Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Сорокина, Мария Евгеньевна

• Сорокина, Мария Евгеньевна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сорокина, Мария Евгеньевна

Введение.

Глава 1. Многообразия модулей полустабильных пучков на поверхностях.

§1. Известные результаты о поведении многообразий модулей при раздутиях.

§2. Многообразия модулей полустабильных пучков на Р2.

1.2.1. Общие сведения.

1.2.2. Многообразие Мр2(0,2).

§3. Изменение поляризации и перестройки многообразий модулей

Глава 2. Бирациональный изоморфизм многообразий Мр2(0,2) HMFl(0,2).

§1. Предварительные сведения и обозначения.

§2. Описание морфизма р : G —» М.

§3. Многообразие G. Гладкость G.

§4. Построение универсального семейства на G х S.

§5. Точки многообразия М.

§6. Свойство универсальности многообразия М.

Глава 3. Бирациональная перестройка многообразия

Мр2(0,3).

§1. Предварительные сведения и обозначения.

§2. Перестройка Маруямы универсального семейства на W х S.

§3. Стабильность пучков, входящих в семейство Т.

§4. Многообразие М0.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бирациональные свойства многообразий модулей полустабильных пучков ранга два на проективной плоскости»

Актуальность темы. Цели работы. Описание геометрических свойств многообразий модулей стабильных и полустабильных когерентных пучков на алгебраических многообразиях является одним из интенсивно развиваемых направлений современной алгебраической геометрии. Актуальность этого направления обусловлена как задачами внутри самой алгебраической геометрии, так и многочисленными приложениями в дифференциальной геометрии и топологии, глобальном анализе и теоретической физике. Так, многообразия модулей векторных расслоений Е ранга 2 с нулевым первым классом Чжэня на гладкой комплексной проективной поверхности 5, стабильных относительно поляризации Я, индуцируемой проективным вложением поверхности S, в силу соответствия Кобаяши-Хитчина интерпретируются в калибровочной теории как пространства инстантонов, т.е. модулей 5/7(2)-связностей на Е, антиавтодуальных относительно ходжевой метрики дн на поверхности 5, рассматриваемой как гладкое 4-мерное многообразие. Это соответствие имеет нетривиальное продолжение на компактификации алгебро-геометрических многообразий модулей по Гизекеру-Маруяме и соответствующие компактификации по Уленбек пространств инстантонов. Важную роль в этой теории играют бирациональные перестройки многообразий модулей пучков (соответственно, перестройки пространств инстантонов) при бираци-ональных перестройках поверхностей, в частности, при раздутии поверхности в точке 5 5. Первый результат в этом направлении для пучков ранга 1 с нулевым первым классом Чжэня и вторым классом Чжэня С2 = 2 (первый нетривиальный случай), когда соответствующее пространство модулей есть схема Гильберта Hilb25, получен в статье А.С.Тихомирова [14], в которой дано точное описание бирациональной перестройки Hilb2 S Hilb2 S как композиции двух раздутий и одного стягивания с гладкими центрами (см. теорему 1.1.1 ниже). Случай пучков ранга 2 в алгебраической геометрии до настоящего времени оставался открытым, а параллельные результаты в калибровочной теории были впервые получены в диссертации А.Кинга [8] для ранга 3 и выше для инстантонов со вторым классом Чжэня С2 = 1. А.Кинг рассматривает случай некомпактной поверхности, а именно, S = С2 и, соответственно, S есть плоскость С2 с раздутой точкой, и доказывает гипотезу П.Кронхеймера о том, что при г > 2 многообразие модулей SU(г)-инстантонов с зарядом п = 1 на раздутой плоскости С2, пополненное по К.Уленбек (теоретико-калибровочной эквивалент многообразия М(0,1) для пучков ранга г > 2 при п = 1), получается из многообразия модулей инстантонов на С2 раздутием вдоль подмногообразия идеальных инстантонов с особенностью в центре раздутия (теорема 1.1.2).

А.С.Тихомиров в 2002 г. сформулировал гипотезу о том, что в случае, когда S = Р2, для малых значений п второго класса Чжэня и надлежащим образом выбранной поляризации Я на плоскости с раздутой точкой S = Fi многообразие Mj[(0, п) модулей Я-полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ — О, С2 = п на поверхности Fi есть многообразие Мр2(0,п) модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 с классами Чжэня с\ — 0, С2 = п на проективной плоскости Р2, раздутое вдоль подмногообразия пучков, не локально свободных в центре раздутия Fi —> Р2 -точке xq. Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А.С.Тихомирова в случае С2 = 2, а также в случае oi — 3 для открытого подмножества Mq многообразия Мрг(0,3), полученного удалением из Мр2(0,3) точек, соответствующих классам изоморфизма пучков Е, имеющих особенность длины lXo(Ew/E) > 2 в точке xq или имеющих особенность в xq, но с l(Evw/E) = 3.

Методы работы и научная новизна. При исследовании применяется конструкция многообразий модулей полустабильных (по Гизекеру) пучков Е ранга 2 на проективной плоскости, в которой многообразие Мрг(с1, сг) реализуется как хороший фактор в смысле геометрической теории инвариантов по действию группы SL(n), п = С2, на подходящем открытом подмножестве G произведения грассмановых многообразий 0(n+ci, 3п) х Gr(n - с\ — 2, Зп), при этом пучок Е задается как когомологический пучок комплекса Кронек-кера (см. [9], [10]). В работе также используется техника универсальных семейств над подходящей базой, классы S-эквивалентности которых представлены точками многообразия модулей. Существование таких семейств, а также наличие универсального комплекса Кронеккера, когомологическим пучком которого и является универсальное семейство пучков над GxP2, позволяет провести необходимые вычисления и построить универсальное семейство пучков на поверхности Хирцебруха Fi с требуемыми классами Чжэня. Важное место в исследовании занимает техника перестроек Маруямы, которая используется для построения универсального семейства на Fi.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей полустабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 на алгебраических поверхностях.

Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского, на научных конференциях "Чтения Ушииского"(Ярославль, 2004 - 2006 гг.), на Международной научной конференции "Колмогоровские чтения - IV"(Ярославль, 2006 г.).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в статьях [19], [20].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. В первой главе имеется 3 параграфа, во второй - 6 параграфов и в третьей - 4 параграфа. Список литературы содержит 20 наименований. Общий объем диссертации - 76 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сорокина, Мария Евгеньевна, 2006 год

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the projective planeII Invent. Math. 42 (1977). P. 63-91.2.- Brieskorn E. Uber holomorphe ¥n-Bundel iiber Pi / / Math. Ann.157 (1967). P. 343-357.

2. Brun J., Hirschowitz A. Variete des droites sauteuses du fibre instanton general II Compos. Math. 53 (1984). P. 325-336.

3. EUingsrud G., Gottsche L. Variation of moduli spaces and Donaldson invariants under change of polarization 11 J. ReineAngew. Math. 467 (1995). P. 1-49.

4. Friedman R., Morgan J.W. The diffeomorphism types of certain algebraic surfaces, II11 J. Differential Geometry, 37 (1988). P. 371-398.

5. Huybrechts D. , Lehn M. The geometry of Moduli Spaces of Sheaves. Aspects of Mathematics. E 31. Braunschweig: Vieweg, 1997,269 p.

6. Hulek K., Le Potier J. Sur I'espace de modules des faisceaux semistables de rang 2, de classes de Chern (0,3) sur F^ / / Ann.Inst. Fourier, Grenoble, 39, 2 (1989). P. 251-292.

7. King A. Instantons and holomorphic bundles on the blown-up plane. D. Phil. Thesis, Oxford, 1989, 68 p.

8. Le Potier J. Fibres stables de rang 2 sur P2(C) / / Math. Ann. 241 (1979). P. 217-256.

9. Mumford D., Fogarty J. Geometric Invariant Theory. Springer- Verlag, 1982, 220 p.

10. Room T.G. The geometry of determinantal loci. Cambridge: Univ. Press, 1938, 483 p.

11. Tikhomirov A.S. On birational transformations of Hilbert schemes of an algebraic surface // Matem. Zametki, 73, No.2 (2003). P. 281-294 (Russian). English translation: Mathem. Notes, 73, No.2 (2003).P. 259-270.

12. Tikhomirov A.S. The main component of the moduli space of mathematical instanton vector bundles on P^ // Journal of Math.Sciences Vol. 86 (1997). P. 3004-3087.

14. Оконек К., Ш н е й д е р М., Шпиндлер X. Векторные рас- слоения па комплексных проективных пространствах. М.: Мир,1984, 308 с.

15. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. М.: Мир, 1981, 597 с. П У Б Л И К А Ц И И ПО Т Е М Е ДИССЕРТАЦИИ

16. Сорокина М.Е, Вирациональные свойства многообразия мо- дулей стабильных пучков ранга 2 с классами Чаюэня с\ — О,С2 = 3 на поверхности Fi // Ярославский педагогический вест-ник, Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2006, Ж (49). 65-72.76