Окрестности римановых кривых в комплексно-двумерных поверхностях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Мишустин, Михаил Борисович

• Мишустин, Михаил Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мишустин, Михаил Борисович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Окрестности кривых с очень обильным нормальным расслоением.

§ 1. Определения и формулировки.

§ 2. Формальные нормальные формы окресностей.

§ 3. Необходимые факты о линейных системах.

§ 4. Каркасы окрестностей.

§ 5. Функциональные модули каркасов.

§ 6. Склейки окрестностей сферы.

ГЛАВА 2. Классификация окрестностей кривых и классификации других объектов.

§1. Двойственность окрестностей и групп автоморфизмов.

§2. Окрестности и ростки особых кривых.

ГЛАВА 3. Окрестности подмногообразий и глобальные свойства многообразий.

§1. Изоморфизм окрестностей и бирациональная эквивалентность объемлющих пространств.

§2. О римановой сфере в псевдовыпуклой поверхности.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Окрестности римановых кривых в комплексно-двумерных поверхностях»

В предлагаемой работе рассматривается следующая задача. Если в комплексных многообразиях имеются изоморфные подмногообразия, то когда их изоморфизм может быть продолжен до изоморфизма некоторых окрестностей этих подмногообразий в объемлющих многообразиях, и сколько существует неизоморфных окрестностей вложений заданного комплексного многообразия?

Эта задача возникает в теории обыкновенных дифференциальных уравнений по следующей причине. При бифуркациях общего положения особых точек некоторых динамических систем, в частности, гамильтоновых, в окрестности особой точки образуются инвариантные многообразия. Геометрия окрестности инвариантного многообразия и геометрия окрестности его образа при факторизации по орбитам динамической системы тесно связана с геометрией динамической системы. Эта взаимосвязь исследовалась В.И. Арнольдом в [19] для особых точек дифференциальных уравнений в С3 с невырожденной линейной частью. В этом случае инвариантные многообразие являются деформациями объединения сепаратрис, взятых с надлежащей кратностью; их образами при факторизации оказываются эллиптические кривые в комплексно-двумерных поверхностях. Более сложные подмногообразия возникают при исследовании деформаций особенностей дифференциальных уравнений типа Такенса-Богданова и других особенностей с вырожденными линейными частями.

Окрестности компкатных подпространств являются также хоршей моделью для исследования явления «материализации резонансов», то есть 4 для исследования геометрических объектов, препятствующих сходимости формальных рядов при приведении к нормальным формам. Резонансное поведение наблюдается, например, для окрестностей компактных кривых в поверхностях с нулевым индексом самопересечения. В этом случае сходимости препятствуют нетривиальные деформации конечнолистных накрытий кривой, появляющиеся при прохождении через резонанс деформируемой окрестности. Исследование деформаций этих накрытий можно производить в окрестностях с положительным индексом самопересечения, где семейства кривых устойчивы, а резонанс состоит в прохождении кривой через набор специальных точек.

Задача классификации окрестностей рассматривалась также Грауертом в [7] для построения морфизмов, обратных к раздутиям многообразий в точках. Для интересующего его класса нормальных расслоений им был получен практически исчерпывающий ответ; он был обобщен Косаревым в [13] для комплексных пространств с особенностями.

Эта задача представляет также интерес по следующей причине. Если изоморфные подмногообразия обладают сколь угодно малыми изоморфными окрестностями, дополнения к которым 1-выпуклы, то, как было показано в [27], изоморфизм окрестностей может быть продолжен до бирационального изоморфизма объемлющих многообразий, то есть до изоморфизма их открытых всюду плотных подмножеств, дополнения к которым являются объединениями конченого числа компактных аналитических подмногообразий. Таким образом, построение модулей окрестностей может оказаться полезным в задаче бирациональной классификации.

Очевидным необходимым условием существования изоморфизма окрестностей является их гомеоморфность. Топологический, и даже 5 дифференцируемый класс окрестности вполне определяется полным классом Чжэня нормального расслоения подмногообразия в многоообразии.

Используя фильтрацию структурного пучка объемлющего многообразия пучком идеалов подмногообразия, мы можем рассматривать задачу о эквивалентности "конечных струй" окрестностей. Окрестности эквивалентны на уровне k-струй, когда существуют изоморфизмы их покрытий, совпадающие с точностью до порядка к относительно удаления от подмногообразия. Формально эквивалентные окрестности - это окрестности, все k-струи которых изоморфны.

Классы формально эквивалентных окрестностей заданного компактного многообразия при заданном топологическом классе окрестности могут быть вычислены явно в терминах когомологий линейных расслоений над этим многообразием. Для компактных многообразий всегда существует конечномерная версальная деформация k-струи окрестности. Конечномерность же модуля формальной версальной деформации существенно зависит от топологического класса. Имеют место три качественно различных случая. Они тесно связаны с характеристиками псевдовыпукло-вогнутости нормальных расслоений, которые для окрестностей играют ту же роль, что и вещественные части собственных чисел для особых точек динамичесих систем. Эти случаи таковы:

1) Классы формально эквивалентных окрестностей образуют конечномерное семейство. В этом случае формальная эквивалентность, как правило, влечет аналитическую; контрпримеров мне не известно. Этот случай содержит окрестности, исследованные Грауертом. Для 6 окрестностей, рассмотренных Грауертом, можно модификацией окрестности отобразить подмногообразие в точку; соответственно, окрестность модифицируется в росток комплексного пространства в этой точке. Этот случай включает также некоторые топологические классы окрестностей, огораживающие классы, рассмотренные Грауертом; например, окрестности вложений проективных пространств CP5 с тривиальным классом Чжэня нормального расслоения. В. И. Савельевым в [24] был доказано существование изоморфизма между любыми окрестностями римановой сферы в поверхности, если индекс ее самопересечения в поверхности равен нулю.

Все известные мне окрестности этого типа нестрого псевдовыпуклы.

2) Классы формально эквивалентных окрестностей образуют сравнительно устойчивое бесконечномерное семейство в том смысле, что, начиная с некоторого к разность между размерностью модуля к-струи и (к+1)-струи выражается через топологические характеристики нормального расслоения. Формальный модуль состоит в этом случае из некоторого конечномерного версального семейства и некоторого функционального модуля. Видимо, в этом случае формальная эквивалентность также всегда влечет аналитическую.

Все известные мне подобные окрестности максимально псеводвогнуты среди всех возможных топологических классов окрестностей.

Примеры таких окрестностей доставляют окрестности эллиптических кривых в поверхностях, когда индекс самопересечения кривой положителен. Окрестности эллиптических кривых в поверхностях при положительном индексе самопересечения кривой были исследованы Ю. С. Ильяшенко в [21]. Как было им доказано, модулем окрестности 7 эллиптической кривой для индекса самопересечения s>0 является росток отображения С2 С2'.

3) Случай всюду плотных резонансов. В этом случае при всех к разность между размерностью модуля к-струи и (к+1)-струи существенно зависит от выбора к-струи, при этом члены семейства к-струй, при которых размерность модуля n-струй может подскакивать при разных п (эта размерность очевидно полунепрерывна снизу), всюду плотны в семействе k-струй. С точки зрения псеводвыпукловогнутости это как раз средний случай между случаями 1) и 2). Примеры таких окрестностей доставляют окрестности в поверхности эллиптической кривой с нулевым индексом самопересечения. Подобные окрестности были исследованы В. И. Арнольдом в [19],[20]. Окрестности многомерных торов также были исследованы Ю. С. Ильяшенко и А. С. Пяртли в [22]. В этих работах было доказано, что для всюду плотного подмножества полной меры в пространстве модулей нормальных расслоений все окрестности эллиптических кривых с заданным расслоением изоморфны друг другу. На дополнении к этому подмножеству существуют неизоморфные окрестности и, более того, среди них есть окрестности, не обладающие конечномерной версальной деформацией. Кроме того, как было показано там же, среди них есть окрестности, эквивалентные формально, но отнюдь не аналитически.

В предлагаемой работе мы дополним результаты Ю. С. Илыпенко исследованием окрестностей кривых прочих родов в поверхностях для тех случаев, когда индекс самопересечения кривой достаточно велик, и получим функциональные модули окрестностей для этих кривых. Техника построения традиционна для многих задач алгебраической геометрии и сходна с техникой, использованной Ильяшенко: в окрестности строится 8 достаточно богатое семейство деформаций кривой, и искомый модуль получается описанием геометрии деформированных кривых и их пересечений.

Результаты исследования окрестностей кривых для случая 3) не вошли в эту работу ввиду их частичности, однако мне хотелось бы сказать о них несколько слов.

В качестве модельного примера окрестностей со всюду плотными резонансами можно использовать окрестность в поверхности эллиптической кривой, имеющей нулевой индекс самопересечения. Лучший способ работы с нормальными формами и модулями подобных объектов был предложен Колмогоровым и известен как техника «малых знаменателей». Он позволяет получить результат для всюду плотного семейства полной меры в пространстве 1-струй. Между тем, при построении некоторых объектов на исследуемом семействе, в линеаризации гомологического уравнения при «малом знаменателе» возникает «числитель» того же порядка малости. Например, попробуем построить векторное поле на окрестности эллиптической кривой, касающееся самой кривой и такое, что модули производных в нуле отображений Пуанкаре вдоль обоих циклов на торе равны единице. Разлагая искомое поле v в ряд, мы увидим, что линеаризация гомологического уравнения распадается в набор уравнений вида V = / лтг .hpqr, где (P,q,r)e(Z ® Z 0 Z+), члены hpqr определяются геометрией окрестности, a Xpqr - те самые «малые знаменатели» которые для разных (p,q,r) обращаются в нуль при сколь угодно малых деформациях нормального расслоения. Это вселяет надежду на то, искомые векторные поля имеют право на существование для всех 9 окрестностей, хотя и не образуют непрерывного семейства. Можно доказать, что как раз в резонансных случаях (то есть при Apqr обращающихся в нуль), искомые поля действительно существуют, хотя и не единственны.

Факт существования такого поля для любой окрестности существенно прояснял бы ее геометрию: например, из него бы немедленно следовали результаты работы [19] в части, затрагивающей эллиптические кривые. Отображения склейки окрестности тора из области тогда могли бы быть получены как отображения последования вдоль циклов на торе, и приобрели бы вид frl ' К(Г) ' ' К(Г) " л 4z + 2^ + /0(r), ^ + w + где h0 и hx коммутирующие ростки автоморфизмов С в нуле, а /0и fx - ростки аналитических функций в нуле, инвариантные относительно того и другого автоморфизма.

Аналогичные конструкции «малых числителей» возможны и для некоторых других семейств со всюду плотными резонансами, - для этого нужно приводить к нормальной форме не сами отображения, задающие объект, а их дифференциалы.

Мне, однако, не удалось ни доказать, ни опровергнуть существование описанных выше векторных полей. Полученные результаты таковы:

Как хорошо известно (напр., [18]), модулярным пространством линейных расслоений на эллиптических кривых с нулевым индексом самопересечения является тор со структурой коммутативной группы, естественно определенной симметричным произведением расслоений. Единицей этой группы служит тривиальное расслоение. Будем называть расслоение рациональным, если некоторая его степень тривиальна; будем называть его нормально несоизмеримым, если его k-ые степени могут

10 приближаться к тривиальному расслоению не быстрее, чем к в заранее заданной степени для произвольной метрики на торе; прочие расслоения будем называть ненормально соизмеримыми. Результат, описанный в [19], относился к нормально несоизмеримым расслоениям, и из него очевидно следует существование описанных векторных полей. Так вот, эти векторные поля существуют также для всех рациональных нормальных расслоений, а также для всюду плотного подмножества в множестве ненормально соизмеримых нормальных расслоений. Возможно, это всюду плотное подмножество совпадает со всем множеством ненормально соизмеримых расслоений; это не вполне тривиальный вопрос теории чисел.

С другой стороны, в предположении, что такие векторные поля существовали бы, они бы вели себя весьма странно по отношению к аналитическим семействам окрестностей, а именно, следующим образом. Для окрестностей с нормально несоизмеримыми расслоениями существует проективно одномерное пространство таких полей, каждый член которого полностью определяется своей 1-струей на кривой. Для ненормально соизмеримых полей в семействах окрестностей сколь-либо общего положения для каждой окрестности существовало бы единственное, с точностью до множителя, поле, определенное на ней; при этом единственность такова, что получающееся семейство полей неаналитически зависит от параметра. (Пространство формальных решений по-прежнему проективно одномерно, но требование сходимости выделяет в этом пространстве условие на модуль параметра). Наконец, для рациональных окрестностей проективная размерность пространства полей больше единицы, а в очень специальных случаях равна бесконечности. При этом пределы полей в окрестностях с ненормально соизмеримыми

11 расслоениями высекали бы компактные подмножества на пространствах полей в окрестностях с рациональными расслоениями, в общем положении окружности.

Вернемся к содержанию этой работы. Во второй главе мы опишем несколько конструкций, связывающих классификацию окрестностей с классификацией других геометрических объектов. В частности, будет предъявлена интересовавшая В.И. Арнольда «двойственности» окрестностей и автоморфизмов на них, несколько схожая с двойственностью Серра (напр., [18]) в когомологиях расслоений.

В третьей главе мы используем технику первой главы для вычисления, в простейшем случае, бирационального класса псевдовыпуклой поверхности исходя из окрестности содержащейся в ней кривой.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах по теории бифуркаций в Московском Государственном университете им. М.В. Ломоносова в 1991 и 2000 годах, а также на конференции им. Петровского в 1992 году.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27],[28].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю академику РАН Владимиру Игоревичу Арнольду за постановку задачи, полезные обсуждения, ценные советы и замечания.

12

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мишустин, Михаил Борисович, 2002 год

1. Ahlfors L.V., The complex analytic structure of the space of closed Riemann surfaces. // Anal. Funct. Princeton, 1960, 45-66 Имеется перевод: Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения // М.: ИЛ, 1961, 51-79].

2. Bers L., Finite dimensional Teichmuller spaces and generalizations. //Proc. Symp. Pure Math. 1983,39,part 1, 155-156.

3. Bers L., Quasiconformal mappings and Teichmuller theorem. // Anal. Funct. Princeton, 1960, 89-120 Имеется перевод: Альфорс Л., Берс Л., Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения //М.:ИЛ, 1961,9-50]

4. Douady A., Le problem des modules pour les sous-espaces analytiques compactes d'un espace analytique donnee. Ann. Inst. Fourier, 1966, 16, №1, 1-95.

5. Forster O., Riemannsche Flachen //Berlin e.a., Springer, 1977, X, 223S .Имеется перевод: Форстер О., Римановы поверхности // М. Мир, 1980, 248 е.].

6. Grauert Н. Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die ModulRaume komplexer Strukturen. // Publ. Math. Inst, hautes etudes scient., 1960, №5, P. 1-64 Имеется перевод: Граует Г. // В кн.: Комплексные пространства. Мир, М. (1965), С.205-312].

7. Grauert Н. Uber modificationen und exzeptionelle analytische Mengen // Math. Ann., 146, No.4, P.331-368(1962) Имеется перевод: Граует Г. Модификация и исключительные аналитические кривые // В кн.: Комплексные пространства. Мир, М. (1965), С.45-104].77

8. Hartshorne R., Algebraic geometry // Springer-Verlag, N.Y.,1977 Имеется перевод: Хартсхорн P., Алгебраическая геометрия // М. Мир, 1981]., 539-542.

9. Kasahara R. On Hartogs-Osgood's theorem for Stein spaces. // J. Math. Soc. Japan. 1965. - V.17, No.3. - P.297-312.

10. Kodaira K. On a differencial-geometric method in the theory of analytic stacks // Proc. Nat. Sci. USA, 39,1268-1273 (1953).

11. Kodaira K. On stability of compact submanifolds od complex manifolds // Amer. J. Math,, 75, No.l, 79-94 (1963).

12. Kodaira K., Spencer D.C., Stability theorems for complex structures К Ann. Math., 71 No. 1,43-76(1960).

13. Kosarew S. Konvergenz formaler komplexer Raume mit konvexm oder konkavenNormalenbundel//Math Z. 1982. V.I8O.N0. 3. P. 307-329.

14. Kosarew S. Das Modulproblem fur holomorphe Einbettungen mit konkaver Umgebunstructur. // J. Reine und Angew. Math. 1983. Bd 340 s.6-25.

15. Kosarew S. Modulraume holomorphen Abbildungen auf konkaven komplexer Raumen // Ann. Scient Ecole Norm. Super. Ser. 4 1987 V.20 №3 p.285-310.

16. Narasimhan R. The Levi problem for complex spaces. II // Math. Ann. 1962. - V.146, No. 3 - P. 79-94.

17. Siu Yum-Tong, Every Stein subvariety admits a Stein neighbourhood. // Invent Math., 1976,38, №1, 89-100.

18. Wells R. O., Jr. Differential Analysis on Complex Manifolds, Prentice-Hall, 1973 Имеется перевод: Уэлс. P. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях.- М.:Мир, 1976.]78

19. Арнольд В.И. Бифуркации инвариантных подмногообразийдифференциальных уравнений и нормальные формы окрестностейэллиптических кривых. // Функц. анализ и его прил., 10, вып. 4,1-12(1976).

20. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 184-194, 292-297 //Наука, М. (1978).

21. Ильяшенко Ю. С. Вложения положительного типа эллиптических кривых в комплексные поверхности // Труды ММО, 45, 37-67(1982).

22. Ильяшенко Ю.С., Пяртли А.С., Окрестности нулевого типа вложений комплексных торов // Тр. семинара Петровского 1979, вып. 5, 85-90.

23. Паламодов В.П. Деформации комплексных пространств. // В кн.: Итоги науки и техники, серия Современные проблемы математики, т. 10, М.:ВИНИТИ, 1986, с.123-222.

24. Савельев В. И. Вложения нулевого типа сферы в комплексные поверхности // Вестник МГУ, сер. матем., №4,28-32(1982).

25. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ, ч.Н // М.: Наука, 1985,219-223.

26. Мишустин М. Б. Окрестности римановой сферы в комплексных поверхностях И Функц. анализ и его прил., 27, вып. 3, 29-41(1993).