Апостериорные оценки точности приближенных решений некоторых задач механики и математической физики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Музалевский Алексей Витальевич

• Музалевский Алексей Витальевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Музалевский Алексей Витальевич

Введение

Глава 1. Об оценках погрешности приближенных решений в задачах термоупругости

1.1. Оценки в энергетической норме для задачи стационарной диффузии

1.2. Оценки в энергетической норме для задачи линейной теории упругости

1.3. Вариационная постановка линейной задачи термоупругости

1.4. Оценки отклонения от точного решения в энергетической норме

для задачи термоупругости

1.5. Оценки для изотропной модели

1.6. Численные эксперименты для задачи (1.1) (1.3)

1.7. Численные эксперименты для задачи линейной теории упругости

1.8. Численные эксперименты для задачи термоупругости

Глава 2. Апостериорные оценки ошибок для задач, связанных с

уравнениями Максвелла

2.1. Постановка задачи

2.2. Получение двусторонних оценок отклонения от точного решения

2.3. Другая форма оценки сверху

2.4. Численные эксперименты

Глава 3. Об апостериорных оценках для эллиптических задач во

внешних областях

3.1. Постановка задачи

3.2. Оценки ошибки

3.3. Решение внешней задачи и применение апостериорных оценок

3.4. Численные эксперименты

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Приложение А. Функциональные апостериорные оценки. История вопроса

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Апостериорные оценки точности приближенных решений некоторых задач механики и математической физики»

Введение

Актуальность темы исследования. В настоящее время методы построения оценок погрешности приближенных решений являются одним из важнейших направлений вычислительной математики. Необходимость таких методов, которые обеспечивают контроль интегральной и локальной погрешности, диктуется потребностями современных адаптивных алгоритмов. Можно утверждать, что в последнее время сформировалось новое направление численного анализа, которое посвящено методам надежных вычислений. Первые результаты в этом направлении были получены еще в середине XX века. Большинство современных вычислительных алгоритмов используют последовательную адаптацию сеток. Другими словами, адаптивные численные методы основаны на концепции, при которой эффективные приближения должны быть построены с помощью последовательности конечномерных пространств {Ук}, к = 1, 2,... таких, что > (ИтУк- Как правило, структура этих пространств априори неизвестна. В рамках концепции адаптивного моделирования генерация основана на информации, полученной в приближении щ € По этой причине необходимо иметь вычислимые величины, предоставляющие информацию об ошибке, например с точки зрения энергетической нормы. Такие величины называются индикаторы ошибок. То есть новая дискретизация строится на основе информации, полученной из решения на предыдущей сетке. По этой информации строится индикатор тех элементов сетки, как правило, конечноэлементной, которые необходимо улучшить. Важным шагом является построение гарантированной оценки погрешности, по которой строится требуемый индикатор. Необходимость построения такого индикатора для различных задач математической физики стимулировало развитие апостериорных методов оценивания.

Математическое и компьютерное моделирование позволяет выполнять виртуальные эксперименты без дорогостоящего оборудования, строить прогнозы, основанные на предположениях, исследовать прототипы промышленных объек-

тов и т. д. Тем не менее, без должного понимания и оценки ошибок, генерируемых в процессе моделирования, существует риск неправильных выводов на основе ненадежных численных результатов. Процесс моделирования состоит из нескольких этапов. Во-первых, физическая (или биологическая, финансовая и т. д.) задача описывается с помощью математических соотношений, которые генерируют соответствующую математическую модель. Математическая модель всегда представляет "сокращенный" вариант физического объекта, так что погрешность математической модели всегда больше нуля. Во-вторых, непрерывные (дифференциальные) модели заменяются конечномерными (дискретными) задачами. При такой замене возникают ошибки аппроксимации. В-третьих, при нахождении решения полученных конечномерных задач, как правило, используется численное интегрирование, итерационные процедуры и операции, выполняемые с ограничениями на разрядность чисел, откуда появляются численные ошибки.

Типичная схема использования методов апостериорного оценивания требует вычисления индикаторов для последовательности сеток. Для определения желаемой точности расчетов, с одной стороны, может быть использована апостериорная оценка ошибки численного решения как оценка энергетической нормы ошибки решения эллиптической задачи. Но с другой стороны, в практических вычислениях возникает ошибка из-за неточности задания данных задачи. Например, в практических задачах линейной теории упругости материальные константы всегда заданы с погрешностью. Существуют работы (см., например, [18, 27]), оценивающие ошибки численных решений из-за неточности задания данных задачи. Очевидно, что достижимая точность расчетов на практике не может превосходить ошибки, возникающей из-за неточности задания данных задач.

Важность апостериорной оценки для какой-либо краевой задачи состоит в построении как индикатора для адаптации сетки, так и оценки энергетической нормы ошибки решения. Другими словами, для краевой задачи с некоторыми

заданными условиями Ю (коэффициентами, областью, граничными условиями) можно оценить разность между точным решением и и некоторой произвольной функцией V из соответствующего энергетического пространства V следующим образом:

М Ю) < || и — V ||у <Мф(у, Ю), Уу € V.

Эта оценка является двусторонней апостериорной оценкой, которую можно использовать для определения желаемой точности расчетов произвольной конформной аппроксимации V решения данной краевой задачи. Кроме того, так как ||и — V||у, как правило, представляет собой некоторый интеграл, то разбиение области краевой задачи на подобласти некоторой сеткой и соответствующие величины апостериорной оценки ошибки на этих подобластях могут служить индикаторами для адаптации сетки.

В конце 1990-х годов С. И. Репиным [6, 25, 29] были получены новые апостериорные оценки энергетической нормы отклонения от точного решения. Эти оценки получены из общих методов функционального анализа и теории двойственности для вариационного исчисления, поэтому их можно называть апостериорными оценками функционального типа.

Диссертационная работа посвящена исследованию некоторых функциональных апостериорных оценок погрешности.

Степень разработанности темы исследования. Теория апостериорного контроля ошибок активно развивается с конца 70-х годов XX века. С 80-х годов XX века начинают развиваться методы и адаптивные алгоритмы, основанные на индикаторах, построенных по апостериорным оценкам локального распределения погрешности. Среди первых работ можно выделить работы I. ВаЬпнка и С. Ш1етЬо1ск, О. С. ТлепЫежхс/л и Ъ. Я. Уегйн^Ь и других [10, 12, 31, 33].

В конце 1990-х годов С. И. Репиным [6, 25, 29] были получены новые апостериорные оценки энергетической нормы отклонения от точного решения.

Диссертационная работа посвящена исследованию функциональных апостериорных оценок погрешности. В первой главе диссертационной работы разработаны и исследуются апостериорные оценки функционального типа для задач линейной теории термоупругости. Во второй главе исследуются апостериорные оценки функционального типа для задач, связанных с уравнением Максвелла. Эта глава продолжает исследования С. И. Репина, изложенные в [26]. В третьей главе разработан новый метод решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях. Этот метод использует как основу апостериорную оценку функционального типа для эллиптических задач во внешних областях, изложенную в работе D. Pauly и С. И. Репина [21].

Цели и задачи диссертационной работы. Целью данной диссертационной работы является разработка и исследование апостериорных оценок функционального типа для задач линейной теории термоупругости, задач, связанных с уравнением Максвелла и эллиптических краевых задач во внешних областях. А также разработка новых эффективных алгоритмов и комплексов программ на основе этих апостериорных оценок.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Получить апостериорные оценки функционального типа для задач линейной теории термоупругости и исследовать их применение.

2. Получить апостериорные оценки функционального типа для задач, связанных с уравнением Максвелла (eddy-current problem) и исследовать их возможности для эффективного контроля точности различных аппроксимаций.

3. Разработать метод позволяющий получать приближенные решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях.

4. Разработать программные комплексы для вычисления апостериорных оценок функционального типа для соответствующих задач.

Научная новизна. В работе впервые получены функциональные мажоранты погрешности для задач линейной термоупругости и с помощью численных экспериментов доказана их эффективность. Для задач, связанных с уравнением Максвелла (eddy-current problem), с помощью численных экспериментов впервые доказана эффективность функциональных апостериорных оценок ошибок. Предложен новый метод решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях, который построен на основе функциональной апостериорной оценки ошибки приближенного решения.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для контроля точности практически важных краевых задач. Полученные результаты могут быть использованы в научных исследованиях, а также для оценки результатов численных экспериментов в пакетах прикладных программ, использующих МКЭ.

Методология и методы исследования. Исследование апостериорных оценок ошибок приближенных решений основано на методах функционального анализа, математической физики и теории двойственности вариационного исчисления. При аппроксимации методом конечных элементов используются хорошо изученные кусочно-линейные и кусочно-квадратичные аппроксимации. Расчетные процедуры реализованы с привлечением пакетов Matlab и Comsol. Эффективность новых методов контроля погрешности производимых вычислений и соответствующих программных комплексов оценивалась на широком классе задач, включая и те, где точные решения могут быть получены аналитическими методами.

Положения, выносимые на защиту:

1. Получение апостериорных оценок функционального типа для задач линейной теории термоупругости и исследование их применений.

2. Получение апостериорных оценок функционального типа для задач, связанных с уравнением Максвелла (eddy-current problem) и исследование их

возможностей для эффективного контроля точности различных аппроксимаций.

3. Разработка метода, позволяющего получать приближенные решения с гарантированной точностью для эллиптических задач во внешних областях.

4. Реализация эффективных численных методов оценок погрешности приближенных решений (для всех вышеперечисленных задач) в виде комплексов проблемно-ориентированных программ и проведение соответствующих вычислительных экспериментов.

Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Пятый всероссийской семинар "Сеточные методы для краевых задач и приложения", Казань, 2004; Шестой всероссийской семинар "Сеточные методы для краевых

,

,

,

Петербург, 2011.

Представленные результаты получены при частичной поддержке грантов РФФИ № 08-01-00655-а, № 11-01-00531-а и № 14-01-00162-а.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах, из них 4 статьи в рецензируемых журналах [ , , , ] и 1 статья в сборниках трудов конференций [2].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 112 страниц, из них 110 страниц текста, включая 61 рисунок. Библиография содержит 33

3

10

Глава 1

Об оценках погрешности приближенных

решений в задачах термоупругости

В этой главе в первом параграфе приводятся исследования апостериорных оценок ошибки функционального типа для задач стационарной диффузии, к которым относятся задачи распределения тепла. Во втором параграфе изучаются апостериорные оценки ошибки функционального типа для задачи линейной теории упругости. Далее эти результаты обобщаются для получения апостериорной оценки в задаче термоупругости, которая включает как уравнения распределения тепла, так и уравнения линейной упругости. Также проводятся соответствующие численные эксперименты.

1.1. Оценки в энергетической норме для задачи стационарной диффузии

Рассмотрим задачу

где ^ С Кп - ограниченная связная область с непрерывной по Липшицу границей дсостоящей из двух непересекающихся частей с^ и д2&. Предполагается теа8п—1(^1^} > 0 и0 € Н1^), и матрица А симметрична и удовлетворяет соотношению

¿шА^и + / = 0 вП,

и = и0 н а,д1и, V • АУи = ^ на, д20,,

(1.1) (1.2) (1.3)

С?^2 < М • í < с||С|2, € К".

Также предполагаем / € 1_2(^) и ^ € 1.2(д2&). Пусть

Уо + и0 = (и = и0 + т | т € ,

(1.4)

где

У0 = {V е | V = Она дг.

Обобщенное решение и е У0 + и0 задачи ( )-( ) удовлетворяет интегральному тождеству

А^и- У-м <1х =

<1х +

^ (1Г, Ун е Ц..

(1.5)

п

п

доП

Известно, что такое обобщенное решение существует и единственно.

Используем (1.5) для получения оценки разности между точным решением и и произвольной V е У0 + по в энергетической норме ЦУ(и — где

мг* =

Ау • у йх.

п

Также потребуется другая норма

ы2* =

А 1у • у 4х.

п

Для любой вектор-функции у е У7 где

У = уе

\у е Н(П,&у) | у • V е 1*(д*

получим

(■м ¿шу + У-ш • у) <1х =

(у • V)п) дГ, Уп) е У0.

п

доП

Из (1.5) и (1.6) получим

АУ(и — V) • У-ш <1х =

(/ + сИ <1х +

(у — АУу) • У и) (1х+

пп

п

+

(1.6)

(^ — у • идГ.

Кроме того, используя аналог неравенства Фридрихса

М1 < СР||Уп||, Vw е п,

и ограниченность оператора следа на^2^, заключаем, что существует константа

III ХМ I2

Так как

и

\1 = т£ — 2 .

т€У0 11 ^ 11 2 + 11 'Ш 11 ^

(у — АУу) • У и) <1х < | | | у — АУу | | | * | | | Уп) |

п

(/ + diуу)п) <1х +

(^ — у • ^¿Г

п

доП

<

< (II/ + йуу||2 + ^ — у • ^|Ц2п)1/2С1У

приходим к оценке

2 \1 /2

| у (и — у) i i < i i i у — ау^ i i * + с ( i i / + а! уу i i 2 + i i ^ — у • ^ i i 2оп)

(1.7)

Здесь С некоторая константа, превосходящая А—1. Или, используя неравенство

Юнга, получим

^(и — ^)|2 < М(у,у,Р),

М (у,у,$) = (1 + р )Цу — АУуЩ+

+ (1 +1) ^ + ^2 + IIе — у • ^ ^

Правая часть этой оценки представляет собой неотрицательный функционал относительно переменной у и параметра ¡3 > 0. Подчеркнем, что данная оценка пригодна для любых функций сравнения из допустимого функционального класса, содержащего обобщенное решение задачи.

Выведем теперь оценку снизу для ЦУ(и — у)Ц. Заметим, что Уг> € У0

1||У(,г))|2 = вир 2 уе\-2 (пд™)

> вир

.К

п

п

^АУу • у — 1 Ау • у \ <1х >

О

1

АУ) • Уад--АУад •Уад Ах >

2

>

1

АУЪ • У) — - АУ) • У) ) &х =

п 1

-)

= 21У)12,

откуда заключаем, что

1 | | У (и — г>) | | 2 = вир

2

.1 (

п

1

ЛУ(м — V) • У (ад) — - АУп) • Уад ) Ах =

= вир

(/ад — АУи • Уад) +

Гад — 1 —2

А Уад • Уад

п

32 п

п

Таким образом, миноранту можно определить следующим образом

|У(и — ^)||2 > Ме(у,ад),

Ме(у,ад) = 2

(¡ад — АУу • Уад) ^ + 2

Гад (1Г-

АУад • Уад ¿ж. (1.8)

п

3оП

п

1.2. Оценки в энергетической норме для задачи линейной теории упругости

Классическая постановка краевой задачи теории упругости состоит в определении тензор-функции а и вектор-функции и7 удовлетворяющей следующей системе уравнений:

а = Ьф) в П, (1.9)

1

е(и) = -(Уи + (Уи)т),

сЦуа + / = 0 вП,

и = и0 на дги, аи = ^ на д* О,

где О С - ограниченная связная область с непрерывной по Липшицу границей <9О, состоящей из двух непересекающихся частей с^О и д*О7 причем теа8те_ 1{д1 О} > 0. Предполагается, что

/ е 1*(О,^ е 1*(д*О,Кп), и0 е Нг(О,)

иЬ - тензор упругих модулей, который должен удовлетворять условиям

сг|к|2 < Ьк : к < с*\к\2 Ук е М'

пхп в ,

Ь%]кт Ь]%кт Ькт%] , , ^, ^ . . .

Ь%]кт е I- (О).

Естественная функциональная формулировка классической задачи приводит к следующей задаче.

Задача V. Найти элемент и е У0 + и0 такой, что

Ьг(и) : г(п)) <1х =

/ • п) <1х +

^ •'шсГ, Уw е Ц),

(1.10)

п

п

доП

где

У0 = {уе Нг(О,Кп) | V = Онао^} , У0 +и0 = {и = и0 I V] е ^о} .

Известно, что решение задачи V существует и единственно. Определим нормы

|Ф)|2 =

Ьг (и) : г(и)(1х,

|а 12 =

Ь 1а : айх.

п

п

Используем ( ) для получения оценки разности между точным решением и и произвольной V е У0 + и0. Перепишем ( ) в виде

Ьг (и — V) : г(и)) <1х =

(/ •и) — Ьг (у) : г(-м)) (1х +

^ ^ сГ. (1.11)

п

п

доП

Пусть тензор-функция т € где

£ = {т € Н(П,&у, М™хп) | ти

е I2

Тогда

(ад • ¿[ут + г(ад) : т) <1х =

ти • ад 6Г, Уад € И.

(1.12)

п

3,п

Из (1.11) и (1.12) получаем

Ье(и — у) : е(ад) =

(/ + сИут) • ад (1х +

(г — Ьф)) : е(ад) (1х+

п

п

п

+

(^ — т^) • ад дГ.

3, п

Кроме того, используя один из частных случаев неравенства Корна

| | ад11 1,2,п < Ск11 е(ад)11 , Уад € И,

и ограниченность оператора следа иа^2^, заключаем, что существует константа

ЦИад)1112

Л2 = 1п£

^о ||ад||2 + ||ад||12п'

Так как

(г — Ьф)) : е(ад) <1х < || т — Ье(у) || * || е(ад

п

и

(/ + сИ ут) • ад (1х +

(^ — ти) • ад йГ

п

д,п

<

<(||/ + сН ут ||2 + — ™ ||2,п)1/2 С|И

(ад

приходим к оценке

2 \ 1/2

| | | У (и — *) | | | < | | г — Ьф)| | | * + С (| | I + Шут| | 2 + | | ^ — ти| | 1,п)

(1.13)

Здесь С некоторая константа, превосходящая А—1. Или, используя неравенство Юнга, получим

|ф — у)!2 < Ме(у,у,Р),

Ме(у,т,/3) = (1 + 0)||г- Ье(и)||2+

+ (1 + 1) (II/ + ^||2 + ||Р - Ч1Ы . (1-14)

Эта оценка верна при любом т € Е и любом положительном

Выведем теперь оценку снизу для Це(и — г>)|. Заметим, что У у € У

21Ф)12 =

вир

т €12(П,М?х")

[ (

п

> вир

[

п

Ье(у) : т — 1 Ьт

1

<1х >

Ье(г;) : е(и) — -Ье(и) : е(и) с<х >

)

>

Ье(у) : ф) — -Ье(у) : ф) I <х =

2

п 1

)

= 2 К«12,

откуда заключаем, что

1 | | е(и — у) | | 2 = вир

2 'шеУо

.[ (

п

Ье(и — у) : е(и) — -Ье(и) : е(им <х =

2

)

= вир

■ыеУо

(/ •и — Ьг (у) : е(и)) <х +

Р •и <Г — 1 2

Ье(и) : е(и) <х

п

52 п

п

Таким образом, миноранту можно определить следующим образом

IФ — у)Ц2 > Ме(у,и),

Ме(у ,и) = 2

(/• и—Ье(у) : ф)) <х + 2

Р-и <Г-

Ье(и) : е(и) <х. (1.15)

п

д2П

п

1.3. Вариационная постановка линейной задачи

термоупругости

Классическая постановка краевой задачи теории термоупругости состоит в определении тензор-функции а и вектор-функции и, удовлетворяющей следу-

ющеи системе уравнении:

сНуа + / + /т = 0 в О,

а = Ье(и) в О, е(и) = ±(Уи + (Уи)т), и = и0 на ^О, = ^ + Гт на 52О,

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

где О € Мп - ограниченная связная область с непрерывной по Липшицу границей дО7 состоящей из двух непересекающихся частей с^О и д2О7 причем теа8те—1{51 О} > 0. Предполагается, что

/ € Ь2(О, Мп), ^ € 12(д2О, Мп), и0 € Н1(О, Мп)

иЬ - тензор упругих модулей, который должен удовлетворять условиям

С1|к|2 < Ьк : к < С2|к|2 Ук € М

пхп

Ьг]кт Ь]%кт Ькт%] , ^, "Ш, 1, ... ,ГП^

Ь 1]кт € Ь (О).

Кроме того, /т,Рт - функции, связанные с тензором температурных деформа-

£Т =

^11 0 0 ^

0 «22 0

У 0 0 азз)

соотношениями (см., например, [9])

(Т — То),

/т = — & у(Ьет),

рт = Ьет р.

Здесь «11, а22, а33 - коэффициенты температурного расширения по соответствующим координатным осям, Т0 - отсчетная температура (температура, при которой отсутствуют температурные напряжения), а скалярная функция Т является решением задачи теплопроводности

Здесь д - функция, определяющая тепловые источники в области П, д3П и д4П - две непересекающиеся части границы дП, которые, вообще говоря, могут не совпадать с д1П и д2П, во и Q заданные функции, определяющие соответственно заданную температуру на границе д3П и тепловой поток через д4П.

Нетрудно видеть, что погрешности аппроксимации, возникающие в задаче (1.21),(1.22), вносят дополнительные погрешности в численное решение основной задачи (1.16 1.20). Наш подход основан на использовании апостериорных оценок функционального типа (см. [27]).

Введем следующие обозначения:

ДТ = д,

(1.21)

с граничными условиями

Т = в0 на д3П, —— = ^ на д4П.

д

(1.22)

Уо = {и € Н1(П, Кп) | и = Онад^} , ио = {и € Н1(П) | и = 0 на дзП} ,

1м О / \

т| = Ьт : т <х, (е, т) = £ : т <х

2

п

п

Уо + ио = {и € Н1(П, Кп) I и = ио на д^} , ио + во = {и € Н1(П) | и = во на дзП} , Е = {т€ Н(П,&у,М"хп) | ти € Ь2(д2П,Кп)} ,

Задача линейной теории термоупругости может быть сформулирована в виде двух вариационных проблем, которые мы будем называть задачами V и О,. Задача V. Найти элемент и Е V) + и0 такой, что

3 (и) = т£ 3 (у),

уеУо+ио

где

з м=2 | Ф) | 2 -

(/ + !т) • ъйх — П д2П

Задача Найти элем ент Т Е и0 + в0 такой, что

(^ + Гт) • У(1Г.

I (Т) = 1п£ I (в),

Ое ио+Оо

где

I (0) = ! ||у^||2 -

QвdГ.

дв йх —

п д4п

Пусть у Е УО + и0 и в Е + 0О являются приближенными решениями задачи термоупругости. Нашей задачей является получение апостериорной оценки для и — у.

Методика получения апостериорных оценок в энергетических нормах для широкого класса эллиптических краевых задач предложена в [6, 7]. Для задач линейной упругости эти оценки изучались в [19], где было продемонстрировано их эффективное использование в практических вычислениях.

Если положить гт = 0 и /т = 0, то оценка для получившейся задачи теории упругости может быть записана в следующем виде:

|ф — и) |2 < (у,/3,т) = (1 + р) (ф) — V, Ьф) — т) +

+ (1 + ^ (Р^ + /1|2 + ||Т — ||д2п) . (1-23)

Здесь т Е Ей ¡3 > 0 - произвольные парам етры, а сщ - константа, определяемая неравенством

1М|2 + Н&п < стЫад)Ц2, Vw Е К). (1.24)

В свою очередь оценка для задачи теплопроводности выглядит следующим образом:

||у(0-т)ц2 <м(£\в,р,у) = (1 + 0)||У0-у\|2+

Ч1 + ?) (^ + ^ + II- QII^) , (1-25)

где у € У и 0 > 0 - произвольные параметры, а С2^ - константа, определяемая аналогичным (1.24) неравенством

М2 + МЦп < С%Ц^Ц2, Уп € ио. (1.26)

Заметим, что если д4П = 0, то константа С2^ является константой в неравенстве Фридрихса. В этом случае эту константу можно оценить аналитически

С2П <

П

В [6] было показано, что, во-первых, последовательность этих оценок, полученная путем решения только конечномерных задач, будет сходиться к точной оценке с увеличением размерности соответствующих конечномерных пространств и, во-вторых, выбором свободных переменных^ и т (или, соответственно, 0 и у) можно получить равенство оценки точной величине отклонения.

В следующем параграфе мы используем данные оценки для построения апостериорной оценки в термоупругой задаче.

1.4. Оценки отклонения от точного решения в

энергетической норме для задачи термоупругости

Применив оценку (1.23), мы приходим к неравенству

!Ф — и)!2 < (1 + 01) (ф) - Ь-1 г, Ье(V) - г) +

+ (1 + 00 С^ +1 +1тII2 + IIе + Рт - ^ , (1'27)

которое справедливо для любого т Е Е и > 0. Заметим, что в правую часть ( ) входят неизвестные величины /т и Гт7 которые зависят от точного решения задачи теплопроводности. Слагаемые, включающие в себя неизвестные величины, можно оценить через неравенства

||СНуТ + $ + /т||2 <

1

< (1 + &)рут + / + Iв||2 + + ^ ||/т — Iв|12

|д2П <

+ ^т — ти |12

< (1+&)||^ + ^ —ТуШп + (1 + ^ ) ||^т — Рв||д2П,

1

Аз

)

верные для любых положительных ^ и (З3.

Теперь необходимо оценить величины ||/т — /в||2 и ||^т — ^||д п гДе

/в = — сНУ

( ( п п ^

«11 0 0

Ь

0 а22 0

\

(0 — То)

/

^ У 0 0 аззJ а11 0 0

Рв = Ь 0 «22 0 (в — То) V.

0 0 азз

Заметим, что ошибки в силовых добавках удобно будет оценить через ||У(0 — Т)| поскольку оценка этой ошибки уже известна как ошибка задачи теплопроводности (1.25). Рассмотрим неравенства

||/т — ¡в|| <Сзп||У(0 — Т)||, ||^т — ^||д2П <С4п||У(0 — Т)||.

Здесь С3п - константа, зависящая от термоупругих свойств среды, которая может быть получена просто из выражения для /о. Действительно, обозначив

/ „

=

аи 0 0 0 «22 0 ^ 0 0 азз у

получим

fe = -di)(0 - To) - (L£.

Откуда

|| fT - fe||n < sup |div(L^)| 110-T|| +sup |L£| ||V(0 -T)|| n n

и

Can = Cn sup |div(L^)| + sup |L£I, n n

Cn

модели среды константа C3n не зависит от Q. С другой стороны, C4n можно составить из произведения двух констант,

C4n = C4n sup |L£ |, n

где C4n является нормой оператора следа на д2^.

|Mkn < C4n||V(^||, V(p eUo. Собирая все оценки вместе, получим неравенство

||ф -u)f < M^(v,в,т,у, 01,02,03,04) =

(1 + 0i) (ф) - L-1 т, Le(v) -т) +

С

+ U + i)C?n ,

п ^о Л 1

01

+ [C2o\ 1 ^ ) + C2n i 1 + ^ 1

(1 + 02)||divr + f + fe||2 + (1 + 0a)||F + Fe - т^Цn+ 3nl 1 + Й + C4~ ' 03

(1 + 04)||W-2/||2+

41 + ^^ +||д^ -Q|

22n + ^||2 + ^-Q^in

которое верно для любых г € Е, у € У и любых положительных 0ь 02,03 и 04-

П2 = 0 дП4 = 0

ние для мажоранты упрощается, так как пропадают слагаемые, отвечающие за ошибки на границе. В этом случае соответствующая оценка имеет вид

Цф - и)Ц2 < М^ ,0,т,у, 01, 02, 03) =

(1 + А) (Ф) - L-1 т, Le(v) - т) +

1

А

)

(1+& )Pv T + f + f01|2 +

1

+C2oi 1 + ^

Р2.

(1+&)||W-2/||2 + ^1 + p-)c2Q (||divу + qll2)

1.5. Оценки для изотропной модели

Для трехмерной изотропной модели линейной теории упругости тензор упругих постоянных Ь определяется двумя постоянными К0 и д, которые называются соответственно модулями объемного сжатия и сдвига. В этом случае определяющие соотношения (1.17) имеют вид

11

или

ф) = —SP.l + fa a

( \ 1 - 2 У с t _L. 1 + ^ D

£(и) = nm +--

(1.28)

3Е

Е

где 1 - единичный тензор, Spa := 1 : a - след тензора, aD = a - 31Spa -девиатор тензора a, а Е и и часто используемые в прикладных задачах параметры, определяющие упругие свойства среды (модуль Юнга и коэффициент Пуассона). Они связаны с Kq и д соотношениями

К =

Е

3(1 - 2 и)

, Д =

Е

2(1 + )

Для изотропного тела

а... = а, г = 1, 2, 3

и

/т =

Введем обозначение

аЕ а Е

УТ, Ft = (Т -Т0).

12

12

Р =

аЕ 1 — 2v,

тогда, принимая во внимание определяющие соотношения

Ь £ = К03р £1 + 2ц£ °,

получим

Ою =8ПР Ь 1=0, Сш = С4П0. п

Тогда оценку (1.27) можно записать как

|| | ф - и) ||2 < Мф(у, в, Т, у, 01, 02, 03, 04) =

= (1 + 01) (ф) - Ь-1 г, Ье(у) - т) +

+ (1 + 0-)

(1 + 02)рут + / -0У(9||2+

+(1+03)||^ + 0(в - То) - гИЦ2п+

1 \ -О Л 1

и + ^ + <Ц 1 + 03

(1 + 04)||У0-уЦ2+

Здесь г € Е - произвольная тензор-функция, у € У произвольная вектор-функция и 01,02,03,04 - положительные константы. Заметим, что эта оценка обращается в ноль только тогда, когда V = и и в = Т, то есть для точного решения задачи теплопроводности. Также обратим внимание, что оценку легко разбить на слагаемые, каждое из которых отвечает за ошибки в разных уравнениях классической постановки. То есть первое слагаемое отвечает за ошибку в определяющих соотношениях, второе и третье за ошибки в силовых условиях, четвертое, пятое и шестое за ошибки в задаче теплопроводности.

Для первой краевой задачи термоупругости, которая получается прид= 0 и д= 0, выражение для мажоранты упрощается. В этом случае имеем следующую оценку:

| | ф - и) ||2 < мф(у, в, т, у, 01, 02, 03) = = (1 + 01) (ф) - Ь-1 г, Ье(V) - т) +

+ т + ] -р у<9||2+ (1 + &)||^-2/||2 + ^1 + С2п (||ёщ/ + д||2) . 1.6. Численные эксперименты для задачи (1.1)-(1.3)

Изложенная выше методика получения двусторонних оценок погрешности была применена для анализа качества приближенных решений ряда эллиптических задач. Кроме того, была написана программа для демонстрации этих оценок. В этой программе предусмотрен ввод правой части /, матрицы А, выбор способа измельчения сетки, а также вывод оценки сверху и снизу с выводом полученных результатов и картинок в файл. Эта программа имеет два встроенных тестовых примера для квадрата (0,1) х (0,1).

1.6.1. Пример 1

Рассматривается следующая задача

Ли + 2-к2 бш^ж) $,т(-ку) = 0

с нулевыми граничными условиями. Очевидно, точное решение следующее

и = бш^ж) Б1п('ку).

Эффективность двусторонних оценок полученных численных решений проверялась на сетке, которая измельчалась "равномерно" в том смысле, что каждый элемент разделялся на четыре подобных элемента. В таблице 1.1 приведены результаты, полученные на этих сетках. Здесь Ме1т обозначает число элементов в триангуляции, Мф - значение мажоранты, полученной в результате численного эксперимента, Ме - значение миноранты.

Для адаптации сетки важно знать не только интегральное значение мажоранты, но и величину вклада в него на каждом элементе разбиения. Так как

+

1 + С?п

1

Ж

+3 21+£>

Nе1т м® о/„ 1 1 1 V« | | | 2'/0 IIV(v-и) || 2 о/ ¡V«!2 >/0 ме 0/„ I I V | | 2'/0

86 19.49 19.49 19.41

344 9.62 9.62 9.61

1376 4.78 4.78 4.78

Таблица 1.1. Результаты для примера 1. Используется "равномерное" измельчение сетки

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Музалевский Алексей Витальевич, 2017 год

Список литературы

1. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостех-издаг. 1957. С. 476.

2. Музалевский А. В., Репин С. И. Об оценках погрешности приближенных решений в задачах линейной теории термоупругости // Материалы Пятого всероссийского семинара "Сеточные методы для краевых задач и приложения". Казань: 2004,- с. 179-183.

3. Музалевский А. В., Репин С. И. Об оценках погрешности приближенных решений в задачах линейной теории термоупругости // Изв. вузов. Матем. 2005 - Т. 1.- с. 64-72.

4. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Исследование скорости сходимости ВРС для эллиптических уравнений в двумерной области с гладкой границей // ЖВМ и МФ. 1969,- Т. 9,- с. 1102-1120.

5. Репин С. И. A posteriori estimâtes for approximate solutions of variational problems with strongly convex functionals // Проблемы математического анализа. 1997,- T. 17,- с. 199 226.

6. Репин С. И. Двусторонние оценки отклонения от точного решения для равномерно эллиптических уравнений // Труды С.П. матем. общества. 2001.Т. 9,- с. 148-179.

7. Репин С. И. Оценки погрешности некоторых двумерных моделей в теории упругости // Проблемы мат. анализа. 2001.- Т. 22,- с. 178-196.

8. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. М.: Наука.- 1966.-С. 444.

9. Тимошенко С. П., Гудьер Д. Теория упругости. М.: Наука.- 1979.- С. 560.

10. Ainsworth M., Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis. John Wiley & Sons, Inc.- 2000,- P. 240.

11. Anjam I., Mali O., Muzalevsky A., Neittaanmâki P., Repin S. A posteriori error estimâtes for a Maxwell type problem // Russian J. Numer. Anal. Math.

Modelling. 2009.- Vol. 24,- p. 395-408.

12. Babuska I., Rheinbold W. C. Error estimates for adaptive finite element computations // SIAM J. Numer. Anal. 1978,- Vol. 15,- p. 736-754.

13. Babuska I., Strouboulis T. The Finite Element Method and its Reliability. New York: Oxford University Press Inc.- 2001.- P. 736.

14. Carstensen C., Funken S. A. Fully reliable localized error control in the FEM // SIAM J. Sci. Comput. 2000,- Vol. 21,- p. 1465-1484.

15. Clément P. Approximations by finite element functions using local regularizati-on // RAIRO Anal. Numér. 1975,- Vol. 9,- p. 77-84.

16. Leis R. Initial Boundary Value Problems in Mathematical Physics. Stuttgart: Teubner.- 1986,- P. 266.

17. Mali O., Muzalevsky A., Pauly D. Conforming and non-conforming functional a posteriori error estimates for elliptic boundary value problems in exterior domains: theory and numerical tests // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2013,- Vol. 28,- p. 577-596.

18. Mali O., Repin S. Estimates of the indeterminacy set for elliptic boundary-value problems with uncertain data // Journal of Mathematical Sciences. 2008.- Vol. 150,- p. 1869-1874.

19. Muzalevsky A., Repin S. On two-sided error estimates for approximate solutions of problems in the linear theory of elasticity // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2003,- Vol. 18,- p. 65-85.

20. Pauly D. On Constants in Maxwell Inequalities for Bounded and Convex Domains // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2014,- T. 425.- с. 46-56.

21. Pauly D., Repin S. Functional a posteriori error estimates for elliptic problems in exterior domains // J. of Math. Sci. 2009.- Vol. 3.- p. 393-406.

22. Prager W., Synge J. L. Approximation in elasticity based on the concept of function space // Quart. Appl. Math. 1947,- Vol. 5,- p. 241-269.

23. Repin S. A unified approach to a posteriori error estimation based on duality error majorants // Mathematics and Computers in Simulation. 1999.- Vol. 50.-

p. 313^329.

24. Repin S. Estimates of deviations from exact solutions of elliptic variational inequalities // Зап. научн. семинаров ПОМИ. 2000.- Т. 271.- с. 188-203.

25. Repin S. A posteriori error estimation for variational problems with uniformly convex functionals // Math. Comput. 2000,- Vol. 69,- p. 481-500.

26. Repin S. Functional a posteriori estimates for Maxwell's equation // Journal of Mathematical Sciences. 2007,- Vol. 142,- p. 1821-1827.

27. Repin S. A posteriori estimates for partial differential equations. Berlin: Walter de Gruyter.- 2008,- P. 327.

28. Repin S. I. A posteriori error estimates for approximate solutions of variational problems with power growth functionals // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1997Т. 249,- с. 244 255.

29. Repin S. I. A posteriori error estimation for nonlinear variational problems by duality theory // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1997,- Т. 243,- с. 201 214.

30. Saranen J. On an inequality of Friedrichs // Math. Scand. 1982,- Vol. 51-p. 310-322.

31. Verfiirth R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. Wiley-Teubner- 1996.- P. 134.

32. Wahlbin L. B. Superconvergence in Galerkin Finite Element Methods. Springer-Verlag.- 1995.- P. 175.

33. Zienkeiewicz О. C., Zhu J. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 1987-Vol. 24,- p. 337-357.

103

Приложение А

Функциональные апостериорные оценки.

История вопроса.

Рассмотрим некоторые исторически важные апостериорные оценки. В 1947 году Прагером и Сингом (W. Prager, J. L. Synge) [22] была предложена апостериорная оценка для линейной эллиптической задачи. Первоначально, доказательство этой оценки было проделано на основе ортогональной декомпозиции энергетического пространства и чисто геометрических аргументов.

Изложим эту оценку для обобщенного решения задачи

Au + f = 0 в Ü,

и = 0 на дй.

(А.1) (А.2)

О / \

Из разложения Гельмгольца для любого q £ единственным образом

о

получается q = q0 + V^, оде ф £ H1(^) и

q0 £ S(П) = <J v £ H(fi,div)

Предположим

ц •Vwdx = 0, Vw £ H1(Q)} .

Q

q £ Qf = < Ц £ H(^,div)

ц • Vw dx =

fwdx, Vw £ H1(ü)} .

Q

Q

Так как Vu — q £ Q0 = S(Q)7 можно записать соотношение ортогональности

V(u — v) • (Vu — q) dx = 0,

Q

откуда следует тождество

|V(w — v)H2 + ||Vw — qll2 = ||V — ql

(A.3)

2

Также получаем апостериорную оценку

ЦУ(и - ^)|| = Ы |У - д||. (А.4)

Из этой оценки и ее аналогов для более сложных задач в дальнейшем были получены апостериорные оценки, которые используют т.н. "равновесные"аппроксимации двойственной переменной д.

В 1964 году С.Г.Михлиным [1] была предложен метод построения апостериорной оценки для линейной эллиптической задачи на основе вариационного подхода. Рассмотрим основную идею построения этой оценки на примере обобщенного решения задачи (А.1-А.2). Заметим, что

1 ЦУ(и - у)Ц2 = 3(V) - 3(и), (А.5)

2

где

3(и) = т£ 3(V), 3(у) = 1 ||У^||2 -

«еИ 1(П)

/V йх.

п

Соотношение (А.5) следует из тождества

1

3(V) - 3(и) = --||У(и - у)Ц2 + 2

(Ум • У - и) - /(у - и)) (1х

п

и определения обобщенного решения и через интегральное тождество

о

У и • Ум ¿х = ¡м йх, Ум Е Н1^). п п

Так как значение 3 (и) неизвестно, было предложен о оценить 3 (и) снизу через функционал двойственной вариационной задачи

I(р)=8Пр I^, I^ = -1 ^||2.

2

Получаем, используя соотношение выпуклого анализа 3(и) = I(р)7 что выполняется неравенство

1

2||У(« - V)||2 < 3(V) - I(д) = 2|У||2 -

/V (1х + -| 2

2

п

2iiv.il2 -

(I ^уйх + 1 ||д||2 = ^- д||2, Уд е Ц]. (А.6) 2 2

п

Заметим, что эта оценка получена только вариационными методами.

С практической точки зрения оценки (А.4) и (А.6) имеют существенный недостаток: они обоснованы только для д е Однако, множество Qf определено через дифференциальное соотношение, которое в общем случае трудно удовлетворить точно.

В 1960-80-х годах с разработкой метода конечных элементов возникли апостериорные оценки, которые используют информацию о построении приближенного решения. Первые варианты метода невязок были предложены в работе [12] и затем развивались многими другими авторами (см., в частности, [10, 13, 31]). С математической точки зрения этот метод сводится к вычислению нормы невязки соответствующего дифференциального уравнения в пространстве распределений. При этом результирующая оценка включает большое количество постоянных, которые возникают вследствие использования локальных операторов интерполирования действующих на соответствующем энергетическом функциональном пространстве (см., например, [15, 31]). Точные значения этих констант найти непросто, а оценки сверху могут оказаться весьма грубыми, что может приводить к большой переоценке величины ошибки (см.,например, [14]). Кроме того, данный метод пригоден только для галеркинских аппроксимаций, т.е. для точных решений соответствующих конечномерных задач.

Рассмотрим основную идею метода невязок на примере задачи (А.1-А.2), обобщенное решение которой удовлетворяет интегральному тождеству

о

Vu • Vw Ах = /'ш Ах, Уw е V = И1^). п п

Пусть V е V является приближенным решением этой задачи. Тогда,

V(u — у) • Vw <1х = ^ (гш), и) е V,

п

где

^ И =

(/м - Уv • Ум) <1х

п

будет линейным функционалом на V. Заметим, что этот функционал тождественен нулевому, если V = и. В остальных случаях этот функционал имеет положительную норму

|| = вир

М!

Следовательно, естественно назвать этот функционал - функционалом ошибки. Действительно,

^(и - у)(2 Ах = ^(и - V) < || ЦУ(и -

п

откуда

|У(и - и)|| < ||.

Пусть V - аппроксимация по Галеркпну на некотором конечномерном пространстве Уи С У, то есть V = ии, где

Уии • Уми dx =

/ми 4х, У Е У и.

п

п

Тогда,

У (и - ии) • Уми <1х = 0, Уми Е Уи, то есть ошибка У (и - ии) ортогональна Уми для любой ми Е Уи- Получаем

п

(V)) =

У (и - ии) • Ум <1х =

У (и - ии) • У(м - ким) (1х,

пп где жи : У ^ Уи, как правило, оператор интерполирования. Пусть О разбивается на неперекрывающиеся подобласти О,к = 1, 2,..., М, и и и - гладкая функция

на каждой такой подобласти. Тогда м

к=1

А(ин — и)(п) — к^ш) (1х+

+

д (и — ин)

дт

(п) —

ы

где Гы - общая часть границ П^ и П^ - единичная нормаль к этой границе, и [£}гк1 - обозначает скачок ^ на границе Гы- Используя интерполяционные неравенства, получим апостериорную оценку

м

м

I^||2 < ^Сц,\\Auh + /1| 1к + ^ к1

'д (и — ин)'

_ дик1 _

к=1 к,1=1 _

Здесь С1к, С2к1 - константы, зависящие от соответствующих интерполяционных констант.

Метод осреднения градиента [32, 33] основывается на эффекте суперсходимости (этот эффект может возникать в задачах, решение которых обладает повышенной гладкостью), применяется только для галеркинских аппроксимаций и не дает гарантированной оценки погрешности, а служит лишь индикатором. Отметим, что одной из первых работ, в которых была обоснована суперсходимость приближенных решений была [4]. Рассмотрим этот метод на примере задачи (А.1-А.2).

Пусть ии Е Ун ~ некоторая конформная аппроксимация точного решения. Тогда Уин обычно будет принадлежать скорее широком у пространству и. Например, если аппроксимации нашей задачи построены с помощью кусочно-

О / \

аффинных непрерывных функций, то Уин Е 1_ (П). Однако, во многих практических случаях априорные оценки точного решения гарантируют, что У и Е О,

О / \

где О С и. Другими словами, если / Е 1_ (П), то из теорем о регулярности обобщенного решения следует, что У и Е Н1(П, локально. Эти наблюдения предполагают идею об осреднении Уин и нахождении непрерывного преобразования С такого, что С(Уин) Е О.

г

2

Предположим, что G является достаточно эффективной регуляризацией, то есть

HGVuh — Vw|| < a\\V(uh — и)Ц,

где а < 1. Тогда,

||V(wh — u)ll < HGVuh — VuhH + al\V(uh — w)||.

Откуда получаем апостериорную оценку

HV(uh — u)ll <—1— HGVuh — Vuhll, 1 — а

которая может быть использована как индикатор погрешности.

Метод невязок и метод осреднения градиентов широко применяются в современных пакетах конечноэлементных вычислений. Например, в пакете Matlab используется метод невязок, в пакете ANSYS используется метод осредненных градиентов, в пакете Comsol метод невязок, и т.д.

В конце 1990-х годов С. И. Репиным [5, 6, 23, 25, 28, 29] были получены новые апостериорные оценки энергетической нормы отклонения от точного решения. Эти оценки получены из общих методов функционального анализа и теории двойственности для вариационного исчисления, поэтому их можно называть апостериорными оценками функционального типа.

Апостериорные методы контроля точности функционального типа позволяют, во-первых, достаточно точно вычислить гарантированную верхнюю и нижнюю границу ошибки, во-вторых, дают информацию о ее распределении по области, что позволяет строить эффективные адаптивные алгоритмы.

Рассмотрим теорию апостериорных методов контроля точности функционального типа на примере эллиптической краевой задачи из [27]. Заметим, что вывод апостериорной оценки функционального типа был получен С. И. Репиным с помощью двух различных методов. Первый метод использует чисто вариационные аргументы, а второй использует преобразование соответствующих и нте гр а л ы i ых тож д е ст в.

Рассмотрим вариационный метод на примере обобщенного решения задачи (А.1-А.2). Возвращаясь к оценке С. Г. Михдина, заметим, что можно сформулировать апостериорную оценку

1У(и — ^)|| < IV — д||, Уд е Ц].

О / \

Выберем произвольный у е V. (О). Тогда

(^ — ^)|| < — у|| + т£ Цу — д||. (А.7)

Рассмотрим вспомогательную задачу

Аад/ + $ + с\\уу = 0 вО, (А.8)

<ш1 = Он а дО, (А.9)

где у е И(О,& у). Обобщенное решение этой задачи существует, единственно и удовлетворяет интегральному тождеству

Vwf ^адЗх = (¡ад — у ^ад) &х, Уад е И1 (О). (А.10)

пп

Заметим, что из тождества ( ) следует Vwf + у е Qf. Поэтому

т£ Цу — д|| < Цу — (у + Vwf)|| = ||VWf||. (А.Н)

qеQf

С другой стороны, подставляя в ( ) ад = ад/, получаем

||2 = (/ад/ — У ^ад/) ¿х = (¿\уу + /¿х < пп

< ||Шуу + /1| ||адf1| < С(О)||Шуу + /1| ^ад/1|,

где С (О) - константа в неравенстве Фридрихса. Откуда получаем, что

||^/1| < С(О)р^ + /1|. (А.12)

Из (А.7), (А.Н) и (А. 12) следует апостериорная оценка

^(и — ^)|| < — уЦ + С(О)||с1Ь^ + /1|. (А.13)

Заметим, что у - произвольная функция из Н(П,&у).

Отметим, что вариационный подход позволяет получение не только мажоранты, но и миноранты ошибки. Действительно, переписывая соотношение (А.5) в виде

\\У (и — у)\\2 = 2(3 (V) — 3 (и)),

заключаем, что

\\У(и — ^)\\2 > 2(3(V) — 3(V + м)),

о

где м - произвольная функция из Н1 (П). Следовательно, можно сформулировать миноранту

|V(w - v)H2 > 2

I IО

|Vw| dx.

(fw — Vv • Vw) dx —

Q Q

Оценка (A. 13) является простейшей апостериорной оценкой среди класса апостериорных оценок функционального типа. Однако, она обладает всеми принципиально важными свойствами характерными для этого класса. Вариационный подход к апостериорным оценкам функционального типа последовательно изложен в работах С. И. Репина [5, 28, 29].

Современная теория дифференциальных уравнений в частных производных рассматривает интегральные тождества как один из главных математических объектов. Интегральные тождества определяют обобщенные решения дифференциальных уравнений и предоставляют базис для анализа их свойств. Было показано, что апостериорная оценка функционального типа может быть получена преобразованиями интегрального тождества. Впервые такой modus operandi был предложен в работе С. И. Репина [24].

Рассмотрим метод интегральных тождеств на примере эллиптической краевой задачи. Имеем

dWAVu + f = 0 вП, (А. 14)

и = и0 н a,d\Q, (А.15)

v • AVu = F пай П, (А.16)

где О С - ограниченная связная область с непрерывной по Липшицу границей дО, состоящей из двух непересекающихся частей 51О и д2О. Предполагается непустая относительная внутренность ^О, и0 е И^О), и матрица А симметрична и удовлетворяет соотношению

СЦЦ2 < ^ • £ < СЩ|2, У^ е М" Также предполагаем / е 1_2(О) и ^ е 1_2(52О). Пусть

У0 + и0 = {и = и0 + ад | ад е ,

(А.17)

где

Уо = {V е И1(О) | V = Она д1 о} .

Обобщенное решением е У0 + и0 задачи ( )-( ) удовлетворяет интегральному тождеству

АУи- Уад <1х =

¡ад <1х +

Рад (!Т, Уад е Уо.

(А.18)

п

п

доП

Известно, что такое обобщенное решение существует и единственно.

Используем (А. 18) для получения оценки разности между точным решением и и произвольной V е У0 + по в энергетической норме ^(и — V) ||| , где

| у | 2 =

Ау • у Зх.

п

Также потребуется другая норма

ыи2 =

А 1у • у (1х.

п

Для любой вектор-функции у е У, где

у = {у е И(О,&у) | у • V е 12(&2

получим следующее тождество

(ад ¿шу + Vад • у) <1х =

(у • V)ад ЗТ, Уад е У0.

(А.19)

п

до П

Используя слабое решение (А.18) и тождество (А.19), получим

АУ(и — V) • Ум <1х =

(/ + di уу)м <1х +

(у — АУу) • У и) (1х+

п

п

п

+

(Г — у • V)м с/Г.

до.П

Кроме того, используя аналог неравенства Фридрихса

\ \ м \ \ < СР \ \ У и) \ \ , Ум Е

и ограниченность оператора следа над2П7 заключаем, что существует константа

III ХМ I2

Так как

Л2 = Ы — 2 .

тЕУо \ \ ™\ \ 2 + \ \ 'ш \ \ ^2п

(у — АУу) • Ум <1х < \ \\ у — АУу \ \\ * \ \ \ Ум \

п

и

(/ + diуу)м <1х +

(Г — у • ^¿Г

п

52 п

<

< (\ \ / + \ \ 2 + \\ Р — у • ^ \ \ )1/2 СI Ум

то приходим к оценке

У (и — ^) \ \ \ < \ \\ у — АУ^ \\ \ * + С ( \ \ / + &уу \ \ 2 + \ \ ^ — у • ^ \ \ % п )/2

(А.20)

Здесь С некоторая константа, превосходящая Л—1. С прикладной вычислительной точки зрения, удобно возвести в квадрат обе части (А.20). Используя неравенство Юнга, можно переписать мажоранту в форме квадратичного функци-

онала, то есть

\ У (и — V)! 2 < М (у,у,р),

м (у,у,з ) = (1 + 3)! У — ауу ! 2+

+ (! + 1) ^ (1 \ 1 + \ \ 2 + \ \ Е — У • ^ \ \ ^

Правая часть этой оценки представляет собой неотрицательный функционал относительно переменной у и параметра 3 > 0. Подчеркнем, что данная оценка пригодна для любых функций сравнения из допустимого функционального класса, содержащего обобщенное решение задачи. Заметим, что апостериорная оценка, полученная таким способом, совпадает с оценкой, полученной

3

3

грань произвольно близко к точной ошибке.

Выведем теперь оценку снизу для ||У(и — г>)|||. Заметим, что Уг> £ У

2 =

вир

Уе12 (пд™)

1 (

п

1

АУ г; • у — -Ау • у ) Зх >

> вир

■ыеУо

1

п

^АУй • У и — ^АУи • Уи ) Зх >

>

1

АУи • У г; —-АУЪ • Уг> I Зх =

п

2 11у»1*.

откуда заключаем, что

1 | | У (и — г») | | 2 = вир

2

.1 (

п

1

АУ(и — у) • У (и) — -АУи • Уи ) Зх =

= вир

(/и — АУи • Уи) (1х +

Ги ЗГ — 1 —2

АУи • Уи Зх

п

^2П

п

Таким образом, миноранту можно определить следующим образом

|У(и — у)Ц2 > Ме(у,и),

Ме(у ,и) = 2

(¡и — АУи • Уи) Зх + 2

Г и ЗГ-

АУи • Уи Зх. (А.21)

п а2п п

Заметим, что миноранта (то есть, нижняя грань расстояния между точным решением и заданной функцией) содержит важную информацию. Она позволяет

проверить эффективность мажоранты ошибки, а также применяется в анализе ошибок моделирования. Миноранта (А.21) гарантирует нижнюю грань ошибки для любой функции м Е У0. В нее входят только известные данные, поэтому она полностью вычислима. Надлежащим выбором м можно найти нижнюю грань произвольно близко к точной ошибке.

В итоге, двусторонние апостериорные оценки функционального типа надежно гарантируют границы ошибки, не содержат констант, зависящих от сетки и эти оценки верны для любых конформных аппроксимаций задачи.