Численные методы решения задач оптимального управления с использованием дискретной аппроксимации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Чекарев, Денис Анатольевич

• Чекарев, Денис Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чекарев, Денис Анатольевич

1. Введение.

1.1. Общее описание проблемы.

1.2. Место работы в современной науке.

1.3. Формулировка темы работы. Актуальность.б

1.4. Цель и задачи исследования.

1.5. Научная новизна исследования.

1.6. Предлагаемый подход к решению.

1.7. Основное содержание работы.

1.8. Практическая значимость. Публикации.

1.9. Апробация результатов исследования.

1.10. Структура и объем работы.

1.11. Личный вклад диссертанта.

2. Математическое моделирование линейных динамических систем со смешанными ограничениями.

2.1. Постановка параметрической задачи оптимального управления.

2.2. Необходимые условия оптимальности для общей задачи оптимального управления. Принцип максимума Понтрягина и формализм Дубовицкого-Милютина.

2.3. Линейные параметрические модели с ограничениями смешанного типа.

2.4. Условия оптимальности для линейных задач.

2.5. Задачи оптимального управления А и Б.

3. Решение линейных задач оптимального управления со смешанными ограничениями методом дискретизации по времени.

3.1. Построение конечно-разностной аппроксимации модели.

3.2. Схема решения параметрических задач оптимального управления.

3.2.1. Получение аппроксимации решения прямой задачи.

3.2.2. Выделение множества активных ограничений.

3.2.3. Построение аппроксимации решения сопряженной задачи.

3.3. Сходимость дискретных аппроксимаций.

3.4. Общая схема решения линейных задач ОУ.

3.4.1. Случай исключения ограничений типа равенства.

3.4.2. Схема решения линейной задачи ОУ.

3.5. Применение схем дискретизации различных порядков точности.

3.6. Применение схем дискретизации с переменным шагом.

3.7. Описание нового класса чисел повышенной точности.

3.8. Анализ устойчивости дискретной аппроксимации на основе критерия оптимальности.

3.8.1. Определение устойчивости задачи ЛП, основанное на критерии оптимальности.

3.8.2. Меняются коэффициенты матрицы А.

3.8.3. Меняется столбец Ь.

3.8.4. Меняетсяолбец

3.8.5. Меняются коэффициенты Л и Ь.

3.8.6. Меняются коэффициенты А и

3.8.7. Меняются коэффициенты Ь и С.

3.8.8. Обший случай (меняются коэффициенты А, Ь , с).

Применение метода дискретной аппроксимации для параметрических динамических моделей обслуживания внешнего государственного долга.

4.1. Содержательное описание особенностей моделируемой системы.

4.2. Математическая формулировка модели.

4.2.1. Обозначения для количественных характеристик системы.

4.2.2. Динамические соотношения системы.

4.2.3. Ограничения на фазовые переменные и управления системы.

4.2.4. Целевая функция.

4.3. Общая формулировка задачи.

4.4. Решение задачи.

4.4.1. Построение конечно-разностной аппроксимации.

4.4.2. Решение дискретной аппроксимации с помощью системы «Баланс-2».

4.4.3. Формирование гипотезы о геометрии оптимальной траектории.

4.4.4. Решение исходной системы.

4.4.5. Решение сопряженной системы.

4.4.6. Полное решение задачи.

4.5. Применение различных схем дискретизации.

4.5.1. Применение схем дискретизации разных порядков точности.

4.5.2. Применение схемы дискретизации с переменным шагом дискретизации.

4.6. Формулировка и решение параметрической задачи ОУ.

Применение рассматриваемого подхода для анализа параметрической модели оптимального управления.

5.1. Содержательное описание особенностей моделируемой системы.

5.2. Теорема о сходимости дискретных аппроксимаций.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения задач оптимального управления с использованием дискретной аппроксимации»

§1.1. Общее описание проблемы Данная работа посвящена разработке и исследованию методов численного и аналитического решения линейных параметрических задач оптимального управления (ОУ) со смешанными ограничениями. Предположение о линейности хотя и сужает область применимости предлагаемого подхода к построению численных методов решения задач ОУ, но, тем не менее, позволяет получать значимые результаты при решении различных практических задач, поскольку многие задачи ОУ описываются линейными моделями. Для решения задач ОУ при наличии ограничений только на управления широко применяется метод «прогонки».Наличие же смешанных ограничений, включающих как фазовые переменные, так и управления, существенно усложняет структуру задачи, и может сделать использование этого метода малоэффективным. Можно констатировать, что развитые к настоящему времени схемы решения задач оптимального управления либо в основном базируются на использовании специфики их условий (например, отсутствии ограничений по фазовым переменным или априорном предположении о поведении оптимального управления), либо требуют альтернативных подходов. Таким образом, вопрос построения эффективных интерактивных вычислительных систем для решения указанного класса задач остается актуальным и в настоящее время. Такая система должна находить приближенное численное решение задачи ОУ, осуществлять проверку истинности ее решения и, в случае необходимости, построение аналитического решения посредством формулировки и проверки гипотезы о геометрии оптимальной траектории. Как расширение класса решаемых задач, параметрическая задача ОУ позволяет не только исследовать актуальные вопросы чувствительности и устойчивости решения, но и улучшить интерпретируемость получаемых решений. Например, оказывается возможным ставить задачи поиска оптимальных значений параметров задачи, при которых значение целевого функционала оптимизируется на множестве значений параметров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чекарев, Денис Анатольевич, 2005 год

1. O.L. Mangasarian. Sufiicient conditions for the optimal control of nonlinear systems. S1.AM. J. Control 4 (1966), P. 139-151.

2. Арутюнов A.B. Условия экстремума. Анормальные и вырожденные задачи. М.: Изд-во "Факгориал",1997.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. школа, 2003.

4. Афанасьев А.П., Дикусар В.В., Милютин А.А., Чуканов С.А. Необходимое условие в оптимальном управлении. М.: Наука, 1990.

5. Афанасьев А.П. Линейные по управляющим воздействиям задачи оптимального управления. Препринт. М.: ВНИИСИ.

6. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. - 400 с.

7. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М, Факториал, 2002.

8. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. М.: Факториал, 1998.

9. Га басов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. -Минск, "Наука и техника", 1974.

10. Дикусар В.В. Методика численного решения краевых вариационных задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук. -Дубна, ОИЯИ, 1982.

11. Дикусар В.В., Милютин АЛ, Качественные и численные методы в принципе максимума. М., Наука, 1989.

12. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М., МФТИ, 2001.

13. Дикусар В.В., Гживачевский М., Кошька М., Фигура А. Методы продолжения решений в прикладных задачах оптимального управления. М., МФТИ, 2001.

14. Дикусар В.В., Кошька М., Фигура А. Задачи оптимального управления при наличии ограничений общего вида. М., МФТИ, 2001.

15. Дикусар В.В., Синягин С.Ю. Качественные и численные методы в задаче оптимального управления внешним долгом: Сообщ. по прикл. матем. / ВЦ РАН. М., 2000.16.