Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.08, кандидат физико-математических наук Доль, Александр Викторович

• Доль, Александр Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Доль, Александр Викторович

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

Цель работы

Положения, выносимые на защиту:

Научная новизна

Теоретическая и практическая ценность работы

Достоверность

Апробация работы

Публикации по теме диссертации

Структура диссертации

Глава 1 ОБЗОР

1.1. Сосудистая система человека

1.2. Обзор моделей и расчетных схем для описания

тока крови и механического поведения сосудов

Классические модели кровеносных сосудов

Модель для асимптотического анализа

Модель перистальтического сокращения стенки кровеносного сосуда

Модель на основе метода сосредоточенных параметров

Квазиодномерное приближение

Модель сужающихся сосудов

Электрическое моделирование системы кровообращения

Модель винтового движения крови в сосуде

Модель с учетом винтовой анизотропии стенки сосуда

Модель пульсового движения крови во время систолы с учетом винтовой

анизотропии

Глава 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГЕМОДИНАМИКИ КРУПНЫХ КРОВЕНОСНЫХ СОСУДОВ С УЧЕТОМ РАБОТЫ «ПЕРИФЕРИЧЕСКОГО СЕРДЦА»

2.1. Предпосылки моделирования

2.2. Постановка задачи и построение решения

Построение частных решений уравнений Навье-Стокса для каждой волновой

гармоники в случае однородной задачи

Вывод дисперсионного уравнения

Учет работы распределенного сердца. Построение частного решения неоднородной

задачи

Результаты моделирования и выводы

2.3. Одномерная математическая модель гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца

Постановка задачи

Построение частных периодических решений уравнения для объемного кровотока

Результаты моделирования и выводы

2.4. Новые варианты постановки задачи о движении крови в гибких цилиндрических сосудах

Трехмерная постановка

Одномерная постановка

Результаты и выводы

Глава 3 МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

3.1. Цели и объекты исследования

3.2. Оборудование и методы

3.3. Определение механических свойств сосудов

Глава 4 ЧИСЛЕННЫЕ РАСЧЕТЫ ДИНАМИКИ КРОВОТОКА

4.1. Моделирование методом конечных элементов

4.2. Расчеты в программном комплексе Mathcad

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Биомеханическое моделирование кровеносных сосудов с учетом мышечной активности стенок»

ВВЕДЕНИЕ

Проведенные исследования направлены на решение медицинской задачи, связанной с исследованием движения крови в крупных кровеносных сосудах человека.

Актуальность темы

По статистике, сердечно-сосудистые заболевания на сегодняшний день являются одной из основных причин инвалидности и смерти жителей большинства современных развитых стран [45], причем на долю смертности от заболеваний сердечно-сосудистой системы в общем приходится до 60% от общего числа умерших [39]. В России, как и в мире в целом, наблюдается похожая картина. На рисунке 1 приведена статистика смертности от различных заболеваний по данным Министерства здравоохранения и социального развития РФ [34].

Статистика смертности в РФ за 2010 год

60%

50% -

дистые ия

40% -

30% -

Несчастные случаи

Новообразования

20% -...............................

Болезни дыхательной

системы

10% ...................

Инфекционные

Болезни органов

Прочие причины

заболевания

пищеварения

0%

Рисунок 1. Смертность в России от различных заболеваний.

При этом с каждым годом заболеваниям сердечно-сосудистой системы подвергаются тысячи людей, а средний возраст пациентов неуклонно снижается

[7].

Нередко для восстановления кровообращения в пораженных сосудах помимо медикаментозного лечения проводятся реконструктивные операции, и часто невозможно объективно оценить, какой тип оперативного вмешательства будет оптимальным для конкретного пациента, а также насколько близок будет кровоток в сосуде к нормальному после операции.

Еще одной важной проблемой при прогнозировании результатов лечения является скорость расчетов: как правило, большинство современных математических моделей требуют численного решения, причем вычисления получаются затратными по времени и требуют довольно мощные компьютеры. При этом снижение времени расчетов путем упрощений может привести к неточности полученных результатов, что, безусловно, недопустимо.

В области математического моделирования гемодинамики в последние несколько лет все чаще поднимается вопрос о воздействии стенки сосуда на поток крови. Данная проблема была впервые исследована еще в начале XX века российским ученым академиком М.В. Яновским, который сформулировал гипотезу так называемого вторичного или периферического сердца: то есть предположение о том, что кровь помимо сердца ускоряется еще и за счет сокращения сосудистых стенок. На сегодняшний день это предположение подтверждено многими исследованиями [2, 35, 37], поэтому пренебрегать при моделировании кровообращения работой стенок нельзя.

Таким образом, необходимо построить математическую модель гемодинамики, которая бы достаточно полно описывала движение крови в кровеносных сосудах, учитывая взаимодействие жидкости со стенкой и влияние самой стенки на поток (работу вторичного сердца), являлась быстродействующей и легко адаптируемой под конкретного пациента.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка математической модели, удовлетворяющей описанным выше требованиям, а также ее верификация. Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Провести анализ существующих на данный момент

математических моделей гемодинамики.

2. Построить математическую модель течения крови в системе кровеносных сосудов произвольной конфигурации, которая бы учитывала работу вторичного сердца.

3. Провести механические эксперименты по растяжению стенок артерий с целью определения их механических характеристик.

4. Методом конечных элементов решить задачу о течении крови в плечевой артерии и основных ее ответвлениях.

5. Сравнить результаты расчетов по построенной модели с результатами, полученными методом конечных элементов.

Положения, выносимые на защиту:

1. Трехмерная математическая модель периодического течения крови в кровеносных сосудах, учитывающая мышечную активность стенок.

2. Новые варианты постановки задач о движении крови в кровеносных сосудах с упругими стенками.

3. Одномерная линейная математическая модель периодического течения крови в кровеносных сосудах, учитывающая мышечную активность стенок.

4. Исследование и анализ механических свойств плечевых артерий человека.

5. Оценка влияния мышечной активности стенок сосудов на кровоток методом конечных элементов.

6. Анализ и верификация полученных численных результатов путем сравнения одномерной модели с трехмерной.

Научная новизна

1. Разработана трехмерная линейная математическая модель динамики кровотока в сосудах с упругими стенками, учитывающая работу распределенного сердца.

2. Предложены новые варианты постановки задач о движении крови в кровеносных сосудах с упругими стенками.

3. Разработана одномерная линейная математическая модель, для которой получено аналитическое решение. Результаты, полученные с помощью данной модели, мало отличаются от результатов, полученных методом конечных элементов.

4. Исследованы механические характеристики плечевых артерий человека.

5. Поставлена и решена новая задача о движении крови в системе сосудов плеча, с учетом мышечной активности стенок.

Теоретическая и практическая ценность работы

Математические модели, описанные в диссертации, могут быть использованы для прогнозирования возможного поведения сосудов после хирургического вмешательства или при различных патологиях. Одномерная модель, кроме того, существенно сокращает время расчетов, при этом показывая результаты, близкие к результатам, полученным методом конечных элементов.

Достоверность

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгой математической постановкой задачи, а также хорошим соответствием численных результатов при использовании более точной пространственно трехмерной модели сосудистой системы (метод конечных элементов).

Апробация работы

Основные положения диссертации представлялись на X Всероссийской конференции «Биомеханика 2010» (Саратов, 2010); Всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине -2011» (Саратов, 2011); X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 2011); Всероссийской

научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012» (Саратов, 2012).

Работа также докладывалась на научных семинарах и конференциях кафедры математической теории упругости и биомеханики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского, в том числе на конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Саратов, 2012).

Публикации по теме диссертации

Основные аспекты диссертационной работы отражены в 9-ти печатных работах [12, 17 - 18]. В том числе 3 статьи [15, 17, 19] опубликованы в изданиях, входящих в перечень рецензируемых научных журналов ВАК.

Структура диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованной литературы.

Первая глава содержит краткое описание сердечно-сосудистой системы человека, ее основных составляющих (артерий, вен, капилляров) и их особенностей, а также обзор основных на сегодняшний день математических моделей и расчетных схем кровотока.

Глава вторая посвящена математическому моделированию. Здесь приведена математическая постановка задачи о движении крови в артериях, записана основная система уравнений течения вязкой несжимаемой жидкости в сосудах с упругими сокращающимися стенками (то есть с учетом работы вторичного сердца). Построены базовые частные решения для продольной и радиальной компонент скорости. Кроме того, данная глава содержит постановку задачи в одномерном случае, приведена основная одномерная система уравнений динамики кровотока в случае учета работы распределенного сердца, построено аналитическое решение данной системы для системы разветвляющихся сосудов.

В третьей главе содержится описание существующих на сегодняшний день методик по определению механических свойств биологических тканей, а также описан эксперимент по определению упругих констант стенок плечевых артерий человека и приведены результаты исследований.

Четвертая глава содержит описание численного моделирования в конечно-элементном программном пакете АшуБ плечевой артерии с основными ее ответвлениями. Здесь также проведено сравнение результатов конечно-элементного расчета с результатами, полученными с помощью разработанной математической модели.

В разделе «Заключение» приведены основные результаты и выводы, сделанные на их основе.

Заключение диссертации по теме «Биомеханика», Доль, Александр Викторович

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена трехмерная математическая модель периодического течения крови. Данная модель применима к сосудистому руслу произвольной конфигурации. Построенная модель допускает численное решение.

2. Построена одномерная математическая модель периодического течения крови в сосудистом русле произвольной конфигурации. Модель допускает аналитическое решение, что позволяет быстро получать необходимые результаты.

3. Методом конечных элементов решена задача о течении крови в системе сосудов плеча (трехмерная постановка). Модель учитывала реактивное перемещение стенок.

4. Показано, что за счет периодического реактивного смещения стенок по определенному закону объемный кровоток на выходе из сосуда возрастает. Величина, на которую увеличивается кровоток, напрямую зависит от подбора коэффициента мышечной активности.

5. Проведено сравнение результатов, полученных при конечно-элементном моделировании сосудистой системы плеча, и вычисленных с помощью одномерной модели. Показано, что одномерная модель позволяет с высокой степенью точности оценивать объемные кровотоки в сосудах, причем время расчетов при ее использовании значительно ниже, чем при моделировании методом конечных элементов.

6. Предложенные в диссертации математические модели могут быть использованы для исследований участков сосудистого русла конкретного пациента. Кроме того, на основе построенной одномерной модели может быть создано специализированное программное обеспечение, позволяющее быстро (практически в режиме реального времени) рассчитывать объемные кровотоки в системе сосудов произвольной конфигурации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Доль, Александр Викторович, 2013 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Абакумов, М.В. Методика математического моделирования сердечнососудистой системы / М.В. Абакумов, И.В. Ашметков, Н.Б. Есикова, В.Б. Кошелев, С.И Мухин., Н.В. Соснин, В.Ф. Тишкин, А.П. Фаворский, А.Б. Хруленко // Математическое моделирование. М., 2000. - Т. 12. № 2. С. 106117.

2. Аринчин, Н.И. Периферические «сердца» человека / Н.И. Аринчин. - М.: Изд-во Наука и техника. Издание 2, 1988. - 62 с.

3. Багаев, С.Н. Законы ветвления кровеносных сосудов / С.Н. Багаев, В.Н. Захаров, В.А. Орлов //Российский журнал биомеханики. 2002.Т. 6. № 4. С. 13-29.

4. Бархатов, Е.Ю. О двигательной функции артериальной стенки, потенциирующей внешнюю работу сердца / Е.Ю. Бархатов, В.Т. Долгих // Материалы научно-практической конференции «Патогенез, клиника и терапия экстремальных и терминальных состояний». - Омск: Изд. Омской гос. мед. академии, 1998. - 130 с.

5. Богаченко, С.Е. Модель винтового движения крови в артериальных кровеносных сосудах / С.Е. Богаченко, Ю.А. Устинов //Современные проблемы механики сплошной среды. 2007. Т. 2. С. 73-78.

6. Богаченко, С.Е. Модель движения крови в артериальном сосуде во время систолы и анализ напряженного состояния стенки с учетом винтовой анизотропии / С.Е. Богаченко, Ю.А. Устинов // Российский журнал биомеханики. 2009. Т. 13. № 1. С. 29-42.

7. Бокерия, Л. А Здоровье населения Российской Федерации и хирургическое лечение болезней сердца и сосудов в 1998 году/ Л.А Бокерия, Р.Г. Гудкова. М.: Изд-во НЦССХ им. А.Н. Бакулева РАМН, 1999. 57 с.

8. Википедия [Электронный ресурс] Режим доступа: www.wikipedia.org.

9. Вильде, M.B. Низкочастотные осесимметричные волны в кровеносных сосудах постоянного сечения: асимптотический подход / М.В. Вильде, Ю.П. Гуляев//Известия АН. 2009. МТТ. №4. С. 136-151.

Ю.Вольмир, A.C. Проблемы динамики оболочек кровеносных сосудов / A.C. Вольмир, М.С. Герштейн // Механика полимеров. 1970. № 2. С. 373-379.

П.Гуляев, Ю.П. Математические модели биомеханики в медицине / Ю.П. Гуляев, Л.Ю. Коссович Саратов: Изд. Саратовского университета, 2001.

12.Гуляев, Ю.П. Моделирование гемодинамики крупных кровеносных сосудов с учетом взаимодействия потока крови со стенкой / Ю.П. Гуляев, A.B. Доль // III сессия Научного совета РАН по механике деформируемого твердого тела: Тез. докл. Всерос. конф. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2009. С. 13.

13.Доль, A.B. Интегрирование замкнутой системы динамики кровотока методом разделения переменных / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине: Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2011. С.13-15.

14.Доль, A.B. Интегрирование основной системы уравнений динамики кровотока методом разделения переменных / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Математика. Механика: Сб. науч. Трудов. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2011. С. 140-143.

15.Доль, A.B. Математические модели гемодинамики кровотока с учетом работы распределенного сердца / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 2011. С. 423-425.

16.Доль, A.B. Моделирование течения крови в крупных кровеносных сосудах с учетом взаимодействия потока со стенкой / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине: Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара.. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2009. С.69-72.

17.Доль, A.B. Одномерная система уравнений динамики кровотока в крупных кровеносных сосудах/ A.B. Доль // Научно-технический вестник Поволжья. - Казань: Научно-технический вестник Поволжья. 2012. №2. С. 27-30.

18.Доль, A.B. Одномерное движение вязкой несжимаемой жидкости / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев// X Всероссийская конференция «Биомеханика 2010»: Тез. докл. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2010. - С. 69.

19.Доль, A.B. Трехмерная математическая модель гемодинамики с учетом работы распределенного сердца / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Известия саратовского университета. Серия математика. Механика. Информатика. -Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2012. - Т. 12. - Вып. 3. - С. 6266.

20.Доль, A.B. Учет работы распределенного сердца в трехмерной модели гемодинамики / A.B. Доль, Ю.П. Гуляев // Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2012: Материалы ежегодной Всероссийской научной школы-семинара. - Саратов: Изд-во Саратовского университета, 2012. С.44-47.

21.Елшин, М. А. Основные уравнения одномерной теории динамики кровотока в системах крупных артерий. /М.А. Елшин // Международная научно-техническая конференция «Вычислительная механика деформируемого твердого тела». М.: МИИТ, 2006. Т. 1. 152с.

22.Иванов, Д. В.Численное исследование движения крови в стенозированных артериях / Д.В. Иванов, С.А. Алексейчук //Сборник научных трудов. Математика. Механика. 2006. Выпуск 8. С. 183-187.

23.Каменский, А. В. Математическое моделирование поведения бифуркации сонной артерии человека на различных стадиях атеросклеротического поражения и после операционного вмешательства: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.02.08/ Каменский Алексей Владимирович. - Саратов, 2007. 28 с.

24. Каменский, А. В. Моделирование кровотока в сонной артерии с податливыми стенками методом конечного элемента / A.B. Каменский, Сальковский Ю.Е. // Математическое Моделирование и Краевые Задачи:

Труды Всероссийской Научной Конференции. Самара, 2004. Т. 1. С. 103106.

25.Каменский, А. В. Практическое применение конечно-элементного пакета ANSYS к задачам биомеханики кровеносных сосудов./ / А.В. Каменский, Сальковский Ю.Е. - Саратов: Изд. Саратовского университета, 2005. 100 с.

26.Кендалл, С.Х. FSI-технологии ANSYS в медицине / С.Х. Кендалл // ANSYS Advantage. 2008. №7. С. 34-35.

27.Кириллова, И. В. Биомеханика бифуркаций сонных артерий / И. В. Кириллова, К. М. Морозов, А. В. Каменский // Регионарное кровообращение и микроциркуляция. СПб., 2007. - Т. 1. №21. С. 156.

28.Кисляков, Ю. Я. Статические свойства пассивных сосудов артериального типа / Ю.Я. Кисляков//Биофизика. 1971. Т. 16. №6. С. 1093-1099.

29.Ландау, Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1988. 736 с.

30.Лехницкий, С. Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий -М.: Наука, 1977. 416 с.

31.Лищук, В.А. Математическая модель сосуда в частных производных / В.А. Лищук, Г.Г. Амосов, Г.Г. Амосов (мл.), С.В. Фролов // Клиническая физиология кровообращения. - 2006. -Ч. 1. № 1. - С. 1-10.

32.Маковеев, С.Н. Модель сердечно-сосудистой системы / С.Н. Маковеев // Труды ТГТУ. Тамбов, 2007. Выпуск №20 С. 137

33.Математическое моделирование поведения артерий: Учеб. пособие для студ. фак.мнано- и биомедицинских технологий, обучающихся по спец. 014000 «Медицинская физика» и направлению «Биомедицинская технология»/ Л.Ю. Коссович, И.В. Кириллова, Ю.П. Гуляев, Е.Л. Коссович, Д.В. Иванов, А.В. Каменский, Ю.Е. Сальковский, А.С. Десятова, Н.В. Островский, В.О. Поляев, К.М. Морозов. Саратов: изд-во Саратовского университета, 2007. - 120 с.

34.Медико-демографические показатели Российской федерации 2010 год: статистические материалы. - М.: Центральный научно-исследовательский

институт организации и информатизации здравоохранения росздрава, 2011. 175 с.

35.Обрезан, А.Г. Теория «периферического сердца» профессора М. В. Яновского: классические и современные представления / А.Г. Обрезан, Т.Н. Шункевич // Вестник санкт-петербургского университета. СПб., 2008. Сер. 11. №3. С. 14-23.

Зб.Островский, Н.В. Новые технологии гемодинамики артериального русла на примере общей сонной артерии / Н.В. Островский, А.В. Каменский, Ю.Е. Сальковский, В.О. Поляев // Актуальные вопросы хирургии и клинической анатомии: Сб. науч. трудов X науч.-практ. конференции в рамках Международной выставки «Медицина и здоровье-2004». Пермь, 2004. С. 162.

37.Павловский, В.А. Математическое моделирование работы сердечнососудистой системы: учебное пособие /В.А. Павловский. С-Пб.: СПБГУ, 2007.- 119 с.

38.Педли, Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов /Т. Педли. - М: Мир, 1983. 400 с.

39.Покровский, А.В. Что могут сегодня сосудистые хирурги. 50 лекций по хирургии /А.В. Покровский. - М.: Media-Medica, 2003.

40.Пуриня, Б.Я. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека / Б.Я. Пуриня, В.А. Касьянов. - Рига: Зинатне, 1980. 260 с.

41.Сегерлинд, JI. Применение метода конечных элементов / JI. Сегерлинд. -М.: Мир, 1979. 392 с.

42.Синельников, Р.Д. Атлас анатомии человека / Р.Д. Синельников, Я.Р. Синельников. -2-е издание. - М: Медицина, 1996. - Т. 3. - 138 с.

43.Синельников, Р.Д. Атлас анатомии человека / Р.Д. Синельников. М.: Медицина, 1973. Т. 2. С. 273-301.

44.Устинов, Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах /Ю.А. Устинов. // Доклады академии наук. М., 2004 Т. 398. № 3. С. 1-5.

45. Харченко, В.И. Смертность от болезней системы кровообращения в России и экономически развитых странах / В.И. Харченко, Е.П. Какорина, М.В. Корякин, М.М. Вирин, В.М. Ундрицов, H.JI. Смирнова, П.И. Онищенко, Б.Г. Потиевский, Р.Ю. Михайлова // Российский кардиологический журнал.-2005.-№ 2.

46.Цатурян, А.К. Об электрическом моделировании системы кровообращения / А.К. Цатурян // Механика полимеров. - Рига: Зинатне, 1975. - № 4. С. 761765.

47. Чуйко, А.Н. Компьютерная томография и биомеханическое сопровождение при черепно-мозговой травме [Электронный ресурс] / А.Н. Чуйко. Режим доступа: http://biomechanics.pro, свободный.

48.Avolio, A. Aging and wave reflection / A. Avilo // Journal of Hypertension. 1992.-V. 10. P. 83-86.

49.Bassingthwaighte, J.B., Fractal Physiology / J.B. Bassingthwaighte, L.S. Liebovitch, B. J. West // The American Physiological Society Methods in Physiology Series. - New York: Oxford University Press, 1994. - P. 236-262.

50.Bathe, K.-J. Finite element procedures / K.-J. Bathe. Englewood Cliffs: N.J.:Prentice Hall, 1996. 1037 p.

51.Bergel, D.H. The Static Properties of the Arterial Wall / D.H. Bergel // Journal of Physiology. 1961. - V. 156. - P. 445-457.

52.Berger, S.A. Flows in Stenotic Vessels /S.A. Berger, L.D. Jou // Annu Rev Fluid Mechanics. 2000. - V. 32. - P. 347-384.

53.Brant A.M., Biomechanics of the Arterial Wall Under Simulated Conditions / A.M. Brant, S.S. Shah, V.G. J. Rogers, J. Hohhmeister, L.M. Herman, R.L. Kormos, H.S. Borovetz // Journal of Biomechanics. 1988. - V. 21. - P. 107 - 113.

54.Burton, A.C. Physical principles of circulatory phenomena: the physical equilibria of the heart and blood vessels / A.C. Burton // Handbook of Physiology. Circulation. American Physiological Society, 1968. S. 2. V. 1. P. 85-106.

55.Burton, A.C. The relation of structure to function of the tissues of the wall of blood vessels / A.C. Burton// Physiological Reviews. 1954. - V. 34. - N 4. - P. 619-642.

56.Carew, T. E. Compressibility and Constitutive Equation for Arterial Wall / T.E. Carew, R.N. Vaishnav, D.J. Pater // Circulation Research. 1968. - V. 23. - P. 6168.

57.Caro, C.G. The Mechanics of the Circulation / C.G. Caro, T. J. Pedley, R.C. Schroter, W.A. Seed. - Oxford: Oxford University Press, 1978. 550 p.

58. Chen, J. Numerical Investigation of the non-Newtonian Pulsatile Blood Flow in a Bifurcation Model With a Non-Planar Branch / J. Chen, X.-Y. Lu // Journal of Biomechanics. 2006. V. 39. P. 818-832.

59.Chorin, A. J. A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. - 3rd ed. /A.J. Chorin, J. E.Marsden. New York: Springer, 1998. 169 p.

60.Chun, Y. In vivo MRI-based 3D FSI RV/LV models for human right ventricle and patch design for potential computer-aided surgery optimization / Y. Chun, D. Tang, I. Haber, T. Geva, P. J. del Nido // Computers and Structures. 2007. P. 988-997.

öl.Chuong, C.J. Three-Dimensional Stress Distribution in Arteries / C.J. Chuong, Y.C. Fung // Journal of Biomechanical Engineering. 1983. - V. 105. P. 268 -274.

62.Delfino, A. Analysis of stress field in a model of the human carotid bifurcation: PhD thesis / A. Delfino. Lausanne, 1996.

63.Demiray, H.A Stress-Strain Relation for a Rat Abdominal Aorta / H.A Demiray, H.W. Weizsäcker, K. Pascale, H.A. Erbay // Journal of Biomechanics. 1988. - V. 21.-P. 369-374.

64.Deng, S. X. New Experiments on Shear Modulus of Elasticity of arteries / S.X. Deng, J. Tomioka, J.C. Debes, Y.C. Fung // American Journal of Physiology. 1994. V. 266. P. H1-H10.

65.Feinberg, A.W. Studies of the arterial pulse wave. / A.W. Feinberg, H. Lax // Circulation. 1958.-V. 18.-P. 1125-1130.

66.Fung, Y.C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissue /Y.C. Fung. -New York: Springer-Verlag, 1993. 592 p.

67.Fung, Y.C. Pseudoelasticity of Arteries and the Choice of Its Mathematical Expression / Y.C. Fung, , K. Fronek, P. Patitucci // American Journal of Physiology. 1979. V. 237. P. H620-H631.

68.Guyton, A.C. Textbook of Medical Physiology/ A.C. Guyton. 9th. ed. Philadelphia: W. B. Saunders Company, 1996. 1116 p.

69.Hildenbrandt, J. Extension of small-strain theory to finite deformation of cylindrical vessels by internal overpressure / J. Hildenbrandt // Angiologica. 1970. V. 7.-N. 5. P. 257-272.

70.Holzapfel, G. A. A New Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models / G.A. Holzapfel, T.C. Gasser, R.W. Ogden// Journal of Elasticity. 2000. V. 61. P. 1-48.

71.Holzapfel, G. A. Comparison of a Multi-Layer Structural Model for Arterial Walls With a Fung-Type Model, and Issues of Material Stability / G.A. Holzapfel, Ogden R.W // Journal of Biomechanical Engineering. Transactions of ASME. 2004. V. 126. P. 264-275.

72.Humphrey, J.D. Determination of a Constitutive Relation for Passive Myocardium / J.D. Humphrey, R.K. Strumpf, F.C.P. Yin // Journal of Biomechanical Engineering. 1990. V. 112. P. 333-346.

73.Humphrey, J.D. Mechanics of Arterial Wall: Review and Directions / J.D. Humphrey // Critical Review in Biomedical Engineering. 1995. - V. 23. - P. 1162.

/

74.Jones, R.M. Mechanics of Composite Materials /R.M. Jones. - USA: Taylor & Francis, 1999. 519p.

75.Kannel, W.B. Systolic blood pressure, arterial rigidity, and risk of stroke / W.B. Kanne 1, P.A. Wolf, D.L. McGee, T.R. Dawber, P. McNamara, W.P. Castelli // Journal of the American Medical Association. 1981. - V. 245. - P. 1225-1229.

76.Kassab, G.S. Morphometry of Pig Coronary Arterial Trees / G.S. Kassab, C.A. Rider, N.J. Tang, Y.C. Fung // American Journal of Physiology. 1993. - V. 265. -P. 350-365.

77.Kasyanov, V.A. Deformation of Blood Vessels Upon Stretching, Internal Pressure, and Torsion / V.A. Kasyanov, A.I. Rachev // Mechanics of Composite Materials. 1980. V. 16. P. 76-80.

78.Kuchar, N.R. Biomedical Fluid Mechanics Symposium / N.R. Kuchar, Ostrach // Flow in the Entrance Regions of Circular Elastic Tubes. New York, 1966.

79.Lax, H. The normal pulse wave and its modification in the presence of human atherosclerosis / H. Lax, A. Feinberg, B.M. Cohen // Journal of Chronic Diseases.

1956. -V. 3. -P. 618-631.

80.Lighthill, J. Matematical Biofluiddynamics / J. Lighthill. - Philadelphia: SIAM, 1975. 287 p.

81.McDonald, D.A. Blood flow in arteries / D.A. McDonald. - 2nd. ed. London: Arnold, 1974.

82.Melvin, J.W. Mechanical characteristics of soft tissues at high strain rates / J.W. Melvin, D. Mohan, A.S. Wineman // Biomechanics Symposium. New York, 1975. V. 10. P. 75-78.

83.Kocica, M.J. The helical ventricular myocardial band: global, three-dimensional, functional architecture of the ventricular myocardium / M.J. Kocica, A. F. Corno, F. Carreras-Costa, M. Ballester-Rodes, M.C. Moghbel, C.N.C. Cueva, V. Lackovic, V.l. Kanjuh, F. Torrent-Guasp // European Journal of Cardio-Thoracic Surgery. 2006. Vol. 29. P. 21-40

84.Nichols, W.W. McDonald's Blood Flow in Arteries / W.W. Nichols, M.F. O'Rourke // Chapter 4. London: Arnold, 1998. P. 73-97.

85.Oka, S. Physical theory of tension in thick walled blood vessels in equilibrium /

S. Oka, T. Azuma//Biorheology. 1970. V. 7. N2. P. 109-117. 86.01ufsen, M. Modeling the arterial system with reference to an anesthesia simulator: PhD thesis/ Mette Olufsen. - Denmark, Roskilde: IMFUFA, Roskilde University, 1998.

87.Olufsen, M. Structured tree outflow condition for blood flow in larger systemic arteries / M. Olufsen // American Journal of Physiology. 1999. V. 276. - P. 257268.

88.Parker, K.H. Forward and Backward Running Waves in the Arteries: Analysis Using the Method of Characteristics / K.H. Parker, C.J.H. Jones // ASME Journal of Biomechanical Engineering. 1992. V. 114. P. 10-14.

89.Patel, D.J. Basic Hemodynamics and its Role on Disease Processes / D.J. Patel, R.N. Vaishnav. - Baltimore: University Park Press, 1980. 504 p.

90.Pedersen, E.M. Twodimensional velocity measurements in a pulsatile flow model of the abdominal aorta simulating different hemodynamic conditions / E.M. Pedersen, H.-W. Sung, A.C. Burlson, A.P. Yoganathan // Journal of Biomechanics. 1993 V. 26.-P.1237-1247.

91.Pedley, T.J. Mathematical Modeling of Arterial Fluid Dynamics / T.J. Pedley // Journal of Engineering Mathematics. 2003. V. 47. P. 419-444.

92.Peskin, C.S. Partial Differential Equations in Biology / C.S. Peskin. New York: Courant Institute of Mathematical Sciences, 1976.

93.Rhodin, J.A.G. Architecture of the Vessel Wall / J.A.G. Rhodin, H.V. Sparks, D.F. Bohr Jr., A.D. Somlyo,S.R. Geiger//Handbook of Physiology, the Cardiovascular System. Bethesda, Maryland: Americal Physiological Society, 1980. P. 1-31.

94.Roach, M.R. The Reason for the Shape of the Distensibility curve of arteries / M.R. Roach, Burton A.C.// Canadian Journal of Biochemistry and Physiology. 1957. V. 35. P. 681-690.

95.Rutten, M. Fluid-Solid Interaction in Large Arteries / M. Rutten. Netherlands: Eindhoven University of Technology, 1998.

96. Simon, B.R. Réévaluation of arterial constitutive relations. A finite-deformation approach / B.R. Simon, A.S. Koboyashi, D.E. Strandness, C.A. Wiederhielm // Circulation Research. 1972. V. 30. N4. P. 491-500.

97. Spencer, A.J.M. Deformations of Fibre-reinforced Materials / A.J.M. Spencer. -Oxford: Clarendon Press, 1972. 128 p.

98. Streeter, V.L. Pulsatile pressure and flow through distensible vessels / V.L. Streeter, W.F. Keitzer, D.F. Bohr//Circulation Research. 1963. V. 13. N1. P. 3-20.

99. Sun, W. Finite Element Implementation joï a J Generalized Fung- Elastic Constitutive Model for Planar Soft Tissues / W. Sun, M.S. Sacks // Biomechanics and Modeling in Mechanobiology. 2005. V. 4. P. 190-199.

100. Sussman, T. A Finite-Element Formulation for Nonlinear Incompressible Elastic and Inelastic Analysis / T. Sussman, KJ. Bathe // Computers & Structures. 1987. V. 26. (1-2). P. 357-409.

101. Takamizawa, K. Strain Energy Density Function and Uniform Strain Hypothesis for Arterial Mechanics / K. Takamizawa, K. Hayashi // Journal of Biomechanics. 1987. V. 20. P. 7-17.

102. Tambasco, M. Path-Dependent Hemodynamics of the Stenosed Carotid Bifurcation / M. Tambasco, D.A. Steinman // Annals of Biomedical Engineering. 2003. V. 31. P. 1054-1065.

103. Taylor, L.A. Pressure-radius relationsips for elastic tubes and their application to arteries. Part 1. Theoretical relationships / L.A. Taylor, J.H. Gerrard // Medical & Biological Engineering & Computing. 1977. V. 15. № 1. P. 11-17.

104. Vaishnav, R.N. Distribution of Stresses and of Strain-Energy Density Through the Wall Thickness in a Canine Aortic Segment / R.N. Vaishnav, J.T. Young, D.J. Patel // Circulation Research. 1973. V. 32. P. 577-583.

105. Voltairas, P.A. Anharmonic Analysis of Arterial Blood Pressure and Flow Pulses / P.A. Voltairas, D.I. Fotiadis, C.V. Massalas, L.K. Michalis // Journal of Biomechanics. Elsevier, 2005. V. 38. P. 1423-1431.

106. Waters, S.L. Solute Uptake Through The Walls of a Pulsating Channel / S.L. Waters//Journal of Fluid Mechanics. 2001. V. 433. P. 193-208.

107. Wiederhielm, C.A. Structural response of relaxed and constriced arterioles subjected to static pressure / C.A. Wiederhielm, A.S. Koboyashi, L.Y. Woo, D.D. Stormberg//Journal of Biomechanics. 1968. V. 1. №4. P. 259-270.