Арифметическая характеризация конечных простых групп тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Горшков, Илья Борисович

• Горшков, Илья Борисович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Горшков, Илья Борисович

Оглавление

Введение

1 Основные определения и предварительные результаты

1.1 Обозначения

1.2 Распознавание по спектру

1.3 Простые группы малых порядков

1.4 Теорема Жигмонди и ее применение

2 Структурная теорема

2.1 Предварительные сведения

2.2 Доказательство теоремы 2.1

3 Распознаваемость знакопеременных групп

3.1 Предварительные сведения

3.2 Доказательство теоремы 3.1

4 Распознавание конечных простых групп малых порядков

4.1 Доказательство теоремы 4.1

5 О гипотезе Томпсона

5.1 Предварительные сведения

5.2 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = 2А3(4)

5.3 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = С3(4)

5.4 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = £>4(4)

5.5 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = 2Ач(5)

5.6 Доказательство теоремы 5.1. для Ь = АИ1в

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Арифметическая характеризация конечных простых групп»

Введение

Общая характеристика работы

В теории конечных групп большое значение имеет характеризация групп свойствами, представимыми в виде числовых характеристик. Наиболее часто используемыми числовыми характеристиками групп являются порядок группы и порядки ее элементов, порядки и индексы различных подгрупп, размеры классов сопряженных элементов. Арифметическое описание группы может быть достаточно точным, а в некоторых случаях и полностью (с точностью до изоморфизма) охарактеризовать ее в классе всех конечных групп. В частности, недавно A.B. Васильев, М.А. Гречкосеева. В.Д. Мазуров показали, что порядок группы в совокупности с множеством порядков элементов группы с точностью до изоморфизма определяет любую конечную простую группу в классе всех конечных групп [14]. В диссертации изучается вопрос о характеризацнп конечных простых групп по множеству порядков элементов и по множеству размеров классов сопряженных элементов.

В диссертации для конечных простых неабелевых групп будут использоваться следующие обозначения: знакопеременная группа степени п обозначается через Altn. спорадические простые группы и простые исключительные группы лиева, типа обозначаются в соответствии с «Атласом конечных групп» [45]. Для классических групп используется лиева нотация. Кроме того, симметрическая группа степени п обозначается через Symn.

Спектр lu(G) конечной группы С — это множество порядков ее элементов. Множество ui{G) конечной группы G замкнуто относительно делимости и однозначно определено множеством ß(G) тех элементов из u>(G), которые

являются максимальными относительно делимости. Будем говорить, что две группы изоспектральны. если они обладают одинаковыми спектрами.

Вопрос о связи между спектром конечной группы и ее строением изучался давно. Выделим результаты Г. Хигмана и М. Сузуки о конечных группах, спектр которых содержит только степени простых чисел (их называют 1?РРО-группами). В 1957 г. Г. Хигман [53] показал, что порядок конечной разрешимой ЕРРО-группы имеет не более двух простых делителей, а в 1962 г. М. Сузуки [08] описал все конечные простые ЕРРО-группы. В середине 80-х годов, рассматривая общую проблему строения конечных £РРО-групп, В. Ши обнаружил (см. [64, 65]), что знакопеременная группа ЛИ5 и простая линейная группа А].(7) однозначно характеризуются своим спектром в классе конечных групп. Именно В. Ши принадлежит постановка вопроса о распознаваемости конечных групп по спектру в том виде, в котором он сформулирован в диссертационной работе.

Для произвольного подмножества и множества натуральных чисел обозначим через Ъ,{и) число попарно неизоморфных групп С таких, что и;(С) = и>. Мы будем говорить, что для конечной группы С проблема распознаваемости (по спектру) решена, если мы знаем значение /г(ш(С*)) (для краткости /г(С)). Будем называть группу С распознаваемой (по спектру), если /г(С) = 1, почти распознаваемой, если /¿(С) < оо. и нераспознаваемой, если /¿(С) = оо.

Отметим, что простые группы не случайно представляют основной интерес с точки зрения проблемы распознаваемости по спектру. Это объясняется тем. что, как показал В. Ши [66], группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, обязательно нераспознаваема (строгое доказательство этого утверждения опубликовано В.Д. Мазуровым в [29]). в частности, все разрешимые группы нераспознаваемы. Таким образом, каждая распознаваемая или почти распознаваемая по спектру группа является расширением прямого произведения М неабелевых простых групп с помощью некоторой подгруппы группы внешних автоморфизмов Ои1(М). К настоящему моменту проблема распознаваемости решена для многих конечных неабелевых простых групп.

Список таких групп можно найти в [32,51.59].

Пусть L — конечная неабелева простая группа, a G — произвольная конечная группа, удовлетворяющая условию u>(G) = w(L). Доказательство распознаваемости группы L, как правило, включает в себя три основных этапа.

1. Доказывается, что G обладает единственным неабелевым композиционным фактором S таким, что S < G = G/К < Aut(S), где К — максимальная нормальная разрешимая подгруппа группы G.

2. Доказывается, что группа S изоморфна группе L.

3. Доказывается, что G/S = \ п К =

При доказательстве единственности неабелева композиционного фактора S важную роль играет так называемый граф простых чисел или граф Грюнберга-Кегеля GK(G) группы G. Множество вершин этого графа совпадает с множеством простых делителей порядка группы G. две вершины, соответствующие двум различным простым числам р и q, соединены ребром тогда и только тогда, когда в G найдется элемент порядка pq. Ясно, что граф простых чисел группы однозначно определяется по спектру; в частности, две группы, спектры которых совпадают, обладают одинаковыми графами простых чисел. К.В. Грюнбергом и О.Х. Кегелем [70] было получено структурное описание групп с несвязным графом простых чисел: конечная группа G с несвязным графом простых чисел либо является разрешимой группой специального вида, либо имеет единственный неабелев композиционный фактор S, причем число компонент связности графа простых чисел группы S не меньше, чем число компонент связности графа простых чисел группы G. Список простых групп с несвязным графом простых чисел был получен Дж.С. Вильямсом [70| и A.C. Кондратьевым |24]. Из работы М.Р. Зиновьевой (Алеевой) [2] и совместной работы М.С. Лучидо и А. Могхаддамфара [58] следует, что если конечная неабелева простая группа L изоспектральна разрешимой группе, то L ~ .4-2(3). 'М2(3), 6^(3) или Altw. Таким образом, если группа L имеет несвязный граф простых чисел и не изоморфна ни одной из вышеприведенных групп, то группа G содержит единственный неабелев композиционный фактор, а это означает, что первый этап доказательства

\

распознаваемости завершен. Описание К.В. Грюнберга и О.Х. Ксгеля оказывается важным и на втором этапе доказательства, поскольку число компонент связности графа простых чисел единственного пеабелева композиционного фактора S не меньше, чем число компонент связности графа простых чисел группы G. В частности, граф простых чисел S несвязен.

Однако свойство несвязности графа простых чисел в конечных простых группах является скорее исключением. Например, если простая линейная группа An(q) имеет несвязный граф простых чисел, то одно из чисел п или n + 1 простое.

Множество вершин графа называется независимым, если любые две вершины этого множества не соединены ребром. Для конечной группы G через t(G) обозначается размер наибольшего независимого множества вершин в GK(G). Размер наибольшего независимого множества, содержащего вершину 2, обозначается через t(2.G).

В 2005 г. A.B. Васильевым было получено описание всех конечных групп, удовлетворяющих двум условиям: t(G) > 3 и t{2,G) > 2. Диссертация содержит совместный с A.B. Васильевым результат, уточняющий это описание для групп с теми же условиями и одним дополнительным: группа G должна быть изоспектралы-та некоторой неабелевой простой группе. Теорема утверждает, что в этом случае G имеет ровно один неабелев композиционный фактор S, причем i(2. S) > t(2. G). Таблицы, содержащие значения t(G) и i(2. G) для графов простых чисел всех конечных неабелевых простых групп G, можно найти в работе A.B. Васильева и Е.П. Вдовина [11]. В частности, из этих таблиц следует, что под условие теоремы подпадают все неабелевы простые группы, за исключением групп А2(3), 2А2(3), С2(3) и знакопеременных групп Altn, где среди чисел п, п— 1, п — 2. п — 3 нет простых.

Вопрос о распознаваемости знакопеременных групп исследовался многими авторами. В работах В.Д. Мазурова. A.C. Кондратьева [27] и A.B. Заварницина [19] доказано, что знакопеременные группы Altp, Altp+i, Altp+2. где р — простое число, большее 3, распознаваемы, за исключением группы AUq. Доказательство опирается на тот факт, что граф GK(Altn) в этих случаях несвязней и простое

число р образует его компоненту связности, что неверно в общем случае. Нераспознаваемость группы Alta доказана в [39]. В [29] установлено, что группа Altio нераспозпаваема. В |19| и [63] доказана распознаваемость групп Altie и AU22 соответственно. В частности, для всех знакопеременных групп Altk-, где к < 2-5, вопрос распознаваемости решен. Будем говорить, что группа L квазираспознаваема. если любая изоспектральная ей группа G обладает единственным композиционным фактором S, изоморфным L. В [21] было доказано, что если конечная простая знакопеременная группа квазираспознаваема, то она распознаваема. Как было отмечено выше, почти всегда знакопеременные группы имеют связный граф простых чисел и любая вершина графа простых чисел смежна с вершиной 2, что делает невозможным применение теоремы Грюнберга-Кегеля и теоремы Васильева. По этим причинам доказательство распознаваемости по спектру знакопеременных групп требует особого подхода. В 2010 г. И.А. Вакулой [7] была доказана теорема, описывающая свойства главных рядов групп с тем же спектром, что и у знакопеременной группы. В диссертации разработан метод, который с использованием приведенных результатов позволяет доказать распознаваемость всех неабелевых простых знакопеременных групп, за исключением Alta и AU\q.

Результаты о распознаваемости конечных простых групп показывают, что группы относительно малого порядка нуждаются в отдельном внимании. На начальном этапе исследований проблемы распознаваемости по спектру рассматривались в основном отдельные простые группы. В работах В.Д. Мазурова [29] и A.B. Васильева [9] получен ответ на вопрос рапознаваемости по спектру для конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 11 и 13 соответственно. В диссертации получен аналогичный результат для конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 17.

Важным арифметическим параметром группы G является множество N(G) размеров классов сопряженных элементов. Первые работы по исследованию размеров классов сопряженных элементов в конечных группах принадлежат П.Л. Силову и У. Бернсайду. В 80-х гг. прошлого столетия Дж. Томпсоном была

сформулирована следующая гипотеза (см. [69], вопрос 12.38).

Гипотеза Томпсона. Если L — конечная неабелева простая группа, G — конечная группа с тривиальным центром и N(G) = N(L), то G ~ L.

К настоящему моменту справедливость гипотезы Томпсона установлена для многих конечных неабелевых простых групп. Так, например, Г.Ю. Ченом [44] установлена справедливость гипотезы Томпсона для всех конечных простых групп, граф простых чисел которых имеет более двух компонент связности. В 2009 г. A.B. Васильев опубликовал статью, основным результатом которой является доказательство справедливости гипотезы Томпсона для групп Altw и А3(4) [16]. Эти группы стали первыми известными группами со связным графом простых чисел, для которых доказана справедливость гипотезы Томпсона. Позже Н. Аханджиде показала справедливость гипотезы Томпсона для групп Bn(q). Cn(q), где п четно, а q > 8, q ф 9, и An(q) (см. [4] и [37]).

В диссертации доказана справедливость гипотезы Томпсона для всех конечных простых групп со связным графом простых чисел, простые делители порядков которых не превосходят 17.

Основные результаты диссертации.

1. Доказана распознаваемость по спектру знакопеременных групп степени, большей 25 (теорема 3.1).

2. Доказано, что конечная группа, изоспектральная конечной неабелевой простой группе, имеет не более одного неабелева композиционного фактора (теорема 3.2).

3. Доказана справедливость гипотезы Томпсона для конечных простых групп М3(5), 2у43(4), С3(4), D4(4), Alty6. и тем самым завершено исследование гипотезы Томпсона для конечных простых групп со связным графом простых чисел, простые делители порядков которых не превосходят 17 (теорема 5.1).

Основные результаты диссертации получены автором лично и опубликованы в [77,78].

Новизна и научная значимость работы. Все основные результаты

диссертации являются новыми. Результаты и методы работы могут быть использованы для дальнейших исследований как вопроса о распознаваемости групп по спектру, так и других проблем теории групп. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов, специализирующихся в области алгебры.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории групп: теория конечных простых групп, теория групп лиева типа, методы линейной алгебры, а также элементы теории чисел. Кроме того, в работе используются оригинальные методы, разработанные автором.

Апробация работы. По результатам диссертации в период с 2007 по 2013 год были сделаны доклады на конференциях в Новосибирске, Екатеринбурге, Челябинске, Нальчике. Казани, Минске (см. [80-86]). Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» Института математики СО РАН и НГУ.

Публикации. Результаты автора по теме диссертации опубликованы в работах [74-86], при этом работы [74-78] опубликованы в изданиях, которые входят в перечень ВАК российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав и списка литературы. Она изложена на 67 страницах, библиография содержит 86 наименований.

Перейдем к более подробному изложению работы.

Содержание диссертации

Общая структура диссертации. Диссертация разбита на главы, которые в свою очередь подразделяются на параграфы. Точные формулировки всех

теорем приведены во введении. Вспомогательные утверждения — леммы — имеют тройную нумерацию: первое число — номер главы, второе — номер параграфа в текущей главе, третье — помер утверждения в текущем параграфе.

Глава 1. Глава посвящена основным определениям и предварительным результатам. Во-первых, формулируются основные определения, использующиеся на протяжении всей диссертации. Во-вторых, излагаются общие аспекты проблемы распознавания конечных групп по спектру. В-третьих, приводится таблица всех конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 17. В-четвертых, излагаются некоторые известные результаты из теории чисел, необходимые в диссертации.

Глава 2. Основным результатом главы является следующее уточнение теоремы 1 из [74].

Теорема 2.1. Пусть L — конечная неабелева простая группа,, для кот,ороч t(L) > 3 и ¿(2, L) > 2, а G — конечная группа, удовлетворяющая условию u>(G) = u)(L). Тогда выполняются следующие утверждения.

(1) Существует конечная неабелева простая группа S такая, что S < G = G/К < Aut(S) для максимальной нормальной разрешимой подгруппы К группы, G.

(2) Для каждого независим,ого подмножества р множества, тт(G) та,кого, что \р\ > 3, не более чем одно простое число из р делит произведение |А'| • |G/S|. В частности, t(S) > t{G) — 1.

(3) Kaoicdoe простое число г Е тг(G), несмеэ/сное в GK(G) с числом 2. не делит произведение \К\ ■ |G/5|. В частности, t{2. S) > t(2,G).

В [74, теорема 1] было показано, что для произвольной конечной группы G. удовлетворяющей условиям t(G) > 3 и t(2. G) > 2, выполнены утверждения (1) и (2) теоремы 2.1. При этом утверждение (3) также выполнено, если группа S отлична от Alt7 и A\(q). Таким образом, для доказательства теоремы 2.1 необходимо показать, что для групп, изоспектральных конечным простым группам, исключений не возникает. Случай S = Alt7 был разобран автором ранее

в [79]. В диссертации показано, что в случае 5 = А^) утверждение (3) также справедливо.

Теорема 2.1 получена в соавторстве с А.В. Васильевым и опубликована в |74|.

Глава 3. Глава посвящена изучению распознаваемости знакопеременных групп. С использованием результатов [7,19,21.27,29,39,63], о которых говорилось ранее, доказывается, что при п > 5 и п ф 6, 10 знакопеременная группа степени п распознаваема.

Теорема 3.1. Пусть С — конечная группа такая, что = ш(АИп), где п > 5, п ф 6. 10. Тогда С изоморфна АИп.

Эта теорема дает положительный ответ на вопрос 16.107 из Коуровской тетради [69]. Также, с учетом имеющихся результатов о группах А1Лв и /Ш10. из нее следует положительный ответ па вопрос 16.27. Более того, как указано в комментарии к вопросу 16.27, из теоремы 3.1 и [11, следствие 7.3] вытекает следующее утверждение.

Теорема 3.2. Пуст.ъ Ь — конечная неабелева, прост-ал, группа и С — конечная группа такая, что и>(С) = ^(Ь). Тогда С имеет не более одного неабелева композиционного фактора. Более того, если группа Ь отлична от групп А2(3), 2А2 (3), С2(3), то группа О имеет ровно один пеабелев композиционный фактор.

Теоремы 3.1 и 3.2 получены автором лично, опубликованы в [78].

Глава 4. В главе доказывается, что группы С3(4) и £>4(4) распознаваемы, и тем самым завершается исследование проблемы распознаваемости для всех конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 17.

Теорема 4.1. Конечные простые группы С3(4) и, 04(4) распознаваемы.

Следствие. Для всех конечных неабелевых простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 17. значение /г(С) приведено в таблице 1.

Теорема 4.1 получена автором лично, опубликована в [76].

Глава 5. В главе доказывается справедливость гипотезы Томпсона для групп М3(5), М3(4). С3(4), £>4(4), АИ16.

Теорема 5.1. Гипотеза Томпсона верна, для конечных простых групп 2А3(5), 2А3(4), С3(4). £>4(4), AZi16.

Вместе с результатом A.B. Васильева [16] эта теорема дает следующее утверждение.

Следствие. Гипотеза, Том,пеона, справедлива для всех конечных неабелевых простых групп со связным, графом простых чисел, простые делители порядков которых не превосходят 17.

Теорема 5.1 получена автором лично, опубликована в |77|.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Андрею Викторовичу Васильеву. Автор также выражает свою признательность кандидату физико-математических наук Александру Александровичу Бутурлакину за поддержку в процессе работы над диссертацией.

Глава 1

Основные определения и предварительные результаты

1.1 Обозначения

Пусть С — конечная группа. 7Г(<3) — множество всех простых делителей ее порядка и и:(С) — спектр группы С, т. е. множество порядков всех ее элементов. Множество замкнуто относительно взятия делителей и. следовательно, определяется своим подмножеством //(С), состоящим из максимальных относительно делимости элементов. Две группы называются из о спектральными, если их спектры совпадают. Пусть 7Г — множество простых чисел, р — простое число. Конечная группа называется 7г-группой (р-группой), если все простые делители ее порядка лежат в 7г (совпадают с р). Через 5?у/р(С) обозначается множество всех силовских р-подгрупп группы С. Произведение всех нормальных 7г-подгрупп группы О обозначается через 0Т1(С), при этом, если множество 7Г содержит ровно одно число р. то эта групп для краткости обозначается через Ор(С). Наименьшая нормальная подгруппа группы С. фактор по которой является 7г-группой, обозначается через О^С). аналогично это обозначение сокращается до Ор(С), если л = {у)} для некоторого простого числа р. Полупрямос произведение групп А и В обозначается через А \ В.

На протяжении всей диссертации для конечных пеаблевых простых

групп используются следующие обозначения: знакопеременная группа степени п обозначается через АИП, спорадические простые группы и простые исключительные группы лиева типа обозначаются в соответствии с «Атласом конечных групп» [45]. Для классических групп используется лиева нотация. Кроме того, симметрическая группа степени п обозначается через Далее

также предполагаем, что к простым спорадическим группам относится группа Титса 2^4(2)'.

1.2 Распознавание по спектру

Пусть С — конечная группа. Для произвольного подмножества и множества N натуральных чисел обозначим через число попарно неизоморфных конечных групп С таких, что и>(С) = и>. Мы будем говорить, что для конечной группы С проблема распознаваемости решена, если мы знаем значение /г(ш(С)) (для краткости, /г(С)). В частности, группа О называется распознаваемой по спектру (кратко, распознаваемой), если /¿(С) = 1, другими словами, если для конечной группы II верно, что равенство и>(Н) = ш(С) влечет изоморфизм групп II и С. Если 1 < /г((7) < оо, то С называется почти распознаваемой по спектру. Наконец, группа С называется нераспознаваемой по спектру, если /г(С) = ос.

Китайский математик Ши в [66] показал, что группа, обладающая нетривиальной нормальной разрешимой подгруппой, является нераспознаваемой (строгое доказательство этого утверждения содержится в [29]), поэтому проблема распознаваемости представляет интерес лишь для групп, представляющих из себя расширение прямого произведения М неабелевых простых групп с помощью некоторой подгруппы из Ои^М). Из всего класса групп с подобным строением наибольший интерес вызывают группы, для которых произведение М состоит из одного множителя, т.е. простые и почти простые группы. Именно этим группам посвящено подавляющее число работ по проблеме распознаваемости.

Пусть Ь — конечная неабелева простая группа, если любая конечная группа С такая, что = обладает единственным пеабелевым

композиционным фактором и этот фактор изоморфен L. то группа L называется квазираспознаваемой по спектру.

Для формулировок результатов, служащих основными инструментами при доказательстве квазираспознаваемости, удобно пользоваться понятием графа простых чисел GK(G) группы G. Граф простых чисел GK(G) (или граф Грюпбрега-Кегеля) для конечной группы G определяется следующим образом: множество вершин этого графа совпадает с 7Г(G), две вершины, соответствующие двум различным простым числам р и q. соединены ребром тогда и только тогда, когда pq £ <¿{G). Число компонент связности графа GK(G) обозначим через .s(G) и через 7гг(С) — его v'-ую компоненту связности. Будем считать, что 2 G 71"!(G). если порядок группы G четен. Через ut{G) обозначим множество тех элементов спектра, простые делители которых лежат в жt(G). Множество вершин графа называется независимым (или ко кликой), если любые две вершины этого множества не соединены ребром. Пусть p(G) — некоторое максимальное по размеру множество попарно несмежных вершин графа GI\(G), и t(G) = \p{G)\. а р(2. G) — некоторое максимальное по размеру множество попарно несмежных вершин графа GK(G), содержащее вершину 2, и t(2, G) = |р(2, С)|.

К настоящему времени сложилась более или менее общая для всех работ схема проверки свойства распознаваемости простой группы и доказательство квазираспознаваемости является ее первым шагом. На данном этапе полезными оказываются следующие теоремы.

Лемма 1.2.1. [70, Грюнберг — Кегель] Если конечная группа G имеет несвязный граф простых чисел, то выполняется одно из следующих утверждений:

(а) s(G) = 2 и G — группа Фробениуса;

(б) s(G) = 2 и G — двойная группа Фробениуса, т. е. G = А ВС, где А и А В — нормальные подгруппы группы G; А В и ВС — группы Фробениуса с ядрами А, В и дополнениями В, С соответственно;

(в) найдется, неабелева, простая группа, S та,кал, что S <G = G/К < Aut S. где К — разрешимый радикал группы G. Кроме того, s(S) ^ s(G) и для любого г. 2 ^ г ^ s(G). существует j, 2 ^ j ^ s(S), такое, что u>t(G) = u>j(S), а, группы К

u G/S являются it\(G)-группами.

Лемма 1.2.2 ( [15]). Пусть G — конечная группа, удовлетворяющая двум условиям,:

(1) существует три простых числа из 7г(С), попарно несмежных в GK(G), т. е. t(G) > 3;

(2) существует нечетное простое число из it(G), несмежное в GK(G) с числом 2, т. е. t{2. G) ^ 2.

Тогда найдется неабелева простая группа S такая, что S < G — G/K < AutS\ где К — разрешим,ы,й радикал, группы, G. Кроме того, t(S) ^ t(G) — 1 и выполняется одно из следующих утверждений:

(а) Для каждого простого числа р из п(G), несмежного с 2 в GK{G), силовская р-подгруппа группы G изоморфна силовской р-подгруппе группы S. В частности, t.(2,S) ^ t(2,G).

(б) S ~ Alt7 или Ai(q) для некоторого нечетного числа q и t(S) = i(2, S) = 3.

После того, как для группы L доказана квазираспознаваемость, т.е. установлены включения L < G = G/К < Aut L, требуется показать, что G/L = 1 и К = 1. Основные инструменты, которые будут использованы на этом этапе — это следующие результаты о действии группы Фробениуса и спектре расширений.

Лемма 1.2.3 ( [21]). Если группа Фробениуса, F С с ядром, F и циклическим дополнением, С = (с) порядка, п действует т.очно на, векторном, прост,ранет,ее

V ненулевой характеристики р, взаимно простой с порядком группы F, то естественное полупрямое произведение VC содержит элемент порядка рп.

Лемма 1.2.4 ( [21, лемма 10]). Пусть N — нормальная, элемент-арная абелева, р-подгруппа группы G, К = G/N, Gi = NK — естественное полупрямое произведение. Тогда u>(Gi) Ç u(G).

Лемма 1.2.5 ( [33]). Пуст-ь г, s — два различных простых числа. Н(х) — полупрямое произведение нормальной {2, г, .s}'-подгруппы П и группы (х) порядка, ■s такой, что [Н,х] ф 1. Если Н(х) действует точно на, векторном пространстве

V над полем порядка г, то Су{х) ф 0.

1.3 Простые группы малых порядков

Рассмотрим конечные простые группы, множество простых делителей порядков которых содержстся в множестве {2,3.5,7,11,13,17}. Мы обозначим множество всех таких групп через ("17- Поскольку существует лишь конечное число конечных пеабелевых простых групп С с одним и тем же множеством 7г(С), множество £17 конечно. Используя классификацию конечных простых групп, можно получить полный список групп, содержащихся в £17 (см.. например, [72]). Всего таких групп 73, и они перечислены в таблице 1. Для каждой из этих групп указаны значения и Д(С), а также все возможные варианты множества р(2,С). Заметим, что значения /г(С) для групп Сз(4) и Л}(4) найдены в диссертации.

Таблица 1

в Порядок С /;(2. С) \ {2}

аиъ 22 ■ 3 • 5 {3,5} 3 1

ан 6 23 • З2 ■ 5 {3,5} 3 ос

2Лз(2) 26 • З4 • 5 {5} 2 ос

/11(7) 23 ■ 3 • 7 {3,7} 3 1

аг{8) 23 • З2 • 7 {3,7} 3 1

2а2( 3) 25 • З3 • 7 {7} 2 ос

ап7 23 • З2 • 5 • 7 {5,7} 3 1

ана 26 • З2 • 5 • 7 {5,7} 2 1

Л2(4) 26 • З2 ■ 5 • 7 {3,5,7} 4 1

А(2) 212 • З5 • 52 • 7 {7} 2 2

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Горшков, Илья Борисович, 2013 год

Литература

[lj Алеева М.Р. О композиционных факторах конечных групп с множеством порядков элементов, как у группы U3(q) // Сиб. мат. жури. 2002 Т. 43. № 2. С. 250-265.

|2| Алеева М.Р. О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробениуса // Матем. заметки. 2003. Т. 73, № 3. С. 323-339.

[3] Алексеева O.A., Кондратьев A.C. Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. матем. журн. 2003. Т. 44, № 2. С. 241-255.

[4] Ахамджиде Н. О гипотезе Томпсона для некоторых простых групп со связным графом простых чисел // Алгебра и логика. 2012 Т. 51, № 6. С. 683—721.

[5] Бут,урла,кин А. А. Спектры конечных линейных и унитарных групп // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 2. С. 157-173.

[6] Бут,урла,кин A.A. Спектры конечных симплектических и ортогональных групп // Матем. тр. 2010. Т. 13. № 2. С. 33-83.

[7] Ва,кула,И.А. О строении конечных групп, изоспектральных знакопеременной группе // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 3. С. 45-60.

[8] Васильев A.B. Распознаваемость групп G2(3") по порядкам их элементов // Алгебра и логика. 2002. Т. 41, № 2. С. 130-142.

[9] Васильев A.B. О распознавании всех конечных неабелевых простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 13 // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 2. С. 315-324.

[10J Васильев A.B., Гречкосеева М.А. О распознавании по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 4. С. 749-758.

[11| Васильев A.B., ВдовинЕ.П. Критерий смежности в графе простых чисел конечной простой группы // Алгебра и логика. 2005. Т. 44. № 6. С. 682-725.

|12| Васильев A.B., Гречкосеева М.А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп малых размерностей над полями характеристики 2 // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 5. С. 558-570.

[13] Васильев A.B., Гречкосеева М.А., Мазуров В.Д. О конечных группах, изоспектральных простым симплектическим и ортогональным группам // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50, № 6. С. 1225-1247.

[14] Васильев A.B., Гречкосеева М. А., Мазуров В.Д. Характеризация конечных простых групп спектром и порядком // Алгебра и логика. 2009. Т. 48, № 6. С. 685-728.

[15] Васильев A.B. О связи между строением конечной группы и свойствами се графа простых кисел // Сиб. матем. журн. 2005. Т. 46, № 3. С. 511-522.

[16] Васильев A.B. О гипотизе Томпсона // Сиб. электрон, матем. изв. 2009. Т. 6. С. 457-464.

[17] Гречкосеева М.А. Распознавание по спектру конечных простых линейных групп над полями характеристики 2 // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 24. С. 405-427.

[18] ЗаварницинА.В. Разрешимая группа, изоспектральпая группе S4(3) // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51, № 1. С. 26-31.

[19] ЗаварницинА.В. Распознавание по множеству порядков элементов знакопеременных групп степени г + 1 и г + 2 для простого г и группы степени 16 // Алгебра и логика. 2000. Т.39. № 6. С. 648-661.

[20] ЗаварницинА.В. Распознавание простых групп U$(q) по порядкам элементов // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 2. С. 185-202.

[21] ЗаварницинА.В., Мазуров В.Д. О порядках элементов в накрытиях симметрических и знаконеременых групп // Алгебра и логика. 1999. Т. 38, № 3. С. 296-315.

j 221 ЗаварницинА.В., Мазуров В.Д. О порядках элементов в накрытиях простых групп Ln(q) и Un(q) // Труды Ин-та матем. и механ. УрО РАН. 2007. Т. 13. № 1. С. 89-98.

[23] Заварниции A.B. Веса неприводимых Sl${q) — модулей в характеристике определения // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 2. С. 320-328.

[24] Кондратьев A.C. О компонентах графа простых чисел для конечных простых групп // Мат. сборник. 1989. Т. 180. № 6. С. 787-797.

[25] Кондратьев A.C. О распознаваемости по спектру конечных простых ортогональных групп // II. Владикавк. матем. журн. 2009. Т. 11. № 4. С. 32-43.

[26] Кондратьев A.C. Распознаваемость по спектру групп // Тр. ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 3. С. 146-149.

[27] Кондратьев A.C., Мазуров В.Д. Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41. № 2. С. 360-371.

[28] Мазуров В.Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 1. С. 37-53.

[29] Мазуров В.Д. Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов // Алгебра и логика. 1998. Т. 37, № 6. С. 651-666.

[30] Мазуров В.Д., СуМ.Ч., ЧаоЧ.П. Распознавание конечных простых групп Ь3(2ГП) и 2m) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. 2000. Т. 39, № 5. С. 567—585.

[31] Мазуров В.Д. Распознавание конечных простых групп S4(q) по порядкам их элементов // Алгебра и логика. 2002. Т. 41, № 2. С. 166-198.

[32] Мазуров В.Д. Группы с заданным спектром // Известия Уральского государственного университета. Математика и механика. 2005. Т. 36. № 7. С. 119-138.

[33] Мазуров В.Д., Хухро Е.И. О группах, допускающих группу автоморфизмов, ранг цетрализатора которой ограничен // Сибирские математические электронные известия. 2006. Т. 3. С. 257-283.

[34] Мазуров В.Д., ЧенГ.Ю. Распознаваемость по спектру конечных простых групп L4(2m) и U4(2т) // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 1 (2008). С. 83-93.

[35] Санов И.Н. Решение проблемы Бернсайда для экспоненты 4 // Учёные зап. Ленингр. гос. ун-та. мат. сер. 1940 Т. 10. С. 166-170.

[36] Эдварде Г. Последняя Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Мир, 1980.

[37] Ahanjideh N. On Thompson's conjecture for some finite simple groups //J. Algebra. 2011. V. 344. P. 205-228.

[38] Bmndl R. Finite groups all of whose elements are of prime power order // Boll. Un. Mat. Ital. A. Ser. V. 1981. V. 18, N 3. P. 491-493.

[39] Brandl R.. Shi W.J. Finite groups whose elements orders are consecutive integers // J.Algebra. 1991. V. 143, N 2. P. 388-400.

[40] Brandl R., Shi W.J. The characterization of PSL(2,q) by its element orders // J.Algebra. 1994. V. 163, N 1. P. 109-114.

[41] R. Brauer R., Suzuki M. On finite groups of even order whose 2-Sylow group is a quaternion group // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S.A. 1959. V. 45. P. 1757-1759.

[42] Changguo Shao, Qinhui Jiang A new characterization of A22 by its spectrum // Comm. Algebra. 2010. V. 38, N 6. P. 2138-2141.

[43] Carter R. Simple groups of Lie type // John Wiley and Sons, London, 1972.

[44] Chen G. Y. On Thompson's conjecture // J. Algebra. 1996. V. 185. P. 396-404.

[45] Conway J.H., CurtisR.T., NortonS.P., ParkerR.A., WilsonR.A. Atlas of finite groups // Oxford: Clarendon Press, 1985.

[46] DengH.W., Shi W.J. Recognition of some finite simple groups of type Dn(q) by spectrum // Int. J. Algebra Comput. 2009. V. 19, N 5. P. 681-698.

[47] Deriziotis D. Conjugacy classes and centralizers of semisimple elements in finite groups of Lie type // Vorlesungen aus dem Fachbereich Mathematik der Universität GH Essen4. V. 11. Universität Essen, Fachbereich Mathematik, Essen. 1984.

[48] The GAP Group, GAP — Groups. Algorithms, and Programming, Version 4.4, 2004; (http://www.gap-system.org).

[49] Gorenstein D. Finite groups. Harper and Row, New York. 1968.

[50] Gorenstein, R. Lyons, R. Solom.on The classification of the finite simple groups, Number 3, Mathematical Surveys and Monographs, 40, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998.

[51] Grechkoseeva M.A., Shi W.J., Vasil'ev A. V. Recognition by spectrum of finite simple groups of Lie type // Front. Math. China. 2008. V. 3, N 2. P. 275-285.

[52] Hall M. Solution of the Bumside problem for exponent six // Illinois J. Math. 1958. V. 2. P. 764-786.

[53] HiqmanG. Finite groups in which every element has prime powei order // J. London Math. Soc. 1957. V. 32. P. 335-342.

[54] Kantor W.M., Seress A. Prime power graphs for groups of Lie type // J. Algebra. 2002. V.247. P. 370-434.

[55] Khukhro E.I. Nilpotent groups and their automorphisms // Dc Gruytcr, Bcilin, 1993.

[56] Levi F., van der Waerden B.L. Uber eine besondere Klasse von Gruppen // Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 1932. V. 9. P. 154-158.

[57] LipschutzS., W.J.Shi Finite groups whose element orders do not exceed twenty // Prog. Nat. Sei. 2000. V. 10, N 1. P. 11-21.

[58] Lucido M.S., Moqhaddamfar A.R. Groups with complete piimc giaph conncctcd components // J. Group Theory. 2004. V. 7. N 3. P. 373-384.

[59] Mazurov V.D. Characterizations of groups by arithmetic piopeities // Algebra Colloquium. 2004. V. 11, N 1. P. 129-140.

[60] Mazurov V.D., Shi W.J. A note to the characterization of spoiadic simple gioup // Ibid. 1998. V. 5, N 3. P. 285-288.

[61] Neumann B.H. Groups whose elements have bounded orders //J. London Math. Soc. 1937 V. 12. P. 195-198.

[62] HoltD.F, Plesken W. Perfect gioups. Oxford: Claiendon Piess, 1989.

[63] ShaoCh., Jiang Q. A new characterization of A22 by its spectrum // Comm Algebra. 2010. V. 38, N 6. P. 2138-2141.

[64] Sh W. A characteristic property of A5 // J. Southwest-Chine Teachers Univ. 1986. V. 3. P. 11-14 (in Chinese)

[65] Shi W. A characteristic property of PSL2{7) // J. Austral. Math. Soc. (Sei. A) 1984. V. 36, N 3. P. 354-356.

[66] Shi W. The charactcrization of the sporadic simple groups by their element orders // Algebra Colloq. 1994. V. 1. N 2. P. 159-166.

[67] Stensholt E. Certain embeddigs among finite groups of Lie type // J. Algebra. 1978. V. 53, N 1. P. 136-187.

[68] Suzuki M. On a class of doubly transitive groups // Ann. Math. 1962. V. 75. P. 105-145.

[69] Unsolved Problems in Group Theory: the Kourovka Notebook, eds. E.I. Khukhro and V.D. Mazurov, 16th edition // Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk. 2006.

[70] Williams J. S. Prime graph components of finite groups //J. Algebra. 1981. V. 69, N 2. P. 487-513.

[71] Zavarnitsine A.V. Recognition of the simple group L-s(q) by element orders // J. Group Theory. 2004. V. 7, N 1. P. 81-97.

[72] A. V. Zavarnitsine Finite simple groups with narrow prime spectrum // Siberian electronic mathematical reports. 2009. V. 6. P. 1-12.

[73] Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys. 1892. V. 3. P. 265-284.

Работы автора по теме диссертации

[74] Васильев А.В., Горшков И.Б. О распознавании конечных простых групп со связным графом простых чисел // Сиб. матем. журн. 2009. Т. 50. № 2. С. 292-299.

[75] Васильев А.В., Горшков И.Б., Гречкосеева, М.А., Кондратьев А. С.. Старолетов A.M. О распознаваемости по спектру конечных простых групп типов Вп. Сп и Юп при п = 2к // Тр. ИММ УрО РАН. 2009. Т. 15. № 2. С. 58-73.

[76] Горшков И. Б. Распознавание по спектру конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 17 // Сибирские электронные математические известия. 2010. Т. 7. С. 14-20.

[77] Горшков И. Б. О гипотезе Томпсона для простых групп со связным графом простых чисел // Алгебра и логика. 2012. Т. 51. № 2. С. 168-192.

[78] Горшков И.Б. Распознаваемость знакопеременных групп по спектру // Алгебра и логика. 2013. Т. 52, № 1. С. 57-63.

[79] Горшков И.Б. О группах с композиционным фактором, изоморфным знакопеременной группе степени 7 // Алгебра и теория моделей. 2007. Т. 6. С. 21-38; из-во НГТУ, Новосибирск.

[80] Горшков И.Б.. О группах с композиционным фактором, изоморфным знакопеременной группе степени 7. Международная научная студенческая конференция, Новосибирск, 2007, С. 7-8.

[81] Горшков И.Б., О распознаваемости конечных простых групп по спектру. Международная научная студенческая конференция, Новосибирск, 2008, С. 6-7.

[82] Горшков И.Б., О распознаваемости всех конечных простых групп, простые делители порядков которых не превосходят 17. VII международная школа-конференция по теории групп, Челябинск, 2008, С. 38-40.

[83] Горшков И.Б., О характсризации по множеству размеров классов сопряженных элементов конечных простых групп 2Л3(5), 2Л3(4), С3(4), Da{4). Лобачевские чтения. Казань. 2009. С. 180182.

[84] Горшков И.Б.. Об одной гипотезе Томпсона. VIII международная школа-конференция по теории групп, Нальчик, 2010, С. 68-70.

[85] Горшков И.Б., О характеризации по множеству размеров классов сопряженных элементов конечной простой группы АЫр+-л- Лобачевские чтения. Казань, 2011, С. 80.

[86] Горшков И.Б., Распознаваемость по спектру знакопеременных групп. XI Белорусская математическая конференция, Минск, 2012, С. 20.