Стабилизация систем с запаздыванием по управлению тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Волканин, Леонид Сергеевич

• Волканин, Леонид Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Волканин, Леонид Сергеевич

Введение

1 Постановка задачи

1.1. Системы с запаздыванием по управлению.

1.2. Синтез управления с обратной связью.

1.3. Стабилизирующее управление с обратной связью

1.4. Обобщенный квадратичный критерий качества. 1.5. Вид обобщённых уравнений Риккати. 2 Обобщённые уравнения Риккати

2.1. Вывод обобщённых уравнений Риккати.

2.2. Явные решения ОУР.

2.2.1. Вариант 1.

2.2.2. Вариант 2.

2.2.3. Вариант 3 - специальное (стационарное) решение

3 Построение и анализ регулятора

3.1. Явный вид управления с обратной связью.

3.2. Достаточные условия стабилизируемости.

3.3. Алгоритм проверки устойчивости линейных систем с последействием

3.4. Решение матричных уравнений.

3.4.1. Алгебраическое уравнение Риккати

3.4.2. Экспоненциальные матричные уравнения.

4 Примеры

4.1. Пример 1 (1-мерная система).

4.2. Пример 2 (1-мерная система).

4.3. Пример 3 (2-мерная система).

4.4. Пример 4 (Управление регулятором гирорамы с запаздыванием)

5 Пакет прикладных программ

5.1. Программное обеспечение для пакета Matlab.

5.2. Использование MATLAB в приложениях пользователя

5.3. Интеграция пакета программ в Интернет.

В Квадратичные функционалы и их свойства

В.1. Структура квадратичных функционалов.

В.2. Элементарные функционалы и их свойства.

В.З. Полная производная в силу системы.

В.4. Знакоопределенность квадратичных функционалов

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стабилизация систем с запаздыванием по управлению»

Диссертация посвящена разработке конструктивных методов аналитического конструирования регуляторов для систем с последействием.

Многие свойства реальных объектов определяются эффектом последействия, состоящего в том, что дальнейшее состояние объекта зависит не только от настоящего, но и от прошлого, т.е. от его предыстории. Моделировать такие процессы позволяют функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ), называемые также уравнениями с запаздыванием или уравнениями с последействием.

Возникновение подобных систем, связанных с эффектом последействия, потребовало развития соответствующей теории, которая активно развивалась такими математиками как Н.В. Азбелев, Г.А. Каменский, В.Б. Колмановский, Н.Н. Красовский, А.В. Кряжимский, А.Б. Куржан-ский, Г.И. Марчук, А.Д. Мыгикис, В.Р. Носов, С.Б. Норкин, Ю.С. Осипов, JI.C. Понтрягин, С.Н. Шиманов, Л.Э. Эльсгольц, С.Н.Т. Baker, Н.Т. Banks, R. Bellman, K.L. Cooke, R.D. Driver, J.K. Hale, V. Lakshmikantam, V. Volterra и многими другими.

Полученные в этой области фундаментальные результаты сформировали качественную теорию дифференциальных уравнений с запаздыванием. Вместе с тем, полное решение различных задач для подобных систем, в том числе задач управления и стабилизации, аналитическими методами удается получить лишь в исключительных случаях. Поэтому проблема создания эффективных численных методов решения задач и разработка их программной реализации современными вычислительны> ми средствами является особенно актуальной.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов - АКОР), разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря ясной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Для конечномерных систем линейно-квадратичная теория (получившая название аналитического конструирования регуляторов), разработанная А.М.Летовым и Р.Калманом в начале 60-х годов, благодаря яс-• ной постановке и конструктивным результатам играет особую роль среди различных подходов к синтезу управлений. Вычисление коэффициентов матрицы усиления (стабилизирующего) управления на основе теории АКОР сводится к решению алгебраического уравнения Риккати (АУР), причем соответствующее управление, если оно существует, стабилизирует систему.

Исследование задач АКОР для систем с последействием инициировано статьей Н.Н. Красовского [17], в которой было показано, что оптимальное стабилизирующее управление является линейным непрерывным функционалом на функциональном (фазовом) пространстве системы с последействием, а также были выведены соотношения, описывающие параметры оптимального управления и оптимального значения функционала качества.

Основой построения общей теории АКОР для систем с последействием, также как и общей теории функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ), является предложенная Н.Н.Красовским [16,17] функциональная трактовка решений таких систем.

К настоящему времени теоретические аспекты АКОР для систем с последействием разработаны с достаточной полнотой, (см., например, [13,17,21-25,29-32,35,38] и ссылки в них) однако, в силу бесконечномерной природы систем с последействием, практическое применение теории наталкивается на ряд принципиальных трудностей. Поэтому разработка конструктивных алгоритмов АКОР для систем с последействием постоянно находится в центре внимания математиков и инженеров.

Одной из основных трудностей, сдерживающих практическое использование АКОР в задачах синтеза управления для систем с последействием, является необходимость решения специальной системы обобщенных уравнений Риккати (ОУР), описывающей коэффициенты оптимального управления и представляющей собой систему алгебраических уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с частными производными.

Поэтому уже в первых работах, где были получены ОУР [34,35], проблема АКОР для систем с последействием была сформулирована в виде двух задач:

Задача А : нахождение явных решений ОУР;

Задача В : разработка методов исследования стабилизирующих свойств управлений, соответствующих явным решениям ОУР.

Отметим, что для систем с последействием, в отличие от конечномерных систем, линейное управление с обратной связью, построенное на основе решения ОУР, не всегда является стабилизирующим. Поэтому выделение исследования устойчивости в отдельную Задачу В представляется естественным.

В данной работе разрабатываются методы исследования и решения Задачи А и Задачи В.

Явные решения ОУР (Задача А). Предложенные в [13,22,34-36] приближенные методы решения ОУР являются сложными и неэффективными для практической реализации, поэтому в настоящее время задача нахождения явных решений ОУР имеет принципиальный характер.

Разработанные в данной диссертации методы построения явных решений ОУР основываются на идее введения дополнительных слагаемых в функционал качества.

Модификация функционала качества в теории АКОР для конечномерных систем была предложена в работе А.А.Красовского [14]. Введение дополнительного квадратичного слагаемого в функционал качества позволило упростить матричные уравнения, описывающие коэффициенты оптимального стабилизирующего управления (В рамках такого подхода оптимальное стабилизирующее управление определяется матрицей усиления являющейся решением не АУР, а более простого уравнения Ляпунова). Соответствующая процедура называется аналитическим конструированием по критерию обобщенной работы, так как добавочное слагаемое в функционале качества может быть интерпретировано как "энергия" (обобщенная работа) оптимального управления.

Обобщение данного подхода на системы с последействием было реализовано в работах [11,32] и других авторов.

Отметим, что в рамках разрабатываемого подхода обобщенный квадратичный функционал качества не может быть произвольно заданным, а определяется в соответствии с некоторыми правилами и имеет специальную структуру. Однако наличие подобного рода ограничений на функционал качества можно считать естественным, так как в задачах стабилизации, как правило, критерий качества не связан с физической природой объекта управления, а его структура и параметры определяются исходя из инженерных требований (простоты вычислений, времени переходного процесса и т.д.). В нашем случае таким требованием является нахождение решений ОУР в явной форме.

Проверка стабилизирующих свойств управлений (Задача В). Ввиду бесконечномерности фазового пространства линейных систем с последействием, исследование стабилизирующих свойств синтеза управлений существенно сложнее, чем в случае конечномерных систем.

В теории АКОР для систем с последействием исследование стабилизирующих свойств синтеза управления может быть проведено на основе использования функционалов Ляпунова-Красовского или на основе анализа фундаментальной матрицы системы.

Цель диссертации состоит в разработке конструктивных аналитических и численных методов синтеза стабилизирующих управлений для систем с последействием в управлении на основе минимизации обобщенных квадратичных функционалов качества.

Методика исследования основана на функциональном подходе в качественной теории функционально-дифференциальных уравнений. Систематически применяются понятия и методы функционального анализа, теории устойчивости и управления, и численные методы.

Научная новизна. Разработаны новые конструктивные алгоритмы анализа и синтеза управлений для систем с последействием в управляющих параметрах на основе решения линейно-квадратичных задач управления.

Теоретическая и практическая ценность. Развитые в диссертации методы позволяют строить и анализировать синтез управления для систем с последействием. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в пакете прикладных программ Time-delay System Toolbox в системе MATLAB [37].

Основные результаты

1) в задаче управления для линейных систем с запаздыванием по управлению с модифицированным квадратичным критерием качества получена система обобщенных уравнений Риккати (ОУР);

2) получены варианты явных решений ОУР, позволяющие свести задачу к численному решению нелинейного матричного уравнения и затем получить управление в явном виде;

3) получены необходимые и достаточные условия стабилизируемости линейных систем с запаздыванием по управлению с помощью сведения к задаче стабилизации линейной системы с последействием в координатах и анализа фундаментальной матрицы этой системы;

4) разработана методика численного моделирования линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием по управлению и решения соответствующих экспоненциальных матричных уравнений;

5) разработанные алгоритмы численного моделирования реализованы в виде комплекса программ для системы Matlab. Реализован интерфейс для использования комплекса программ в сети интернет http: / / matlab.fde.uran.ru).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, нумерация

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Волканин, Леонид Сергеевич, 2006 год

1. Александров А. Г. Оптимальные и адаптивные системы. — М.: Высшая школа., 1989.

2. Баклановский М. В., Волканин Л. С. Распределенные модели вычислительного сервера с веб-доступом // Всероссийская научная конференция "Научный сервис в сети Интернет". Новороссийск, 23-28 сент. 2002 г.-С. 99-100.

3. Волканин Л. С. Сетевая интеграция и интерфейс пакета прикладных программ time-delay system toolbox // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 33-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. — 2002. — С. 314-318.

4. Волканин Л. С. Стабилизация систем с запаздыванием в управлении: алгоритмы, программное обеспечение // Проблемы теоретической и прикладной математики. Труды 34-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. — 2003. — С. 90-95.

5. Волканин Л. С. Моделирование систем с последействием // Вестник Уральского государственного технического университета-УПИ. Серия радиотехническая. — 2005. — № 17 (69). — С. 248-255.

6. Ким А. В. г-Гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: МММ УрО РАН, 1996.

7. Ким А. В., Волканин Л. С. К синтезу управления для систем с последействием в управляющих параметрах // Известия Уральского государственного университета. — 2003. — № 26. — С. 81-86.

8. Ким А. В., Волканин Л. С. К аналитическому конструированию регуляторов для систем с запаздыванием в управляющих параметрах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тез. докл. Всерос. конф., Екатеринбург, 2-6 февр. 2004 С. 170-171.

9. Ким А. В., Ложников А. Б. Линейно-квадратичная задача управления для систем с запаздыванием по состоянию, точные решения уравнения риккати // Автоматика и телемеханика. — 2000. — № 7.-С. 15-31.

10. Ким А. В., Ложников А. Б. Математическое моделирование систем с последействием: теория, алгоритмы, программное обеспечение // Известия Института математики и информатики. — 2002. — № 2. С. 55-58.

11. Колмановский В. Б., Королева Н. И. Оптимальное управление некоторыми билинейными системами с последействием // Прикладная математика и механика. — 1989. — Т. 53, № 1. — С. 238-243.

12. Колмановский В. Б., Королева Н. И. О синтезе билинейных систем с запаздыванием в управлении // Прикладная математика и механика. 1993. - Т. 57, № 1. - С. 238-243.

13. Колмановский В. Б., Майзенберг Т. Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием // Автоматика и телемеханика. — 1973. — № 1. — С. 47-62.

14. Красовский А. А. Интегральные оценки моментов и синтез линейных систем // Автоматика и телемеханика. — 1967. — № 10. — С. 53-71.

15. Красовский А. А. Системы управления полетом и их аналитическое конструирование. — М.: Наука, 1973. — 560 с.

16. Красовский Н. Н. О применении второго метода Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. 1956. - Т. 20, № 3. - С. 315-327.

17. Красовский Н. Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикладная математика и механика. — 1962. — Т. 26, № 1. — С. 39-51.

18. Красовский Н. Задачи стабилизации систем управления. Приложение к кн. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения, — М., 1965.

19. Bellman R., Cooke К. L. Differential-Difference Equation. — New York London: Academic Press, 1963.

20. Chukwu E. N. Stability and Time-optimal Control of Hereditary Systems. — Academic Press, 1992.

21. Delfour M. C., McCalla C., Mitter S. K. Stability and the infinite time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems / / SI AM J. Contr. Optimiz. 1975. - Vol. 13, no. 1. - Pp. 48-88.

22. Eller D. H., Aggarwal J. K., Banks H. T. Optimal control of linear time-delay systems // IEEE Trans. Automat. Control 1969.- Vol. 14.— Pp. 678-687.

23. Gibson J. S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional riccati equations and numericalapproximations // SI AM J. Contr. Optimiz.— 1983.— Vol. 21, no. l.-Pp. 95-135.

24. H.T. В., A. M. Application of abstract variational theory to hereditary systems a survey // IEEE Trans. Automat. Control. — 1974. — Vol. AC-19, no. 5. - Pp. 524-533.

25. Kim A. V. Functional Differential Equations. Application of г-smooth calculus. — Kluwer Academic Publishers, 1999.

26. Kim A. V., Lozhnikov A. B. Constructive Stability Criterion for Linear Systems with Delays. — Ekaterinburg, Russia, 2001. — 10 pp.

27. Kim A. V., Volkanin L. S. Generalized riccati equations in linear-quadratic control problems // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Suppl. 2. 2002. - Pp. S98-S119.

28. Kim A. V., Volkanin L. S. Time-delay system toolbox in virtual hereditary system center // Proceedings of the 1st Korea-Russia International Workshop on Mobile and Telecommunication Technology, Ekaterunburg, Russia, June 28-29, 2005. Pp. 106-109.

29. Kolmanovskii V. В., Myshkis A. D. Applied theory of functional differential equations. — Kluwer Academic Publishers, 1992.

30. Kushner H. J., Barnea D. I. On the control of a linear functional differential equation with quadratic cost // SIAM J. Control. — 1970. -Vol. 8, no. 2. Pp. 257-275.

31. Lee E. B. Generalized quadratic optimal controller for linear hereditary systems // IEEE Trans. Automat. Control.- 1980.- Vol. 25.— Pp. 528-531.

32. The linear-quadratic optimal control approach to feedback control design for systems with delay / K. Uchida, E. Shimemura, T. Kubo, N. Abe // Automatica. 1988. - Vol. 24, no. 6. - Pp. 773-780.

33. Lozhnikov А. В., Korotkii A. I. New variant of explicit solutions of generalized riccati equations // Nonlinear Functional Analysis and Applications. 2000. - Vol. 5, no. 2. - Pp. 98-112.

34. Ross D. W. Controller design for time lag systems via quadratic criterion // IEEE Trans. Aut. Control 1971,- Vol. 16.- Pp. 664672.

35. Ross D. W., Flugge-Lotz I. An optimal control problem for systems with differential difference equation dynamics // SIAM J. Control. — 1969. — Vol. 7, no. 4.-Pp. 609-623.

36. Soliman M. A., Ray W. H. Optimal feedback control for linear-quadratic system having time delay // Int. J. Control. — 1972. — Vol. 15, no. 4. — Pp. 609-627.

37. Time-Delay System Toolbox (for use with MATLAB). Beta Version / A. V. Kim, W. H. Kwon, V. G. Pimenov et al. — Seoul, Korea: Seoul National University, 1998. — 114 pp.

38. Vinter R. В., Kwong R. H. The infinite quadratic control problem for linear systems with state and control delays: An evolution equation approach // SIAM J. Contr. Optimiz.- 1981,- Vol. 19, no. 1.— Pp. 139-153.