Численное моделирование во временной области для решения задач акустической томографии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кузовова Анжела Евгеньевна

• Кузовова Анжела Евгеньевна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Кузовова Анжела Евгеньевна

Введение

1 Численные методы решения прямых и обратных задач акустического зондирования

1.1 Методы решения прямых задач

1.1.1 Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца

1.1.2 Метод конечных разностей во временной области

1.1.3 Метод конечных элементов

1.1.4 Метод функции Грина

1.1.5 Метод гидродинамики сглаженных частиц

1.1.6 Метод динамики частиц

1.1.7 Метод молекулярной динамики

1.2 Методы решения обратных задач

1.2.1 Итерационный метод

1.2.2 Метод многомерной согласованной фильтрации в приближении однократного рассеяния

1.2.3 Метод временного обращения волн

1.2.4 Метод дифракционного суммирования

1.2.5 Метод обратной временной миграции (ЯТМ)

2 Описание волновых процессов в модели динамики частиц

2.1 Вывод волнового уравнения в модели динамики частиц в линейном

приближении

2.1.1 Вывод волнового уравнения в приближении одномерной цепочки частиц

2.1.2 Вывод волнового уравнения в трехмерном случае для кубической объемно-центрированной кристаллической решетки

2.1.3 Вывод волнового уравнения в трехмерном случае для кубической кристаллической решетки

2.1.4 Сравнение решения волнового уравнения с решением, полученным методом динамики частиц и в среде Comsol Multiphysics

2.1.5 Метод реализации Perfect Matched Layer (PML) для волнового уравнения

2.2 Численное моделирование волновых процессов методом динамики частиц

2.2.1 Моделирование фокусировки акустической линзой плоской волны

2.2.2 Моделирование распространения сферической волны от источника

2.2.3 Моделирование распространения плоской волны под углом

2.2.4 Моделирование анизотропных свойств среды

2.2.5 Моделирование распространения акустических волн при прохождении через газообразные и твёрдые среды и границы раздела между ними методом динамики частиц

2.3 Реализация Perfect Matched Layer (PML) методом динамики частиц

2.4 Описание нелинейной среды методом динамики частиц

2.5 Применение подхода, основанного на методе динамики частиц, при разработке ультразвуковых инструментов

2.5.1 Теоретические исследования акустических волн в волноводах

2.5.2 Моделирование ультразвукового волновода в среде COMSOL Multyphisics

2.5.3 Моделирование ультразвукового волновода на основе аналитического решения уравнения Гельмгольца

2.5.4 Моделирование ультразвукового волновода в разработанном программном обеспечении

3 Обратные задачи

3.1 Восстановление двух сферических источников в изотропной среде

3.2 Восстановление источников в неоднородной среде методом обратного распространения волн в модели динамики частиц по результатам численного моделирования

3.3 Экспериментальное восстановление источников акустических волн в модели динамики частиц

3.4 Экспериментальное восстановление отверстия в звуконепроницаемом экране в модели динамики частиц

3.5 Экспериментальное восстановление источников, скрытых за неоднородными преградами, в модели динамики частиц

3.6 Экспериментальное восстановление звукоизлучающего объекта сложной формы

3.7 Метод акустической томографии с высоким разрешением для произвольного широкополосного зондирующего сигнала на волновом уравнении

3.7.1 Математическое описание метода решения прямой задачи

3.7.2 Математическое описание метода решения обратной задачи

3.7.3 Применение метода томографии повышенного разрешения с обращением времени в неоднородной среде

3.7.4 Экспериментальное восстановление объекта в воде методом высокого разрешения

Заключение

Список литературы

112

Введение

Актуальность темы исследования

В настоящее время актуальной является задача разработки акустических методов позволяющих учитывать нелинейность, неоднородность и анизотропность среды. Это в первую очередь обусловлено высокой чувствительностью ультразвуковых волн к различного рода неоднородностям и включениям в среде. Благодаря высокой чувствительности ультразвуковых волн они широко применяются для решения задач дефектоскопии, акустической связи в океане, в неразрушающем контроле. В подобных приложениях ключевое значение имеет решение прямых и обратных задач распространения акустических волн.

Решение прямой задачи распространения акустических волн в среде с произвольным распределением неоднородностей, как правило, основано на численном решении волнового уравнения или уравнения Гельмгольца. Решение прямой задачи должно согласовываться с результатами измерений. В линейном приближении прямые акустические задачи основаны на расчете волнового уравнения. Одним из методов является метод функции Грина [1-4] для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями. Также для вычисления волнового поля в пространственном спектре плоских волн используется уравнение Гельмгольца [5-7]. Не все волновые эффекты можно учесть в линейном приближении. Для учета нелинейных эффектов широкое применение находят методы численного моделирования. Одним из таких методов является метод конечных разностей во временной области (КРВО) [8-11]. Данный метод основан на дискретизации дифференциальных уравнений в пространстве и во времени. К преимуществам метода КРВО относится возможность моделирования нестационарных волновых процессов в вязкоупругих, неоднородных, анизотропных и нелинейных средах. Однако этот метод требователен к вычислительным ресурсам. Другим распространённым методом численного моделирования является метод конечных элементов (МКЭ) [12]. В

этом методе для нахождения решения дифференциального уравнения расчетная область делится на конечное число элементов, для каждого из которых выбирается своя аппроксимирующая функция. К преимуществам метода МКЭ относится возможность задания сетки с разным шагом для разных областей. К недостаткам относится требовательность к вычислительным ресурсам и сложность реализации.

Для описания поведения частиц широкое применение находит метод молекулярной динамики (МД метод). Это метод компьютерного моделирования, в котором поведение частиц подчиняется законам классической или квантовой механики и их движение описывается динамикой Гамильтона. Таким образом, совокупность частиц в любой определенный момент времени характеризуется совокупностью обобщенных координат и обобщенных импульсов. Парные взаимодействия между частицами описываются вторым законом Ньютона [13,14]. Возможность использования уравнений Ньютона следует из условия X << a. В условии X - это длина волны частицы, а a - это расстояние межу рассматриваемыми частицами. При этом условие X / a << 1 применимо для всех

металлов не только при нормальных условиях, но и при повышенной температуре, а параметр a характеризует расстояния между частицами в кристаллической решетке [15]. Метод МД нашел применение и в решении задач движения частиц в жидкостях, газах и в кластерах [16-20].

Также для решения задач основанных на дискретизации среды нашел применение метод дискретных элементов. Метод дискретных элементов применяется для расчета движения большого количества частиц, таких как молекулы, песчинки, гравий, галька и прочих гранулированных сред. Преимущество метода заключается в возможности моделирование частиц с несферической поверхностью.

В настоящее время для решения акустических задач, в различных средах или в средах с деформируемыми границами все чаще находят применение бессеточные методы. Одним из таких методов является Метод гидродинамики сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) [21-24]. Суть метода

заключается в том, что моделируемая среда представляется как множество частиц, обладающих такими физическими параметрами как скорость, плотность, давление. Метод SPH позволяет вычислять производные физических параметров частиц без вычислительной сетки и чаще всего находит применение для моделирования жидкостей.

При решении задач восстановления источников или рассеивателей акустических волн (обратных задач) исходными данными являются акустические сигналы, измеренные во множестве точек пространства. К методам решения обратных задач относят метод сверхширокополосной эхолокации, метод обратного распространения волн, метод синтеза апертуры. Метод синтеза аппретуры позволяет получить наиболее качественные трёхмерные изображения, с разрешением близким к дифракционному пределу, с применением сверхширокополосных сигналов. Достоинством метода является возможность апостериорной фокусировки измеренного поля в любые точки пространства с помощью аналоговой или численной обработки. Такой подход нетребователен к вычислительным ресурсам благодаря возможности применения алгоритма быстрого преобразования Фурье.

Метод сверхширокополосной эхолокации [25] основан на анализе временных задержек отраженных импульсов от поверхности зондируемого объекта. По отраженному сигналу можно получить информацию о свойствах и размерах объекта и обнаружить его положение в пространстве. В отличие от других методов амплитуда отраженного сигнала непосредственно не участвует в абсолютных измерениях.

Для решения обратных задач все чаще находит применение метод временного обращения волн (ВОВ) [26-33]. Чтобы осуществить временное обращение волн необходимо в принятом сигнале изменить направление хода времени на обратное, а затем излучить его в ту же среду из области измерений. Использование данного метода позволяет осуществлять фокусировку полей, применяемую, например, в активной локации при решении задач мониторинга неоднородных сред [34-35].

Для решения задачи восстановления источника, методом численного моделирования, вычисляются сигналы, обратно распространяемые в среду из тех точек, где они были приняты, с изменением направления хода времени на отрицательный. В результате, происходит синфазное сложение волн обратного распространения именно в той точке, где находился источник, что позволяет его обнаружить по соответствующему максимуму поля. Если источник излучает произвольный широкополосный сигнал, то обработка может быть дополнена методом согласованной фильтрации.

Метод обращения времени для волновых процессов позволяет получать изображение источников (за исключением, тех источников, поля которые не попадают в область измерений, или неизлучающие конфигурации [36]) в неоднородных средах с известными характеристиками среды, в которой находится источник. Благодаря учёту неоднородностей и границ раздела сред при решении обратной задачи повышается эффективность фокусировки поля. В работе [29] была теоретически рассмотрена возможность применения метода обращения волнового фронта при нелинейном рассеянии плоской звуковой волны на пульсирующей сфере. В работах [28, 33] был применен метод временного обращения волн для задач распространения волн в мелком море. Также метод временного обращения волн находит применение и в задачах измерения коэффициента акустического поглощения в образцах биологических тканей [37]. В работе [38] метод временного обращения волн был применен для локализации неоднородностей в упругой пластине. Возможность обнаружения неоднородности в среде, и определения ее размеров в настоящее время является актуальной задачей в неразрушающем ультразвуковом контроле. В работе [39] возможность обратимости волнового процесса во времени была применена для восстановления распределения нормальной скорости и акустического давления на поверхности излучателя.

Метод обратного распространения волн в литературе называют техникой обращения времени (ТЯ). Первоначально метод был изобретен французским физиком Матиасом Финком. ТЯ можно использовать для обнаружения

рассеивателей. Для достаточно малых рассеивателей можно использовать тот факт, что рассеиватели ведут себя как вторичные источники. В статье [40], в контексте неразрушающего контроля (N01) конструкций обсуждается вычислительное использование ТЯ для визуализации точечных рассеивателей на основе обратного распространения поля от точек в области измерений. Поскольку анализ зависит от времени, необходимо применить критерии остановки, чтобы остановить обратное моделирование, когда волны оптимально сфокусированы на месте расположения рассеивателей. Рассмотрим два критерия остановки, оба взяты из области обработки изображений: один основан на энтропии Шеннона, а второй - на норме ограниченной вариации. К аналогичному выводу пришли авторы [41] имея дело только с точечными рассеивателями, и предложенные там алгоритмы остановки не способны в целом идентифицировать рассеиватели конечных размеров. Фактически, авторы в [42] показали путем тщательного исследования, что визуализация ТЯ успешна только для эффективных точечных источников (или рассеивателей, которые являются вторичными источниками). Они рассматривают это как фундаментальное ограничение метода. Чтобы идентифицировать более крупные рассеиватели, которые нельзя рассматривать как точечные, и идентифицировать другие параметры рассеивателя, такие как его размер или форма, применяются дополнительные вычислительные инструменты в сочетании с ТЯ.

Один из подходов, впервые предложенный в [43], основан на следующей процедуре. Во-первых, известный источник генерирует волны в конструкции, и изменяющийся во времени отклик конструкции измеряется в определенные моменты времени. Затем, опираясь на вычислительную модель конструкции и измеренные сигналы, получают решение ТЯ для каждого предполагаемого набора параметров рассеивателя. Это равносильно развитию решения в обратном направлении до времени инициирования исходного источника. Идентификация рассеивателя затем ставится как задача оптимизации: среди всех кандидатов в рассеиватели найти рассеиватель, который обеспечивает наилучшую перефокусировку волны в истинном местоположении источника. Таким образом,

качество перефокусировки (в истинном местоположении источника) используется в качестве критерия для рассеивателя. Этот подход был успешно использован в [43], для громоздких предметов, а в [44] для трещин в сценарии неразрушающего контроля. Подход к идентификации рассеивателей без априорной информации об источниках с использованием условия поглощения представлен в [45]. В [46] предложен метод восстановления изображения рассеивателей, основанный на представлении зондирующей системы через обобщенную линейную модель и анализе передаточной матрицы системы.

Большинство методов акустической томографии не учитывают фоновые преграды и неоднородности среды [47-51]. Методы, учитывающие неоднородности среды, либо работают для частных случаев (плоскослоистые среды) [52], либо работают на основе итерационных процедур, что требует значительного времени [53]. Наиболее перспективным видится развитие методов обратной временной миграции (Reverse Time Migration - RTM) [54-57]. Этот метод широко используется в сейсмологии и позволяет учитывать априори известные фоновые рефракционные препятствия. Также доступны методы ускорения RTM за счет распараллеливания вычислений [58]. Существующие методы RTM основаны на использовании короткоимпульсного зондирования при условии высокой локализации зондирующей волны в пространстве.

Данное, диссертационное исследование посвящено разработке методов, позволяющих учитывать нелинейность, неоднородность и анизотропность среды. Разработаны методы решения прямых задач, позволяющие учитывать неоднородность и нелинейность среды, а также методы решения обратных задач акустической томографии, позволяющие учитывать фоновые преграды и неоднородности в среде.

Проводимые исследования были поддержаны грантом РФФИ Аспиранты «Разработка метода численного моделирования акустических процессов на основе динамики взаимодействующих частиц для решения прямых и обратных задач акустического зондирования», договор №20-32-90074. Грантом Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере «Разработка

программного обеспечения для симуляции механических и акустических процессов в инженерных конструкциях».

Степень разработанности темы исследования

Проведенный обзор источников по теме исследований подтверждает актуальность темы исследования и необходимость в разработке методов решения прямых и обратных задач акустики позволяющих учитывать нелинейность и неоднородность среды. Наиболее распространенным методом решение прямой задачи распространения акустических волн в среде с произвольным распределением неоднородностей является численное решение волнового уравнения или уравнения Гельмгольца [5-7]. Однако такой подход применим только в линейном приближении, что не позволяет учесть многие волновые эффекты. Для учета волновых эффектов в нелинейном приближении в настоящее время стали получать широкое распространение численные методы в связи с развитием вычислительной техники, так как требовательны к вычислительным ресурсам. Кроме того, каждый из рассмотренных выше численных методов чаще всего находит применение при решении задач в конкретной среде (жидкость, газ, твердое тело).

Для решения обратных задач широкое распространение получил метод временного обращения волн (ВОВ) [26-33] и метод, получивший в литературе название техника обращения времени (ТЯ) [47]. Однако использование данных методов имеет некоторые ограничения: 1. Необходимо применить критерии остановки, чтобы остановить обратное моделирование, когда волны оптимально сфокусированы на месте расположения рассеивателей. 2. Для обнаружения рассеивателей не являющихся точечными и определения их формы и размера необходимо применение дополнительных вычислительных инструментов. Таким образом, большинство методов акустической томографии не позволяют учесть фоновые преграды и неоднородности среды [48-52]. Методы, учитывающие неоднородности среды, либо работают для частных случаев (плоскослоистые среды) [53], либо работают на основе итерационных процедур, что требует значительного времени [54].

Исходя из вышесказанного, целью диссертационной работы является разработка методов численного моделирования во временной области для решения прямых и обратных акустических задач.

Задачи диссертационной работы:

1. Разработка метода численного моделирования акустических процессов на основе динамики взаимодействующих частиц в неоднородных, анизотропных и нелинейных средах.

2. Проверка возможности корректного моделирования волновых процессов путём вывода волнового уравнения из уравнений движения для модели частиц.

3. Разработка метода реализации согласованного слоя в модели динамики взаимодействующих частиц.

4. Разработка метода решения обратных задач для восстановления источников в неоднородных средах на основе временного обращения волн.

5. Разработка метода акустической томографии с высоким разрешением для произвольного широкополосного зондирующего сигнала.

6. Экспериментальные исследования и проверка разработанных методов.

Методы исследования

При разработке численной модели для описания волновых процессов методом динамики частиц, использовался второй закон Ньютона для расчета ускорения частиц. Взаимодействие между частицами задаётся силой притяжения в зависимости от расстояния между ними. Например, в линейном приближении сила задаётся посредством линейной функции F = к (x - R). Для учета нелинейности среды, в частности, сила взаимодействия вычислялась на основе потенциала Леннарда - Джонса. Анизотропия среды учитывалась посредством задания различной силовой зависимости в разных направлениях. Численное моделирование и обработка данных проводились в среде Mathcad, Comsol Multiphysics, а также с применением собственно разработанного программного обеспечения на языке C++ с применением технологий параллельного программирования OpenCL и OpenMP. Экспериментальные исследования проводились с использованием двухкоординатного

электромеханического сканера с системой излучения и приёма ультразвуковых акустических сигналов под управлением микроконтроллера STM32F407. Обработка экспериментальных результатов проводилась посредством персонального компьютера, с помощью собственно разработанного специального программного обеспечения.

Положения, выносимые на защиту:

1. Численное моделирование методом конечных разностей во временной области движения частиц, упорядоченных в кубической объёмно-центрированной решётке с зависимостью силы взаимодействия между частицами от их взаимного смещения, позволяет описывать волновые процессы в твёрдых и жидких средах.

2. Обращение времени в методе конечных разностей во временной области при моделировании динамики частиц позволяет восстановить изображение источников акустических волн с учётом влияния неоднородностей среды на основе внесения эквивалентных излучателей в области измерений при условии регистрации поля восстанавливаемых источников.

3. Интегрирование по времени скалярного произведения скоростей акустического поля прямого распространения с предварительной винеровской фильтрацией и поля обратного распространения позволяет восстановить томограммы рассеивающих неоднородностей в среде с разрешением выше, чем у метода обратной миграции во времени.

Достоверность защищаемых положений

1. Достоверность первого положения подтверждается результатами численного моделирования. Разработанная численная модель сводится к волновому уравнению, и результаты численного моделирования совпадают с решением для волнового уравнения.

2. Достоверность второго положения подтверждается результатами численного моделирования и экспериментальными результатами. Результаты численного моделирования и экспериментов демонстрируют возможность восстановления источников акустических волн в воде.

3. Достоверность третьего положения также подтверждается результатами экспериментальных исследований и численного моделирования. В результате численного моделирования было показано что, совмещение метода ЯТМ и предварительной фильтрации предварительного сигнала позволяет повысить разрешение томографических изображений по сравнению с решением, получаемым классическим методом ЯТМ даже при внесении 100% аддитивного шума.

Новизна исследования

1. Впервые метод динамики частиц применен для описания волновых процессов в среде с учетом нелинейности, неоднородности и анизотропности среды. Ранее данный метод применялся только для описания движения частиц.

2. Предложен метод обращения времени в методе динамики частиц для восстановления источников с учётом неоднородностей среды.

3. Предложен метод ЯТМ высокого разрешения на основе дополнительной фильтрации прямого поля для восстановления изображения рассеивающей неоднородности в среде. В отличие от классической реализации метода ЯТМ выполняющего согласованную фильтрацию сигнала, для максимизации уровня интенсивности реконструированного изображения, в предлагаемом методе спектр зондирующего сигнала выравнивается на всех частотах, что позволяет значительно повысить разрешающую способность реконструированного изображения с меньшими искажениями. В результате численного моделирования было показано, что предлагаемый подход к реализации метода ЯТМ устойчив к шумам.

Теоретическая значимость работы

Показана по результатам численных и аналитических расчетов применимость предлагаемого подхода к реализации метода динамики частиц для описания волновых процессов в линейных, неоднородных и анизотропных средах. Результаты, полученные при моделировании на волновом уравнении и в среде СотБо! МиШрИуБЮВ с высокой степенью точности согласуются с

результатами численного моделирования полученными методом динамики частиц.

Разработан и исследован модифицированный метод ЯТМ высокого разрешения на основе дополнительной фильтрации прямого поля, позволяющий повысить разрешающую способность реконструированного изображения с меньшими искажениями.

Практическая значимость работы

Разработанный подход к описанию волновых процессов на основе метода динамики частиц применялся для расчетов оптимальной конструкции ультразвуковых волноводов. Полученные результаты были применены при изготовлении ультразвуковых хирургических инструментов в рамках гранта Федеральной целевой программы (ФЦП) «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно - технического комплекса России на 2014-2020 годы». Тема: «Создание высокотехнологичного комплекса ультразвуковой хирургии» (Уникальный идентификатор

проекта: RFMEF157517X0163).

Разработанный метод ЯТМ высокого разрешения на основе дополнительной фильтрации прямого поля для восстановления изображения рассеивающей неоднородности в среде может быть применен в дефектоскопии для определения положения рассеивающих неоднородностей в среде.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование во временной области для решения задач акустической томографии»

Апробация работы

Полученные в работе результаты были представлены на следующих конференциях:

15-я Всероссийская конференция студенческих научно-исследовательских инкубаторов СНИИ - 2018 (Томск, 2018);

7-я Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2018);

8-я Международная научно-практическая конференция Актуальные проблемы радиофизики АПР 2019 (Томск, 2019);

4-я Всероссийская молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики» (Томск, 2019);

14-я Всероссийская научная конференция молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2020);

9-я Международная научно-практическая конференция Актуальные проблемы радиофизики АПР 2021 (Томск, 2021);

27-я Международная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР - 2022» (Томск, 2022).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 2 статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (все статьи опубликованы в российских научных журналах, переводные версии которых входят в Scopus), 5 статей в сборниках материалов конференций, представленных в изданиях, входящих в Scopus, 1 статья в прочем научном журнале, 6 публикаций в сборниках материалов международных и всероссийских научных и научно-практических конференций; получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы состоящего из 105 наименований. Общий объем диссертации составляет 123 страницы. В диссертации содержится 57 рисунков.

Краткое содержание работы

Во введении рассматривается актуальность темы диссертационного исследования, сформулированы цель и задачи работы; представлены научные положения, выносимые на защиту; сформулирована теоретическая и практическая значимость работы и представлена общая характеристика работы.

В первой главе диссертации рассмотрены наиболее распространенные (широко применяемые) методы решения прямых и обратных задач акустической

томографии. Дано общее описание методов и выделены их преимущества и недостатки.

Во второй главе диссертационной работы приведено описание разработанной численной модели на основе метода динамики частиц в кубической объемно-центрированной кристаллической решетке. Представлено описание процесса распространения акустических волн и учета взаимодействия между частицами в линейной и нелинейной среде.

Показано, что разработанная численная модель описания волновых процессов в среде сводится к волновому уравнению в линейном приближении. Полученные результаты численного моделирования предложенным методом согласуются с результатами, полученными в среде Comsol Multiphysics. Разработан метод реализации Perfect Matched Layer (PML) в модели динамики частиц. По результатам численного моделирования было показано, что разработанная численная модель позволяет учитывать: анизотропность среды за счет задания разного коэффициента пропорциональности между силой и расстоянием в разных направлениях. Разработанная численная модель применима также для описания и газообразных и жидких сред. Показана возможность применения предлагаемого подхода к описанию волновых процессов в ультразвуковых хирургических инструментах. В результате проведенного численного моделирования предложенным методом, а также в среде Mathcad и Comsol Multyphysics было получено сходство резонансных спектров ультразвуковых хирургических инструментов. Полученные результаты во второй главе диссертации отражены в первом и втором защищаемом положении.

В третьей главе диссертационной работы было проведено исследование применимости разработанного подхода к решению обратных задач, основанного на измерениях поля на некоторой поверхности на основе обращения времени. Предлагаемый подход рассматривался применительно к модели динамики частиц и к модели основанной на волновом уравнении. В результате проведенного численного моделирования и экспериментов в воде было показано, что метод позволяет восстанавливать источники акустических волн в изотропной среде и в

среде содержащей рассеивающие неоднородности. Представлено математическое описание разработанного метода ЯТМ с высоким разрешением. Проведено численное моделирование, показавшее применимость разработанного метода ЯТМ с высоким разрешением к восстановлению изображений объектов в неоднородной среде. Также, было проведено экспериментальное восстановление объекта в среде в виде синусоидальной пластины из РЬЛ пластика. Полученные результаты подтверждают применимость предложенного метода для восстановления томографических изображений рассеивающих объектов. Полученные результаты отражены в третьем защищаемом положении.

1 Численные методы решения прямых и обратных задач акустического

зондирования

1.1 Методы решения прямых задач 1.1.1 Волновое уравнение и уравнение Гельмгольца

Рассмотрим волновое уравнение для газообразных сред в случае бесконечно малых возмущений гидродинамических параметров - плотности, давления, колебательной скорости получаемое из уравнений гидродинамики и уравнения состояния [59]. В этом предположении, рассматривая наиболее простой случай одномерного распространения волн, в отсутствии внешних (объемных) сил, в неподвижной однородной среде и в отсутствии диссипативных сил, имеем в качестве исходных уравнений:

^ + = 0, (1)

Э? р эх

%+рэг = 0 <2>

э? эх

В уравнении Эйлера (1) в соответствии с рассмотренным приближением,

мы пренебрегли членом г— и в уравнении непрерывности — + — (рг) = 0

Эх Э? Эх

Эр

членом V—1- как величинами второго порядка малости, т.е. рассматриваем

х

линейный случай (2).

Из уравнения состояния идеального газа (3).

Р = Р

Г V р

(3)

V р0 )

где Р0 - давление среды не возмущенной звуком (например, атмосферное давление, равное 105 Па = 1 атмосфере), Р = Р0 + р - давление отличное от невозмущенного на величину звукового (избыточного) давления р и

С

7 = - отношение теплоемкостей (Ср - теплоёмкость при постоянном

давлении, CV - теплоёмкость при постоянном объёме). Таким образом, из (3) следует:

Pp~r = const и P = P0 + p. (4)

Продифференцируем (4):

d (Pp~r)=-jPpr~1dp + p~rdP = 0,

или

Отсюда

—dp = dP = dp. (5)

p

dp = gP = c 2

dp р эр 2

или при малых р, —— = с0, где с - скорость звука при малых амплитудах

Эр

звукового давления с » с0 и, таким образом, интегрируя равенство (5) получим:

Р = Р<. (6)

Возьмем производную от (1) по х и производную по г от (2) и воспользовавшись (6), получим:

Э 2и = Э 2р; ЭхЭг р эх2 '

(7)

Э 2и = 1_ эр эхэг р эг2

Складывая эти уравнения, получим волновое уравнение для изменения плотности

c 2 lR = dt2 0 Эх

2 Cq = 0. (8)

В трехмерном случае это уравнение запишется в виде:

Э> ^ 2 (Э 2p + Э> + Э^ = Э2p

c 2

Э t2 Co

Эх2 Эу2 Эг

Такой же вид будет иметь волновое уравнение для р и и:

Э2 р

22

--C

Эt

2 c2V 2p = 0. (9)

t

2 0

Co2V2 p = 0, (10)

эг

■с02У 2г = 0. (11)

Э?2

Так как в акустических задачах движения жидкости незначительны и колебательная скорость г мала, то в большом числе случаев вихревое движение отсутствует и то1и = 0. По этой причине колебательная скорость и может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции р:

г = - gradр = -Ур, (12)

которую называют потенциалом. Из линеаризованного уравнения движения имеем, после интегрирования,

1\ УрЖ = -у{\рсИ Р V Р0 )

г = — р

Отсюда получаем выражение для потенциала

(13)

р = — \ рЖ . (14)

7

Проводя дифференцирование по времени, найдем выражение, связывающее р и

р = 7 ЭР • ^

Запишем волновое уравнение для потенциала

Э2р

2 0

с2У2р = 0. (16)

Э?

Рассмотрим волновое уравнение вида:

л 1 э2и

ьи = -у-у, (17)

с2 эг

где с - скорость звука.

Рассмотрим временную зависимость в виде гармонического сигнала:

и(х, у, I,?) ~ ~(х,у, I)ехр(-1ш), (18)

где ~(х, у, I) - функция только пространственных координат. Подставив выражение (18) в уравнение (17), получим:

ьи + к2 и = 0, (19)

где к = ю/ с - волновое число. Уравнение эллиптического типа (19) называют уравнением Гельмгольца [59].

1.1.2 Метод конечных разностей во временной области

Метод конечных разностей во временной области (КРВО) является самым распространенным и широко применяемым для дискретизации дифференциальных уравнений. Метод был впервые предложен Кейном Йи в 1966 году [60] для решения дифференциальных уравнений сеточными методами. В 1980 году [61] Аллоном Тафловым метод был назван "Finite Difference Time Domain" (FDTD).

Изначально метод использовался при решении дифференциальных уравнений Максвелла только на прямоугольной сетке Йи. С развитием вычислительной техники метод стал широко применяться для моделирования различных свойств (дисперсия, нелинейность) сред. В настоящее время в данном методе помимо прямоугольной сетки возможно использование других типов сеток и осуществление постобработки результатов вычислений.

Метод широко применяется для описания нелинейности среды, анизотропии, учета краевых эффектов и решений задач экранирования.

При использовании метода в расчетах необходимо задавать шаг пространственной дискретизации много меньше длины волны и размера рассматриваемой структуры [62].

1.1.3 Метод конечных элементов

Метод конечных элементов получил наибольшее распространение для решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. В 1956 году метод был представлен американскими учеными М. Тэрнер, Р. Клафф, Г. Мартин и Л. Топп. Ими была выведена матрица

жесткости, и вектор узловых сил применительно к плоской задаче теории упругости [63].

В методе конечных элементов расчетная область, в которой ищется решение, разбивается на конечное число элементов (подобластей). Такой подход позволяет обеспечить более точное представление сложной геометрии и работу с разнородными свойствами материалов [64]. Для каждого элемента задается свой вид аппроксимирующей функции (в простейшем случае - полином первой степени), и обеспечивается условие равенства нулю аппроксимирующей функции вне своего элемента.

Для нахождения решения задачи необходимо определить значения функций в узлах. При условии, что значения функции в соседних узлах равны, вычисляются коэффициенты аппроксимирующих функций. Затем задается система линейных алгебраических уравнений исходя из решаемого дифференциального уравнения в соответствии с количеством элементов. Решение системы облегчается тем, что она имеет разреженный вид, так как каждый элемент связан только с ограниченным числом соседних элементов.

С развитием вычислительных средств расширяются возможности метода и области его применения. В настоящее время он используется для решения задач электродинамики, гидродинамики, теплообмена и механики деформируемого твёрдого тела. Произвольная форма обрабатываемой области и возможность сделать сетку более редкой в местах, где точность не критична, является преимуществом метода [65].

К недостаткам метода можно отнести сложность в реализации. Притом, что решение производится в частотной области, и рассматриваются только линейные преобразования. Чтобы получить решение во временной области необходимо провести вычисления на множестве частот и произвести обратное преобразование Фурье.

1.1.4 Метод функции Грина

Метод функции Грина применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями неоднородной краевой задачи [2, 66]. Данный метод позволяет найти решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Определения функции Грина сводится к исследованию свойств дифференциального оператора.

Рассмотрим функцию Грина для волнового уравнения:

у>- ^ ЭУ = -4# (х, г), (20)

с2 Эг

где функцией /(х, г) задается распределение источников, с - скорость волны в пространстве. Функция Грина зависит от переменных (х,х',г,г') и описывается уравнением (21)

2

у2 1 Э

х ~2 Эг2

V с

0(х, г; хг') = -4п8(х - х')8(г - г'). (21)

Рассмотрим решение уравнения (20) для неограниченного пространства выражаемого интегралом О без учета граничных поверхностей

у( х, г) = | G(x, г; х', г')/ (х' г 3 х' dг'. (22)

Функция Грина, описывается выражением (21) и зависит только от разностей координат (х - х') и времени (г - г'). Функция (21), описывает волновое поле создаваемое точечным источником, заданным в точке х' и излучающим в пределах временного интервала г = г' . Поле создаваемое точечным источником распространяется в форме расходящейся сферической волны и выражение для функции Грина принимает вид (23)

О = - 8 Я

т--

V с у

1.1.5 Метод гидродинамики сглаженных частиц

Метод гидродинамики сглаженных частиц (Smoothed Particle Hydrodynamics - SPH) как бессеточный, Лагранжевый метод, был впервые независимо применен L. Lucy, R. Gingold и J. Monaghan для решения астрофизических задач в 1977 году [67].

Метод SPH - это полностью Лагранжева схема моделирования, позволяющая дискретизировать заданный набор уравнений сплошной среды путем интерполяции свойств непосредственно в дискретном представлении в виде множества частиц, обладающих такими физическими параметрами как скорость, плотность, давление распределенных по области решения, без необходимости определять пространственную сетку. Чаще всего метод находит применение при моделировании жидкостей и газов.

В методе каждая частица имеет некоторое пространственное расстояние называемое «длиной сглаживания». Для нахождения требуемого параметра необходимо осуществлять суммирование (усреднение) данного параметра для всех частиц, в пределах двух сглаженных длин. Описание влияния каждой частицы математически описывается посредством функции ядра. Функция ядра в большинстве случаев описывается либо функцией Гаусса, либо посредством кубического сплайна.

1.1.6 Метод динамики частиц

Метод динамики частиц применяется для описания среды в виде множества частиц упорядоченных определенным образом. Взаимодействие частиц в такой структуре описывается функцией зависимости силы взаимодействия между частицами от расстояния. В линейном приближении чаще всего используется линейная зависимость, для описания нелинейных сред используется потенциал Леннарда-Джонса [68-69], либо зависимость силы от расстояния задаётся исходя из специфики конкретного материала. Как правило, при задании моделируемой

структуры методом динамики частиц в начальный момент времени все частицы неподвижны и характеризуются нулевой начальной скоростью.

К преимуществам метода относится возможность описания таких процессов как пластичность, образование трещин, разрушение, температурное изменение свойств материала, фазовые переходы [70-73] посредством применения потенциала Леннарда-Джонса. Для описания среды методом динамики частиц достаточно знать скорость в материале и его плотность в отличие от методов основанных на представлении среды как сплошной требующих знания большего количества характеристик материала. В методе динамики частиц потенциал Леннарда-Джонса выполняет ту же роль, что и уравнения в механике сплошной среды.

1.1.7 Метод молекулярной динамики

Метод молекулярной динамики (МД метод). Это метод компьютерного моделирования, в котором поведение частиц подчиняется законам классической или квантовой механики и их движение описывается динамикой Гамильтона. Совокупность частиц в любой определенный момент времени характеризуется совокупностью обобщенных координат и обобщенных импульсов. Парные взаимодействия между частицами описываются вторым законом Ньютона [13,14].

Возможность использования уравнений Ньютона следует из условия X << а. В условии X - это длина волны частицы, а - это расстояние межу рассматриваемыми частицами. При этом условие X / а << 1 применимо для всех металлов не только при нормальных условиях, но и при повышенной температуре, а параметр а характеризует расстояния между частицами в кристаллической решетке [15]. Метод молекулярной динамики находит применение и в решении задач движения частиц в жидкостях, газах и в кластерах [16-19, 74].

1.2 Методы решения обратных задач

1.2.1 Итерационный метод

Одним из наиболее распространенных методов решения обратных задач является итерационный метод [75-77]. При использовании данного метода количество линейных уравнений, которые необходимо решить определяется количеством используемых шагов итерирования для достижения необходимой точности решения. При этом основным условием применимости метода является его сходимость. При анализе сходимости обеспечиваемой разными алгоритмами решения обратной задачи было получено, что все алгоритмы обеспечивают одинаковый радиус сходимости. Для обеспечения сходимости рассеянное поле не должно ни в одной точке превосходить по модулю поле зондирующее.

1.2.2 Метод многомерной согласованной фильтрации в приближении

однократного рассеяния

Рассмотрим случай, когда все преобразования измеренного сигнала в среде линейны, тогда результат измерений для произвольного объекта можно рассчитать в виде многомерной скалярной функции в приближении однократного рассеяния в виде [78]:

где р(г) - функция, описывающая распределение рассеивающих

неоднородностей [78]. Формула (24) не позволяет учесть многократное рассеяние, но представляет собой общее решение прямой задачи (по заданному распределению неоднородностей определить измеренное поле) в приближении однократного рассеяния.

Для решения обратной задачи необходимо восстановить р(т) по

измеренным данным U(q1....qn), для этого применим комплексно сопряженную

(24)

V

многомерную скалярную функцию в виде согласованного фильтра, такой подход называется методом согласованной фильтрации [78].

Таким образом, решение обратной задачи методом согласованной фильтрации можно записать в следующем виде:

р(г) = ]-.... \и)A *(г q\....qn Ж ...dql. (25)

Ч1 Чп

Восстановление точного изображения неоднородности посредством уравнения (25) возможно при условии, что функция

А (r, г1 = |.... JA(r, Ч1.. .Чш)А* (г', Ч1.. .Чш .. (26)

?1 Чп

будет представлена в виде дельта функции вида А'(г,г') = 8(г- г'), где г -координата точечного рассеивателя; г' - координата точки в пространстве восстанавливаемого изображения. В действительности А'(г, г') будет равна дельта функции [78] только при условии, если А(г, qv..qn) образует ортогональное множество функции и измерения должны быть проведены в бесконечных пределах [78].

1.2.3 Метод временного обращения волн

Метод временного обращения волн основан на изменении направления хода времени на обратное. Для осуществления временного обращения волн необходимо измеренный сигнал переизлучить в ту же среду из области измерений изменив направление хода времени на обратное. Метод широко применяется в активной локации для осуществления фокусировки полей.

Метод временного обращения волн позволяет получать изображение источников (за исключением, тех источников, поля которых не попадают в область измерений, или неизлучающие конфигурации [36]) в неоднородных средах с известными характеристиками среды, в которой находится источник.

Благодаря учёту неоднородностей и границ раздела сред при решении обратной задачи повышается эффективность фокусировки поля.

1.2.4 Метод дифракционного суммирования

Метод дифракционного суммирования называемый также метод дифракционных гипербол [47, 21, 79] получил наибольшее распространение в сейсмологии для восстановления сейсмических изображений [80]. В методе для каждой точки, в которой происходит рассеяние сигнала излучения, осуществляется вычисление формы дифракционной гиперболы в пространственно-временной области с учетом таких параметров как: время задержки рассеянного сигнала и местонахождение точки рассеяния. Форма отклика на точечный рассеиватель является гиперболой только для однородных фоновых сред.

Для каждой точки рассеяния осуществляется суммирование сигнала по гиперболе и вычисление изображения рассеивателей. В случае обнаружения неоднородности в рассматриваемой точке сумма сигнала будет тем больше, чем больше размер неоднородности. В случае отсутствия неоднородности в области фокусировку результатом суммирования будет усредненный шум, величина которого будет много меньше уровня сигнала.

К преимуществам метода можно отнести простоту реализации и возможность учета произвольного размещения зондирующих антенн и учёта преломления волн в приближении геометрической оптики. К недостаткам метода относится требовательность к вычислительным ресурсам.

1.2.5 Метод обратной временной миграции (RTM)

Метод Reverse Time Migration (RTM) или метод обратной временной миграци - был впервые предложен E. Baysal [54] и G. McMechan [81] в 1983 году. Однако данный метод долгое время не мог получить широкое распространение

из-за отсутствия достаточной вычислительной мощности. Метод смог найти практическое применение только после 2000 года с развитием вычислительной техники. Наибольшую популярность метод получил в сейсмологии при исследовании слоистых сред и позволяет учитывать априори известные фоновые рефракционные препятствия.

Метод ЯТМ основан на использовании короткоимпульсного зондирования при условии высокой локализации зондирующей волны в пространстве. Также возможно распараллеливание вычислений методом ЯТМ. Посредством метода возможно восстановление вертикальных границ исследуемых объектов. К недостаткам метода относятся значительные вычислительные затраты.

2 Описание волновых процессов в модели динамики частиц

Для описания волновых процессов в твердых телах был разработан метод, основанный на представлении твердого тела в виде массива частиц расположенных в кубической объемно - центрированной кристаллической решетке. В данной модели каждая частица подвижна и характеризуется координатами и скоростью.

Рассмотрим процесс описания распространения акустических волн в твёрдом теле на основе модели динамики взаимодействующих частиц, упорядоченных в кубической объемно-центрированной кристаллической решётке (рисунок 1). Частицы в такой кристаллической решетке располагаются периодически в вершинах и в центрах элементарных кубических ячеек. Расстояние между частицами в вершинах куба примем равным d (на этом расстоянии от любой частицы находится 6 соседей).

Расстояние между частицей в центре куба и частицами на вершинах равно

d^/3/2 (на этом расстоянии находятся 8 ближайших соседей у каждой частицы).

Рисунок 1 - Кубическая объёмно-центрированная кристаллическая решётка

J

Каждая частица имеет определённую массу m = pd3 / 2 в зависимости от плотности описываемого вещества р. Зависимость силы взаимодействия между соседними частицами от расстояния определяет упругие свойства моделируемого

вещества. Для каждой частицы проводится расчет скорости, и координаты путем численного интегрирования ускорения частицы по времени. Ускорение частицы рассчитывается по второму закону Ньютона как отношение силы действующей на частицу к ее массе. Масса частицы и сила взаимодействия определяют тип материала [83, 84].

Сила взаимодействия зависит от расстояния между частицами, но основное влияние оказывает зависимость силы взаимодействия вблизи точки равновесия. Силовое взаимодействие между частицами описывается функцией Г(х), где х -

расстояние между частицами. Взаимодействие в линейной среде описывается линейной функцией зависимости силы притяжения между частицами от расстояния описываемое уравнением (27)

^(х) = к -(х - Я). (27)

Для описания нелинейной среды зависимость силы притяжения между частицами от расстояния описывалась функцией (рисунок 2) вычисляемой как производная потенциала Леннарда - Джонса по формуле вида:

р (х) = Я 6

V х

+

Я

V х У

(28)

где Я - равновесное расстояние между частицами (Я = У или Я = Ул/3/2),

х - координата частицы. На расстоянии У или ^л/3/2 друг от друга частицы находятся в состоянии устойчивого равновесия и на них не действуют силы со стороны соседей.

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

х, d

Рисунок 2 - Зависимость силы притяжения между частицами от расстояния

2.1 Вывод волнового уравнения в модели динамики частиц в линейном

приближении

2.1.1 Вывод волнового уравнения в приближении одномерной цепочки частиц

Рассмотрим одномерную линейную периодическую цепочку частиц, период которой равен Я (рисунок 3).

X(х - Я, t) X(х, ^ X(х + Я, ¿)

Хп—1 хп Хп+1

Рисунок 3 - Одномерная цепочка с одной частицей в элементарной ячейке

При смещении частицы из положения равновесия, в линейном приближении, возникает сила пропорциональная величине сдвига (закон Гука). Смещение п -той частицы из положения равновесия обозначим как X(х,t). Запишем силу, действующую на частицу со стороны соседних частиц. Сила действующая со стороны частицы слева запишем в виде: ^ = к(X(х - Я, t) а со стороны правой частицы в виде: = к(X(х + Я,t). Силу, действующую на

центральную частицу вдоль оси х, в соответствии с уравнением движения Ньютона запишем в следующем виде:

т Ъ Х(х *) = к(X(х - Я, г) - 2X(х, г) + X(х + Я, г)), (29)

Эг

где X(х, г) - смещение частицы в момент времени г вдоль оси х (х - координата частицы в невозмущенном состоянии), X(х - Я, г) - сдвиг соседней частицы, находящейся в положении х - Я. Приближенно, при Я ® 0, можно записать:

X (х - Я, г)-2 X (х, г) + X (х + Я, г)» Я следовательно, т Ъ X (х *) = кЯ2^^-,

х2 г2 х2

что является формой волнового уравнения где скорость звука рассчитывается

I--е2т

через выражение, 1/с2 = т/(кЯ2) следовательно, с = Ял1к/т а к = ——. С

Я

, с2т

помощью выражения к =- можно выразить ключевой параметр предлагаемой

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кузовова Анжела Евгеньевна, 2022 год

Список литературы

1. Ильменков С. Л. Метод функций Грина в задаче дифракции звука на упругой оболочке неканонической формы / С. Л. Ильменков, А. А. Клещёв, А. С. Клименков // Акустический журнал. - 2014. - Т. 60, № 6. - С. 579-586.

2. Киреев С. Е. Параллельная реализация метода частиц в ячейках для моделирования задач гравитационной космодинамики / С. Е. Киреев // Автометрия. - 2006. - Т. 42, № 3. - С. 32-39.

3. Ishimaru A. Wave Propagation and Scattering in Random Media / A. Ishimaru. - New York: Wiley, 1999. - 250 p.

4. Scattering and inverse scattering in Pure and Applied Science / E. R. Pike, P. C. Sabatier. - London: Academic Press, 2002. - 1831 p.

5. Тихонов A. H. Уравнения математической физики / A. H. Тихонов, А. А. Самарский - M.: Наука, 1977. - 742 c.

6. Махер А. Н. Задача о скачке для уравнения Гельмгольца в плоскослоистой среде и ее приложение / А. Н. Махер, Б. Плещинский // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2002. - Т. 476, № 1. - С. 45-56.

7. Ершов Н. Е. Численное решение трехмерной стационарной задачи дифракций акустических волн / Н. Е. Ершов, Л. В. Илларионова, С. И. Смагин // Вычислительные технологии. - 2010. - Т. 15, № 1. - С. 60-76.

8. Бархатов В. А. Решение динамических задач акустики методом конечных разностей во временной области. Основные соотношения. Анализ погрешностей / В. А. Бархатов // Дефектоскопия. - 2005. - Т. 41, № 3. - C. 12-26.

9. Бархатов В. А. Решение волновых уравнений методом конечных разностей во временной области. Двумерная задача. Основные соотношения / В. А. Бархатов // Дефектоскопия. - 2007. - Т. 43, № 9. - C. 54-70.

10. Авдеев Д. А. Трехмерное моделирование акустического поля методом конечных разностей во временной области / Д. А. Авдеев // Вестник ТОГУ. -2016. - Т. 41, № 2. - С. 13-20.

11. Домбровская Ж. О. Метод конечных разностей во временной области для кусочно-однородных диэлектрических сред / Ж. О. Домбровская // Моделирование и анализ информационных систем. - 2016. - Т. 23, № 5. - С. 539547.

12. Gallagher R. H. Finite Element Analysis: Fundamentals (Prentice-Hall civil engineering and engineering mechanics series) / R. H. Gallagher. - Hoboken: Collins Books LLC, 1975. - 420 p.

13. Gould H. An Introduction to Computer Simulation Methods / H. Gould, J. Tobochnik, W. Christian. - 3th ed. - California: Create Space Independent Publishing Platform, 2005. - Chap. 8. - 814 p.

14. Шайтан К. В. Молекулярная динамика [Электронный ресурс] / К. В. Шайтан // Кафедра биофизики биологического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова: официальный сайт. - URL: http://www.library.biophys.msu.ru/MolDyn/ (дата обращения: 20.10.2018).

15. Селезнев А. А. Основы метода молекулярной динамики: учебно-методическое пособие / А. А. Селезенев. - Cаров: Издательство Саровского физико-технического института, 2017. - 72 с.

16. Ковалев В. Л. Моделирование взаимодействия струи разреженного газа с преградой методами молекулярной динамики / В. Л. Ковалев, В. Ю. Сазонова, А. Н. Якунчиков // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика, Механика. - 2008. - Т. 63, № 2. - С. 56-58.

17. Зубков В. В. Изучение структуры ультратонкого слоя дихлорметана на плоской графитовой поверхности методами теории функционала плотности и молекулярной динамики / В. В. Зубков, П. В. Комаров // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Химия. - 2010. - № 10. - С. 37-46.

18. Фирсов Д. А. Моделирование спектров молекулярных кластеров методами квантовой химии и молекулярной динамики: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Д. А. Фирсов. - Москва, 2003. - 121 с.

19. Малышев В. Л. Исследование прочности жидкости на разрыв методами молекулярной динамики / В. Л. Малышев, Д. Ф. Марьин, Е. Ф. Моисеева, Н. А.

Гумеров, И. Ш. Ахатов // Теплофизика высоких температур. - 2015. - Т. 53, № 3. -С.423-429.

20. Балашов В. А. Прямое моделирование течений умеренно-разреженного газа в двумерных модельных пористых средах / В. А. Балашов // Математическое моделирование. - 2018. - Т. 30, № 1. - С. 3-16.

21. Yilmaz O. Z. Seismic Data Analysis: Processing, Inversion, and Interpretation of Seismic Data / O. Z. Yilmaz, S. M. Doherty // Journal Society of Exploration Geophysicists. - 2001. - Vol. 10. - P. 2027-2030.

22. Chao Q. L. Numerical simulation of submarine landslide tsunamis using particle based methods / Q. L. Chao, J. Feng // Journal of Hydrodynamics. - 2017. -Vol. 29. - P. 542-551.

23. Monagham J. J. Smoothed particle hydrodynamics / J. J. Monagham // Reports on Progress in Physics. - 2005. - Vol. 68. - P. 1703-1759.

24. Zhang Y. O. SPH Simulation of Acoustic Waves: Effects of Frequency, Sound Pressure and Particle Spacing / Y. O. Zhang, T. Zhang, H. Ouyang, T. Y. Li // Journal of Mathematical Problems in Engineering. - 2015. - Vol. 2015. - P. 1-7.

25. Kostin M. S. Modeling of radiolocation vibrometric system / M. S. Kostin // T-Comm. - 2013. - Vol. 11. - P. 97-101.

26. Зверев В. А. Принцип акустического обращения волн и голография / В. А. Зверев // Акустический журнал. - 2004. - Т. 50, № 6. - С. 792-801.

27. Зверев В. А. Пространственная протяженность области акустического обращения волн / В. А. Зверев, П. И. Коротин, А. А. Стромков // Акустический журнал. - 2008. - Т. 54, № 5. - С. 823-830.

28. Синельников Е. Д. Обращения времени в фокусирующих излучателях и приемниках ультразвука / Е. Д. Синельников, А. М. Сутин, А. П. Сарвазян // Акустический журнал. - 2010. - Т. 56, № 2. - С. 206-217.

29. Лямшев Л. М. Обращение волнового фронта при нелинейном рассеянии звука на пульсирующей сфере / Л. М. Лямшев, П. В. Саков // Акустический журнал. - 1988. - Т. 34, № 1. - С. 127-134.

30. Denison M. H. The effects of source placement on time reversal focusing in rooms / M. H. Denison, B. E. Anderson // Applied Acoustics. - 2019. - Vol. 156, № 15. - P. 279-288.

31. Alder B. J. Studies in Molecular Dynamics. I. General Method / B. J. Alder, T. E. Wainwright // The Journal of Chemical Physics. - 1959. - Vol. 31, № 2. - P. 459466.

32. Xu C. A Modified Time Reversal Method for Guided Wave Based Bolt Loosening Monitoring in a Lap Joint / C. Xu, G. Wu, F. Du, W. Zhu, S. H. Mahdavi // Journal of Nondestructive Evaluation. - 2019. - Vol. 38, № 4. - P. 1-13.

33. Годин О. А. Использования обращения волнового фронта для пассивного акустического зондирования океана / О. А. Годин, Б. Г. Кацнельсон, Н. А. Заботин // Акустический журнал. - 2017. - Т. 63, № 3. - С. 283-295.

34. Артельный П. В. Фокусировка вибрационного поля в упругих системах конечного размера методом обращения времени / П. В. Артельный, П. И. Коротин // Акустический журнал. - 2010. - Т. 56, № 1. - С. 3-9.

35. Вировлянский А. Л. Фокусировка звуковых импульсов методом обращения времени на стокилометровых трассах в глубоком море / А. Л. Вировлянский, А. Ю. Казарова, Л. Я. Любавин // Акустический журнал. - 2012. -Т. 58, № 6. - С. 723-732.

36. Буров В. А. Обратные волновые задачи акустической томографии. Ч.1: Обратные задачи излучения в акустике / В. А. Буров, О. Д. Румянцева. - М.: Ленанд, 2017. - 384 с.

37. Смагин Н. В. Измерение коэффициента акустического поглощения в образцах биологических тканей с помощью обращенных ультразвуковых волн / Н. В. Смагин, Л. М. Крутянский, З. В. Зеленова, А. П. Брысев // Акустический журнал. - 2014. - Т. 60, № 2. - С. 199-203.

38. Еремин А. А. Локализация неоднородностей в упругой пластине методом обращения волн / А. А. Еремин, Е. В. Глушков, Н. В. Глушкова, Р. Ламмеринг // Акустический журнал. - 2017. - Т. 63, № 5. - С. 523-531.

39. Сапожников О. А. Восстановления распределения нормальной скорости на поверхности ультразвукового излучателя на основе измерения акустического давления вдоль контрольной поверхности / О. А. Сапожников, Ю. А. Пищальников, А. В. Морозов // Акустический журнал. - 2003. - Т. 49, № 3. -С. 416-424.

40. Derveaux G. Time reversal imaging for sensor networks with optimal compensation in time / G. Derveaux, G. Papanicolaou, C. Tsogka // The Journal of the Acoustical Society of America. - 2007. - Vol. 21. - P. 2071-2085.

41. Fouque J. P. Time-reversal refocusing for point source in randomly layered media / J. P. Fouque, J. Gamier, A. Nachbin, K. Solna // Wave Motion. - 2005. -Vol. 42.-P. 238-260.

42. Kremers S. Exploring the potentials and limitations of the time-reversal imaging of finite seismic sources / S. Kremers [et al.] // Solid Earth. - 2011. - Vol. 2. -P. 95-105.

43. Givoli D. Time reversal with partial information for wave refocusing and scatterer identification / D. Givoli, E. Turkel // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2012. - Vol. 213. - P. 223-242.

44. Amitt E. Time reversal for crack identification / E. Amitt, D. Givoli, E. Turkel // Computational Mechanics. - 2014. - Vol. 54. - P. 443-459.

45. Assous F. Time reversed absorbing condition: Application to inverse problems / F. Assous [et al.] // Inverse Problems. - 2011. - Vol. 27. - P. 1-20.

46. Prada C. The iterative time reversal process: Analysis of the convergence / C. Prada [et al.] // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1995. - Vol. 97. -P. 62-73.

47. Stolt R. H. Migration by Fourier transform / R. H. Stolt // Geophysics. - 1978. -Vol. 43, № l.-P. 23-48.

48. Andrade P. N. Reverse time migration in the frequency domain by the rapid expansion method / P. N. Andrade [et al.] // Revista Brasileña de Geofísica. - 2017. -Vol. 35, №4. -P. 287-306.

49. Shin S. Frequency domain reverse time migration for acoustic - elastic coupled media using the wave field separation method / S. Shin [et al.] // Journal of seismic exploration. - 2016. - Vol. 25. - P. 57-85.

50. Schneider W. A. Integral formulation of migration in two and three dimensions / W. A. Schneider // Geophysics. - 1978. - Vol. 43. - P. 49-76.

51. Alexander A. Kaufman. Acoustic and Elastic Wave Fields in Geophysics / Alexander A. Kaufman, Anatoli L. Levshin. - Cambridge: Elsevier press, 2002. -238 p.

52. Sukhanov D. Y. Ultrabroadband 3D radio holography in a stratified medium / D. Y. Sukhanov, K. V. Zav'yalova // Technical Physics. - 2014. - Vol. 59, № 12. -P. 1854-1858.

53. Sukhanov D. Y. 3D radio tomography of objects hidden behind dielectrically inhomogeneous shields / D. Y. Sukhanov, K. V. Zav'yalova // Technical Physics. -2015. - Vol. 60, № 10. - P. 1529-1534.

54. Baysal E. Reverse time migration / E. Baysal [et al.] // Geophysics. - 1983. -Vol. 48, № 11. - P. 1514-1524.

55. Moussavi S. Y. Depth Imaging Enhancement Using Reverse Time Migration / S. Y. Moussavi [et al.] // IOP Conferences Series: Earth and Environmental Science. Bali, Indonesia, May 20-21, 2017. - 2017. - Vol. 88. - P. 012017-1-012017-9.

56. Müller S. Reverse Time Migration: A Seismic Imaging Technique Applied to Synthetic Ultrasonic Data / S. Müller [et al.] // International Journal of Geophysics. -2012. - Vol. 2012. - P. 1-7.

57. Zhou H. Reverse time migration: A prospect of seismic imaging methodology / H. Zhou [et al.] // Earth-Science Reviews. - 2018. - Vol. 179. - P. 207-227.

58. Berkhout A. J. Seismic Migration Imaging of Acoustic Energy by Wave Field Extrapolation / A. J. Berkhout. - Amsterdam: Elsevier Science Publishing Company, 1980. - 352 p.

59. Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. - М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

60. Yee K. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media / K. Yee // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on Antennas and Propagation. - 1966. - Vol. 14, № 3. - P. 302-307.

61. Taflove A. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference TimeDomain Method / A. Taflove. - Norwood: Artech House Publishers, 1980. - 997 p.

62. Zivanovic S. S. A subgridding method for the Time Domain Finite-Difference Method to solve Maxwell's equations / S. S. Zivanovic [et al.] // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques - 1991. - Vol. 39, № 3. - P. 471-479.

63. Каримов И. Строительная механика [Электронный ресурс] // Электронный учебный курс для студентов очной и заочной формы обучения: официальный сайт. - URL: http://www.stroitmeh.ru/lect31.htm (дата обращения 15.04.2019).

64. Reddy J. N. An Introduction to the Finite Element Method / J. N. Reddy. -3rd ed. - New York: McGraw Hill, 2006. - 896 p.

65. Секулович М. Метод конечных элементов / М. Секулович. - М.: Стройиздат, 1993. - 664 с.

66. Горюнов А. Ф. Уравнения математической физики в примерах и задачах. / А. Ф. Горюнов. - М.: МИФИ, 2008. - Ч. 2. - 528 с.

67. Zhang Y. O. SPH Simulation of Acoustic Waves: Effects of Frequency, Sound Pressure and Particle Spacing / Y. O. Zhang [et al.] // Journal of Mathematical Problems in Engineering - 2015. - Vol. 2015. - P. 1-7.

68. Melker A. I. Potentials of interatomic interaction in molecular dynamics / A. I. Melker // Reviews advanced material science. - 2009. - Vol. 2009, № 20. - P. 1-13.

69. Rino J. P. Interaction potential for InSb: a molecular dynamics study / J. P. Rino [et al.] // Brazilian Journal of Physics. - 2004. - Vol. 34, № 2. - P. 347-353.

70. Lu S. Molecular Dynamics Simulations of Plastic Damage in Metals / S. Lu [et al.]. - Berlin: Handbook of Damage Mechanics, 2004. - 486 p.

71. Zhang B. Molecular dynamics simulation of crack growth in pure titanium under uniaxial tension / B. Zhang [et al.] // Molecular Simulation. - 2018. - Vol. 44, № 15. - P. 1252-1260.

72. Li J. Molecular dynamics simulation of mechanical properties of nanocrystalline platinum: Grain-size and temperature effects / J. Li [et al.] // Physics Letters A. - 2019. - Vol. 383, № 16. - P. 1922-1928.

73. Duncan S. L. Molecular dynamics simulation of phase transitions in model lung surfactant monolayers / S. L. Duncan [et al.] // Biochimica et Biophysica Acta (BBA) - Biomembranes. - 2011. - Vol. 1808, № 10. - P. 2450-2465.

74. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой / А. М. Кривцов. - М.: Физматлит, 2007. - 304 с.

75. Баканов Г. Б. Итерационный метод определения границы неоднородности по измерениям акустического поля / Г. Б. Баканов, А. С. Касымбеков, М. А. Султанов // Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование: материалы III Международной научной конференции. Дивноморское, 07-14 сентября 2016 г. - Дивноморское, 2016. - С. 145-146.

76. Евстигнеев. Р. О. Итерационный метод решения прямых и обратных двумерных задач акустики с применением параллельных алгоритмов / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, А. А. Шмелев // Эвристические алгоритмы и распределенные вычисления. - 2015. - Т. 2, № 1. - С. 71-81.

77. Гончарский. А. В Итерационные методы решения обратных задач ультразвуковой томографии / А. В. Гончарский, С. Ю. Романов // Вычислительные методы и программирование. - 2015. - Т. 16, № 4. - С. 464-475.

78. Суханов Д. Я. Многомерная согласованная фильтрация в радио - и ультразвуковой томографии: дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Д. Я. Суханов. - Томск, 2015. - 409 с.

79. Якубов В. П. Радиотомография по сверхширокополосным моностатическим измерениям на неплоской поверхности / В. П. Якубов, Д. Я. Суханов, А. В. Клоков // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2013. -Т. 56, № 9. - С. 72-79.

80. Ланда Е. И. Роль дифракционной компоненты волнового поля при построении сейсмических изображений / Е. И. Ланда // Технологии сейсморазведки. - 2013. - № 1. - С. 5-31.

81. McMechan G. A. Migration by extrapolation of time dependent boundary values / G. A. McMechan // Geophysical Prospecting. - 1983. - Vol. 31, № 3. - P. 413420.

82. Павлов П. В. Физика твердого тела / П. В. Павлов, А. Ф. Хохлов. - М.: Высшая школа, 2000. - 497 с.

83. Суханов Д. Я. Моделирование волновых процессов методом динамики частиц / Д. Я. Суханов, А. Е. Кузовова // Математическое моделирование. - 2020. - Т. 32, № 10. - С. 119-134.

84. Kuzovova A. Modeling of Acoustic Processes in Solids Based on Particle Interaction / A. Kuzovova, T. Muksunov // MATEC Web of Conferences. Tomsk, Russia, November 22-25, 2017. - 2018. - Vol. 155. - P. 1-5.

85. Суханов Д. Я. Численное моделирование акустических процессов на основе взаимодействия частиц / Д. Я. Суханов, А. Е. Кузовова // Известия высших учебных заведений. Физика. - 2019. - Т. 62, № 12. - С. 107-113.

86. Кузовова А. Е. Численное моделирование акустических процессов в твердых телах на основе массива частиц / А. Е. Кузовова, Д. Я. Суханов // Труды XV Всероссийской конференции студенческих научно-исследовательских инкубаторов. Томск, 17-18 мая 2018 г. - Томск, 2019. - С. 79-82.

87. Sukhanov D. Ya. Numerical modeling of anisotropic properties of a solid by particle dynamics method / D. Ya. Sukhanov, A. E. Kuzovova // Journal of Physics: Conference Series. Tomsk, Russia, October 20-22, 2021. - 2021. - Vol. 2140. - P. 1-6.

88. Кузовова А. Численное моделирование анизотропных свойств твердого тела методом динамики частиц / А. Кузовова, Д. Я. Суханов // Актуальные проблемы радиофизики: сборник трудов IX Международной научно-практической конференции. Томск, 20-22 октября 2021 г. - Томск, 2021. - С. 82.

89. Sukhanov D. Numerical simulation of wave processes in solid and gaseous media based on the particle dynamics / D. Sukhanov, A. Kuzovova // Journal of

Physics: Conference Series. Tomsk, Russia, October 01-04, 2019. - 2020. - Vol. 1499, Is. 1. - P. 1-5.

90. Liu Q. H. The perfectly matched layer for acoustic waves in absorptive media / Q. H. Liu, T. J. Jianping // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1997. -Vol. 102, № 4. - P. 2072-2082.

91. Hastings F. D. Application of the perfectly matched layer (PML) absorbing boundary condition to elastic wave propagation / F. D. Hastings [et al.] // The Journal of the Acoustical Society of America. - 1996. - Vol. 100, № 5. - P. 3061-3069.

92. Kim D. A Modified PML Acoustic Wave Equation / D. Kim // Symmetry. -2019. - Vol. 177, № 11. - P. 1-15.

93. Кузовова А. Численное моделирование акустических процессов в линейных и нелинейных средах на основе метода динамики частиц / А. Кузовова, Д. Я. Суханов // Наука. Технологии. Инновации: сборник научных трудов Всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 30 ноября -04 декабря 2020 г. - Новосибирск, 2020. - Ч. 2. - С. 41-45.

94. Исакович М. А. Общая акустика / М. А. Исаакович. - М.: Наука, 1973. -

496 с.

95. Лепендин Л. Ф. Акустика / Л. Ф. Лепендин. - М.: Высшая школа, 1978. -

448 с.

96. Kuzovova A. Numerical modeling of ultrasonic waveguide with piezoceramic element / A. Kuzovova, T. Muksunov // IOP Conference Series-Materials Science and Engineering. Tomsk, Russia, November 22-25, 2018. - 2019. - Vol. 516. - P. 1-5.

97. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019614618. Численное моделирование акустических процессов в ультразвуковом волноводе / Суханов Д. Я., Росляков С., Кузовова А. Е.; правообладатель: федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» (RU). Заявка № 2019613333; дата поступления - 29.03.2019; дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ - 09.04.2019.

98. Суханов Д. Я. Ультразвуковой режущий инструмент с цифровым управлением / Д. Я. Суханов, К. В. Завьялова, А. Кузовова, И. Ю. Кузьменко, Т. Р. Муксунов, С. Н. Росляков // Актуальные проблемы радиофизики: сборник трудов VIII Международной научно-практической конференции. Томск, 01-04 октября 2019 г. - Томск, 2019. - С. 140-141.

99. Кузовова А. Е. Численное моделирование ультразвукового волновода методом частиц / А. Е. Кузовова, Д. Я. Суханов // Всероссийская молодежная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Все грани математики и механики»: сборник тезисов докладов. Томск, 23-27 апреля 2019 г.

- Томск, 2019. - С. 96.

100. Кузовова А. Численное моделирование колебаний ультразвуковых волноводов на основе динамики массива частиц / А. Кузовова, Д. Я. Суханов // Наука. Технологии. Инновации : сборник научных трудов Всероссийской научной конференции молодых ученых. Новосибирск, 03-07 декабря 2018 г. -Новосибирск, 2018. - Ч. 2. - С. 138-142.

101. Суханов Д. Я. Применение модели взаимодействующих частиц с обращением времени для восстановления источников акустических волн / Д. Я. Суханов, А. Е. Кузовова // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. - 2021. - № 2. - С. 17-31.

102. Sukhanov D. High Resolution Backscattering Acoustic Tomography Method Based on Reverse Time Migration for Arbitrary Wideband Sounding Signal / D. Sukhanov, A. Kuzovova // Journal of Theoretical and Computational Acoustics. - 2021.

- P. 2150026-1-2150026-18.

103. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2022666174. Восстановление неоднородностей в среде на основе симуляции акустических процессов с обращением времени и предварительной фильтрацией поля прямого распространения / Кузовова А. Е.; правообладатель: Кузовова А. Е. (RU). Заявка № 2022665527; дата поступления - 16.08.2022; дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ - 25.08.2022.

104. Суханов Д. Я. Акустическая томография повышенного разрешения на основе обратного распространения волн / Д. Я. Суханов, А. Е. Кузовова // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2023. - № 1. - С. 1-18.

105. Kuzovova A. Solution of Acoustic Tomographic Problems on the Basis of Numerical Simulation of Particle Dynamics / A. Kuzovova, I. Kuzmenko // MATEC Web of Conferences. Tomsk, Russia, November 22-25, 2017. - 2018. - Vol. 155. -P. 1-5.