделирования показано, что рассмотренная позволяет выполнить операции временного, пространственного и пространственно-временного дифференцирования огибающей падающего импульса в отражении.

Положения, выносимые на защиту:

1. Дифференциальные уравнения в частных производных и их решения в виде интегралов свёртки, описывающие преобразование огибающей двумерного пространственно-временного импульса при дифракции на резонансной дифракционной решётке.

2. Аналитическое описание и результаты численного моделирования, подтверждающие возможность выполнения резонансной дифракционной решёткой операций временного дифференцирования огибающей падающего импульса и пространственного дифференцирования профиля падающего пучка.

3. Дифференциальное уравнение в частных производных и его решение в виде интеграла свёртки, описывающее класс преобразований трёхмерных импульсов при дифракции на брэгговской решётке с дефектным слоем.

4. Аналитическое описание и результаты численного моделирования, подтверждающие возможность выполнения брэгговской решёткой с дефектным слоем следующих операций: временное дифференцирование, временное интегрирование, вычисление оператора Лапласа по пространственным координатам, пространственное интегрирование.

5. Аналитическое описание и результаты численного моделирования, подтверждающие возможность выполнения трёхслойной структурой с образным» профилем показателя преломления операций временного, пространственного и пространственно-временного дифференцирования огибающей оптического импульса.

Теоретическая значимость:

В работе получено общее описание временных и пространственных преобразований огибающих пространственно-временных оптических импульсов и пучков при дифракции на резонансных дифракционных решётках и многослойных структурах.

Практическая значимость:

Исследованные дифференцирующие и интегрирующие дифракционные структуры могут найти применение для при создании новых устройств для пространственно-временных преобразований импульсов и аналоговых оптических вычислений. Исследованные структуры компактнее, чем оптические схемы на основе длиннопериодных волоконных решёток и пространственных модуляторов света, а также проще в изготовлении, чем

структуры на основе кольцевых резонаторов, фотонных кристаллов или метаматериалов.

Достоверность полученных результатов:

Достоверность полученных результатов подтверждается совпадением результатов строгого моделирования с использованием метода фурье-мод и полученных аналитических выражений, а также качественным согласием полученных в диссертации результатов с имеющимися в литературе результатами теоретических исследований других авторов и экспериментальными данными.

Методы исследований

В диссертационной работе используются методы математического анализа, математической физики, линейной алгебры, теории обработки сигналов, методы оптимизации. Для моделирования дифракции света используются метод фурье-мод и метод матрицы рассеяния.

Личный вклад автора:

Изложенные в диссертации оригинальные результаты получены соискателем, либо при его непосредственном участии. Соискателем самостоятельно проводились вычислительные эксперименты, разрабатывались численные методы и теоретические модели. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным руководителем.

Публикации:

По теме диссертации опубликовано 31 работа, в том числе 17 статей в научных журналах и изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией для опубликования основных научных результатов диссертации на соискание учёной степени кандидата и доктора наук.

Апробация результатов:

Результаты работы докладывались на международных и всероссийских конференциях, в том числе:

• Progress In Electromagnetics Research Symposium (Stockholm, Sweden, 1215 August, 2013);

• Progress In Electromagnetics Research Symposium (Guangzhou, China, 2528 August, 2014);

• XV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Тюмень, Россия, 2931 октября 2014);

• Международная конференция и молодежная школа Информационные технологии и нанотехнологии (ИТНТ-2015) (Самара, Россия, 29 июня -1 июля 2015);

• Days On Diffraction 2015 (St. Petersburg, 25-29 May, 2015);

• Advanced Laser Technologies ALT'15 (Faro, Portugal, 7-11 September, 2015);

• IX Международная конференция молодых ученых и специалистов «0птика-2015» (Санкт-Петербург, Россия, 12-16 октября 2015);

• META'16, the 7th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plasmonics (Malaga, Spain, 25-28 July, 2016);

• XVII Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям (Новосибирск, Россия, 30 октября - 3 ноября 2016);

• II Международная Конференция и молодёжная школа Информационные технологии и нанотехнологии (ИТНТ-2016) (Самара, Россия, 17-19 мая 2016);

• SPIE Optics + Optoelectronics 2017 (Prague, Czech Republic, 24-27 April 2017);

• III Международная конференция и молодежная школа «Информационные технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2017) (Самара, Россия, 2527 апреля 2017);

• The 8th International Conference on Metamaterials, Photonic Crystals and Plamonics (META'17) (Incheon, South Korea, 25-28 July, 2017);

• IV Международная конференция и молодежная школа «Информационные

технологии и нанотехнологии» (ИТНТ-2017) (Самара, Россия, 2427 апреля 2018);

• SPIE Photonics Europe 2018 (Strasbourg, France, 22-26 April, 2018).

Объем и структура диссертации:

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, библиографического списка, включающего 116 наименования. Работа изложена на 130 листах машинописного текста, содержит 34 рисунка.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснованы актуальность темы, новизна, практическая значимость и достоверность результатов работы, проведен обзор научной литературы по теме диссертационного исследования и сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе предложена математическая модель описания преобразования огибающей пространственно-временного импульса при дифракции на резонансной решётке. Получено описание класса пространственно-временных преобразований, выполняемых над огибающей падающего импульса.

Во второй главе рассчитаны параметры резонансных дифракционных решёток, осуществляющих временное и пространственное дифференцирование. Анализируется зависимость качества дифференцирования от геометрических параметров решётки и от режима работы дифференциатора (в отражении или в пропускании).

В третьей главе описан класс преобразований пространственно-временных оптических сигналов, осуществляемый брэгговской решёткой с дефектным слоем. Теоретически и на основе численного моделирования показана возможность выполнения с помощью указанной структуры операций

дифференцирования и интегрирования во времени, интегрирования по пространственной координате и вычисления оператора Лапласа.

В четвертой главе продемонстрирована возможность осуществления временного, пространственного и пространственно-временного дифференцирования (дифференцирования по направлению) с использованием трёхслойной структуры с W-образным профилем показателя преломления. На её основе предложена планарная структура, предназначенная для дифференцирования оптических сигналов, распространяющихся в плоскопараллельном волноводе.

В заключении перечислены основные результаты диссертационного исследования.

В приложении А приведено решение уравнения в частных производных для формы огибающей преобразованного импульса.

В приложении Б получены соотношения, необходимые для доказательства возможности дифференцирования по направлению.

Глава 1. Преобразование пространственно-временного двумерного

оптического импульса резонансной дифракционной решёткой

В настоящей главе приведено теоретическое описание класса пространственно-временных преобразований огибающей двумерного оптического импульса при дифракции на резонансной дифракционной решётке. В разделе 1.1 предложена математическая модель описания преобразования огибающей пространственно-временного импульса при дифракции на резонансной решётке в терминах теории линейных систем. В разделе 1.2 с использованием матрицы рассеяния получено обобщённое выражение коэффициента пропускания резонансной решётки в окрестности частоты собственной моды структуры. В разделе 1.3 на основании резонансного представления коэффициента пропускания в параболическом приближении записано и решено дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа, описывающее класс преобразований, претерпеваемых огибающей пространственно-временного импульса при дифракции на резонансной решётке [71*]. В разделе 1.4 получены аналогичные выражения на основе гиперболического приближения коэффициента пропускания[72*].

1.1. Дифракция пространственно-временного импульса на периодической

структуре

Опишем преобразование огибающей двумерного пространственно-временного оптического импульса при дифракции на периодической дифракционной структуре в рамках теории линейных систем. Пусть оптический импульс падает на периодическую дифракционную структуру под углом в0. В системе координат (^), связанной с падающим импульсом и

повёрнутой относительно системы координат дифракционной структуры (х, г) на угол в0 (рисунок 1.1), разложение падающего импульса по плоским волнам имеет вид:

(1.1)

E (*inc> Zinc, t) = P (t - zin c/Vg ) ■ eXP j-^ "supZinc - i®0t j =

= U G ( Kino® - ®0 ) exp{ikx,mc Xinc - ikZ,inc Zinc - i®t} ^inc где P(xinc,t - zinc/vg) — огибающая импульса, co0 — центральная частота импульса, nsup — показатель преломления материала в области над решёткой,

vg = :/"sup — групповая скоPость, ^ =®«supsin^ и kz,inc = >j(a/с)

2 п2 - к2

sup x,inc

— компоненты волновых векторов, в — угол между направлением плоской волны и осью 2-тс, G(кхЫс,атс) — пространственно-временной спектр

огибающей импульса при ^пс = 0, (о = ютс + ю0. Функция Е (х1пс, ^пс, ?) в (1.1) соответствует компоненте Еу электрического поля в случае ТЕ-поляризации и компоненте Ну магнитного поля в случае ТМ-поляризации. В выражении (1.1) не учитывается дисперсия материала в области над решёткой. Будем считать, что спектр импульса G(кх[пс,юПс), описывающий амплитуды составляющих

пучок плоских волн, отличен от нуля в ограниченной области

к

< А,

К

Рисунок 1.1 - Дифракция импульса на резонансной дифракционной решётке

Будем считать, что начала координат систем (х1пс, г1пс) и (х, г) совпадают и

что верхняя граница решётки расположена в плоскости г = 0. Тогда поле импульса (1.1) на верхней границе решётки имеет вид:

Е (х1пс,0, X ) = Рпс (хШс, X)• ехр {Ч^г}, (1.2)

где первый сомножитель соответствует огибающей падающего импульса на верхней границе решётки (при г = 0):

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Головастиков, Никита Владимирович, 2018 год

Список литературы

1. Caulfield, H.J. Why future supercomputing requires optics [Text] / H.J. Caulfield, S. Dolev // Nature Photonics. - 2010. - Vol. 4. - P. 261-263.

2. Solli, D.R. Analog optical computing [Text] / D.R. Solli, B. Jalali // Nature Photonics. - 2015. - Vol. 9. - P. 704-706.

3. Cuadrado-Laborde, C. Analog Photonic Fractional Signal Processing / C. Cuadrado-Laborde, L. Poveda-Wong, A. Carrascosa, J.L. Cruz, A. Díez, M.V. Andrés // Progress in Optics. - 2018. - p. 93-178.

4. MacLennan, B.J. A Review of Analog Computing / Technical Report UT-CS-07-601, Dept. of ECE, U. of Tennessee, Knoxville, Sept. 13, 2007.

5. Gopakumar, V.T. Design of all-optical integrators and differentiators using Fabry-Perot filters based on fiber Bragg gratings [Text] / V.T. Gopakumar, K.N. Madhusoodhanan // Photonic Network Communications. - 2017. -Vol. 33, no. 3. - P. 377-388.

6. Minasian, R.A. Photonic signal processing of microwave signals [Text] / R.A. Minasian, // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -2006. - Vol. 54, no. 2. - P. 832-846.

7. Liu, W. A fully reconfigurable photonic integrated signal processor [Text] / W. Liu, M. Li, R.S. Guzzon, E.J. Norberg, J.S. Parker, M. Lu, L. Coldren, J. Yao // Nature Photonics. - 2016. - Vol. 10, no. 3. - P. 190-195.

8. Capmany, J. Microwave photonics: The programmable processor [Text] / J. Capmany, I. Gasulla, D. Pérez // Nature Photonics. - 2015. - Vol. 10. - P. 68.

9. Slavík, R. Photonic temporal integrator for all-optical computing [Text] / R. Slavík, Y. Park, N. Ayotte, S. Doucet, T.-J. Ahn, J. Azaña // Optics Express. - 2008. - Vol. 16, no. 22. - P. 18202-18214.

10. Hou, J. Optical solver for a system of ordinary differential equations based on an external feedback assisted microring resonator [Text] / J. Hou, J. Dong, X. Zhang // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42, no. 12. - P. 2310-2313.

11. Yang, T. All-optical differential equation solver with constant-coefficient tunable based on a single microring resonator [Text] / T. Yang, J. Dong, L. Lu, L. Zhou, A. Zheng, X. Zhang, J. Chen // Scientific Reports. - 2014. - Vol. 4. -P. 5581.

12. Wu, J. Compact tunable silicon photonic differential-equation solver for general linear time-invariant systems [Text] / J. Wu, P. Cao, X. Hu, X. Jiang, et al. // Optics Express. - 2014. - Vol. 22, no. 21. - P. 26254-26264.

13. Tan, S. High-order all-optical differential equation solver based on microring resonators [Text] / S. Tan, L. Xiang, J. Zou, Q. Zhang, et al. // Optics Letters. -2013. - Vol. 38, no. 19. - P. 3735-3738.

14. Tan, S. All-optical computation system for solving differential equations based on optical intensity differentiator [Text] / S. Tan, Z. Wu, L. Lei, S. Hu, J. Dong, X. Zhang // Optics Express. - 2013. - Vol. 21, no. 6. - P. 7008-7013.

15. Weixuan, Z. Solving constant-coefficient differential equations with dielectric metamaterials [Text] / Z. Weixuan, Q. Che, Z. Xiangdong // Journal of Optics. - 2016. - Vol. 18, no. 7. - P. 075102.

16. Abdollahramezani, S. Dielectric metasurfaces solve differential and integro-differential equations [Text] / S. Abdollahramezani, A. Chizari, A.E. Dorche, M.V. Jamali, J.A. Salehi // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42, no. 7. - P. 11971200.

17. Capmany, J. Microwave photonics combines two worlds [Text] / J. Capmany, D. Novak // Nature Photonics. - 2007. - Vol. 1. - P. 319-330.

18. Weiner, A.M. Ultrafast optical pulse shaping: A tutorial review [Text] / A.M. Weiner // Optics Communications. - 2011. - Vol. 284, no. 15. - P. 36693692.

19. Li, F. Complete temporal pulse characterization based on phase reconstruction using optical ultrafast differentiation (PROUD) [Text] / F. Li, Y. Park, J. Azana // Optics Letters. - 2007. - Vol. 32, no. 22. - P. 3364-3366.

20. Ding, Y. Active microring optical integrator associated with electroabsorption modulators for high speed low light power loadable and erasable optical

memory unit [Text] / Y. Ding, X. Zhang, X. Zhang, D. Huang // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, no. 15. - P. 12835-12848.

21. Park, Y. All-optical temporal integration of ultrafast pulse waveforms [Text] / Y. Park, T.-J. Ahn, Y. Dai, J. Yao, J. Azana // Optics Express. - 2008. -Vol. 16, no. 22. - P. 17817-17825.

22. Ngo, N.Q. Optical integrator for optical dark-soliton detection and pulse shaping [Text] / Ngo, N.Q. // Applied Optics. - 2006. - Vol. 45, no. 26. -P. 6785-6791.

23. Photonic integrator for A/D conversion / Y. Jin, P.A. Costanzo-Caso, S. Granieri, A. Siahmakoun // Proceedings of SPIE - International Society for Optical Engineering. - Vol. 7797. - 2010. - P. 77970J.

24. Esumi, Y. Spatiotemporal vector pulse shaping of femtosecond laser pulses with a multi-pass two-dimensional spatial light modulator [Text] / Y. Esumi, M.D. Kabir, F. Kannari // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, no. 21. -P. 19153-19159.

25. Silva, A. Performing mathematical operations with metamaterials [Text] / A. Silva, F. Monticone, G. Castaldi, V. Galdi, A. Alu, N. Engheta // Science (New York, N.Y.). - 2014. - Vol. 343. - P. 160-163.

26. Pors, A. Analog computing using reflective plasmonic metasurfaces [Text] / A. Pors, M.G. Nielsen, S.I. Bozhevolnyi // Nano Letters. - 2015. - Vol. 15, no. 1. - P. 791-797.

27. Chizari, A. Analog optical computing based on dielectric meta-reflect-array [Text] / A. Chizari, S. AbdollahRamezani, M.V. Jamali, J.A. Salehi // Optics Letters. - 2016. - Vol. 41, no. 15. - P. 3451-3454.

28. Farmahini-Farahani, M. Metasurfaces nanoantennas for light processing [Text] / M. Farmahini-Farahani, J. Cheng, H. Mosallaei // Journal of the Optical Society of America B. - 2013. - Vol. 30, no. 9. - P. 2365-2370.

29. Ruan, Z. Spatial mode control of surface plasmon polariton excitation with gain medium: from spatial differentiator to integrator. [Text] / Z. Ruan // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40, no. 4. - P. 601-604.

30. Zhu, T. Plasmonic computing of spatial differentiation [Text] / T. Zhu, Y. Zhou, Y. Lou, H. Ye, M. Qiu, Z. Ruan, S. Fan // Nature Communications. -2017. - Vol. 8. - P. 15391.

31. AbdollahRamezani, S. Analog computing using graphene-based metalines [Text] / S. AbdollahRamezani, K. Arik, A. Khavasi, Z. Kavehvash // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40, no. 22. - P. 5239-5242.

32. Zangeneh-Nejad, F. Spatial integration by a dielectric slab and its planar graphene-based counterpart [Text] / F. Zangeneh-Nejad, A. Khavasi // Optics Letters. - 2017. - Vol. 42, no. 10. - P. 1954-1957.

33. Kawakami, S. Characteristics of a doubly clad optical fiber with a low-index inner cladding [Text] / S. Kawakami, S. Nishida // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 1974. - Vol. 10. - P. 879-887.

34. Kawakami, S. Perturbation theory of a doubly clad optical fiber with a low-index inner cladding [Text] / S. Kawakami, S. Nishida // IEEE Journal of Quantum Electronics. - 1975. - Vol. 11. - P. 130-138.

35. Suematsu, Y. Quasi-guided modes and related radiation losses in optical dielectric waveguides with external higher index surroundings [Text] / Y. Suematsu, K. Furuya // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. - 1975. - Vol. 23. - P. 170-175.

36. Hu, J. Understanding leaky modes: slab waveguide revisited [Text] / J. Hu, C.R. Menyuk // Advances in Optics and Photonics. - 2009. - Vol. 1. - P. 58.

37. Kulishov, M. Long-period fiber gratings as ultrafast optical differentiators [Text] / M. Kulishov, J. Azana // Optics Letters. - 2005. - Vol. 30, no. 20. -P. 2700-2702.

38. Slavik, R. Ultrafast all-optical differentiators [Text] / R. Slavik, Y. Park, M. Kulishov, R. Morandotti, J. Azana // Optics Express. - 2006. - Vol. 14, no. 22. - P. 10699-10707.

39. Slavik, R. Terahertz-bandwidth high-order temporal differentiators based on phase-shifted long-period fiber gratings [Text] / R. Slavik, Y. Park,

M. Kulishov, J. Azana // Optics Letters. - 2009. - Vol. 34, no. 20. - P. 31163118.

40. Rivas, L.M. Experimental demonstration of ultrafast all-fiber high-order photonic temporal differentiators [Text] / L.M. Rivas, S. Boudreau, Y. Park, R. Slavik, S. Larochelle, A. Carballar, J. Azana // Optics Letters. - 2009. -Vol. 34, no. 12. - P. 1792-1794.

41. Azana, J. Ultrafast analog all-optical signal processors based on fiber-grating devices [Text] / J. Azana // IEEE Photonics Journal. - 2010. - Vol. 2. - P. 359386.

42. Berger, N.K. Temporal differentiation of optical signals using a phase-shifted fiber Bragg grating [Text] / N.K. Berger, B. Levit, B. Fischer, M. Kulishov, D.V. Plant, J. Azana // Optics Express. - 2007. - Vol. 15, no. 2. - P. 371-381.

43. Kulishov, M. Design of high-order all-optical temporal differentiators based on multiple-phase-shifted fiber Bragg gratings [Text] / M. Kulishov, J. Azana // Optics Express. - 2007. - Vol. 15, no. 10. - P. 6152-6166.

44. Zhang, W. A fully reconfigurable waveguide Bragg grating for programmable photonic signal processing [Text] / W. Zhang, J. Yao // Nature Communications. - 2018. - Vol. 9, no. 1. - P. 1396.

45. Ashrafi, R. Ultrafast optical arbitrary-order differentiators based on apodized long-period gratings [Text] / R. Ashrafi, M.H. Asghari, J. Azana // Photonics Journal, IEEE. - 2011. - Vol. 3. - P. 353-364.

46. Li, M. Arbitrary-order all-fiber temporal differentiator based on a fiber Bragg grating: design and experimental demonstration [Text] / M. Li, D. Janner, J. Yao, V. Pruneri // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, no. 22. - P. 1979819807.

47. Preciado, M.A. Design of an ultrafast all-optical differentiator based on a fiber Bragg grating in transmission [Text] / M.A. Preciado, M.A. Muriel // Optics Letters. - 2008. - Vol. 33, no. 21. - P. 2458-2460.

48. Azana, J. Proposal of a uniform fiber Bragg grating as an ultrafast all-optical integrator [Text] / J. Azana // Optics Letters. - 2008. - Vol. 33, no. 1. - P. 4-6.

49. Asghari, M.H. Proposal for arbitrary-order temporal integration of ultrafast optical signals using a single uniform-period fiber Bragg grating [Text] / M.H. Asghari, J. Azana // Optics Letters. - 2008. - Vol. 33, no. 13. - P. 15481550.

50. Asghari, M.H. On the design of efficient and accurate arbitrary-order temporal optical integrators using fiber Bragg gratings [Text] / M.H. Asghari, J. Azana // Journal of Lightwave Technology. - 2009. - Vol. 27, no. 17. - P. 3888-3895.

51. Park, Y. Ultrafast all-optical first- and higher-order differentiators based on interferometers [Text] / Y. Park, J. Azana, R. Slavik // Optics Letters. - 2007. -Vol. 32, no. 6. - P. 710-712.

52. Dong, J. Compact, flexible and versatile photonic differentiator using silicon Mach-Zehnder interferometers. [Text] / J. Dong, A. Zheng, D. Gao, L. Lei, D. Huang, X. Zhang // Optics Express. - 2013. - Vol. 21, no. 6. - P. 7014-24.

53. Park, Y. Stabilization of a fiber-optic two-arm interferometer for ultra-short pulse signal processing applications [Text] / Y. Park, T.-J. Ahn, J. Azana // Applied Optics. - 2008. - Vol. 47, no. 3. - P. 417-421.

54. Zheng, A. Tunable fractional-order differentiator using an electrically tuned silicon-on-isolator Mach-Zehnder interferometer [Text] / A. Zheng, T. Yang, X. Xiao, Q. Yang, X. Zhang, J. Dong // Optics Express. - 2014. - Vol. 22, no. 15. - P. 18232-18237.

55. Liu, F. Compact optical temporal differentiator based on silicon microring resonator. [Text] / F. Liu, T. Wang, L. Qiang, T. Ye, Z. Zhang, M. Qiu, Y. Su // Optics Express. - 2008. - Vol. 16, no. 20. - P. 15880-15886.

56. Ultra-fast all-optical integration on a silicon chip / M. Ferrera, Y.-W. Park, L. Razzari et al. // Latin America Optics and Photonics Conference. — Optical Society of America, 2010. — P. WI2.

57. Ferrera, M. On-chip CMOS-compatible all-optical integrator [Text] / M. Ferrera, Y. Park, L. Razzari, B.E. Little, S.T. Chu, R. Morandotti, D. Moss, J. Azana // Nature Communications. - 2010. - Vol. 1. - P. 29.

58. Yang, T. Experimental observation of optical differentiation and optical Hilbert transformation using a single SOI microdisk chip [Text] / T. Yang, J. Dong, L. Liu, S. Liao, S. Tan, L. Shi, D. Gao, X. Zhang // Scientific Reports. - 2014.

- Vol. 4. - P. 1-6.

59. Ferrera, M. All-optical 1st and 2nd order integration on a chip [Text] / M. Ferrera, Y. Park, L. Razzari, B.E. Little, S.T. Chu, R. Morandotti, D. Moss, J. Azana // Optics Express. - 2011. - Vol. 19, no. 23. - P. 23153-23161.

60. Kazanskiy, N.L. Use of photonic crystal cavities for temporal differentiation of optical signals [Text] / N.L. Kazanskiy, P.G. Serafimovich, S.N. Khonina // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38, no. 7. - P. 1149-1151.

61. Kazanskiy, N.L. Coupled-resonator optical waveguides for temporal integration of optical signals [Text] / N.L. Kazanskiy, P.G. Serafimovich // Optics Express. - 2014. - Vol. 22, no. 11. - P. 14004-14013.

62. Guo, C. Photonic crystal slab Laplace operator for image differentiation [Text] / C. Guo, M. Xiao, M. Minkov, Y. Shi, S. Fan // Optica. - 2018. - Vol. 5, no. 3. - P. 251-256.

63. Bykov, D.A. Temporal differentiation of optical signals in reflection using resonant gratings [Text] / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, V.A. Soifer // Optics Letters. - 2011. - Vol. 36, no. 17. - P. 3509-3511.

64. Bykov, D.A. Single-resonance diffraction gratings for time-domain pulse transformations: integration of optical signals [Text] / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, V.A. Soifer // Journal of the Optical Society of America A.

- 2012. - Vol. 29, no. 8. - P. 1734-1740.

65. Bendickson, J.M. Guided-mode resonant subwavelength gratings: effects of finite beams and finite gratings [Text] / J.M. Bendickson, E.N. Glytsis, T.K. Gaylord, D.L. Brundrett // Journal of the Optical Society of America A. -2001. - Vol. 18, no. 8. - P. 1912-1928.

66. Sato, A. Analysis of finite-sized guided-mode resonant [Text] / A. Sato // Journal of Optical Society of America A. - 2010. - Vol. 27, no. 9. - P. 19091919.

67. Popov, E. Theoretical study of the anomalies of the coated dielectric gratings [Text] / E. Popov, L. Mashev, D. Mayestre // Optica Acta. - 1986. - Vol. 33. -P. 607-619.

68. Doskolovich, L.L. Spatial differentiation of optical beams using phase-shifted Bragg grating [Text] / L.L. Doskolovich, D.A. Bykov, E.A. Bezus, V.A. Soifer // Optics Letters. - 2014. - Vol. 39, no. 5. - P. 1278-1281.

69. Bykov, D.A. Optical computation of the Laplace operator using phase-shifted Bragg grating [Text] / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, E.A. Bezus, V.A. Soifer // Optics Express. - 2014. - Vol. 22, no. 21. - P. 25084-25092.

70. Vallius, T. Pulse deformations at guided-mode resonance filters [Text] / T. Vallius, P. Vahimaa, J. Turunen // Optics Express. - 2002. - Vol. 10, no. 16.

- p. 840-843.

71*. Golovastikov, N.V. Spatiotemporal pulse shaping using resonant diffraction gratings [Text] / N.V. Golovastikov, D.A. Bykov, L.L. Doskolovich // Optics Letters. - 2015. - Vol. 40, no. 15. - P. 3492-3495.

72*. Головастиков, Н.В. Преобразование пространственно- временного оптического импульса резонансной дифракционной решёткой [Текст] / Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, Л.Л. Досколович, В.А. Сойфер // ЖЭТФ.

- 2015. - Т. 148, № 5. - С. 899-907.

73*. Головастиков, Н.В. Оптический дифференциатор на основе трехслойной структуры W-образным профилем показателя преломления [Текст] / Н.В. Головастиков, Л.Л. Досколович, Е.А. Безус, Д.А. Быков, В.А. Сойфер // ЖЭТФ. - 2018. - Т. 154, № 2. - С. 238-247.

74*. Doskolovich, L.L. Planar two- groove optical differentiator in a slab waveguide [Text] / L.L. Doskolovich, E.A. Bezus, N.V. Golovastikov, D.A. Bykov, V.A. Soifer // Optics Express. - 2017. - Vol. 25, no. 19. - P. 22328-22340.

75. Bykov, D.A. Numerical methods for calculating poles of the scattering matrix with applications in grating theory [Text] / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich // Journal of Lightwave Technology. - 2013. - Vol. 31, no. 5. - P. 793-801.

76. Tikhodeev, S.G. Quasiguided modes and optical properties of photonic crystal slabs [Text] / S.G. Tikhodeev, A.L. Yablonskii, E.A. Muljarov, N.A. Gippius, T. Ishihara // Physical Review B. - 2002. - Vol. 66. - P. 045102.

77. Dong, J. High-order photonic differentiator employing on-chip cascaded microring resonators [Text] / J. Dong, A. Zheng, D. Gao, S. Liao, L. Lei,

D. Huang, X. Zhang // Optics Letters. - 2013. - Vol. 38, no. 5. - P. 628-630.

78*. Golovastikov, N.V. Spatial optical integrator based on phase- shifted Bragg gratings [Text] / N.V. Golovastikov, D.A. Bykov, L.L. Doskolovich,

E.A. Bezus // Optics Communications. - 2015. - Vol. 338. - P. 457-460.

79*. Головастиков, Н.В. Резонансные дифракционные решётки для пространственного дифференцирования оптических пучков [Текст] / Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, Л.Л. Досколович // Квантовая электрроника. - 2014. - Т. 44, № 10. - С. 984-988.

80. Neviere, M. Electromagnetic resonances in linear and nonlinear optics: phenomenological study of grating behavior through the poles and zeros of the scattering operator [Text] / M. Neviere, E. Popov, R. Reinisch // Journal of the Optical Society of America A. - 1995. - Vol. 12, no. 3. - P. 513-523.

81. Маркушевич, А.И., Теория Аналитических функций. Начала теории. Т. 1. - М.: Наука: 1967. - 486 с.

82. Shipman, S.P. Resonant transmission near nonrobust periodic slab modes [Text] / S.P. Shipman, S. Venakides // Physical Review E. - 2005. - Vol. 71. -P. 026611.

83. Sarrazin, M. Role of Wood anomalies in optical properties of thin metallic films with a bidimensional array of subwavelength holes [Text] / M. Sarrazin, J.-P. Vigneron, J.-M. Vigoureux // Physical Review B. - 2003. - Vol. 67. -P. 085415-1(8).

84*. Емельянов, С.В., Д.А. Быков, Н.В. Головастиков, Л.Л. Досколович, and

B.А. Сойфер. Дифференцирование пространственно-временного оптического сигнала резонансными структурами нанофотоники [Текст] /

C.В. Емельянов, Д.А. Быков, Н.В. Головастиков, Л.Л. Досколович,

В.А. Сойфер // Доклады академии наук. - 2016. - Vol. 467, no. 1. - P. 2932.

85. Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский - М.: Наука: 1977. - 736 с.

86. Moharam, M.G. Formulation for stable and efficient implementation of the rigorous coupled-wave analysis of binary gratings [Text] / M.G. Moharam,

E.B. Grann, D.A. Pommet, T.K. Gaylord // Journal of the Optical Society of America A. - 1995. - Vol. 12, no. 5. - P. 1068-1076.

87. Li, L. Formulation and comparison of two recursive matrix algorithms for modeling layered diffraction gratings [Text] / Li, L. // Journal of the Optical Society of America A. - 1996. - Vol. 13, no. 5. - P. 1024-1035.

88. Gippius, N.A. Optical properties of photonic crystal slabs with an asymmetrical unit cell [Text] / N.A. Gippius, S.G. Tikhodeev, T. Ishihara // Physical Review B. - 2005. - Vol. 72. - P. 045138.

89*. Bykov, D.A. Time- domain differentiation of optical pulses in reflection and in transmission using the same resonant grating [Text] / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, N.V. Golovastikov, V.A. Soifer // Journal of Optics. - 2013. - Vol. 15, no. 10. - P. 105703. 90*. Головастиков, Н.В. Резонансные дифракционные решётки для дифференцирования оптических импульсов в пропускании и отражении [Текст] / Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, Л.Л. Досколович, В.А. Сойфер // Компьютерная оптика. - 2013. - Т. 37, №2. - С. 138-145.

91. Шестопалов, В.П. Резонансное рассеяние волн. Т. 1. Дифракционные решётки. / В.П. Шестопалов, А.А. Кириленко, С.А. Масалов, Ю.К. Сиренко - Киев: Наук. думка: 1986. - 232 с.

92. Bonnans, J.-F., Numerical optimization, theoretical and numerical aspects / J.-

F. Bonnans, J.-C. Gilbert, C. Lemarechal - N.Y.: Springer: 2003. - 437 p.

93. Moharam, M.G. Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings: enhanced transmittance matrix approach [Text] /

M.G. Moharam, D.A. Pommet, E.B. Grann, T.K. Gaylord // Journal of the Optical Society of America A. - 1995. - Vol. 12, no. 5. - P. 1077-1086.

94. Li, L. Use of Fourier series in the analysis of discontinuous periodic structures [Text] / L. Li // Journal of the Optical Society of America A. - 1996. - Vol. 13, no. 9. - P. 1870-1876.

95. Nakagawa, W. Ultrashort pulse propagation in near-field periodic diffractive structures by use of rigorous coupled-wave analysis [Text] / W. Nakagawa, R.-C. Tyan, P.-C. Sun, F. Xu, Y. Fainman // Journal of the Optical Society of America A. - 2001. - Vol. 18, no. 5. - P. 1072-1081.

96. Быков, Д.А. О способности резонансных дифракционных решеток дифференцировать импульсный оптический сигнал [Текст] / Д.А. Быков, Л.Л. Досколович, В.А. Сойфер // ЖЭТФ. - 2012. - Т. 141, № 5 - С. 832839.

97. Li, L. New formulation of the Fourier modal method for crossed surface-relief gratings [Text] / L. Li // Journal of the Optical Society of America A. - 1997. -Vol. 14, no. 10. - P. 2758-2767.

98. Абрамочкин, Е.Г. Современная оптика гауссовых пучков / Е.Г. Абрамочкин, В.Г. Волостников - М.: Физматлит: 2010. - 184 с.

99*. Golovastikov, N.V. Analytical description of 3D optical pulse diffraction by a phase-shifted Bragg grating [Text] / N.V. Golovastikov, D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, V.A. Soifer // Optics Express. - 2016. - Vol. 24, no. 17. -P. 18828-18842.

100*. Головастиков, Н.В. Дифференцирование и интегрирование трёхмерного оптического импульса во времени с использованием брэгговских решёток с дефектным слоем [Текст] / Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, Л.Л. Досколович // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 1. - С. 13-21.

101. Sepke, S.M. Exact analytical solution for the vector electromagnetic field of Gaussian, flattened Gaussian, and annular Gaussian laser modes [Text] / S.M. Sepke, D.P. Umstadter // Optics Letters. - 2006. - Vol. 31, no. 10. -P. 1447-1449.

102. Zhou, G. The analytical vectorial structure of a nonparaxial Gaussian beam close to the source [Text] / G. Zhou // Optics Express. - 2008. - Vol. 16, no. 6.

- P. 3504-3514.

103. Mutlu, M. Broadband circular polarizer based on high-contrast gratings [Text] / M. Mutlu, A.E. Akosman, E. Ozbay // Optics Letters. - 2012. - Vol. 37, no. 11. - P. 2094-2096.

104. Bykov, D.A. ю-kx Fano line shape in photonic crystal slabs [Text] / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich // Physical Review A. - 2015. - Vol. 92. -P. 013845.

105. Lomakin, V. Transmission of transient plane waves through perfect electrically conducting plates perforated by periodic arrays of subwavelength holes [Text] / V. Lomakin, E. Michielssen // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 2006. - Vol. 54, no. 3. - P. 970-984.

106. Baym, G., Lectures on Quantum Mechanics. - N.Y.: W.A. Benjamin: 1069. -604 p.

107. Ngo, N.Q. Design of an optical temporal intergator based on a phase-shifted fiber Bragg grating in transmission [Text] / N.Q. Ngo // Optics Letters. - 2007.

- Vol. 32, no. 20. - P. 3020-3022.

108*. Досколович, Л.Л. Резонансная аппроксимация спектров брэгговской структуры с дефектным слоем [Текст] / Л.Л. Досколович, Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, С.И. Харитонов // Компьютерная оптика.

- 2015. - Т. 39, № 3. - С. 311-318.

109*. Головастиков, Н.В. Пространственное интегрирование оптических пучков с использованием многослойных брэгговских структур [Текст] / Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, Л.Л. Досколович // Компьютерная оптика. - 2014. - T. 38, № 3. - C. 372-376. 110. Potton, R.J. Reciprocity in optics [Text] / R.J. Potton // Reports on Progress in Physics. - 2004. - Vol. 67. - P. 717-754.

111. Doskolovich, L.L. Two-groove narrowband transmission filter integrated into a slab waveguide [Text] / L.L. Doskolovich, E.A. Bezus, D.A. Bykov // Photonics Research. - 2018. - Vol. 6. - P. 61-65.

112. Sainidou, R. Extraordinary all-dielectric light enhancement over large volumes [Text] / R. Sainidou, J. Renger, T.V. Teperik, M.U. González, R. Quidant, F.J. García De Abajo // Nano Letters. - 2010. - Vol. 10, no. 11. - P. 44504455.

113. Kekatpure, R.D. Solving dielectric and plasmonic waveguide dispersion relations with a pocket calculator [Text] / R.D. Kekatpure, A.C. Hryciw, E.S. Barnard, M.L. Brongersma // Optics Express. - 2009. - Vol. 17, no. 26. -P. 24112-24129.

114. Lifante, G., Integrated Photonics: Fundamentals. - Chichester: Wiley: 2003. -184 p.

115. Боголюбов, А.Н. Задачи по математической физике: Учеб. пособие / А.Н. Боголюбов, В.В. Кравцов, под ред. А.Г. Свешников. -М.: Издательство Московского университета: 1998. - 350 с.

116. Bateman, H. Tables of integral transforms. Vol. 1. / H. Bateman, A. Erdélyi -New York: McGraw-Hill Book Company, Inc.: 1954. - 402 p.

Приложение А. Решение уравнения Клейна-Гордона

Проводя замену и (х, г ) = ехр

г ■ \ Р г

2 р

и

(х,г), приведём уравнение (1.30) к

У

каноническому виду:

д2и (х, г) 2 д2и (х, г)

дг2

= а

где / (х, г ) = —/ (х, г) ехр

Рз

дх2

- с2и (х, г) + / (х, г),

/ • л 1Р2 Н

2 р

1

а

с2 =

1

з У

( 2 Р2

V 4 Рз

Р1

(А.1)

Будем

-Рз Рз

предполагать, что Рз < 0. При этом уравнение (А.1) является уравнением гиперболического типа. Рассмотрим решение уравнения (А.1) на бесконечной прямой с однородными начальными условиями: и (х,0 ) = 0,

ди (х,0)

дг

= 0.

(А. 2)

Отметим, что при рассмотрении конечного по времени сигнала всегда можно определить начальный момент времени так, чтобы нулевые начальные условия (А.2) выполнялись.

Для решения задачи (А.1), (А.2) будем использовать метод преобразования

Фурье [115]. Введём преобразование Фурье функций и(х,г) и /(х,г):

1 +?

и (Л, г) =-= } и (4, г) ехр {-1Л4} d4, Р (Л, г) = -— | / (4, г) ехр{-1Л4} d4.

(А.з)

Относительно образов Фурье (А.з) задача (А.1), (А.2) может быть записана в виде:

^ЩА+(а я+с 2 г)_р г),

дг2

и (Я,0 ) = 0

ди (Я,0)_

д "

(А.4)

0.

Решение задачи (А.4) сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка и может быть записано в виде [115]:

г sin N а 2Я2 + с2 (г - г))

0 Я ' I 2,2 2-- Р ЯТ

о У аЯ + с

(А. 5)

Применяя к (А.5) обратное преобразование Фурье, запишем и (х, г) в виде:

1 +да

(х,г) _ 10(Я,г)ехр^Ях} с1Я _

(А. 6)

42Л

л г +да

_ 2пН

о -да

+да sin(Vа2Я2 + с2 (г - т))

I 1 /2;2 2-1 ехР{Я( х - 4)} АЯ

-да у1а Я + с

/ (4,т) (4

Для вычисления внутреннего интеграла в (А.6), являющегося преобразованием Фурье, используем следующее известное соотношение [116]:

- , ,_ч sm| а

| J0 (Wa2 - х2) cos (Ях) Ах _ —

+ Я2 (А. 7)

Переходя в последней формуле от косинус-преобразования к преобразованию Фурье, а затем вычисляя обратное преобразование Фурье от правой и левой частей уравнения, получим

+да sin N а 2Я2 + с2 г )

I / 2 Я 2 2 6ХР (Ях) АЯ_

-да у/а Я + с

с

П J

а

о,

Л

с|г 2 - а?

V У

х < аг,

х > аг.

(А.8)

Подставляя (А.8) в (А.6), получим окончательное решение задачи (А.1), (А.2) в виде:

1 г х+аг

(хг) =/ (4т)

и

(г -т)2

(х -4)2

0 х-аг

а

646т

(А.9)

Приложение Б. Связь между коэффициентами разложения передаточных функций в ряд

В разделе 2 рассматривается дифракционная структура, для которой при угле падения в = в0 (при кх 1пс = 0) и частоте с = с0 (о1пс = 0) коэффициент отражения обращается в нуль, а модуль коэффициента пропускания - в единицу. Используя представления для передаточных функций ИД (4.5) и Итг (4.6), запишем следующие разложения коэффициентов отражения и пропускания в окрестности точки (кх0,с0):

Д(кхс) = а(кх -кх,0 )/с°в +(Рк-адпШ^/с)(с-С) + о(р),

У(Б.1)

cosв0 + (вт -атп 1апв0/с)(с-с0) + о(р),

где р = ^1 (кх -кх0)/cosв0 + [(с-с0)/с]2 . Воспользуемся следствием закона

сохранения энергии для коэффициентов отражения и пропускания структуры [89]:

ДД* + тт* = 1, Дт* + тД* = 0. (Б.2)

Подставив представления (Б.1) в (Б.2) и учитывая, что выражения (Б.2) верны для любых кх, со, приравняем к нулю коэффициенты перед кх, со и получим следующие условия на коэффициенты разложения ат, вт, аД, :

е ^ + ая,те = 0, (Б.з)

е в + в = 0.

Из (Б.з) следует, что фазы коэффициентов ат, вт, аД, совпадают с точностью до п:

агБ ад ,т =Ф±п/ 2

а^РКТ = argакт + пт, т е Ъ.