Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Краснов, Виталий Александрович

• Краснов, Виталий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Краснов, Виталий Александрович

Введение

1. О моделировании фильтрации в пористой среде

1.1. Краткий обзор моделей и методов расчета процесса ф фильтрации в пористой среде

1.2. Численное моделирование многофазной фильтрации

1.3. Сравнительный анализ методов расчета процессов фильтрации в пористой среде

1.4. Обзор методов расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей

2. Численно-аналитические методы решения задач двухфазной фильтрации

2.1. Уравнения двухфазной фильтрации

2.2. Постановка задачи о поле давления

2.3. Построение приближенного решения задачи о поле давления

2.4. Задача о фракционном потоке добывающей скважины

2.5. Постановка задачи идентификации модифицированных фазовых проницаемостей по данным о фракционном потоке

2.6. Постановка задачи идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей для слоистого пласта

3. Алгоритмы и компьютерные программы для решения задач фильтрационного моделирования

3.1. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей для слоисто-неоднородного пласта с учетом частичной гравитационной сегрегации фаз

3.2. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным эксплуатации скважины

3.3. Помехоустойчивый алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей ф 3.4. Компьютерные программы для решения задач фильтрационного моделирования

3.5. Результаты испытаний алгоритмов и программ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы моделирования фильтрации в неоднородных средах»

На сегодняшний день фильтрационное моделирование нефтяных и газовых залежей является одним из основных инструментов при проектировании разработки и управлении месторождением.

Фильтрация многофазной жидкости в пористом пласте описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Прямые задачи моделирования обычно ставятся как смешанные начально-краевые задачи. К таким задачам относятся расчет поля нефте-, газо-, водонасыщенности и давления в нефтяном пласте. Универсальным методом решения таких задач является численное моделирование. Несмотря на универсальность численного метода при решении задач фильтрации имеются определенные трудности.

Во-первых, для моделирования на этом уровне необходимы достоверные данные о фильтрационно-емкостных свойствах пласта, функциях относительных фазовых проницаемостей и других факторах. В то же время существующие оценки этих параметров характеризуются низкой точностью, а их интерполяция от скважин на весь пласт зачастую проблематична, и поэтому сложные гидродинамические расчеты порой приводят к результатам, не соответствующим данным разработки. Поэтому чрезвычайно важно решение обратных задач об определении и уточнении свойств пластовой системы по наблюдаемым показателям процесса разработки месторождений. На практике эти задачи решаются в процессе адаптации модели. Этот процесс представляет собой итеративную процедуру изучения чувствительности модели к вариации свойств, изменения пластовых параметров, просчета модели и сравнения результатов моделирования с реальными данными. Адаптация является наиболее трудоемким и длительным процессом и выполняется на компьютере практически «вручную».

Во-вторых, даже для самых быстрых моделирующих систем расчет гидродинамической модели может потребовать значительного времени — от нескольких часов до нескольких суток.

В-третьих, автоматизация процесса адаптации затруднена большой размерностью вектора параметров модели (размерность этого вектора в сеточной модели пласта в несколько раз превышает количество блоков).

Другую группу методов представляют аналитические, использующие аппарат теории математической физики для решения задач многофазной фильтрации. Эта группа методов имеет ряд существенных преимуществ перед численными: позволяет получить решение задачи быстро, проанализировать структуру решения и обосновать способ параметризации модели, оценить чувствительность решения к исходным и начальным данным. Из всех перечисленных факторов наиболее существенный выигрыш в скорости расчетов по сравнению с численными методами достигается при расчете коэффициентов чувствительности результатов к вариации параметров модели, так как при численном моделировании расчет каждого коэффициента требует отдельного просчета модели. Это преимущество особенно значимо при решении обратных задач, таких как задача адаптации модели. Однако применение этой группы методов к решению задач фильтрации для реальных месторождений затруднено нелинейностью уравнений фильтрации, сложным геологическим строением пластов, большим диапазоном возможных значений физико-химических и других свойств системы. Получение же точных аналитических решений возможно лишь для определенных идеализированных условий.

Необходимость решения обратных задач и преимущества аналитических методов делают актуальньш их развитие с применением элементов теории возмущений и компьютерных технологий. Такие приближенные методы позволяют снять часть ограничений, налагаемых на объект моделирования аналитическими методами, сохраняя при этом их преимущества. Практическая реализация расчетов в соответствии с таким подходом требует применения элементов численных расчетов на компьютере, однако в существенно меньшем объеме, чем при численном моделировании. Поэтому такие методы принято называть численно-аналитическими. Практическая реализация таких расчетов требует создания эффективных компьютерных алгоритмов и программ.

Таким образом, высокая актуальность развития численно-аналитических методов моделирования и практическая необходимость разработки алгоритмов и программ, реализующих такие методы, явились основаниями для выполнения настоящей работы.

Целью работы является разработка эффективных численно-аналитических методов, алгоритмов и компьютерных программ для решения прямых и обратных задач моделирования двухфазной фильтрации в неоднородной пористой среде.

Для ее достижения были поставлены и решены следующие задачи.

1. Разработка численно-аналитического метода и прикладной программы для приближенного расчета поля давления в неоднородном пористом пласте.

2. Разработка способа решения обратной задачи идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей (МОФП) на основе данных эксплуатации скважины.

3. Разработка алгоритма расчета МОФП по данным о слоистой неоднородности пористого пласта, учитывающего гравитационную сегрегацию фаз.

4. Разработка помехоустойчивого алгоритма идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины.

5. Разработка прикладной программы для идентификации МОФП, реализующей разработанные алгоритмы.

На защиту выносятся следующие результаты.

1. Численно-аналитический метод построения приближенного стационарного поля давления в двумерном неоднородном пористом пласте и программа для ЭВМ, реализующая построение поля давления в соответствии с методом.

2. Способ идентификации МОФП по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на сведении задачи идентификации к соответствующей одномерной задаче.

3. Алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей слоисто-неоднородного пласта, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз.

4. Помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным нормальной эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта.

5. Компьютерная программа, реализующая алгоритмы идентификации МОФП.

Научная новизна работы заключается в следующем.

1. Предложен численно-аналитический метод приближенного построения стационарного поля давления в неоднородном двумерном пористом пласте, основанный на совместном использовании метода согласования асимптотических разложений и возмущенного варианта метода граничных элементов, и позволяющий сократить вычислительные затраты по сравнению с конечно-разностным методом.

2. Предложен способ идентификации модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на использовании интегрального преобразования для сведения задачи идентификации к одномерной задаче и позволяющий упростить адаптацию истории гидродинамической модели месторождения.

3. Разработан алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницае*чостей слоисто-неоднородного пласта, использующий методы нечеткой логики и отличающийся возможностью учета частичной гравитационной сегрегации фаз.

4. Разработан помехоустойчивый алгоритм расчета модифицированных относительных фазовых проницаемостей по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации и отличающийся устойчивостью результата к шумовой компоненте в исходных данных.

Практическая ценность работы состоит в программной реализации разработанных алгоритмов, что позволяет проводить оперативный расчет основных показателей разработки месторождений - поля давления в пласте, забойных давлений скважин, фракционного потока добывающих скважин, а также решать обратную задачу идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины [4]. Разработанные программы для ЭВМ имеют существенное преимущество в скорости расчетов перед аналогами, реализующими численно-разностные методы, что позволяет рассчитывать коэффициенты чувствительности результатов моделирования к изменению параметров модели, которые необходимы для решения обратной задачи об определении параметров пластовой системы по данным эксплуатации месторождения [6,7,37, 38,39,40,73].

Программы были использованы для построения карт давления и идентификации свойств пласта в рамках работы над проектами разработки Ма-монтовского и Приразломного нефтяных месторождений и при моделировании более чем двухсот участков месторождений с целью оперативного управления заводнением. Применение помехоустойчивых алгоритмов для идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины позволило существенно сократить затраты на адаптацию гидродинамических моделей месторождений [2,3,5] и построить каталог модифицированных фазовых про-ницаемостей для большинства объектов разработки ОАО «Юганскнефтегаз». Разработанное программное обеспечение зарегистрировано в РОСПАТЕНТе [70, 71], свидетельства №2004612121 и №2004612120. Результаты работ внедрены в ЗАО «Уфимский научно-исследовательский и проектный институт нефти», «Центр анализа и прогнозирования ЭП» ЗАО «ЮКОС ЭП».

Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах:

- Международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения", Ханты-Мансийск ,11 — 19 августа 2002 г;

- Школе-семинаре "Физика нефтяного пласта", Новосибирск, 21-24 мая 2002 г;

- Третьем всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия), Ростов на Дону, 14-20 мая 2002 г;

- XXVI школе-семинаре по пробле.мам механики сплошных сред в системах добычи, сбора, подготовки, транспорта и переработки нефти и газа, Уфа, 7 октября 2002;

- Международном форуме по описанию и моделированию пласта, Великобритания, Пиблз, 31 августа - 4 сентября 2003 г; (Reservoir description and modeling forum, Heriot Watt University, Stanford university)

- 12-м Европейском симпозиуме «Повышение нефтеотдачи пластов», Казань, 8-10 сентября 2003 г;

- 8-й международной конференции по интеграции и управлению данными в нефтяной промышленности, США, Хьюстон, 12-14 мая 2004 г;

- семинарах кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета.

По теме диссертации опубликовано 13 работ.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Краснов, Виталий Александрович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан численно-аналитический метод и компьютерная программа для приближенного построения стационарного поля давления в двумерном неоднородном нефтяном пласте, основанный на совместном использовании согласования асимптотических разложений и возмущенного варианта метода граничных элементов. Метод имеет преимущество перед конечно-разностными методами в скорости расчетов и может быть эффективно использован для оценки коэффициентов чувствительности модели к изменению параметров.

2. Разработан способ идентификации МОФП по данным о неодномерной нестационарной двухфазной фильтрации, полученным в процессе эксплуатации скважины, основанный на использовании интегральных преобразований для сведения задачи идентификации к одномерной задаче и позволяющий упростить адаптацию истории гидродинамической модели месторождения.

3. Разработан алгоритм расчета МОФП слоисто-неоднородного пласта, учитывающий частичную гравитационную сегрегацию фаз, использующий аппарат теории нечеткой логики и позволяющий более точно определить вид функций МОФП без проведения ресурсоемких численных расчетов.

4. Разработан помехоустойчивый алгоритм идентификации МОФП по данным эксплуатации скважины, использующий метод регуляризации на основе информации о неоднородности слоистого пласта и позволяющий проводить идентификацию по реальным промысловым данным, содержащим шумовую компоненту.

5. Разработана, апробирована и внедрена компьютерная программа для расчета МОФП на основе разработанных алгоритмов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Краснов, Виталий Александрович, 2004 год

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. -М.: Недра, 1882. 408 с.

2. Байков В.А., Краснов В.А., Карачурин Н.Т. и др. Автоматизация процессов проектирования и моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Нефтяное хозяйство, 2003, № 10. С.92-95.

3. Байков В.А., Краснов В.А., Карачурин Н.Т. и др. Компьютерная технология моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Нефтегазовое дело.-Уфа: УГНТУ, 2003,T.l.-С.121-128.

4. Байков В.А., Краснов В.А., Манапов Т.Ф. и др. Компьютерные технологии проектирования и моделирования разработки месторождений НК «ЮКОС» // Повышение нефтеотдачи пластов: Сб. тр. 12-го Европ. симп.- Казань: Идел-Пресс, 2003. С.420-427.

5. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев Е.В., и др. Математическое моделирование движения флюидов в сложно построенном нефтяном пласте // Физика нефтяного пласта: Сб. тр. шк.-сем. Новосибирск: НГУ, 2002. -С.26-31.

6. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев С.Е., и др. Приближенно аналитические методы расчета пластового давления в нефтяном месторождении при наличии дизъюнктивных нарушений геологической структуры // Вестник УГАТУ, 2003, №1(4). С.163-170. '

7. Байков В.А., Краснов В.А., Сысоев С.Е., и др. Модель для нахождения пластового давления в нефтяном месторождении // Актуальные проблемы математики. Математические модели современного естествознания: Межвуз. сб.- Уфа: УГАТУ, 2004. С.51-63.

8. Баренблатт Г.И. Фильтрация двух несмешивающихся жидкостей в однородной пористой среде. // Изв. АН СССР, сер. механика жидкости и газа, 1971, №5, с. 17—26.

9. Баренблатт Г.И., Ентов В.М., Рыжик В.М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. -М.: Недра, 1972.

10. Баренблатт Г.И., Желтов Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах. // Прикл. матем. и механика, т. 24, вып. 5, 1960, с. 852-864.

11. Баренблатт Г.И., Крылов А.П. Об упруго-пластическом режиме фильтрации. // Изв. АН СССР, 1955, № 2, с. 5-13.

12. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика: Учебник для вузов. -М.: Недра, 1993. 416 с.

13. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. Пер. с англ. -М.: Мир, 1982. 248 с.

14. Брук Б.Н., Бурков В.Н. Методы экспертных оценок в задачах упорядочения объектов. // Изв. АН СССР, сер. техническая кибернетика, 1972, №3, с. 3-11.

15. Бузинов С.Н. К вопросу об определении остаточной нефтенасыщенности. // Доклады АН СССР, т. 116, № 1, 1957, с. 55-57.

16. Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта. -М.: Недра, 1973. -232 с.

17. Ван Дайк. Методы возмущений в механике жидкости. (Перев. с англ.) -М.: Мир, 1967. 310 с.

18. Гадылыпин P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной самосопряженной эллиптической задачи с малым параметром в граничных условиях. // Дифференц. уравнения, 1989, т. 22, № 4, с. 640 — 652.

19. Галин JI.A. Неустановившаяся фильтрация со свободной поверхностью. // Докл. АН СССР, т. 47, № 4, 1945, с. 250—253.

20. Герольд С. Аналитические основы добычи нефти, газа и воды из скважин. -М. —Л.: Нефтеиздат, 1932.

21. Годунов С. К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. -М.: Наука, 1976.-432с.

22. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. -М.: Наука, 1973326с.

23. Данилов В.Л., Кац P.M. Гидродинамические расчеты взаимного вытеснения жидкостей в пористой среде. -М.: Недра, 1979. 264 с.

24. Де Брейн Н.Г. Асимптотические методы в анализе. -М.: ИЛ, 1961.247 с.

25. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. -М.: Наука, 1979.-320 с.

26. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. -М.: Мир, 1976. 163 с.

27. Ильин A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи для области с малым отверстием. // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1981, вып. 6, с. 57 82.

28. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай. // Мат. сб., 1976, т. 99, №4, с. 514-537.

29. Ильин A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием. // Мат. сб., 1977, т. 103, № 2, с. 265-284.

30. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. -М.: Наука, 1989. 336 с.

31. Каневская Р.Д. Асимптотический анализ влияния капиллярных и гравитационных сил на двумерный фильтрационный перенос двухфазных систем. // Изв. АН СССР, сер. механика жидкости и газа, 1988, № 4, с. 88-89.4»

32. Каневская Р.Д. Влияние неполноты вытеснения нефти водой в отдельных пропластках на вид модифицированных фазовых проницаемостей слоистого пласта. // Сб. науч. тр. ВНИИ, вып. 103, М., 1988, с. 110 121.

33. Каневская Р.Д. Математическое моделирование гидродинамических процессов разработки месторождений углеводородов. -М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 128 с.

34. Каневская Р.Д. Методы введения модифицированных фазовых проницаемостей. // Сб. науч. тр. ВНИИ, вып. 94, М., 1988, с. 45 52.

35. Коллинз Р. Течение жидкостей через пористые материалы. (Пер. с. англ.) -М.: Мир, 1964. 350 с.

36. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. -М.: Мир, 1972.-274 с.

37. Краснов В.А., Хабибуллин Р.А. Определение гидропроводности нефтяного пласта при построении полей пластовых давлений в рамках модели стационарной фильтрации однородной жидкости // Вестник УГАТУ, 2003, № 2. -С. 177-181.

38. Кричлоу Г.Б. Современная разработка нефтяных месторождений. -М.: Недра, 1979.-303 с.

39. Крэйг Ф.Ф. Разработка нефтяных месторождений при заводнении. -М.: Недра, 1974.

40. Куранов И.Ф., Коган Л.Г. Расчет вытеснения нефти водой в системе скважин. // Тр. ВНИИНефть, вып. 21, 1959, с. 25-51.

41. Курант Р. Уравнения с частными производными. (Перев. с англ.) — М.: Мир, 1964.- 830 с.

42. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. II. (Перев. с нем.) -М.-Л.: Гостехтеориздат, 1945. 620 с.

43. Курбанов А.К. О некоторых обобщениях уравнений фильтрации двухфазной жидкости. // Науч.-техн. сб. ВНИИ, -М.: вып. 15, 1961, с. 32-38.

44. Курбанов А.К. Об уравнениях движения двухфазных жидкостей в пористой среде. // В кн.: Теория и практика добычи нефти. -М.: Недра, 1968, с. 281-286.

45. Курбанов А.К., Атанов Г.А. К вопросу о вытеснении нефти водой из неоднородного пласта. // Нефть и газ Тюмени, вып. 13, 1972, с. 36-38.

46. Ладыженская О.А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973. 576 с.

47. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. -М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

48. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. — Тбилиси: Изд-во Тбил. Ун-та, 1981. 206 с.

49. Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР, сер. мат., 1984, т. 48, № 2, с. 347 371.

50. Макеев С.П., Шахнов И.Ф. Упорядочение объектов в иерархических системах. // Известия АН СССР, сер. техническая кибернетика, 1991, №3.

51. Маскет М. Течение однородных жидкостей в пористой среде. -М.: Гостоптехиздат, 1949.

52. Мирзаджанзаде А.Х., Амиров А.Д., Ахмедов З.М. и др. Об особенностях разработки нефтяных и газовых месторождений в условиях проявления начального градиента давления при движении нефти и газа // Труды VIII Мирового нефтяного конгресса. М., 1971.

53. Михлин С.Г. Интегральные уравнения. ОГИЗ, -М.-Л.: Гостехтеор-издат, 1949.

54. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Изд. 2-е. -М.: Наука, 1970. 510 с.

55. Назаров С.А. Введение в асимптотические методы теории упругости. Учебное пособие. -Л.: ЛГУ, 1883. 117 с.

56. Найфэ А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир, 1984. 535 с.

57. Найфэ А.Х. Методы возмущений. -М.: Мир, 1976. 455 с.

58. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. -М.: Наука, 1978. 375 с.

59. Пискунов Н.С. О продвижении контура нефтеносности и падении давления в пласте при разработке крупных месторождений. // Докл. АН СССР, т. 84, № 5, 1952, с. 544-545.

60. Полубаринова-Кочина П.Я. О неустановившихся движениях в теории фильтрации. О перемещениях контура нефтеносности. // Прикл. матем. и мех., т. 9, № 1, 1945, с. 79—90.

61. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. -М.—Л.: Гостехиздат, 1952.

62. Регламент по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений (РД 15339.0-047-00). М., Минтопэнерго РФ, 2000.

63. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. (Пер. с англ.) -М.: Радио и связь, 1993. 316 с.

64. Салехов Г.С. К определению давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений. // Изв. Казан, фил. АН СССР, сер. физ.-мат. и техн. наук, вып. 9, 1956, с. 49 52.

65. Салехов Г.С. К определению функции давления в неоднородных пластах нефтяных месторождений. // Докл. АН СССР, 1955, т. 105, № 6, с. 1174 — 1176.

66. Самарский А.А. Теория разностных схем. —М.: Наука, 1976. — 335 с.

67. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004612120 (РФ). Анализ поля давления методом граничных элементов (HydroBEM) // Краснов В.А. М.: Роспатент, 2004.

68. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ №2004612121 (РФ). Анализ неоднородности пласта (SCALEditor) // Краснов В.А. М.: Роспатент, 2004.

69. Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. —М.: Мир, 1977.-349 с.

70. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-285 с.

71. Тумашев Г.Г. Определение поля давлений в кусочно-однородных пластах.// Изв. вузов, сер. математика. №3, 1958, с. 203—216.

72. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. —М.: Гостоптех-издат, 1963.

73. Чарный И.А. Подземная гидромеханика. -M.-JL: Гостехиздат, 1948.

74. Швидлер М.И. Фильтрационные течения в неоднородных средах. -Д.: Красный Печатник, 1963. 137 с.

75. Щелкачев В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. -М.-Л.: Гостоп-техиздат, 1949.

76. Щелкачев В.Н. Расстановка скважин в пластах с водонапорным режимом. // В кн.: Сб. научно-иссл. работ нефтяников, вып. Ill, -М.: Гостоптех-издат, 1944.

77. Эрдейи А. Асимптотические разложения. М., Физматгиз, 1962.127 с.

78. Эфрос Д.А. Движение водонефтяной смеси в системе скважин. // Труды ВНИИ, вып. 12, 1958, с. 352.

79. Эфрос Д.А. Исследования фильтрации неоднородных систем. —Л.: Гостоптехиздат, 1963.-351 с.

80. Юрен Л. Современные методы добычи нефти (теория и практика). -М.-Л.: Нефтеиздат, 1928.

81. Яковлев В.П. О размещении скважин при водонапорных режимах. И Нефт. хозяйство, № 3—5, 1940.

82. Ang W.T., Kusuma J., Clements D.L. A boundary element method for a second order elliptic partial differential equation with variable coefficients. // Engng. Anal. Boundary Elements, 1997, 18, p. 311-316.

83. Aziz K. Notes for Petroleum Reservoir Simulation. -Stanford, California: Stanford Univ., 1994. 471 pp.

84. Aziz К., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. -New York.: Elsevier Applied Science Publishers, 1979. -362p.

85. Batycky, R.P. A Three-Dimensional Two-Phase Field Scale Streamline Simulator. PhD Thesis. -Stanford, California: Stanford University, 1997.

86. Batyky R.P., Blunt M. J., Thiele M. R. A 3D Field Scale Streamline Based Reservoir Simulator. // SPE Reservoir Engineering, November 1997, pp. 246 254.

87. Buckley S.E. and Leverett M.S. Mechanism of Fluid Displacement in Sands. //Journ. Petr. Technology, 1941, T. P. 1337.

88. Burdine, N.T. Relative Permeability Calculations From Pore Size Distribution Data. // Trans. AIME 1953 vol. 198, p. 71.

89. Cao H., Aziz K. Evaluation of Pseudo Functions. // Paper SPE 54589,1999.

90. Cheng A. H.-D. Darcy's Flow with Variable Permeability: A Boundary Integral Solution. // Water Resources Research, 1984, 20(7), p. 980-984.

91. Clements D.L. A boundary integral equation method for the numerical solution of a second order elliptic equation with variable coefficients. // J. Austrl. Math. Soc., 1980, 22(B), p. 218-228.

92. Coats K.H., Dempsey J.R., Henderson J.H. The Use of Vertical Equilibrium in Two-Dimensional Simulation of Three-Dimensional Reservoir Performance. // SPE Journal. 1971. - V.l 1, №1. -P.63-71.

93. Coats K.H., Nielsen R.L., Terhune M.H., Weber A.G. Simulation of Three-dimensional Two-phase Flow in Oil and Gas Reservoirs. // SPE Journal. -1967. V.7, №4. -P.377-388.

94. Coll C., Muggeridge A.H. and Jing X.D. Regional Upscaling: A New Method to Upscale Waterflooding in Heterogeneous Reservoirs for A Range of Capilary and Gravity Efects. // Paper SPE 59337, 2000.

95. Corey A.T. The Interrelation Between Gas and Oil Relative Permeabilities. // Producers Monthly, (November) 1954.

96. Dake L.P. The practice of reservoir engineering (Revised Edition). -Amsterdam: Elsevier Science B.V., 2001, 546 p.

97. Darcy H. Les fontaines publiques de la ville de Dijon. Ed. Victor Dal-mont.-Paris: 1856.

98. Douglas J.W. Jr., Peaceman D. W., Rachford H. H. A Method for Calculating Multi-Dimensional Immiscible Displacement. // Trans. AIME, 1959, vol. 216, p. 297.

99. Georghitza S.I. On the Plane Steady State Flow of Water through Inho-mogeneous Porous Media. // Paper presented at the Symposium on the Fundamentals of Transport Phenomena in Porous Media, held in Haifa, Israel, 1969.

100. Hearn C.L. Simulation of Stratified Waterflooding by Pseudo Relative Permeability Curves. //J. Petrol. Technol. 1971. V. 23, №7. -P.805-813.

101. Higgins R.V. and Leighton A.J. A Computer Method to Calculate Two-Phase Flow in Any Irregularly Bounded Porous Medium. // Journ. Petrol Technology, 1962, June, pp. 679-683.

102. Hirasaki G.J. Properties of Log-normal Permeability Distribution for Stratified Reservoirs. // Paper SPE 13416, 1984.

103. Jacks H.H., Smith J.O., and Mattax C.C. The Modeling of a Three-Dimensional Reservoir with a Two-Dimensional Reservoir Simulator The Use of Dynamic Pseudo Functions. // SPE Journal, June, 1973, pp. 175-185.

104. Johnson E.F., Bossier D.P., and Naumann V.O. Calculation of Relative Permeability from Displacement Experiments. // J. Pet. Tech. (Jan. 1959) pp. 61-63. Trans., AIME 216.

105. Kyte J.R., Berry D.W. New Pseudo Functions to Control Numerical Dispersion. // SPE Journal, 1975, v. 15, №3, p. 269-276.

106. Lafe O.E., Cheng, A.H-D. A Perturbation Boundary Element Code for Steady State Groundwater Flow in Heterogeneous Aquifers. // Water resources Research, 1987,23(7), p. 1079-1084.

107. Leverett M.C. Capillary Behavior in Porous Solids.//Trans. AIME, 1941. vol. 142, pp. 152-169.

108. Leverett M.C. Flow of Oil-Water Mixtures through Unconsolidated Sands.//Trans. AIME, 1939, vol. 132, pp. 152-159.

109. Martin J.C. Partial Integration of Equations of Multiphase Flow. // SPE Journal, December 1968, pp. 370-380.

110. Mattax C.C. Dalton R.L. Reservoir simulation. SPE Monograph vol. 13. -Richardson, Texas: 1990. 174 pp.

111. Molina N.M. A Systematic Approach to the Relative Permeability in Reservoir Simulation. // Paper SPE 9234, 1980.

112. Muskat M.A. Note on a Problem in Potential Theory. // Journ. Apl. Physics, vol. 8, No. 6, 1937.

113. Muskat M. and Meres M. The Flow of Heterogeneous Fluids. // Physics, 1937, vol. 9.

114. Noaman A.F. El-Khatib. The Application of Buckley-Leverett Displacement to Waterflooding in Non-Communicating Stratified Reservoirs. // Paper SPE 68076, 2001.

115. Noaman A.F. El-Khatib. Waterflooding Performance of Communicating Stratified Reservoirs with Log-Normal Permeability Distribution. // Paper SPE 37696, 1997.

116. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation. // SPE Journal, vol.18, №3, 1978, pp. 183-194.

117. Peaceman D.W. Interpretation of well-block pressure in numerical reservoir simulation with nonsquare grid blocks and anisotropic permeability. // SPE Journal, vol.23 №3, 1978, pp. 531-543.

118. Rangogni R.A. solution of Darcy's flow with variable permeability by means of B.E.M. and perturbation techniques. // Boundary Elements IX, Vol. 3, C. A. Brebbiaed. Springer-Verlag, Berlin, 1987.

119. Rapoport L.A. and Leas W.J. Properties of Linear Waterfloods. // Trans AIME, 1953, vol. 198, pp. 139-148.

120. Shaw R.P. Green's functions for heterogeneous media potential problems. // Engng. Anal. Boundary Elements, 1994, 13, pp. 219-221.

121. Shengzong Z., Jianguo H., Zhongxing L., Kegiang Y. A calculation of pseudo-relative permeability curve using reservoir performance data. // Paper SPE 20791, 1990.

122. Simon A.D., Koederitz, L.F. An Improved Method for the Determination of Pseudo-Relative Permeability Data for Stratified Systems. // Paper SPE 10975, 1982.

123. Standing M. B. Notes on Relative Permeability Relationships. // Proc., U. of Trondheim, Norway, 1975.

124. Stone H.L. Rigorous Black-oil Pseudo Functions. // Paper SPE 21207,1991.

125. Welge H.J. A Simplified Method for Computing Oil Recovery by Gas or Water Drive. // Trans. AIME, 1952, vol. 195, pp. 91—98.

126. Wycoff R.D., Botset H. G. The Flow of Gas-Liquid Mixtures through Unconsolidated Sands. // Physics, vol. 7, No 9, 1936.

127. Zadeh L.A. Fuzzy sets. // Information and Control, 8, 1965, pp. 338-353.

128. Zhou D., Fayers F.J. and Orr F.M. Scaling of Multiphase Flow in Simple Heterogeneous Porous Media. // Paper SPE 27833, 1993.