Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей параболического типа пространства P5 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Пыжьянова, Альбина Николаевна

• Пыжьянова, Альбина Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Пыжьянова, Альбина Николаевна

Введение

Глава 1. Параболические 2-семейства плоскостей в Р

§1.1. Репер первого порядка параболического семейства

§1.2. Внутренняя корреляция на семействе (^2)

§1.3. Основной фундаментальный объект семейства (£2)

§1.4. Геометрические свойства семейства (Ь\)

§1.5. Включение заданной 2-поверхности в семейство (£2)2.

Глава II. Геометрия конфигурации F

§2.1. Вмещение псевдофокального семейства прямых в конфигурацию F

§2.2. Вмещение гиперболического семейства (-£-2)2 в конфигурацию F.

§2.3. Оптимальный репер

§2.4. Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации F.

§2.5. Канонический репер конфигурации F

§2.6. Полная конфигурация F

§2.7. Фокальная три-ткань конфигурации F

Глава III. Проективное изгибание семейств, определя

• ющих конфигурацию F.

§3.1. Проективное изгибание первого порядка параболического семейства

§3.2. Проективное изгибание второго порядка параболического семейства

§3.3. Изгибание 1-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Р.

§3.4. Изгибание 2-го порядка псевдоконгруэнции конфигурации Г.

§3.5. Изгибание пары параболических семейств конфигурации Е.

§3.6. Изгибание конфигурации Р

§3.7. Изгибание 2-го порядка семейств (Ь1)2 . И^

§3.8. Особое решение изгибания 2-го порядка семейств

§3.9. Изгибание фокальных поверхностей семейства {Ь\)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей параболического типа пространства P5»

Данная работа относится к дифференциальной геометрии линейчатых многообразий многомерных проективных пространств. В настоящее время теория конгруэнций прямых и их пар трехмерного проективного пространства представляет классический раздел дифференциальной геометрии и достаточно полно изложена в монографиях С. П. Фи-никова [39, 40]. Одним из возможных направлений в обобщении этой теории является изучение геометрии r-параметрических семейств т-мерных плоскостей и их пар в проективном пространстве Рп. Такие семейства стали предметом научных исследований во второй половине XX века ([4, 13, 20, 25, 29, 30, 32] и другие).

Первые обобщения конфигурации Т и расслояемых пар конгруэнций С.П.Финикова были сделаны В.И.Коровиным [18], P.M. Гейдель-маном [5], К. И. Дуничевым [11]. Ученики Р. М. Гейдельмана, например, В.С.Фокин [41], М.А.Войтенко [2, 3] ввели обобщение этих понятии в Р4

Заметив, что прямая в Р3 является двойственной сама себе, Г. Н. Макеев поставил задачу обобщения пар Т и расслояемых пар конгруэнций прямых в нечетномерных проективных пространствах. В связи с этим С.Е.Тычинина рассматривала двупараметрические семейства (£2)2 плоскостей L2 в Р5. Семейство (£2)2 называется гиперболическим, слабопараболическим или параболическим, если каждая плоскость L2 имеет три линейно независимых действительных фокуса, два фокуса или один фокус. Пары Т и расслояемые пары гиперболических семейств (£2)2 были введены и исследованы С. Е.Тычининой [37, 36], а обобщение пар в Попова сделала JI. Ф. Степанова [33-35]. Эти результаты получили обобщение в пространстве .Р2П-1 в работах Г.Н.Макеева [2628]. Им введено понятие семейств которые являются обобщением семейств (jD2)25 и пх преобразований Лапласа [25]. В.А.Гпуздов изучал слабопараболические семейства (Х2)2 и их пары в Р5 [6-10].

Дифференциально-геометрические свойства гиперболических семейств (£2)2 изучала Т. Б.Жогова [13-15]. Дальнейшие её работы [12, 16, 17] посвящены проективному и коррелятивному изгибанию семейств Л. Е. Куновская в работе [21] рассматривала некоторые свойства параболического семейства (¿2)2 в

Целью настоящего исследования является изучение дифференциальной геометрии двупараметрического семейства плоскостей параболического типа в пространстве Р5.

Исследование ведется методом подвижного репера и внешних дифференциальных форм Э.Картана [38].

Полученные в диссертации результаты являются новыми.

На защиту выносятся следующие научные положения и результаты:

• фокальные свойства параболического семейства плоскостей;

• построение конфигурации Р на базе параболического семейства плоскостей;

• включение заданной 2-поверхности в параболическое семейство плоскостей;

• связь между геометриями параболического семейства плоскостей и псевдофокального семейства прямых в /5;

• геометрические свойства конфигурации полная конфигурация

• проективное изгибание элементов конфигурации Р-, проективное изгибание конфигурации Р.

Диссертационная работа носит теоретические характер. В ней построена достаточно полная проективно-дифференциальная теория семейств плоскостей (£2)2 параболического типа пространства Р5. Результаты, полученные в диссертации, открывают возможность провести классификацию семейств (£2)2 по числ:У фокальных точек стационарной прямой текущей плоскости семейства, выяснить роль фокальных точек при изучении геометрии гиперболических и слабопараболических семейств плоскостей, а также геометрип пар Т и расслояемых пар этих семейств. Полученные в диссертации результаты могут использоваться при чтении специальных курсов по дифференциальной геометрии семейств плоскостей многомерных пространств и написании дипломных работ по геометрии.

Основные результаты диссертации докладывались на научной конференции молодых ученых Горьковской области (1980); на IX, X, XI, XII Международных конференциях серии "Женщины-математики" в Чебоксарах (2001, 2004), Ростове-на-Дону (2002) и Воронеже (2003); на Всероссийской научно-практической конференции в Нижнем Новгороде (2002); на VIII Международной конференции серии "Нелинейный мир" в Астрахани (2003); на научных семинарах по дифференциальной геометрии в Московском железнодорожном институте (рук. проф. Р. М. Гейдельман), в Московском институте стали и сплавов (рук. проф. М.А. Акивис), в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.М.Васильев), в Нижегородском государственном университете им. Н. И. Лобачевского (рук. проф. В. А. Иго-шин) и неоднократно на научных конференциях Нижегородского государственного педагогического университета.

Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях, приведенных в конце диссертации. Соавторов нет.

Приведем краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена изучению дифференциальной геометрии параболических 2-семейств плоскостей в Р5, которые обозначим через

4)2

В §1.1 к рассматриваемому семейству плоскостей присоединяется многообразие реперов 1-го порядка, определяются инвариантные образы, связанные с семейством {Ь\)2, изучаются фокальные свойства этого семейства, доказывается теорема существования (Ь\)2.

В §1.2 введено понятие внутренней корреляции на семействе (L\)2, которая дает возможность исследовать инвариантные двойственные образы многообразия и выяснить геометрический смысл репера 1-го порядка. Семейство (£2)2? как точечное многообразие, представляет собой гиперповерхность с плоскостной образующей L\. Оказалось, что в плоскости Ь\ существует единственная прямая, вдоль которой касательная гиперплоскость к гиперповерхности стационарна. Эта прямая проходит через фокус и называется стационарной.

В §1.3 установлено, что третий фундаментальный объект семейства (¿2)2 является основным, а четвертый — полным [22].

В §1.4 продолжено изучение геометрических свойств семейства (Ь\)2. На стационарной прямой найдены три инвариантные точки, каждая из которых описывает двумерную поверхность. Любая из этих поверхностей является фокальной поверхностью параболического семейства плоскостей, а каждые две из них суть фокальные поверхности некоторого гиперболического семейства плоскостей (£2)2- Совокупность семейства стационарных прямых, трех параболических семейств и трех гиперболических семейств образует конфигурацию F.

В §1.5 решена задача о включении заданной поверхности в параболическое семейство

Вторая глава посвящена изучению геометрических свойств конфигурации Р.

В §2.1 вводится понятие отношения вместимости двух многообразий. Многообразие 9Л находится в отношении вместимости с многообразием 91, если в Рь существует такой репер, в котором оба многообразия определяются одной и той же системой уравнений Пфаффа. Если при этом ПЯ С 91, то будем говорить, что 9Л вмещено в 91.

Двупараметрическое семейство стационарных прямых является псевдоконгруэнцией, у которой касательное пространство вдоль луча четырехмерно. Доказано, что такое семейство можно вместить в конфигурацию Р.

Двупараметрическое семейство стационарных прямых в дальнейшем будем называть псевдоконгруэнцией.

В §2.2 находятся такие ограничения на гиперболическое семейство (£2)2, ПРИ которых оно может быть вмещено в конфигурацию Р. Это семейство обозначается через (Ь\)2 и существует с произволом пяти функций двух аргументов.

В §2.3 введено понятие оптимального репера конфигурации Р. Оптимальный репер построен на двух параболических семействах и одном гиперболическом семействе (£2)2 плоскостей конфигурации Р. В этом репере прямая (А1А3) описывает псевдоконгруэнцию; точка А\ является фокусом параболического семейства, описываемого плоскостью (А1А3А4); Аз — фокус параболического семейства с текущей плоскостью (АхАбАз); плоскость (А\А2Аъ) описывает семейство {Щ)2 с фокусами в точках А1, А2, А3. Установлено, что любая пара многообразий, составляющих конфигурацию Р, находится в отношении вместимости, а псевдоконгруэнция может быть вмещена как в любое параболическое семейство, так и в любое гиперболическое семейство конфигурации Р.

Взаимосвязь между гиперболическими семействами плоскостей конфигурации Р изучается в §2.4. Оказалось, что эти семейства связаны между собой преобразованиями Лапласа [25].

В §2.5 построен канонический репер конфигурации Р и выяснен его геометрический смысл.

В §2.6 введено понятие полной конфигурации Р. Для каждой пары фокальных точек прямой (А1А3) существует единственная пара, содержащая третью фокальную точку, которая гармонически разделяет данную пару точек. Вторая пара точек является парой фокусов некоторой плоскости слабопараболического семейства, причем фокальная точка будет двукратным фокусом. Таким образом, с прямой (А1А3) инвариантно связаны еще три плоскости, каждая из которых описывает слабопараболическое семейство. Этими семействами пополняется конфигурация Р. Каждое из трех гиперболических семейств конфигурации Р имеет шесть первых преобразований Лапласа, некоторые из которых совпадают. Эти преобразования Лапласа также пополняют конфигурацию Р. Полученную конфигурацию назовем полной конфигурацией Р.

Таким образом, полная конфигурация Р содержит псевдоконгруэнцию, три параболических семейства, три слабопараболических семейства и восемь гиперболических семейств плоскостей.

В §2.7 изучается фокальная три-ткань конфигурации Р Оказалось, что конфигурация Р с шестиугольной фокальной три-тканью суще-^ ствует с произволом четырех функций двух аргументов.

Третья глава посвящена вопросу проективного изгибания конфигурации Р и семейств, составляющих её.

В §3.1 и §3.2 рассматривается задача проективного изгибания 1-го и 2-го порядков параболического семейства плоскостей. Оказалось, что любые два параболических семейства плоскостей наложимы изгибанием первого порядка с произволом 52 = 1. А класс параболических семейств, допускающих проективное изгибание второго порядка, существует с произволом «2 = 3.

В §3.3 и §3.4 изучается проективное изгибание первого и второго порядков псевдоконгруэнции. Изгибанием первого порядка заданная псевдоконгруэнция наложима на псевдоконгруэнцию любой конфигурации Р с произволом в2 = 2. Доказано, что существует с произволом 5х = 2 ^ класс конфигураций Р, у которых псевдоконгруэнция допускает изгибание второго порядка.

В §3.5 исследуется задача изгибания пары параболических семейств конфигурации которая допускает изгибание только первого порядка с произволом в2 = 2.

В §3.6 рассмотрено проективное изгибание конфигурации Р Оказалось, что конфигурация Р допускает только проективное изгибание первого порядка с произволом 5х = 13.

В §3.7 установлено, что класс семейств (Ь2)2, допускающих изгибание второго порядка, существует с произволом 52 = 1.

В §3.8 рассматривается особое решение задачи изгибания семейства (Ь1)2. Оказалось, что в особом случае выделяется класс семейств {Щ)2 (семейства Щ), существующих с произволом в! = 15, которые допус-Ц кают непрерывное изгибание второго порядка с произволом одного параметра.

В §3.9 рассмотрено фокальное изгибание семейств (Ь2)2. Доказано, что только семейства допускают непрерывное фокальное изгибание второго порядка с произволом одного параметра. Заметим, что семейство В-1 является аналогом конгруэнций Л в Рз.

Заключение диссертации по теме «Геометрия и топология», Пыжьянова, Альбина Николаевна

Все результаты исследования геометрических свойств параболического семейства являются новыми.

Изучение геометрии параболического семейства плоскостей показало, что геометрия псевдоконгруэнции неотделима от геометрии параболического семейства плоскостей.

Построенная дифференциально-геометрическая теория параболического семейства плоскостей в Р5 достаточно полно отражает геометрию этого семейства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Поставленная задача изучения дифференциально геометрических свойств параболического семейства плоскостей в Р5, на наш взгляд, выполнена.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Пыжьянова, Альбина Николаевна, 2004 год

1. Бляшке В. Введение в геометрию тканей. — М.: Физматгиз, 1959. - 144с.

2. Войтенко М. А. Сопряженные пары Т\ в Р4. Вопросы дифференциальной, синтетической и прикладной геометрии. — Московский ин-т. инж. ж.-д. трансп., 1965. Вып. 190. - С. 45-54.

3. Войтенко М. А. Об одностороннем расслоении трехпараметриче-ских семейств многообразий в Р4. — Московский ин-т. инж. ж.-д. трансп., 1965. Вып. 190. - С. 55-68.

4. Гейдельман Р. М.Дифференциальная геометрия семейств подпространств в многомерных однородных пространствах // Итоги науки: Алгебра, топология, геометрия. 1965. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1967. С. 323-374.

5. Гейдельман Р. М. Расслоение /г-параметрических семейств (к — 1)-мерных плоскостей // Мат. сб. 1954. - Т. 34. - С. 499-524.

6. Гяуздов В. А. Слабопараболические пары Т и Т 2-семейств плоскостей вР5 // Изв. вузов. Математика. 1971. - №11. - С. 57-67.

7. Глуздов В. А. Слабопараболические пары Т 2-семейств плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1971. - №12. - С. 39-48.

8. Гпуздов В. А. О свойствах слабопараболических и специальнопа-раболических 2-семейств плоскостей в Р5 // Уч. зап. Горьк. педин-та. Сер. физ.-мат. наук. 1972. - Вып. 124. - С. 9-12.

9. Гпуздов В. А. Слабопараболические пары двупараметрических семейств 2-плоскостей в пятимерном проективном пространстве: Дис. канд. физ.-мат. наук. — Горький, 1973. 112 с.

10. ЕпуздовВ.А. Специальнопарабодические 2-семейства плоскостей в Д / Редкол. ж. Изв. вузов. Математика. — Казань, 1976. -18с. — Деп. в ВИНИТИ, 09.06.76. №2461-76.

11. Дуничев К. И. Расслояемые пары из Ш13 прямых и плоскостей в Р4 // Изв. вузов. Математика. 1958. - №1. - С. 43-55.

12. Жогова Т. Б. Проективное и коррелятивное изгибание семейств Цы-1 // Изв- вузов. Математика. 2001. - №7. - С. 73-76.

13. Жогова Т. Б. О фокальной три-ткани двупараметрического семейства двумерных плоскостей в Р5 // Геометрия погруженных многообразий. — М.: МГПИ им. В. И. Ленина, 1978. С. 40-46.

14. Жогова Т. Б. К вопросу о проективном изгибании двупараме-трических семейств двумерных плоскостей в Р5 / Горьковск. пед. ин-т. — Горький, 1979. 16 с. — Деп. в ВИНИТИ, 23.07.79. N-2761-79.

15. Жогова Т. Б. Дифференциальная геометрия двупараметрических семейств двумерных плоскостей гиперболического типа пространства Р5: Дис----канд. физ.-мат. наук. — М., 1980. 122 с.

16. Жогова Т. Б. Проективное изгибание второго порядка семейств Цьп-\ II Изв- вузов. Математика. 1997. - №9. - С. 13-16.

17. Жогова Т. Б. О существовании семейств -й^п—1 ? допускающих проективное изгибание второго порядка // Изв. вузов. Математика. 2002. - N4. - С. 31-38.

18. Коровин В. И. Расслояемые пары комплексов двумерных плоскостей в Р5 // ДАН СССР. 1950. - Т. 72. - С. 837-840.

19. Кругляков Л. 3. О 2-семействах прямых в Р5 и парах конгруэнций прямых в Р3 // Сибирск. матем. журн. 1968. - Т. 9. - №3. -С. 554-567.

20. Кругляков JI. 3. Псевдофокальные 2-семейства прямых в Р5 // Геометр, сб. Тр. ТГУ. 1968. - Т. 196. - Вып. 7. - С. 70-78.

21. Куновская JI.E. Некоторые вопросы геометрии 2-семейств плоскостей в Р5 и конгруэнций демиквадрик в Р3 // Геометр, сб. Тр. ТГУ. — 1979. Вып. 20. - С. 114-116.

22. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально геометрических исследований // Тр. моек, матем. о-ва. 1953. - №2. -С.275-382.

23. Макеев Г.Н. О некоторых признаках инволютивности систем уравнений Пфаффа // Изв. вузов. Математика. 1982. - №9. -С. 81-83.

24. Макеев Г.Н. К вопросу об инволютивности систем уравнений Пфаффа // Изв. вузов. Математика. 1980. - №1. - С. 39-44.

25. Макеев Г.Н. О некотором обобщении преобразований Лапласа // Изв. вузов. Математика. 1975. - №2. - С. 123-125.

26. Макеев Г.Н. Пары Т двупараметрических семейств (п — 1)-плоскостей в (2п — 1)-мерном проективном пространстве // Изв. вузов. Математика. 1970. - №10. - С. 49-60.

27. Макеев Г.Н. Расслояемые пары двупараметрических семейств (п — 1)-плоскостей в Ргп-i // Изв. вузов. Математика. 1970. -№11. - С. 76-86.

28. Макеев Г.Н., Степанова Л. Ф. Пары в двупараметрических семейств (п — 1)-плоскостей в Р2П-1 // Изв. вузов. Математика. -1971. №4.-С. 59-68.

29. Макеев Г. Н. Пары Т трехпараметрических семейств плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1969. - №11. - С. 61-71.

30. Макеев Г. H. Проективное изгибание пар Т двупараметрических семейств (те — 1)-плоскостей в р2п-1 // Изв. вузов. Математика. -1970.-№12.-С.53-60.

31. Остиану H. М. О канонизации подвижного репера погруженного многообразия // Rev. roumaine pureset appl. (RPR). 1962. - T. 7. -№2. -C. 231-240.

32. Розенфельд Б. A. Проективно-дифференциальная геометрия семейств пар Pm + Pnm 1 в Рп // Матем. сб. 1949. - Т. 24. - №3. - С. 405-428.

33. Степанова JI. Ф. Некоторые классы пар двупараметрических семейств 2-плоскостей в // Третья прибалтийская геометрическая конференция: Тез. докл. — Паланга, 1968. С. 154-155.

34. Степанова Л. Ф. О некоторых обобщениях пар 9 Попова // IV Всесоюзная межвузовская конференция по геометрии: Тез. докл. — Тбилиси, 1969. С. 251-252.

35. Степанова JI. Ф. О некоторых парах слабопараболических семейств 2-плоскостей в // V Всесоюзная конференция по современным проблемам геометрии: Тез. докл. — Самарканд, 1972. -С.209.

36. Тычинина С.Е. Пары Т конгруэнций плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1968. - N-3. - С. 104-112.

37. Тычинина С. Е. Расслояемые пары конгруэнций плоскостей в Р5 // Изв. вузов. Математика. 1968. - №4. - С. 77-84.

38. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана. — M.-JL: ГИТТЛ, 1948. 432 с.

39. Фиников С. П. Теория пар конгруэнций. — M.-JL: ГИТТЛ, 1956. -443 с.

40. Фиников С. П. Теория конгруэнции. — M.-JL: ГИТТЛ, 1950. -528 с.

41. Фокин B.C. Расслоение сопряженной пары Т конгруэнций прямых в Р4 // Тез. докл. второй Всесоюзной геометрической конференции. — Харьков, 1964. С. 297.