Частотные модели и методы анализа робастности динамических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Чечурин, Леонид Сергеевич

• Чечурин, Леонид Сергеевич
• доктор технических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор технических наук Чечурин, Леонид Сергеевич

Список сокращений и обозначений

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Постановка задачи, обзор, основные результаты

1.1. Постановка задачи, определения, обзор

1.2. Линейные стационарные системы: основные результаты

1.3. Критерии робастности нестационарных систем

1.4. Критерии робастной устойчивости процессов в нелинейных системах. Приложения

ГЛАВА 2. Робастность линейных стационарных систем

2.1. Робастность при параметрической неопределенности

2.2. Робастность при структурной неопределенности. Робастность систем с распределенными параметрами

2.3. Робастность в системах с обратной связью

2.4. Робастная редукция

2.5. Робастное качество

ГЛАВА 3. Робастность линейных нестационарных систем

3.1. Исходные положения

3.2. Достаточный критерий робастности нестационарных систем

3.3. Приближенная оценка робастности нестационарных систем

3.4. Робастность на классе функций изменения параметра

3.5. Робастные по структуре периодически нестационарные системы

3.6. Робастность неавтономных нестационарных систем

3.7 Робастность периодически нестационарных систем при многочастотном изменении параметра

3.8 Системы с синхронными периодическими параметрами

ГЛАВА 4. Робастность нелинейных систем

4.1. Робастность на классе нелинейностей

4.2. Робастность в первом гармоническом приближении

4.3. Синхронизация колебательных систем

ГЛАВА 5. Применение частотных моделей в прикладных задачах исследования робастности

5.1. Синтез робастного регулятора для системы магнитного подвеса

5.2. Исследование устойчивости электромашинного преобразователя с переменной индуктивностью

5.3. Исследование робастности моделей экономической динамики

Основные научные результаты диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Частотные модели и методы анализа робастности динамических систем»

Цель предлагаемого исследования заключалась в решении проблемы разработки частотных математических моделей и создании на этой основе общей частотной методологии оценки робастности динамических систем. Для этого в работе развиваются методы анализа и синтеза линейных робастных стационарных систем управления, создаются новые частотные модели и методы оценки робастности в нестационарных и нелинейных системах.

В качестве основы для разработки новых аналитических результатов использовались теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, функциональный анализ, теория колебаний, метод гармонического баланса, метод стационаризации. Для проверки результатов применялся численный эксперимент.

Научная новизна заключается в развитии нового единого (частотного) подхода к анализу робастности стационарных, нестационарных и нелинейных динамических систем. Для ряда известных задач исследования робастной устойчивости получены новые решения в форме точных и приближенных частотных критериев устойчивости для достаточно широких классов нестационарных и нелинейных объектов. Предложен ряд новых постановок задач оценки робастности применительно к различным классам неопределенности нестационарных (устойчивость систем с периодическим изменением параметра, периодическим изменением структуры и др.) и нелинейных (устойчивость процессов на классах нелинейностей, амплитуд и частот входного сигнала и др.) систем и получены их решения в форме приближенных частотных критериев. Для анализа линейных объектов с распределенными параметрами предложена новая методика получения их частотных математических моделей. Проведено моделирование и частотный анализ устойчивости некоторых экономических объектов.

Практическая ценность полученных результатов заключается в появившейся возможности оценки робастности широкого класса нестационарных и нелинейных систем управления по построенным или полученным из эксперимента частотным характеристикам их линейных частей. Диссертация содержит главу, специально посвященную примерам анализа робастности применительно к различным техническим и экономическим системам.

Основными выносимыми на защиту результатами являются:

1. Для линейных стационарных объектов

- асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью двух уравнений Риккати в случае сингулярности задачи,

- методика получения передаточных функций объектов с распределенными параметрами,

- методика редукции робастного регулятора.

2. Методика составления частотных математических моделей для исследования робастности.

3. Частотно-алгебраические критерии робастной устойчивости нелинейных и нестационарных систем.

4. Частотные оценки робастной устойчивости нестационарных систем.

5. Частотные оценки робастности процессов в нелинейных системах.

6. Решение прикладных задач.

Результаты были апробированы на ряде научных конференций, среди которых IASTED International Conference on Modeling, Identification and Control, Иннсбрук, 1999, «Physics and Control - PhysCon», Санкт-Петербург,

2004 и 2005 г.г., «Advanced Problem in Mechanics - АРМ», Репино, 2003 и

2005 г.г., и др. Работа представлялась в ведущих российских научных школах по теории управления, в частности, семинарах лаборатории «Управление сложными системами» Института проблем машиноведения

РАН (рук. проф. А.Л. Фрадков), кафедры «Прикладная математика и кибернетика» факультета математики и механики Санкт-Петербургского государственного университета (рук. чл.-корр. РАН Г.А. Леонов), лаборатории №7 Института проблем управления РАН (рук. проф. Б.Т. Поляк). Все полученные результаты публиковались в рецензируемых изданиях и монографиях.

Диссертация построена следующим образом: в первой главе даются определения, приводится исторический обзор исследований, связанных с робастностью, приводится краткое изложение основных результатов по главам. Вторая глава посвящена анализу и синтезу линейных стационарных систем. В третьей разрабатываются точные и приближенные частотные критерии робастности нестационарных систем. В четвертой приводятся частотные методы оценки робастности процессов в нелинейных системах. Наконец, в пятой главе собраны примеры применения разработанных методов для решения задач анализа и синтеза ряда робастных технических систем.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чечурин, Леонид Сергеевич

Выводы по пятой главе

В главе рассмотрены применение разработанных методов оценки робастности и построения робастных систем для ряда прикладных задач. Получены новые решения технических задач:

- моделирование (объекта и неопределенностей) и построение робастного регулятора системы активного магнитного подвеса ротора,

- моделирование системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса),

- моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров с получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса.

ОСНОВНЫЕ НАУЧНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

На основании полученных в диссертационной работе частотных математических моделей динамических линейных стационарных, нестационарных и нелинейных объектов сформулированы следующие научные результаты:

Асимптотическая модификация синтеза робастного регулятора с помощью уравнений Лурье-Риккати в случае сингулярной постановки для линейных стационарных объектов,

2. Достаточный алгебраический критерий робастности класса нестационарных интервальных систем,

3. Достаточный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейных неавтономных системах на классе ограниченных в секторе нелинейностей,

4. Приближенный алгебраический критерий робастности класса нестационарных интервальных систем,

5. Приближенный алгебраический критерий робастности процессов в нелинейных неавтономных системах на классе ограниченных в секторе нелинейностей,

6. Приближенные критерии робастности периодически нестационарных объектов, в том числе а) на классе изменений параметра, ограниченных по амплитуде б) на классе изменений параметра, ограниченных в среднем в) на отрезках частот изменения параметра и статического коэффициента усиления стационарной части г) на классе периодических изменений структуры д) на классах многочастотных изменений параметра е) на классах синхронных несинфазных изменений нескольких параметров ж) на различных классах изменений параметра при вынужденных колебаниях,

7. Приближенные оценки робастности процессов в нелинейных системах: а) синхронизации на классе амплитуд и частот внешнего сигнала при захватывании колебаний, низкочастотной синхронизации, высокочастотной синхронизации б) параметрической синхронизации нелинейной автономной системы на классе амплитуд и частот изменений параметра,

8. Методика построения приближенных частотных моделей отдельных объектов с распределенными параметрами,

9. Получены новые решения ряда технических задач:

- моделирование (объекта и неопределенностей) и построение робастного регулятора системы активного магнитного подвеса ротора,

- моделирование системы электромашинного преобразователя с учетом нестационарности взаимной индукции ротора-статора и распределенности электрической нагрузки и нахождение областей неустойчивости (возбуждения параметрического резонанса),

- моделирование динамики экономической системы с учетом нестационарности ее параметров с получением условий неустойчивости в форме параметрического резонанса.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Чечурин, Леонид Сергеевич, 2010 год

1. Агафонов П. А., Честнов В. Н. Одновременное обеспечение запасов устойчивости на входе и выходе многомерного объекта на основе подхода. Автоматика и телемеханика. 2004. №9. С. 110-119.

2. Адамян В., Аров Д., Крейн М. «Аналитические свойства пар Шмидта для оператора Ганкеля и обобщенная задача Шура-Тагаки». Математический сборник СССР, №15, стр. 31-73

3. Андронов A.A., Понтрягин JI.C. «Грубые системы» Доклады Академии Наук СССР, №14 (1937)

4. Балберин В.В., Мироновский JI.A., Петровский А. Б. Понижение порядка моделей: учебное пособие. ЛИАП Ленинград. 1989. 43с

5. Барабанов А.Е., Первозванский A.A. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н^ теория). Автоматика и телемеханика. 1995. №9. С. 3-32

6. Барабанов А.Е. Синтез минимаксных регуляторов. СПбГУ, 1996

7. Бахилина И. М., Степанов С. А. Синтез робастных линейных регуляторов при параметрической неопределенности модели объекта. Автоматика и телемеханика. 2001. №1. С. 118-130.

8. Управление мехатронными вибрационными установками. / под ред. И.И.Блехмана и А.Л.Фрадкова. СПб.: Наука, 2001 278 с.

9. Брусин В. А. Существование и предельные возможности центральных регуляторов в задачах с //^-критериями. Автоматика и телемеханика. 2002. №5. С. 97-107.

10. Важнов А.И. Электрические машины. Л-д: "Энергия", 1969. - 768 с.

11. Воловодов С.К., Розенвассер E.H. О применении обобщённых коэффициентов гармонической линеаризации для определения параметров автоколебаний // Автоматика и телемеханика. №4. - С. 26-30.

12. Вышнеградский И.А. О регуляторах прямого действия. В сб. Д.К.Максвелл, И.А. Вышнеградский, А.Стодола. Теория автоматического управления, Изд-во АН СССР, Москва, 1949

13. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., .Ятсубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным положением равновесия. Москва: Наука, 1978

14. Грязина E.H., Поляк Б.Т., Требма A.A. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н-бескоыечность: параметрический подход. Автоматика и телемеханика, №3, 2007, с 94-105

15. Григорьев Е.М., Чечурин JI.C. «Моделирование динамики численности популяций с помощью теории игр» Сборник трудов СПбГПУ "Инновации в науке, образовании и производстве" СПбГПУ, 2005 г

16. ЗангВ.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории: Пер. с англ.—Москва: Мир, 1999.— 335 е.: ил.

17. Киселев О.М., Поляк Б.Т. Синтез регуляторов низкого порядка по критерию Н-бесконечность и по критерию максимально робастности. Автоматика и телемеханика, №3, 1999, С. 119-130

18. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.- 399с

19. Левинштейн М.Л. Явление параметрического резонанса при работе синхронной машины на емкостную нагрузку// Труды ЛПИ им.Калинина. -1948. -№3.- С. 13-41.

20. Леонов Г. А. Частотные методы в теории колебаний.— СПб.: Изд-во СПбГУ, 1992 . В 2ч.

21. Леонов Г. А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения. СПб.: Издательство С.-Петербургского университета, 2004. - 144 с

22. Ли Ён Кван. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПбГПУ, 2004 г.

23. Ли Ё.К., Чечурин Л.С. Оценка границ возбуждения параметрического резонанса в системах электромеханического преобразования с распределенной нагрузкой. Научно-технические ведомости СПбГПУ, №6(69) 2008. С. 104-108

24. Лурье А.И., Постников В.Н. О теории устойчивости систем управления. Прикладная математика и механика, 8(3), 1944

25. Лю Ч.Ч., Чечурин С.Л. Цифроаналоговые модели динамических систем управления. СПб., 1993.

26. Лю Шухуань, Л.С. Чечурин. Синтез робастного управления ротором на магнитном подвесе. Инноватика в науке, образовании и производстве, Труды СПбГПУ. 2004. №492. С. 136-146.

27. Лю Шухуань. Синтез робастного управления ротором на магнитном подвесе. Диссертация на соискание ученого звания кандидата технических наук. Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2005.

28. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Собр.соч. М. Изд-во АН СССР, 1956, т.2, 271с.

29. Наумов Б.Н. Теория нелинейных автоматических систем.-М., 1972.

30. Неймарк Ю.И. «Структура пространства полиномов и диаграммы Вышнеградского» Докл.АН СССР, нов.сер., 1948, т.59 №5 стр.853- 856

31. Островский М.Я., Чечурин С.Л. Стационарные модели систем автоматического управления.- Л., Энергоатомиздат, 1989

32. Пасуманский М.А., Первозванский A.A. «Предельная точность линейных систем управления и асимптотическое поведение их Н2 и Н,0 норм» Автоматика и телемеханика, 1995, No.7, с.24-32

33. Первозванский A.A., Чечурин Л.С. Синтез обратной связи по критерию робастности с помощью уравнений Риккати. Автоматика и Телемеханика. 1997, ноябрь стр.152-158

34. Первозванский A.A., Чечурин JI.C. Компромиссное Н21Н^ управление. Труды СПбГТУ: каф. Механики и процессов управления. 1997, стр.27-29

35. Первозванский A.A., Чечурин Л.С. Ким Д.Х., Чой Д. Робастность линейных систем управления (на англ). СПб.: СПбГТУ, 1998

36. Первозванский A.A., Солонина Н. Конечномерный субоптимальный регулятор для объекта с распределенными параметрами. Автоматика и телемеханика. 1984. №4 (часть I) и №7 (часть II)

37. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.A. Опыт математического моделирования экономики. Москва, Энергоатомиздат, 1996

38. Позняк А. С. Основы робастного управления (Д„-теория): Учебное пособие. МФТИ. Москва. 1991. 128с.

39. Поляк Б.Т., Цыпкин Я.3. Частотные критерии робастной устойчивости и апериодичности линейных систем управления. Автоматика и телемеханика. 1999. №9. С. 45-54

40. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.-303 с.

41. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах.-М., 1973

42. Пуанкаре А. Избранные труды: в 3 т., М.: Наука, 1971

43. Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оптимизация/ под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. Москва. Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 631 с

44. Розенвассер E.H., Юсупов P.M. Чувствительность систем управления. М. Наука, 1981.464с.

45. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ, М.: Наука, 1978

46. Зотов Ю.К., Тимофеев A.B. Управляемость и робастная стабилизация программных движений летательных аппаратов с нелинейной динамикой -Труды СПИИ РАН. Вып. 3, т. 2. СПб.: Наука, 2006

47. Форрестер Дж. Основы кибернетики предприятия: (Индустриальная динамика).-Москва: Прогресс, 1971.—340с.

48. Харитонов B.JI. «Асимптотическая устойчивость семейства систем линейных дифференциальных уравнений» Дифференциальные уравнения 1978, Т. 14, No.; 11, с.2086-2088

49. Хлыпало Е.И. Расчет и проектирование нелинейных корректирующих устройств о автоматических системах. Ленинград: Энергоиздат, 1982 .

50. Честнов В. М. Синтез робастных регуляторов многомерных систем при параметрической неопределенности на основе круговых частотных неравенств. Автоматика и Телемеханика. 1999. №3. С. 229-238

51. Чечурин Л.С. Исследование свойств управления с равномерно-частотной нормой. Дипломная работа. СПбГТУ, 1993

52. Чечурин Л.С. Исследование робастных систем управления. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. СПбГТУ, Ю97

53. Чечурин С.Л. Параметрические колебания и устойчивость периодического движения.-Л., 1983

54. Чечурин С. Л., Чечурин Л. С. Физические основы теории колебаний. СПб.: СПбГПУ, 2005 258 С.

55. Чечурин Л.С., Шахов И.М., Михайлов А.Н. «Периодически нестационарные модели экономической динамики». Сборник трудов СПбГПУ по тематике "Инновации в науке, образовании и производстве" СПбГПУ, 2004 г. стр.87-101

56. Шахтарин Б. И. Синхронизация в радиосвязи и радионавигации. Гелиос АРВ, 2007. 256 с.

57. Шашихин В.Н. Интервальные динамические системы. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 214 с.

58. Якубович В.А. S-процедура в нелинейной теории регулирования. Вестник ЛГУ, Сер. 1., 1971 №1, С.62-77

59. Источники на иностранных языках

60. Ackermann J. Robust Control. Parameter space approach. London: Springer, 2002

61. Bhattacharyya S.P., Chapellat H., Keel L.H. Robust Control: the Parametric Approach. Upper Saddle River: Prentice Hall PTR, 1995. - 625 p.

62. Bongiorno, J.J., Jr. "An extention of the Nyquist-Barkhausen stability criterion to linear lumped parameter systems with time-varying elements", IEEE Trans., 1963, AC-8, pp. 166-172

63. Brian D. O. Anderson, Yi Liu. Controller reduction : Concepts and Approaches. IEEE Trans on Automat Control. 1989. Vol.34. №8. pp: 802-812

64. Doyle J.C, Glover K., Khargonekar P.P., Fransis B. «State-space Solutions to Standard H2 and H^ Control Problems» IEEE Trans. Automat. Control., 1989 Vol. AC-34 No. 8 pp.831-847

65. Doyle J.C, Glover K, Zhou K, Bodenheimer B. Mixed H2 and performance objectives II: Optimal control. IEEE Trans, on Automat Control. 1994. Vol.39. №8.pp: 1575-1587

66. Doyle J. C, Packard A, Zhou K. Review of LFTs LMIs and ¡л . Proc IEEE conf. on Decision and Control. 1991. pp: 1227-1232

67. Fujita M, Hatake K, Matsumura F. Loop shaping based robust control of a magnetic bearing. IEEE Control Systems. 1993. Vol.13. №4. pp: 57-65

68. Gahinet P. «А new parametrization of H2/Hm suboptimal controllers» Int.J.Contr, 1994, Vol. 59, No.4, pp.1031-1051

69. Gahinet P, Apkarian P. A linear matrix inequality appro aclh to Hx control Int J. Robust Nonlinear Control. 1994. Vol.4. №3. pp: 421-448

70. Gahinet P. Explicit control formulas for LMI-based synthesis Automatic. 1996. Vol.32. №7. pp: 1007-1014

71. Glover K. «All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their Lco-error bounds» Int.J.Contr, 1984, Vol.39 ]SIo.6, pp.11151193

72. Lei Guo, Chun Bo, Feng. A Linear Matrix Inequality based design method of reduced order controllers for singular Ha} control problems. China. Control theory and applications. 1996. Vol.13. №6. pp: 709-716.

73. Lei Guo, Chun Bo, Feng. The LMI based reduced order controllers for mixed //o///rjo control problems: continuous-time case. ACTA Antomatica sinica 1998. Vol.24. №3. pp: 294-300

74. Lei Guo, Chun Bo, Feng. A Linear Matrix Inequality based design method of reduced order controllers for general control problems. Science in China(E) 1997. Vol.27. №4. pp: 353-361

75. Haddad W.M., Bernstein D.S. «Combined Li/H» model reduction» Int.J.Contr, 1989, Vol. 49, No.5, pp. 1523-153 5

76. Isidori A. Nonlinear Control Systems. Springer-Verlag, 1989

77. Isidori A., Kang W, " Hm control via measurement feedback for general systems" IEEE Trans. Automat. Control., 1995 Vol. AC-40 pp.466-472

78. Kanev. S, Schutter D. B, Verhaegen M. An ellipsoid algorithm for probabilistic robust controller design. Systems & Control Letters. 2003. №49 pp: 365-375

79. Knospe C. R, Tamer S. M. Experiments in Robust Control of Rotor Unbalance Response using Magnetic Bearings. Mechanics. 1997. Vol.7. №3. pp-217-229

80. Khargonekar P. P., Rotea M. A., Mixed /:/2/Я,, control: A convex optimization approach. IEEE Trans, on Automat Control. 1991. Vol.36. №7. pp: 824-837

81. Kwakernaak H. «Minimax frequency domain performance and robustness optimization of linear feedback systems» IEEE Trans. Automat. Control. Oct. 1985. Vol. AC-30. pp.994-1004

82. Kwakernaak H. «Robust Control and H,» Optimization Tutorial Paper» Automatica, 1993. Vol. 29. No. 2 pp.255-273

83. Lee Y.K., Chechurin L.S. Conditions of Parametric Resonance in Periodically Time-Variant Systems With Distributed Parameters. ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. March, 2009 Vol. 131, p. 1-1083. www.lmsintl.com

84. Li Yu, Robust control- Method LMI. Beijing. Tsing hua university. 2002

85. Matsumutra F, Fujita. M, Hatake. K, et. al. Elimination of unbalance vibration in AMB systems using gain scheduled H «> robust controller. Proc. of the Forth Int. Sym. on Magnetic Bearings. 1994. ETH Zurich, pp: 113-118

86. Mehran M. On the rank minimization problem and its control applications. Systems & Control Letters. 1998. Vol.33. №2. pp: 31-36

87. Mehran M, Papavassilopoulos G.P. On the rank minimization problem over a positive semidefine linear matrix inequality. IEEE Trans, on Automatic Control. 1997. Vol.42. №2. pp: 239-243

88. Moore B.C. «Principal Component Analysis in Linear Systems: Controllability, Observability and Model Reduction» IEEE Trans. Automat. Control., 1981 Vol.AC-26 No.l pp.17-29

89. Namerikawa T, Hagiwara K, Fujita M, Matsumutra F. Experimental Evaluation of Gain Scheduled H ю robust controller to a magnetic bearing. Proc. of the Fifth Int. Sym. on Magnetic Bearings. 1996. Kanazava. Japan, pp: 137142

90. Nemirovski A.A. Several NP hard problems arising in robust stability analysis. Math. Contois, Signals, Systems. 1994. V. 6 P.99-105

91. H. Nyquist. Regeneration theory. Bell System Technical Journal, vol.11, pp. 126-147, 1932

92. Palhares R. M, Peres P. L. D. LMI approach to the mixed H2lHa filtering design for discrete-time uncertain systems. IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems. 2001. Vol.37. №1. pp: 292-296

93. A.A. Pervozvanski. «Sensitivity, Robustness and Efficiency of Adaptation», Intern. Journ. Of Adaptive Contr. And Signal Processing, 1992, Vol.6, pp. 183191

94. Popov V. M. Criterii de stabilitate pentru sistemele neliniare de reglare automame bazate pe utilirea trasformatei Laplace // Studii si cerctari de energetica. Academia R. P. R. 1959. Anel IX. nr. 1.

95. Roger L. F, Knospe C. R. Rotor compliance minimization Via //-control of active magnetic bearings. IEEE Transactions on control systems technology. 2002. Vol.10. №2. pp:239-249

96. Arjan van der Schaft. L2-Gain and Passivity Techniques in Nonlinear Control (Communications and Control Engineering). Springer, 2000

97. Dongwon Shin. Dynamic performance improvement of magnetic bearing supported rotor systems using the centralized controller. Ph.D. dissertation. Seoul National University. 1996

98. Skelton R.E., Yousuff A. «Component cost analysis of large scale systems» IntJ.Contr, 1983, Vol.37 No.2, pp.285-304

99. Stoorvogel A, The H OT Control Problem a state space approach. Prentice Hall, 1992

100. Scherer C, Gahinet P, Chilali M. Multi-objective output-feedback control via LMI optimization. IEEE Trans on Automat Control. 1997. Vol.42. №7. pp: 896-911

101. Slotin J.E., Li W. Applied Nonlinear Control, Prentice Hall, 1991

102. C. Scherer «Mixed H2IHoo Control» in issue Progress in Control Theory, 1995

103. Thomas E. P. Algorithms for reduced order robust H« control design. CDC99-REG0575. Stanford University, 1999

104. Torn A, Shinji. H. A unified approach to LMI-based reduced order self scheduling control synthesis. Systems & Control Letters. 1999. №36. pp: 75-86.

105. Wilson D.A. «Optimum solution of model-reduction problem» Proc. IEE 117 (Pt.D), No.6, pp. 1161 -1165, June 1970

106. Wu H, Fei Y, Mixed H2IHro robust output feedback control for uncertain linear systems. Control theory and application. 2000. Vol.17. №3. pp: 367-373

107. Xin Xin. Reduced-order controllers for the HU control problem with unstable invariant zeros. Automatica. 2004. №40. pp: 319-326.

108. Yamashita K, Allaire P.E, Knospe C. R. Rotor Disturbance AttenuationUsing an //„ Controller for Active Magnetic Bearings. Proc. Of the Fifth Int. Sym. On Magnetic Bearings. 1996. Kanazava. Japan, pp: 227-232

109. Zames G. «Feedback and optimal sensitivity: Model reference transformations, multiplicative seminorms and approximate inverses» IEEE Trans. On Automat. Contr., AC-26, 1, pp.301-320, February 1981

110. Zames G., Francis B. «Feedback, minimax sensitivity and optimal robustness» IEEE Trans. Automat. Control. 1983 Vol. AC-28. No. 5 pp. 585-601

111. Zhou K, Doyle J. C. Essentials of Robust Control. Pentice Hall. 1998

112. T. Zhou, Fujita M, Matsumura F. Robust control of a two-axis, magnetic suspension, flexible-beam system based on H-infinity optimization theory. International Journal of Robust and Nonlinear Control. Vol.2. №3. pp: 165-182

113. D. I-Iinrichsen and A. J. Pritchard, Mathematical systems theory. I. Modelling, state space analysis, stability and robustness. Texts in Applied Mathematics 48, Springer-Verlag, Berlin, 2005.