Численное решение сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью методом наложения в задачах аэродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Белорозов, Роман Сергеевич

• Белорозов, Роман Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Белорозов, Роман Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ.

1 О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ АЭРОДИНАМИКИ МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ВИХРЕЙ.

1.1 Математическое моделирование обтекания тонкого и телесного профилей.

1.2 Математическое моделирование обтекания профиля с отсосом внешнего потока с его поверхности.

2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЯДРОМ КОШИ, СОДЕРЖАЩЕГО ФИКСИРОВАННУЮ ГИПЕРСИНГУЛЯРНОСТЬ НА ОТРЕЗКЕ.

2.1 Характеристическое сингулярное интегральное уравнение с фиксированной гиперсингулярностью на отрезке.

2.2 Полное сингулярное интегральное уравнение с фиксированной гиперсингулярностью на отрезке.

2.3 Сингулярное интегральное уравнение с конечным числом точек гиперсингулярности на отрезке.

2.4 Результаты численных, экспериментов.

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ НАЛОЖЕНИЯ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ФИКСИРОВАННОЙ ГИПЕРСИНГУЛЯРНСТЬЮ С ЯДРОМ ГИЛЬБЕРТА.

3.1 Сингулярное интегральное уравнение с ядром Гильберта, решение которого содержит.фиксированную сингулярность.

312 Сингулярное интегральное уравнение с конечным числом точек гиперсингулярности.

3.3 Результаты численных экспериментов.

4 СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБТЕКАНИЯ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ ПРОФИЛЯ И ТОНКОГО КРЫЛА С ОТСОСОМ ВНЕШНЕГО ПОТОКА.

4.1 Физическая постановка задачи.

4.2 Математическая постановка задачи.

4.3 Численная реализация и разработка пакета программ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью методом наложения в задачах аэродинамики»

Посредством такой механизации возможно создание энергетического предкрылка, увеличивающего угол атаки, допускающий безотрывное обтекание крыла. Также ведутся исследования по использованию устройств отсоса внешнего потока с поверхности-крыла» в качестве борьбы с концевыми вихрями спутного следа, образующимися при полете самолета и представляющими серьезную опасность.для находящихся поблизости других ЛА. Причем- все устройства отсоса, выступая в роли органов управления ЛА (не имеет значения их конструктивная составляющая), являются элементами системы автоматического управления ЛА. Из теории управления авиационными автоматическими системами известно, что каждая система управления подвержена действию случайных явлений (возмущений), к которым могут относиться ошибки измерений приборов и датчиков, вибрации механизированных и силовых агрегатов, помехи в энергетических и радиолокационных системах, случайные силы и моменты и т.д. Поэтому их учет (формализация) и влияние (моделирование воздействия) в системе управления устройствами отсоса в настоящее время является мало изученной задачей. В целом данные факты обуславливают актуальность проводимых в диссертационной работе исследований, направленных на построение, обоснование и численную реализацию новых вычисленных схем решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, описывающих задачи аэродинамики, в том числе стохастического характера, имеющие важное прикладное значение.

В настоящей диссертации предлагается новый метод численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, возникающих в задачах аэродинамики при моделировании обтекания несущих поверхностей с отсосом внешнего потока. Этот численный метод, названый в данной работе методом наложения, позволяет увеличить скорость сходимости приближенного решения таких уравнений к точному решению.

Суть, метода наложения состоит в редукции задачи решения построенного граничного интегрального уравнения с сильной особенностью в правой части к равносильной ей, в определенном смысле, задаче решения сингулярного интегрального »уравнения с гладкой правой частью. Это, в свою очередь, дает возможность применить вычислительную схему метода дискретных вихрей с неравномерным распределением- узлов для приближенного, решения полученного СИУ (к исходному уравнению эта вычислительная^ схема- не применима). Все это в итоге позволяет нам существенно повысить скорость сходимости приближенного- решения к точному.

Необходимо отметить, что приближенному вычислению сингулярных интегралов, а также разработке и теоретическому обоснованию численных методов решения сингулярных интегральных уравнений посвящены многочисленные работы.

Фундаментальный вклад в становление и развитие приближенных методов решения СИУ внесли такие ученые как Бабаев А.А, Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Захаров Е.В., Полтавский JI.H., Матвеев А.Ф., Сетуха A.B., Бойков И.В., ПивеньВ.Ф., ГохбергИ.Ц., Джишкариани A.B., Иванов В.В., Каландия А.И., Лавреньтьев М.А., Шешко М:А., Ненашев Ю.Н. и многие другие.

Цель работы. "

Проведение исследований, направленных на разработку новых вычислительных схем построения приближенного решения? граничных интегральных уравнений, возникающих при моделировании стационарного обтекания профиля; и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с их поверхностей. .

Задачи исследования:

Обоснование, разработка, реализация и тестирование численного метода (метода наложения) решения, сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности.

Построение и численная! реализация математической модели обтекания потоком, идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого? крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности в> условиях, неполной информации.

Научная новизна;

Предложен и реализован метод численного решения сингулярных интегральных, уравнений с фиксированной« гиперсингулярностью (метод наложения), научная- новизна которого заключается в построении« и обосновании новых вычислительных схем высокой; степени точности приближенного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число элементов фиксированной гиперсингулярности и предусматриваемых наличие вшравой части случайной функции.

Теоретическая значимость работы заключается в математическом обосновании нового метода численного решения сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши и Гильберта, содержащих конечное число точек фиксированной гиперсингулярности. При этом правая часть указанных уравнений может быть случайной функцией.

Практическая значимость работы заключается в разработке пакета прикладных программ, численно реализующего метод наложения-решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью и позволяющего проводить исследования задач аэродинамики, в том числе стохастического характера, об обтекании несущих поверхностей с отсосом внешнего потока.

Положения, выносимые на защиту

Разработка и математическое обоснование численного метода (метода наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью с ядром типа Коши и Гильберта.

2. Стохастическая модель обтекания потоком идеальной несжимаемой жидкости профиля и тонкого крыла с отсосом» внешнего потока с- его поверхности и ее численная реализация.

3. Реализация на ЭВМ', и тестирование'новых вычислительных схем метода наложения решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью; возникающих при моделировании обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока.

Апробация работы и публикации.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на:

XIII, XIV и XV Международных симпозиумах «Методы дискретных особенностей4 в задачах математической физики» (г. Херсон, 2007, 2009, 2011гг.);

И, III и V Международных ' научно-технических конференциях «Аналитические и численные методы моделирования, естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, ПГУ, 2007, 2008, 2010 гг.);

VI научно-технической конференции «Люльевские чтения» (г. Екатеринбург, ОАО «ОКБ «Новатор», 2008 г.);

IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского» (г. Москва, ВУНЦ ВВС, 2010 г.) научно-исследовательском семинаре кафедры высшей математики «Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения» (г. Москва, ВУНЦ ВВС, 2010 г.); научно-исследовательском семинаре кафедры высшей и прикладной математики «Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений» (г. Пенза, ПГУ, 2010 г.); научно-исследовательском семинаре кафедры теоретической физики и математического моделирования «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2010 г.); научно-исследовательском семинаре кафедры, математической физики факультета ВМиК МГУ «Интегральные уравнения в задачах математической физики» (г. Москва, МГУ, 2011 г.).

По теме диссертационной работы имеется^ 12 публикаций:

1. Матвеев А.Ф;, Белорозов P.C. Приближенное решение методом наложения полного сингулярного интегрального уравнения'первого рода с фиксированной гиперсингулярностью. // Дифференциальные уравнениям т.44, №9. - Москва, 2008. - С 1281- 1289:

2. Белорозов^ P.C. О способе оценки сбалансированности1 вариантов, развития системы вооружения на основе принципа комплектности и применения методов стохастического моделирования. // Электронный журнал «Вооружение и экономика», вып. №15, 201*1- Москва, 2011-С.115-124.

3. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C., Численное решение интегрального уравнения задачи обтекания- тонкого изолированного непроницаемого профиля с отсосом внешнего потока. // Вестник ХНУ №780, 2007. - Харьков, 2007 — С.19-34.

4. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. Сравнительный анализ методов численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью. // Труды XIII Международного симпозиума МДОЗМФ, 2007. - Харьков-Херсон, 2007 - С.52-55.

5. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Об одном методе приближенного решения, сингулярного интегрального уравнения в классе обобщенных функций. // Сборник статей II Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2007. - Пенза, 2007 - С.25-28.

6. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Моделирование обтекания профиля с конечным числом точек отсоса внешнего потока методом наложения: // Материалы VI научно-технической конференции ОАО «ОКБ «Новатор» «Люльевские чтения», 2008. - Екатеринбург, 2008. — С.76.

7. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Математическое моделирование воздействия отсосов внешнего потока в конечном числе точек поверхности профиля на значение коэффициента его*подъемной силы // Сборник статей III Международной научно-технической» конференции «Аналитические' и численные методы моделирования естественнонаучных. и социальных проблем», 2008. - Пенза, 2008 - С.241-244.

8. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. О приближенном решении граничного интегрального уравнения задачи обтекания,тонкого изолированного профиля с эжекцией // Труды XIV Международного симпозиума МДОЗМФ, 2009: -Харьков-Херсон, 2009 - С.231-235.

9. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Приближенное решение методом наложения сингулярного интегрального уравнения с ядром Гильберта в классе обобщенных функций // Сборник статей V Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем», 2010. - Пенза, 2010 - С.25-28.

10. Матвеев А.Ф., Белорозов* P.C. К расчету аэродинамических характеристик задачи обтекания профиля с отсосом жидкости с его поверхности // Материалы IX Всероссийской научно-технической конференции «Научные чтения по авиации, посвященные памяти Н.Е. Жуковского», 2010. - Москва, 2010 - С.31-32.

11. Матвеев А.Ф., Белорозов P.C. Об одном методе численного решения интегрального уравнения с сильной особенностью задачи обтекания профиля с отсосом внешнего потока // Труды международных школ-семинаров «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики». Выпуск 8. Орел: ОГУ. - 2010, с.70-75.

12. Белорозов P.C., Матвеев А.Ф. О математическом моделировании стохастических задач аэродинамики обтекания крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности // Труды XV Международного симпозиума МДОЗМФ, 2011. - Харьков-Херсон, 2011 - С.264-267.

Основные понятия и обозначения

Ниже приводятся основные понятия и обозначения, используемые в настоящей диссертации.

Следуя работам [14, 15, 32,33,45] введем следующие классы действительных функций: г - функции непрерывные по Гёльдеру;

Н - функции непрерывные по Гёльдеру на отрезке [,—1;1] и имеющие г производных Г {х), где f (х) е h на отрезке [-1;1]; - функции непрерывные но Гёльдеру на любом отрезке, вложенном f(x) в [-1; 1], а вблизи концов с = ±1, представимых в виде —v ' , где 0 < а < 1, f{x)е h на отрезке f-l;l|; Р (р = y/wq, уле /?.}, где w-(х) = — х-д

Множество разобьем на классы, характеризующие поведение функции на концах отрезка [-1; 1]: со) - класс функций из неограниченных вблизи концов х = -1 и х = 1;

- класс функций из , ограниченных вблизи конца х-с, где с = -1 или с-1; х = 1.

- класс функций из кд,, ограниченных вблизи концов х = -1 и

Аналогично разобьем множество функций К на классы: к (оо) - класс функций из К, неограниченных вблизи концов х = -\ и х-1; к (с) - класс функций из К, ограниченных вблизи конца х = с, где с = —1 или с = 1; к (-1; 1) - класс функций из К, ограниченных вблизи концов х = ~\ и х = 1;

А->0 г 1 Г А А] > -"-о е к

2 2 0, й к к\

2 2

Введем пространство функций, определенных на [-1;1], квадрат модуля которых интегрируем с весом р(х)> 0 на отрезке [-1;1]:

Пространство функций !]) со скалярным произведением: 1 я)= ¡р(х)/(х)8(х)^х> / е £2,Д-1; 1]) становится гильбертовым. В

-1 нем имеется полная ортонормированная система базисных функций Рп (х) относительно которой любая функция р(х)е12;Д-1;1]) представима рядом 1 ср{х) = ^(¡>(п)Рп{х), где (р{п)= ^р{х)ср{х)Рп(х)с1х. Норма функций ср{х) в данном

-1 гильбертовом пространстве определяются формулой

Кх%,Р = .И^М*)!2^ = <00 •

-1 п=О

Следуя [14, 15], с пространством ¿2;р([-1; 1]) свяжем пространство

Нл.р([- % 1]) типа соболевского.

Определение. Пусть ЛеК - произвольное действительное число. Весовым пространством НХ р = НХ р (х)}) на [-1; 1] будем называть множество таких функций (или обобщенных функций для А < 0) и(х), что

СО 1 функция ил(х) = ^Л7(п)Р11(х), где й(я)= |,р(х)и(х)Р„(х)Л = (к(*);Рв(х))9

О х принадлежит пространству Ьг.р, где п = тах{1; п}. Нормой функции и(х) в

СО пространстве Яд р назовем число = ^йл\КпТ ♦ Скалярным п= О произведением- функций м(х) и- у(х) из пространства1 НХр будем называть

СО 1 число (и, у) = ^пхй(п)Ъ{п). Относительно этого скалярного произведения п~0 пространство НКр становится гильбертовым.

Краткое содержание диссертации:

Первая глава рассматривает вопросы математического моделирования, обтекания плоских задач аэродинамиктметодом дискретных вихрей, при этом важная роль отводится вопросам' моделирования аэродинамических задач обтекания профиля с отсосом внешнего потока.

В главе описаны существующие вычислительные схемы построения численного решения сингулярных интегральных уравнений с фиксированной гиперсингулярностью, которые возникают при решении задач аэродинамики профиля с отсосом внешнего потока.

Во второй главе разработан и обоснован метод наложения численного решения сингулярного интегрального уравнения (СИУ) первого рода с ядром Коши, содержащего конечное число точек, фиксированной гиперсингулярности. Такие уравнения возникают в задаче обтекания тонкого профиля с отсосом внешнего потока.

Рассматривается характеристическое сингулярное интегральное уравнение первого рода с фиксированной гиперсингулярностью [14]

1 '/!,'/.«.( 1:1), (1) где б - некоторое число; (в задачах аэродинамики 0 = СЧ - безразмерный коэффициент интенсивности стока- моделирующего отсос внешнего потока с поверхностшкрыла); а;функция 6(х0-д) определяется следующим образом

-ч) = 1

Р,*0 е(-1;1) . у, при этом I 6(х0 - ц)с1х0 = 1. +оо,х0 = д ^

С таким- уравнением приходится иметь, дело при моделировании; процесса обтекания тонкого, профиля с: отсосом внешнего потока в случае нетрадиционного подхода* выполнение граничного? условия; непротекания« на поверхности профиля: Решение уравнения (1) ищется в трех различных классах функций, определяемых характером поведения искомой функции- на концах отрезка интегрирования.

Предлагается метод приближенного решения; уравнения (1), суть которого состоит в редукции задачи4 решения СИУ с фиксированной гиперсингулярностыо (1) в классе неинтегрируемых функций к равносильной ей; в определенном смысле, задаче решения другого СИУ в классе функций, удовлетворяющих условию Гельдера внутри отрезка интегрирования. Применяя затем: к полученному после редукции СИУ вычислительную схему метода дискретных вихрей с равномерным или с неравномерным распределением узлов, получим приближенное решение исходного СИУ. Следует заметить, что вычислительная схема метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов, применяемая к редуцированному уравнению (к уравнению (1) такая схема не применима), приводит к приближенному решению исходного; СИУ (1) с интерполяционной степенью точности.

Метод наложения решения полного СИУ с сильной особенностью в правой части

I + fjCfaxXx-gyyM^-ffä-Qßfa-g), (2) где Q - некоторая константа, q е (-1;1) - точка гиперсингулярности, К(х0,х) известная функция непрерывная по Гельдеру на [—l;l]x[—1;1], состоит в редукции задачи решения интегрального уравнения (2) к равносильной ей, в определенном смысле, задаче решения совокупности уравнений

1 j'x(x0,x)(x-g}Yi(x)dx = -/(x0)f wZ.i х~хо 7ri 1 ГK(xo:x)(x-q)j2(x)dx = -QS(x0-q). (3)

7Г" X — XQ J

Применяя метод регуляризации Карлемана-Векуа из монографии Мусхелишвили Н.И, [35] и теоремы 2, 3 из работы Матвеевой A.A. [33] можно показать, что решение СИУ (3) в классе функций hq. с сильной особенностью в правой части находится из в классе функций К с гладкой v правой частью, а решение уравнения (2) допускает представление в виде /(x) = 7i (Х) + У2(Х)- Это, в свою очередь, дает возможность применить вычислительную схему метода дискретных вихрей с неравномерным распределением узлов (к уравнению (2)« эта вычислительная схема не применима).

В данной главе сформулированы и доказаны теоремы 1-10 о сходимости численного решения к точному для характеристического и полного СИУ индекса к = -1,0,1 с фиксированной гиперсингулярностью на отрезке.

Кроме того, во второй главе показано, что метод наложения легко обобщается на случай любого конечного числа точек гиперсингулярностей.

В заключение главы приводятся результаты численного решения методом наложения СИУ первого рода с ядром Коши задачи стационарного обтекания тонкого профиля с любым конечным числом точек отсоса внешнего потока. При этом проводится сравнение численного решения, полученного известными методами [13, 14, 26, 27], и предлагаемого в диссертационной работе численного метода.

В третьей главе предложен метод наложения численного решения СИУ первого рода с ядром Гильберта с любым конечным числом точек гиперсингулярности. Такие уравнения возникают в задачи обтекания телесного профиля с отсосом внешнего потока.

Рассмотрим систему интегральных уравнений 27Г [<~Мч Ч)

4)

-|7(«)Л=0

Если правая часть первого уравнения системы (4) удовлетворяет необходимым и достаточным условиям разрешимости

2тг (/(*0 ) + б6 (Х0 ~ = 0 > О то система (4) имеет единственное решение вида

Приближенное решение системы (4) методом наложения будем определять по формуле \ / \ б х — а 7(*) = 71 (*)-—<*£-£-» где 7! (х) - решение системы

1 X

2п о 2

J Ъ(х)<Ь = О . о которая решается численно методом дискретных вихрей' [27]. При этом значение регуляризирующей переменной 70 характеризует степень разрешимости системы (4). Если система (4) разрешима, то 70 = 0.

Затем вычислительная* схема метода» наложения обобщена на случай наличия на области интегрирования конечного числа точек гиперсингулярности. Также проводится сравнение результатов численного решения- задачи о телесном профиле, поученных методом наложения и методами работ [14, 26].

Далее в данной главе представлены, результаты численного решения задачи' стационарного обтекания телесного^ профиля с любым конечным числом точек отсоса внешнего потока, полученные с использованием1 метода наложения.

В четвертой главе строится^ стохастическая (случайная) модель некоторых задач аэродинамики обтекания? профиля и. тонкого« крыла с отсосом внешнего потока с его» поверхности. Вихревым методом? [27] рассматриваемые задачи аэродинамики- сводятся к соответствующим стохастическим интегральным уравнениям с сильной особенностью в ядре. Под термином стохастические интегральные уравнения в данной работе понимаются уравнения, в которых* правые части являются случайными функциями. С применением вычислительных схем метода наложения в данной главе ищется численное решение возникающих стохастических интегральных уравнений задач аэродинамики.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, отражающие ее научную новизну и практическую значимость.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Белорозов, Роман Сергеевич

Выводы

В целом предлагаемая в настоящей работе стохастическая модель обтекания профиля и тонкого крыла (пластины) с отсосом внешнего потока с его поверхности и ее численная реализация, использующие аппарат теории случайных функций и метод наложения, позволяют дать рекомендации^ о возможных диапазонах изменения исходных данных в'условиях возмущений случайного характера, а также о реакции модели на часто встречающие на практике возмущения.

Проведенные исследования позволили сформулировать следующие результаты и выводы:

1. Предложен и реализован численный метод (метод наложения) решения сингулярных интегральных уравнений первого рода с фиксированной гиперсингулярностью с ядром типа Коши и Гильберта, который позволяет существенно повысить скорость сходимости приближенного решения к точному за счет использования вычислительных схем с неравномерным распределением узлов.

2. Осуществлено численное решение методом наложения задачи об обтекании профиля при наличии на нем любого конечного числа точек отсоса внешнего потока.

3. Построена стохастическая модель обтекания профиля и тонкого крыла с отсосом внешнего потока с его поверхности, численная реализация которой использует вычислительные схемы метода наложения.

4. Разработан пакет программ, с помощью которого проведены вычислительные эксперименты по расчету аэродинамических характеристик профиля с конечным числом точек отсоса внешнего потока и даны рекомендации о возможных диапазонах изменения исходных данных в условиях возмущений случайного характера, а также о реакции модели на данные возмущения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Белорозов, Роман Сергеевич, 2011 год

1. Бабакин В.И., Бедоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование:на ЭВМ; М.: Наука, 1989.

2. Бушуев В.И. Исследование на ЭВМ влияния отсоса потока и механизации крыльев на их. аэродинамические характеристики. Межвузовский сборник. Гидродинамика больших скоростей. Красноярск: КИИ, 1986.

3. Бушуев, В:И., Зубок В .В. Аэродинамика самолетов с органами управления и механизации / Под ред. В.И.Бушуева. М.: изд. ВВИА им. проф. Н:Е. Жуковского, 2008. — 288 с.

4. Бушуев В .И., Лифанов И.К. Численное решение- сингулярных интегральных уравнений в классе сингулярных функций и задача отсоса потока в аэродинамике // Журнал вычислительной математики и математической физики, №10. Москва, 1986 - G. 1572-1577.

5. Вайникко Г.М., Лебедева. Н.В., Лифанов! И.К. Численное; решение сингулярного и гиперсингулярного интегральных уравнений на отрезке и дельта-функция; // Математический сборник, т. 193 • №10 Москва, 2002 -С.3-16.

6. Голубев В.В. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке // Л.: ГИТТЛ, 1938, 260с.i i320с.

7. Димитрогло М.Г. Диссертационная работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 2003 г.

8. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха. A.B. О новом способе , расчета обтекания тонкого профиля идеальной жидкостью с отсосомвнешнего потока. НММ кафедры аэродинамики ВАТУ им. Н.Е.Жуковского. 2002, с.96-112.

9. Димитрогло М.Г., Лифанов И.К., Сетуха A.B. Расчет обтекания-крыла конечного размаха с отсосом внешнего потока. НММ кафедры аэродинамики ВАТУ им. Н.Е.Жуковского. Москва, 2002, с.113-132.

10. Зиберов В.А, Лифанов И.К. К численному решению задачи для профиля с рулевой поверхностью. В кн.: Динамика сплошной, среды с нестационарными границами.Чебоксары, 1984.

11. Колмагоров А.Н. Интерполяция и экстраполяция стационарных случайных последовательностей / Вестник МГУ. Серия математическая, №5, 1941.

12. Колмагоров А.Н. Основные понятия* теории вероятностей. Ml: ОНТИ, 1936.

13. Кочетков Ю.А. Основы автоматики авиационного оборудования: -изд. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского, 1995.

14. Лебедева Н.В. Диссертационная работа на соискание- ученой степени кандидата физико-математических наук, 2002 г.

15. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М., ТОО «Янус». 1995. -с.519.

16. Лифанов И.К. О математических вопросах метода дискретных вихрей и сингулярных интегральных уравнениях // Труды ВВИА им. проф. Н.Е.Жуковского, вып. 1309, 1979.

17. Лифанов И.К., Сетуха A.B. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. // Дифференциальные уравнения, т.35, №9. Москва, 1999. - С. 1227-1241

18. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения // Вычислительные процессы и системы М. Наука, 1990 г., вып. 7. - С. 94-273.

19. Матвеев А.Ф. О построении статистических решений сингулярных интегральных уравнений со случайной правой частью // Дифференциальные уравнения, т.32, №9. Москва, 1996. - С.1153 - 1160.

20. Матвеев А.Ф., Матвеева A.A. О сингулярном интегральном уравнении с фиксированной гиперсингулярностью // Труды XI Международного симпозиума МДОЗМФ, 2003. Харьков-Херсон, . 2003 -С.176-181.

21. Матвеев А.Ф., Матвеева A.A. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения аэродинамики с фиксированной гиперсингулярностью // Дифференциальные уравнения, т.39, №9. — Москва, 2003.-С.1262- 1271.

22. Матвеева A.A. Диссертационная- работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, 2006 г.

23. Мусхелишвили Н:И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.-512 с.

24. Прандтль JI. Механика низких жидкостей. М.: Оборонгид, 1939.'

25. Пугачёв B.C. Теория вероятностей и математическая статистика // М.: Физматлит, 2002.

26. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962.

27. Пугачев B.C., Казаков И:Е., Гладков Д.И., Евланов Л:Г., Мальчиков C.B., Мишаков А.Ф., Седов В.Д., Соколов В.И. Основы теории автоматического управления. — М.: Наука., 1974.

28. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд. испр.- М: Физматлит.- 2001.- 320 с.

29. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. — М.: Наука, 1968.

30. Сетуха А.В. Диссертационная работа на соискание ученой степени доктора физико-математических наук, 2003 г.

31. Сетуха А.В. О плоской краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. // Дифференциальные уравнения, т.38, №9 — Москва, 2002.-С.1172-1182

32. Сетуха А.В. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши на отрезке в классе обобщенных функций. // Дифференциальные уравнения, т.40, №9. Москва, 2004. - С. 1208-1218.

33. Сетуха А.В. Фундаментальные решения плоской краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа. // Дифференциальные уравнения, т.39, №1.- Москва, 2003. С.125-132.

34. Статистическая динамика и оптимизация управления летательных аппаратов: Учеб. пособие для авиац. спец. вузов / А.А.Лебедев, В.Т. Бобронников, М.Н.Красилыциков, В.В.Малышев. Ml: Машиностроение, 1985.

35. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены М:: Наука.- 1979.-416 с.

36. А.с. №1103670 (СССР). Способ изменения аэродинамических характеристик несущей поверхности'летательного аппарата. / В.И. Бушуев, И.К. Лифанов, М.И. Ништ, 1984. (Патентный документ).

37. Koening D.G., Falarski M.D. Aerodynamic characteristics of large-scale* /V**" оmodel with a swept and augmented jet flat'// NASA TMX 62029/ -1972. . . i

38. Lifanov I.K., Singular solutions ,of singular integral equations end,flow'" ejecting for an arbitrary by contur.// Sov.J.Nomber. Anal. Math. Modelling. 1989. V.4. №3. - p239-252.

39. Woolard H.W. Thin-airfoil theory of an ejector-flapped wing section. Journal Of Aircraft, 1975, v. 12, №1.