Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, кандидат физико-математических наук Костин, Александр Владимирович

• Костин, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Костин, Александр Владимирович

Содержание

Введение

Краткое содержание работы

Глава 1. Сингулярно возмущенные системы ОДУ в случае пересечения корней

вырожденного уравнения

§1. Краевая задача для системы быстрого и медленного ОДУ второго порядка в

случае, когда правая часть не зависит от малого параметра

1. Постановка задачи и основные результаты

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.1), (1.2)

3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения параболической задачи

4. Пример

§2. Начальная задача для системы двух быстрых ОДУ первого порядка в случае,

когда правая часть зависит от малого параметра

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.88), (1.89)

3. Завершение доказательства теоремы 1.3

4. Пример

§3. Краевая задача для системы двух быстрых ОДУ второго порядка в случае,

когда правая часть зависит от малого параметра

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (1.117), (1.118)

Глава 2. Сингулярно возмущенные системы уравнений эллиптического и

параболического типов в случае пересечения корней вырожденного уравнения

§1. Система быстрого и медленного уравнений эллиптического типа

1. Постановка задачи и основные результаты

2. Существование и асимптотика решения задачи (2.1), (2.2)

3. Асимптотическая устойчивость стационарного решения параболической задачи

§2. Система двух параболических уравнений, вырождающаяся в систему

конечного уравнения и ОДУ первого порядка

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (2.69), (2.70)

3. Пример

§3. Система двух быстрых параболических уравнений, вырождающаяся в систему

двух конечных уравнений

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (2.124), (2.126)

3. Пример

Глава 3. Сингулярно возмущенные частично днссипативные системы реакции-

диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения

§1. Частично диссипативная система быстрого и медленного уравнений

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (3.4), (3.5)

§2. Частично диссипативная система двух быстрых уравнений (случай

пересекающихся корней в диффузионном уравнении)

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (3.20), (3.21)

§3. Частично диссипативная система двух быстрых уравнений (случай

пересекающихся корней в бездиффузионном уравнении)

1. Постановка задачи и основной результат

2. Существование и асимптотика решения задачи (3.44), (3.45)

3. Пример

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сингулярно возмущенные задачи в случае пересечения корней вырожденного уравнения»

Введение

Математические модели многих процессов в физике, химии, биологии, социологии содержат дифференциальные уравнения с малыми параметрами. Пренебречь малым параметром и, тем самым, упростить поставленную задачу можно не всегда. Примером служат сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в виде множителя при старшей производной. Решение такого уравнения при значениях малого параметра, близких к нулю, вообще говоря, не является равномерно близким к решению более простого вырожденного уравнения. Исследование сингулярно возмущенных задач сформировалось в большое направление на основе работ А.Н. Тихонова [1]-[3] и получило дальнейшее развитие в работах его учеников [4]-[6] и многих других ученых [7]-[22].

Большинство классических работ, посвященных исследованию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, рассматривают случай, когда вырожденное уравнение имеет один или несколько изолированных корней. В последнее время активно исследуется более сложный случай - когда корни вырожденного уравнения пересекаются (см. [23]-[45]). Необходимость рассмотрения такой ситуации появилась в химической кинетике при моделировании быстрых бимолекулярных реакций. Например, в работе [26] описана система параболических уравнений, моделирующая бимолекулярную реакцию с быстрой бимолекулярной скоростью реакции г(и,у)/е2 и медленными мономолекулярными скоростями реакции (и) и g2 (у)

ди д2и , . . - г(м,у)

- -- (В.1)

8у Э2у - г{и,у)

где и и V - искомые концентрации веществ А и В, известные функции 1а{х) и

описывают источники этих веществ, £ - малый параметр.

В стационарном случае система (В.1) записывается как

д2и дх2

£2^ГГ = -£/ <Х О) - & (")) + Ки, V),

(В.2)

тт = -£2(1ь (*) - #2 о)) + г(и>у) • дх

После замены переменных и = и, V = и - V система (В.2) сводится к системе

д2и

£2 — = -г2 {1а (х) - я, (и)) + г (и,и - V) , дх

d2v

= + (и).

ox

которую можно записать в виде

2 d2u . .

S —г = g(u,V,X,£),

ах

(В.З)

d2v

—T = f(u,v,x,e).

ах

Как выяснилось, пересечение корней w = <^(v,x) и u = <p2(v,x) соответствующего вырожденного уравнения

g(u,v,x, 0) = 0

позволяет объяснить явление скачка скорости химической реакции, наблюдаемое на опыте.

Сложность сингулярно возмущенных задач в случае пересечения корней вырожденного уравнения связана с негладкостью решения вырожденной задачи, к которому стремится решение исходной задачи при стремлении малого параметра к нулю. Доказательство предельного перехода в большинстве работ, посвященных таким задачам, проводится с помощью метода дифференциальных неравенств (см. [46]-[55]), т. е. путем построения подходящих нижнего и верхнего решений. Для преодоления трудностей, связанных с негладкостью решения вырожденной задачи, в работах [23]-[35] проводилась сложная и громоздкая процедура сглаживания с помощью функции специального вида. Как оказалось, более эффективным методом является метод регуляризации вырожденного уравнения, разработанный В.Ф. Бутузовым и представленный в работах [36]-[45]. Верхнее и нижнее решение, построенные с использованием данного метода, являются гладкими, простыми и симметричными относительно формальной асимптотики (для большинства рассмотренных задач). Кроме того, метод регуляризации вырожденного уравнения позволяет получить более точную асимптотику решений, чем в работах [27] и [32]. Суть метода заключается в замене негладкого корня вырожденного уравнения на гладкий корень так называемого «регуляризованного» уравнения, зависящего от малого параметра определенным образом. Ключевым требованием применимости данного метода является условие, при котором функция g из первого уравнения системы (В.З) представима в виде

g(u, v, х, s) = g(u, v, х,0) - sgt (и, v, х, е), причем функция gx(u,v,x,s) является либо строго положительной на линии пересечения корней уравнения g(u,v,x,0) = 0, либо всюду тождественно равна нулю.

Целью настоящей работы является развитие метода регуляризации вырожденного уравнения и метода дифференциальных неравенств для сингулярно возмущенных задач в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

Научная новизна работы состоит в следующем:

- метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новые классы задач (сингулярно возмущенные системы ОДУ, системы уравнений эллиптического и параболического типов, частично диссипативные системы уравнений с разными степенями малого параметра при производных);

- получены точные асимптотические оценки решений рассмотренных задач;

- для систем уравнений параболического типа впервые доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения;

- для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения.

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из трех глав.

В Главе 1 рассмотрены начальные и краевые задачи, которые изучались ранее другими авторами с использованием процедуры сглаживания. Рассмотрение данных задач преследовало две цели: построение более простых верхних и нижних решений с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения и получение асимптотики решения, не менее точной, чем полученная ранее. Для некоторых задач асимптотика решения оказалась даже более точной, что позволило доказать и асимптотическую устойчивость решения.

В Главе 2 сформулированы и доказаны теоремы существования и асимптотического представления решений сингулярно возмущенных систем эллиптического и параболического типов в случае пересечения корней вырожденного уравнения.

В Главе 3 рассмотрены несколько видов частично диссипативных систем реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения. Частично диссипативные системы часто используются для моделирования процессов реакции-диффузии в различных областях (химическая кинетика, биология, астрофизика), в том случае, когда диффузией одного из реагирующих веществ можно пренебречь (см. [27], [56]-[60]).

Заключение диссертации по теме «Математическая физика», Костин, Александр Владимирович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [39]-[45].

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Валентину Федоровичу Бутузову за постановку задач и большую помощь в работе.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Доказаны теоремы о предельном переходе для ряда сингулярно возмущенных систем ОДУ, систем уравнений эллиптического и параболического типов, а также различных частично диссипативных систем уравнений с разными степенями малого параметра при производных в случае, когда корни вырожденного уравнения пересекаются.

2. Получены асимптотические оценки решений рассмотренных задач.

3. Для систем уравнений параболического типа доказаны теоремы об асимптотической устойчивости стационарного решения.

4. Метод регуляризации вырожденного уравнения распространен на новый класс задач, определены условия его применимости.

5. Для ранее исследованных задач с помощью метода регуляризации вырожденного уравнения построены новые, более простые и эффективные верхние и нижние решения.

6. Установлен асимптотический порядок разности между точным и предельным решениями в окрестности точки (линии) пересечения корней вырожденного уравнения в зависимости от наличия или отсутствия членов порядка £ в правой части уравнения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Костин, Александр Владимирович, 2011 год

Список литературы

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. 1948. 22(64), 2. С. 193-204.

2. Тихонов А.Н. О системах дифференциальных уравнений, содержащих параметры // Матем. сб. 1950. 27(69), 1. С. 147-156.

3. Тихонов А.Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры // Матем. сб. 1952. 31(73), 3. С. 575-586.

4. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

5. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

6. Васильева А.Б. Асимптотика решений некоторых краевых задач для уравнений с малым параметром при старшей производной // Докл. АН СССР. 1960. Т. 135, №6. С. 1303-1306.

7. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничные слои для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // УМН 1957. Т. 12, №5. С. 3-122.

8. Ильин A.M., Горьков Ю.П., Леликова Е.Ф. О методе сращивания асимптотических разложений // Докл. АН СССР. 1974. Т. 217, №5. С. 1033-1036.

9. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.

10. Ильин A.M. Об асимптотике решения одной задачи с малым параметром. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1989. Т. 53, №2. С. 258-275.

И.Ильин A.M. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной. // Матем. заметки. 1969. Т. 6, Вып. 2. С. 237-248.

12. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981.

13. Ломов С.А. Построение асимптотических разложений некоторых задач с параметрами. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 32, №4. С. 884-913.

14. Lebowitz N.R. Shaar R.J. Exchange of stabilities in autonomous systems // Stud. Appl. Math. 1975. V. 54, №3. P. 229-259.

15.Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965.

16. Маслов В.П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

17. Маслов В.П., Федоркж М.В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. М.: Наука, 1976.

18. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

19. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995.

20. Понтрягин JI.C. Асимптотическое поведение систем дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных. // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. Т. 21, №5. С. 605-626.

21. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Асимптотическое решение краевых задач для сингулярно возмущенных уравнений второго порядка. // Успехи матем. наук. 1987. Т. 42, №5. С. 166.

22. Розов Н.Х., Сушко В.Г. Решения с внутренним слоем сингулярно возмущенных разрывных уравнений. // Успехи матем. наук. 1994. Т. 49, №4. С. 141.

23. Бутузов В.Ф., Нефедов Н.Н. Сингулярно возмущенная краевая задача для уравнения второго порядка в случае смены устойчивости // Матем. заметка. 1998. Т. 63. Вып. 3. С. 354-362.

24. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly pertubed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities // Preprint of W1AS, Berlin, 1998, No. 408.

25. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly pertubed boundary value problems for systems of Tichonov's type in case of exchange of stabilities // J. Diff. Eq. 1999. V. 159. P. 427-446.

26. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneder K.R. Singularly perturbed reaction-diffusion systems in cases of exchange of stabilities //Natur. Res. Model. 2000. V. 13, №2. P. 247269.

27. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems in case of exchange of stabilities // WeierstraB-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 572, Berlin, 2000.

28. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. On a class of singularly perturbed partly dissipative reaction-diffusion systems // WeierstraB Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 646, Berlin, 2001.

29. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Schneider K.R. Singularly perturbed problems in case of exchange of stabilities // WeierstraB-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 21, Berlin, 2002.

30. Бутузов В.Ф., Нестеров A.B. О некоторых сингулярно возмущенных задачах с негладкими погранфункциями // Докл. АН СССР. 1982. Т. 263, №4. С. 786-789.

31. Butuzov V.F., Smurov I. Initial boundary value problem for singularly perturbed parabolic equation in case of exchange of stability // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 234. P. 183-192.

32. Бутузов В.Ф., Громова E.A. О краевой задаче для системы быстрого и медленного уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, №8, С. 1165-1179.

33. Бутузов В.Ф., Терентьев М.А. О системах сингулярно возмущенных уравнений в случае пересечения корней вырожденной системы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42, №11. С. 1686-1699.

34. Nefedov N.N., Schneider K.R. Delayed exchange of stabilities in singularly perturbed systems // Preprint 270 of the Weierstrass Institute for Applied Mathematics and Stochastics, Berlin, 1996.

35. Nefedov N.N., Schneider K.R., Schuppert A. Jumping behavior in singularly perturbed systems modelling bimolecular reactions // Weierstrass-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik, Berlin, Preprint No. 137, 1994.

36. Бутузов В.Ф. Об устойчивости и области притяжения негладкого в пределе стационарного решения сингулярно возмущенного параболического уравнения // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 3. С. 433-444.

37. Бутузов В.Ф. Существование и асимптотическая устойчивость стационарного решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Диф. уравнения. 2006. Т. 42. № 2. С. 221-232.

38. Butuzov V.F., Nefedov N.N., Recke Lutz, Schneider K.R. Existence and stability of solutions with periodically moving weak internal layers // WeierstraB-Institut fur Angewandte Analysis und Stochastik Berlin, Preprint No. 1294, Berlin, 2008.

39. Бутузов В.Ф., Костин A.B. О сингулярно возмущенной системе эллиптических уравнений в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды семнадцатых математических чтений РГСУ. Ч. 2. М.: РГСУ, 2008. С. 8-14.

40. Бутузов В.Ф., Костин A.B. О сингулярно возмущенной системе двух уравнений второго порядка в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Диф. уравнения. 2009. Т. 45, №7. С. 915-931.

41. Бутузов В.Ф., Костин A.B. О предельном переходе в сингулярно возмущенной эллиптической системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Научная конференция «Ломоносовские чтения - 2008». Секция физика. Сборник тезисов докладов. С. 153-155.

42. Костин A.B. О сингулярно возмущенной параболической системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // XVIII Международная научная конференция «Ломоносов - 2011». Секция физика. Сборник тезисов. М.: Физич. ф-т МГУ, 2011. С. 119-121.

43. Костин A.B. О предельном переходе в сингулярно возмущенной частично диссипативной системе в случае пересечения корней вырожденного уравнения // V Международная конференция «Матем. идеи П.Л. Чебышева и их прилож. к совр. пробл. естествознания». Тезисы докладов. Обниск: ОГТУАЭ, 2011. С. 77.

44. Костин A.B. О сингулярно возмущенной частично диссипативной системе реакции-диффузии в случае смены устойчивости // Математические методы и приложения: Труды двадцатых математических чтений РГСУ. М.: РГСУ, 2011. С. 57-67.

45. Бутузов В.Ф., Костин A.B. Сингулярно возмущенные частично диссипативные системы реакции-диффузии в случае пересечения корней вырожденного уравнения // Чебышевский сборник: Науч.-теорет. журн,- Т. XII. Вып. 3 (39). Тула: Изд-во Тул.гос.пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2011. - 132 с. С. 22-44.

46. Amann Н. On the existence of positive solutions of nonlinear elliptic boundary value problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 21, №2. P. 125-146.

47. Бутузов В.Ф., Неделько И.В. Асимптотическая устойчивость решений сингулярно возмущенных краевых задач с пограничными и внутренними слоями // Диф. уравнения. 2000. Т. 36, №2. С. 198-208.

48. Васильев H.H., Клоков Ю.А. Основы теории краевых задач обыкновенных дифференциальных уравнений. Рига. Зинатне, 1978.

49.Nagumo М. Ueber die Differezialgleichung у" = fix, у, у') II Proc. Phys. Math. Soc. Japan 1937. V. 19. P. 861-866.

50. Нефедов H.H. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Диф. уравнения. 1995. Т. 31, №4. С. 719-722.

51. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых классов нелинейных сингулярно возмущенных задач с внутренними слоями // Диф. уравнения. 1995. Т. 31. №7. С. 1132-1139.

52. Pao C.V. Nonlinear Parabolic and Elliptic Equations. Plenum Press, New York and London, 1992.

53. Fife P.C. Semilinear elliptic boundary value problems with small parameters // Arch. Rat. Mech. and Anal. 1973. V. 52, №3. P. 205-232.

54. Fife P., Tang M. Comparision Principles for Reaction-Diffusion Systems: Irregular Comparision Functions and Application to Question of Stability and Speed of Propagation of Disturbances //J. Diff. Equations. 1981. V. 40. P. 168-185.

55. Чаплыгин C.A. Новый метод интегрирования дифференциальных уравнений. М.; Л., 1950.

56. Marion М. Inertial manifolds associated with partly dissipative reaction-diffusion systems // J. Math. Anal. Appl. 1989. V. 143. P. 295-326.

57. Marion M. Finite-dimensional attractors associated with partly dissipative reaction-diffusion systems // SI AM J. Math. Anal. 1989. V. 20. P. 816-844.

58. Fabrie P., Galusinski C. Exponential attractors for a partially dissipative reaction system //Asymptotic Anal. 1996. V. 12. 329-354.

59. Hollis S.L., Morgan J.J. Partly dissipative reaction-diffusion systems and a model of phosphorus diffusion in silicon //Nonlinear Anal. Theory Methods Appl. 1992. V. 19. P. 427-440.

60. Schneider K.R. On the existence of wave trains in partly dissipative systems // Proc. Int. Conf. Differential Equations. World Scientific Publ. Singapore. 1993. Vol. 2. P. 893-898.

61. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. М.: Физматлит, 2004.