Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Давлетов, Дмитрий Борисович

• Давлетов, Дмитрий Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Давлетов, Дмитрий Борисович

Введение

Глава 1. Сходимость решений и собственных элементов возмущенной краевой задачи Дирихле для общего оператора теории упругости в п-мерной ограниченной области с малой полостью

§1. Постановка задачи.

§2. Предварительные сведения.

§3. Доказательство теоремы 1.1.

§4. Доказательство теоремы 1.2.

Глава 2. Двучленная асимптотика собственных значений возмущенной краевой задачи (трехмерный случай)

§1. Постановка задачи.

§2. Построение асимптотики собственного значения.

§3. "Доказательство теоремы 2.1.

Глава 3. Асимптотика собственных значений возмущенной краевой задачи (двумерный случай)

§1. Матрица фундаментальных решений

§2. Постановка задачи.

§3. Вспомогательные утверждения.

§4. Доказательство теоремы 3.2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругости»

Математические модели физических явлений в электродинамике, аку- . стике, теории упругости и так далее, описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные (см. [32]) и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.

Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, Д. И. Борисов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, J1. А. Ка-лякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олейник, Б. А. Пламеневский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sánchez-Hubert и многие другие (см., например, [2], [3], [4], [5]-[8], [55], [9], [10], [12]-[22], [56], [57], [26], [27]-[29], [30], [36], [37], [38], [40], [43], [44], [45]-[47], [61]—[63], [49], [66], [50], [51], [53], [54], [58], [59], [60], [64], [65], [67], [68].

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи Дирихле для оператора теории упругости в ограниченных областях, из которых удалена малая окрестность начала координат.

Такие задачи возникают, например, в механике разрушения в связи с необходимостью уточнения расчетов в окрестности включений и полостей.

В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего диаметр отверстия, а также получены равномерные по малому и спектральному параметрам оценки решений и изучены спектральные свойства таких краевых задач.

Задачи подобные исследуемым имеют давнюю историю. В [28] построена асимптотика решения скалярной краевой задачи Дирихле для эллиптического оператора второго порядка в п-мерной ограниченной области (п > 2), из которой удалено малое подмножество.

Поведения собственных значений скалярных эллиптических краевых задач в областях с малыми отверстиями исследованы, например, в работах [38], [64], [65], [25], [48]. В [48] была получена оценка скорости сходимости собственного значения краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области с малой полостью. Позднее аналогичные результаты получены Ю.Н. Днестровским и ЭЬ. Ога\уа в работах [25], [64]. В работе [65] построен главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием. В [38] были получены полные асимптотические разложения первых собственных чисел и соответствующих собственных функций классических краевых задач для оператора Лапласа в двумерных и трехмерных областях с малыми отверстиями.

Спектральные краевые задачи для эллиптических операторов теории упругости в ограниченных областях с малыми отверстиями исследованы в работах [23]-[24], [31]. В [31] рассматривался случай краевых условий Неймана на границе п-мерной области (п > 3) с малой полостью. Построены полные асимптотические разложения собственных элементов возмущенной краевой задачи для общей системы теории упругости. В работе [23] доказана сходимость собственных элементов возмущенной краевой задачи Дирихле для общего оператора теории упругости к собственным элементам, соответствующей.предельной краевой задачи, когда параметр е, определяющий диаметр малой полости, стремится к нулю. В [24] построена и обоснована двучленная асимптотика собственных значений. краевой задачи Дирихле для оператора Ламэ в трехмерной ограниченной области с малой полостью.

Опишем более подробно задачи, рассматриваемые в каждой главе диссертации, и основные результаты, полученные при их изучении.

В первой главе доказывается сходимость решений, собственных значений и соответствующих собственных вектор-функций возмущенных краевых задач Дирихле для общего оператора теории упругости в п-мерной ограниченной области с малой полостью к решениям, собственным значениям и соответствующим собственным вектор-функциям предельных краевых задач Дирихле для общего оператора теории упругости в 72-мерной ограниченной области без отверстия. Затем выводятся равномерные по малому и спектральному параметрам оценки этих решений. Результаты этой главы используются для строгого обоснования первых членов асимптотик собственных значений рассматриваемой возмущенной краевой задачи на собственные значения при п = 2,3, строящихся во второй и третьей главах диссертации. В последних двух главах предпола-гаетсяг что упругая однородная изотропная среда, заполняющая область с малой полостью, жестко сцеплена с ее границей, что соответствует граничному условию Дирихле.

Пусть О - ограниченная область в Мп, п > 2, с гладкой границей Г := Ш. Если не оговорено противное, примем соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Рассмотрим в О, дифференциальный оператор линейной теории упругости:

Здесь АНк(х) - матрицы размерности (п х п), элементы которых о!}к{х) принадлежат пространству С°°(Г2) и удовлетворяют условиям а%(х) = а$(х) = а%(х), х е П, (0.1)

Х\гк ^ Оу(х)тнгЬк < хА, хеП, (0.2) • о < XI < Х2, где {г/гд} -произвольная симметрическая матрица (не меняется при транспонировании) размерности (п х п) с действительными элементами, а чтиВ векторной форме стационарная система уравнений теории упругости запишется в виде

Ьи = \и + /.

Пусть о; — ограниченная область в 1" с гладкой границей 7 := ди>. Не ограничивая общности будем считать, что начало координат лежит в О, и и. Обозначим си£ := {х : хе~1 6 0£ := Г2 \ о7е, 7е := дш£, Г£:=Г1)Ъ.

Рассматривается следующая сингулярно возмущенная краевая задача:

-Ьи£ = \и£ + fe, же пе, и£ = о, х е г£, (о.з) где А 6 С, и£ и f£ - п-мерные вектор-функции с компонентами, определенными в

Для (0.3) назовем предельной краевую задачу:

Ьщ = Хщ + /о, х £ П, Щ = 0, х е Г, (0.4) где щ и /о - п-мерные вектор-функции с компонентами, определенными в П.

Пусть - ограниченная область в Еп. Под (Ь2(0))п понимается пространство п-мерных вектор-функций, компоненты которых являются комплексными квадратично интегрируемыми по Лебегу функциями. Скалярное произведение и норма в (£2 (<?))" определяются следующими равенствами соответственно: \1/2 (и'у)(ь2т» := У и •« \\икыя)г:= У

5 \<2

Обозначим через (//д((3))п и (-^(Ф))™ пополнения пространств п-мерных вектор-функций с компонентами из С™ {О) и С00 (О) соответственно по норме:

11«И(ЭД))в = Ыкнцяг := + где п

Ъмт г=1 а щ(х) - г-е компоненты вектор-функции и{х).

Известно (см., например, [47]), что существуют счетные множества собственных значений однородных краевых задач (0.3), (0.4), все собственные значения вещественны и накапливаются только на бесконечности.

Так как продолжив вектор-функции f£ 6 (1,2 (Цт))™ и и£ е (Яц(П£))п нулем в си£, получим элементы из (£2(0))п и (#о(0))п соответственно, то за этими продолжениями будем сохранять их первоначальные обозначения.

В первой главе сначала доказывается следующее утверждение.

Теорема 0.1. Пусть К компакт в комплексной плоскости, не содержащий собственных значений предельной однородной краевой задачи (0.4)■ Тогда а) существует £о > О такое, что при любом £ < £q и любом A G К ' существует единственное решение и£ 6 (Яо(Ое))п возмущенной краевой' задачи (0.3) и справедлива равномерная по е и А оценка

IWI(tf¿(n)f ^ c\\fe\\(L2(n))n; б) если

II fe- fo\\(L2mn ^ О» то для решений краевых задач (0.3), (0.4) имеет место сходимость

Заметим, что из теоремы 0.1 следует, что при всех Л, не являющихся собственными значениями однородной краевой задачи (0.4), существует единственное решение краевой задачи (0.3).

Затем с помощью этого утверждения устанавливается справедливость следующей теоремы, являющейся одним из основных результатов первой главы.

Теорема 0.2. Пусть Ао - собственное значение предельной однородной краевой задачи (0.4) кратности М. Тогда а) к нему сходится М собственных значений \£¿ возмущенной однородной краевой задачи (0.3) с учетом их совокупной кратности, а из любой последовательности £k —> 0 при к —> оо можно выделить подпоследовательность £kt —> 0 при I —> оо такую, что для соответствующих ортонормированных в (L2(Q£))n собственных вектор-функций ipe¿ на этой подпоследовательности имеет место сходимость: где ^

- ортонормированные в (Ь2(Р))п собственные вектор-функции однородной краевой задачи (0.4), соответствующие Ао; б) при X, близких к Ао, для решения возмущенной краевой задачи (0.3) справедливо представление:

ЕМ (/е»^е,*)(ь2(п))» ~ и

11*4 (#¿(12))» < СЦЛ11 (Ь2(П))", где константа С не зависит от А и е.

Основные результаты первой главы опубликованы в работе [23]. Во второй и третьей главах диссертации рассматриваются случаи О, С К3 и О, С К2 соответственно. Предполагается, что упругая однородная изотропная среда, заполняющая область с малой полостью, жестко сцеплена с ее границей, что соответствует граничному условию Дирихле. Обозначим через Ь - оператор Ламе, который является частным случаем общего оператора теории упругости, коэффициенты которого задаются равенствами: а™(х) := Х'б^к + ¡¿'бцбнк + /А'А^/у, где 6у - символ Кронекера, А' и ц' > 0 - постоянные Ламе, характеризующие упругие свойства изотропного материала и связаны с модулями упругости: о

Здесь О - модуль сдвига, а К - модуль объемного сжатия. Таким образом,

Ьи = у! Аи + (Л' + //) УсН уп, где А - оператор Лапласа.

Исследуются следующие сингулярно возмущенные краевые задачи Дирихле на собственные значения в области с малой полостью:

-А*ф£(х) = Х£ф£(х), хеп£, ф£(х) = 0, хег£, (0.5) где посредством А* обозначается оператор:

А* := А + Vdiv. А*'

Для (0.5) назовем предельными краевые задачи:

-А*<ф0(х) = Хоф0(х), хе£1, <ф0(х) = 0, х е Г. (0.6)

Для формулировки основного результата второй главы, где рассматривался случай размерности пространства п = 3 приведем ряд обозначений.

Известно (см, например, [34], Гл. II.), что матрица Кельвина фундаментальных решений оператора Ламе определяется равенством: о г л'+зм' А'+д' дел ь,=гз где <5щ - символ Кронекера. Обозначим:

С(си, А', //) := I зШвп, дш где матрица 5(77) является решением интегрального уравнения ([34], гл. X, § 4):

0 = -Е + ^ I Г(т| ди> где Е - единичная матрица.

Теорема 0.3. Пусть Ао - простое собственное значение предельной краевой задачи (0.6), а 1ро{х) ~ соответствующая нормированная в 1/2 (Г2) собственная вектор-функция этой краевой задачи. Тогда асимптотика собственного значения Х£ возмущенной краевой задачи (0.5) имеет вид:

Х£ = Л0 + еЛх + О , £ 0, где —iPq(0)C(uj, А', [¿')ipo(0) (Т — знак транспонирования),

7Г а сц(о;,А',//) c12{w,\',ti') схз(о;,А',//)\

С21(Ш, А7,//') С22(^, А',//) с23(^, А',//) \сЪ1{и,Х!,ц') с32(о;,А',//) с33( - положительно определенная матрица, зависящая от геометрии области и и постоянных Ламе X' и /л'.

Основной результат второй главы опубликован в работе [24].

В третьей главе, в случае размерности пространства п = 2 доказана следующая теорема.

Теорема 0.4. Пусть Ао - простое собственное значение предельной краевой задачи (0.6), и значение в нуле соответствующей ему нормированной в £2(0) собственной вектор-функции Фо(х) отлично от нулевого вектора. Тогда асимптотика собственного значения Х£ краевой задачи (0.5), сходящегося к Ао при £ —> 0, имеет вид:

Хр = А , те где A(z) - голоморфная в нуле функция,

Л(0) = Ао, ^(0) = -2жШ0)\2

Построение асимптотик собственных значений краевых задач (0.5) осу- . ществляется с помощью метода согласования асимптотических разложений, широкие возможности которого были продемонстрированы в монографии [29] и в работе [21]. В ходе доказательства теоремы 0.4 был обобщен метод операторных уравнений на случай системы, примененный в работе [38] для скалярного случая.

В дальнейшем для удобства чтения некоторые формулы, а также формулировки теорем, приведенные во введении, будут повторяться в тексте диссертации без сохранения нумераций.

Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному . руководителю д. ф.-м.н., профессору Гадылынину Рустему Рашитовичу за постановку задач, внимание и помощь на протяжении всей работы над диссертацией.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Давлетов, Дмитрий Борисович, 2012 год

1. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя. Л.: Изд-во ЛГУ, 1974. 125 с.

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984 г. 352 с.

3. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий. // Матем. сб. 2002. - Т. 193. № 7. - С. 37-68.

4. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов Лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий. // Изв. РАН. Сер. матем. 2003. - Т. 67. №. 6. - С. 23-70.

5. Борисов Д. И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном. // Матем. сб. 2006. - Т. 197. Xе 4. - С. 3-32.

6. Борисов Д. И., Гадылынин Р. Р. О спектре дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Матем. сб. 2007. - Т. 198. № 8. - С. 3-34.

7. Бутузов В. Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области. // Дифф. уравнения. 1975. - Т. 11. № 6.- С. 1030-1041.

8. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. // УМН. 1957. - Т. 12. № 5. - С.3-122.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, • 1971. 512 С.

10. Гадылыпин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметром в граничном условии. // Дифф. уравнения. 1986. - Т. 22. № 4 - С. 640-652.

11. Гадылыпин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий: Сб. науч. тр. "Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений". Уфа: БНЦ УрО АН СССР 1988. - С. 3-15.

12. Гадылыпин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения за' дачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущенииграничного условия. // Матем. заметки. 1992. - Т. 52. № 4. - С. 42-55.

13. Гадылыпин Р. Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки. // Матем. заметки. 1993. - Т. 54. № 6. - С. 10-21.

14. Гадыльшин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закрепленной на малом участке границы. // Сибирский математический журнал. 1993. - Т. 34. № 3. - С.43-61.

15. Гадыльшин Р. Р., Ильин А. М. Асимптотика собственных значений задачи Дирихле в области с узкой щелью. // Матем. сб. 1998. - Т. 189. № 4. - С. 25-48.

16. Гадыльшин Р. Р. Системы резонаторов. // Изв. РАН. Сер. матем. -2000. Т. 64. № 3. - С. 51-96.

17. Гадыльшин Р. Р. О модельном аналоге резонатора Гельмгольца в усреднении. // Труды МИРАН. 2002. - Т. 236. - С. 79-86.

18. Гадыльшин Р. Р. Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории .усреднения. // Матем. сб. 2002. - Т. 193. № И. - С. 43-70.

19. Гадыльшин Р. Р. Метод согласования асимптотических разложений в сингулярно возмущенной краевой задаче для оператора Лапласа. // Итоги науки и техники. Совр. матем. и ее прилож. Тематические обзоры. 2003. - Т. 5. - С 3-32.

20. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на. оси. // ТМФ. 2002. - Т. 132. - С. 97-104.

21. Давлетов Д. Б. Сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле • для стационарной системы линейной теории упругости. // Известиявузов. Математика. 2008. - № 12. - С. 7-16.

22. Давлетов Д. Б. Асимптотика собственных значений краевой задачи Дирихле оператора Ламэ в трехмерной области с малой полостью.Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. - Т. 48. № 10. - С. 1847-1858.

23. Днестровский Ю. Н. Об изменении собственных чисел при изменении границы областей. // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1964. - № 9. - С. 61-74.

24. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифферен- ' циальных операторов. М.: Физматлит, 1993. 462 с.

25. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай // Матем. сб. 1976. - Т. 99. № 4. - С. 514-537.

26. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. И. Область с малым отверстием // Матем. сб. 1977. - Т. 103. № 2. - С. 265-284.

27. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

28. Калякин Л. А. Построение асимптотики решения одной задачи МГД с малым параметром. I. Прямолинейное течение в прямоугольном канале. Сверхпроводящая стенка, перпендикулярная магнитному полю. // Дифф. уравнения. 1979. - Т. 15. № 4. - С. 668-680.

29. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов. // Труды Санкт-Петербуржского Математи- • ческого Общества. 1998. № 6. - С. 151-212.

30. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. -740 с.

31. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутиц-кий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

32. Купрадзе В. Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физмат-гиз, 1963. 472 с.

33. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярных возмущениях области. Тбилиси: Изд-во Тбилисского университета, 1981. 207 с.

34. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями. // Изв. АН СССР. Сер. мат. -1984. Т. 48. № 2. - С. 347-371.

35. Мазья В. Г. Пространства Соболева. Л.: ЛГУ, 1985. 416 с.

36. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965. 549 с.

37. Маслов В. П. Операторные методы. М.: Наука, 1973. 544 с.

38. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

39. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991. 335 с.

40. Новокшенов В. Ю. Асимптотика решения одного эллиптического уравнения с разрывными граничными условиями. // Дифф. уравнения. 1976. - Т. 12. № 10. - С. 625-637.

41. Олейник О. А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов // УМН. 1987. - Т.42. Вып. 3. - С. 221-222.

42. Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988. С. 101-128.

43. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

44. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов. // ДАН СССР. 1948. - Т. 63. № 6. - С. 631-634.

45. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М.: Мир, 1984. 472 с.

46. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравне-• ний от малого параметра. // Матем. сб. 1948. - Т. 22. № 2. - С.193.204.

47. Федорюк М. В. Асимптотика решений задачи Дирихле для оператора Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра. // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. - Т. 45. № 1. - С. 167-186.

48. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости. М.: Мир, 1974. 160 с.

49. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Матем. сб. 1993. - Т. 184. № 6. - С. 99-150.

50. Чечкин Г. А. Полное асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимися граничными условиями в слое // УМН. 1993. - Т. 48. № 4. - С. 218-219.

51. Borisov D., Exner P., Gadyl'shin R., Krejcirik D. Bound states in weakly deformed strips and layers // Ann. H. Poincare. 2001. - V. 2 No 3. -P. 553-572.

52. Gadyl'shin R. R. On an analog of the Helmholtz resonator in the averaging theory // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 1999. - t. 329. No 12. - P. 1121-1126.

53. Gadyl'shin R. R. On regular and singular perturbations of acoustic and .quantum waveguides // C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. I, Math. 2004.t. 332. No 8. -P. 647-652.

54. Gomez D., Lobo M., Perez E. On the eigenfunctions associated with the high frequencies in systems with a concentrated mass // J. Math. Pures Appl. 1999. -V. 78. No 8. - P. 841-865.

55. Hempel R., Seco L., Simon B. The essential spectrum of Neumann Laplacians on some bounded singular domains. // J. Funct. Anal. 1991.- V. 102. P. 448-483.

56. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the eigenvalues of a. membrane with a concentrated mass. Quart. Appl. Math. XLVII, 1989.No.l , P. 93-103.

57. Oleinik 0. A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singulary pertubed operators. // In: Non classical continuum mechanics.,- 1987. Lecture Notes Series. 122, - Cambridge University Press. - p. 188-205.

58. Ozawa Sh. Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian. // Proc. Jap. Acad. 1980. - V. A 56. - P. 351-357.

59. Ozawa Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo. 1983. - Sect. I A 30. - P. 259-277.

60. Sanchez-Palecia E. Perturbation of eigenvalues in thermoelasticity and • vibration of system with concentrated masses. // In: Trends and• Application of pure Math, to Mechanics. Lecture notes in Phisics, 195, Berlin: Springer Verlag. 1984, p. 346-368.m

61. Sánchez-Hubert J, Perturbation des valeurs propres pour des systèms avec masse concentèe// C.R. Acad. Sei. Paris Sèr. II 1989. - V. 309. -P. 507-510.

62. Sánchez-Hubert J., Sánchez-Palecia E. Vibration and Coupling of Continuos Systems. Asymptotic Methods. Springer: Heidelberg, 1989.