Численные методы определения параметров нелинейных математических моделей на основе стохастических разностных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Романюк, Мария Анатольевна

• Романюк, Мария Анатольевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Романюк, Мария Анатольевна

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. ПРОБЛЕМА ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ И ДОСТОВЕРНОСТИ ОЦЕНОК В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПЕРСПЕКТИВЫ ЕЁ РЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ

1.1. Описание и анализ эффективности известных численных методов определения параметров нелинейных математических моделей по результатам наблюдений

1.2. Перспективы решения задачи повышения адекватности и точности вычисления параметров нелинейных математических моделей на основе линейно-параметрических дискретных моделей в форме разностных уравнений

1.3. Выводы по главе 1

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

2.1. Математические основы и принципы построения линейно-параметрических дискретных моделей в форме разностных уравнений

2.2. Формирование линейно-параметрических дискретных моделей для основных типов одномерных нелинейных функциональных зависимостей

2.3. Построение разностных схем для двумерных эволюционных процессов

2.4. Выводы по главе 2

ГЛАВА 3. РАЗРАБОТКА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА ОС1ЮВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 62 3.1 Построение разностных уравнений, описывающих результаты наблюдений исследуемого динамического или эволюционного процесса

3.2. Численный метод определения параметров нелинейных функциональных зависимостей на основе линейно-параметрических дискретных моделей

3.3. Разработка и исследование итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения

3.4. Разработка и исследование итерационных процедур уточнения коэффициентов разностного уравнения при их взаимосвязи

3.5. Определение параметров двумерных процессов на основе разностных схем

3.6. Результаты численно-аналитических исследований эффективности

разработанного численного метода оценивания параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений

3.7. Выводы по главе 3

ГЛАВА 4. РЕЗУЛЬТАТЫ АПРОБАЦИИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ НА ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ СИСТЕМ РАЗЛИЧНОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ПРИРОДЫ

4.1. Параметрическая идентификация процессов эволюции биологической популяции на основе разностных уравнений

4.2. Численный метод определения параметров логистической функции Рамсея

на основе разностных уравнений

4.3. Определение параметров типовых ударных воздействий по их амплитудно-частотной характеристике

4.4. Сравнительный анализ метода последовательного выделения экспоненциальных слагаемых для аппроксимаций кривых ползучести и численного метода на основе разностных уравнений

4.5. Определение параметров двумерною эволюционного процесса, наблюдаемого при экспериментальном исследовании ползучести поливинилхлоридного пластиката

4.6. Выводы по главе 4

ГЛАВА 5. РАЗРАБОТКА КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НА

ОСНОВЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

5.1. Описание основных этапов алгоритма вычисления параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений

5.2. Описание основных элементов и интерфейса программы, системы диалоговых и информационных окон

5.3. Выводы по главе 5 241 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 243 СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 245 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 258 ПРИЛОЖЕНИЕ 2 279 ПРИЛОЖЕНИЕ 3 376 ПРИЛОЖЕНИЕ 4 377 ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы определения параметров нелинейных математических моделей на основе стохастических разностных уравнений»

ВВЕДЕНИЕ

Важнейшей проблемой математического моделирования является проблема параметрической идентификации нелинейных систем различной физической природы на основе результатов наблюдений, полученных в ходе научно-технического, промышленного экспериментов или в процессе естественного функционирования системы. Достоверность и оперативность оценок параметров математических моделей существенным образом влияет на эффективность применения этих моделей в научных исследованиях, производственной деятельности, в социальной и экономической сферах, а также при решении задач, связанных с управлением, прогнозированием и т.п.

При использовании математического описания различного рода динамических, эволюционных процессов в форме обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнений математической физики в частных производных, как правило, требуется построение их точных или приближенных решений, представляющих собой нелинейные функциональные зависимости, параметры которых подлежат определению по результатам наблюдений. Например, в машиностроении одной из основных проблем является проблема параметрической идентификации нелинейных диссипативных механических систем в процессе их эксплуатации или прочностных промышленных испытаний. Свободные колебания таких механических систем при диссипативной силе, пропорциональной п- ной степени скорости движения,

описываются уравнением вида: ту'^ + Ьу'^у'^У ' +су(/)= 0 [93]. Это связано с тем, что

результаты различных исследований на конкретных примерах подтверждают непосредственную связь между техническим состоянием механической системы (например, возникновением и развитием микротрещин в деталях, появлением зазоров и люфтов в узлах конструкций, технологическим браком при сборке, недопустимым износом контактирующих поверхностей и т.п.) и её динамическими характеристиками, в том числе показателем нелинейности п рассеяния энергии колебаний системы. Поэтому динамические характеристики диссипативной механической системы идентифицируют как основной диагностический признак её технического состояния, а их достоверная оценка по экспериментально снятой вибро-

грамме свободных колебаний: }>{})=%

1 + (и-1)^вГ1/

2ж

1

' п-\

соз((у/ + у/о), является одной

из основных задач диагностики механических систем.

Другим примером из механики может служить математическое моделирование напряженно-деформированного состояния в упрочненном слое элементов конструкций после

процедуры поверхностного пластического деформирования в условиях ползучести: р = сег'",

сг = сг0(1 + а>), со = асф [101]. В этом случае актуальна задача оценки параметров кривой ползучести разупрочняющегося материала на всех трех стадиях деформации ползучести, в частности параметров а, т и с третьей стадии ползучести, которая описывается функцией вида: р((, сг0) =--!—\п[\-атссгЦ'+1). Также в механике деформируемого твердого тела при

ост <т0

расчете и исследовании полей остаточных напряжений и пластических деформаций одной из основных задач является оценка параметров сг0, сгх и Ь напряженно-деформированного состояния по экспериментальным данным для компоненты напряжений <т^"(/*), возникающих в поверхностно упрочненном слое, аппроксимация которых описывается соотношениями

тег/усу.

аГ(г) = (То СХР

(а-гУ

Ь2

¿а

, ег/(х) = — 1*ехр(-/2)с//.

77" «

Примерами из других областей научных знаний могут служить математические модели в форме логистических функций. Наиболее широко логистические функции используются при описании различных трендов в экономике: изменения спроса и продаж, емкости рынков, цен на товары и т.п. В настоящее время известно более десятка моделей логистической динамики уровней показателя у{(), из которых наиболее распространены нелинейные по параметрам модели Верхулста (Перла-Рида), Гомперца и Рамсея. Логиста вида )'{})= с0[1 + С[ ехр(-а/)]-1 впервые была предложена бельгийским ученым Верхулстом для

моделирования численности населения. Позже эта функция была вновь открыта американским геронтологом Перлом при моделировании процессов роста в биологии. Так простейшая

математическая модель эволюции биологической популяции: — = г

Ш

1-

У_ Ут

у, описывает

изменение численности у популяции во времени в соответствие с логистической функцией

вида

у(()=уп

( \

1 + Ут 1 ехр(- г/)

. Функция Гомпертца .}'(/) = с0 ехр[-С! ехр(- а/)] перво-

начально была предложена для моделирования роста численности населения, как результат

интегрирования дифференциального уравнения — = ау\п—, однако затем её также стали

Л ■ у

использовать страховые компании при расчете стоимости страхования жизни. Некоторым обобщением представленных логистических зависимостей может служить четырех парамет-

рическая модель Берталанфи: = -б'ехр{-Ш

('-"О

которая при т = 2 и в = -су вы-

рождается в функцию Перла-Рида, а при т —> 1 стремится к виду модели Гомпертца [26]. Та-

ким образом, проблема параметрической идентификации нелинейных математических моделей является актуальной для широкого круга задач различной физической природы.

Анализ известных методов параметрической идентификации нелинейных систем по результатам наблюдений позволяет выделить среди них три основные группы. Во-первых, это методы определения параметров нелинейных зависимостей, в которых принципиально отсутствует статистическая обработка результатов эксперимента, а в основе вычисления параметров лежат соотношения и алгоритмы, использующие минимально необходимое число точек эксперимента. Описание таких методов можно найти в работах Я.Г. Пановко, Г.С. Пи-саренко, Ю.П. Самарина, В.Г1. Радченко и др. Вторую группу образуют методы параметрической идентификации, в которых используются стохастические модели временных рядов, в том числе современные методы цифрового спектрального и корреляционного анализа. Эти методы достаточно полно описаны в работах таких ученых как Т.В. Андерсен, Дж. Е.П. Бокс, Д.Г. Ватте, М. Дж. Кендалл, C.J1. Марпл-мл., Р.Л. Кашьяп, А.Р. Pao, П. Эйкхофф, Э. Хеннан, Д. Химмельблау и др. Однако, несмотря на высокую эффективность и широкое распространение, область применения этих методов, как правило, функционально ограничена классом линейных систем и исключает задачи непосредственного оценивания параметров нелинейных математических моделей.

Наиболее близкими к решению задач, принципиально не допускающих линеаризацию математической модели, являются методы нелинейного среднеквадратичного оценивания. В этой группе методов также можно выделить три различных подхода. Первый подход - непосредственный поиск минимума функции нескольких переменных - реализуется градиентным методом, методом сопряженных градиентов, методом Ньютона и др. Более эффективными являются методы, минимизирующие сумму квадратов отклонений с использованием итерационных численных методов решения системы нелинейных уравнений: метод Ньютона-Гаусса, метод Хартли, метод Левенберга-Маркуардга и др. [26, 128]. Также можно выделить методы, в основе которых лежат преобразования, линеаризующие нелинейную зависимость относительно ее параметров (например, применение логарифмирования). Такой подход позволяет эффективно использовать методы линейного регрессионного анализа в матричной форме. Основными недостатками известных методов нелинейного оценивания является требование невысокой степени нелинейности, проблема с выбором начального приближения в итерационной процедуре, медленная сходимость итераций, а в ряде случаев её отсутствие. В частности, сходимость часто отсутствует для зависимости вида

^(c0'ci'a)~co[ciAu" + 0 ~с\)хгк\^а ^ которая описывает производственную функцию с постоянной эластичностью замены [19].

Принципиально иной подход к решению задачи нелинейного оценивания описан в работах В.Е. Зотеева [72]. В основе этого подхода также лежит линеаризация математической модели, но не относительно её параметров, а относительно коэффициентов линейно-параметрической дискретной модели, которая в форме разностного уравнения описывает последовательность значений нелинейной зависимости. Известные соотношения между коэффициентами разностного уравнения и параметрами нелинейной математической модели позволяют свести задачу определение параметров нелинейной зависимости к итерационной процедуре среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейной регрессионной модели. При этом практически решается проблема выбора начального приближения при достаточно высокой скорости сходимости итераций. К достоинствам такого подхода можно отнести универсальность алгоритма среднеквадратичного оценивания для нелинейных математических моделей различного вида. В каждом отдельном случае необходимо построить соответствующее разностное уравнение и описать матрицу преобразования вектора остатков для обобщенной регрессионной модели.

Целью диссертационной работы является построение, исследование и систематизация новых линейно-параметрических дискретных моделей в форме разностных уравнений, разработка на их основе новых численных методов и программных средств для определения параметров нелинейных математических моделей объектов, процессов и явлений различной физической природы.

Для достижения поставленной цели решаются следующие взаимосвязанные научные задачи:

- построение линейно-параметрических дискретных моделей, описывающих в форме разностных уравнений результаты наблюдений, для широкого класса нелинейных математических моделей;

- разработка численного метода определения параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений, обеспечивающего высокую помехозащищенность оценок за счет эффективного использования статистических методов обработки экспериментальных данных;

- численно-аналитические исследования помехозащищенности, сходимости и устойчивости численного метода определения параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений;

- разработка программного обеспечения, реализующего помехозащищенные алгоритмы вычислений параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений.

Объектом исследования являются различные по физической природе объекты, системы или процессы, при параметрической идентификации которых используются нелинейные математические модели, принципиально не допускающие линеаризации.

Предметом исследовании являются линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений, а также численный метод определения параметров нелинейных математических моделей на основе среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностных уравнений.

Научная новизна работы заключается в оригинальности подхода к решению задачи нелинейного среднеквадратичного оценивания. В работе получены следующие новые научные результаты:

- построены и систематизированы новые математические модели в форме разностных уравнений для различных типов одномерных (унитарных, логистических, дробно-рациональных, содержащих гармоническую компоненту и в виде конечных сумм) и двумерных нелинейных функциональных зависимостей, применение которых позволяет повысить точность результатов вычислений;

- разработан новый численный метод определения параметров нелинейных функциональных зависимостей, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, отличающийся от существующих методов использованием матрицы линейного преобразования вектора остатков, что устраняет смещение среднеквадратичных оценок и тем самым повышает их точность;

- разработаны новые численные методы определения параметров типовых ударных воздействий по результатам наблюдений их амплитудно-частотной характеристики и логистических функциональных зависимостей, описывающих эволюционные биологические или экономические процессы, отличающиеся от известных методов применением разностных уравнений и позволяющие минимизировать среднеквадратичное отклонение построенной математической модели от экспериментальных данных;

- разработан и апробирован новый численный метод определения параметров нелинейной аппроксимационной зависимости для кривых ползучести поливинилхлоридного пластиката по совокупности нескольких образцов материала, отличающийся от существующих методов применением среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, описывающего результаты эксперимента, что позволяет повысить точность результатов вычислений;

- разработано программное обеспечение, реализующее разработанные помехозащи-щенные алгоритмы вычислений параметров нелинейных функциональных зависимостей, ко-

торос может быть использовано при обработке результатов экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Научная и практическая значимость работы. Построенные и систематизированные линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений представленное в диссертационной работе многообразие нелинейных функциональных зависимостей, позволяют свести задачу нелинейного оценивания к итерационной процедуре уточнения решений задачи линейного регрессионного анализа. Предлагаемый численный метод определения параметров нелинейной математической модели, в основе которого лежит итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов разностного уравнения, позволяет практически обеспечить максимальную адекватность модели данным эксперимента, и, тем самым, существенно повысить точность вычисления оценок. Разработанный пакет прикладных программ, реализующий в среде визуального и объектно-ориентированного языка программирования под управлением операционной системы Windows помехозащищенные алгоритмы вычислений параметров нелинейных функциональных зависимостей, может быть использован при обработке результатов научно-технических экспериментов и промышленных испытаний систем различной физической природы.

Основные положения, выносимые на защиту:

- линейно-параметрические дискретные модели, описывающие в форме разностных уравнений результаты наблюдений различного рода нелинейных динамических и эволюционных процессов;

- новые структурные соотношения во временной области между результатами наблюдений, коэффициентами разностного уравнения и параметрами нелинейной математической модели;

- численный метод среднеквадратичного оценивания параметров нелинейных функциональных зависимостей на основе разностных уравнений;

- новые результаты численно-аналитических исследований эффективности разработанного численного метода оценивания параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений;

- новый численный метод определения параметров типовых ударных воздействий по результатам наблюдений их амплитудно-частотной характеристики;

- новый численный метод определения параметров логистических функциональных зависимостей на основе разностных уравнений;

- новый численный метод определения параметров нелинейной аппроксимационной зависимости ползучести поливинилхлоридного пластиката по совокупности нескольких об-

разцов материала.

Обоснованность выносимых на защиту научных положений, выводов и рекомендаций, а также достоверность полученных результатов исследований обеспечивается корректным использованием применяемого математического аппарата и вводимых допущений и гипотез; сравнением данных численного расчета с известными аналитическими методами для подтверждения точности результатов вычислений; численно-аналитическими исследованиями на основе имитационного моделирования устойчивости вычислений и анализа помехозащищенности моделей; численно-аналитическими исследованиями адекватности построенных математических моделей экспериментальным данным.

Связь диссертационной работы с планами научных исследований.

Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

-при выполнении проекта Министерства образования и науки РФ (пррект РНП 2.1.1/13944): «Разработка методов решения краевых задач, расчетно-информационная база данных и программный комплекс для оценки релаксации остаточных напряжений при ползучести и сопротивления усталости упрочненных элементов конструкций с концентраторами напряжений» в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)»;

-в учебном процессе ФГБОУ ВПО «Самарский государственный технический университет» в лекционных курсах по дисциплинам: «Численные методы», «Математическое моделирование в машиностроении», «Математические методы обработки экспериментальных данных», «Математические методы прогнозирования», а также в лабораторных, курсовых и выпускных квалификационных работах;

-в опытно-конструкторской работе, выполненной ООО «Специальное Конструктор-ско-Технологическое Бюро «Пластик» (имеется акт внедрения).

Апробация работы.

Результаты исследований по теме диссертационной работы докладывались на Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2006 г.); Втором международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2006 г.); Четвертой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2007 г.); Шестнадцатой Всероссийской конференции молодых ученых (г. Пермь, 2007 г.); Третьем Международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2007 г.); Международной молодежной научной конференции «XXXIV Гагаринские чтения» (г. Москва,

2008 г.); Пятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2008 г); Четвертом международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2008 г.); Седьмой международной конференции «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (г. Ульяновск, 2009 г.); Четвертой Всероссийской научно-технической конференции «Ресурс и диагностика материалов и конструкций» (г. Екатеринбург, 2009 г.); Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.); Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых «Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты» (г. Пермь, 2010 г.); Международной молодежной научной конференции по естественнонаучным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу -творчество молодых» (г. Йошкар-Ола, 2010 г.); Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2010 г.); Тринадцатой международной научной конференции им. академика М. Кравчука (г. Киев, 2010 г.); Международной научно-технической конференции «Информационные, измерительные и управляющие системы» (г. Самара, 2010 г.); Пятом Международном форуме «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2010 г.); Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2011 г.); Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2013 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 29 печатных работ, из них 9 в изданиях из перечня ВАК, получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Личный вклад автора. Работы [41, 50, 52, 56, 57] выполнены самостоятельно, в работах [34-40, 42-44, 46-49, 51, 53-55, 104, 105] диссертанту принадлежит совместная постановка задачи и разработка методов решений, ему лично принадлежит алгоритмизация, реализация методов в виде программного продукта и анализ результатов. В остальных работах [45, 73-75], опубликованных в соавторстве, автору в равной степени принадлежат как постановка задачи, так и результаты выполненных исследований.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, пяти приложений и списка использованных источников, содержащего 146 наименований. Основная часть диссертационной работы содержит 257 страницы машинописного текста, включающего 122 рисунка и 24 таблицы.

ГЛАВА 1

ПРОБЛЕМА ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ И ДОСТОВЕРНОСТИ ОЦЕНОК В ЗАДАЧАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И ПЕРСПЕКТИВЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ

В данной главе проводятся аналитический обзор и анализ эффективности известных методов идентификации нелинейных систем и на основе результатов анализа формулируются научная проблема, цель и задачи диссертации. Рассматриваются перспективы решения задачи повышения адекватности и точности вычисления параметров нелинейных математических моделей на основе линейно-параметрических дискретных моделей. Выделяются основные этапы в разработке новых методов определения параметров нелинейных математических моделей на основе разностных уравнений. Описываются основные типы нелинейных функциональных зависимостей, широко применяемых при математическом моделировании динамических и эволюционных процессов различной физической природы.

1.1. Описание и анализ эффективности известных численных методов определения параметров нелинейных математических моделей по результатам наблюдений

Известно большое число методов идентификации динамических систем. На рис. 1.1 приведена их систематизация [113], позволяющая выделить ниже следующие группы методов.

Метод дифференциальной аппроксимации [113].

Суть метода дифференциальной аппроксимации состоит в сведении задачи оценки неизвестных параметров модели в виде системы дифференциальных уравнений к более простой задаче — определению параметров алгебраической модели.

Для оценки параметров составляют функцию ошибки. В различные моменты времени производят измерение некоторых физически доступных состояний системы, в результате чего измерения представляются в виде скалярного произведения. Затем находят значения неизвестного вектора параметров исходя из критерия минимума так, чтобы он имел минимум по вектору оценочных параметров на некотором интервале времени. Из необходимого условия минимума получают совместные уравнения, из которых определяют составляющие вектора неизвестных параметров.

Систематизация основных методов идентификации динамических систем

Методы

Рис. 1.1. Систематизация методов идентификации 13

Изложенный метод дифференциальной аппроксимации прост в вычислительном отношении, но предполагает отсутствие шумов измерений.

К методам параметрической оптимизации относят [5, 9, 76, 79, 83, 111, 116, 130]:

1) метод наименьших квадратов;

2) обобщенный метод наименьших квадратов или метод марковских оценок;

3) метод максимального правдоподобия;

4) метод байесовских оценок или оценок с минимальным риском.

Эти оценки упорядочены по возрастанию объема исходной информации об объекте. Марковские оценки и оценки по методу наименьших квадратов обладают тем преимуществом, что не требуют или требуют мало априорной информации. Однако в зависимости от точки зрения достоинства метода наименьших квадратов могут превратиться в недостатки, если имеется априорная информация.

При оценивании методом наименьших квадратов предполагается, что динамика объекта может быть аппроксимирована выбранной моделью. При получении Марковских оценок считается также известной ковариационная матрица шума. Для вычисления оценок максимального правдоподобия необходимо знание плотности вероятности измеряемого случайного процесса. Байесовские оценки (или оценки с минимальным риском) требуют знания априорных плотностей вероятности неизвестных параметров и величины штрафа за ошибки. Оценки 1) - 3) можно рассматривать как частные случаи байесовских оценок с меньшим объемом априорной информации. Так выясняется связь между различными типами оценок.

Существо метода байесовских оценок сконцентрировано в формуле Байеса. Данный метод требует большой априорной информации. С одной стороны, дополнительная априорная информация приводит к улучшению оценки, а с другой, затраты на реализацию могут оказаться чрезмерными.

В основе метода максимального правдоподобия лежит оценивание неизвестных параметров путем максимизации функции правдоподобия. Этот метод не всегда приводит к приемлемым результатам, однако в достаточно широком круге практически важных случаев является в известном смысле лучшим.

Марковские оценки и оценки по методу наименьших квадратов получают методами регрессионного анализа. Минимизируя критерий ошибки, получают систему нормальных уравнений для оценивания параметров. Если в эксперименте не все наблюдения имеют одинаковую ценность, то оценивание проводят по взвешенной остаточной сумме квадратов. Такой подход называют обобщенным методом наименьших квадратов. В классическом методе наименьших квадратов все наблюдения в эксперименте имеют одинаковую

ценность, и этот метод является частным случаем обобщенного метода наименьших квадратов. Классический и обобщенный методы наименьших квадратов широко применяются на практике, что объясняется их простотой и легкостью реализации на ЭВМ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романюк, Мария Анатольевна, 2014 год

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Авдонин С.А., Иванов С.А. Управляемость систем с распределенными параметрами и семейства экспонент. - Киев: Изд-во Минвуза Украинской ССР, 1989.-244 с.

2. Алексеев A.A., Имаев Д.Х., Кузьмин H.H., Яковлев В.Б. Теория управления: Учеб./ СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 1999.-435 с.

3. Андерсон Т.В. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. —

756 с.

4. Афанасьев В.Н., Крестникова Д.Г. Идентификация нестационарного объекта методом настраиваемой модели // Нейрокомпьютеры: разработка, применение. - 2009. -№9. - С. 39-46.

5. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. - М.: Статистика, 1979. - 249 с.

6. Бендат Дж., ПирсолА. Применение корреляционного и спектрального анализа. -М.: Высшая школа, 1980.-408 с.

7. Бокс. Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. Вып. 1. — М.: Мир, 1974.-406 с.

8. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. - М.: Машиностроение, 1984.-312 с.

9. Брандт 3. Статистические методы анализа наблюдений.: Пер. с англ. — М.: Мир, 1975.-312 с.

10. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1975. - 568 с.

11. Васильев Ф.П., Иишухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. - М.: Изд-во МГУ, 1989. - 142 с.

12. Вибрации в технике: Справочник: В 6 т. - М.: Машиностроение, т.1 - 1978.— 352 е.; т.2 - 1979. - 351 е.; т.5 - 1981. - 496 с.

13. Воеводин В.В., Кузнегрв Ю.А. Матрицы и вычисления.-М.: Наука, 1984.-320 с.

14. Волков Е.А. Численные методы. - СПб.: Изд-во «Лань», 2004. - 256 с.

15. Вучков И, Бояджиева Л., Солаков О. Прикладной линейный регрессионный анализ. - М.: Финансы и статистика, 1987. - 238 с.

16. Грановский В.А., Сирая Т.Н. Методы обработки экспериментальных данных при измерениях. -Л.: Энергоатомиздат, 1990.-288 с.

17. Троп Д. Методы идентификации систем / Под ред. Е.И. Кринецкого. - М.: Мир, 1979.-302 с.

18. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. - М.: Энергия, 1979.-240 с.

19. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии - М.: Финансы и статистика, 1981.-302 с.

20. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и z-преобразования. -М.: Наука, 1971.-288 с.

21. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. - М.: Мир, вып. 1, 1971, вып. 2, 1972.-318 с.

22. Дмитриев А.Н., Егупов Н.Д. Определение динамических характеристик объектов регулирования из экспериментальных данных // Техническая кибернетика: Теория автомат, регулирования: В 3 кн. / Под ред. В.В. Солодовникова. Кн. 2. - М.: Машиностроение, 1967. С. 93-234.

23. Добровольский A.B. К вопросу о расчете теоретической линии регрессии при обработке статистической информации // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2004. - №2. - С. 85-87.

24. Добрынин С. А., Фельдман М.С., Фирсов Г.И. Методы автоматизированного исследования вибраций машин: Справочник. -М.: Машиностроение, 1987.-224 с.

25. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. - М.: Статистика, 1973.-232 с.

26. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн. 2/Пер. с англ. - 2 изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика. 1987. - 351 с.

27. Жданов А.К, Кацюба O.A. Особенности применения метода наименьших квадратов для оценивания параметров линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления // Автоматика и телемеханика. - 1979. - №8. - С. 86-96.

28. Жданов А.И., Коцюба O.A. Идентификация по методу наименьших квадратов параметров уравнений авторегрессии при аддитивных ошибках измерений // Автоматика и телемеханика. - 1982. -№2. - С. 29-38.

29. Жданов А.И. О приближенных стохастических системах линейных алгебраических уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1989. - Т. 29, №12.- С. 1776-1787.

30. Жданов А.И. Вычисление регуляризованных оценок наименьших квадратов по неточным данным // Автоматика и телемеханика. - 1990. -№3. — С. 110-117.

31. Жданов А.И., Шалшров П.А. Прямой проекционный метод в задаче полных наименьших квадратов // Автоматика и телемеханика. - 2000. -№4. - С. 77-87.

32. Жданов А.И. Регуляризация неустойчивых конечномерных линейных задач на основе расширенных систем // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2005. - Т. 45.-№11. -С.1918-1926.

33. Закс Л. Статистическое оценивание. - М.: Статистика, 1976. - 598 с.

34. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Метод последовательных приближений при среднеквадратичном оценивании параметров переходного процесса // Математическое моделирование. Труды Третьей Всероссийской научной конференции. Часть 2. - Самара: Сам-ГТУ, 2006. - С.72-78.

35. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров линейной динамической системы по экспериментальным данным процесса // Актуальные проблемы современной науки: Труды 2-го Международного форума (7-й Международ, конф. молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2006. - С.54-59.

36. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение постоянной времени последовательной активно-емкостной цепи на основе стохастического разностного уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: 2006. - Том 13. Вып. 5. - С. 906-907.

37. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Помехозащищенный метод параметрической идентификации линейной динамической системы по ее импульсной характеристике // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: 2007. - Том 14. Вып. 2. - С. 299-300.

38. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Применение стохастических разностных уравнений в задаче параметрической идентификации линейной динамической системы // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Четвертой Всероссийской научной конференции. Часть 4. - Самара: СамГТУ, 2007. - С.54-58.

39. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение диссипативных характеристик механической системы с конечным числом степеней свободы на основе стохастических разностных уравнений колебаний // В сб.: Математическое моделирование в естественных нау-

ках. Тезисы докладов 16-ой Всероссийской конференции молодых учёных.- Пермь: Изд-во Пермского гос. техн. ун-та, 2007. - С. 43.

40. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы при кратных корнях характеристического уравнения // В сб.: Актуальные проблемы современной науки: Труды 3-го Международного форума (8-й Международ. конф. молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1-2: Математика. Математическое моделирование. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2007. -С.113-120.

41. Заусаева М.А. Параметрическая идентификация динамических систем при кратных корнях характеристического уравнения // XXXIV Гагаринские чтения: Международная молодежная научная конференция. Научные труды в 8 томах. Том 1. - Москва, 2008.-С 132-133.

42. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация типовых ударных воздействий по их амплитудно-частотной характеристике // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Пятой Всероссийской научной конференции. Часть 5. - Самара: СамГТУ, 2008. - С.58-64.

43. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Разработка и применение стохастических разностных уравнений для систем с кратными корнями характеристического уравнения // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 15. Вып. 2. - М.: 2008. - С.300.

44. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров испытательных импульсов на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2008. - №2(17). - С.262-267.

45. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Исследование смещения среднеквадратичных оценок коэффициентов разностного уравнения линейной динамической системы // В сб.: Актуальные проблемы современной науки: Труды 4-го Международного форума (9-й Международ. конф. молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2008. - С. 113-120.

46. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация испытательных импульсов по их амплитудному спектру // В сб.: Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов: Труды седьмой международной конференции (Ульяновск, 2-5.02.2009). - Ульяновск: УлГУ, 2009. - С. 111.

47. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Разработка и исследование методов оценки параметров испытательных импульсов для задач диагностики механической системы // В сб.:

Ресурс и диагностика материалов и конструкций: Тезисы IV Всероссийской научно-технической конференции (г. Екатеринбург, 26-28 мая 2009 г.) ИМАШ УрОРАН, 2009. -С. 120.

48. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров систем, описываемых уравнением Эйлера, на основе стохастических разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2009. - №2( 19). - С. 160-167.

49. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация систем, описываемых дифференциальным уравнением Эйлера // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Шестой Всероссийской научной конференции. Часть 4. - Самара: СамГТУ, 2009. -С.54-61.

50. Заусаева М.А. Параметрическая идентификация пространственно-временных процессов на основе двумерных разностных схем // Современные проблемы математики и ее прикладные аспекты. Материалы всероссийской научно-практической конференции молодых ученых. - Пермь, 2010. - С. 106.

51. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров двумерных динамических процессов на основе разностных схем // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2010. - №1(20). - С. 154161.

52. Заусаева М.А. Разработка и исследование метода определения параметров двумерных динамических процессов на основе линейно-параметрических дискретных моделей // В сб.: Международная молодежная научная конференция по естественнонаучным и техническим дисциплинам «Научному прогрессу - творчество молодых». В 3 ч. - Ч. 1. — Йошкар-Ола: Марийский государственный технический университет, 2010. -328 с.

53. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Повышение эффективности численного метода параметрической идентификации двумерных динамических процессов // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Седьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 4. - Самара: СамГТУ.- 2010.-С.65-71.

54. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Численный метод параметрической идентификации двумерных динамических процессов на основе разностных схем // В сб.: Тринадцатая Международная научная конференция им. академика М. Кравчука. 13-15 мая 2010 г. Материалы конференции И.-Киев,2010.-С. 124.

55. Заусаева М.А., Зотеев В.Е. Определение параметров логистической функции Рамсея на основе разностных уравнений // В сб.: Информационные, измерительные и управляющие системы (ИИУС-2010): Материалы Международной научно-технической конференции. 17-21 мая 2010 г. Самар. гос. техн. ун-т. - Самара, 2010. - С. 299-304.

56. Заусаева М.А. Численный метод параметрической идентификации логистической функции Рамсея на основе стохастических разностных уравнений // В сб.: Актуальные проблемы современной науки: Труды 5-го Международного форума (10-й Международ. конф. молодых ученых и студентов). Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. - Самара: Изд-во СамГТУ, 2010. - С.95-102.

57. Заусаева М.А. Параметрическая идентификация унитарных функциональных зависимостей // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Восьмой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. - Самара: СамГТУ, 2011.-С. 159-165.

58. Зотеев В.Е. Идентификация диссипативных и жесткостных характеристик механических систем на основе линейных дискретных моделей // Надежность и неупругое деформирование конструкций: Сб. научн. тр./ Куйбышев.политехн.ин-т. - Куйбышев: КПтИ, 1990.-С. 152-159.

59. Зотеев В.Е. Устойчивость алгоритмов идентификации нелинейных диссипативных систем на основе авторегрессионных моделей. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды шестой межвуз. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. / Инж. акад. РФ, СамГТУ.-Самара: СамГТУ, 1996.-С. 151-153.

60. Зотеев В.Е. Исследование устойчивости авторегрессионных моделей колебаний систем с линейно вязким и турбулентным трением. // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. -2003. -№ 19.-С.53-58.

61. Зотеев В.Е. Повышение устойчивости вычислений динамических характеристик систем с линейно вязким трением // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всерос. науч. конф. Часть 2: Сб. научн. тр. - Самара: СамГТУ, 2004. - С. 103106.

62. Зотеев В.Е. Обобщение метода наименьших квадратов при вычислении коэффициентов линейно параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. -Т. 11. Вып. 4.-С. 818-819.

63. Зотеев В.Е. Повышение точности среднеквадратичных оценок коэффициентов линейно параметрических дискретных моделей колебаний систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2004. - № 30. - С. 194-197.

64. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения колебания систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ,-мат. науки. - 2005. - № 38. - С. 100-109.

65. Зотеев В.Е. Разработка и исследование эффективности итерационных методов среднеквадратичного оценивания коэффициентов линейно параметрической дискретной модели колебаний систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2005. -Т. 12, вып. 2. - С. 372.

66. Зотеев В.Е. Итерационный метод среднеквадратичного оценивания параметров корреляционной функции распределения случайного поля неупругой реологической деформации // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ - мат. науки. - 2006. - № 42. - С. 123-134.

67. Зотеев В.Е. Помехозащищенный метод определения параметров линейной динамической системы на основе импульсной характеристики // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия физ.-мат. науки. - 2007. - № 1(14). -С. 138-142.

68. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация линейной динамической системы на основе стохастических разностных уравнений // Матем. моделирование. - 2008. -Т. 20, №9.-С. 120-128.

69. Зотеев В.Е., Иранова A.A. Повышение устойчивости среднеквадратичного оценивания коэффициентов стохастического разностного уравнения для систем с турбулентным трением // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 2.-С. 302.

70. Зотеев В.Е. Исследование сходимости итерационной процедуры вычисления коэффициентов разностного уравнения / В сб.: Труды Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 4: Информационные технологии в математическом моделировании / Матеем. моделирование и краев, задачи. - Самара: СамГТУ, 2009. - С. 47-54.

71. Зотеев В.Е. Линейно-параметрические дискретные модели в форме разностных уравнений в задачах идентификации диссипативных механических систем: дис. доктор техн. наук: 05.13.18: защищена 28.12.09: утв. 17.09.10. - С., 2009.-400 с.

72. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений / Под ред. Радченко В.П. - М.: Машиностроение, 2009.-344 с.

73. Зотеев В.Е., Заусаева М.А., Егорова А.А. Параметрическая идентификация дифференциальных операторов для систем с турбулентным трением на основе разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2010. - №5(21). - С. 132-140.

74. Зотеев В.Е., Романюк М.А., Егорова А.А. Проблема сходимости итерационной процедуры в задаче параметрической идентификации систем с турбулентным трением // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки.-2011.-№3(24).-С. 108-115.

75. Зотеев В.Е., Романюк М.А. Параметрическая идентификация математических моделей в форме дробно-рациональных зависимостей на основе разностных уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - 2012. -№3(28). - С. 102-112.

76. Калинина В.Н., Соловьев В.И. Введение в многомерный статистический анализ: Учебное пособие. - М.: ГУУ, 2003. - 66 с.

77. Кармалита В.А. Цифровая обработка случайных колебаний. - М.: Машиностроение, 1986. - 80 с.

78. Кашьяп Р.Л., Pao А.Р. Построение динамических стохастических моделей по экспериментальным данным. - М.: Наука, 1983 - 384 с.

79. Кей С.М., Марпл-мл. С.Л. Современные методы спектрального анализа: Обзор. ТИИЭР. - Т. 69, - № 11. - 1981. - С. 5-51.

80. Кендалл М., Стыоарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. - М.: Наука, 1976. - 376 с.

81. Коваленко Л.В., Попов Н.Н., Радченко В.П. Решение плоской стохастической краевой задачи ползучести / В сб.: т. 73, №6 / ПММ. - М., 2009. - С. 1009-1016.

82. Коробов В.И., Скляр Г.М. Мин-проблема моментов Маркова и быстродействие. Сибирский матем. журнал. - 1991. - Т. 32, №1. - С. 60-71.

83. Крянев А.В. Применение современных методов математической статистики при восстановлении регрессионной зависимости на ЭВМ. - М.: МИФИ, 1988. - 79 с.

84. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул. -М.: Высш. шк., 1988.-239 с.

85. Лыонг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя: Пер. с англ. / Под ред. Я.З. Цыпкина. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1991.-432 с.

86. Mapwi-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ.-М.: Мир, 1990.-584 с.

87. Мелешпъев B.C. Методы и средства измерения параметров электрических цепей на постоянном токе. - Самара: СамГТУ, 2004. - 120 с.

88. Методы классической и современной теории автоматического управления. Учебник в 3-х тт. Т 2: Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Пупкова К.А., Егупова Н.Д. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.-736 с.

89. Найфэ А. Введение в методы возмущений: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. -

535 с.

90. Отнес Р., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. - М.: Мир, 1982. - 428 с.

91. Павлов В.Д., Семенычев В.К. Экономическое моделирование многокомпонентных рядов динамики с использованием логисты Рамсея // Материалы Пятой Всероссийской научно-практической конференции «Электронный бизнес: проблемы, развитие и перспективы». - Воронеж, 2006. - С. 125-131.

92. Павлов В.Д. Программный комплекс, методы моделирования и прогнозирования многокомпонентных моделей динамических рядов с использованием функции Рамсея: автореф. дис. канд. тех. наук. - Самара, 2009. - 19 с.

93. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. — Изд. 5, Либро-ком, 2010.-272 с.

94. Писаренко Г.С., Матвеев В.А., Яковлев А.П. Методы определения характеристик колебаний упругих систем. - Киев: Наук, думка, 1976. - 88 с.

95. Попова Д.Н., Зотеев В.Е. Разработка и исследование линейно-параметрической дискретной модели амплитудно-частотной характеристики механиче-

ской системы с линейно-вязким трением // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2007. - №2( 15). - С. 179-182.

96. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2002.-496 с.

97. Пустыльник Е.И. Статистические методы анализа и обработки наблюдений. — М.: Наука.- 1968.-288 с.

98. Радченко В. П., Голудин Е.П. Феноменологическая стохастическая модель изотермической ползучести поливинилхлоридного пластиката / В сб.: Серия физико-математические науки №1 (16) / Вестник самарского государственного технического университета. - Самара: СамГТУ, - 2008. - С. 45-52.

99. Радченко В. П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушение материалов и элементов конструкций. - М.: Машиностроение-1, 2004. - С. 265.

100. Радченко В.П., Попов H.H. Нелинейная стохастическая задача ползучести неоднородной плоскости с учетом поврежденности материала / В сб.: т. 49, №3 / ПМТФ. -2007.-С. 140-146.

101. Радченко В.П., Саушкин М.Н. Ползучесть и релаксация остаточных напряжений в упрочненных конструкциях - М.: Машиностроение-1, 2005. - 226 с.

102. Райбман Н.С., Чадаев В.М. Построение моделей процессов производства. -М.: Энергия, 1975.-374 с.

103. Pao С.Р. Линейные статистические методы и их применение. — М.: Наука, 1968.-547 с.

104. Романюк М.А., Зотеев В.Е. Комплекс программ для обработки экспериментальных данных в задачах определения характеристик нелинейности математических моделей на основе разностных уравнений. ИНИПИ РАО ОФЭРНиО. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №19275 от 10.06.2013. URL: http://ofernio.ru/portal/search_rto5.php.

105. Романюк М.А., Зотеев В.Е. Применение разностных уравнений в задаче определения параметров экспоненциальных математических моделей с переменным коэффициентом // В сб.: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Девятой Всероссийской научной конференции с международным участием. Часть 2. - Самара: СамГТУ, -2013. - С. 127-132.

106. Самарин Ю.П. Построение экспоненциальных аппроксимаций для кривых ползучести методом последовательного выделения экспоненциальных слагаемых. Проблемы прочности. - 1974, №9. - С 24-27.

107. Самарин Ю.П. Описание деформирования реономных материалов методами теории управления. - Куйбышев: Куйбышевский политехнический институт, 1976, -135 с.

108. Самарин Ю.П. Уравнения состояния материалов со сложными реологическими свойствами. / Ю.П. Самарин. - Куйбышев: Куйбышевский госуниверситет, 1979, -84 с.

109. Самарин Ю.П., Павлова Г.А. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособ. -Самара: Самарский гос. техн. ун-т. -2004. -217 с.

110. СеберДэю. Линейный регрессионный анализ. - М.: Мир, 1980.-456 с.

111. Семенов А.Д., Артамонов Д.В., Брюхачев A.B. Идентификация объектов управления: Учебное пособие. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003. - 211 с.

112. Семёнычев В.К. Идентификация экономической динамики на основе моделей авторегрессии. - Самара: AHO «Изд-во СНЦ РАН», 2004. - 243 с.

113. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев A.B. Теория автоматического управления техническими системами - М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993,493 с.

114. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. A.A. Крассов-ского. - Москва, изд. «Наука». Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 712 с.

115. Справочное пособие по теории автоматического регулирования и управления / Под общ. ред. Е.А. Санковского. - Мн., «Вышэйшая школа», 1973. - 584 с.

116. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления / Перевод с англ. под ред. Я.З. Цыпкина. - М.: Наука, 1985. - 296 с.

117. Сухомлинов Л.Г., Сухомлинов Г.Л. Неявный итерационный алгоритм численного решения задач динамики с нелинейностями типа кулоновского трения // Известия вузов. Машиностроение. - 1998. -№4-6. - С. 5-8.

118. Сухомлинов Г.Л. Вычислительная модель для исследования вынужденных колебаний упругих систем при больших значениях сил трения // Известия вузов. Машиностроение. -2002. -№4. -С. 7-14.

119. Сухомлинов Г.Л., Михайлова В.Л. Итерационная процедура численного решения задач динамики, учитывающая скачкообразное изменение значений сил трения при переходе от покоя к скольжению // Известия вузов. Машиностроение. - 2003. - №3. -С. 15-22.

120. ТондлА. Автоколебания механических систем. - М.: Мир, 1979. -434 с.

121. ТурчакЛ.И. Основы численных методов.-М.: Наука, 1987.-320 с.

122. Тырсин А.Н. Идентификация зависимостей на основе моделей авторегрессии // Автометрия. -2005. - Т. 41. - №1. - С. 43-49.

123. Тырсин А.Н. Построение моделей авторегрессии временных рядов при наличии помех // Математическое моделирование. - 2005. - Т. 17. - № 1. - С. 10-16.

124. Устойчивые статистические методы оценки данных // Под ред. JT.P. Лонера, Г.Н. Уилкинсона. - М.: Машиностроение, 1984. - 232 с.

125. Фельбаум А.А. Основы теории оптимальных автоматических систем. — М: Наука, 1966.-552 с.

126. Хеннан Э. Анализ временных рядов / Пер. с англ. Под ред. Ю.А. Розанова. -М.: наука, 1964.-214 с.

127. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами / Пер. с англ. Под ред. В.Г. Горского. - М.: Мир, 1973. - 957 с.

128. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1977.-200 с.

129. Штейнберг Ш.Е. Идентификация в системах управления. - М.: Энергоатом-издат., 1987.-80 с.

130. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния.-М.: Мир, 1975.-241 с.

131. Avdonin S.A., Ivanov S.A. Families of Exponentials. The Method of Moments in Controllability Problems for Distributed Parameter Systems. Gambridge University Press. 1995.

132. Bekey G.A., McGee R.B. Gradient Methods for the Optimization of Dynamic System Parameters by Hybrid Computation, in Computing Methods in Optimization Problems Balakrishnan, Neustadt, eds., Academic Press, N.Y., 1964, pp. 305-327.

133. Box M.J., Davies D., Swann W.H. Non-linear Optimization Techniques, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1969.

134. Davies O.L. Design and analysis of Industrial Experiments. - Edinburgh: Oliver and Boyd, 1954.

135. Dixon L.C. W. Nonlinear Optimization, English Uhiv. Press, London, 1972.

136. Hartley H.O. The modified Gauss-Newton method for the fitting of non-linear regression function by least squares. - Technometrics, 1961, v. 3, №2.

137. Kowalik J., Osborne M.R. Methods for Unconstrained Optimization Problems, American Elsevier Publ. Co., N.Y., 1968.

138. Krabs W. On moment theory and controllability of one-dimensional vibrating systems and heating processes. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1992.

139. Levenberg K. A method for the solution of certain non-linear problems in least squares, - Quarterly of Applied Mathematics, 1944, v. 2, №2.

140. Marquardt D. W. An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters. - Journal of the Society for Industrial and Applied Mathemetics, 1963, 2, p. 431 -441.

141. Powell M.J.D. A Survey of Numerical Hethods for Unconstrined Optimization, SI AM Review, 12, 1970.

142. Van Blaricum M.L. A review of Prony's method techniques for parameter estimation, in Proc. Rome Air Development Center Spectrum Estimation Workshop, Griffis Air Force Base, May 24-26, 1978. pp. 125-139.

143. Van Blaricum M.L. and Mittra R. Problems and solutions associated with Prony's method for processing transient data, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-26, pp. 174-182, Jan. 1978.

144. Van Blaricum M.L. and Mittra R. Correction to Problems and solutions associated with Prony's method for processing transient data, IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP -28, p. 949, Nov. 1980.

145. White R. A Survey of Random Methods for Parameter Optimization, Rep. EE Dept., Univ. of Technology, Eindhoven, Netherlands, 1970.

146. Wilde D.J., Beightler C.S. Foundation of Optimization, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J., 1967.