Асимптотическое поведение некоторых характеристик случайных блужданий и однородных процессов с независимыми приращениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Шнеер, Всеволод Владиславович

• Шнеер, Всеволод Владиславович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шнеер, Всеволод Владиславович

Глава 1. Введение

§ 1.1. Случайное блуждание и однородный процесс с независимыми приращениями.

§ 1.2. Распределения с тяжелыми хвостами.

1.2.1. Субэкспоненциальные распределения.

1.2.2. Локалыю-субэкспоненциальные распределения. чк

§ 1.3. Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин в случае тяжелых хвостов

§ 1.4. Супремум случайного блуждания.

§ 1.5. Максимум случайного блуждания до момента выхода на отрицательную полуось.

§ 1.6. Время пересечения фиксированной границы случайным блужданием или однородным процессом с независимыми приращениями

Глава 2. Оценки для распределений сумм независимых одинаково распределенных случайных величин

§2.1. Оценки для распределений из класса £ П Х>.

§ 2.2. Класс распределений

§ 2.3. Оценки для распределений из класса БС.

§ 2.4. Равномерные оценки.

§ 2.5. Асимптотика распределения максимума случайного блуждания, управляемого регенерирующей последовательностью.

§ 2.6. Оценки для вероятностей попадания в конечный интервал

§ 2.7. Доказательства основных утверждений.

Глава 3. Асимптотика вероятности попадания в конечный интервал для максимума случайного блуждания до момента выхода на отрицательную полуось

§3.1. Основные свойства класса

§3.2. Доказательство теоремы 3.1.

§ 3.3. Доказательства свойств распределений из класса Sд.

§ 3.4. Максимум случайного блуждания до произвольного момента остановки

Глава 4. Асимптотика хвоста распределения времени пересечения фиксированной границы случайным блужданием или однородным процессом с независимыми приращениями

§4.1. Основные результаты.

§ 4.2. Вероятности больших уклонений для сумм случайных величин

4.2.1. Случай Q(t) = o(Vt).

4.2.2. Случай lim sup ЯШ. > о.

4.2.3. Крамеровский и промежуточный случаи.

§4.3. Вывод асимптотики в явном виде.

§4.4. Доказательства теорем 4.1 и 4.2.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотическое поведение некоторых характеристик случайных блужданий и однородных процессов с независимыми приращениями»

В главах 2 и 3 изучается асимптотическое поведение распределений некоторых характеристик случайных блужданий (подробнее см. ниже). В главе 4 наряду со случайными блужданиями рассматривается их аналог в непрерывном времени.

Определение 1.1. Случайный процесс {-Х"(}(>о называется однородным процессом с независимыми приращениями, если(а) для всех s,t> 0 приращение Xt+3 —Xt не зависит от процесса {X„}o<v<t и совпадает по распределению cl„a также(б) траектории этого процесса п.н. принадлежат классу £)([0, оо)), т.е., являются непрерывными справа при t > 0 и имеют левосторонние пределы при t > 0.

Из определения следует, в частности, что Р(Х0 = 0) = 1. В настоящей работе основное внимание уделяется случайным блужданиям и однородным процессам с независимыми приращениями в случае, когда распределение приращения процесса имеет тяжелый хвост (см. определение 1.2). Однако методы, предложенные в главе 4, позволяют также получить результаты для распределений с легкими хвостами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шнеер, Всеволод Владиславович, 2006 год

1. Арндт, К. Асимптотические свойства распределения супремума случайного блуждания на цепи Маркова. — Теория вероятностей и ее применения, 1980, 25, 2, 313-328.

2. Боровков, A.A. Вероятности больших уклонений для случайных блужданий с семиэкспоненциальными распределениями. — Сибирский математический журнал, 2000, 41, б, 1290-1324.

3. Боровков, A.A. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания. М.: Наука, 1972.

4. Боровков, A.A. Об асимптотике распределений времен первого прохождения. — Математические заметки, 2004, 75, 1, 24.

5. Боровков, A.A. О субэкспоненциальных распределениях и асимптотике распределения максимума последовательных сумм. — Сибирский математический журнал, 2002, 43, б, 1235-1264

6. Боровков, A.A. Оценки для распределения сумм и максимумов сумм случайных величин при невыполнении условия Крамера.— Сибирский математический журнал, 2000, 41, 5, 997-1038.

7. Боровков, A.A. Теория вероятностей. М.: Эдиториал УРСС, 1999.

8. Боровков, А. А., Боровков К.А. О вероятностях больших уклонений случайных блужданий. I. Распределения с правильно меняющимися хвостами. — Теория вероятностей и ее применения, 2001, 46, 2, 209-232.

9. Боровков, A.A., Боровков, К.А. О вероятностях больших уклонений для случайных блужданий. II. Регулярные экспоненциально убывающие распределения. — Теория вероятностей и ее применения, 2004, 49, 2, 209-230.

10. Петров, В.В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

11. Рогозин, Б. А. Распределение некоторых функционалов, связанных с граничными задачами для процессов с независимыми приращениями. — Теория вероятностей и ее применения, 1966, 11, 161-169.12.13.14.15.16. 17]

12. Розовский, JI. В. Вероятности больших уклонений на всей оси. — Теория вероятностей и ее применения, 1993, 38, 1, 79-109.

13. Розовский, JI.B. О коэффициентах ряда Крамера. — Теория вероятностей и ее применения, 1998, 43, 1, 161-166.

14. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 2, М.: Мир, 1984.

15. Фук, Д.Х., Нагаев, С.В. Вероятностные неравенства для сумм независимых случайных величин. — Теория вероятностей и ее применения, 1971, 16, 4, 660-675.

16. Чистяков, В. П. Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложения к ветвящимся случайным процессам. — Теория вероятностей и ее применения, 1964, 9, 4, 710-718.

17. Шнеер, В.В. Оценки для распределений сумм случайных величин с субэкспоненциальными распределениями. — Сибирский математический журнал, 2004, 45, 6, 1401-1420.

18. Шнеер, В. В. Оценки для вероятностей попадания в интервал сумм случайных величин с локально-субэкспоненциальными распределениями. — Сибирский математический журнал, 2006, 47, 4, 946-955.

19. Abate, J., Whitt, W. Asymptotics for M/GI/1 low-priority waiting-time tail probabilities. — Queueing Systems, 1997, 25, 173-233.

20. Alsmeyer, G., Sgibnev, M. On the tail behaviour of the supremum of a random walk defined on a Markov chain. — Yokohama Mathematical Journal, 1999, 46, 139-159.

21. Asmussen, S. Subexponential asymptotics for stochastic processes: extremal behaviour, stationary distributions and first passage probabilities. — Annals of Applied Probability, 1998, 8, 354-374.

22. Asmussen, S. Applied Probability and Queues, 2nd edn. Springer-Verlag, New York, 2003.

23. Asmussen, S., Foss, S., Korshunov, D. Asymptotics for sums of random variables with local subexponential behaviour. — Journal of Theoretical Probability, 2003, 16, 2, 489-518.

24. Asmussen, S., Kalashnikov, V., Konstantinides, D., Kliippelberg, C., Tsitsi-ashvili, G. A local limit theorem for random walk maxima with heavy tails.Statistics and Probability Letters, 2003, 56, 399-404.

25. Asmussen, S., Kliippelberg, C., Sigman, K. Sampling at sub-exponential times, with queueing applications. — Stochastic Processes and their Applications, 1999, 79, 265-286.

26. Asmussen, S., Schmidli, H., Schmidt, V. Tail probabilities for non-standard risk and queueing processes with subexponential jumps. — Advances in Applied Probability, 1999, 31, 2, 422-447.

27. Athreya, K.B., Ney, P.E. Branching Processes. Springer Verlag, Berlin, 1972.

28. Baltrunas, A., Daley, D. J., Kliippelberg, C. Tail behaviour of the busy period of a GI/GI/l queue with subexponential service times. — Stochastic Processes and their Applications, 2004, 111, 237-258.

29. Bertoin, J. Levy Processes. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.

30. Bertoin, J., Doney, R. A. On the local behaviour of ladder height distributions.Journal of Applied Probability, 1994, 31, 816-821.

31. Bertoin, J., Doney, R. A. Some asymptotic results for transient random walks.Advances in Applied Probability, 1996, 28, 207-226.

32. Bingham, N.H., Goldie, C.M., Teugels, J.L. Regular Variation. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

33. Chover, J., Ney, P., Wainger, S. Functions of probability measures. — Journal d'Analyse Mathématique, 1973, 26, 255-302.

34. Cline D.B.H. Convolution tails, product tails and domains of attraction. — Probability Theory and Related Fields, 1986, 72, 529-557.

35. Cohen, J. W. Some results on regular variation for distributions in queueing and fluctuation theory. — Journal of Applied Probability, 1973, 10, 343-353.

36. Cohen, J. W. The Single-Server Queue, 2nd edn. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1982.

37. Denisov, D. A note on the asymptotics for the maximum on a random time interval of a random walk. — Markov Processes and Related Fields, 2005, 11, 165-169.

38. Denisov, D., Dieker, T., Shneer, V. Large deviations for subexponential random variables. — Подготовлена к публикации.

39. Denisov, D., Foss, S. and Korshunov, D. Tail asymptotics for the supremum of a random walk when the mean is not finite. — Queueing Systems, 2004, 46, 15-33.

40. Denisov, D., Shneer, V. Local asymptotics of the cycle maximum of a heavy-tailed random walk. — november 2005, EURANDOM report 2005-034.

41. Denisov, D., Shneer, V. Asymptotics for first passage times of Levy processes and random walks.-july 2006, EURANDOM report 2006-017.

42. Doney, R. A. On the asymptotic behaviour of first passage times for transient random walk. — Probability Theory and Related Fields, 1989, 81, 239-246.

43. Doney, R. A., Mailer, R. A. Stability and attraction to normality for Levy processes at zero and at infinity. — Journal of Theoretical Probability, 2002, 15, 751-792.

44. Embrechts, P., Goldie, C. M. On convolution tails. — Stochastic Processes and their Applications, 1982, 13, 263-278.

45. Embrechts, P., Goldie, C. M., Veraverbeke, N. Subexponentiality and infinite divisibility. Z. Wahrsch. Verw. Gebiete, 1979, 49, 335-347.

46. Embrechts, P., Hawkes, J. A limit theorem for the tails of discrete infinitely divisible laws with applications to fluctuation theory. — J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 1982, 32, 412-422.

47. Embrechts, P., Goldie, C.M. On closure and factorization properties ofsubex-ponential and related distributions. — J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 1980, 29, 243-256.

48. Embrechts, P., Goldie, C.M. On convolution tails. — Stochastic Processes and their Applications, 1982, 13, 263-278.

49. Embrechts, P., Kliippelberg, C., Mikosch, T. Modelling Extremal Events. Springer Verlag, Berlin, 1997.

50. Foss, S., Korshunov, D. Sampling at a random time with a heavy-tailed distribution. — Markov Processes and Related Fields, 2000, 6, 543-568.

51. Foss, S., Palmowski, Z. and Zachary, S. The probability of exceeding a high boundary on a random time interval for a heavy-tailed random walk. — Annals of Applied Probability, 2005, 15, 1936-1957.

52. Foss, S., Zachary, S. The maximum on a random time interval of a random walk with long-tailed increments and negative drift. — Annals of Applied Probability, 2003, 13, 37-53.

53. Greenwood, P., Monroe, I. Random stopping preserves regular variation of process distributions. — Annals of Probability, 1977, 5, 42-51.

54. Heath, D., Resnick, S. and Samorodnitsky, G. Patterns of buffer overflow in a class of queues with long memory in the input stream. — Annals of Applied Probability., 1997, 7, 1021-1057.

55. Jelenkovic, P. R., Momcilovic, P. Large deviations of square root insensitive random sums. — Mathematics of Operations Research, 2004, 29, 2, 398-406.

56. Kliippelberg, C. Subexponential distributions and integrated tails. — Journal of Applied Probability, 1988, 35, 325-347.

57. Kliippelberg, C. Subexponential distributions. — Sundt, B. and Teugels, J. (Editors), Encyclopedia of Actuarial Science. Wiley, Chichester, 2004.

58. Korshunov, D.A. On distribution tail of the maximum of a random walk. — Stochastic Processes and their Applications, 1997, 72, 97-103.

59. Leslie, J. On the non-closure under convolution of the class of subexponential distributions. — Journal of Applied Probability, 1989, 26, 58-66.

60. De Meyer, A., Teugels, J. L. On the asymptotic behaviour of the distributions of the busy period and service time in M/G/l. — Journal of Applied Probability, 1980, 17, 3, 802-813.

61. Meyn, S.P., Tweedie, R.L. Markov Chains and Stochastic Stability. Springer Verlag, London, 1993.

62. Mikosch, T., Nagaev, A. Rates in approximations to ruin probabilities for heavy-tailed distributions. — Extremes, 2001, 4, 1, 67-78.

63. Pakes, A., G. Convolution equivalence and infinite divisibility. — Journal of Applied Probability, 2004, 41, 407-424.

64. Pakes, A.G. On the tail of waiting-time distribution. — Journal of Applied Probability, 1975, 12, 555-564.

65. Pitman, E.J.G. Subexponential distribution functions. — J. Austral. Math. Soc. Ser. A., 1980, 29, 3, 337-347.

66. Sato, K. Levy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

67. Takine, T. Subexponential asymptotics of the waiting time distribution in a single-server queue with multiple Markovian arrival streams. — Stochastic Models, 2001, 17, 4, 429-448.

68. Teugels, J. The class of subexponential distributions. — Annals of Probability, 1976, 3, 1000-1011.

69. Veraverbeke, N. Asymptotic behavior of Wiener-Hopf factors of a random walk. — Stochastic Processes and their Applications, 1977, 5, 27-37.

70. Zwart, A. P. Tail asymptotics for the busy period in the GI/G/1 queue. — Mathematics of Operations Research, 2001, 26, 3, 485-493.