Гиперсингулярные интегральные уравнения математических моделей аэродинамики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Матвеева, Анна Александровна

• Матвеева, Анна Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Матвеева, Анна Александровна

Введение.

Глава 1. Моделирование задач аэродинамики и других областей естествознания граничными интегральными уравнениями с сильной особенностью

1. Математическое моделирование и процесс создания математической модели.

2. „ Словесная " постановка задач аэродинамики при моделировании плоскопараллельного обтекания тела методом дискретных вихрей

2.1. Общая постановка задачи обтекания профиля

2.2. Основные положения метода дискретных вихрей

3. Математическая постановка стационарной задачи аэродинамики в плоском случае

3.1. Математическая постановка задачи обтекания проницаемого профиля.

3.2. Учет телесности

3.3. Учет поверхности раздела.

3.4. Тонкий профиль с эжекцией

4. Граничные интегральные уравнения с сильной особенностью задач аэродинамики профиля

Глава 2. Линейные гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода на отрезке [—1,1] и их приближенное решение

1. Введение.

2. Основные понятия и обозначения.

3. Гиперсингулярный интеграл (ГИ) и его свойства

4. Формула перестановки порядка интегрирования.

5. Гиперсингулярные интегральные уравнения (ГИУ).

6. Решение доминантного и транспонированного с ним уравнений.

7. Характеристики ГИУ и его регуляризация.

8. Некоторые сведения из теории СИУ.

9. Регуляризация полного ГИУ.

10. О другом способе исследования полного ГИУ.

11. Приближенное решение ГИУ методом механических квадратур средних прямоугольников.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперсингулярные интегральные уравнения математических моделей аэродинамики»

2. Основные понятия и обозначения.74

3. Постановка задачи.75

4. СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точке q е(-1,1) .76

5. Об одном свойстве оператора S(olqI.80

6. Приближенное решение СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в классе h.82 я

7. СИУ с фиксированной гиперсингулярностью в точках р и q е (-1,1).89

Литература.92

Приложение.101

1. Основные понятия и обозначения.101

2. Примеры численного решения гиперсингулярных интегральных уравнений математических моделей аэродинамики.105

Введение

Процесс познания окружающего мира в значительной степени основан на создании моделей, построенных по сходству и аналогии с изучаемыми объектами. При описании модели, как правило, используют язык математики, а модель называют математической. Построенная модель должна быть простой, но не более того. Она должна отражать те и только те аспекты, которые соответствуют цели проводимого исследования.

Математическое моделирование исходной проблемы представляет собой сложную задачу для осуществления которой, как правило, формируется научная группа исследователей обладающих глубокими знаниями предметной области, высокой математической культурой, опытом построения моделей, развитой интуицией и в совершенстве владеющих методами вычислений и программирования на компьютере.

Научные группы связанные одной тематикой и методологией проведения научных исследований под руководством ведущих специалистов в области математического моделирования образуют научные школы.

Одна из таких школ специализирующаяся на решении задач аэродинамики создана в ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского С.М. Белоцерковским и активно функционирует и развивается в настоящее время под руководством его последователей и учеников. Обзор полученных в этом направлении результатов можно найти, например, в монографиях и статьях С.М. Белоцерковского, М.И. Ништа, И.К. Лифанова, А.И. Желанникова, В.И. Бушуева, В.А. Апаринова, В.В. Вышинского, Б.С. Крицкого, JI.H. Полтавского, А.В. Сетухи и др. Характерной особенностью данной школы является метод проведения научных исследований, получивший широкое признание и известность как „ метод дискретных вихрей ".

Метод дискретных вихрей хорошо зарекомендовал себя при решении многих практических задач аэрогидродинамики. Основные положения метода изложены в монографии [8] и развиты в работах [7], [9], [10], [ДО] и других.

На основе метода дискретных вихрей разработаны линейная и нелинейная теории крыла и летательного аппарата в целом, для которых построены различные уровни схематизации самолетов и вертолетов. Наиболее общей является нелинейная нестационарная теория, включающая решение как стационарных, так и нестационарных задач [5], [6], [14]. На базе метода дискретных вихрей разработаны математические модели спутных следов и их воздействия на самолеты. Основные результаты по этой обширной тематике опубликованы в монографиях [14], [6].

Много новых и интересных результатов методом дискретных вихрей получено в ЦАГИ и на кафедре аэродинамики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. С помощью метода дискретных вихрей Б.С. Крицким и В.В. Кушнируком моделировалось обтекание самолета с работающими винтами. Такие исследования позволяют еще на ранних этапах проектирования выявить влияние винтов на аэродинамику самолета. При этом можно исследовать влияние направления вращения винтов, а также отказа одного или нескольких двигателей на аэродинамические характеристики самолета. Одной из важных задач аэродинамики является также и моделирование обтекания самолета с работающей силовой установкой. Такие расчеты, например, для обтекания самолетов АН-72 и ИЛ-76 с работающими двигателями выполнены методом дискретных вихрей С.М. Еременко, Д.В. Морошкиным и M.JI. Дмитриевым по руководством А.Н. Же-ланникова.

Математические аспекты метода дискретных вихрей связанные с обоснованием имеющихся вычислительных схем, их дальнейшем развитием и усовершенствованием активно развиваются на кафедре высшей математики ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского под руководством И.К. Лифанова. Значительное продвижение вперед в области обоснования и развития метода граничных интегральных уравнений аэродинамики нашло свое отражение в монографиях и обзорных статьях [44], [22], Ц2], [>И], [24], [£б], . Суть математического моделирования задач аэродинамики методом дискретных вихрей состоит в следующем. Непрерывный вихревой слой, моделирующий несущую поверхность и след за нею заменяется системой дискретных вихрей. На несущей поверхности выбираются точки, называемыми расчетными, в которых выполняются условия непротекания (сумма нормальных составляющих скоростей, индуцируемых вихрями и набегающего потока равна нулю). Задача нахождения неизвестной циркуляции дискретных вихрей сводится к системе линейных алгебраических уравнений, которая представляет собой дискретный аналог граничного интегрального уравнения с интегралами имеющими сильную особенность в ядре.

В представленной диссертационной работе исследуются не достаточно изученные ранее математические аспекты моделирования методом дискретных вихрей ряда конкретных задач стационарной аэродинамики дозвуковых скоростей, а также тонких непроницаемых поверхностей оснащенных элементами эжекторной механизации.

Более подробное описание основных положений метода дискретных вихрей приводится в первой главе настоящей диссертации. В этой главе мы также формулируем основные принципы построения математических моделей научных и инженерно-технических задач, приводим конкретные примеры прикладных задач, описываемых граничными интегральными уравнениями с сильной особенностью, а также ставим проблемы возникающие на пути их математического моделирования. Поставленные проблемы будут решаться в последующих главах.

С точки зрения вычислительной математики метод дискретных вихрей представляет собой разновидность метода граничных интегральных уравнений, который играет одну из ведущих ролей среди методов математического моделирования научных и инженерно-технических задач.

Широкий круг задач аэродинамики, теории упругости, дифракции и других областей знаний при моделировании удобно сводить к граничным интегральным уравнениям.

В задачах теории упругости граничные интегральные уравнения используются для вычисления тензора напряжений. В задачах аэродинамики они применяются для вычисления интенсивности вихревого слоя на поверхности обтекаемых газом тел. В задачах электронной оптики и газовых разрядов граничные интегральные уравнения привлекаются для вычисления плотности тока эмиссии с отрицательного электрода. В теории скин-эффекта интегральными уравнениями описывается плотность тока, текущего по проводящим телам трехмерного пространства.

Главным достоинством метода граничных интегральных уравнений является его экономичность. Он позволяет понизить размерность решаемой краевой задачи математической физики, то есть свести исходную краевую задачу к интегральному уравнению по кривым, на которых заданы краевые и дополнительные условия.

Основные тенденции развития метода граничных интегральных уравнений, проблематика, результаты и приложения изложены в обзорных работах и статьях В.И. Дмитриева, Е.В Захарова, Ю.В. Пименова, И.К. Каландия, Д. Кол-тона, Р. Кресса, Ю.А. Еремина, И.К. Лифанова, Г.М. Вайникко, Е.Е. Тыртыш-никова, А.Б. Самохина, Б.Г. Габдулхаева, В.В. Панасюка, М.П. Саврука, З.Т. Назарчука, В.З. Партона, П.И. Перлина, 3. Прёсдорфа, Б. Зильбермана и др.

Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне одного разреза произвольной формы была сведена Е.В. Захаровым и его учениками к гиперсингулярному интегральному уравнению в [31], [j>9] при помощи потенциала двойного слоя. При этом было показано, что если соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение, то неоднородное уравнение однозначно разрешимо.

М. Durand в [82] методом потенциала двойного слоя задачу Неймана вне одного разреза произвольной формы для уравнения Гельмгольца свел к гиперсингулярному интегральному уравнению первого рода.

Существенный вклад в исследование задачи рассеяния Е-волны на экране произвольной формы внесли работы, связанные с использованием метода саморегуляризации.

В.И. Дмитриев и Е.В. Захаров в [27] рассмотрели интегральное уравнение I рода с ядром имеющим логарифмическую особенность, и, предполагая единственность решения, доказали существование решения в некотором классе гладкости. При этом, с использованием аппарата сингулярных интегральных уравнений, интегральное уравнение первого рода было преобразовано в уравнение второго рода. Также в этой работе были предложены численные методы решения интегрального уравнения первого рода с логарифмической особенностью.

Сделав априорное утверждение о гладкости плотности в потенциале, авторы сводили задачу к системе алгебраических уравнений. В случае цилиндрической Е-поляризованной волны, дифрагируемой на уголковом отражателе, таким методом решение получено Е.В. Захаровым и Ю.В. Пименовым [Z9], [92].

В [37] А.Н. Каландиа решая задачу кручения упругих стержней (методом функции Грина) получил линейное сингулярное уравнение второго рода с ядром Коши на отрезке действительной оси. Ядро этого уравнения помимо подвижной сингулярности присущей ядру Коши, имеет также фиксированные сильные особенности на концах отрезка интегрирования. Подобные интегральные уравнения находят применение в граничных задачах теории упругости смешанного типа [19], см. также работы Н.Х. Арутюняна и B.J1. Абрамяна [4], Д.И. Шермана [81], В.В. Новожилова [67], Херцига (Herzig [83]) и Kandler [85].

В работах [32],[33] были рассмотрены задачи дифракции Е-поляризованного электромагнитного поля на идеально проводящем параболическом экране с конечным раскрывом и приведены результаты расчетов электромагнитных полей в ближней и дальней зонах. Рассматривались случаи как излучателя с заданной диаграммой направленности, так и наклонного падения плоской электромагнитной волны. Исследование было проведено на основе численного решения интегрального уравнения I рода методом саморегуляризации.

Ю.В. Пименов и Е.В. Захаров в [28] рассматривали плоские задачи дифракции на незамкнутых проводящих цилиндрических поверхностях. Был изучен случай как Е-поляризации поля (для экрана проводящей формы), так и Н-поляризации (для экрана совпадающего с частью какой-либо координатной плоскости).

Эти задачи были сведены к интегральным уравнениям первого рода, для которых предложены алгоритмы численного решения, основанные на идеях, изложенных в [27]. На основе численного решения интегральных уравнений проведен расчет диаграммы направленности для синфазной токовой нити, расположенной вблизи конкретных цилиндрических поверхностей.

Для случая обоих поляризаций Ю.В. Пименовым, Е.В. Захаровым [34], [35] разработана методика сведения задач дифракции к интегральному уравнению со слабой особенностью в ядре. В случае Н-поляризации задача сначала сводится к гиперсингулярному уравнению, которое затем сводится к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, при условии, что известны два линейно независимых решения дифференциального уравнения для скалярного потенциала на контуре экрана. Для широкого класса контуров такое построение возможно и может быть эффективно проведено. Был предложен и реализован алгоритм численного решения полученных интегральных уравнений.

Несколько иной подход к решению интегральных уравнений задачи дифракции Н-волны на криволинейном экране предложен З.Т. Назарчуком и его коллегами в [63], [72], [68]. Решение искалось в виде потенциала двойного слоя. Для плотности потенциала получалось гиперсингулярное интегральное уравнение. В [73], [64] З.Т. Назарчук с коллегами рассматривал задачу дифракции Е- и Н-поляризованной волны на цилиндрическом экране с сечением в виде кусочно-гладкой кривой. Для плотности потенциала была получена система интегральных уравнений первого рода. P. Wolfe исследовал разрешимость задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца на плоскости вне нескольких разомкнутых дуг произвольной формы [87]. Эта задача в [87] была сведена к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью в ядре. С помощью дифференцирования это уравнение было сведено к сингулярному интегральному уравнению.

В связи с широким распространением двузеркальных антенн в радиоастрономии, системах космической и спутниковой связи [66] задача дифракции Е- и Н-поляризованных волн на двух параболических экранах рассмотрена методом интегральных уравнений в [65].

Задача дифракции для нескольких криволинейных экранов в случае Е- и Н-поляризации падающей волны, изучалась В.В. Панасюком, М.П. Савруком, З.Т. Назарчуком [69], [74] с помощью численного моделирования. Решение краевой задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца разыскивалось в виде системы интегральных уравнений первого рода. Для краевой задачи Неймана была получена система гиперсингулярных интегральных уравнений. В статьях П.А. Крутицкого [40],[41] задачи Дирихле и Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости с помощью потенциала простого споя и неклассического углового потенциала сводились к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями.

Как видно из приведенных примеров большой популярностью пользуются математические модели описываемые интегральными уравнениями Фредголь-ма, интегральными уравнениями со слабой особенностью в ядре и линейными сингулярными интегральными уравнениями с ядрами Коши и Гильберта. Это обусловлено хорошо развитой теорией указанных интегральных уравнений, а также значительными достижениями полученными в вопросах построения и обоснования вычислительных схем приближенного решения таких интегральных уравнений.

Однако в последние годы ряд прикладных задач сводится к интегральным уравнениям с сильной особенностью содержащим гиперсингулярные интегралы, понимаемые в смысле конечной части расходящегося интеграла по Адама-ру. При этом одни прикладные задачи сводятся к интегральным уравнениям содержащим плавающую гиперсингулярность, а другие - к сингулярным интегральным уравнениям, допускающим в одной или нескольких фиксированных внутренних точках интегрирования гиперсингулярную особенность. В первом из этих случаев будем использовать термин - гиперсингулярные интегральные уравнения, а во втором - сингулярные интегральные уравнения с фиксированной гиперсингулярностью. В отличие от интегральных уравнений Фредгольма, а также линейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши и Гильберта указанные выше гиперсингулярные интегральные уравнения изучены не достаточно. Поэтому на пути математического моделирования прикладных задач с помощью этих уравнений возникает множество проблем, ряд из которых решается в настоящей диссертации.

Плоские задачи стационарной аэродинамики проницаемых и телесных поверхностей методом вихревых пар, при котором профиль моделируется слоем диполей, приводят к необходимости решения линейных гиперсингулярных интегральных уравнений на отрезке действительной оси, содержащих неизвестную интенсивность слоя диполей как под знаком гиперсингулярного интеграла, так и вне интегрального члена. Гиперсингулярный интеграл имеет сильную особенность и понимается в смысле конечной части по Адамару. В случае проницаемого тонкого профиля коэффициент при гиперсингулярном интеграле равен единице, а в случае телесного профиля при моделировании его толщины снесением граничных условий на серединную линию профиля, этот коэффициент является переменным.

По аналогии с интегральными уравнениями Фредгольма и линейными сингулярными интегральными уравнениями с ядром Коши и Гильберта, гиперсингулярные интегральные уравнения содержащие искомую функцию только под знаком интеграла будем называть уравнениями первого рода, а линейные уравнения содержащие искомую функцию под знаком гиперсингулярного интеграла и вне его - гиперсингулярными интегральными уравнениями второго рода.

Как показано в настоящей диссертации для гиперсингулярных интегральных уравнений такое разделение менее оправдано, чем для уравнений Фредгольма и сингулярных интегральных уравнений, хотя и несет определенную логическую нагрузку и удобства в изложении материала.

В отличии от гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода и интегродифференциального уравнения крыла самолета (уравнения Прандтля), которые подробно изучались в работах И.К. Лифанова, Е.В Захарова, И.В. Ха-леевой, А.И. Каландия, Б.Г. Габдулхаева и др., вопросы обоснования существования, единственности и построения методов приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода до настоящего времени практически не рассматривались. Таким образом, учитывая не изученность этих уравнений, рассмотрение их в настоящей диссертации представляется целесообразным и актуальным.

Во второй главе данной диссертации строится общая теория полных гиперсингулярных интегральных уравнений второго рода в обобщенных пространствах Н.И. Мусхелиишвили. Гиперсингулярные интегральные уравнения второго рода с решениями именно в этих пространствах возникают на этапе математического моделирования ряда важных задач аэродинамики. Используя тесную связь гиперсингулярного интеграла с сингулярным интегралом с ядром Коши и, опираясь на хорошо разработанную теорию сингулярных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений в диссертации были получены следующие новые результаты:

- введено понятие доминантного гиперсингулярного интегрального уравнения, гиперсингулярного интегрального уравнения нормального типа, характеристического и транспонированного;

- получена формула перестановки порядка интегрирования в повторных интегралах с гиперсингулярной особенностью;

- построен оператор союзный данному гиперсингулярному интегральному оператору;

- показано, что в отличии от теории сингулярных интегральных уравнений союзный гиперсингулярный интегральный оператор не совпадает с оператором, соответствующим транспонированному гиперсингулярному интегральному уравнению;

- исследована устойчивость квадратурных формул и численного решения задач аэродинамики.

В главе 3 изучается СИУ с ядром Коши с фиксированной гиперсингулярностью к которому сводится плоская краевая задача о нахождении векторной функции на разомкнутом контуре, возникающая при моделировании обтекания тонкого профиля безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости с отсосом внешнего потока

Предлагаются вычислительные схемы решения обсуждаемой задачи, обладающие интерполяционной степенью точности и дающие равномерную сходимость приближенного решения к точному на всем отрезке интегрирования.

На актуальность проводимых в диссертации исследований посвященных не изученным ранее математическим аспектам моделирования задач аэродинамики указывает также и то, что имеется не мало задач из других областей науки и техники при математическом моделировании которых возникают исследуемые в настоящей диссертации интегральные уравнения с сильной особенностью к которым могут быть применены полученные в диссертации результаты.

На этом завершаем изложение краткого содержания диссертационной работы. Диссертация построена таким образом, что каждую её главу можно читать не зависимо от других глав. Для этого нумерация формул в каждой главе не зависит от нумерации формул в других главах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Матвеева, Анна Александровна, 2006 год

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. - М. Н. 1978г. - 353с.

2. Апаринов В.А., Делеган В.М. Нелинейная математическая модель процесса неустановившегося движения на закритических режимах самолета и его вихревого следа. Техника воздушного флота. Т. LXXII, №6(635), 1998.

3. Арсенин В.Я., Белоцерковский С.М., Лифанов И.К., Матвеев В.Ф. // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, №3, с. 455-464.

4. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел. М.: Физматгиз, 1963.

5. Аубакиров Т.О., Белоцерковский С.М., Желанников А.И., Ништ М.И. Нелинейная теория крыла и ее приложение. Алмааты. Гылым. 1997.

6. Аубакиров Т.О., Желанников А.И., Иванов П.Е., Ништ М.И. Спутные следы и их воздействие на летательные аппараты. Моделирование на ЭВМ. Алмааты.: ТОО Мария, 1999.

7. Бабакин В.И., Белоцерковский С.М., Гуляев В.В., Дворак А.В. Струи и несущие поверхности. Моделирование на ЭВМ. М.: Наука, 1989.

8. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978.

9. Белоцерковский С.М., Дворак А.В., Желанников А.И., Котовкий В.Н. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов. Проблемы турбулентных течений. М.: Наука, 1987.

10. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К. Аэродинамические производные летательного аппарата и крыла при дозвуковых скоростях. М.: Наука, 1975.

11. Белоцерковский С.М., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.Н. 1985.

12. Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. // Method of discrete vortices. CRC Press. 1993.

13. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965.

14. Белоцерковский С.М., Скрипач Б.К., Табачников В.Г. Крыло в нестационарном потоке газа. М.: Наука, 1971.

15. Белоцерковский С.М., Ништ М.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование парашютов и дельтопланов на ЭВМ. М.: Машиностроение, 1987.

16. Белоцерковский С.М., Котовский В.Н., Ништ Н.И., Федеров P.M. Математическое моделирование плоскопараллельного отрывного обтекания тел. М.: Наука, 1988.

17. Белоцерковский С.М., Локтев Б.Е., Ништ М.И. Исследование на ЭВМ аэродинамических и аэроупругих характеристик винтов вертолетов. М.: Машиностроение, 1992

18. Белоцерковский С.М., Гиневский А.С. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей. М.: Физматлит, 1995

19. Бицадзе А.В. О местных деформациях при сжатии упругих тел. Сообщ. АН Груз. ССР, т. V, №8, 1944, с.761-770.

20. Бушуев В.И., Ганиев Ф.И., Локтев Б.Е., Ништ М.И., Шамшурин А.Д. Аэродинамическая компоновка и характеристики летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1987

21. Вайникко Г.М., Лебедева Н.В., Лифанов И.К. Численное решение сингулярного и гиперсингулярного интегральных уравнений на отрезке и дельта-функция. Математический сборник, 2002, т. 193, №10, с. 3-16.

22. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М. "Янус-К" 2001г.

23. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.Н. 1977.

24. Габдулхаев Б.Г. Известия вузов. Математика, 1974,№2, с. 12-24.

25. Габдулхаев Б.Г. // Итоги науки и техники. Матем. анализ. М. 1980. вып. 18, с. 251-307.

26. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода. Вычислительные методы и программирование. 1968. вып. 10, с. 49-55.

27. Дмитриев В.И., Захаров Е.В, Пименов Ю.В. Методы расчета электромагнитных полей в задачах дифракции на идеальнопроводящих поверхностях. Вычислительные методы и программирование. 1973. вып. 20, с. 106-125.

28. Еремин Ю.А., Захаров Е.В. О некоторых прямых и обратных задачах теории дифракции. Дополнение к книге Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987, с. 290-309.

29. Захаров Е.В. Пиминов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М. Радио и связь. 1982.

30. Захаров Е.В, Собянина И.В. Об одномерных интегродифференциальных уравнениях задач дифракции на экранах. ЖВМ и МФ, 1986. Т. 26, №4, с. 632-636.

31. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. и др. Численное решение задачи о возбуждении идеально проводящего параболического цилиндра облучателями разных типов. Численные методы электродинамики. 1978. вып. 2, с. 23-39.

32. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. и др. Численное решение задачи дифракции Е-поляризованной плоской волны на параболическом цилиндре с конечным раскрывом. Численные методы электродинамики. 1979. вып. 3, с. 30-35.

33. Захаров Е.В Об интегро-дифференциальных уравнениях в задачах на экранах. Вычислительные методы и программирование. 1978. вып. 28, с. 99-103.

34. Захаров Е.В, Пименов Ю.В. О численном решении задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых цилиндрических поверхностях. Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22, №5, с. 620-627.

35. Каландия А.Н. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973.

36. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. 1984.

37. Крейн С.Т. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.Н. 1971.

38. Крутицкий П.А. Задача Дирихле для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. ЖВМ и МФ. 1994, Т. 34, №8-9. с. 1237-1258.

39. Крутицкий П.А. Задача Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости. ЖВМ и МФ. 1994, Т. 34, №11. с. 1652-1665.

40. Лебедева Н.В. Вопросы численной реализации решений сингулярных интегральных уравнений на отрезке в классе обобщенных функций. Тр. международных школ-семинаров МДОЗМФ-2002, Орел, 2002, с. 49-53.

41. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М.:Наука. 1977.

42. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М. ТОО "Янус", 1995г. 520с.

43. Лифанов И.К. Известия вузов. Математика. 1980. №8, с. 44-51.

44. Лифанов И.К., Сетуха А.В. О сингулярных решениях некоторых краевых задач и сингулярных интегральных уравнений. // Дифференциальные уравнения, т. 35, №9, с. 1227-1241, 1999г.

45. Лифанов И.К., Тыртышников Е.Е. // Вычислительные процессы и системы. М. Наука, 1990. вып. 7, с. 94-273.

46. Лифанов И.К. // ДАН СССР, 1980. Т. 255, №5, с. 1046-1050.

47. Lifanov I.K. Singular Integal Equations and Descrete Vortices. VSP,1996.

48. Lifanov I.K., Matveev A.F., Molyakov N.M. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1992. Vol. 7, №2, p. 109-144.

49. Lifanov I.K. Ponarin L.N., Setukha A.V. Mathematical modeling of the rotor of a helicopter with ejection devices. //Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. Vol. 14, №3, 1999, p. 237-264.

50. Матвеев А.Ф. О приближённом решении действительного сингулярного интегрального уравнения на спектре. // Дифференциальные уравнения, т. 35, №9, с.1206-1218, 1999г.

51. Матвеев А.Ф., Матвеева А.А. Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения аэродинамики с фиксированной гиперсингулярностью. // Дифференциальные уравнения. Т. 39, №9, с. 1262-1271, 2003.

52. Матвеев А.Ф., Матвеева А.А. О сингулярном интегральном уравнении с фиксированной гиперсингулярностью. Труды XI Международного симпозиума МДОЗМФ-2003, Харьков-Херсон 2003, с. 176-181.

53. Матвеева А.А. О приближёном решении интегральных уравнений с сильной особенностью в ядре.// Дифференциальные уравнения, т. 33, №9, с. 12531259, 1997г.

54. Матвеева А.А. О приближенном решении сингулярных интегральных уравнений на отрезке в классе неинтегрируемых функций. Труды X международного симпозиума МДОЗМФ-2001, с. 216-220.

55. Matveeva А.А. On the hypersingular second kind integral equations on the segment -1,1]- Addison Wesley Longman, Pitman Research Notes in Mathematics, 1997, pp. 160-164.

56. Matveeva A.A. On the hypersingular second kind integro-differential and integral equations on the segment -1,1]. ECMI Proceedigs ECMI - 96, 1997, Lyngby/Copenhagen, Denmark, 1997, pp. 38-39.

57. Matveeva A.A. On the hypersingular second kind integral equation for problems of electromagnetic scattering from screen surfaces. IMSE'96. Proceedigs -IMSE'96, Technology University of Onlu, Finland, 1997, pp. 123-128.

58. Морозов В.И., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем. М.: Физматлит, 1995.

59. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.Н. 1968.

60. Назарчук З.Т. Идеально поводящий криволинейный экран на поле Н-поляризованной электромагнитной волны. Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, JN4, с. 701-708.

61. Назарчук З.Т. Численное исследование дифракции волн на цилинрических структурах. Киев: Наукова думка. 1989.

62. Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на криволинейных экранах. Теорет. электротехника. 1981. вып. 31, с. 70-75.

63. Нарбут В.П. О поляризационных характеристиках двузеркальных антенн. Изв. вузов. Радиофизика. 1979. Т. 22, №5, с.628-638.

64. Новожилов В.В. Теория упругости. JL: Судпромгиз. 1958.

65. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка. 1984.

66. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Плоская задача дифракции электромагнитного поля на системе криволинейных экранов. Докл. АН СССР. 1980. Т. 252, №5, с. 1101-1104.

67. Прандтль JI. Механика вязких жидкостей. М.: Оборонгиз, 1939.

68. Рахматулин Х.А. // Вестник Московского Университета. Физ. Мат. и Естест. наук. 1950, 2, с. 41-55.

69. Саврук М.П., Назарчук З.Т. и др. Дифракция электромагнитного поля на криволинейном идеально проводящем экране (Е-поляризация). Теорет. электротехника. 1980. вып. 28. с. 60-65.

70. Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитных волн на идеально проводящем экране. Отбор и передача информации. 1981. вып. 63. с. 43-49.

71. Саврук М.П., Назарчук З.Т. Дифракция электромагнитного поля на системе криволинейных экранов. Отбор и передача информации. 1982. вып. 66, с. 46-52.

72. Сетуха А.В. Определение сил, действующих на профиль при наличии отсоса внешнего потока, //в сборник Численные методы интегральных уравнений в прикладных задачах. Научно-методические материалы каф. 104 ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1994.

73. Сетуха А.В. О плоской краевой задаче Неймана с обобщенными граничными условиями. // Дифференциальные уравнения, т. 38, №9, 2002, с. 11721182

74. Сетуха А.В. Фундаментальные решения плоской краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа. // Дифференциальные уравнения, т. 39, №1, 2003, с. 125-132

75. Тарасов В.Н. Численный анализ асимптотических формул для волнового поля отраженного от цилиндрической поверхности с произвольной максимальной кривизной. Записки научных семинаров Ленинградского отделения МИ АН СССР, 1978, вып. 78, с. 211-219.

76. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. И.Л. 1960.

77. Хвелидзе Б.В. // Тр. Тбил. Мат. Ин-та, 1956, 23.

78. Шерман Д.И. К решению плоской статистической задачи теории упругости при заданных на границе смещениях. Докл. АН СССР, т. XXVII, №9, 1940, с. 911-913.

79. Durand М. Layer potentials and boundary value problems for the Helmhotz equation in the complevent os a thin obstacle. Math. Meth. Appl. Sci/ 1983. v.5, p. 389-421.

80. Herzig A. Zur Torsion von Staben. Z. Angew. Math. Mech., Bd., 33, №12,1953, s. 410-428.

81. P. Junghanns and B. Silbermann // Numerical analysis of the quadrature method for solving linear and nonlinear singular integral equations. Wiss. Schriftenreihe der Technischen Universitat Cheemnitz, 1998.

82. Kandler P. Zur Torsionprismatischer Stabe. Z. Angew. Math. Mech., Bd., 43, №10/11, 1963, s. 441-457.

83. S. Prossdorf and B. Silbermann. Numerical Analisys for Integral and Related Operator Equations. Akademie- Verlag, Berlin, 1991.

84. Wolfe P. An existence theorem for the rediced wave equation. Proc. AMS. 1969. V. 21, p. 663-666.

85. Vyshinsky V.V. Studies on vortex wake evolution and flight safety problems. SAE 96-5562, 1996, pp. 1-11.

86. Vyshinsky V.V. Investigation of Vortex Wake Evolution and Flight Safety Problems. Trudy TsAGI, vol. 2627, 1997, pp. 5-23.

87. Vyshinsky V.V., Yaroshevsky V.A. Vortex wake-safety aerodynamics and flight dynamics aspects of the problem. Institute of Aeronautics and AppliedMechanics Warsaw University of Technology, Research Bulletin, № 8, 1998, pp. 25-33.

88. Kuznetsov O.A., Vyshinsky V.V. Wake vortex problems for the airport with crossing runways. Proceedings of the EUROMECH colloquium, № 433,2002/

89. E.B. Захаров, Ю.В. Пименов. О влиянии уголкового рефлектора на диаграмму направленности линейного излучателя. // Изв. Вузов. Радиофизика 1975, т. 18, № 3, с. 418-424.

90. Gaidaenko V.I., Lifanov I.K. On the mathematical model for nonlinear stationary aerodynamic problems. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. -1993, vol. 8, N4, pp. 285-295.

91. Gaidaenko V.I., Lifanov I.K. Mathematical modeling of a stationary flow around a flying vehicle with allowance for jets and air intakes. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modeling. 1997 - vol. 12, N 1, pp. 33-51.

92. Димитрогло М.Г. Математическое моделирование воздействия отсоса внешнего потока на концевые вихри. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва 2003.