Численное моделирование нестационарного поведения упругих конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Зуев, Николай Николаевич

• Зуев, Николай Николаевич
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Зуев, Николай Николаевич

СОДЕРЖАНИЕ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

В ПРОЦЕССЕ СОЗДАНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

1.1. Цели динамического анализа как составной части разработки ЛА

1.2. Классификация задач динамики упругих конструкций

1.3. Уравнения колебаний в случае геометрической и

физической нелинейности

1.3.1. Общий случай

1.3.2. Геометрически и физически линейная задача

1.3.3. Геометрически нелинейная задача

1.3.4. Уравнения колебаний при динамическом анализе ЛА

1.4. Методы редукции конечноэлементных моделей в динамике

1.4.1. Цели и общая схема редуцирования

1.4.2. Статическая конденсация

1.4.3. Метод динамической редукции

1.4.4. Методы, использующие кинематические условия

1.5. Интегрирование уравнений движения

1.5.1. Особенности начальной задачи для уравнений движения

1.5.2. Специальные методы численного интегрирования

1.5.3. Применение общих методов численного интегрирования

ГЛАВА 2. НАИЛУЧШАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ МЕТОДОВ

ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ

2.1. Наилучшая параметризация задачи Коши

2.2. Анализ эффективности наилучшей параметризации простых задач

2.2.1. Влияние на локальную погрешность

2.2.2. Влияние на устойчивость схемы численного интегрирования

2.2.3. Наилучшая параметризация задачи Коши для

уравнения u t=acöcos(cot)

2.3. Алгоритмическая реализация процедуры наилучшей параметризации

2.4. Частные формы наилучшей параметризации

2.5. Наилучшая параметризация для методов Рунге-Кутта

2.5.1. Задачи второго порядка

2.5.1.1. Применение методов Рунге-Кутта для уравнений движения

2.5.1.2. Использование наилучшей параметризации для методов Рунге-Кутта

2.5.1.3. Частная форма наилучшей параметризации для методов Рунге-Кутта

2.5.1.4. Анализ эффективности наилучшей параметризации тестовых

задач при использовании методов Рунге-Кутта

2.5.1.4.1.Тестовые задачи второго порядка

2.5.1.4.2.Алгоритмическая реализация

2.5.1.4.3.Результаты тестирования

2.5.2. Задачи первого порядка

2.5.2.1.Наилучшая параметризация методов Рунге-Кутта

для уравнений первого порядка

2.5.2.2.Тестовые задачи первого порядка

2.5.2.3. Алгоритмическая реализация

2.5.2.4. Результаты тестирования

2.6.Наилучшая параметризация неявных методов численного интегрирования

2.6.1. Неявный метод Эйлера для задач второго порядка

2.6.2. Неявный метод Эйлера для задач первого порядка

2.6.3. Численное интегрирование задач первого порядка ФДН-методами

2.6.3.1..Наилучшая параметризация ФДН-методов для систем

дифференциальных уравнений первого порядка

2.6.3.2. Алгоритмическая реализация

2.6.3.3.Результаты тестирования

2.7.Обобщение результатов решения тестовых задач

ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НАИЛУЧШЕЙ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ В ИНЖЕНЕРНОМ АНАЛИЗЕ

3.1.Задача о колебаниях консольной балки

3.2. Динамическое нагружение модуля ФГБ международной

космической станции при стыковке

3.3. Динамическое нагружение КА и РН "ПРОТОН"

- расчетный случай "Отсечка ДУ третьей ступени"

3.4. Динамическое нагружение КА и РН легкого класса при старте

3.5.Обсуждение результатов применения наилучшей параметризации

при анализе переходных процессов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

Все используемые в диссертации сокращения расшифровываются при первом использовании. Однако, для удобства чтения тут приводится список сокращений, которые применяются в разных разделах, с некоторыми пояснениями.

ДП - метод Дормана-Принса численного интегрирования задачи Коши (семейство

методов Рунге-Кутта); КА - космический аппарат; ЛА - летательный аппарат;

МКС - международная космическая станция "АЛЬФА"; МКЭ - метод конечных элементов; МН - метод Ньютона;

МРК - метод класса Рунге-Кутта численного интегрирования задачи Коши; НМЭ - неявный метод Эйлера;

ПИ - метод простых итераций решения системы нелинейных алгебраических уравнений;

ПИЭ - метод простых итераций с ускорением по Эйткину решения системы

нелинейных алгебраических уравнений; ПС - переходная система (- между КА и РН); РБ - разгонный блок;

РКФ - метод Рунге-Кутты-Фельберга численного интегрирования задачи Коши; РН - ракета-носитель; СБ - солнечная батарея;

ФГБ - функционально-грузовой блок - модуль МКС "АЛЬФА"; ФДН-метод - метод класса неявных методов численного интегрирования задачи Коши, основанных на формулах численного дифференцирования назад; ЯМЭ - явный метод Эйлера численного интегрирования задачи Коши;

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Все используемые обозначения поясняются по ходу изложения. Однако, для удобства чтения тут приводится список наиболее употребимых обозначений, которые применяются в разных разделах диссертации.

h - длина шага интегрирования по независимой переменной (t либо Л);

kr - относительные вычислительные затраты ( - мера эффективности параметризации) - отношение п^ при решении данной задачи после параметризации к пГШ1 исходным методом при одинаковой допустимой погрешности; для явных методов совпадает с отношением nstep;

nrim - количество обращений к подпрограмме вычисления правых частей дифференциальных уравнений при интегрировании;

nstep - количество шагов интегрирования;

q - обобщенные координаты при редуцировании или интегрировании уравнений колебаний путем разложения в ряд по собственным формам;

t - независимая переменная задачи Коши; dX

toi - для методов с управлением длиной шага интегрирования по оценке локальной погрешности - допустимая локальная погрешность;

Нижний индекс после запятой - частная производная по переменной, указанной после индекса.

dt

а = — d^

Ô - для методов с управлением длиной шага интегрирования по оценке локальной погрешности - допустимая локальная погрешность;

s - для методов с постоянным шагом - мера локальной погрешности (средняя по шагам локальная погрешность, локальная погрешность в окрестности точки и т.п.);

X - независимая переменная при интегрировании после наилучшей параметризации;

наилучшей наилучшей локальной

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нестационарного поведения упругих конструкций»

ВВЕДЕНИЕ.

Прогресс ракетно-космической техники требует постоянного улучшения качества численного моделирования исследуемых объектов, что достигается как путем уточнения методик расчета и верификации модели, так и за счет усложнения расчетной модели. Следствием этого является увеличение времени выполнения расчетов, а в некоторых случаях - даже получение некачественных результатов из-за использования традиционных подходов и численных методов, которые не годятся для новых усложненных расчетных схем и методик.

Одним из основных этапов расчета конструкции является численное моделирование динамических переходных процессов (динамический анализ). Этот вид исследований выполняется, например, для определения нагружения элементов летательного аппарата (ЛА). В этом смысле трудно переоценить влияние качества таких расчетов на правильность принимаемых проектных решений и, в итоге - на успех или неудачу реализации программы в целом.

В диссертации анализируется универсальный способ повышения эффективности численных методов интегрирования задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений и его применение в рамках динамического анализа. При этом исследования проведены по нескольким направлениям. Во-первых, для простейших случаев получены аналитические результаты относительно эффективности указанного преобразования. Во-вторых, выполнено исследование применения преобразования для решения тестовых задач. В-третьих, эффективность указанного преобразования проверена на нескольких практических примерах - выполнен анализ совместного нагружения ракеты-носителя (РН) и космического аппарата (КА) для двух расчетных случаев активного участка выведения, проанализировано нагружение модуля космической станции в процессе стыковки.

Настоящая работа имеет своей конечной задачей снижение вычислительных затрат (счетного времени) при динамическом анализе и повышение качества результатов за счет использования более надежных и эффективных вычислительных алгоритмов.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Зуев, Николай Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основании принципа возможных перемещений и с учетом принципа Даламбера сформулированы уравнения колебаний в рамках метода конечных элементов в случае геометрической и физической нелинейности, а также частные случаи - линейная задача и геометрически нелинейная задача.

2. Рассмотрены особенности записи уравнений колебаний при динамическом анализе ЛА. Дано сравнение различных подходов к составлению уравнений колебаний для анализа переходных процессов в рамках МКЭ с точки зрения области применения, а также их удобства для численного интегрирования - обсуждаются прямой метод, разложение решения в ряд по собственным формам и различные методы редуцирования моделей в рамках метода подконструкций.

3. Получены и подтверждены расчетами аналитические результаты относительно эффективности наилучшей параметризации - универсального аналитического преобразования методов численного интегрирования задачи Коши - для ряда простых случаев, а именно:

- для одного уравнения и явного метода Эйлера установлено, что наилучшая параметризация снижает локальную вычислительную погрешность в l/(t x)2 раз, для одного уравнения и метода Рунге-Кутта-Фельберга порядка 1(2) показано, что для нежестких задач шаг интегрирования увеличивается в l/(t j раз;

- для одного уравнения и метода Рунге-Кутта-Фельберга порядка 1 (2) получена оценка суммарного снижения вычислительных затрат: kr « Ь—;

- для явного метода Эйлера показано, что наилучшая параметризация не изменяет область счетной устойчивости метода, а для метода Хойна область устойчивости может увеличиваться на величину до 12.5%;

- для уравнения u t=acocos(cot) и метода Рунге-Кутта-Фельберга порядка 1(2) получены аналитические выражения, демонстрирующие эффективность наилучшей параметризации.

4. Предложены частные формы наилучшей параметризации, в частности -управление длиной шага интегрирования для методов, не имеющих собственного алгоритма выбора шага.

5. Обсуждена процедура рациональной алгоритмической реализации наилучшей параметризации. Сделан вывод, что для инженерных приложений целесообразно включать наилучшую параметризацию непосредственно в алгоритм интегрирования. В рамках такого подхода разработаны алгоритмические реализации и соответствующие FORTRAN- программы, реализующие процедуру наилучшей параметризации для следующих классов численных методов интегрирования задачи Коши: явные и неявные методы семейства Рунге-Кутта для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, явные и неявные методы семейства Рунге-Кутта для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, неявные многошаговые методы, основанные на формулах численного дифференцирования назад для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка,

6. Эффективность наилучшей параметризации исследована на тестовых задачах для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго и первого порядка. В частности установлено, что: для методов с постоянным шагом интегрирования при решении нежестких задач наилучшая параметризация позволяет снизить локальную и глобальную погрешность на порядки, для решения жестких задач явными методами с постоянным шагом наилучшую параметризацию использовать нецелесообразно; наилучшая параметризация позволяет снизить вычислительные затраты при использовании методов с управлением шагом интегрирования на основе оценки локальной погрешности для всех задач; наилучшая параметризация более эффективна для наиболее трудоемких в вычислительном плане задач и методов интегрирования низкого порядка; - для задач второго порядка установлено, что выбор подпространства для наилучшей параметризации необходимо согласовывать с подпространством, в котором определяется погрешность при управлении шагом;

7. Исследована эффективность наилучшей параметризации для типичных задач, встречающихся в инженерной практике - рассмотрены задачи, связанные с анализом переходных процессов в конструкциях ракетно-космической техники. Установлено, что наилучшая параметризация позволяет существенно снизить вычислительные затраты для наиболее сложных с вычислительной точки зрения задач.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Зуев, Николай Николаевич, 1998 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Авдонин A.C. Расчет на прочность космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1979. 200 с.

2. Авдонин A.C., Фигуровский В.И. Расчет на прочность летательных аппаратов: Учеб. Пособие для вузов. - М.: Машиностроение, 1985. 440 с.

3. Аведьян А.Б., Аверкина JI.A., Бузлаев Д. В., Данилин А.Н., Зуев H.H..CAD/CAE-программы для проектирования и расчета инженерных KOHCTpyKHHft.//RM-magazine. 1998. №2. С.44-45.

4. Аведьян А.Б., Бузлаев Д. В., Данилин А.Н., Зуев H.H. Современные программные комплексы для решения инженерных и прикладных научных проблем. // САПР и графика. 1998. №4. С.41-47.

5. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. - М.: Изд-во МГУ, 1990.-336с.

6. Балабух Л.И., Алфутов H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет: Учебник для машиностр. специальностей вузов. - М.: Высш. школа, 1984. 391 с.

7. Балабух Л.И., Колесников К.С., Зарубин B.C., др. Основы строительной механики ракет: Учеб пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1969. 496 с.

8. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.:Наука, 1987. 598 с.

Ю.Бисплингхофф Р.Л.,Эшли Х.Далфмэн Р.Л.Аэроупругость. - М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958.- 799с.

11.Бузлаев Д.В., Данилин А.Н., Зуев H.H., Курсаков С.Н.. UAI/NASTRAN - анализ прочности и динамики конструкций. // САПР и графика. 1998. №1. С.60-62.

13.Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности: Пер. с англ.-М.: Мир, 1987.- 542с.

14. Вибрации в технике: Справочник: В 6-ти т. - М.: Машиностроение, 1981.

15.Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1977.

16.Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.:Наука, 1980. 400 с.

17.Вольмир A.C., Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. Статика и динамика сложных структур: Прикладные многоуровневые методы исследований. - М.: Машиностроение , 1989.-248с.

18. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. - М.:Наука, 1966.

19. Гладкий В.Ф. Динамика конструкции летательного аппарата. - М.: Наука, 1969. 495 с.

20.Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования. - М.: Наука, 1988,-231с.

21.Гуляев В.И.,Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи нелинейной теории колебаний механических систем: Учеб. пособие для втузов. - М.: Высшая школа, 1989.- 383с.

22.Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений. //Докл. АН СССР. 1953. Т.88. №4. С.601-602.

23 .Данилин А.Н. Нелинейные уравнения движения гибких стержневых сис-тем.//Мех.тв.тела 1994. №1. с. 177-188.

24.Данилин А.Н., Зуев H.H.. Программный комплекс SYSNOISE - эффективное решение проблем виброакустического анализа и оптимизации в инженерном деле. // САПР и графика. 1998. №2. С.47-49.

25.Деннис Дж.,мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений: Пер. с англ.-М.: Мир, 1988.- 440с.

26.Динамика ракет: Учебник для студентов вузов / К.А. Абгарян, Э.Л. Калязин, В.П. Мишин и др.: Под общ. ред. В.П. Мишина.- М.: Машиностроение, 1990.-464с.

27.Ершов Н.Ф., Шахверди Г.И. Метод конечных элементов в задачах гидродинамики и гидроупругости.-Л.: Судостроение, 1984. - 240с.

28.Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975.- 541с.

29.3енкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. 318 с.

ЗО.Зуев H.H. Программный комплекс DADS: моделирование механических систем. // САПР и графика. 1997. №11. С.52-53.

31. Зуев H.H., Данилин А.Н.. Комплексный инженерный анализ - прочность, динамика, акустика.//Автоматизация проектирования. 1998. №2. С.31-35.

32.3уев H.H., Э.Н.Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И. Реализация продолжения по наилучшему параметру в геометрически и физически нелинейных статических задачах метода конечных элементов. //Мех.тв.тела 1997. №6. С.136-147.

33. Зуев H.H., Э.Н.Князев Э.Н., Костриченко А.Б., Шалашилин В.И.. Использование наилучшей параметризации при динамическом анализе.// Тезисы докладов II Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред." - М: Изд-во "Латмэс" МГАТУ, 1996. С.57-58.

34.3уев H.H.. Программный комплекс DADS: полноценное компьютерное моделирование механических систем. // Инструмент-технология-оборудование. 1997. №3. С.50-51.

35.Ильенко Ю.Е.,Кулакова К.П. Методика расчета упругих колебаний и динамических нагрузок пакетом программных комплексов УКДН на основе комбинированных конечноэлементных моделей с использованием пространственных механических аналогов. НТО №37 . 114.01004-01. М, 1989.-26с.

36.Ильенко Ю.Е.,Кулакова К.П. Методика расчета упругих колебаний и динамических нагрузок пакетом программных комплексов УКДН на основе комбинированных конечноэлементных моделей с использованием редуцированных недиагональных матриц масс. НТО. УДК 681.3.06, 1989.-28с.

37.Ильенко Ю.Е., Кулакова К.П., Зуев H.H. Разработка расчетных условий нагружения и динамических моделей ракеты-носителя "Протон" для случаев старта и разделения 1-й/2-й ступеней.//Второй межведомственный научно-практический семинар "Проблемы и технологии создания и использования космических систем и комплексов на базе космических аппаратов и орбитальных станций.". Тезисы докладов. Государственный космический научно-производственный центр им. М.В.Хруничева. М.:1998. С.91.

38.Калиткин H.H. Численные методы. - М.: Наука, 1978.

40.Колесников К.С., Козлов В.И., Кокушкин В.В. Динамика разделения летательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1977. 224 с.

41.Колесников К.С., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект автоматического управления. -М.: Машиностроение, 1974. 268 с.

42.Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1953.

43.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1968.-720С.

44.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы: В 2-х т. - М.: Наука, 1977.

45.Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру. // Мех.тв. тела 1993. N6. с.145-152.

46.Кузнецов Е.Б., Шалашилин В.И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру.//ПММ, том 58, вып.6,1994. с. 14-21.

47.Курков C.B. Метод конечных элементов в задачах динамики механизмов и приводов.-СПб.: Политехника, 1991.-224с.

48. Левитский Н.И. Колебания в механизмах: Учеб. пособие для втузов. - М.: Наука, 1988. 336 с.

49. Лизин В.Т., Пяткин В.А. Проектирование тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1985. 344 с.

50.Мак Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. - М.: Мир, 1977.

51.Маркеев А.П. Теоретическая механика. - М.: Наука, 1990. - 416с.

52.Милн В.Э. Численное решение дифференциальных уравнений. - М.: ИЛ, 1955.

53.Морозов В.И.,Пономарев А.Т., Рысев О.В. Математическое моделирование сложных аэроупругих систем.- М.: Физматлит, 1995. - 736с.

55.0ден Д. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. - М.: Мир, 1976. 304 с.

56.0ртега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.- 288с.

57. Основы конструирования ракет-носителей космических аппаратов: Учебник для студентов втузов./ Под ред. В.П. Мишина, В.К.Карраска. - М.Машиностроение, 1991. -416 с.

58.Панин В.Ф., Гладков Ю.А. Конструкции с заполнителем: Справочник. - М.: Машиностроение, 1991. - 272 с.

59.Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. - Л.: Политехника, 1990. 272 с.

60.Применение метода конечных элементов к расчету конструкций: Учеб. пособие для техн. вузов / Р.А.Хечумов, Х.Кепплер, В.И.Прокопьев; Под общ. редакцией Р.А.Хечумова. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1994. -353 с.

61. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник: В 3-х т. / Под общ. ред. Биргера И.А., Пановко Я.Г. -М.: Машиностроение, 1976. 356 с.

62.Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жёстких систем. - М.: Наука, 1979. -208с.

63.Рикс Е. Применение метода Ньютона к задаче упругой устойчивости. // Прикл. механика. 1972. №4. с.204-209.

64. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику: учеб. пособие для вузов. -М.: Физматгиз, 1994. 336 с.

65.Савинов Ю.Г. Расчет динамических характеристик ЛА. - М.: Изд-во МАИ, 1992.- 40с.

66. Самарский A.A. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1982.

67.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. 392 с.

68.Секулович М. Метод конечных элементов: Пер. с серб.- М.: Стройиздат, 1993. - 664с.

69.Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. - М.: Мир, 1976. - 454с.

70.Стренг Г., Фикс Г. Дж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. 349 с.

71. Строительная механика JIA : Учебник для авиационных специальностей вузов / И.Ф.Образцов, Л.А.Булычев, В.В.Васильев и др.: Под ред. И.Ф.Образцова. - М.: Маши ностроение, 1986. - 536с.

72.Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов. - М.: Высшая школа, 1995. 416 с.

73.Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.- М.: Наука, 1979. 560 с.

74.Тимошенко С.П., др. Колебания в инженерном деле. - М.: Машиностроение, 1986. - 472 с.

75.Усюкин В.И. Строительная механика конструкций космической техники.- М.: Машиностроение, 1988. 400 с.

76.Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решения обыкновенных дифференциальных. Нежёсткие задачи: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 512с.

77.Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. - М.:Мир, 1977.

78. Хемминг Р.В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

79.Холл Д., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1977.

80. Шалашилин В.И., Зуев H.H., Князев Э.Н. Анализ переходных процессов с использованием наилучшей параметризации. // Международная конференция " Научно-технические проблемы космонавтики и ракетостроения". Тезисы и аннотации докладов. - Калининград Моск. Обл : ЦНИИмаш, 1996. С.246.

81.Шалашилин В.И., Зуев H.H., Князев Э.Н. Использование наилучшей параметризации при динамическом анализе. // XX научные чтения по космонавтике. РАН. Тезисы докладов. М.: 1996. С.27-28.

82.Шалашилин В.И., Костриченко А.Б., Князев Э.Н., Зуев H.H. Продолжение по наилучшему параметру в нелинейных статических задачах, решаемых методом конечных элементов.// Изв. вузов. Авиационная техника. 1997. №4. С. 18-24.

83.Шалашилин В.И., Костриченко А.Б., Кузнецов Е.Б., Князев Э.Н., Зуев H.H. Математическое моделированиетехнологических процессов сильного нелинейного деформирования. // Российская научно-техническая конференция "Технологические проблемы

производства летательных аппаратов и двигателей". Тезисы докладов. Казан. Гос. Техн. Ун-т. - Казань, 1995. С.38.

84.Шалашилин В.И., Костриченко А.Б., Кузнецов Е.Б., Князев Э.Н., Зуев Н.Н. Математическое моделирование процессов сильного нелинейного деформирования. // Новые материалы и технологии. Сборник статей. Московский авиационный технологический институт - Российский государственный технологический университет им. К.Э.Циолковского. - М.: 1996. С.34-39.

85.Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Задача Коши для нелинейно деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру. // Докл. РАН. 1993. Т.329. N4. с.426-428.

86.Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру. //Журнал ВМ и МФ. 1993.T33.N12. с. 1792-1805.

87.Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Колебания неконсервативных систем. - М.: Изд-во МАИ, 1989.-46с.

88.Шклярчук Ф.Н., Гришанина Т.В. Нелинейные и параметрические колебания упругих систем. - М.: Изд-во МАИ, 1993. - 68с.

89.Edward J. Haug, Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems: v.l: Basic methods. - Boston: Allyn and bacon, 1989. 498 p.

90.Grigoliuk E.I., Shalashilin V.I. Problems of nonlinear deformation. - Dordrecht et. al. ; Klu-ver, 1991. 262 p.

91.N.Niedbal, E.Klusowski. Die Verknupfung strukturdynamischer Rechnenmodelle mit gemessenen Eigenschwingungs - Kenngrossen.// Zeitschrift Flugwiss. Weltraumforschung, 12(1988) s.99-110.

92.Roy R. Craig Jr., Mervin C.C. Bampton. Coupling of Substructures for Dynamic Analyses.// AIAA Journal, vol.6, no.7,july 1968. p. 1313-1319.

93. UAI/NASTRAN User's guide for version 20.0. Torrance, CA: Universal analytics, Inc., 1997.