Модули стабильных пучков ранга два с классами Черна c1 = -1, c2 = 2, c3 = 0 на проективном пространстве тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Заводчиков, Михаил Александрович

• Заводчиков, Михаил Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Заводчиков, Михаил Александрович

Оглавление

Введение

*

1 Пучки с нульмерными особенностями

1.1 Предварительные вычисления и обозначения

1.1.1 Обозначения

1.1.2 Предварительные вычисления для пучков из М с нульмерными особенностями

1.2 Множество пучков Мх

1.3 Множество пучков

1.4 Пучки с нульмерными особенностями, не дающие

*

неприводимых компонент в М

2 Пучки с одномерными особенностями

2.1 Предварительные вычисления и обозначения

2.1.1 Обозначения

2.1.2 Предварительные вычисления для пучков с одномерными особенностями

2.2 Множество Жз

2.3 Множество ЗУС4

2.3.1 Неприводимость множества

2.3.2 Включение множества М4 в М1

2.4 Множество

2.4.1 Неприводимость множества М5

2.4.2 Включение множества М5 в М2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модули стабильных пучков ранга два с классами Черна c1 = -1, c2 = 2, c3 = 0 на проективном пространстве»

Введение

Актуальность темы

Пространство модулей - это один из основных объектов изучения современной алгебраической геометрии, который появился в связи с проблемой классификации алгебраических объектов, таких как алгебраические кривые, поверхности, многообразия, векторные расслоения и когерентные пучки. Актуальность изучения пространств модулей обусловлена приложениями в дифференциальной геометрии, топологии и теоретической физике.

Например, в калибровочной теории пространства инстантонов с зарядом п интерпретируются как подмножества многообразий модулей стабильных векторных расслоений Е ранга 2 на СР3 с классами Черна с\ = 0 и С2 — гь, удовлетворяющих условию Н1(£^(—2)) = 0. Проблема классификации неприводимых компонент пространств модулей пучков ранга два на 3-мериом проективном пространстве с произвольными классами Черна в настоящий время далека от завершения. Поэтому рассмотрение частных случаев является актуальным исследованием, которое может помочь в развитии средств для решения общей проблемы.

Маруяма [5] показал, что для стабильных векторных расслоений с фиксированным многочленом Гильберта над проективным алгебраическим многообразием существует грубое пространство модулей и оно алгебраично. Для поверхностей это было доказано Гизекером [15].

Геометрия пространств модулей МРз(2; сь п, 0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ — 0 или -1, С2 = п, Сз — 0 на трехмерном проективном пространстве Р3 к настоящему моменту изучена только для малых п. А именно при С\ — 0 полная

классификация всех компонент пространства Мрз(2; 0, п, 0) получена лишь для п = 1 Бартом [18] и Уивером [16] и для п = 2 Хартсхорном [19] и Ле Потье [17]. При С\ = —1 число п принимает только четные значения, и известно, что для любого четного п пространство модулей Мрз(2; ~1,п,0) непусто и содержит компоненту Мрз(—1,п), которая является замыканием открытого множества Мрз(—1,п) локально свободных пучков. Р.Хартсхорн и И.Сольс [9] показали, что пространство модулей Мрз(—1,2) стабильных локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с\ — —1, с^ = 2 на Р3 является неприводимым неособым рациональным многообразием размерности 11. Х.Мезегер, И.Сольс и С.А.Стрёмме [10] описали замыкание Мрз(—1,2) многообразия МРз(—1,2) в схеме Мрз(2; —1,2,0).

Цель работы

Целью диссертационной работы является классификация всех неприводимых компонент схемы модулей Мрв(2; —1,2,0).

Основные методы исследования

В работе используется техника универсальных семейств, конструкция Серра и техника СЗио1>схем для описания множеств стабильных пучков с классами Черна с\ = —1, С2 = 2 и сз = 0 на 1Р3.

Научная новизна

В работе впервые описаны все неприводимые компоненты схемы модулей стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна С\ = — 1, сг = 2 и сз = 0 на трехмерном проективном пространстве

Р3.

Теоретическая и практическая значимость

Настоящая работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения схем модулей полустабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на Р3.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К.Д.Ушинского в 2007, 2009 годах,

на всероссийских школ ах-конференциях по алгебраической геометрии и комплексному анализу в 2008 и 2009 годах, на конференции "Чтения Ушинского"(Ярославль, 2004, 2006, 2009, 2010), на международных конференциях "Колмогоровские Чтения - УДЧН"(Ярославль, 2007, 2010).

Публикации автора

Результаты диссертации опубликованы в четырех статьях, вышедших в журналах, рекомендованных ВАК РФ. Они указаны в списке литературы в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. В первой главе имеется 4 параграфа, первый из которых имеет два пункта, во второй главе - 4 параграфа: первый, третий и четвертый параграфы имеют 2 пункта. Список литературы состоит из 23 наименований. Общий объем диссертации - 86 страниц.

Краткое содержание работы

Основной результат диссертации. В работе рассматривается схема модулей Гизекера-Маруямы М = Мрз(2; —1,2,0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ — —1, с2 — 2, с3 — 0 на Р3. Через Мрз(—1,2) обозначается схема модулей локально свободных пучков ранга 2 с классами Черна с\ = —1, С2 = 2, сз — 0 на Р3. В схеме М выделяются следующие подмножества пучков с особенностями:

Жг = {[£] € М \ £уу/£ ~ кх, гдея - некоторая точка в Р3}, (1) Ж2 = {[£] € М | £ух//£ ~ крфЦ,, где х и у - различные точки в Р3}, (2)

и

Н3 = {[£] € М | £у7£ ^ От(1), где т - некоторая прямая в Р3}. (3)

Основной результат диссертации сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1. М является объединением четырех неприводимых компонент Мра(—1,2), Мь М2 и где Мрз( —1,2), Mi; М2 и М3 суть замыкания множеств Мрз(—1,2), Mi, М2 и Мз, размерности которых равны 15, 19 и 11 соответственно.

Глава 1. В этой главе рассматриваются все стабильные когерентные пучки без кручения ранга 2 с классами Черна С\ — — 1, с2 — 2, С3 = 0 на пространстве Р3, имеющие нульмерные особенности.

В пункте 1.1.1 вводятся необходимые обозначения. Даются определения множеств пучков Mi и М2. Формулируется следующая теорема - основной результат главы 1.

Теорема 2, 1). Замыкание Mi в М множества пучков Мь определенного в (1.1), является неприводимой 15-мерной компонентой в

М.

2). Замыкание М2 в М множества пучков М2, определенного в (1.2), является неприводимой 19-мерной компонентой в М.

3). Все пучки £ € М \ Мрз(—1,2) с нульмерными особенностями лежат в Mi U М2.

Перейдем к описанию основных этапов доказательства теоремы 2, проводимых в настоящей главе.

В пункте 1.1.2 рассматриваются пучки [£] € М, входящие в точные тройки:

О £ £vv AQH-0, (4)

где can : £ —► £w - канонический морфизм, а пучок Q — £vv/£ имеет размерность 0. Вычисление классов Черна пучков Q и £w дает равенства:

cj(£vv) — —1, c2(£w) = 2, c3(£w) = 2/(Q), 1 < l(Q) < 2, (5)

где 1{Q) - длина артинова пучка Q.

В параграфе 1.2 рассматриваются множество пучков Mi, определенное в (1.1), и подмножество Mir рефлексивных пучков в схеме модулей Мрз(2;—1,2,2). На f3 х Mir существует универсальное семейство F

стабильных рефлексивных пучков. По этому семейству строится семейство Е пучков из Мх с базой Р(К), где М1 - множество пучков, определенное в

ал).

Доказывается, что модулярный морфизм / : Р(Е) —> М, £ (->■ [Е|гхр3] является биекцией на свой образ, совпадающий с Мь Тем самым, М1 -локально замкнутое подмножество в М.

Предложение 2. Схема Р(Е) неприводима.

Из предложения 2 и предыдущих результатов следует неравенство сИтТ[£)М > Шш/(Р(Р)) = 15, где Т[£]М - касательное пространство в точке [£] к схеме модулей М. Далее, по конструкции схемы Р(Р) общие пучки £ семейства Е включаются в точные тройки:

0-4Ь(-1)-»£-+5111Ла-+0) (6)

где и ¿2 ~ скрещивающиеся прямые в Р3, а х £ 1\ и ¿2 ~ точка в 1Р3, составляют открытое подмножество в Мь

Предложение 3. Для пучков £ из точной тройки (1.13) выполняется неравенство ШшЕх11(£,£) < 15.

Предложение 3 вместе с равенством Т^М = Ех11(£, £), и предыдущим неравенством на размерность Т[£]М, означают, что замыкание М1 множества ЗУС1 в схеме М является неприводимой компонентой размерности 15. Это дает утверждение 1 теоремы 2.

В параграфе 1.3 рассматривается множество пучков М2, определенное в (1.2). Строится семейство Е пучков из Жъ с базой Р, которая определяется явно с помощью многообразия модулей Мгг рефлексивных пучков с классами Черна С\ = —1, = 2, С3 = 4 на Р3. Доказывается, что модулярный морфизм / : Р -4- М, определяемый семейством Е, является биекцией на свой образ, совпадающий с М2. Тем самым, - локально замкнутое подмножество в М.

Предложение 4. Схема Р неприводима. Тем самым, и М? = /(Р) неприводимо.

Предложение 4 и предыдущие результаты влекут неравенство сНтТ[£]М > сЦтМ2 = 19 для [£] € Мг- Далее, по конструкции семейства

Е общие пучки [£] € М2 включаются в точные тройки

О 0XlUX2{~l) £ Ос -> 0, (7)

где С - коника в Р3.

Предложение 5. Для пучков £ из точной тройки (1.46) выполняется неравенство dim EJxt1(£, £) < 19.

Предложение 5 и предыдущее неравенство на dim Т|£]М показывают, что У&2 является неприводимой компонентой размерности 19 в схеме М. Это составляет утверждение 2 теоремы 2.

В параграфе 1.4 доказывается, что все пучки £ € М с нульмерными особенностями лежат в Ж1 U Ж2. Для этого рассматривается множество пучков

Ж0 — {[£] € М | £w/£ - артинов пучок длины 2}.

Формулы (1) и (5) показывают, что множество пучков из М с нульмерными особенностями есть Mj U Mo. В этом параграфе строится семейство Е пучков из Но с неприводимой базой Т, которая определяется явно как открытое подмножество проективного расслоения со слоем Р21 над Quot-схемой Quot(20(—1)ф0(—2), 2). Доказывается, что модулярный морфизм / : Т —> М, определяемый семейством Е, является сюръекдией Т на Но-

Далее с использованием техники Quot-схем доказывается, что Т неприводимо и, тем самым, замыкание Мо в М множества Мо неприводимо. Поэтому включение Ж2 С Мо, вытекающее из определения этих множеств, и тот факт, что Ж2 - неприводимая компонента в М, дают следующее предложение.

Предложение 6. Жо С Мо = Ж%; тем самым, все пучки с нульмерными особенностями лежат в Mi UM2.

Это предложение составляет утверждение 3 теоремы 2.

Глава 2 содержит описание всех стабильных когерентных пучков без кручения ранга 2 с классами Черна Cj = — 1, Ci — 2, С3 — 0 на Р3, имеющих одномерные особенности. Рассматриваются следующие множества пучков в схеме модулей М:

М3 = {(£] € М | £уу/£ с- От(1), где т - некоторая прямая в 1Р3}; (8)

МА - {[£] € М | £ух//£ ~ 0, где пучок О включается тройку (2.3)}; (9)

(10)

где х - некоторая точка в Р3, а т - некоторая прямая в Р3; М5 = {[£] е М 1 ~ О, где 0 - пучок из точной тройки (2.5)}; (11)

0 О0 О От(-1) 0, (12)

где Оо - артинов пучок длины 2, а т - некоторая прямая в Р3. Основным результатом главы 2 является следующая теорема.

Теорема 3. 1). Замыкание Мз множества М3 в схеме модулей М есть неприводимая компонента в М.

2). Множество ЭУС4 лежит в Мх и не образует неприводимой компоненты в М, где М^ - множество пучков, определенное в (1.1).

3). Множество М5 лежит в и не образует неприводимой компоненты в М, где - множество пучков, определенное в (1.2).

Утверждения 1), 2) и 3) теоремы 3 доказываются в параграфах 2.2, 2.3 и 2.4 соответственно. Ниже приводится краткое описание основных этапов доказательства этой теоремы.

В пункте 2,1.1 вводятся необходимые обозначения. В пункте 2.1.2 рассматривается пучки [£] € М, включающиеся в точные тройки вида (1.3) такие, что сНт 2 — 1. По определению множество всех таких пучков, то есть пучков, имеющих одномерные особенности, есть объединение Мз и М4 и М5. Вычисление классов Черна пучков £для [£] в Мз и Н4 и Н5 дает равенства:

С1(£™) = -1, с2(£уу) = 1, с3(£^ = 1. (13)

Доказывается, что для пучков £ € Мз иЖ4 и М5 пучки 0 = £vv/£ из (1.3) включаются в точные тройки вида:

0 О0 -» Я От(п) -> 0, (14)

где Оо - некоторый нульмерный пучок. Определяются возможные значения п и вид пучка Оо. Как оказалось, возможны три случая:

1) г(Оо) = 0, п = 1; 2) 1(й0) = 1, п = 0; 3) 1{й0) = 2, п = -1.

Случаю 1) соответствует множество пучков Мз, случаю 2) - М4, случаю 3) - Мб- Таким образом, МзиМ4иМ& есть множество пучков с одномерными особенностями. Согласно предложению 6 пучки £ из М, с нульмерными особенностями, лежат в объединении !М1 и Ж^. Пучки без особенностей, то есть локально свободные пучки, описываются схемой Мрз(—1,2). Так как особенности пучков из М не более чем одномерны, то из предыдущих результатов вытекает следующее предложение.

Предложение 9. Схема модулей М есть объединение множеств Мрз(-1,2) и Мх и М2 и М3 и М4 и М5.

В параграфе 2.2 рассматривается множество пучков М3. Основным результатом параграфа является следующее предложение, влекущее утверждение 1 теоремы 3.

Предложение 10. 1). Множество Мз является 11-мерным неприводимым подмножеством в схеме модулей М. 2). Мз есть неприводимая компонента размерности 11 в М.

Для доказательства предложения 10 строится семейство пучков Е с 11-мерной базой П, которая определяется явно с помощью схемы модулей рефлексивных пучков с классами Черна ~ — 1, С2 = 1, сз = 1 на Р3. В параграфе 2.2 доказывается, что схема П неприводима и биективно отображается на Мз посредством модулярного морфизма /, определяемого семейством Е. Тем самым, множество Мз неприводимо и имеет размерность 11. Отсюда вытекает утверждение 1 предложения 10.

Предложение 11. Для пучков [£] € Мз выполняется равенство Т[£]М = Ех1^(£, £) = к11.

Из предложения 11 и равенства сНтМз — 11 вытекает, что Мз -неприводимая компонента размерности 11 в М, что дает утверждение 2 предложения 10.

В параграфе 2.3 рассматривается множество М4 пучков £, определенное

в (2.2). Основным результатом параграфа является следующее предложение.

Предложение 12. 1). Множество М4 лежит в М} как собственное подмножество. 2). Тем самим, М4 не является неприводимой компонентой в схеме модулей М.

Опишем схему доказательства предложения 12. В пункте 2.3.1 строится плоское семейство Е4 пучков из М с базой которая явно описывается с помощью С^шЛ-схем. Доказывается, что схема IV неприводима и ее образ при модулярном морфизме / : V/ —> М, определяемом семейством Е4, есть М4. Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 18. Замыкание М4 множества М4 в М неприводимо.

В пункте 2.3.2 доказывается, что множество пучков Ж4 лежит в неприводимой компоненте Мь Для этого строится неприводимая схема П, точками которой являются наборы (¿,у,т,х,<£ >), где £ и т - прямые в 1Р3, х и у - точки в Р3, а £ € Ех^(3{иу,3тиаг(—1)). Далее рассматривается в П открытое плотное подмножество П* = {со = (/, у, т, ж, < £ >) е | £ € Ех^(а/иу,ати;с(-1)) \ ¿(Нот(^иу,0т(-1) ф кх))}, где 6 - связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ех^групп, индуцированной точной тройкой 0 Зтих(-1) 0(-1) -)• 0т(—1) ф кх 0. На Р3 х определен пучок Е такой, что его ограничение = 2£(рзхи) для произвольной точки ш = т,х,< £ >) € £2* получается как расширение:

о -> ^(-1) Оюу о, (15)

задаваемое элементом £ € Ех11(^иу, 7тих(—1)) ч ¿(Нот^и^, От(—1) ф кх)). Тем самым, определен морфизм и : О,* М,и> [£„]. В Ж4 рассматривается в плотное подмножество пучков М4 = {[£] € М4 | ~ кх Ф 0т}, где т - прямая, а х £ т - точка. В этом пункте

доказывается, что морфизм V : П* сюръективен.

В пункте 2.3.3 рассматриваются точные тройки вида; 0 —Зтих(—1) Зйлп кд ф 0, где х £ т и Р2, а у = т П Р2. Для

фиксированных прямой I С Р2 и точки у € Р2 однозначно с точностью

до пропорциональности определена сюръекция у : Зщу —> кж Ф 1),

ядро которой есть пучок ^(—1). Тем самым, имеется коммутативная диаграмма:

0 0 (16)

1 I

—0юУ п > к^ ф а,,р2(-1) —- о

-^ £-Зтиг-- О

I I

-$ тих ( 1)

о о,

в которой £ - некоторый пучок ранга 2. Вертикальная средняя тройка в этой диаграмме совпадает с точной тройкой типа (2.29), то есть [£] Е М4. С другой стороны, центральная горизонтальная тройка:

О Зж(-1) ^ £ ^ дти1 0. (17)

показывает, что [£] € Далее строится неприводимое многообразие Т, точками которого являются наборы у, га, х, Р2, < г >), где г € Ех11(ка;ф 5у,рз(—1),Зтих{—!))• Для произвольной точки и = (1,у,т,х:¥2,< г > ) е Т элемент т определяет правую вертикальную тройку в (2.31), а сюръекция г? в (2.31) определяется тройкой (¿,у,Р2) согласно сказанному выше. Определено отображение ¡л : Т —> : т, ж, Р2, < г >) (¿,г/, < £ >), где £ - элемент группы 1)), задающий

центральную вертикальную тройку в диаграмме (2.31) как расширение. Далее доказывается, что морфизм ц, доминантен, и рассматривается прообраз Т* множества £"2* С £1 при отображении д. В силу доминантности /¿, плотности в П, неприводимости П и Т, подмножество Т* является открытым и плотным в Т. По построению морфизм : Т* —> Г2* доминантен. Отсюда в силу сюръективности и композиция р о р : Т* ^ ^ М4 также доминантна. По конструкции для произвольной точки

0 —

I

о—М-1)

и € Т* пучки [£] = {у о ¡л)(и) включаются в тройки вида (17) и принадлежат Мь Отсюда следует, что М4 С Мь Так как сНтМ4 = 13, а сИтМх = 15, то М4 не является компонентой в схеме модулей М. Это дает доказательство предложения 12.

В параграфе 2.4 доказывается, что множество пучков М5, определенное в (2.4), не является компонентой в схеме модулей М, откуда вытекает теорема 3. Основным результатом параграфа является следующее предложение.

Предложение 16. 1). М5 С Жг.

2). М5 не составляет компоненты в схеме М.

Опишем схему доказательства предложения 16. В пункте 2.4.1 доказывается, что множество М5 неприводимо. Строится плоское семейство Е пучков из М5, с неприводимой базой IV, которая явно определяется с помощью С^ио^схем. Доказывается, что образ схемы \¥ при модулярном морфизме /, определяемом семейством Е, есть М5. Далее доказывается, что схема IV неприводима. Отсюда вытекает следующее предложение.

Предложение 18. Множество М5 неприводимо.

В пункте 2.4,2 проводятся рассуждения параллельные рассуждениям в пункте 2.3.2 с заменой М1 на М2 и М4 на М5.

Сначала в этом пункте доказывается, что множество пучков М5 лежит в неприводимой компоненте М2. Для этого строится неприводимая схема П, точками которой являются наборы (/, < £ >), где I и т - прямые в

Р3, Х\ и XI - точки в Р3, а £ б Ех^(3/, 0тих1их2(—1)). Далее рассматривается в П открытое плотное подмножество ГГ := {о; = (1,гп,х\,Х2,< £ >) € ПК € Ех^Рь тих 1ОХ2 (-1)) \ ¿(Нотрь0т(-1) ф кХ1 © кХ2))}, где £ -связывающий гомоморфизм в точной последовательности Ех1>групп 0 Нот(3;, 0т(—1) Ф кХ1 Ф кХ2) Л Ех^Й,Эти:С1ш2(-1)) А Ех^рь 0(-1)) О, индуцированный точной тройкой 0 —> 0(—1) —

0т(—1) Ф кХ1 Ф кХ2 0. На Р3 х П* определяется пучок Е такой, что его ограничение = Е|рзхш на произвольную точку ш — (1,т,х1,х2, <

£ >) 6 £1* есть средний член расширения:

Ъ о, (18)

задаваемого элементом £ € 0тих1цх2(—1)) \ ¿(Нот(^, От(—1) ф

кц Ф кЖ2)). Тем самым, определен морфизм и : П* —► М,ш [£ш]. В Мб рассматривается открытое плотное множество пучков М5 := {[£] 6 | — От(—1) Ф кХ1 ф к^, х\ ф Х2}- Далее доказывается, что П

посредством морфизма и сюръективно отображается на

Затем в пункте 2.4.2 рассматривается Оц^-пучок 9 — кХ1 ФкЖ2ШОрз(—1) и произвольное нетривиальное расширение:

О X 9 о, (19)

где ти I - скрещивающиеся прямые в Р3, Х\ и х<1 - точки в Р3, не лежащие ни на т, ни на I, а Р2 - произвольная плоскость, проходящая через I и не содержащая точек £1 и хо. Для произвольного нетривиального расширения (2-63) пучок X - является пучком без кручения ранга 1 с с\ (X) — 0. Поэтому X - пучок идеалов 0 г некоторой подсхемы X в Р3. Очевидно, что Z — тит' - распавшаяся коника, где прямые тит' пересекаются в точке гп П Р2. Итак, имеется расширение 0 —$ Зтих1их2(_ 1) —> Зтит' —► 8 —► 0. Так как I С Р2 и Х2 £ Р2, то однозначно с точностью до пропорциональности определена сюръекция г}: З1 —► 3, ядро которой есть пучок Это

с предыдущим расширением дает коммутативную диаграмму:

0 0 (20) 0 — ^,(-1)--2--

0-"З^иягС —1)-"£-Отит'-"0

(-1)

о о,

в которой £ - некоторый пучок ранга 2, а средняя вертикальная тройка в этой диаграмме совпадает с точной тройкой (2.59). Центральная

горизонтальная тройка показывает, что £ € М2, поскольку ш1)т' - коника. Далее строится многообразие Т, точками которого являются наборы х 1, Х2,1Р2ут), где г € Ех^(3,?ших1их2(—!))• Для произвольного точки у — (1,т,Х1,Х2}'№>2,т) е Т элемент г определяет правую вертикальную тройку в (2.67), а сюръекция г) в (2.67) определяется парой (7,Р2), согласно сказанному выше. Тем самым, определен морфизм (1 : Т —» П} (^т,жьа;2,Р2,т) (1,гп,х 1,^2, < £ >), где £ - элемент группы Ех^р/,Зши^и^-1))) задающий центральную вертикальную тройку в диаграмме (2.67) как расширение.

Далее в этом пункте доказывается, что морфизм /г доминантен. Доказательство этого утверждения проводится с помощью вычисления Ех^ групп, соответствующих расширений, участвующих в диаграмме (20). Рассматривается множество Т* - прообраз множества О,* С £1 при морфизме ¡1, которое в силу неприводимости Т является открытым плотным подмножеством в Т. Тем самым, морфизм ^ : Т* —» О* доминантен. Поэтому в силу предложения 18 композиция г/ о д : Т* ^ Мд М5 также доминантна. Отсюда ввиду того, что пучок [£] в диаграммы (20) принадлежит М2, следует, что М5 С М2. Тем самым, верно утверждение 1 предложения 16. Так как сИтМб = 15, а сИтМ2 = 19, то М5 не является компонентой в М. Отсюда следует утверждение 2 предложения 16. Теперь из предложений 10, 12 и 16 вытекает теорема 3.

Из теорем 2 и 3 следует основной результат настоящей диссертации -теорема 1.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Заводчиков, Михаил Александрович, 2012 год

Список литературы

[1] Hartshorne R. Stable reflexive sheaves. Math. Ann. 254, 1980, 121-176.

[2] К. О конек, M. ШнеЙдер, X. Шпиндлер. Векторные расслоения на комлексных проективных пространствах. М. Мир, 1984.

[3] D. Huyberchts, М. Lehn. The Geometry of moduli spaces of sheaves. A Publication of the Max-Planck-Institut für Matematik, Bonn, 1997.

[4] Chang M.-C. Stable rank 2 reflexive sheaves on IP3 with small Cn and applications. Trans. Amer. Math. Soc. 284, 1984, no. 1, 57-89.

[5] Maruyama M. Moduli of stable sheaves II. J. Math. Kyoto Univ. 18, 1978, 557-614.

[6] Stromme S.-A. Ample Divisors on Fine Moduli Spaces on Projective Plane. Math. Z. 187, 1984, 405-423.

[7] G. Ellingstrud, M. Lehn. Irreducibility of Punctual Quotient Scheme of a Sufaces. arXiv:alg-geom/9704016, 1, 1997.

[8] P. Хартсхорн. Алгебраическая геометрия. Мир. Москва. 1981.

[9] Hartshorne R. Sols I. Stable rank 2 vector bundles on P3 with C\ — -l,c2 = 2 (English). // J. Reine Angew. Math. 325, 145-152 (1981).

[10] Meseguer J., Sols I., Stromme S. A. Compactification of a family of vector bundles on P3 (English). 18th Scand. Congr. Math., Proc., Aarhus 1980, Prog. Math. 11, 474-494 (1981).

[11] A. Grothendieck. EGA. Ch.III, Publ. Math I.H.E.S. 17, 1963.

[12] Д. Мамфорд. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. Мир. Москва. 1968.

[13] С. Banica, M. Putinar, G. Schumacher. Variation der globalen Ext in Deformationen kompakter komplexer Räume. Math. Ann. 250, 1980, 135-155.

[14] H. Lange. Universal families of extentions. Journal of algebra 83, 1983, 101-112.

[15] Gieseker D. On the moduli of vector bundles on an algebraic surface. -Ann. of Math., 1977, v. 106, p.45-60.

[16] Wever G.P. The moduli of a class of rank 2 vector bundles on projective 3-space. - Thesis, Univ. Calif. Berkley, 1977.

[17] J. Le Potier. Systèmes coherents et structures de nuveau. - Astérisque, 1993.

[18] W. Barth Some properties of stable rank 2 vector bundles on F71 - Mathematische Annalen v.226, pp. 125-150.

[19] Hartshorne R. Stable Vector Bundles of Rank 2 on Vs.- Mathematische Annalen v.238, pp. 229-280.

Публикации по теме диссертации.

[20] M. А. Заводчиков. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ = — 1, Со = 2, Сз — 0 на трехменом проективном пространстве.I Ярославский педагогический вестник. 2011, №3, том 3(естественные науки).

[21] М. А. Заводчиков. О некотором семействе когерентных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ = — 1, с2 = 2, сз — 0 на трехменом проективном пространстве.П Ярославский педагогический вестник. 2011, №4, том 3(естественные науки).

[22] М. А. Заводчиков. Компоненты схемы модулей стабильных пучков ранга 2 без кручения с классами Черна с\ — — 1, С2 = 2, сз = 0 на трехмерном проективном пространстве Ярославский педагогический вестник. 2012, №1, том 3(естественные науки).

[23] М. А. Заводчиков. Новые компоненты схемы модулей Мрз(2; —1,2,0) стабильных когерентных пучков ранга 2 без кручения на трехмерном проективном пространстве Р3 МАИС. 2012, №2, стр 5-17.