Численное моделирование многомерных самогравитирующих МГД-течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Жилкин, Андрей Георгиевич

• Жилкин, Андрей Георгиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Жилкин, Андрей Георгиевич

Введение

1 МГД-коллапс межзвездных облаков

1.1. Обзор результатов моделирования коллапса.

1.2. Обзор численных методов решения уравнений магнитной газодинамики.

2 Разностная схема и численный метод решения

2.1. Уравнения многокомпонентной радиационной плазмы

2.1.1. Общие кинетические уравнения.

2.1.2. Уравнения моментов для плазмы.

2.1.3. Уравнения моментов для фотонов.

2.1.4. Уравнения для массовых величин.

2.1.5. Упругие столкновения.

2.1.6. Приближение двухкомпонентной смеси

2.1.7. Магнитогазодинамическое приближение

2.1.8. Переход к безразмерным переменным

2.2. Построение численного метода.

2.2.1. Уравнение переноса.

2.2.2. Система гиперболических уравнений.

2.2.3. Модификация схемы для уравнений магнитной газодинамики.

2.2.4. Модификация схемы для уравнений двухком-понентной смеси.

2.2.5. Построение двумерного МГД-кода.

2.2.6. Уравнение Пуассона.

2.2.7. Реализация условия div В = 0.

2.3. Описание численного кода.

2.3.1. Пакет "Numerical Tool Box"

2.3.2. Программный комплекс "Moon".

2.4. Тестовые расчеты.

2.4.1. Линейный перенос.

2.4.2. Распад произвольного разрыва.

2.4.3. Распространение альвеновской волны.

2.4.4. Двумерная адвекция.

2.4.5. Задача о сильном взрыве.

2.4.6. Свободный коллапс.,

2.4.7. Изотермический коллапс.

2.4.8. Адиабатическое облако при у = 4/3.

2.4.9. Результаты тестовых расчетов

Моделирование МГД-коллапса протозвездных облаков

3.1. Коллапс замагниченного протозвездного облака

3.1.1. Постановка задачи.

3.1.2. Параметры моделей.

3.1.3. Результаты расчетов.

3.2. Учет вращения.

3.2.1. Вращение без магнитного поля

3.2.2. Вращение с магнитным полем.

3.3. Проблема углового момента.

3.3.1. Вводные замечания.

3.3.2. Сферически-симметричное облако.

3.3.3. Цилиндрически-симметричное облако.

3.4. Равновесная скорость вращения молодых звезд

3.4.1. Вращение молодых звезд.

3.4.2. Уравнение эволюции углового момента

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование многомерных самогравитирующих МГД-течений»

Современная теория звездообразования основана на численном моделировании газодинамики сжатия протозвездных облаков. Она объясняет образование одиночных звезд разных масс. В последние годы в связи с прогрессом в наблюдениях астрофизики стали исследовать звездобразование в магнитных вращающихся облаках. Согласно оценкам скоростей вращения удельные угловые моменты протозвездных облаков превышают удельные угловые моменты звезд на 4-5 порядков [1, 2]. Тоже самое можно сказать и о магнитных потоках. Эту проблему магнитного потока и углового момента в теории звездообразования необходимо решать в рамках самосогласованной постановки задачи. На первых этапах развития теории задачи об эволюции магнитного потока и углового момента решаются раздельно, так как в первую очередь необходимо выяснить основные процессы, обуславливающую их эволюцию.

Эволюция остаточного магнитного поля была исследована в ряде работ Дудорова [3, 4]. В них было показано, что звезды могут рождаться с достаточно интенсивным остаточным магнитным полем. В настоящее время исследована также и дальнейшая эволюция магнитного поля в процессе его взаимодействия с турбулентной конвекцией [4, 5]. В частности, повышенную активность молодых звезд можно связать с высвобождением энергии остаточного 4 5 поля.

Эволюция вращающихся протозвездных облаков исследовалась до сих пор, как правило, в рамках предположения локального сохранения углового момента (см., например, [6]). Сжатие вращающегося замагниченного облака принципиально отличается от этого случая тем, что магнитное поле может как отводить угловой момент от облака, так и перераспределять его между центральными частями и оболочкой. На первом этапе необходимо исследовать эффективность магнитного торможения и переноса. С этой задачей органически связаны проблемы установления равновесного вращения звезд с дисками в результате взаимодействия остаточного магнитного поля с аккрецией и струями.

Наблюдаемая кривая вращения молодых звезд по форме аналогична кривой вращения звезд главной последовательности. Холодные молодые звезды имеют средние скорости вращения около 15 — 20км/с, горячие — 100 — 200км/с (см. [7]). В диссертации доказана справедливость гипотезы о достижении в системе вращающаяся замагниченная звезда с аккреционным диском устойчивого равновесного состояния, когда радиус звездной магнитосферы приблизительно равен радиусу коротации диска. На основании гипотезы о равновесном вращении показано, что взаимодействие аккреции и МГД-переноса углового момента является основным механизмом, определяющим распределение углового момента молодых звезд по массам. При этом звезды типа Т Тельца должны иметь остаточное магнитное поле дипольного типа с интенсивностью порядка В = 500Гс, а Ае/Ве звезды Хербига — магнитное поле квадрупольного типа. 6

Численные исследования динамики коллапса магнитных облаков (без вращения) ([8, 9,10]) имели единичный характер и в настоящее время их нельзя считать завершенными. То же самое следует сказать и в отношении коллапса магнитных вращающихся облаков ([11, 12]). Наиболее полное исследование проведено лишь в кинематической постановке задачи [3].

Коллапс магнитных вращающихся протозвездных облаков в сколько-нибудь полной постановке задачи может быть исследован только с привлечением численных методов. Численное моделирование самогравитирующих течений до недавнего времени проводилось на основе классических разностных методов, таких как методы донорной ячейки, Лакса-Вендроффа и др. Классические схемы обладают либо сильной диффузией, либо дают нефизические осцилляции в областях сильных градиентов. Эти недостатки особенно проявляются при расчете течений с ударными волнами, контактными разрывами и волнами разрежения. В таких задачах зачастую бывает необходимо разделять физические и численные осцилляции. Поэтому для решения подобных задач более предпочтительным является использование нелинейных монотонных методов повышенного порядка точности.

При построении монотонных разностных схем для решения уравнений магнитной газодинамики применяются два основных подхода. В первом подходе используется точное решение задачи Римана о распаде произвольного разрыва на каждой границе ячеек в каждый момент времени [13]. Эти методы являются обобщением и развитием классического метода Годунова [14] и используют итерационную процедуру для решения системы нелинейных уравне7 ний. Другой способ состоит в разложении матрицы гиперболичности по левым и правым собственным векторам. Это соответствует решению линеаризованной задачи Римана [15, 16, 17, 18].

В данной работе для решения уравнений магнитной газодинамики построена простая ТУБ-схема, которая не требует вычисления собственных векторов матрицы гиперболичности, а использует только максимальные по модулю собственные значения (спектральный радиус). Она имеет третий порядок аппроксимации по пространственной переменной в областях гладкости решения и первый порядок аппроксимации по времени. Фазовые и амплитудные ошибки в схеме согласованы между собой, что увеличивает точность моделирования процессов переноса. Проведенные тестовые расчеты показывают, что схема хорошо аппроксимирует решения уравнений магнитной газодинамики, содержащие быстрые и медленные ударные волны и вращательные разрывы. Схема легко обобщается на многомерные задачи и позволяет приспособить численный код без внутренней его перестройки на основные частные случаи МГД-течений.

В диссертации на основе развитой схемы построен численный метод решения уравнений гравитационной магнитной газодинамики в цилиндрических координатах. Этот метод можно использовать для моделирования как изотермических, так и адиабатических течений плазмы. На базе предложенного метода построен двумерный численный код для моделирования решений уравнений гравитационной магнитной газодинамики на эйлеровой цилиндрической сетке. С помощью разработанного кода исследованы некоторые особенности коллапса вращающихся магнитных прото8 звездных облаков.

В первой главе диссертации дан общий обзор основных результатов моделирования коллапса протозвездных облаков и используемых для этих целей численных методов. Во второй главе рассматривается математическая постановка задачи МГД-коллапса в рамках приближения двухкомпонентной смеси с учетом процессов амбиполярной диффузии и нестационарной ионизации. Там же приводится описание схемы для численного решения уравнений магнитной газодинамики, описание численного кода и сравнительная характеристика проведенных тестовых расчетов. В третьей главе представлены основные результаты моделирования коллапса магнитных вращающихся протозвездных облаков. Обсуждается проблема углового момента и равновесного вращения молодых звезд. В заключении обсуждаются основные результаты диссертации.

Целью настоящей работы является развитие простой монотонной разностной схемы повышенного порядка точности для численного решения уравнений гравитационной магнитной газовой динамики на двумерной цилиндрической эйлеровой сетке, создание численного кода для моделирования самогравитирующих МГД-течений, проведение тестовых расчетов для проверки точности развитого кода и численное исследование с его помощью коллапса вращающихся магнитных протозвездных облаков.

Научная новизна.

В работе предложена новая численная схема для решения уравнений идеальной магнитной газодинамики, имеющая повышенный порядок аппроксимации и принадлежащая к классу монотонных 9 схем, удовлетворяющих принципу наименьшей полной вариации (TVD). Построен численный метод для решения уравнений гравитационной магнитной газовой динамики на двумерной цилиндрической эйлеровой сетке. На основе развитого метода разработан двумерный численный код на цилиндрической эйлеровой сетке. Развитый код протестирован на большом количестве задач с известными точными или приближенными аналитическими решениями. Результаты проведенных тестовых расчетов показали хорошую добротность метода.

С помощью развитого численного метода впервые проведено исследование коллапса вращающихся магнитных протозвездных облаков в самосогласованной постановке задачи. Исследованы конфигурации облаков, получающиеся на конечных стадиях сжатия. Отдельно рассмотрены проблемы эволюции углового момента и установления равновесного вращения молодых звезд.

Практическая ценность.

В процессе исследований разработан комплекс программ "Moon" для моделирования широкого класса самогравитирующих МГД-течений. При помощи этого кода можно моделировать как одномерные, так и двумерные течения адиабатической или изотермической плазмы.

Полученные результаты численных исследований важны для понимания физики протозвездного МГД-коллапса и объяснения наблюдаемых характеристик молодых звездообразных объектов.

Развитый код и полученные результаты используются в научных исследованиях ИНАСАН РАН, ГАИШ, ИПМ РАН, а также в ВГУ, УрГУ и др.

10

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на IV-x и V-x Забабахинских научных чтениях (Снежинск, 1995, 1998); Международной научной конференции, посвященной памяти Шкловского, Каплана и Пикельнера (Москва, ГАИШ, 1996); IV-m съезде Евроазийского Астрономического Общества (Москва, ГАИШ, 1997); Международной конференции "Numerical Astrophysics 98" (Япония, 1998); ежегодных Международных студенческих научных конференциях "Физика космоса" (Коуровка, 1995-1999); конференции ВНКСФ-2 (Екатеринбург, 1994), научных семинарах ИПМ РАН (Москва, 1997), ИНАСАН РАН (Москва, 1999), научном семинаре физического факультета ЧелГУ (Челябинск, 1997), а также неоднократно на городском астрофизическом семинаре (Челябинск, 1993-1998).

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Развита и апробирована на широком классе тестовых задач монотонная разностная схема, удовлетворяющая принципу наименьшей полной вариации (TVD-схема), для решения уравнений магнитной гидродинамики сжимаемых самогравитирующих течений.

2. На основе предложенной разностной схемы разработан двумерный численный МГД-код на цилиндрической эйлеровой сетке.

3. С помощью развитого двумерного МГД-кода исследованы особенности коллапса магнитных вращающихся межзвездных облаков. Показано, что учет эффектов влияния магнитного поля

11 приводит к формированию уплощенных структур облаков.

4. Аналитически и численно исследована проблема углового момента. Определены условия эффективности торможения вращения коллапсирующих облаков магнитным полем.

Публикации.

К настоящему моменту времени результаты работы изложены в 8-и статьях и 5-ти тезисах докладов на научных конференциях (см. [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]). В совместных публикациях по теме диссертационной работы вклад автора заключается в непосредственном участии в постановке задач, в получении аналитических решений, в проведении численных расчетов, в интерпретации полученных результатов и написании статей. В диссертации изложена точка зрения автора.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Челябинского государственного университета. Интерес к проблеме численного моделирования МГД-коллапса сформировался благодаря общению с научным руководителем — доктором физ.-мат. наук, профессором А.Е. Дудоровым. Идея использования ТУБ-схемы, развитой в настоящей работе для задач моделирования многомерных самогравитирующих МГД-течений, высказана О.А.Кузнецовым, которому автор искренне признателен. Автор также благодарит Г.В. Устюгову, А.В.Колдобу и В.М.Чечеткина за внимание к работе, полезные обсуждения и ценные замечания.

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Жилкин, Андрей Георгиевич

Заключение

В представленной работе для численного решения уравнений идеальной магнитной газодинамики в классе TVD-схем построена явная консервативная схема, достигающая третьего порядка аппроксимации по пространственной переменной в областях гладкости решения. Методика построения схемы и ее основные свойства рассмотрены на примере уравнения переноса и системы линейных одномерных гиперболических уравнений.

На основе данной схемы для решения уравнений идеальной магнитной газодинамики разработан численный код "Moon". С его помощью МГД уравнения можно решать как в одномерной так и в многомерной постановке. Все расчеты, представленные в данной работе проведены при помощи этого кода. Результаты тестовых расчетов позволили сделать вывод о том, что схема хорошо приспособлена для решения широкого класса МГД-задач. Она достаточно корректно аппроксимирует МГД-ударные волны и волны разрежения. На контактных разрывах наблюдаются небольшие осцилляции. Однако в задаче численного моделирования протозвезд-ного коллапса, в которой был применен разработанный код, этот недостаток не играет существенной роли.

Проведенные численные расчеты в основном подтвердили ра

134

135 аее полученные результаты вычислений в рамках полуторамер-аого приближения. Подтвердился вывод о том, что в коллапсиру-ющем облаке со слабым магнитным полем в области ядра поле принимает квазирадиальную геометрию. Магнитное поле умеренной интенсивности приводит к заметному уплощению облака на поздних стадиях сжатия. Степень уплощения образующихся облаков обратно пропорциональна начальному значению магнитного поля, что легко объясняется из аналитических соображений.

В промежуточной области начальных значений напряженности магнитного поля коллапс протекает довольно бурно. В облаке возникают МГД волны, которые сложным образом взаимодействуют с коллапсирующим проводящим веществом облака. При больших значениях начального магнитного поля происходит существенное замедление коллапса в результате выхода на квазистационарное сжатие.

Расчет коллапса магнитного вращающегося облака показал справедливость аналитических критериев эффективности магнитного торможения вращения даже в случае малых отношений вращательной и магнитной энергий к модулю гравитационной. Обнаружено также развитие некоторых мелкомасштабных мод магнито-ротационной неустойчивости. Аналитическое рассмотрение переноса углового момента в однородно сжимающемся облаке, проинизанным крупномасштабным магнитным полем показывает, что магнитное торможение вращения может быть эффективным даже в случае амбиполярной диффузии.

Отдельно исследована эволюция углового молодой звезды с аккреционным диском. Доказана гипотеза о переходе такой систе

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Жилкин, Андрей Георгиевич, 1999 год

1. Palla F., Stabler S.W., Astron. Soc. of the Pacific Conference Series, 1994, v. 62, p.191.

2. Basu S., Mouschovias T.Ch., 1994, Astrophysical Journal, 432, 720.

3. Дудоров A.E., 1990, Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Астрономия, N39.

4. Дудоров А.Е., Астрономический журнал, 1995, 77, N6, 884.

5. Дудоров А.Е., Известия РАН. Серия физическая, 1998, 62, N9, 1759.

6. Burkert, A., Bodenheimer, Р., 1993, Astrophysical Journal, 264, 798.

7. Bouvier, J., Stellar rotation prior to the main sequence, 1990, preprint.

8. Scott, E.H., Black, D.C., 1980, Astrophysical Journal, 239, 166.

9. Black, B.C., Scott, E.H., 1982, Astrophysical Journal, 263, 696.

10. Tomisaka, K., 1995, Astrophysical Journal, 438, 226.

11. Dorfi, E., 1982, Astron. and Astrophys., 114, 151.

12. Philips, G.J., Monaghan, J.J., 1985, Month. Not. Roy. Astron. Soc., 216, 883.

13. Dai, W., Woodward, P.R., 1994, Journal of Сотр. Phys., Ill, 354.

14. Годунов C.K., Матем. сб., 1959, 47, вып. 3.

15. Brio, М., Wu, С.С., 1988, Journal of Сотр. Phys., 75, 500.

16. Zachary, A.L., Colella, P., 1992, Journal of Сотр. Phys., 99, 341.138

17. Колдоба А.В., Кузнецов О.А., Устюгова Г.В., Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1992, препринт N69.

18. Ryu D., Jones T.W., 1995, Astrophysical Journal, 442, 228.

19. Жилкин А.Г., Равновесное вращение магнитных молодых звезд с дисками, Тезисы доклада на ВНКСФ-2, Екатеринбург, 1994.

20. Дзюбина Е.А., Жилкин А.Г., Эволюция углового момента молодой магнитной звезды с аккреционным диском, Тезисы доклада на студенческой научной конференции "Физика космоса", Коуровка, 1995, стр. 20.

21. Дудоров А.Е., Жилкин А.Г., в кн. Доклады международной конференции "IV Забабахинские Научные Чтения", 1995, г. Снежинск, Россия, стр. 7785.

22. Жилкин А.Г., Моделирование МГД-коллапса протозвездных облаков, Тезисы доклада на 26-й студенческой научной конференции "Физика космоса", Коуровка, 1997, стр.40.

23. Dudorov А.Е., Zhilkin A.G., MHD-Collapse of Protostellar Clouds, Astron. Trans., 1998, v.18.

24. Дудоров A.E., Жилкин А.Г., Свирская Э.М., Образование и ранние стадии эволюции одиночных и тесных двойных звезд, Заключительный аннотированный отчет по теме ГБ-45, 1998, 85с.

25. Dudorov А.Е., Zhilkin A.G., Kuznetsov О.A., Numerical Simulations of the Astrophysical MHD Flows, In "Numerical Astrophysics 98", Kluwer Ac. Publ., 1998, in press.

26. Dudorov A.E., Zhilkin A.G., Kuznetsov O.A., Numerical Simulations of the Astrophysical MHD Flows, Abstracs of Scientific conference "Numerical Astrophysics 98", Japan, 1998,

27. Дудоров A.E., Жилкин А.Г., Кузнецов О.А., в кн. Труды IV съезда Астрономического общества, 1998, Москва, стр. 20-27.139

28. Дудоров А.Е., Жилкин А.Г., Кузнецов О.А., 1999, Математическое моделирование, 101, N1, с.101-116.

29. Дудоров А.Е., Жилкин А.Г., Кузнецов О.А., Двумерный численный код для моделирования осесимметричных самогравитирующих МГД-течений, Математическое моделирование, 1999, в печати.

30. Dudorov А.Е., Zhilkin A.G., Kuznetsov О.A., Numerical Simulations of the Multidimensional MHD-Flows, Laser and Particle Beams, 1999, in press.

31. Dudorov A.E., Zhilkin A.G., Kuznetsov O.A., Numerical Simulations of the Multidimensional MHD-Flows, In "Abstracts, Zababakhin Scientific Talks", 1998, Snezhinsk, Russia, p.118.

32. Спитцер JI.; Физические процессы в межзвездной среде, М: Мир, 1981, 349с.

33. Heiles, С., Goodman, А.А., McKee, C.F., Zweibel, E.G., 1993, in Protostars and Palnets III, by edit E.N., Levy and J. I., Lunine (Tucson: Univ. Arizona Press), 327.

34. Vallee, J.P., Fundamentals of Cosmic Physics, Vol. 19, 1-89.

35. Basry, G., Marcy, G.W. 1991, Lect. Not. Phys. 380, 401-406.

36. Guenther,E. W., Emerson, J.P., 1996, Astron. and Astrophys., 309, 777.

37. Larson, R.B., Month. Not. Roy. Astron. Soc., 1969, 157, 121.

38. Penston, M.V., Month. Not. Roy. Astron. Soc., 1969, 144, 425.

39. Боденхеймер П., Блэк Д.К., в кн. Протозвезды и планеты, часть 1, под ред. В.Й.Мороза, пер. с англ. М: Мир, 1982, с.321-360.

40. Winkler, К.-Н., Newman, M.J., 1980, Astrophysical Journal, 236, 201.

41. Larson, R.B., Month. Not. Roy. Astron. Soc., 1972, 156, 437.

42. Tscharnuter, W., 1975, Asrton. and Astrophys., 39, 207.

43. Black, D.C., Bodenheimer, P., 1976, Astrophysical Journal, 206, 138.

44. Bodenheimer, P., Tscharnuter, W., 1979, Astron. and Astrophys., 74, 288.

45. Boss, A.P., Haber, J.G., 1982, Astrophysical Journal, 255, 240.

46. Sigalotti, L., Gravitational Collapse of Rotating Protostellar Gas Clouds not Constrained by the Condition of Equatorial Symmetry, 1990, preprint for Month. Not. Roy. Astron. Soc.

47. Myhill, E., Boss, A., 1993, Astrophysical Journal Supplement Series, 89, 345.

48. Gingold, R.A., Monaghan, J.J., 1977, Month. Not. Roy. Astron. Soc., 181, 375.

49. Boss, A., 1997, Astrophysical Journal, 483, 309.

50. Black, D.C., Bodenheimer, P., 1975, Astrophysical Journal, 199, 619.

51. Дудоров A.E., Сазонов Ю., 1987, Науч. информ. Астросовета АН СССР, 63, 68.

52. Colella, P., Woodward, P.R., 1984, Journal of Сотр. Phys., 54, 174.

53. Balsara, D.S., 1998, Astrophysical Journal, 116, 133.

54. Harten, A., SIAM, J.Numer.Anal., 1984, 21, 1-23.

55. Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Математическое моделирование, 1989, т.1, N5.

56. Harten, А., 1983, Journal of Сотр. Phys., 49, 357.

57. Roe, P.L., 1986, Journal of Сотр. Phys., 43, 357.

58. Chakravarthy, S.R., Osher, S., AIAA, 1985, 85, 363.

59. Clarke, D.A., 1996, Astrophysical Journal, 457, 290.

60. Zachary, A.L., Malagoli, A., Colella, P., 1994, SIAM J.Sci.Comp., 15, 263.

61. Диянкова В.Б., Широковская О. С., Математическое моделирование, 1994, т.6, N2.141

62. Гершман Б.H., Ерухимов JI.M., Яшин Ю.Я., Волновые явления в ионосфере и космической плазме, М: Наука, 1984.

63. Михалас Д., Звездные атмосферы, в 2-х частях, М: Мир, 1982.

64. Самарский A.A., Теория разностных схем. М.:Наука, 1977, 616с.

65. Chakravarthy, S.R., Osker, S., AIAA, 1985, 85, 363.

66. Борис Дж., Бук Д.Л., в кн. Управляемый термоядерный синтез, под ред. Дж.Киллина, пер. с англ. М:Мир, 1980, с.92-141.

67. Вязников К.В., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР, 1989, препринт N122.

68. Рождественский Б.Л., Яненко H.H., Системы квазилинейных уравнений, М.:Наука, 1968, 592с.

69. Lax, P.D., 1954, Commun. Pure Appl. Math., 7, 15970. Friedrichs, R.O., 1954, Commun. Pure Appl. Math., 7, 345.

70. Кузнецов O.A., Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, 1998, N43.

71. Ковеня В.М., Яненко H.H., Метод расщепления в задачах газовой динамики, Новосибирск: Наука, 1981, 304с.

72. Годунов С.К., Рябенький B.C., Разностные схемы, М: Наука, 1977.

73. Münz, C.-D., 1988, Journal of Comp. Phys., 77, 18.

74. Седов JT.И., Методы подобия и размерности в механике, М: Наука, 1972.

75. Shu, F.H., 1977, Astrophysical Journal, 214, 488.

76. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д., Теория тяготения и эволюции звезд, М: Наука, 1971.

77. Дудоров А.Е., Сазонов Ю.В., 1982, Науч. Информ. Астросовета АН СССР, вып. 50.

78. Mestel, L., Month. Not. Roy. Astron. Soc., 1966, vol. 133, N 2, 265-284.

79. Galli D., Shu, F.H., 1993, Astrophysical Journal, 417, 220.

80. Ciolek, G.E., Mouschovias, T.Ch., 1994, Astrophysical Journal, 425, 142.

81. Ионов Г.В., Коллапс межзвездных замагниченных вращающихся облаков, Дипломная работа, Челябинский гос. ун-т., 1996.

82. Baibus, S.A., Hawley, J.F., 1991, Astrophysical Journal, 376, 214.

83. Goldsmith,P.F. and Arquilla,R., 1985. In Protostars and Planets II, eds. D.C.Black, M.S.Matthews, Tucson: Univ. Arisona Press, p.137.

84. Mestel,L., 1977. IAU Symp. N 75. Star Formation, P.213, eds. de Jong,Т., Maeder, A., D.Reidel, Dordrecht, Holland.

85. Дудоров А.E., Сазонов Ю.В., 1983, Науч. Информ. Астросовета АН СССР, вып. 52, 29.

86. GilliSjJ., Mestel,L., Paris,R.B., 1974. Astrophys. Space Sei. 27, 167, 183.

87. Gillis,J., Mestel,L., Paris,R.B., 1979. Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 87, 311.

88. Mouschovias, T.Ch., Paleologou, E.V., 1980, Astrophysical Journal, 230, 204.

89. Fleck,R.C., Hunter,J.H., 1978, Mon. Not. Roy. Astron. Soc., 175, 335.

90. Mouschovias, T.Ch., Paleologou, E.V., 1986, Astrophysical Journal, 308, 781.

91. Basu, S., Mouschovias, T.Ch., 1995, Astrophysical Journal, 452, 386.

92. Basu, S., Mouschovias, T.Ch., 1995, Astrophysical Journal, 453, 271.

93. Basu, S., 1997, Astrophysical Journal, 485, 240.

94. Каплан С.А., Пикелънер С.Б., Физика межзвездной среды, М: Наука, 1979.

95. Ozernoy L.M., Somov B.V., 1971, Astrophys. Space. Sei., 11, 244.

96. Konigl, A., 1989, Astrophysical Journal, 165.

97. Dudorov, A.E., Pudritz, R., In "The Nature and Evolutionary Status of Herbig Ae/Be Stars". Astron. Soc. of the Pacific Conference Series, Eds. Pik Sin The, Mario R. Perez and P.J. van den Heuvel. 1994, V.62, p.381-383.143

98. Липунов В.М., Астрофизика нейтронных звезд, М.Наука, 1986.

99. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М., Гидродинамика, М: Наука, 1986, 624с

100. Дудоров А.Е., Астрономический журнал, 1991, 68, 695.