Биаксиально-флаговые и биаффинно-флаговые пространства тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Ромакина, Людмила Николаевна

• Ромакина, Людмила Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ромакина, Людмила Николаевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава I. Квазисферы и квадрики равных наклонов в

биаксиально-флаговых пространствах. § 1. Биаксиально-флаговые пространства эллиптического и

гиперболического типов

§2. Квазисферы

§ 3. Квадрики равных наклонов

Глава II. Теория кривых и поверхностей биаффинно-флаговых и

биаксиально-флаговых пространств. § 1. Кривые в биаффинно-флаговом пространстве

гиперболического типа

§ 2. Кривые в биаксиально-флаговых пространствах

§ 3. Поверхности в биаксиально-флаговых пространствах

Глава III. Линейчатая геометрия биаксиально-флаговых пространств.

§ 1. Регулюсы в биаксиально-флаговых пространствах

§ 2. Конгруэнции биаксиально-флаговых пространств

§ 3. Комплексы прямых в биаксиально-флаговых

пространствах

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Биаксиально-флаговые и биаффинно-флаговые пространства»

ВВЕДЕНИЕ

1. Актуальность темы

Открытие Н.И.Лобачевским [32, 33] неевклидовой геометрии и Б.Риманом [37] эллиптического многомерного пространства положило начало изучению пространств с проективной метрикой. В 1872 году Ф.Клейн [26] сформулировал новую точку зрения на геометрию, как совокупность инвариантов групп преобразований и, опираясь на исследования А.Кэли [31], дал общую схему построения проективных метрик [27]. В 1910 году Д.М.Ю.Соммервиль строит полную классификацию проективных метрик [42]. В зависимости от различных вариантов метрик на прямой и в пучках плоскостей всех размерностей, каждая из которых может быть эллиптической, гиперболической и параболической, Соммервиль получает в п -мерном пространстве 3" метрик.

Развитие учения о пространствах с проективной метрикой в последующие года имело частный характер. В 1911 году Бляшке [6] рассмотрел частный случай пространств с проективной метрикой -трехмерное квазиэллиптическое пространство, в 1913 и 1915 годах Г.Бек [4] и Ф.Бем [5] изучали двумерную флаговую плоскость. В 1925-1927 годах появились работы Л.Зильберштейна [17], С.Гласса [10] и А.П.Котельникова [30], посвященные галилееву пространству, при помощи которого строится геометрическая интерпретация пространства-времени классической механики Галилея-Ньютона, а в 1941-1949 годах - работы Штрубеккера [50], посвященные вопросам дифференциальной геометрии трехмерного изотропного пространства.

Учение о пространствах с проективной метрикой получило широкое развитие в работах Б.А.Розенфельда [38], [39], [40] и других

геометров [21], изучавших пространства с "общей" проективной метрикой, абсолюты которых получаются из абсолютов классических неевклидовых пространств с помощью многократных предельных переходов. Получило также развитие изучение пространств над различными алгебрами [9], [40] и полями [3].

Как обобщение пространств с "общей" проективной метрикой Г.В.Киотиной [21] вводятся пространства с "обобщенной" проективной метрикой. Это проективные п -пространства, в каждом пучке т -плоскостей которых определено эллиптическое, гиперболическое или параболическое измерение углов между т -плоскостями одного вида при данном т, при т = 0 - расстояний между точками. Среди этих пространств рассматриваются и такие, подвижность которых ниже подвижности классических неевклидовых пространств, им посвящены работы [13], [14-16], [34], [41], [21-25].

Пространствами с "обобщенной" проективной метрикой и подвижностью на единицу ниже подвижности классических неевклидовых пространств являются биаксиально-флаговые Б!, Б: и биафин-но-флаговые Бэл, Бг4 пространства эллиптического и гиперболического типов.

Эти пространства возникают в связи с вещественной реализацией двойной бифлаговой [20] плоскости. Связные группы вращений пространств Б], Б\ изоморфны соответственно группам матриц

следующего вида

С

ах ьх

а2 -к

V

0 0

0 0

а

аг

К

а

г.

в'

з У

Ъх а2

0 0

ах Ь2

а.

а,

0 0 6,

а

ЗУ

которые получены из группы матриц, изоморфной группе движений бифлаговой плоскости при ее рассмотрении над алгебрами ком-

плексных и двойных чисел. При подходящем выборе координатного репера группы С\ (У являются группами движений пространств Б;, , соответственно при условиях а: ±Ь: = 1.

Относительно группы Стэ (Сг) в пространстве Б^ (Б:) инвариантен абсолют, состоящий из абсолюта биаксиального пространства эллиптического (гиперболического) типа с выделенной прямой абсолютной конгруэнции. Таким образом, абсолют пространства 2>3Э (Б;) состоит из пары мнимых (действительных) точек Р0!, пары мнимых (действительных) прямых I]' и пары мнимых (действительных) плоскостей Р;, г = 1,2, причем Р0г е Р', Р? и Р02 = Р\, Р* II ^ = Р1 • Би" аксиальные пространства изучены в работах А.П.Нордена [35, 36], А.П.Широкова [47, 48], Н.В.Талантовой [43, 44].

В пространствах Бэг (Б^), Бэ4 {Бг4) с помощью построенного абсолюта вводится эллиптическое (гиперболическое) измерение расстояний между точками и углов в пучках прямых и плоскостей, инвариантное относительно фундаментальных групп этих пространств.

2. Цель работы

Изучению биаксиально-флаговых и биафинно-флаговых пространств посвящены работы [23-25]. В работе [24] изучается биакси-ально-флаговое пространство параболического типа. Образы симметрии и кососимметрии пространства БЗг рассматриваются в работе

[25], в этой же работе найдены инварианты квадрик этого пространен

ства. Теория кривых в биафинно-флаговом пространстве эллиптического типа размерности 2к построена в работе [23].

Целью данной работы является решение традиционных задач дифференциальной геометрии - изучение кривых и поверхностей в пространствах £3Э, /х , Б\. Если теория кривых и поверхностей в пространствах с "обобщенной" проективной метрикой и подвижно-

-5-

стью ниже подвижности классических неевклидовых пространств уже достаточно широко развита (см. работы [7], [14], [23], [34]), то вопросы линейчатой геометрии при изучении этих пространств остаются относительно новыми ([16], [41]). Поэтому перед автором стоит задача изучения линейчатых образов, то есть совокупностей прямых, зависящих от р параметров (р = 1,2,3), в биаксиально-

флаговых пространствах.

Интересным также представляется вопрос о существовании в биаксиально-флаговых пространствах квадрик, обладающих определенными метрическими свойствами, так называемых квазисфер и квадрик равных наклонов.

3. Содержание и структура работы

Работа состоит из введения и трех глав.

В первой главе изучаются квадрики особого вида:

1. Квазисферы, то есть совокупности точек пересечения пар ортогональных прямых двух связок с центрами в фиксированных точках А и В пространства Б! (£3г);

2. Квадрики равных наклонов, являющиеся совокупностями таких точек S пространства Б!, что для S и двух фиксированных точек А и В ориентированные углы SAB и ABS равны.

Показано, что оси абсолютной конгруэнции в 2>3Э (/э/) принадлежат квазисферам и сопряжены относительно квадрик равных наклонов. Таким образом, эти поверхности, согласно [47], являются сфероидами и бицилиндрами соответственно.

Исследуются диаметры указанных квадрик. Приводится обобщение квазисферы в биаксиально-флаговых пространствах эллиптического и гиперболического типов размерности п.

Первый параграф этой главы содержит необходимые сведения о биаксиально-флаговых пространствах.

Во второй главе строится теория кривых пространств Б: и Бг4 и поверхностей пространства Б^.

Установлено, что с каждой неособой точкой кривой в Бг4 можно связать два репера (один - канонический репер Бг4, другой - репер Френе), связь между которыми определяется с помощью одного параметра. Получены формулы типа формул Френе, содержащие три независимых параметра. Выяснен геометрический смысл коэффициентов этих формул. Изучены кривые постоянной кривизны и кривые постоянной кривизны и кручения.

Так как группы движений пространств БЗэ, Б: зависят от пяти параметров, и такое же число параметров необходимо для задания в проективном 3-пространстве прямой и точки на ней или плоскости и точки на ней, то с каждой неособой точкой кривой в 2>3г или поверхности в Б^ можно связать единственный канонический репер первого порядка. Построенный репер характеризуется геометрически. Найдена полная система дифференциальных инвариантов кривой и поверхности, она не содержит инвариантов первого порядка, а состоит лишь из двух и трех соответственно инвариантов второго порядка, геометрический смысл которых установлен.

Изучаются кривые и поверхности, не вошедшие в общую схему канонизации. Для такого рода поверхности строится сопровождающий канонический репер второго порядка. Рассматривается большое количество частных классов кривых и поверхностей, в каждом случае определяется вид кривой или поверхности и широта класса. В основе классификации поверхностей лежит рассмотрение различных значений дифференциальных инвариантов второго порядка, при которых координатные оси сопровождающего репера можно направить по некоторым инвариантным линиям на поверхности.

Третья глава работы посвящена изучению в Б3г линейчатых образов: регулюсов (р = 1), конгруэнций (р = 2) и комплексов (р = 3). Учитывая подвижность пространств, с каждым неособым элементом линейчатого образа связывается единственный канонический репер первого порядка, определяются его геометрические свойства. Для каждого образа ФД/? = 1,2,3) найдена полная система его дифференциальных инвариантов, установлен их геометрический смысл. Естественно, что полная система инвариантов образа Фр содержит инварианты первого порядка, на их рассмотрении и основана классификация образов Фр для данного р. Для р = 1 при классификации используется и дифференциальный инвариант второго порядка. Определяется широта каждого выделенного класса образов Фр и его геометрические особенности. Изучаются линейчатые образы с частным видом канонизации.

4. Методика работы

Основными методами, применяемыми в работе, являются: координатный, метод подвижного репера [11], [45], инвариантный и метод внешних форм Картана [19], [45].

Большое внимание в работе уделяется установлению геометрических свойств изучаемых образов.

В пространствах Ь\э, Бгъ , Б\ можно строить различные канонические реперы. Выбор канонического репера обусловлен спецификой решаемой задачи. Например, для изучения квадрик особого вида, квазисфер и КРН, в Б^, />/ используется репер Я , в котором вершины А1, А2 гармонически делят абсолютные точки Р0', Р02, а вершины А3, А4 гармонически сопряжены относительно абсолютных плоскостей на прямой абсолютной линейной конгруэнции.

Для изучения кривых и поверхностей, а также построения линейчатой геометрии в 2>3Э, E¡ канонический репер R оказывается неудобным, так как все его координатные прямые занимают некоторое особое положение по отношению к абсолюту. Поэтому возникает необходимость введения другого репера, удачность его выбора обеспечивает наибольшую простоту решения поставленных задач. Канонический репер R*, введенный в первом параграфе второй главы, оказывается почти универсальным для изучения дифференциальной геометрии в Б* и Б:, так как его прямая АЛА2 не занимает особого положения по отношению к абсолюту, а плоскость А^ Ar¡ А^ -аппелева, то есть плоскость общего вида. Прямая АлАг - изотропная,

это свойство позволяет использовать репер R* при изучении изотропных линейчатых образов Ф,, Ф2, а также при рассмотрении некоторых линий на поверхности.

Меньшая подвижность пространств B¡, Бгъ по сравнению с

классическими неевклидовыми приводит к возможности классифицировать образы в дифференциальной окрестности меньшего порядка.

Мы уже отметили, что классификация кривых и поверхностей определяется дифференциальными инвариантами второго порядка, а классификация линейчатых образов - инвариантами первого порядка.

Автор использует терминологию работ [45, 46], [28], [51]. Подразумевается (см. [46]), что каждой геометрической точке А, прямой АВ и плоскости ABC соответствует аналитическая точка А, аналитическая прямая АВ и аналитическая плоскость А ВС, где точке А присвоены однородные координаты (а1 : а2 : а3 : а4), а АВ и ABC

следует понимать как грассманово произведение аналитических точек А,В и А,В,С соответственно.

Все рассуждения глав II, III имеют локальный характер. Все встречающиеся функции являются дифференцируемыми достаточное число раз.

5. Апробация

Основные результаты работы были доложены на Международном геометрическом семинаре имени Н.И.Лобачевского [53]; IV, VI Международных конференциях женщин-математиков [52], [54]; 11 югославском геометрическом семинаре, посвященном 50-летию Института математики Сербской Академии наук и 400-летию Р.Декарта [55]; на геометрических семинарах кафедры алгебры и геометрии Рязанского государственного педагогического университета, кафедры геометрии Саратовского государственного университета; опубликованы в статьях [56], [57]; [5&] .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ромакина, Людмила Николаевна, 1998 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Акивис М.А. Многомерная дифференциальная геометрия.-Калинин: Изд-во Калининского ун-та, 1997.-84 с.

2. Appel P. Propositions d'Algebre et de Geometrie déduits de la consideration des racines cubiques de l'unité, Comptes rendus AC. d. SC.Paris, 1877, t. 84, p. 540.

3. Артин Э. Геометрическая алгебра. Перевод с английского В.М.Котлова под ред Л.А.Калужнина, "Наука", М., 1969.

4. Beck H/ Zur Geometrie in der Minimalebene, Sitzungsberichte d. Leipziger u. Berliner Math.. 12 (1913), 14-30.

5. Böhm F. Beiträge zum Äquivalenzproblem der Raumkurven, Sitzungsberichte d. Akad. zu München 2(1915), 257-280.

6. Blaschke W. Euklidische Geometrie und nichtcuklidische Geometrie, Zeitschr. Math. Physik. 60 (1911), 61-91.

7. Васина H.B. Кривые в пространстве Аппеля параболического типа//Геометрический сб., вып. 24. Томск: Изд-во Томск. Ун-та, 1984, с. 129-133.

8. Васина Н.В. Пространство Аппеля параболического ти-па//Сб. "Геометрия", вып. V., Ленинград, 1976, с. 33-36.

9. Вишневский В.В. Пространства над алгебрами, определяемые аффинорами. Докторская диссертация. Казань, 1972.

10. Glass S/ Sur les geometries de Cayley et sur une geometrie plane particulière, Annales de la Soc. Pol. De Math. t. 5, 1926, 20-36.

11. Гринцевичюс К.И. Подвижной тетраэдр комплекса прямых в проективном пространстве//Ученые труды Вильнюсского гос. унта, т.З, 1955.

12. Джавадов М.А. Неевклидовы пространства над алгебра-ми//Уч. зап. АГУ, Серия физ.-мат. Наук, № 4, 1957.

13. Евдокимова Р.И. Квазибиафинное пространство гиперболического типа//Ред. ж. Изв. Вузов. Математика. Казань, 1981. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 12.03.81, № 1334.

14. Жмурова Н.В. Поверхности в пространстве Аппеля параболического типа//Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. научн. тр./Рязан. пед. ин-т. Рязань, 1988. - с. 80-83.

15. Жмурова Н.В. Пространство кубической метрики специального вида//Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. научн. тр./Рязан. пед. ин-т. Рязань, 1988. - с. 61-67.

16. Жмурова Н.В. Изучение линейчатого пространства А°Рз на

квадрике Плюккера//Тез. докл. Межд. геометр, семинара им. Н.И.Лобачевского. - Казань, КГУ, 1997. - с. 48.

17. Silberstein, Projective geometry of Galileian Space-time, Philos. Magazine. 10 (1925), 681-696.

18. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям//ИЛ, М, 1951.

19. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. - М.: Мир, 1971.

20. Киотина Г.В. Бифлаговая плоскость//Сб. "Геометрия и топология", вып. I, Ленинград, 1974.

21. Киотина Г.В. Бифлаговые пространства. Деп. ВИНИТИ № 1390-74. Деп 1974.

22. Киотина Г.В. Дифференциальная геометрия пространств с обобщенной проективной метрикой. Деп. ВИНИТИ № 2852-78. Деп. 1978.

С?

23. Киотина Г.В. Теория кривых в би^финно-флаговом пространстве эллиптического типа. Деп. ВИНИТИ № 3920-80. Деп. 1980.

24. Киотина Г.В., Чахтаури И.А. О биаксиально-флаговом пространстве параболического типа//Тез. докл. Всес. конф. по неевклидовой геометрии/Казань, 1976, - с.93.

25. Киотина Г.В., Чахтаури И.А. Биаксиально-флаговое пространство гиперболического типа//Сообщ. АН ГССР, 83, № 2, 1976. - с. 305-308.

26. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований "Эрйангенская программа", Сб. "Об основаниях геометрии", М., Гостехиздат, 1956, - с. 399-434.

27. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии. Сб. "Об основаниях геометрии", М., Гостехиздат, 1956, - с. 253-303.

28. Кованцов Н.И. Теория комплексов. Киев, 1963.

29. Кованцов Н.И. Квазиспециальные комплексы//Мат. сб., 41 (83), № 3, 1957.

30. Котельников А.П. Принцип относительности и геометрия Лобачевского//Сб. 1п шетопат ЬоЬазсЬеузЫ, вып. 2, Казань, Глав-наука, 1927, - с. 37-66.

31. Кэли А. Шестой мемуар о формах. Сб. "Об основаниях геометрии". М., Гостехиздат, 1956, - с. 222-252.

32. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. Сочинения, т.1., М.-Л., Гостехиздат, 1946.

33. Лобачевский Н.И. Новые начала геометрии с полной теорией параллельных. Сочинения, т. II, М.-Л., Гостехиздат, 1949.

34. Моисеев С.А. Кривые в проективном пространстве с неплоским абсолютом особого вида//Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. науч. тр./Рязан. пед. ин-т. РязаЙъ, 1988. - с.88-92.

35. Норден А.П. О самосопряженных образах биаксиального пространства//Уч. зап. Казанского ун-та, т.114: 2,1954.

36. Норден А.П. Биафинное пространство и его отображение на себя//Уч. зап. Казанского ун-та, т. 112,1952.

37. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии. Перевод В.Л.Гончарова, сб. "Об основаниях геометрии", М., Гос-техиздат, 1956.

38. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии, М., Гостехиздат, 1955.

39. Розенфельд Б.А. Неевклидовы пространства. "Наука", М., 1969.

40. Розенфельд Б.А. Яглом И.М. О геометриях простейших ал-гебр//Мат. сб. № 28, 70,2951.

41. Рыбин В.М. Регулюсы в четырехмерном квазифлаговом пространстве//Движения в обобщенных пространствах. Межвуз. сб. научн. тр./Рязан. пед. ин-т. Рязань, 1988. - с. 93-95.

42. Sommerville D.M.Y. Classification of geometries with projective metrics, Proc. Edinburgh Math. Soc. 28 (1910), 25-41.

43. Талантова H.B. Биаксиальное пространство параболического типа//Изв. высш. учебн. заведений, Математика, № 3 (10), 1959.

44. Талантова Н.В. О нуль сопряженных образах биаксиального пространства параболического типа//Уч. зап. Казанского ун-та, т. 123:1, 1963.

45. Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии, М.-Л., 1948.

46. Фиников С.П. Теория конгруэнций, М.-Л., 1950.

47. Широков А.П. Геометрия обобщенных биаксиальных про-странств//Уч. зап. Казанского ун-та, 114:2,1954.

48. Широков А.П. Классификация групп движений биаксиального пространства эллиптического типа//Уч. зап. Казанского ун-та, т. 123:1, 1963.

49. Широков П.А., Широков А.П. Афинная дифференциальная геометрия. Физматгиз, М., 1959.

50. Strubecker К. Disterentialgeometrie des isotrapen Raumes, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt, IIa 150 (1941), 1-53, II-V, Math.

51. Щербаков P.H. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии. Томск: Изд-во ТГУ, 1973. - с. 236.

52. Ромакина JI.H. Квазиокружности и квазисферы в биакси-ально-флаговых пространствах//Тез. докл. IV Международной конференции женщин-математиков. Волгоград, 1996 г. - с. 108.

53. Ромакина JI.H. Кривые в биаксиально-флаговом пространстве гиперболического типа//Тез. докл. Международного геометрического семинара им. Н.И.Лобачевского. Казань, 1997. - с. 105.

54. Ромакина Л.Н. Линейчатые поверхности биаксиально-флагового пространства гиперболического типа// Тез. докл. VI Международной конф. женщин-математиков. Чебоксары, 1998 г.

55. Ромакина Л.Н. Квадрики равных наклонов в биаксиально-флаговом пространстве эллиптического типа//Тез. докл. 11. Jugoslovenski geometrijski seminar. Belgrad, 1996, p.22.

56. Ромакина Л.Н. Квазисферы в биаксиально-флаговом пространстве эллиптического типа//"Труды IV Международной конф. женщин-математиков. Волгоград, 1996". Спец. выпуск Российского ж. "Изв. выс. учебн. заведений. Радиофизика", вып. 1, т.4, - с. 38-40.

57- Ромакина Л.Н. Комплексы прямых в биаксиально-флаговом пространстве гиперболического типа. Деп. в ВИНИТИ от 10.12.97 № 3597-В97. 10 с.

58. Ромакина Л.Н. Комплексы прямых в биаксиально-флаговом пространстве'эллиптического типа. Деп. в ВИНИТИ от 10.12.97 №3596-В97. Юс.