Численные методы решения начальной и краевой задач для функционально-дифференциальных уравнений и их компьютерное моделирование тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Онегова, Ольга Васильевна

• Онегова, Ольга Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Онегова, Ольга Васильевна

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. МЕТОДЫ ТИПА РУНГЕ-КУТТЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

1.1. Постановка задачи. Основные понятия и определения

1.2. Общее описание явных методов типа Рунге-Кутты для

ФДУ и теорема о сходимости.

1.3. Примеры методов.

1.4. Численные эксперименты.

1.5. Практическая оценка погрешности. Автоматический выбор шага.

Глава 2. ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

2.1. Назначение и структура пакета TIME-DELAY SYSTEM

TOOLBOX.

2.2. Компьютерное моделирование нелинейных систем с запаздыванием

2.3. Моделирование систем специального вида.

2.4. Исследование колебаний токоприемника движущегося локомотива.

2.5. Задача управления регулятором гирорамы с запаздыванием

Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.1. Постановка задачи. Метод нелинейной прогонки

3.2. Метод нелинейной прогонки с выделением лилейного слагаемого.

3.3. Метод стрельбы

3.4. Численные эксперименты.

Глава 4. МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННОГО

РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ

СИСТЕМ ФДУ

4.1. Постановка задачи. Метод суперпозиции.

4.2. Метод ортогонализации.

4.3. Случай постоянных запаздываний.

4.4. Численные эксперименты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения начальной и краевой задач для функционально-дифференциальных уравнений и их компьютерное моделирование»

Многие свойства реальных объектов определяются эффектом последействия, состоящего в том, что дальнейшее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого, т.е. от его предыстории. Кроме того, многие задачи вообще теряют смысл, если не рассматривается зависимость от прошлого. Моделировать такие процессы позволяют функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ), называемые также уравнениями с запаздыванием или уравнениями с последействием.

Системы с последействием получили значительные приложения в таких областях, как, например, механика и техника, биология, медицина, экономика. Так, в механике модели с последействием используются для описания напряженно-деформированного состояния ряда материалов. Иным кругом задал, в которых применяются такие уравнения, являются задачи управления механическими объектами при помощи регуляторов, зависящих от всей предшествующей траектории. В биологических системах эволюция связана с такими длительными процессами, как размножение, развитие или вымирание, поэтому существенно зависит от предыстории.

Возникновение подобных систем, связанных с эффектом последействия, потребовало развития соответствующей теории, которая активно развивалась такими математиками как Н.В. Азбелев, Г.А. Каменский, В.Б. Колмаиовский, Н.Н. Красовский, А.В. Кряжимский, А.Б. Куржаиский, Г.И. Марчук, А.Д. Мышкис, В.Р. Носов, С.Б. Нор-кин, Ю.С. Осипов, JI.C. Понтрягин, С.II. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, C.II.T. Baker, Н.Т. Banks, R. Bellman, K.L. Cooke, R.D. Driver, J.K. Hale, V. Lakshmikantam, V. Volterra и многими другими.

Полученные в этой области фундаментальные результаты сформировали качественную теорию дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вместе с тем, точное решение подобных систем аналитическими методами удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительными средствами является особенно актуальной.

Для получения численного решеиия уравнений с последействием существуют различные методы. Прежде всего, дифференциальные уравнения с постоянным запаздыванием могут быть сведены к обыкновенному дифференциальному уравнению методом шагов [76]. Во многих работах для получения решения существенно используется структура конкретного уравнения, см. обзоры [72, 90, 86]. В теоретическом плане очень эффективен функциональный подход [43, 71]. Для практической разработки численных алгоритмов хорошо себя зарекомендовала методика, основанная на идеях разделения конечномерной и бесконечномерной фазовых составляющих, интерполяции с заданными свойствами и использовании специальной техники (г-гладкого анализа) вычисления производных функционала правой части ФДУ, предложенных в работах [39, 58, 128]. Эта методика позволяет создавать численные методы, являющиеся полными аналогами методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

В данной работе рассматриваются способы решения начальных и краевых задач для ФДУ, полученные на базе данного подхода. Разработанные методы реализованы в виде пакета прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач моделирования систем с запаздыванием. В частности, в диссертации рассматриваются задача исследования колебаний токоприемника движущегося локомотива и задача управления регулятором гирорамы с запаздыванием.

По сравнению с другими разделами теории функционально-дифференциальных уравнений, теория краевых задач для этих уравнений в настоящее время еще не достигла своего завершения, за исключением теории линейных краевых задач второго порядка [32]. Краевые задачи для ФДУ возникают, например, при исследовании вариационных задач и задач оптимального управления систем с последействием, а также ряда других прикладных задач. В данном исследовании предлагаются численные алгоритмы решения нелинейной краевой задачи для ФДУ второго порядка, основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной составляющей. Рассматриваются также численные методы решения краевых задач для линейной системы ФДУ.

Работа имеет следующую структуру. В главе 1 представлены алгоритмы численного решения начальной задачи для уравнений с последействием. Рассматривается система функционально-дифференциальных уравнений x{t) =f(t,x(t),xt(-)) (0.1) с начальными условиями x(to)=xQ, (0.2) = y°W, -r<s<0. (0.3)

Особенностью этой системы является то, что конечномерная и бесконечномерная составляющие фазового вектора отделены, в отличие от обычно рассматриваемых систем.

В разделе 1.1 приводятся основные предположения о системе. На систему (0.1)-(0.3) накладываются условия (непрерывность по сдвигу и липшицевость по второму и третьему аргументам функционала правой части системы (0.1)), обеспечивающие существование и единственность решения данной задачи.

В разделе 1.2 представлено общее описание явных методов типа Рунге-Кутты с равномерным шагом для функционально-дифференциальных уравнений.

В данной работе рассматривается интерполяция функциями, кусочно составленными из многочленов р-й степени, где р - произвольное натуральное число. Экстраполяция проводится продолжением интерполяционного многочлена р-н степени.

Приводится теорема о том, что порядок сходимости метода зависит от порядка интерполяции, экстраполяции и порядка невязки. Доказательство данного положения было получено В. Г. Пименовым и А. В. Кимом и приведено, например, в [58, 39].

Автором данной диссертационной работы проведено исследование явных методов типа Рунге-Кутты при различных параметрах метода и различных способах интерполяции и экстраполяции. Результаты представлены в разделе 1.3.

Построена простейшая модель, имеющая первый порядок сходимости - метод Эйлера с интерполяцией предыстории модели с помощью кусочно-постоянных функций (продолжение вправо).

Исследуется порядок метод Эйлера с пересчетом при различных способах интерполяции и экстраполяции: а) кусочно-постоянной интерполяции и экстраполяции предыстории; б) интерполяции и экстраполяции ломаными; в) интерполяции ломаными и экстраполяции по методу Эйлера.

Построены примеры методов более высокого порядка.

В разделе 1.4 представлены результаты проведенных автором численных экспериментов. Экспериментально подтверждаются выводы о порядке сходимости описанных в разделе 1.3 методов с постоянным шагом, для тестовых примеров с известным точным решением исследуется погрешность методов. Рассматриваются некоторые примеры, аналитическое решение которых не известно.

В таких случаях актуальным становится вопрос о практической оценке погрешности, который обсуждается в разделе 1.5. Для оценки погрешности можно использовать метод Рунге и, так называемые, вложенные методы.

Материалы разделов 1.3-1.5 были представлены автором на 30-й Региональной молодежной конференции 25-29 января 1999 г. [55].

Глава 2 посвящена описанию пакета прикладных программ TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX и его применению в моделировании и исследовании систем с запаздыванием.

Группой разработчиков в составе А.В. Кима, В.Г. Пименова, А.Б. Ложникова и автора данной работы, а также специалистами из Сеульского национального университета (Южная Корея), был создан набор прикладных программ, который является инструментарием к пакету MATLAB.

В разделе 2.1 описываются некоторые отличительные особенности системы MATLAB, описывается структура и назначение пакета.

Главный раздел пакета Numerical algorithms реализован на базе вложенных методов Рунге-Кутты-Фельберга с автоматическим выбором шага с добавлением процедуры интерполяции и экстраполяции.

Основные программы dde45, spline3, ydelay, intl, int2 нахождения численного решения ФДУ произвольного вида написаны автором данной работы и, совместно с другими создателями, были представлены на различных конференциях в России и за рубежом [125, 126, 40, 136, 117].

Полное описание пакета опубликовано в монографии [137].

В разделе 2.2 описываются параметры, необходимые для компьютерного моделирования нелинейных систем с запаздыванием общего вида (0.1)-(0.3), представлены предназначенные для этого программы, приведены примеры моделирования систем с запаздыванием различного вида.

Достаточно часто в инженерных задачах возникают только линейные системы с запаздыванием. В пакете предусмотрено моделирование систем вида к x{t) = A0(t) x{t) + £ Ai{t) x(t - 7i(*))+ i=i 0 j F(t,s)x{t + s)ds + B(t). (0.4)

-Tk+l(t)

Моделирование подобных и некоторых других систем описано в разделе 2.3.

Применение программ пакета продемонстрировано в разделе 2.4 на примере исследования колебаний токоприемника движущегося локомотива. Данная задача была решена Б.Г. Гребенщиковым совместно с автором диссертации. Результаты опубликованы в работе [15] и представлены на конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в 1999 г. [14].

Ряд программ предназначен для решения некоторых задач управления системами, содержащими запаздывание в фазовых координатах или управляющих параметрах.

В разделе 2.5 рассматривается трехстепенный гироскоп в карда-новом подвесе, применяемый для измерения углов поворота движущегося объекта. Для устранения помех на внешнюю раму прибора можно установить двигатель, усилия которого передаются по некоторому каналу связи с запаздыванием. Задача состоит в приведении состояния гирорамы в положение, близкое к невозму[ценному, при минимальном расходе ресурсов энергии двигателя.

Задача исследовалась В.Г. Пименовым совместно с автором данной диссертационной работы, численно было найдено оптимальное управление данной системой. Результаты были представлены на конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач" [61].

Глава 3 посвящена численным алгоритмам решения нелинейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка. При исследовании краевых задач даже для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), возникают трудности при решении вопросов существования, единственности решения, его непрерывной зависимости от начальных данных, а также построения эффективных численных методов для отыскания приближенного решения. Важность изучения краевых задач для систем с запаздыванием и дополнительные трудности, возникающие при их рассмотрении, отмечены в обзоре [51]. В настоящее время для уравнений с запаздыванием среди численных методов разработан метод коллокации [68]. Для уравнений вольтеррового типа метод стрельбы изучался в [20]. Методы решения линейной краевой задачи второго порядка с отклоняющимся аргументом, в том числе и численные методы, исследовались в [27, 28, 30, 32].

В данной работе для численного решения краевых задач ФДУ предложен метод, соответствующий методу нелинейной прогонки для ОДУ. Изучены вопросы сходимости этого метода. Сам факт сходимости определяется константами Липшица правой части ФДУ. Приведены примеры, иллюстрирующие возможность как сходимости, так и отсутствия сходимости метода нелинейной прогонки. Предложена модификация метода нелинейной прогонки с выделением линейной части для усиления диагонального преобладания в возникающих системах с трехдиагоналыгой матрицей. Рассмотрена также методика решения краевых задач методом стрельбы, когда исходная краевая задача сводится к двум начальным задачам, для решения которых применяются численные методы [39], основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной фазовой составляющей. Эта идея позволяет путем добавления процедуры интерполяции с заданными свойствами адаптировать методы, известные для ОДУ, на случай ФДУ [60].

Рассматривается уравнение x(t) = f(t,x(t),xt(-)) (0.5) с краевыми условиями х(а) = а, х(Ь) = /3

0.6) (0.7)

В разделе 3.1 дана постановка задачи нахождения численного решения системы (0.5) - (0.7), описан метод нелинейной прогонки, доказана теорема сходимости метода при определенных условиях.

В разделе 3.2 предлагается модификация метода нелинейной прогонки, состоящая в выделении линейной части в правой части уравнения:

В отличие от метода нелинейной прогонки, описанном в п.3.1, где сходимость зависит от констант Липшица, в методе с выделением линейной части можно добиться сходимости независимо от величины констант Липшица.

В разделе 3.3 предлагается методика решения краевой задачи для ФДУ методом стрельбы. При этом краевая задача (0.5)-(0.7) сводится к решению двух задача Коши для функционально-дифференциальных уравнений второго порядка.

В разделе 3.4 приводятся примеры численного решения краевой задачи описанными методами. Рассмотрены примеры, иллюстрирующие сходимость методов. Приводится пример, когда метод прогонки в первом варианте не сходится к точному решению, но при использовании модифицированного метода, когда в правой части выделяется линейное слагаемое, метод сходится.

Результаты главы 3 опубликованы в работе [54], а также представлены на конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002) [56], " Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002) [63].

В главе 4 рассматривается краевая задача для линейных систем ФДУ. Для решения краевой задачи в случае системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений существует достаточное количество численных методов, представленных, например, в обзоре [72].

Среди них можно отметить методы, основанные на разностной аппроксимации, такие как метод ортогональной прогонки, метод соp(t)x(t) + f(t1x(t),xt(-)).

0.8) пряженных уравнений, метод разностной прогонки [47], вариационные методы - метод коллокации, метод Ритца, метод Галеркина, метод моментов, которые применимы и для нелинейных систем ОДУ [47, 72], метод, основанный на идее суперпозиции и его модификации [12, 47, 101] и другие. Однако большинство из них сводится к интегрированию в обратном времени и для функционально-дифференциальных уравнений непримелемы.

Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений второго порядка рассматривались в работах [27, 28, 30, 32]. Численные методы решения краевых задач для линейных систем ФДУ автору не известны.

В 4 главе рассматривается система линейных ФДУ

В разделе 4.1 описывается метод суперпозиции, основанный на представлении решения исходной системы в виде линейной комбинации частного решения неоднородной задачи и линейно независимых решений однородной задачи. Этот естественный и простой метод, адаптированный для систем ФДУ, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений не всегда применим. Это связано с тем, что система для нахождения коэффициентов линейной комбинации часто бывает плохо обусловлена.

Для преодоления этого эффекта предлагается использовать процедуру ортогонализации, описанную в разделе 4.2.

В разделе 4.3 выписаны явные формулы для нахождения решения в случае системы с постоянными коэффициентами. В разделе 4.4 представлены результаты численных экспериментов. с краевыми условиями первого рода x,i(b) = Д, i = к + 1,.,п.

Xi(a) = а-и г =

0.10) (0.11)

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Онегова, Ольга Васильевна, 2002 год

1. Азбелев 1.. В. Максимов В.П. Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М. Наука. 1991. 280 с.

2. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. М. Высшая школа. 1989. 264 с.

3. Андреева Е.А., Колмаповский В.Б., Шайхегп Л.Е. Управление системами с последействием. М. Наука. 1992. 336 с.

4. Арушаняи О. В., Залегпкин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. М. МГУ. 1990. 336 с.

5. Бабушка И., Витисек Э. Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1969, 368 с.

6. Бахвалов Н.С. Численные методы. М. Наука. 1973. 632 с.

7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М. Мир. 1967. 548 с.

8. БочаровГ.А., Марчук Г.И. Прикладные проблемы математического моделирования в иммунологии // ЖВМ. 2000. Т. 40. N 12. С. 1905 1920.

9. Брыкалов С. А. Априорные оц( нки и разрешимость задач с нелинейными функциональными краевыми условиями // Дифферент уравнения. 1999. Т. 35. 7. С. 874 881.

10. Брыкалов С. А. Разрешимость задач с монотонными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. 5. С. 744-750.

11. Волътерра В. Математическая теория борьбы за существование. М. Наука. 1976. 286 с.

12. Годунов С. К. Обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: Учебное пособие. Новосибирск: Изд-во иовосиб. ун-та, 1997. - Т.1: Краевые задачи. - 264 с.

13. Гребенщиков Б.Г., Опегова О.В. Асимптотические методы в исследованиях свойств устойчивости систем с линейным запаздыванием // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной конференции. Челябинск. ЧГУ. 22 26 июня 1999. С. 36.

14. Гребенщиков Б.Г., Онегова О.В. Исследование колебаний токоприемника движущегося локомотива при взаимодействии с контактным проводом в непосредственной близости от опоры // Изв. Урал. гос. ун-та. 2000. 18. (Математикам механика. Вып.З.) С.53-66

15. Гребенщиков Б.Г., Ролсков В.И. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы с запаздыванием //Дифферент уравнения, 1993. Т. 29, N 5. С. 751-758.

16. Долгий 10. Ф. Асимптотика собственных чисел оператора моно-дроиии для периодических дифференциальных уравнений с запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 1994. N 11.

17. Долгий Ю.Ф., Ким А.В. Метод фу и кциоиалов Ляпунова для систем с последействием // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. N 8. С. 1313 1318.

18. Драхлииа II.III. Об одной модификации метода Руиге-Кутта // Краевые задачи. Пермь. ППИ. 1983. С. 125 130.

19. Драхлина Н.Ш. Об одном подходе к приближенному решению краевых задач для ФДУ / / Краевые задачи. Пермь: ГШ И, 1984. С. 73-76.

20. Дьяконов В.П. Справочник по применению системы PC MatLAB. М.: Физматлит, 1993. - 112с.

21. Жданов Г.М. О приближенном решении системы дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом // Успехи математических наук. 1961. Т. 16. N 1 (97). С. 143-148.

22. Зверкина,Т. С. Приближенное решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1962. Т. I. С. 76 93.

23. Зверкина Т. С. К вопросу о выборе метода интегрирования уравнений с отклоняющимся аргументом // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. 1969. Т. VII. С. 75 81.

24. Зверкина, Т. С. Численное интегрирование уравнений с распределенным запаздыванием // Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом. 1975. Т. 9. С. 82 86.

25. Ишлинский А.Ю. Механика специальных гироскопических систем. М. Наука. 1963. 482 с.

26. Каменский А.Г. Приближенное решение дифференциальных разностных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.19, 12. С. 2148-2154

27. Каменский А.Г., Каменский Г.А., Мышкис А.Д. О сходимости метода конечных разностей численного решения краевых задач для линейных дифференциально-разностных уравнений // ДАН СССР. 1977. Т.233, 2, С.280-282

28. Каменский Г.А. Вариационные и краевые задачи с отклоняющимся аргументом // Дифференциальные уравнения. 1970. Т.6, 8, С. 1348-1358

29. Каменский Г. А., Кононепко Э.Д. О применении метода коллока-ции к краевой задаче для линейного уравнения с отклоняющимся аргументом нейтрального типа // Укр. мат. журнал. 1977. Т.29, 3, С.306-312

30. Каменский Г.А., Мыткис А.Д. К постановке краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и несколькими старшими членами j j Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10, 3, С. 403-418

31. Каменский Г.А., Скубачевский А.Л. Линейные краевые задачи для дифференциальных разностных уравнений. М.: МАЙ. 1992, 192 с.

32. Камке Э. Справочник но обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.

33. Квои О.Б. Тестирование явных и неявных методов типа Рунге-Кутты для систем с запаздыванием // УрГУ, Екатеринбург. Рук. деп. в ВИНИТИ. 24.03.2000. N 193-В00. 32 с.

34. Квои О.Б., Пименов В.Г. Неявные методы типа Руиге-Кутты для фукициоиально-дифференциальных уравнений // Изв. УрГУ. 1998. N 10. С. 69 79.

35. Ким А.В. г-гладкий анализ и футащональио-дифференциальные уравнения. Екатеринбург. ИММ УрО РАН. 1996. 236 с.

36. Ким А.В., Ложмиков А.Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию. Точные решения уравнения Риккати // Автоматика и телемеханика. 2000. IJ7. С.15-31.

37. Ким А.В., Пименов В.Г. О применении i-гладкого анализа к разработке численных методов решения функционально-дифференциальных уравнений // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 1998. Т. 5. С. 104 126.

38. Ким А.В. Пименов В.Г. Общая схема численного решения ФДУ и пакет TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX // Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной конференции. Челябинск. ЧГУ. 22 26 июня 1999. С. 63.

39. Колмаповский В.В., Майзсиберг Т.Л. Оптимальное оценивание систем и задача управления системами с запаздыванием // Прикл. мат. и мех. 41. В.З. 1977. С. 446 456.

40. Колмаповский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М. Наука. 1981. 448 с.

41. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М. Гостехиздат. 1959. 211 с.

42. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регуляторов в системе с запаздыванием // Прикл. матем. мехап. 1964. Т. 28. N 4. С. 716-724.

43. Красовский Н.Н. Об аппроксимации одной задачи об оптимальном управлении в системе с последействием // Докл. АН СССР. 1966. Т. 167. N 3. С. 540 542.

44. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М. Наука. 1968. 476 с.

45. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Начала теории вычислительных методов. Диффеерпциальпые уравнения. Минск: Наука и техника, 1982. 287 с.

46. Jlenun А.Я., Лепин Л.А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Рига: Зинатне, 1988.

47. Марчу к Г. И. Математические модели в иммунологии. М. Наука. 1980. 264 с.

48. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М. Наука. 1972. 352 с.

49. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи математических наук. 1977. Т. 32, выи. 2. С. 173-202.

50. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск. Наука. 1997. .198 с.

51. Норкии С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

52. Онегова О.В. Некоторые методы численного решения краевой задачи для фушщионалыю-дифференциальных уравнений, j j Изв. Урал. гос. ун-та. 2002. 4. (Математика и механика. Вып.22.) С.89-103

53. Онегова, О.В. Численные методы с автоматическим выбором шага для функционально-дифференциальных уравнений и их приложения. // Проблемы теоретической и прикладной математики. Тезисы докладов 30-й Региональной молодежной конференции, 25-29 января 1999 г.

54. Пименов В.Г. К задаче о регулировании системой с запаздыванием в управлении // Некоторые методы позиционного н программного управления. Свердловск, 1987. С. 107 121.

55. Пименов В.Г. Функционально-дифференциальные уравнения: численные методы. Екатеринбург. Из-во Урал, ун-та. 1998. 80 с.

56. Пименов В. Г. Общая схема численных методов решения ФДУ и асимптотическое разложение погрешности // Международная научная конференция "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения". Тезисы докладов. Воронеж. 2000. С. 168 -169.

57. Пименов В. Г. Общие линейные методы численного решения дифференциально-функциональных уравнений // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. N 1. С. 105 114.

58. Пименов В.Г., Онегова О.В. О применении численных методов к реш ению задач управления системам с запаздыванием j j Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. науч. конф. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2001

59. Пименов В.Г., Онегова О.В. Метод ортогонализации решения краевых задач для линейных систем ФДУ j j Математическое моделирование и краевые задачи. Труды двеннадцатой межвузовской конференции. Самара, 2002 г., С.106-109

60. Пименов В.Г., Онегова О.В. Численное решение нелинейной краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений // Нелинейный динамический анализ. Второй международный конгресс Тезисы докладов. М.: Изд-во МАИ, 2002 г. С. 194

61. Пуоюа Б. О некоторых краевых задачах для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений / / Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. 6. С. 761 770.

62. Репин Ю.М. О приближенной замене системы с запаздыванием обыкновенными динамическими системами // Прикл. матем. мехап. 1965. Т. 29. N 2. С. 226 235.

63. Ривкип С.С. Теория гироскопических устройств. Л. 1962. Ч.1., 1964. 4.2. 548 с.

64. Самарский А.А., Гулип А.В. Численные методы. М. Наука. 1989. 432 с.

65. Самойлепко А. М., Ponmo II. И. Числеино-аналитические методы исследования решений краевых задач. Киев: Наук.думка, 1988.

66. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваппер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М. Мир. 1990. 512 с.

67. Хайрер 3., Ваппер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Т. 2. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. М. Мир. 1999. 684 с.

68. Хейл До/с. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М., 1984. 421 с.

69. Холл Д., Уа.тт Д. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир. 1979. 312 с.

70. Шимаиов С.И. Уравнения с запаздывающим аргументом. // История отечественной математики. Т.4. Кн. 1. Киев. Наукова думка. 1970. С. 438 488.

71. Штеттер X. Анализ методов дискретизации для обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Мир. 1978.

72. Элъсгольц Л.Э. Приближенные методы интегрирования дифференциально-разностных уравнений // УМН. N 4. (56). 1953. С. 91 93.

73. Элъсгольц Л.Э., Норкии С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М. Наука. 1971. 296 с.

74. Arndt II. Numerical solution of retarded Initial value problems: Local and global error and stepsize control // Nnmer. Math. 1984. V. 43. P. 343 360.

75. Ascher U., Petzold L.R. The numerical solution of deiay-differential-algebraic equations of retarded and neutral type // SI AM. J. Numer. Anal. 1995. V. 32. P. 1635 1657.

76. Baker C.T.H. Numerical analysis of Volterra functional and integral equations state of the art // MCCM tech. rep. N 292, University of Manchester. 1996. p.

77. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Filiz A., Ford N.J., Paul G.A.E., Rihan F.A., Tang A., Thomas R.M., Tian H. and Wille D.R. Numerical modelling by retarded functional differential equations / / MCCM tech. rep. N 335, University of Manchester. 1998. 35 p.

78. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Paul С.А.И., Rihan F.A. Modeling and analysis of time-lags in sell proliferations // MCCM tech. rep. N 313, University of Manchester. 1997. 16 p.

79. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Rihan F.A. A report one use of delay differential equations in numerical modeling in the bioscience// MCCM tech. rep. N 343, University of Manchester. 1999. 39 p.

80. Baker C.T.H., Buck/war E. Introduction to the numerical analysis of stochastic delay differential equations // MCCM fccch. rep. N 345, University of Manchester. 1999. 24 p.

81. Baker C. Т.Н., Butcher J. C. and Paul C.A.H. Experience of STRIDE applied to delay differential equations // MCCM tech. rep. N 208, University of Manchester. 1995. 19 p.

82. Baker C.T.H., Makroglou A. and Short E. Stability region for Volterra integro-differential equations j j SIAM J. Numer. Anal. 1979. V. 16. P. 890 910.

83. Baker C.T.H., Paul C.A.H. and Wille D.R. Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations // Advances in Comput. Math. 1995. V. 3. P. 171 196.

84. Baker C.T.H, Paul C.A.H. and Wille D.R. A bibliography on the numerical solution of delay differential equations // MCCM tech. rep. N 269, University of Manchester. 1995. 52 p.

85. Banks H.T. and Burns J.A. Hereditary control problems: Numerical methods based on averaging approximations / / SI AM J. Control Optim. 1978. V. 16. P. 169 208.

86. Banks H.T. and Kappel F. Spline approximation for functional differential equations// J. Diff. Equat. 1979. V. 34. P. 496 522.

87. Bellen A. One-step collocation for delay differential equations // J. Comput. Appl. Math. 1984. V. 10. P. 275 283.

88. Bellen A. Constrained mesh methods for functional differential equations // International Series of Numerical Mathematics, Verlag, Basel. 1985. P. 52 70.

89. Bellen A. Constructivity of continuous Runge-Kutta methods for delay differential equations j j Appl. Num. Math. 1997. V. 24. P. 213 232.

90. Bellen A. and Zennaro M. Numerical solution of Delay differential equations by uniform correction to an implicit Runge-Kutta methods // Num. Math. 1985. V. 47. N 2. P. 301 316.

91. Bellman R., Cooke K.L. On the computational solution of a class of functional differential equations // J. Math. Anal, and its Appl. 1965. V. 12. P. 495 500.

92. Bock H.G., Schloder J. The numerical solution of retarded differential equations with state dependent time lags // Z. Angew. Math. Mcch. 1981. V. 61. P. 269 271.

93. Bocharov G.A., Marchuk G.I. RomanyukJia A.A. Numerical solution by LMMs of stiff delay differential systems modelling an immune response // Numer. Math. 1996. V. 73. P. 131 146.

94. Bogacki P., Sham/pine L.F. A 3(2) pair of Runge-Xutta formulas // Appl. Math. Letters. 1989. V. 2. P. 1 9.

95. В runner H. Implicit Runge-Kutta methods of optimal order for Volterra integro-differential equations // Math. Сотр. 1984. V. 42. P. 95 109.

96. Brunner В., Lambert J.D. Stability of numerical methods for Volterra integro-differential equations // Computing. 1974. V. 12. P. 75 89.

97. Chukwu E.N. Stability and Time-optimal control of Hereditary Systems. Academic Press. Boston. San Diego. 1992. 510 p.

98. Conte S.D. The numerical solution of linear bounary value problems. // Siam Review, vol.8, 3, 1966, p.309-321

99. Corwin S.P., Sarafyan D. and Thompson S. DKLAG6: A code based on continuously imbedded sixth-older Runge-Kutta methods for the solution of state-dependent functional differential equations // Appl. Num. Math. 1997. V. 24. P. 319-330.

100. Cryer C. W. Numerical methods for functional differential equations // In Delay and functional differential equations and their application. Schmitt K. ed. 1972. Acad. Press. New York. P. 17 -101.

101. Cryer C. W. Highly stable numerical methods for delay differential equation // SIAM J. Numer. Anal. 1974. V. 11. P. 787 797.

102. Cryer C., Tavernini L. The numerical solution of Volterra functional differential equations by Euler's method // SIAM J. Numer. Anal. 1972. V.9. P. 105 129.

103. Dahlquist G. Numerical integration of ordinary differential equations // Math. Scand. 1956. V. 4. P. 33 50.

104. Driver R.D. Existence theory for delay-differential systems // Contrib. to diff. eqvuat. 1963. V. 1. N 3. P. 317 336.

105. Enright W.N. and Ilayashi H. Convergence analysis of the solution of retarded and neutral delay differential equations by continuous numerical methods // SIAM J. Num. Anal. 1995. V. 35. P. 572 -585.

106. Enright W.N. and Ilayashi II. A delay differential equation solver based on a continuous Runge-Kutta method with defect control // Num. Algorithms. 1997. V. 16. P. 349 ~ 364,

107. Epstein I.R. Delay effects and differential delay equations in chemical kinetics // Internal. Reviews in physical Chemistry. 1992.V. 11. P. 135 160.

108. Feldstein A., Iserles A. and Levin D. Embedding of delay equations • into an infinite-dimensional ODE system // J. Did'. Equat. 1995. V. 117. P. 127 150.

109. Fcldfilein A., Sopka R. Numerical methods for nonlinear Volterra integrodifferential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1973. V. 11.P. 826 846.

110. Fox L., Mayers D.F., Ockendon J.R., Taylor A.B. On a functional differential equation // J. Inst. .Math, and its Appl. 1971. V. 8. P.971 'ХПТA ! J- t,/ U I .

111. Goodman R., Feldstein A. Round off error for retarded ordinarydifferential equation: a priori bounds and estimates J j Num. Math. 1973. V. 21. P. 355 372.

112. Gopalsamy K. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. The Netherlands. Kluwer Academic Pub. Dordrecht, 1992. 512 p.

113. Hale J.K., Lunel S.M. V. Introduction to functional differential equations. Springer Verlag. New York - Heidelberg - Berlin. 1993.280 p.

114. Jackiewicz Z., Lo E. The algorithm SNDDELM for the numerical solution of systems of neutral delay differential equations // Appendix in: Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. Academic Press. Boston. 1993.

115. Kemper G.A. Linear multistep methods for a class of functional differential equations // Num. Math. 1972. V. 19. P. 361 372.

116. Kemper G.A. Spline function approximation for solutions of functional differential equations / / SI AM J. Numer. Anal. 1975. V. 12. P. 73 88.

117. Kim A.B. Functional differential equations. Application of i-smooth calculus. Kluwer Academic Publishers. The Netherlands. 1998. 165 p.

118. Кгт A.V., Han S.H., Kwon W.H., Pimenov V.G. Explicit numerical methods and LQR control algorithms for time-delay systems j j Proceeding of the International Conference on Electrical Engineering (luly 20-25, 1998). Kyimgju. Korea. P. 413 41G.

119. Kim A. V., Kwon W.H., Pimenov V.G. Numerical methods and a software package for delay differential equations // The Third International Conference on Dynamical Systems and Applications. Atlanta. USA. May 26-29. 1999. P. 101 -- 102.

120. Кгт A. V., Lozhnikov A.B. Constructive stability criterion for linear systems with delays. IMM Ural Branch or Russian Academy of Sciences. Preprint. Ekaterinburg. Russia. 2001. 10 p.

121. Kim A. V., Pimenov V.G. Multistep numerical methods for functional differential equations //Mathematics and Computers in Simulation. 1998. V.45. P. 377 384.

122. Kim A. V., Pimenov V. G. Numerical Methods for Delay Differential Equations// Lecture Notes Series N 44. Seoul National University. Seoul. Korea. 1999. 96 p.

123. Kolesov Yu.S. Some problems of mathematical ecology // Diff. Eq. and Appl. 1981. V. 21. P. 27 35.

124. Kolmanovskii V.B., Myshkis A.D. Applied theory of functional differential equations. Dordrecht Boston - London. Kluwer Academic Pub. 1992. 236 p.

125. Kolmanovskii V.B., Nosov V.R. Stability of functional differential equations. Nev York London. Acad. Press. 1986. 218 p.

126. Kwon O.B., Kim A.V., Pimenov V.G. Numerical modeling of control time-delay systems j j Proceeding of the IFAC Workshop "Nonsmooth and discontinuous problems of control and optimization" (Iune 17-20, 1998). Chelyabinsk. Russia. P. 137-139.

127. Kwon W.H., Kim A. V., Pimenov V.G., Han S.IL, Lozhnikov А.В., Onegova О. V. Time-Delay System Toolbox and its Applications // Proc. of Korean Automatic Control Conference. Pusan, October 1998. P. 147 150.

128. Kwon W.II., Кип A. V., Pimenov V.G., Lozhnikov A.B., Han S.H., Onegova О. V. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). Beta Version. Seoul National University. Seoul. Korea. 1998. 114 p.

129. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics //Mathematics in Science and Engineering. 191. Academic Press. Boston. 1993.

130. Linz P. Linear rnultistep methods for Volterra infegro-differential equations // J. Ass. Comput. Mach. 1969. V. 16. P. 265 301.

131. Maarten de Gee. Linear multistep methods for functional differential equations // Math, of Сотр. 1987. У. 48. P. 633 649.

132. Malek-Zavarer M. and Yamshidi M. Time-delay systems. Analysis, optimization and applications. Noth-Holland. Amsterdam. 1987. 504 p.

133. Neves K.W. Automatic Integration of functional differential equations // ACM Trans. Math. Soft. 1975. P. 357 368.

134. Neves K.W., Thompson S. Software for the numerical solution of functional differential equations with state-dependent delay // App. Numer. Math. 1992. V. 9. P. 385 401.

135. Ntouyas S. K., Tsamatos P. Ch. On the solvability of boimdury value problem for a second order differential equation with deviating arguments // Commun. Appl. Anal. 1997. Vol. 1., 4. C. 525-538.

136. Oberle H.J. and Pesch H.J. Numerical treatment of delay differential equations by Hermit interpolation // Numer. Math. 1981. V. 37. P. 235 255.

137. Ockendon J., Taylor A. The dinamics of a current collection systen for an electric locomotive //Proc. Roy. Soc. London. Ser A., 322, 1971, p. 447-468.

138. Oppelstrup J. The RKFHB4 methods for delay differential equations j I Lect. Notes in Math. 1978. Springer-Verlag, Berlin. V. 631. P. 133 146.

139. Paul C.A.H. Test Set of functional differential equations // MCCM tech. rep. N 243, University of Manchester. 1994. 41 p.

140. Paul C.A.H. A User Guide to ARCHI// MCCM tech. rep. N 283, University of Manchester. 1995. 20 p.

141. Paul C.A.H., Baker C.T.H. Explicit Runge-Kutta methods for numerical solution of singular delay differential equations // MCCM tech. rep. N 212, University of Manchester. 1992. 39 p.

142. Pimenov V. Asymptotic behavior of global error of general numerical methods for functional differential equations // SACTA (Stability and Control: Theory and Applications). 2000. V. 3 N 2. P. 117 124.

143. Shampine L.F., Reichelt M.W. The MATLAB ODE Suite // SIAM Journal on Scientific Computing. 1997. V. 18. P 21 41.

144. Tavernini L. One-step methods for the numerical solution of Volterra functional differential equations // SIAM J. Numer. Anal. 1971. V. 8. P. 786 795.

145. Tavernini L. Linear multistep methods for the numerical solutions of Volterra functional differential equations //J. Applic. Anal. 1973. V. 1. P. 169 185.

146. Weiner R., Strehmel K. A type insensitive codc for delay differential equations basing on adaptive and explicit Runge-Kutta interpolation methods // Computing. 1988. V. 40. P. 255 265.

147. Wille D.R., Baker C.T.H. DELSOL A numerical code for the solution of systems of delay differential equations // Appl. Num. Math. 1992. V. 9. P. 223 - 234.

148. Zennaro M. Natural continuous extensions of Runge-Kutta methods // Math, of Computation. 1986. V. 46. P. 119 133.

149. Zennaro M. Asymptotic stability analysis of Runge-Kutta methods for nonlinear systems of delay differential equations// Numer. Math. 1997. N 4, P. 549 563.