Квазираспознаваемость конечных простых групп по множеству порядков элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат физико-математических наук Алексеева, Оксана Алексеевна

• Алексеева, Оксана Алексеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Алексеева, Оксана Алексеевна

Введение

1 Обозначения, определения и предварительные результаты

1.1 Обозначения и определения

1.2 Предварительные результаты.

2 Квазираспознаваемость конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности

2.1 Доказательство теоремы 2.1.1.

2.2 Доказательство теоремы А.

3 Квазираспознаваемость конечных простых групп

3£>4(<7) и F4(q)

3.1 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп и q нечетно доказательство теоремы В).

3.2 Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп q четно доказательство теоремы С).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Квазираспознаваемость конечных простых групп по множеству порядков элементов»

Изучение конечных групп по свойствам порядков их элементов — известная и актуальная задача теории групп. Необходимость изучения изменения множества порядков элементов конечной группы при её расширении впервые возникла в 1956 г. в классической работе Ф. Холла и Г. Хигмана [29].

Пусть G — конечная группа. Обозначим через o;(G) множество всех порядков элементов группы G. Конечная группа G называется распознаваемой (по множеству порядков элементов), если для любой конечной группы Н с ш(Н) — u{G) имеем Н = G.

В 1984 г. Ши [37] доказал распознаваемость группы PSL2 (7). Этот результат положил начало широкому направлению исследований распознаваемости групп. Так как конечная группа с нетривиальной разрешимой нормальной подгруппой нераспознаваема, то проблема распознаваемости во многом сводится к случаю почти простых групп. К настоящему времени по этой проблеме получено большое количество результатов (см. обзор В.Д. Мазурова [33]).

Множество cj(G) определяет граф простых чисел (граф Грюнберга-Кегеля) GK(G) группы G, в котором вершинами служат простые делители порядка группы G и две различные вершины р и q соединены ребром тогда и только тогда, когда G содержит элемент порядка pq. Множество uj{G) частично упорядочено относительно делимости и однозначно определяется подмножеством n(G) своих максимальных по делимости элементов. Обозначим через щ = Hi{G) множество тех п £ f-i{G), для которых каждый простой делитель числа п принадлежит 7Г,. Обозначим число компонент связности графа GK(G) через t(G), а множество его связных компонент — через {^(G) | 1 < i < t(G)}; при этом для группы G четного порядка считаем, что 2 £ щ(G).

Грюнберг и Кегель доказали следующую структурную теорему для конечных групп с несвязным графом простых чисел.

Теорема Грюнберга-Кегеля [39, теорема А]. Если G — конечная группа с несвязным графом GK(G), то верно одно из следующих утверждений: а) G — группа Фробениуса; б) G = ABC, где А и АВ — нормальные подгруппы группы G, АВ Щ и ВС — группы Фробениуса с ядрами А и В и дополнениями В и С соответственно; в) G является расширением нильпотентной tvi{G)-группы посредством группы А, где 1пп(Р) < А < Aut(P), Р — простая неабелева группа с t(G) < t(P) и А/Р — tti(G)-группа.

Из этого результата следует, что если G - неразрешимая группа с несвязным графом GK(G), не изоморфная группе Фробениуса, то G имеет единственный неабелев композиционный фактор Р, для которого t(G) <t(P).

В 1981 г. Уильяме, ученик Грюнберга, в работе [39] получил явное описание связных компонент графа GK(G) для всех известных конечных простых неабелевых групп G, кроме групп лиева типа четной характеристики.

В 1989 г. А.С. Кондратьев в работе [18] получил описание связных компонент графа GK(G) для оставшегося неисследованным случая, когда G — конечная простая группа лиева типа четной характеристики.

В работе.[19] было показано, что для любой конечной простой группы Р с t(P) > 1 справедливо равенство |дг(Р)| = 1 при г > 1; пусть Щ = П{(Р) обозначает единственный элемент из ^i(P) для i > 1. Отсюда и из упомянутой выше работы Уильямса следует, что если G — конечная группа с несвязным графом Грюнберга-Кегеля, для которой выполняется случай (в) теоремы Грюнберга-Кегеля, и Р — неабелев композиционный фактор в G, то {ni(G) | г > 1} С {щ(Р) | i > 1}.

Результаты о конечных группах с несвязным графом Грюнберга-Кегеля нашли большое применение в исследованиях распознаваемости конечных групп по множеству порядков элементов (см. [33]). До последнего времени большинство групп, для которых был решен вопрос распознаваемости, имели несвязный граф простых чисел.

Первый этап решения вопроса распознаваемости конечных простых групп с несвязным графом Грюнберга-Кегеля заключается в доказательстве условия квазираспознаваемости, более слабого, чем распознаваемость. Конечная простая неабелева группа Р называется квазираспознаваемой, если любая конечная группа G с co(G) = uj(P) имеет композиционный фактор, изоморфный Р. Это понятие было введено А.С. Кондратьевым в [5].

Отметим, что из квазираспознаваемости конкретной конечной простой группы Р для неё следует положительный ответ на вопрос Ши [36], записанный в "Коуровскую тетрадь" [21] под номером 12.39: если G — конечная группа такая, что lo{G) = со(Р) и \G\ = |Р|, то G изоморфна Р.

Свойство квазираспознаваемости простой группы имеет также и самостоятельное значение, потому что существуют примеры квазираспознаваемых, но не распознаваемых простых групп (см. [33]).

Диссертационная работа посвящена доказательству квазираспознаваемости по множеству порядков элементов конечных простых групп, граф Грюнберга-Кегеля которых имеет по крайней мере три компоненты связности, и конечных простых исключительных групп лиева типа F±(q) (q нечетно) и граф Грюнберга-Кегеля которых имеет точно две компоненты связности.

Основными методами исследования являются методы теории конечных групп и их представлений, теоретико-числовые методы.

Методы данной диссертационной работы могут быть использованы для исследования квазираспознаваемости других конечных простых групп.

Результаты диссертации докладывались на 32-36 региональных молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Кунгурка, 2001-2005 гг.), на международном семинаре "Алгебра и линейная оптимизация" (Екатеринбург, 2002 г.), на Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма" (Омск, 2003 г.), на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2003-2004 гг.), на международной алгебраической конференции (Москва, 2004 г.) и на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2]-[15].

Диссертация состоит из введения, трёх глав и списка литературы. Ссылка на утверждение i.j.k означает, что оно находится под номером к в параграфе j главы i. Объем диссертации составляет 60 страниц, библиография содержит 40 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Алексеева, Оксана Алексеевна, 2005 год

1. М.Р. Алеева, О конечных простых группах с множеством порядков элементов как у группы Фробениуса или двойной группы Фробени-уса // Матем. заметки, 73, N 3 (2003), С. 323-339.

2. О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп q четно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2005. С. 3-4.

3. О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3D4(q), q четно // Челяб. гуманит. ин-т., Челябинск, 2005. 15 с. Библиогр.: 18 назв., Рус., депонирована в ВИНИТИ 29.03.05 № 417 - В2005.

4. О.А. Алексеева, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп 3£>4(д), q четно, Алгебра и логика, в печати.

5. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость некоторых конечных простых групп по множеству порядков элементов / / Укр. матем. конгр.-2001. Алгебра i теор. чисел. Секщя. 1. Тез. доп. Киев, 2001. С. 4.

6. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы Eg(q) по множеству порядков элементов / / Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 32-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2001. С. 5-6.

7. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы Es(q) по множеству порядков элементов // Укр. матем. ж., 54, N 7 (2002), С. 1003-1008.

8. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О распознаваемости группы E$(q) по множеству порядков элементов, II // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 33-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2002. С. 7-8.

9. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость одного класса конечных простых групп по множеству порядков элементов // Сиб. матем. ж., 44, N 2 (2003), С. 241-255.

10. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О квазираспознаваемости по множеству порядков элементов групп F^q), q нечетно // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции "Под знаком "Сигма.", ОНЦ СО РАН, Омск: Полиграфический центр КАН, 2003. С. 3-4.

11. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, О квазираспознаваемости по множеству порядков элементов групп F^q), q нечетно // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции, Екатеринбург: УрО РАН, 2004. С. 3-8.

12. О.А. Алексеева, А.С. Кондратьев, Квазираспознаваемость по множеству порядков элементов групп zD±(q) и F\(q), q нечетно, Алгебра и логика, в печати.

13. А.В. Васильев, М.А. Гречкосеева, О распознаваемости конечных простых ортогональных групп размерности 2m, 2т + 1 и 2т + 2 // Сиб. матем. ж., 45, N 3 (2004), С. 510-526.

14. А.В. Васильев, М.А. Гречкосеева, В.Д.Мазуров, Х.П. Чао, Г.Ю. Чен, В.Дж. Ши, Распознавание конечных простых групп F±(2m) по спектру // Сиб. матем.ж., 45, N 6 (2004), С. 1256-1262.

15. А.С. Кондратьев, О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Матем. сб., 180, N 6 (1989), С. 787-797.

16. А.С. Кондратьев, В.Д. Мазуров, Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов // Сиб. матем. ж., 41, N 2 (2000), С. 359-369.

17. В.Д. Мазуров, Распознавание конечных простых групп S±(q) по порядкам их элементов // Алгебра и логика, 41, N 2 (2002), С. 166-198.

18. Нерешенные вопросы теории групп. Коуровская тетрадь. 15-е изд. Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2002.

19. Семинар по алгебраическим группам. Москва: Мир, 1973.

20. Р. Стейнберг, Лекции о группах Шевалле, М: Мир, 1975.

21. М. Aschbacher, Finite group theory, Cambridge: Cambridge University Press, 1986.

22. R.W. Carter, Finite simple groups of lie type, London:Wiley, 1972.

23. J.H. Conway, R.T. Curtis, S.P. Norton, R.A. Parker, R.A. Wilson, Atlas of finite groups, Oxford: Clarendon Press, 1985.

24. D.I. Deriziotis, G.O. Michler, Character table and blocks of finite simple triality groups 3D4(q) // Trans. Amer. Math. Soc., 303, N 1 (1987), P. 39-70.

25. D. Gorenstein, R. Lyons, The local structure of finite groups of characteristic 2 type, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1983 (Mem. Amer. Math. Soc., 42, N 276).

26. P. Hall, G. Higman, The p-length of p-soluble groups and reduction theorems for Burnside's problem // Proc. London Math. Soc., (3) 6 (1956), P. 1-42

27. P. Kleidman, M. Liebeck, The subgroup structure of the finite classical groups, Cambridge, Cambridge University Press, 1990 (London Math. Soc. Lect. Note Ser., 129).

28. M.S. Lucido, Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 102 (1999), P. 1-22.

29. V.D. Mazurov, Characterizations of groups by arithmetic properties // Algebra Colloquium, 11 (1) (2004), P. 129-140.

30. V.D. Mazurov, W. Shi, Groups whose elements have given orders // London Math. Soc. Lecture Note Ser. 261 (1999), P. 532-537.

31. Pham Huu Tiep, p-Steinberg characters of finite simple groups // J. Algebra, 187, N 1 (1997), P. 304-319.

32. W.J. Shi, A new characterization of the sporadic simple groups // Group theory. Proc. Conf. Singapore 1987, 1989. P. 531-540.

33. W.J. Shi, A characteristic property of PSL2(J) //J. Austral. Math. Soc. (Ser. A), 36, N 3 (1984), P. 354-356.

34. E. Stensholt, Certain embeddings among finite groups of Lie type //J. Algebra, 53, N 1 (1978), P. 136-187.

35. J.S. Williams, Prime graph components of finite groups // J. Algebra, 69, N 2 (1981), P. 487-513.

36. K. Zsigmondy, Zur Theorie der Potenzreste // Monatsh. Math. Phys., 3, (1892), P. 265-284.