Асимптотический анализ случайных блужданий с тяжёлыми хвостами приращений по направленным случайным графам и смежные вопросы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Тесемников Павел Игоревич

• Тесемников Павел Игоревич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Тесемников Павел Игоревич

Введение

1 Элементы теории распределений с тяжёлыми хвостами

2 Хвостовая асимптотика различных функционалов от траек-

и у—" ••

тории ветвящегося случайного блуждания в случае тяжёлых хвостов распределений приращений

2.1 Модель ветвящегося процесса в меняющейся среде

2.2 Модель ветвящегося случайного блуждания в меняющейся среде

2.3 Асимптотика хвоста распределения самой правой точки ветвящегося случайного блуждания в меняющейся среде

2.3.1 Следствия и примеры

2.4 Асимптотика хвоста распределения частичных максимумов случайного семейства случайных блужданий

2.4.1 Примеры и контрпримеры

2.5 Асимптотика хвоста распределения суммы максимумов случайных сумм для случайного числа случайных блужданий

3 Распределение длины минимального пути в направленном случайном графе

3.1 Случай плотного графа Барака - Эрдёша

3.2 Связность крайних вершин в графе Барака - Эрдёша

3.3 Вероятности редких событий в модели взвешенного графа Барака

- Эрдёша при наличии тяжёлых хвостов распределений

4 Доказательства основных результатов

4.1 Доказательства результатов главы

4.1.1 Доказательства результатов раздела

4.1.2 Доказательства результатов раздела

4.1.3 Доказательства результатов раздела

4.2 Доказательства результатов главы

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Приложение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический анализ случайных блужданий с тяжёлыми хвостами приращений по направленным случайным графам и смежные вопросы»

Введение

В первой части диссертации изучаются свойства сложных моделей случайных блужданий, компоненты которых имеют тяжёлые (правые) хвосты распределений.

Распределения с тяжёлыми хвостами прочно заняли своё место в стохастическом моделировании многих современных сложных систем и процессов, где использование классических вероятностных распределений с тонкими (лёгкими) хвостами не позволяет получить адекватное описание их динамики. Они используются для корректного моделирования входных данных в компьютерных и коммуникационных сетях, являются важной компонентой описания многих процессов риска, эпидемических процессов и т.д.

В частности, использование распределений с лёгкими хвостами в задачах финансовой математики не всегда соответствует возникающим на практике наблюдениям (см., например, [16, 33]). Поэтому часто предполагают, что распределения сумм страховых требований в различных моделях расчёта страховых рисков — например, в классической модели Крамера — Лундберга (см. [16]) — имеют тяжёлые хвосты. Другая область приложения таких распределений в экономической теории — моделирование распределения капитала, изучение и оценка стоимостных мер риска (см. [40]).

Также существует большое количество моделей в теории массового обслуживания, в которых те или иные характеристики имеют тяжёлые хвосты распределений. Пример — теория телетрафика, в рамках которой для моделирования долгосрочной динамики трафика может быть использована жидкостная очередь с одним или несколькими переключателями, причём период переключения характеризуется «неэкспоненциальным» поведением, т.е. имеет тяжёлый правый хвост распределения (см. [11]). Другие примеры моделей в теории массового обслуживания с тяжёлыми хвостами можно найти в [21, 24].

На стр. 16 мы опишем вероятностный смысл распределений с тяжёлыми хвостами (вообще говоря, некоторого достаточно широкого подкласса таких распределений). Этот смысл описывается так называемым «принципом одного большого скачка», который состоит в том, что «большие» значения некоторой

агрегированной характеристики могут лишь являться следствием «большого» значения ровно одной компоненты модели. Основной целью первой части диссертации является распространение этого принципа на широкий класс моделей сложных случайных блужданий.

Распределения с тяжёлыми хвостами и принцип одного большого скачка тесно связано с популярной философской концепцией так называемых «Чёрных лебедей», введённой Талебом в [39]. Чёрный лебедь — это аномальное событие, имеющее огромную силу воздействия, а объяснение которому возможно придумать лишь постфактум, то есть никакие индуктивные методы не позволяют предсказать его появление. Это всегда нечто, крайне неожиданное и приводящее к необратимым последствиям. По мнению Талеба человечество развивается в большей степени за счёт Чёрных лебедей: войн, мировых кризисов, научных открытий, поэтому «тонкохвостовой» способ мышления (к которому склонно по мнению автора абсолютное большинство людей) не позволяет качественно проанализировать такое событие.

Приведём примеры Чёрных лебедей (событий, сочетающихся с принципом одного большого скачка). На рис. 1 ниже изображён график индекса Доу -Джонса во второй половине 1987 года.

Dow Jones (1987-06-19 through 1988-01-19)

2800 2700 2600 2500

2300 -2200 -2100 -2000 -1900 -1800 -1700 L.

07/01/87 08/01/87 09/01/87 10/01/87 11/01/87 12/01/87 01/01/88

Рис. 1: Индекс Доу - Джонса во второй половине 1987 года. 19 октября 1987 года произошёл известный обвал фондового рынка — «Чёр-

ный понедельник», что хорошо видно на рис. 1. При этом траектория индекса во все остальные подчиняется «обычной» динамике. Возникает вопрос о правильном восприятии этого события. Является ли его возникновение аномалией? Ответ «да» упрощает задачу стохастического моделирования индекса, но бесполезен в реальной жизни, поскольку именно это «аномальное» поведение оказывает в конечном счёте колоссальное влияние на рынок и общество в целом.

Другой похожий пример из реальной жизни относится к совсем недавней эпидемии Covid-19 в мире. и изображён на рис. 2. График на этом рисунке соответствует количеству обращений за страховыми выплатами по безработице граждан США за чуть более, чем последние полвека.

Рис. 2: Количество обращений за страховыми выплатами в день жителями США с 1970 по 2022 года

Рис. 2 показывает, что в 2020 году произошёл резкий скачок количества обращений, связанный, очевидно, с глобальной пандемией. Именно этот скачок оказывает огромное влияние на финансовую систему, в то время как его предсказание представляется невозможным в сколько бы ни было приемлемой ретроспективе.

Рассуждения выше приводят к мысли, что восприятие таких нестандартных событий как аномалий неэффективно: именно они вносят решающий вклад в динамику системы, игнорирование их приводит к совершенно другим эффектам.

В [39] в качестве математического аппарата для моделирования Чёрных ле-

бедей выбраны именно распределения с тяжёлыми хвостами, поскольку типичное тонкохвостовое поведение (плавная планомерная динамика) не подходит для описания какого-либо социального явления.

Изучение распределений с тяжёлыми хвостами имеет чуть более чем полувековую историю, существует множество работ, описывающих отдельные аспекты этой теории. Относительно полная классификация и описание свойств таких распределений были проведены Фоссом, Коршуновым и Захари в [22]. Эта книга - первый достаточно полный учебник по теории распределений с тяжёлыми хвостами, содержащий как доказательства фундаментальных свойств классов распределений с тяжёлыми хвостами, так и конкретные примеры приложений этой теории. Мы проводим обзор современного состояния теории распределений с тяжёлыми хвостами в главе 1.

Во второй части диссертации изучается поведение минимальной длины пути в направленных случайных графах. Основная цель этой части состоит в установлении условий, при которых хотя бы один путь между крайними вершинами будет существовать с высокой вероятностью, а также в изучении его предельного распределения в этом случае. Хотя две части и не связаны напрямую между собой, мы приведём простую постановку, сочетающую в себе эффекты тяжелохвостовой динамики и теории направленных случайных графов.

Актуальность и степень разработанности темы исследования.

В главе 2 изучаются вероятности редких событий для различных функционалов от траектории ветвящегося случайного блуждания в меняющейся среде.

Эту модель можно рассматривать как пространственную версию ветвящихся процессов в меняющейся среде (неоднородных по времени процессов Гальто-на - Ватсона), описанных в разделе 2.1. Предполагается, что закон распределения количества потомков, вообще говоря, может зависеть от номера поколения, в котором живёт частица-прародитель. Мы будем изучать лишь надкритические (в строгом смысле) процессы, предполагая, что каждая частица производит на свет хотя бы одного потомка. В разделе 2.1 мы приведём условия, при которых результирующее число частиц процесса конечно и, более того, имеет конечное среднее. В таком случае, мы будем говорить, что мы имеем дело с быстрым затуханием ветвления. Также мы изучим моментные свойства момента прекращения ветвления и финального количества ветвей ветвящегося

процесса в меняющейся среде. Полученные нами результаты близки по духу к известным результатам Линдвала [32] и Керстинга [29]. Модель ветвящегося процесса в меняющейся среде, как и некоторые другие похожие модели, описаны в [30].

В разделе 2.3 изучается точная асимптотика хвоста распределения самой правой точки ветвящегося случайного блуждания. В этом разделе мы получаем результаты двух типов: индивидуальные и равномерные по некоторым классам параметров. В разделе 2.4 мы получаем точную асимптотику самой правой точки ветвящегося случайного блуждания в меняющейся среде в частном случае, когда ветвление в модели возможно лишь в нулевом поколении. Содержательные результаты получаются в предположении, когда количество блужданий является случайной, но ограниченной величиной. В разделе 2.5 мы исследуем лишь индивидуальную асимптотику для другого функционала от траектории ветвящегося случайного блуждания — суммы частичных максимумов по ветвям генеалогического дерева, вновь предполагая, что ветвление возможно лишь в нулевом поколении. Также мы приводим несколько содержательных примеров, демонстрирующих, в том числе, возможность получения так называемой «промежуточной асимптотики».

Все приводимые в главе 2 результаты являются обобщениями хорошо известных классических результатов Веравербеке 1977 года [42], Асмуссена 1998 года [7], Фосса и Захари 2003 года [26] и Фосса, Пальмовски и Захари 2005 года [25]. В этих работах изучалась точная асимптотика хвоста распределения частичного или глобального максимума классического одномерного случайного блуждания в случае, когда приращения блуждания имеют тяжёлые хвосты распределений. Такая задача представляет собой вариацию широко известной задачи о разорении. Похожие постановки описаны, например, в работах [2, 11, 15, 16, 21, 24, 31] и многих других.

Результаты главы 3 напрямую не связаны с результатами других глав и относятся к вопросу асимптотического поведения минимальной длины пути между крайними вершинами в одном классе направленных случайных графов, называемых обобщёнными графами Барака - Эрдёша. В такой модели множество вершин неслучайно и пронумеровано числами 0,1, 2,... ,п, а направленные из меньших вершин в большие рёбра существуют независимо друг от друга. При

этом вероятность р = р^^ (п) существования ребра из вершины % в вершину ] может зависеть как от общего количества вершин п + 1, так и от номеров % и ].

В разделе 3.1 мы изучаем предельное распределение минимальной длины пути между крайними вершинами в обобщённом графе Барака - Эрдёша в случае «плотного графа», то есть, когда среднее количество рёбер с высокой вероятностью растёт быстрее, чем линейно по количеству вершин. В этом случае крайние вершины графа 0 и п с высокой вероятностью соединены путём, а носитель предельного распределения минимальной длины пути не содержит точки Мы приводим точный вид этого распределения для достаточно широкого класса последовательностей р^- (п). В разделе 3.2 мы изучаем вопрос связности вершин 0 и п в обобщённом графе Барака - Эрдёша. Мы приводим необходимые и достаточные условия связности в частном случае, когда вероятность существования ребра из вершины % в вершину ] зависит лишь от разности ] — % и формулируем некоторые следствия для более общей модели.

Изучению графов Барака - Эрдёша посвящено немало научных работ. Отметим цикл работ Ньюмана с соавторами, включающий, например, работы [36] и [37], в котором описываются области возможного приложения графов Барака

- Эрдёша (такие, как, например, теория параллельных вычислений и математическая биология), а также приводится ряд результатов о структуре графа, в частотности, о поведении максимальной длины пути при неограниченном возрастании количества вершин. Фосс и Константопулос в работе 2003 года [18], а затем Денисов, Фосс и Константопулос в работе 2012 года [14] продолжают изучение поведения максимальной длины пути в графе Барака - Эрдёша, уточняя и обобщая результаты Ньюмана. Отметим также работы [3, 13, 19, 20, 23, 34, 35], в которых изучаются различные свойства графов Барака - Эрдёша и их обобщений. Отметим, однако, что результаты об асимптотическом поведении распределения минимальной длины пути между крайними вершинами в графе Барака

- Эрдёша не встречаются в научной литературе, насколько известно автору (за исключением опубликованных работ автора [43, 46]).

Хотя мы и упомянули, что главы 2 и 3 напрямую не связаны друг с другом, в разделе 3.3 мы приводим простую модель, сочетающую в себе эффекты и распределений с тяжёлыми хвостами и направленных случайных графов на прямой. В этом разделе мы получим точную хвостовую асимптотику «стои-

мости проезда» по случайно выбранному пути минимальной длины в графе Барака - Эрдёша, в случае когда «стоимости» проезда по каждому из рёбер тяжелохвостны.

Цель диссертации состоит в получении явного вида точной асимптотики хвоста распределения различных функционалов от траектории случайного блуждания, приращения которого имеют тяжелые хвосты, по направленным случайным графам двух типов и изучение условий, при которых эта асимптотика является равномерной в некоторых классах функционалов.

Основные результаты диссертации:

1. Получен явный вид точной хвостовой асимптотики самой правой точки блуждания по генеалогическому дереву ветвящегося случайного процесса в меняющейся среде в случае, когда приращения блуждания имеют тяжёлый правый хвост. Получены достаточные условия равномерности этой асимптотики по некоторым классам криволинейных границ и временных интервалов.

2. Получен явный вид точной хвостовой асимптотики суммы случайного числа частичных максимумов независимых случайных блужданий, приращения которых имеют тяжёлые правые хвосты распределений.

3. Получен точный вид предельного распределения минимальной длины пути в обобщённом графе Барака - Эрдёша.

4. Получен явный вид асимптотики одного супремального функционала от траектории случайного блуждания по обобщённому графу Барака - Эрдё-ша в случае, когда приращения блуждания имеют тяжёлые правые хвосты распределений.

Методы исследования. В работе применялись прямые вероятностные методы, стандартные методы построения верхней и нижней оценок для изучения асимптотики хвоста распределения случайной величины, метод Штейна для установления слабой сходимости последовательности случайных величин, метод Лапласа изучения асимптотики определённых интегралов, метод одного вероятностного пространства.

Научная новизна и значимость работы. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты расширяют представление об области применимости принципа одного большого скачка и могут быть использованы для проведения дальнейших исследований в области теории распределений с тяжёлыми хвостами, а также в теоретической актуарной математике.

На защиту выносится совокупность результатов, связанных с нахождением точной хвостовой асимптотики различных функционалов от траектории тяжелохвостового случайного блуждания по направленным случайным графам специальных типов и включающих в себя результаты о структурных свойствах рассматриваемых направленных случайных графов.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на Международной научной студенческой конференции НГУ (г. Новосибирск, апрель 2018, апрель 2019, апрель 2020), на международных конференциях "Applied Probability Workshop 2019" (г. Новосибирск, август 2019), "Applied Probability Workshop 2020" (г. Новосибирск, август 2020), "Random Networks and Interacting Particle Systems 2021" (г. Париж, сентябрь 2021), "Branching Processes, Random Walks and Probability on Discrete Structures" (г. Москва, июнь 2022) «Боров-ковские чтения 2022» (г. Новосибирск, август 2022), "Workshop "6-th St. Petersburg Youth Conference in Probability and Mathematical Physics" (г. Санкт-Петербург, декабрь 2022), на семинаре «Вероятность и математическая статистика» (г. Санкт-Петербург, Москва, Новосибирск, февраль 2022), Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике (г. Санкт-Петербург, март 2022), объединённом семинаре лаборатории ТВиМС и кафедры ТВиМС (г. Новосибирск, декабрь 2022), новогоднем конкурсе молодых учёных ИМ СО РАН (г. Новосибирск, декабрь 2022, отмечены дипломом второй степени).

Публикации. Основные результаты настоящей диссертации опубликованы в четырёх статьях автора [43, 44, 45, 46], в число которых входит 3 статьи в реферируемых журналах из списка ВАК [43, 44, 45], 1 — в издании, которое индексируется в базах Web of Science и SCOPUS [46].

Личный вклад. Постановки задач предложены научным руководителем. Доказательства основных утверждений (за исключением теоремы 8 выполнены соискателем самостоятельно. Доказательство теоремы 8 было выполнено сов-

местно с Бастиеном Маллейном. Конфликт интересов с соавторами отсутствует.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 126 страницах с 13 рисунками, содержит введение, 4 главы, заключение, список сокращений и условных обозначений, приложение и список литературы из 46 источников, включая 4 публикации автора по теме диссертации.

Содержание работы. Во введении обсуждается актуальность задачи изучения теоретических свойств распределений с тяжёлыми хвостами, а также их связь с философской концепцией «Чёрных лебедей».

В главе 1 мы приводим основные определения и свойства распределений с тяжёлыми хвостами, а также делаем обзор основных известных результатов, относящихся к теме диссертации.

Основные результаты диссертации, посвящённые нахождению точной хвостовой асимптотики в двух моделях случайных блужданий по направленным случайным графам, сформулированы в виде теорем, предложений и следствий в главах 2 и 3. Известные ранее результаты, необходимые нам для изложения, сформулированы в виде утверждений. Некоторые относительно короткие доказательства и рассуждения приведены в основном тексте диссертации.

Оставшиеся доказательства основных результатов вынесены в отдельную главу 4. Вспомогательные результаты сформулированы в виде лемм.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Приложение содержит доказательства некоторых дополнительных технических результатов.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору Сергею Георгиевичу Фоссу за постановки задач, плодотворные обсуждения и поддержку в написании диссертации, а также кандидату физико-математических наук Евгению Игоревичу Прокопенко за полезные советы и консультации при работе над результатами, представленными в диссертации.

Глава 1. Элементы теории распределений с тяжёлыми

хвостами

В этой главе мы опишем основные классы распределений с тяжёлыми хвостами и их свойства, необходимые нам для последующего изложения. Также мы приведём краткий обзор основных результатов, связанных с тяжелохвостовыми распределениями.

Всюду в этой главе (если не оговорено обратное) через G мы будем обозначать вероятностное распределение на вещественной прямой, а через п, Пъ П2,... — независимые случайные величины, распределённые согласно закону (распределения) G.

Дадим ряд определений. Распределение G имеет тяжёлый (правый) хвост, если его производящая функция моментов

/то

eXxG(dx) = то (1.1)

-то

при всех Л > 0. Определение эквивалентно тому, что хвост распределения G(x) не мажорируется никакой функцией вида exp(-Лх), из чего следует, что тяжёлый (правый) хвост не может убывать экспоненциально (и быстрее). Другими словами, распределение G имеет тяжёлый хвост тогда и только тогда, когда

lim sup eXxG(x) = то

x—)-то

при всех Л > 0.

Обсудим некоторые свойства распределений с тяжёлыми хвостами. Предположим, что распределение (не обязательно тяжелохвостовое) G сосредоточено на R+. В этом случае

P (ni + П2 > х) > P (ni > х,П2 < х) + P (п2 > x,ni < х) = 2 С(х^(х)

- 22G(х) (1.2)

при х — то. Из (1.2) следует, что для любого распределения G с носителем на

справедливо

. ГО * О(х) п Нт ш£ —=—-—- > 2.

X—>со

С(х)

Оказывается (см., например, [22]), что если О с носителем на имеет тяжёлый

хвост, то

п. . г О * О(х) „ .

Нт т£ —=—— = 2. (1.3)

О(х)

х—>оо

Ниже мы опишем так называемый «принцип одного большого скачка», который по форме согласуется с (1.3). Этот принцип выполнен для несколько суженного класса распределений. Мы подробно обсудим его ниже (см. стр. 16).

Перейдём к рассмотрению некоторых специальных подклассов класса распределений с тяжёлыми хвостами. Распределение О имеет длинный (правый) хвост (является локально степенным; О Е С), если О(х) > 0 при всех х > 0 и при любом фиксированном Н > 0,

Р (п > х + Н|п > х) = О(х + Н) ^ 1 (1.4)

О(х)

при х ^ то. Известно, что если О Е С, то функция £(х) := О(^х) будет медленно меняющейся функцией, то есть

Цху)

——---> 1 при х ^ то

ь(х)

для всех у > 0. С помощью теоремы Карамата (см., например, [10]) получено представление хвоста любого распределения О Е С, а именно показано, что О Е С тогда и только тогда, когда найдутся измеримые функции е(х) ^ 0 и с(х) ^ с Е (0, то) при х ^ то такие, что для некоторого достаточно большого а > 0

О(х) = с(х) ехр | J при х > а.

Известно (см., например, [22]), что как и для медленно меняющихся функций, из определения (1.4) следует, что для любого фиксированного К > 0

О(х + Н)

вир

\h\KK

О(х)

1

1

при х ^ то, то есть сходимость в (1.4) является равномерной на любом компакте. Более того, известно (см., например, [22]), что существует такая неубывающая функция К : ^ что К(х) < х/2 при всех х > 0 и

Иш К(х)) = 1. (1.5)

х^то С(х)

Свойство (1.5) называется К-нечувствительностью распределения С.

При условии Еп+ < то корректно определено так называемое распределение интегрального хвоста

/>то

С/(х) = шт{1, / С(£)^} при х > 0.

«/ X

Известно (см., например, [22]), что если С е С, то и С/ е С и, более того,

С(х) = о (С/(х)) при х ^ то.

В главе 2 мы приводим ряд результатов, в которых изучается асимптотическое поведение хвоста распределения некоторых супремальных (и не только) характеристик в моделях сложных случайных блужданий. При условии тяжелохвост-ности приращений блуждания типичной оказывается ситуация, когда наименьший возможный асимптотический порядок изучаемой асимптотики совпадает с С(х), а наибольший — с С/(х). Кроме того, мы показываем, что при определённых условиях возникает так называемая «промежуточная» асимптотика: хвост «толще», чем С(х), но «тоньше», чем С/(х).

В [22] показано, что если С е С, то

п. . ГС * С(х) ^ .

Нш т£ —=—— = 2. (1.6)

х^то С(х)

Отличие (1.6) от (1.2) состоит в том, что в случае С е С мы не накладываем условие неотрицательности носителя распределения С.

Распределение С называется субэкспоненциальным (С е 5, см. [5]), если Си

р (П1 + П2 > х) = С * С(х) - 2С(х) = 2Р (П1 > х) (1.7)

при х ^ то. Сформулированное определение (1.7) эквивалентно следующему: распределение С е 5, если

р + п2+ > х) — 2Р > х)

при х ^ то. Это означает, что условие С ЕС в (1.7) излишне в случае, когда распределение С сосредоточено на В общем случае, однако, это условие существенно. Это показано, например, в [22]. Положим

п

50 = 0, 5П = п, при п > 1 и Мп = тах 5к при п > 0.

0< к<п

'п — / , 'г ^^ <<, > ^ л ±*±п

0 <к<п

г=1

В [22] показано, что распределение С Е 5 тогда и только тогда, когда С Е С, и при всех целых п > 2

Р ^п >х) - пС(х) (1.8)

при х ^ то.

Перейдём теперь к описанию упомянутого нами ранее принципа одного большого скачка. Определение (1.7) эквивалентно тому, что С Е С и при любом п>2

Р (5п > х) - Р (тах(п1,П2,... ,Пп) > х) (1.9)

при х ^ то. Эквивалентность (1.9) проясняет вероятностный смысл субэкспоненциальных распределений, который состоит в том, что для таких распределений справедлив следующий принцип: сумма независимых случайных величин с одним субэкспоненциальным распределением принимает «большое» значение в том и только в том случае, когда ровно одно из слагаемых принимает «большое» значение. Более формально, из эквивалентности (1.9) следует, что

Р ( Ц1{Пг > х} ,=1

Sn > х —> 1

при х ^ то, что означает, что в случае, когда сумма Sn приняла «большое значение», одно из слагаемых непременно должно принять «большое значение». С другой стороны определение (1.8) влечёт

Р ^(п > 1(х),П- > 1(х)}|£п > ^ 0

при х ^ то для любой функции 1(х) ^ то при х ^ то. Это означает, что в случае, когда сумма Sn приняла «большое значение», любые два различных

слагаемых одновременно принимают хоть сколько-нибудь большое значение с пренебрежимо малой вероятностью.

Следовательно, для любой функции 1(х) ^ то при х ^ то

р (и

¿=1

{п* > х} П < 1(х)}

3=*

Sn > х I ^ 1 (1.10)

при х ^ то. Проиллюстрируем эквивалентность (1.10). На рис. 1.1 изображены две различные траектории случайного блуждания Sn на временном интервале [0,1000] с приращениями, распределенными согласно трёхпараметрическому закону Парето с плотностью

/ (у; а ^ р) = (у _ а)в+1, при у > а + я".

Для численных экспериментов были выбраны следующие значения параметров:

я = (Ь _

в = 4.1, а = _0.1 _ ~ч " ^ 'Ъ 2

В этом случае Еп1 = _0.1, а Юп1 = 1. Траектория, выделенная зелёным цветом, демонстрирует «правильное» (то есть, согласующееся с ЗБЧ и ЦПТ) поведение траектории случайного блуждания $п. Траектория, выделенная красным цветом, соответствует «редкому» событию, когда значение 51000 > 100 (т.е. относится к редким событиям уровня 6я). Пунктирные линии на рис. 1.1 устанавливают зону «правильного» (то есть, согласующемуся с ЗБЧ и ЦПТ) поведения блуждания 5П,. Рис. 1.1 показывает, что редкая траектория случайного блуждания Sn в целом согласуется с ЗБЧ и ЦПТ, но ровно один большой скачок приводит к большим значениям блуждания в момент времени п = 1000.

Для тонкохвостовых распределений характерна принципиальна другая динамика. Будем считать, что распределение С нерешётчато и положим

А+ = 8ир{А > 0 таким, что фС(А) < 1},

где фс(А) определено в (1.1). Предположим, что выполнено условие Крамера, то есть

А+ > 0, фс(А+) = 1 и фС(А+) < то.

Рис. 1.1: «Типичная» и «редкая» траектории тяжелохвостового случайного блуждания

В этом случае динамика случайного блуждания определяется так называемым принципом «все виноваты», то есть сумма независимых случайных величин с одним распределением принимает «большое» значение в том и только в том случае, когда каждое из слагаемых принимает умеренно «большое» значение (все слагаемые ведут себя «одинаково неправильно»). На рис. 1.2 изображены две различные траектории тонкохвостового блуждания, приращения которого имеют двупараметрическое показательное распределение (удовлетворяющее условию Крамера) с плотностью

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Тесемников Павел Игоревич, 2024 год

Список литературы

[1] Боровков, А. А., Вероятностные процессы в теории массового обслуживания, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1972.

[2] Захари, С., Фосс, С. Г., О точной асимптотике максимума случайного блуждания с приращениями из одного класса распределений с тонкими хвостами, Сибирский математический журнал, 47 (2006), 1265-1274.

[3] Константопулос, Т., Логачёв А. В., Могульский А. А., Фосс, С. Г., Предельные теоремы для максимального веса пути в направленном графе на целочисленной прямой со случайными весами рёбер, Проблемы передачи информации, 57 (2021), 71-89.

[4] Фосс, С. Г., Чернова, Н. И., Стабильность случайных процессов, Новосибирский государственный университет, 2020.

[5] Чистяков, В. П., Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложения к ветвящимся случайным процессам, Теория вероятностей и ее применения, 9 (1964), 710-718.

[6] Albrecher, H., Chen, B., Vatamidou, E., Zwart, B., Finite-time ruin probabilities under large-claim reinsurance treaties for heavy-tailed claim sizes, Journal of Applied Probability, 57 (2020), 513-530.

[7] Asmussen, S., Subexponential asymptotics for stochastic processes: extremal behavior, stationary distributions and first passage probabilities, The Annals of Applied Probability, 8 (1998), 354-374.

[8] Barak, A. B., Erdos, P. On the maximal number of strongly independent vertices in a random acyclic directed graph, SIAM Journal on Algebraic Discrete Methods, 5 (1984), 508-514.

[9] Bhattacharya, A., Palmowski, Z., Zwart, B., Persistence of heavy-tailed sample averages: principle of infinitely many big jumps, Electronic Journal in Probability, 27 (2022), 1-25.

[10] Bingham, N. H., Goldie, C. M., Teugels, J. L., Regular variation, Cambridge University Press, 1987.

[11] Boxma, O., Cohen, J., The M/G/1 queue with heavy-tailed service time distribution, IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 16 (1998), 749-763.

[12] Chen, L. H. Y., Poisson approximation for dependent trials, The Annals of Probability, 3 (1975), 534-545.

[13] Chernysh, K., Ramassamy, S., Coupling any number of balls in the infinite-bin model, Journal of Applied Probability, 54 (2017), 540-549.

[14] Denisov, D., Foss, S., Konstantopoulos, T., Limit theorems for a random directed slab graph, The Annals of Applied Probability, 22 (2012), 702-733.

[15] Denisov, D., Foss, S., Korshunov, D., Asymptotics of randomly stopped sums in the presence of heavy tails, Bernoulli, 16 (2010), 971-994.

[16] Embrechts, P., Kliippelberg, C., Mikosch, T., Modelling extremal events for insurance and finance, Springer, 1997.

[17] Erdos, P., Renyi, A., On the evolution of random graphs, Publications of the Mathematical Institute of the Hungarian Academy of Sciences, Series A, 5 (1960), 17-61.

[18] Foss, S. and Konstantopoulos, T., Extended renovation theory and limit theorems for stochastic ordered graphs, Markov Processes and Related Fields, 9 (2003), 413-468.

[19] Foss, S., Konstantopoulos, T., Limiting properties of random graph models with vertex and edge weights, Journal of Statistical Physics, 173 (2018), 626-643.

[20] Foss, S., Konstantopoulos, T., Mallein, B, Ramassamy, S., Estimation of the last passage percolation constant in a charged complete directed acyclic graph via perfect simulation, arXiv preprint (2021).

[21] Foss, S., Korshunov, D., On large delays in multi-server queues with heavy tails, Mathematics of Operations Research, 37 (2012), 201-218.

[22] Foss, S., Korshunov, D., Zachary, S., An introduction to heavy-tailed and subexponential distributions, 2nd edition, Springer, 2013.

[23] Foss, S., Martin, J. B., Schmidt, P., Long-range last-passage percolation on the line, The Annals of Applied Probability, 24 (2014), 198-234.

[24] Foss, S., Miyazawa, M., Two-node queueing network with a heavy-tailed random input: the strong stability case, Journal of Applied Probability, 51A (2014), 249265.

[25] Foss, S., Palmowski, Z, Zachary, S, The probability of exceeding a high boundary on a random time interval for a heavy-tailed random walk, The Annals of Applied Probability, 15 (2005), 1936-1957.

[26] Foss, S., Zachary, S., The maximum on a random time interval of a random walk with long-tailed increments and negative drift, The Annals of Applied Probability, 13 (2003), 37-53.

[27] Gelenbe, E., Nelson, R., Philips, T., Tantawi, A., An approximation of the processing time for a random graph model of parallel computation, Proceedings of 1986 ACM Fall Joint Computer Conference, 1986, 691-697.

[28] Glasscok, D., What is ... a graphon?, Notices Of The American Mathematical Society, 62 (2015), 46-48.

[29] Kersting, G., A unifying approach to branching processes in a varying environment, Journal of Applied Probability, 57 (2020), 196-220.

[30] Kersting, G., Vatutin, V., Discrete Time Branching Processes in Random Environment, Wiley, 2017.

[31] Klüppelberg, C., Subexponential distributions and integrated tails, Journal of Applied Probability, 25 (1988), 132-141.

[32] Lindvall, T., Almost sure convergence of branching processes in varying and random environments, The Annals of Probability, 2 (1974), 344-346.

[33] Malevergne, Y., Sornette, D., Extreme financial risks: from dependence to risk management, Springer, 2006.

[34] Mallein, B, Ramassamy, S., Two-sided infinite-bin models and analyticity for Barak-Erdos graphs, Bernoulli, 25 (2019), 3479-3495.

[35] Mallein, B, Ramassamy, S., Barak-Erdos graphs and the infinite-bin model, Annales de l'Institut Henri Poincare, Probabilites et Statistiques, 57 (2021), 1940-1967.

[36] Newman, C. M., Chain lengths in certain random directed graphs, Random Structures and Algorithms, 3 (1992), 243-253.

[37] Newman, C. M., Cohen J. E., A stochastic theory of community food webs IV. Theory of food chain lengths in large webs, Proceedings of the Royal Society of London, Series B, Biological Sciences, 228 (1986), 355-377.

[38] Stein, C., A bound for the error in the normal approximation to the distribution of a sum of dependent random variables, Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, 2 (1972), 583-602.

[39] Taleb, N. N., The Black Swan : the Impact of the Highly Improbable, New York:Random House, 2007.

[40] Tang, Q., Yuan, Z., Randomly weighted sums of subexponential random variables with application to capital allocation, Extremes, 17 (2003), 467-493.

[41] Thorisson, H., Coupling, Stationarity, and Regeneration, Springer, 2000.

[42] Veraverbeke, N. Asymptotic behavior of Wiener-Hopf factors of a random walk, Stochastic Processes and their Applications, 5 (1977), 27-37.

Работы автора по теме диссертации

[43] Тесемников, П. И., Об асимптотике кратчайшего расстояния между крайними вершинами в обобщенном графе Барака - Эрдёша, Сибирские Электронные Математические Известия, 15 (2018), 1556-1565.

[44] Тесемников, П. И., О сумме максимумов случайных сумм случайных величин при наличии тяжелых хвостов распределений, Сибирские Электронные Математические Известия, 16 (2019), 1785-1794.

[45] Тесемников, П. И, Фосс, С. Г., Вероятность достижения удаляющейся границы ветвящимся случайным блужданием с затуханием ветвления и тяжелым хвостом распределения скачков, Труды Математического института имени В. А. Стеклова, 316 (2022), 336-354.

[46] Mallein, B., Tesemnikov, P., On the length of the shortest path in a sparse Barak-Erdos graph, Statistics & Probability Letters, 190 (2022).