Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ершов, Александр Анатольевич

• Ершов, Александр Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ершов, Александр Анатольевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра

§1. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтаобразной граничной функцией

§2. Полная асимптотика

§3. Приложение

Глава 2. Асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на двух малых участках (двумерный случай)

§1. Постановка задачи

§2. Формулировка результатов

§3. Вспомогательные утверждения

§4. Доказательство теоремы 2.1

§5. Физическая интерпретация

§6. Асимптотика толщины слоя, в котором выделяется заданная

часть энергии

Глава 3. Асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на малом участке (трехмерный случай)

§1. Постановка задачи

§2. Формулировка результатов

§3. Вспомогательные утверждения

§4. Доказательство теоремы 3.1

Заключение

Список литературы

Список иллюстративного материала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений»

Введение

Актуальность работы. Математические модели физических явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т.п., описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные (см. [39]) и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.

Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадылыпин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Ка-лякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sánchez-Hubert и многие другие (см, например, [1], [2], [3], [4]-[7], [65], [8], [10], [11]-[22], [66], [67], [23], [31], [32] [36], [38], [40], [44], [45], [46], [48], [49], [51]-[53], [71]-[73], [56], [76], [58], [60], [62], [63], [68], [69], [70], [74], [75], [77], [78]).

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на малых участках. Такие задачи возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учёта контактного сопротивления в случае малого сечения контактов.

В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего размер участков из-

менения граничных условияй, а также получены равномерные асимптотические разложения решений таких краевых задач.

Степень разработанности темы. Задачи, подобные исследуемым, начали изучать относительно недавно, что стало возможным во многом благодаря появлению метода согласования, широкие возможности которого были продемонстрированы в монографии A.M. Ильина [35]. Там, например, исследованы эллиптические краевые задачи, в том числе с переменными коэффициентами, в ограниченной области, из которого исключено малое подмножество. Решения таких задач имеют схожую структуру асимптотики и её коэффициентов по сравнению с теми, которые рассмотрены в настоящей диссертации.

Поведение собственных значений эллиптических краевых задач в ограниченных областях с граничными условиями, изменяющимися на одном малом участке, исследовано в работах [15], [16].

Целью работы является нахождение алгоритмов последовательного построения с последующим обоснованием всех членов асимптотики решений некоторых краевых задач, которые сингулярно зависят от малого параметра.

Краткое содержание диссертации. Опишем задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе рассматривается асимптотика одного функционала от решения краевой задачи Неймана для эллиптического уравнения, возникшей на основе следующей физической задачи. Через пластинчатый образец прямоугольный формы пропускается электрический ток/12. Ширина электродов предполагается малой и равной 2е. Данный процесс был смоделирован в [55] с помощью следующей краевой задачи для электри-

ческого потенциала.

= 0, 0<х<а, 0<у<Ь, -Il2/{2eaxd), у € (6/2 - е,Ь/2 + е), О, у е (6,6/2 -е) U (6/2+ £,6),

= 0, ж б (0,а),

у=о,г>

где а, 6, d — длина, ширина и толщина образца, ах, ау — удельная проводимость вдоль и поперёк образца.

В результате исследований Полякова H.H. [55] было получено выражение в виде ряда для электрического сопротивления

R =

а

+

00

Е

п

а^Ь ' у/Щ&Цйп^ (^п)2

Асимптотику К выписать не так просто, поскольку при е = 0 ряд расходится. Однако, в ходе опытов, описанных в книге [24], обнаружились асимптотические закономерности измерений К. В первом параграфе строго обосновано, что сумма такого ряда, сингулярно зависящая от малого параметра е, имеет следующую асимптотику

Rl2

а

£ b V стх

axdb ^axaydiT \ 4тгг ¿inch^./^n)

V О \/ &х '

+0(е2Ine), £ —О,

и дана оценка остатка. Во втором параграфе построено полное асимптотическое разложение суммы этого сингулярного ряда. В частности, доказано, что при е —у О

е3/26

R

а

оо

+

In

-Е

_тга /2Ц_П g 6 V <7 X

axdb y/axayd7T \ 4тге /<in)

\ О \/ С-г '

/1 2 ^ /27Г5Ч4 \

Основные результаты первой главы опубликованы в работах [26], [29].

Во второй главе рассматривается следующая задача. Пусть О, — ограниченная односвязная область в К2 с гладкой границей <90, которая имеет два прямолинейных участка АВ и СВ. На этих отрезках находятся две точке 0\ и Ог, не совпадающие с точками А, В, С, И.

Введём две системы координат 0\Х\Х2 и О2У1У2, направив оси 0\Х2 и О2У2 по направлению внутренней нормали так, как показано на рис. 1.

Обозначим за 71 = {ж : х2 = 0, |:п| ^ г}, Ъ ~ {у У2 = О, Ы ^ ае}, = {х : х = (±е, 0)}, 572 = {у :у = (±ае, 0)}, где 0 < £ « 1, а > 0. Задача состоит в построении и обосновании асимптотики функции и(х,е) е С°°(0\{571и072})ПС(0) по малому параметру е, являющейся

решением смешанной краевой задачи:

\

An, = о, х е гг,

ди

— = ф{х), х€дП\{Ъ0Ъ], u(xi, 0) = v^i » a^iG [-£,£], и(х(уъ 0)) = (р2 (^j, у\ € [-ае, ае]

и

дп

(0.1)

где п — внешняя нормаль, ф е С°°(Ш), <pi G С°°([—1,1]), € С00([—а, а])

Существование и единственность решения данной задачи в рассматриваемом классе функций можно доказать, например, с помощью конформного отображения области на полуплоскость и последующего использования формулы Келдыша-Седова [41, гл.III, §3].

Приведём ряд обозначений для формулировки основного результата второй главы.

Обозначим п = |ж|, г2 = |у|, £ = (6,6), V = (m,^), Р\ = Р2 = Ы, Г1 = {£ : 6 = 0, -1 < & < 1}, Г2 = {г) : т?2 = 0, -а < щ < а}, öTi = {£ : £ = (±1,0)}, дТ2 = {rj: т] = (±а, 0)}.

Пусть функции €b«) G С°°({£ : & > О}\0ГО П С({£ : 6 > 0}), гйо(£) € С°°({г] : щ ^ 0}\ЗГ2)Г\С({г] : щ ^ 0}) являются ограниченными

решениями следующих краевых задач:

' Дг>о = 0, 6 > 0,

< щ = ^i(fi), £ е Гь

¿>6

'о

А^о = 0, 772 > 0, < = <P2(77l), Г] ^ Г2,

= 77 € {77 : 772 = 0>\Г2.

'о

По формуле Келдыша-Седова можно выписать их явные решения:

1

-1

(0.2)

где = Vttt'

т+т

MV) = M0) + Re /

t-c,

dtdc,

— а

где ß2{z) = ... ,

V ^ + а

причём в обеих функциях ß\ и ß2 рассматриваются те ветви корня, которые положительны на интервалах действительной оси (1, оо) и (а, со) соответственно и аналитически продолжены на верхнюю полуплоскость.

Обозначимо = lim йо(£)>Яоо= lim wq(ti), = — / фСx)dS,

Pl-S-OO ' P2->0O 7Г J

_dÜ

Ji(f2,-0) = 0i(O2), /г(^) = 02(02), где функция ^(ж) £ C°°(Q) является решением задачи

Д<71 = 0, а: € О, l <7i(0) = 0,

функция (^(z) € С°°(Г2) является решением задачи

Ад2 = 0,

dg2 dlnri d In г2

, а; €<9П\{01П02},

дп дп дп

92(0) = 0.

Также обозначим

Z-ln- + Z- 1п(2|0102|) + h + Е0,0 - Но,о D0(e) =--.

21n- + 21n(2|0i02|) - Ina -/2

£

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.1. Для любых М>0и0</3<1 функция и(х,г), являющаяся решением задачи (2.1) -(2.4), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при е —0:

(х, г) £kuk(x, е), П ^ Мер, г 2 ^ iWV3,

к=0 оо

(ж, е) = ^ (-, е) , П^

з=о £

оо

(х, г) = £ £jwi (-' £) ' Г2 <

где

£

+ - D0(e)) ln2 + Eq,0 + Si(x) + ~ h |0i02|),

=«o«) + № VO - A>(e)) ln|<ç + i/C| - 1|,

гУо(гу, s) =w0(ri) + Dq(s) ln ^

а

а остальные функции щ £ \{Ох и Ог}),

^ € ({£ : 6 £ 0}\аГ0 П С ({£ : & > 0}), € С°° ({г?: щ > 0}\дГ2) П С ({г/ : т > 0}).

Также приведен алгоритм последовательного построения щ и методом согласования асимптотических разложений. Заметим, что хотя асимптотические коэффициенты щ(х, £), у^х, е) и ги^х, е) также зависят от е, но это это более слабая зависимость — все они являются рациональными функциями от 1п£. Также заметим, что почти во всей области О, кроме двух малых окрестностей точек 0\, 02, решение задачи в самом главном

ведёт себя как щ(х, е) —^ ' ^ 1п -.

£

Используя этот результат, можно построить более сложную, но более точную математическую модель процесса протекания тока через платин-чатый образец, в которой потенциал моделируется решением смешанной краевой задачей для эллиптического уравнения. Соответственно, можно получить следующую асимптотику для электрического сопротивления:

о а 2 Л Ь ^ ^

<7Х(1Ъ 7Г£ А)/

Основные результаты второй главы опубликованы в работах [27], [28], [25].

В третьей главе диссертации рассмотрен случай пространства размерности п — 3.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть теперьх = (жх, Х2, £3), О - ограниченная односвязная область в М3, совпадающая в окрестности начала координат с полупространством > 0, дП € С°°, 7 — ограниченная односвязная область на плоскости = 0, ду € С°°, а 0 < е 1. Обозначим 7е = {сс : х£~г € 7} (см. рис. 2).

Рис. 2.

Наша цель заключается в построении и обосновании асимптотического

разложения по малому параметру в гармонической в О функции и € С°° П С(^2) со следующими смешанными граничными условиями

Ои

— = ф{х), X е и = <р(х), хЕ%, (0.3)

где

п - внешняя нормаль, ф, (р € С°°(сЮ). Из работы С. Заремба [79] и теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений (см., например, [47, гл. IV, §2, п. 3]) следует существование и единственность гармонической функции со смешанными граничными условиями (0.3) в рассматриваемом классе функций.

Для формулировки основного результата третьей главы приведем ряд обозначений.

Обозначим г = \х\, О — (0, 0,0),

= ± I фюм.

дп

Известно, что

дп\о

Следовательно,

дП\0

Поэтому существует решение щ € С°°(Г2) краевой задачи /

Ащ = 0, х £ Г2, щ(0) = 0.

Обозначим £ = Р = ICI, = {С : 6 > 0}, R3+ = {£ :

Ь > 0}, Г = {£ : £3 = 0, £ g 7}, где 7 — диск уже на плоскости £3 = 0. Из вспомогательной леммы 3.3, доказательство которой приведено в диссертации, следует существование решения i? £ С°° (ш:

краевой задачи

' АЕ = 0, £ €

^ 7,

в& = 0- Ç6r' Е 0, p-t 00.

Обозначим через с7 > 0 ёмкость диска 7 (см, например, [54, гл.2, §1], [43, гл.2, §3]). Известно (см, например, [42, гл.1, §4]), что если 7 — единичный круг, то

1/2

Е=1, дЕ

= - arctg

7Г

с,у — ,

2 7Г

[/>2-1 + ((у02-1)2+4Й)1/2] а если 7 — эллипс с осями а и Ь вдоль координатных осей £1 и £2 соответственно, то

оо

т) =

а

dt

а

2К(с/а) J ^/{t + a2){t + b2)t h(Û

С'у

ЯГ(с/а)'

тг/2

где с - \/а2 — б2, = / -

У

«Й

л/1 - z2 sin21

полный эллиптический ин-

теграл 1-го рода, Л(£) — наибольший действительный корень кубического уравнения

£

+

£

+ ^ = 1.

а2 + к Ъ2 + К к Основным содержанием третьей главы является доказательство следующего утверждения:

Теорема 3.1. Для любых М>0и0<а<1 гармоническая в О функция и(х,е), удовлетворяющая смешанным условиям (0.3), имеет следующие равномерные асимптотические разложения при г —>■ 0:

(х,е) = У] £кщ(х), г^М£а,

к=-1 00

(х, е) = X] екук (-) , г<Меа,

где

и-\(х) =--

/ N ~ / \ ф)

щ{х) = щ(х) + (р{0) Ч--,

г

МО = ^(0),

остальные функции щ € С°°(П\0), vj е С00 (мЗДдт) П С .

Также приведен алгоритм последовательного построения ик и и,- методом согласования асимптотических разложений.

Основные результаты третьей главы опубликованы в работе [30].

Научная новизна заключается в следующем:

1. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющиимися на двух малых участках, в двумерной ограниченной области.

2. Построена и обоснована асимптотика некоторых функционалов от исследуемых решений, имеющих физическое приложение, а именно, найдена асимптотика электрического сопротивления пластинчатого образца в случае малых контактов и асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии.

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на малом участке, в трёхмерной ограниченной области. Выписаны в явном виде первые два члена асимптотических разложений.

Теоретическая значимость:

1. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решение смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерной ограниченной области с гладкой границей, на которой задано условие Неймана, кроме двух малых участков, на которых задано условие Дирихле.

2. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решения аналогичной задачи в трёхмерном случаи и с одним малым участком смены типа граничного условия.

Практическая значимость:

1. Найдена асимптотика электрического сопротивления образца, под-лючённого с помощью двух малых контактов.

2. Найдена асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии, связанной с контактным сопротивлением.

Методы исследования. Решения краевых задач понимаются в классическом смысле, т.е. рассматриваются решения, бесконечно дифференцируемые в области и непрерывные вплоть до границы, или большей гладкости. Оценки точности асимптотических приближений решений доказываются в непрерывной норме. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале методом согласования асимптотических разложений проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Обоснование формальных асимп-

тотик осуществляется с помощью оценивания точности выполнения граничных условий и последующего использования принципа максимума.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Получена полная асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра, и которая физически интерпретируется как электрическое сопротивление.

2. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной двумерной области с краевыми условиями, изменяющимися на двух малых участках границы. Приведена физическая интерпретация решения.

3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трёхмерной области с краевыми условиями, изменяющимися на одном малом участке. Явно выписаны два первых члена асимптотических разложений.

Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, на Международной конференции «Дни дифракции-2010» (Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2010), на финале конкурса Августа Мёбиуса (Москва, МЦНМО, 2012), где работа заняла третье место.

Публикации. Содержание работы отражено в 6 статьях, в том числе 5 статьях в журналах и изданиях, включенных в перечень ВАК для

кандидатских диссертаций.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю д. ф.-м.н., академику РАН, профессору Ильину Арлену Михайловичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ершов, Александр Анатольевич

Заключение

Физической интерпретацией асимптотики в первой и второй главе является процесс протекания электрического тока через пластинчатый проводник некоторой формы формы, т.е. рассмотрен двумерный процесс протекания тока. В третьей главе такую интерпретацию привести нельзя, поскольку не хватает второго малого участка, однако построенная там асимптотика весьма полезна для перехода к случаю двух участков. Отметим, что нахождение асимптотики электрического сопротивления трёхмерного образца, подключённого с помощью малых контактов, тоже является в некоторой степени актуальной задачей. Примерно в 1975 г. физики Варыпаев и Неумержицкий В.Т. опубликовали в сб.науч.трудов ГосНИИЭП статью, в которой рассматривали протекание тока через цилиндрический электрод, подключённый к торцам с помощью так называемых „точечных" контактов. В этой статье с помощью метода Фурье было найдено решение и, в частности, электрическое сопротивление такого цилиндра, однако его асимптотика найдена не была. Позже Смирнов С.Ф. и Неумержицкий В.Т. опубликовали тезисы, где они нашли выражение для сопротивления прямоугольного параллелепипеда с малыми прямоугольными контактами на торцах в виде ряда [57].

Рассмотрим задачу построения асимптотики электрического сопротивления цилиндра относительно малого сечения контактов. Математически задачу можно поставить следующим образом.

Обозначим г = у/х\ + х\ Q, = {ж : 0 ^ г < а, 0 < хз < /г} — цилиндр радиуса а и высоты h, 71 = {х : ж3 = 0, г ^ г}, 72 = {х : rc3 = h, г ^ s}, а\ = {ж : ж3 = 0,г = а}, а2 = {х : = h,r = а].

И пусть функция и(х) из класса бесконечно-дифференцируемых внутри области О, непрерывных вплоть до границы дО, и имеющих производ ную по нормали на гладких участках границы функций, является решением следующей краевой задачи:

Аи = 0, х е О, и = 1, х € 7ь и ди

-1, х 6 72,

I ¿Ь = Ж G и 72 и ai и а2}.

Требуется найти асимптотику интеграла ди

-—(xi,x2,0, e)dS при £ —у 0. ох з

Г<£

Легко заметить, что и(х 1, х2, rr3, е) = - arctg 7Г V

2£2 r2 £2 + ((r2 £2)2 + 4£2;г2)1/2

1/2 arctg

2е2

1/2> 0(е). ди

Г2 - £2 + ((г2 - £2)2 + 4г2(/1 - Хз)2)Х/2

Используя это асимптотическое приближение, можно вычислить х3=0

7Г\/ £2 — Г2

0( 1). Здесь дифференцирование похз законно, дх3 поскольку и £ С°°, а асимптотические ряды нельзя дифференцировать только по малому параметру. Отсюда,

М = / ди дх:. dS=~A£ + 0{£2). г

Итак, по закону Ома мы получаем, что электрическое сопротивление

R =

A U 7Г + 0{ 1). е)| 4 £ + 0{£2) 2е Но этот главный член был уже известен в работе ([61], введение), однако интерес представляет, по-крайней мере, ещё один следующий член асимптотического разложения. Его получение является ближайшей перспективой дальнейшей разработки темы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ершов, Александр Анатольевич, 2013 год

Список литературы

[1] Бабич, В.М. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн / В.М.Бабич, В.С.Булдырев. - М.: Наука, 1972. - 456 с.

[2] Бабич, В.М. Метод пограничного слоя / В.М.Бабич, Н.Я.Кирпичникова. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. - 125 с.

[3] Бахвалов, Н.С. Осреднение процессов в периодических средах / Н.С.Бахвалов, Г.П.Панасенко. - М.: Наука, 1984 г. - 352 с.

[4] Борисов, Д.И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий / Д.И.Борисов // Матем. сб. - 2002. - Т. 193. № 7. - С. 37-68.

[5] Борисов, Д.И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий / Д.И.Борисов // Изв. РАН. Сер. матем. - 2003. - Т. 67. №. 6. - С. 23-70.

[6] Борисов, Д.И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном / Д.И.Борисов // Матем. сб. - 2006. - Т. 197. № 4. - С. 3-32.

[7] Борисов, Д.И. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами / Д.И.Борисов, Р.Р.Гадылыпин // Матем. сб.. - 2007. - Т. 198. № 8. - С. 3-34.

[8] Бутузов, В.Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области / В.Ф.Бутузов // Дифф. уравнения. - 1975. - Т. 11. № 6.- С. 10301041.

[9] Бейтман, Г. Высшие трансцендентные функции / Г.Бейтман, А.Эрдей. - М.: Наука, 1974. - 295 с.

[10] Вишик, М.И. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром / М.И.Вишик, Л.А.Люстерник // УМН. - 1957. - Т. 12. № 5. - С.3-122.

[11] Гадылыпин, P.P. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии // Р.Р.Гадылыпин // Дифф. уравнения. - 1986. - Т. 22. № 4.- С. 640-652.

[12] Гадылыпин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий: Сб. науч. тр. "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений". Уфа: БНЦ УрО АН СССР - 1988. - С. 3-15.

[13] Гадылыпин, P.P. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки / Р.Р.Гадылыпин // Матем. заметки. - 1993. - Т. 54. № 6. - С. 10-21.

[14] Гадылыпин, P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия / Р.Р.Гадылыпин // Матем. заметки. - 1992. -Т. 52. № 4. - С. 42-55.

[15] Гадылыпин, P.P. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закреплённой на малом участке границе / Р.Р.Гадылыпин // Сиб. матем. журн. - 1993. - Т. 34. № 3. - С. 43-61.

[16] Гадыльшин, P.P. О возмущении спектра Лапласиана при при смене типа граничного условия на малой части границы / Р.Р.Гадыльшин // ЖВМ. - 1996. - Т. 36. № 7. - С. 77-88.

[17] Гадыльшин, P.P. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью / Р.Р.Гадыльшин, А.М.Ильин // Матем. сб. - 1998. - Т. 189. № 4. - С. 25-48.

[18] Гадыльшин, P.P. Системы резонаторов / Р.Р.Гадылыпин // Изв. РАН. Сер. матем. - 2000. - Т. 64. № 3. - С. 51-96.

[19] Гадыльшин, P.P. О модельном аналоге резонатора Гельмгольца в усреднении / Р.Р.Гадылыпин // Труды МИРАН. - 2002. - Т. 236.

- С. 79-86.

[20] Гадыльшин, P.P. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения / Р.Р.Гадылыпин // Матем. сб. - 2002. - Т. 193. № 11.

- С. 43-70.

[21] Гадыльшин, P.P. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа / Р.Р.Гадылыпин // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. - 2003. - Т. 5. - С 3-32.

[22] Гадыльшин, P.P. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси / Р.Р.Гадыльшин // ТМФ. - 2002. - Т. 132. - С. 97-104.

[23] Давлетов, Д.Б. Асимптотика собственных значений краевой задачи Дирихле оператора Ламэ в трехмерной области с малой полостью / Д.Б.Давлетов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2008. - Т. 48. № 10. - С. 1847-1858.

[24] Дмитриев, A.B. Научные основы разработки способов снижения удельного электрического сопротивления графитированных электродов / А.В.Дмитриев. - Челябинск: Изд-во ЧГПУ, 2005. - 197 с.

[25] Дмитриев, A.B. Контактное электрическое сопротивление чешуек в экструдированных заготовках композиции на основе природного яв-нокристаллического графита / А.В.Дмитриев, А.А.Ершов // Химия твердого топлива. - 2011. - Т. 45, № 6. - С. 53-60.

[26] Ершов, A.A. Асимптотика решения задачи Неймана с дельтообразной граничной функцией / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2010. - Т. 50. № 3. - С. 479-485.

[27] Ершов, A.A. Асимптотика решения краевой эллиптической задачи со смешанными условиями на границе / А.А.Ершов // Вестник Челябинского государственного университета. Сер. Математика. Механика. - 2010. - Вып. 12. № 23 (204). - С. 12-19.

[28] Ершов, A.A. Асимптотика решения уравнения Лапласа со смешанными условиями на границе / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2011. - Т. 51. № 6. -С. 1064-1080.

[29] Ершов, A.A. К задаче об измерении электропроводности / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53. № 6. - С. 1004-1007.

[30] Ершов, A.A. О смешанной задаче для гармонической функции / А.А.Ершов // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2013. - Т. 53. № 7. - С. 1094-1106.

[31] Жиков, В.В. Усреднение дифференциальных операторов / В.В.Жиков, С.М.Козлов, О.А.Олейник. - М.: Физматлит, 1993. - 462 с.

[32] Ильин, A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай / А.М.Ильин // Матем. сб. - 1976. - Т. 99. № 4. - С. 514-537.

[33] Ильин, A.M. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием / А.М.Ильин // Матем. сб. - 1977. - Т. 103. № 2. - С. 265-284.

[34] Ильин, A.M. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием / А.М.Ильин // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. - 1982. - Вып. 6. - С. 77-82.

[35] Ильин, A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А.М.Ильин. - М.: Наука, 1989. - 336 с.

[36] Ильин, A.M. Асимптотические метоы в анализе / А.М.Ильин, А.Р.Данилин. - М.: Физматлит, 2008. - 248 с.

[37] Ильин, A.M. Уравнения математической физики / А.М.Ильин. - М.: Наука, 2009. - 192 с.

[38] Калякин, JI.A. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю / JI.А.Калякин // Дифф. уравнения. - 1979. - Т. 15. № 4. - С. 668-680.

[39] Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т.Като. - М.: Мир, 1972. - 740 с.

[40] Ладыженская, O.A. Об уравнениях с малым параметром при старших производных в линейных дифференциальных уравнениях с частными производными / О.А.Ладыженская // Вестник ЛГУ. -1957. Т. 7. - № 2. - С. 104-120.

[41] Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат. - М.: Наука, 1973. - 736 с.

[42] Ландау, Л.Д. Теоретическая физика (в 10 т). Т. VIII. Электродинамика сплошных сред / Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц. - М.: Физматлит, 2005. - 656 с.

[43] Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала / Н.С.Ландкоф. - М.: Наука, 1966. - 515 с.

[44] Мазья, В.Г. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области / В.Г.Мазья, С.А.Назаров, В.А.Пламеневский. - Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1981. - 207 с.

[45] Мазья, В.Г. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями / В.Г.Мазья, С.А.Назаров, В.А.Пламеневский // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1984. - Т. 48. № 2. - С. 347-371.

[46] Маслов, В.П. Теория возмущений и асимптотические методы / В.П.Маслов. - М.: Изд-во МГУ, 1965. - 549 с.

[47] Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П.Михайлов. - М.: Наука, 1976. - 391 с.

[48] Назаров, С.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей / С.А.Новокшенов, Б.А.Пламеневский. - М.: Наука, 1991. - 335 с.

[49] Новокшенов, В.Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями / В.Ю.Новокшенов // Дифф. уравнения. - 1976. - Т. 12. № 10. - С. 625-637.

[50] Олейник, O.A. Об устанойчивости задачи Неймана / О.А.Олейник // УМН. - 1956. - Т. 11. № 1(67). - С. 223-225.

[51] Олейник, O.A. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов / О.А.Олейник // УМН. - 1987. - Т.42. Вып. 3. - С. 221-222.

[52] Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. С. 101-128.

[53] Олейник, O.A. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред / О.А.Олейник, Г.А.Иосифьян, А.С.Шамаев. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 311 с.

[54] Полиа, Г. Изопериметрические неравенства в математической физике / Г.Полиа, Г.Сегё. - М.: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1962. - 336 с.

[55] Поляков, H.H. Об измерении коэффициента Холла и электропроводимости анизотропных проводников / Н.Н.Поляков // Заводская лаборатория. - 1989. - № 3. - С. 20-22.

[56] Санчес-Паленсия, Э. Неоднородные среды и теория колебаний / Э.Санчес-Палесия. - М.: Мир, 1984. - 472 с.

[57] Смирнов, С.Ф. Измерение удельного электрического сопротивления углеродных изделий конечных размеров прямоугольных сечений / С.Ф.Смирнов, В.Т.Неумержицкий // Тезисы докладов и сообщений всесоюзной конференции молодых учёных и специалистов „Современные достижения в области исследования, производства и эксплуатации углеродных материалов и изделий". - Челябинск: б. и., 1984.

- 184 с.

[58] Тихонов, А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра / А.Н.Тихонов // Матем. сб. - 1948. - Т. 22. № 2. - С. 193-204.

[59] Федорюк, М.В. Асимптотика, интегралы и ряды / М.В.Федорюк. -М.: Наука, 1987. - 544 с.

[60] Федорюк, М.В. Асимптотика решений задачи Дирихле для оператора Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра / М.В.Федорюк // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1981. - Т. 45. № 1. - С. 167-186.

[61] Хольм, Р. Электрические контакты / Р.Хольм. - М.: Иностранная литература, 1961. - 314 с.

[62] Чечкин, Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий / Г.А.Чечкин // Матем. сб. - 1993. - Т. 184. № 6.

- С. 99-150.

[63] Чечкин, Г.А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое / Г.А.Чечкин // УМН. - 1993. - Т. 48. № 4. - С. 218-219.

[64] Эскин, Г.И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г.И.Эскин. - М.: Наука, 1973. - 236 с.

[65] Borisov, D. Bound states in weakly deformed strips and layers / D.Borisov, P.Exner, R.Gadyl'shin, D.Krejcirik // Ann. H. Poincare. -2001. - V. 2 No 3. - P. 553-572.

[66] Gadyl'shin, R.R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory / R.R.Gadyl'shin // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. - 1999. - t. 329. No 12. - P. 1121-1126.

[67] Gadyl'shin, R.R. On regular and singular perturbations of acoustic and quantum waveguides / R.R.Gadyl'shin // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. - 2004. - t. 332. No 8. -P. 647-652.

[68] Gomez On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass / D.Gomez, M.Lobo, E.Perez // J. Math. Pures Appl. - 1999. - V. 78. No 8. - P. 841-865.

[69] Hempel, R. The essential spectrum of Neumann Laplacians on some bounded singular domains / R.Hempel, L.Seco, B.Simon // J. Funct. Anal. - 1991. - V. 102. - P. 448-483.

[70] Leal, C. Perturbation of the eigenvalues of a membrane with a concentrated mass / C.Leal, J.Sanchez-Hubert. - Quart. Appl. Math. XLVII, 1989. No.l , P. 93-103.

[71] Oleinik, O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singulary pertubed operators / O.A.Olenik // In: Non classical continuum mechanics., - 1987. - Lecture Notes Series. 122. - Cambridge University Press. - p. 188-205.

[72] Oleinik, O.A. Yosifian G. A. On vibrations of a membrane with concentrated masses / O.A.Oleinik, J.Sanchez-Hubert // Bull. Sc. math. Ser. 2. - 1991. - V. 115. - P. 1-27.

[73] Oleinik, O.A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenazation / O.A.Oleinik, A.S.Shamaev, G.A.Yosifian. - Nort-Holland: Amsterdam, 1992.

[74] Ozawa, Sh. Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian / Sh.Ozawa // Proc. Jap. Acad. - 1980. - V. A 56. - P. 351-357.

[75] Ozawa, Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary / Sh.Ozawa // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo. - 1983. - Sect. I A 30. - P. 259277.

[76] Sânchez-Palecia, E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and vibration of system with concentrated masses / E.Sânchez-Palecia // In: Trends and Application of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Berlin: Springer Verlag. 1984, p. 346-368.

[77] Sânchez-Hubert, J. Perturbation des valeurs propres pour des systèms avec masse concentèe / J.Sânchez-Hubert // C.R. Acad. Sci. Paris Sèr. II. - 1989. - V. 309. - P. 507-510.

[78] Sânchez-Hubert, J. Vibration and Coupling of Continuos Systems. Asymptotic Methods / J.Sânchez-Hubert, E.Sânchez-Palecia. - Springer: Heidelberg, 1989.

[79] Zaremba, S. Sur un problème mixte relatif a l'équation de Laplace / S.Zaremba // Bulletin de l'Académie des sciences de Cracovie, Classe des sciences mathématiques et naturelles, série A. - 1910. - P. 313-344.

Список иллюстративного материала

1. Рисунок 1, с.7.

2. Рисунок 2, с.11.

3. Рисунок 1.1, с.27.

4. Рисунок 2.1, с.31.

5. Таблица 2.1, с.47.

6. Рисунок 2.2, с.60.

7. Рисунок 3.1, с.67.