Функциональные апостериорные оценки и адаптивные алгоритмы для задач теории стержней, пластин и оболочек тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Чистякова Ольга Игоревна

• Чистякова Ольга Игоревна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Чистякова Ольга Игоревна

Введение

Глава 1. Апостериорная оценка для стержня Тимошенко и ее

реализация

1.1 Модель криволинейного стержня Тимошенко

1.2 Апостериорная оценка функционального типа

1.3 Численная реализация оценки и адаптивные алгоритмы

1.3.1 Тонкий прямолинейный стержень

1.3.2 Тонкий криволинейный стержень

1.3.3 Криволинейный стержень средней толщины

1.3.4 Вычисление балансировочной константы

1.4 Выводы

Глава 2. Адаптивный алгоритм для пластин

Рейсснера-Миндлина

2.1 Модель пластины Рейсснера-Миндлина

2.2 Численная реализация оценки

2.2.1 Круглая пластина

2.2.2 Ь-образная пластина

2.2.3 Верификация реализации

2.3 Адаптивные алгоритмы

2.3.1 Решение задачи

2.3.2 Оценка ошибки

2.3.3 Маркирование элементов

2.3.4 Измельчение сетки

2.3.5 Примеры

2.4 Выводы

Глава 3. Апостериорная оценка для линейной оболочки Койтера

3.1 Модель линейной оболочки Койтера

3.2 Апостериорная оценка функционального типа

3.3 Выводы

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Функциональные апостериорные оценки и адаптивные алгоритмы для задач теории стержней, пластин и оболочек»

Введение

Математическое моделирование — это основа современных подходов к инженерному анализу с использованием различных специализированных программных комплексов. Построение математической модели и проведение расчетов на ее основе зачастую позволяет в значительной степени сократить расходы на разработку изделия. Так как постоянно развивающиеся вычислительные технологии позволяют за приемлемое время получать численные решения все более сложных задач, математическое моделирование становится все более востребованным.

Приближенное решение, полученное в результате численных расчетов, отличается от точного, и, следовательно, необходимо иметь надежный инструмент для оценки его погрешности. Существуют два вида оценок погрешности: априорные и апостериорные. Априорные оценки используются для обоснования применимости численных методов, они дают оценку скорости сходимости приближенного решения к точному, но часто требуют от последнего повышенной гладкости и никак не учитывают особенности построенного приближенного решения. В общем виде априорная оценка может быть представлена следующим образом:

\\и — и|| < т(и, И), (1)

где т — соответствующий функционал, и — точное решение исходной задачи, и — полученное приближенное решение, а И включает в себя все исходные данные задачи: геометрию области, текущую дискретизацию, краевые условия, коэффициенты, правую часть и так далее. Норма выбирается из практических соображений для конкретного класса задач. Априорная оценка зависит от точного решения, то есть не может быть вычислена непосредственно в процессе расчетов.

В отличие от априорных оценок, исследуемые в данной диссертации апостериорные оценки позволяют контролировать значение нормы разности между точным и конкретным приближенным решением без использования точного аналитического решения, которое для большинства практически значимых задач неизвестно. Таким образом, апостериорные оценки могут служить критерием достижения заданной точности в реальных задачах. В общем виде апостериорная оценка может быть представлена следующим образом:

\\и - й\\ < М(и, И). (2)

Таким образом, апостериорные оценки оказываются полезным и важным инструментом при анализе результатов математического моделирования в различных инженерных задачах.

К апостериорным оценкам традиционно предъявляются три основных требования:

1. Надежность

2. Эффективность

3. Универсальность

Надежность, связанная с гарантированными оценками, означает, что апостериорная оценка всегда (даже при практической реализации, а не только в теоретическом анализе) должна оценивать погрешность сверху. Недооценка ошибки в инженерных задачах может приводить к нежелательным последствиям, недооценить ошибку в общем случае гораздо опаснее, чем переоценить. Эффективность означает, что апостериорная оценка не должна существенно переоценивать погрешность. В качестве меры эффективности обычно используется индекс эффективности:

г М (й,Р)

= -л-ггт. (3)

\\и - и\\

Оптимальное значение индекса эффективности равно единице и означает, что полученная оценка равна реальной ошибке. Чем больше индекс эффективности, тем больше переоценка ошибки и, соответственно, тем менее эффек-

тивной на практике является такая оценка. При постановке вычислительного эксперимента для исследования свойств апостериорной оценки вместо точного решения при вычислении индекса эффективности может использоваться приближенное решение, построенное на существенно более мелкой сетке. Этот прием используется, когда точное аналитическое решение рассматриваемой задачи неизвестно, и является допустимым, так как может лишь завысить получаемый индекс эффективности, но гарантированно не занизит его. Для линейных задач апостериорная оценка считается эффективной, если 1 < Ieff < 3 . Если индекс эффективности стремится к единице при измельчении сетки, говорят об асимптотической точности оценки (это означает, что оценка на мелких сетках сходится к точному значению ошибки).

Универсальность оценки означает возможность контроля ошибок разной природы, возникающих в приближенном решении — ошибок дискретизации; ошибок округления; вычислительной погрешности, связанной с итерационными методами решения; погрешностей из-за ошибок реализации. Это особенно важно, когда в процессе инженерных расчетов необходимо отделить ошибку математической модели и ошибку численного метода. Кроме того, при использовании для решения задачи широко распространенных коммерческих пакетов с закрытым кодом невозможно достоверно проконтролировать все параметры численного метода, поэтому оценка должна быть независимой от выбранного решателя и его характеристик.

Несмотря на то, что перечисленные выше критерии вполне рациональны, получение апостериорных оценок, которые им удовлетворяют, является нетривиальной задачей. Оценки, которые на данный момент реализованы в пакетах прикладных программ, хотя и не требуют существенных дополнительных вычислительных затрат, в общем случае не дают гарантий относительно надежности, универсальности и эффективности полученных результатов. Объем литературы по тематике апостериорного контроля точности непрерывно растет с конца 1970ых годов, однако ни один из предложенных методов на данный момент не утвердился, как основной.

Существует несколько основных подходов к построению апостериорных оценок:

1. Методы невязок

2. Методы, основанные на осреднении или иной постобработке поля градиента или напряжений

3. Методы оценки через определяющие соотношения

4. Методы в рамках функционального подхода

Методы невязок основаны на оценке нормы невязки уравнения в пространстве образов оператора краевой задачи и делятся на явные и неявные. Явный метод невязок (см., например, работы [1], [2]) основан на использовании аппроксимационных свойств оператора интерполирования Клемана и других подобных операторов [3], применимых к функциям, не имеющим необходимой гладкости. Так как этот оператор строится локально, в оценивающие норму разности между интерполируемой функцией и интерполянтом неравенства, полученные в работе [3], входят константы, зависящие от локального конечноэлементного разбиения области, которые необходимо пересчитывать в процессе адаптации сетки. Такая процедура является вычислительно трудоемкой и заметно затрудняет применение явного метода невязок при практических расчетах с точки зрения надежности. Попытки оценить эти константы сверху приводят к существенной переоценке нормы ошибки (порой в десятки раз). Однако для простой и эффективной локальной индикации погрешности можно фиксировать значения всех констант. Такой подход широко и довольно успешно используется и реализован, например, в пакете MATLAB (модуль PDE Toolbox). Тем не менее, теоретическое обоснование для применения явного метода невязок существует лишь для случая галеркинских аппроксимаций и, соответственно, на практике он может быть использован только для локальной индикации ошибки.

Неявные методы невязок являются более сложными в вычислительном плане, однако не требуют вычисления или оценки локальных констант. Идея заключается в решении последовательности локальных краевых задач относи-

телыю невязки дифференциального уравнения при помощи аппроксимаций более высокого порядка. Нормы полученных в результате решений используются в качестве локального индикатора погрешности. Результаты исследований такого подхода показывают, что наиболее качественные оценки можно получить при помощи специальной процедуры уравновешивания граничных условий, которая, тем не менее, не обеспечивает надежность оценки в общем случае.

Дальнейшее развитие явного и неявного метода невязок отражают, среди прочих, работы [4], [5], [6], [7]. Последние результаты, полученные в рамках методов невязок для апостериорных оценок и адаптивных алгоритмов решений плоских задач линейной теории упругости можно найти в работах [8], [9], [10].

Градиентные методы основаны на так называемом эффекте суперсходимости (более детально этот подход рассматривается в работах [11], [12], серии работ [13], [14], [15]) и различного рода процедурах усреднения (восстановления) поля градиента. В литературе, посвященной этим методам, предлагаются различные виды операторов осреднения, как локальные (их подавляющее большинство), так и глобальные. Исследования этого подхода показали, что он может успешно применяться для различных задач и даже давать существенно лучший результат, чем методы невязок (например, в случае анизотропных сеток). Однако стоит иметь в виду, что строго математически обоснован он лишь в случае выполнения требований относительно повышенной гладкости точного решения задачи, которые зачастую нарушаются даже в случае эллиптических задач, а также требует равномерности сетки, что неизбежно не соблюдается в процессе адаптации (см., например, анализ и сравнение различных модификаций метода в работе [16], которые подтверждают возможную недооценку истинной погрешности и показывают ненадежность данного подхода). Тем не менее, этот метод широко распространен благодаря простоте реализации и вычислительной эффективности и продолжает разививаться [17], [18], [19]. В частности, он включен в программный комплекс А^УБ. Однако как и в случае методов невязок, спектр надежного и математически строго обоснованного применения этой группы методов достаточно узок. Так, например, для рассматриваемых

в диссертации задач методы апостериорного контроля в данном комплексе отсутствуют.

Обзора литературы о классических подходах к построению апостериорных оценок также можно найти в работах [17] и [20]. В работе [21] можно найти сравнение шести различных типов индикаторов погрешности, а в статье [22] сравнивается метод, основанный на суперсходимости, с методом определяющих соотношнений (см. также работу [23]). В статье [24] представлена специальная методология сравнения индикаторов различного типа, а также приводится обзор ранних результатов в теории оценок погрешности. Исследование было продолжено в работах [25], [26] и других, а также в работе [27] уже с построением адаптацивных алгоритмов. Отметим также сборник [28] и работу [29], которые содержат обзор различных групп классических методов апостериорного контроля точности для задач механики деформируемого твердого тела.

Несмотря на то, что кроме перечисленных, есть и другие подходы (обзор приведен, например, в монографии Мали, Репина и Нейттаанмяки [30]), мы остановимся подробнее на апостериорных оценках функционального типа, поскольку именно функциональный подход обладает всеми упомянутыми выше достоинствами: универсальностью, надежностью и может быть эффективно реализован. Оценки функционального типа строятся на основе методов функционального анализа и теории двойственности вариационного исчисления, являются строго обоснованными, не слишком трудоемкими и зависят только от глобальных констант.

Некоторые базовые идеи создания фундаментального подхода к построению подобных апостериорных оценок погрешности были изложены в работах Прагера и Синжа [31], [32]. Предложенный ими метод, также носящий название метода гиперокружностей из-за своей наглядной геометрической интерпретации, оказал серьезное влияние на развитие методов апостериорного контроля точности в целом. Так, Михлин, использовавший в своей монографии [33] методы вариационного исчисления, получил общую апостериорную

оценку энергетической нормы погрешности, причем в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона эта оценка совпадает с оценкой Прагера-Синжа. Существенным недостатком оценки Прагера-Синжа-Михлина, однако, является наличие в ней свободной переменной, которая должна удовлетворять (хотя бы в обобщенном смысле) достаточно сильному ограничению, что делает оценку сложной для практического использования.

Эти идеи были развиты Репиным и его коллегами в России и ряде европейских стран (см. Репин и Нейттаанмяки [34], Репин [35], Мали, Репин и Нейт-таанмяки [30] и цитируемую в них литературу). Первоначально этот подход был основан на теории двойственности вариационного исчисления (см., например, [36]), однако позже те же результаты были получены иными способами, в том числе при помощи преобразований обобщенной постановки задачи. Это позволило использовать подход даже в тех случаях, когда теория двойственности неприменима. Был предложен и обобщен на широкий круг краевых задач единый подход к построению апостериорных оценок функционального типа, которые позволяют контролировать разность между точным решением рассматриваемой задачи и любым приближенным решением из функционального класса вне зависимости от способа его получения. Мажоранта ошибки в рамках данного подхода является функционалом, который зависит от приближенного решения исходной задачи и от дополнительных переменных, правильный выбор которых существенно повышает качество оценки погрешности.

В последние годы функциональный подход активно развивается как с аналитической, так и с прикладной точки зрения. В частности, выводятся апостериорные оценки для различных моделей механики деформируемого твердого тела, проводятся численные эксперименты и сравнительный анализ оценок функционального типа с апостериорными оценками, получаемыми из иных соображений. Были получены результаты как для задач линейной теории упругости, которые будут подробнее рассматриваться в данной диссертации, так и для задач теории упругости Коссера [38], [39], [40], [41]. Результаты этих ис-

и

следований подтверждают преимущества оценок функционального типа над классическими.

Кроме глобальной мажоранты ошибки, апостериорные оценки позволяют получить информацию о локальном распределении погрешности, что крайне важно для построения так называемых адаптивных алгоритмов, которые сочетают эффективные численные методы с последовательным измельчением расчетной сетки и/или повышением порядка точности аппроксимаций в областях с относительно высокой погрешностью, и широко используются в современной вычислительной практике.

Кратко адаптивные алгоритмы можно описать следующим образом. Изначально выбирается начальная сетка и вычисляется приближенное решение. Затем строится апостериорная оценка точности полученного решения. Если желаемая точность не достигнута, производится адаптивное измельчение сетки согласно локальным индикаторам погрешности и процесс повторяется.

Целью данной работы является исследование применимости функционального подхода к построению апостериорных оценок к ряду моделей теории стержней, пластин и оболочек, получение новых оценок, а также реализация и исследование эффективности адаптивных алгоритмов на основе соответствующих локальных индикаторов ошибки.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Построить апостериорную оценку функционального типа для задачи об изгибе криволинейного стержня Тимошенко

2. Численно реализовать оценку функционального типа для задачи об изгибе криволинейного стержня Тимошенко

3. Численно реализовать оценку функционального типа для задачи об изгибе пластины Рейсснера-Миндлина и построить на ее основе адаптивный алгоритм решения этой задачи

4. Построить апостериорную оценку функционального типа для задачи об изгибе линейной оболочки Койтера

Работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматривается модель криволинейного стержня Тимошенко. Приводится вывод апостеориорной оценки функционального типа, логически дополняющей известные из литературы функциональные апостериорные оценки для стержня Эйлера-Бернулли (см. работы Фролова [42], Мали [43] и цитируемую в них литературу) и для прямолинейного стержня Тимошенко (впервые приведена в статье Фролова [44]). Показано, что полученная оценка по построению является надежной и универсальной. Эффективность полученной оценки проверена на серии численных примеров. Численная реализация оценки проверена сравнением с реализацией оценки из работы [44] на примере прямолинейного стержня Тимошенко. Кроме того, показано, что для тонких стержней полученная оценка показывает тот же результат, что оценка, полученная для модели Эйлера-Бернулли, что согласуется с теорией.

Во второй главе предлагается реализация адаптивного алгоритма для задачи об изгибе пластины Рейсснера-Миндлина. Для решения задачи используются конечные элементы со смешанной интерполяцией тензорных компонент. Для локальной индикации ошибки используется независимая реализация на языке MATLAB апостериорной оценки функционального типа для задачи об изгибе пластины Рейсснера-Миндлина. Эта реализация верифицируется сравнением с оригинальной реализацией оценки на языке FORTRAN и используется для локальной индикации ошибки в рамках адаптивного алгоритма решения соответствующей задачи. Рассмотрены различные подходы к маркированию элементов для последующего разбиения. Для измельчения сеток используется подход, применимый для смешанных сеток и сеток с ограничениями. Демонстируются и анализируются результаты работы полученного адаптивного алгоритма на серии численных примеров.

Третья глава посвящена применению функционального подхода к одной из линейных моделей теории оболочек линейной модели Койтера. Приводится подробное описание этой модели, а также вывод соответствующей апостериорной оценки, что сделано впервые для задачи теории оболочек. Матема-

тически обосновано, что полученная оценка является надежной и универсальной.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построение апостериорной оценки функционального типа для задачи об изгибе криволинейного стержня Тимошенко, а также результаты ряда численных экспериментов

2. Анализ эффективности адаптивного алгоритма, построенного на основе апостериорной оценки функционального типа для задачи об изгибе пластины Рейсснера-Миндлина

3. Построение апостериорной оценки функционального типа для задачи о деформации линейной оболочки Койтера

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались и обсуждались на следующих конференциях: «9th Workshop on Analysis and Advanced Numerical Methods for Partial Differential Equations» (Штробль, Австрия, 2016 г.),«XI International Conference Mesh Methods for Boundary-Value Problems and Applications» (Казань, 2016 г.), XX Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 2017 г.), XLVI и XLVII Неделя науки Санкт-Петербургского Политехнического университета Петра Великого (Санкт-Петербург, 2017 г., 2018 r.),«10th European Solid Mechanics Conference» (Болонья, Италия, 2018 г.), XII Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Уфа, 2019 г.), «International Conference on Emerging Trends in Applied and Computational Physics» (Санкт-Петербург, 2019 г.), Летняя школа-конференция «International Summer School-Conference Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2019 г.).

Результаты диссертационной работы отражены в 5 публикациях, в том числе 2 публикациях в рецензируемых журналах из перечня ВАК, 3 публикациях в изданиях из баз данных Scopus и Web of Science.

Представленные в диссертации результаты были получены при поддержке Правительства Санкт-Петербурга в рамках конкурса грантов для студентов, аспирантов вузов и академических институтов 2017 года и поддержке гранта

Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых МД-1071.2017.1 (в качестве соисполнителя).

Полный объём диссертации составляет 85 страниц с 23 рисунками и 12 таблицами. Список литературы содержит 106 наименований.

Глава 1. Апостериорная оценка для стержня Тимошенко и ее

реализация

1.1 Модель криволинейного стержня Тимошенко

Теория стержней является одной из фундаментальных в механике. Она область имеет как теоретическое, так и прикладное значение, так как стержни и балки являются элементами многих инженерных сооружений. Под стержнем в механике обычно понимают тело, ширина и толщина которого пренебрежимо малы в сравнении с длиной, жесткость которого на изгиб, кручение и растяжение конечна (но не равна нулю). Стержень, работающий на изгиб, зачастую называют балкой. Здесь и далее в этой главе мы будем предполагать, что находимся в рамках линейной теории упругости и считать, что для материала стержня выполняется закон Гука.

В прикладной механике (и, как следствие, в математическом моделировании) существует несколько моделей стержней различной сложности. Наиболее распространенными из них являются модели Эйлера-Бернулли и Тимошенко ( [45] - [50]). Обе модели основаны на следующих предположениях:

1. Плоские поперечные сечения стержня после изгиба стержня остаются плоскими

2. Нормальные напряжения на площадках, параллельных оси стержня, пренебрежимо малы, то есть все продольные сечения сопротивляются изгибу независимо.

Однако модель Тимошенко, в отличие от классической, принимает во внимание сдвиговую деформацию, связанную с поворотом сечений, и допускает, что поперечные сечения после изгиба могут перейти в не перпендикулярные к деформированной в процессе изгиба оси стержня. Отметим, что в этом случае все компоненты как тензора напряжений, так и тензора деформаций будут отличны от нуля.

Также предполагается, что ось стержня не растягивается и поперечный размер сечения не меняется в процессе деформации.

Модель Эйлера-Бернулли хорошо описывает медленные процессы в стержнях малой толщины и широко применяется на практике в силу своей простоты. Модель Тимошенко математически формулируется в виде более сложных гиперболических уравнений, однако является не менее важной с практической точки зрения, так как дает хорошие результаты и для стержней средней толщины. Несколько лет назад были получены функциональные апостериорные оценки погрешности для задачи об изгибе прямолинейного стержня Эйлера-Бернулли [42] и прямолинейного стержня Тимошенко [44]. Криволинейные стержни Эйлера-Бернулли были независимо исследованы в диссертации Мали [43]. В данной главе рассматривается применение функционального подхода для оценки погрешности решения задачи об изгибе криволинейного стержня Тимошенко [51].

--.4

Модел ь Эйле ра-Бе рнулли Модел ь Тимошенко

Рисунок 1.1 Теория стержней: модель Эйлера-Бернулли и модель

Тимошенко

1.2 Апостериорная оценка функционального типа

Мы будем рассматривать задачу об изгибе криволинейного стержня Тимошенко под действием распределенных осевой Гах и нормаль ной сил, а также распределенного изгибающего момента т. В этом случае уравнения равновесия принимают следующий вид (см., например, [48]):

г !

+т)) +

кСА

и[г + в —

и.

Ю) Я \ ъг Я

ЕЛ К + т) + (кСА К + в — ип

я

(Е13в')' — кСА + в — +

Я

т = 0,

+ Рах = 0, + ^ = 0,

(1.1)

где щг - поперечное смещение, 0 - угол поворота попереченого сечения, иах - осевое смещение, А - площадь поперечного сечения, Е - модуль Юнга, С -модуль сдвига, - осевой момент инерции, Я - радиус кривизны стержня. ' обозначает производную ¿где х £ X = (0, Ь), £ - длина стержня, к - корректировочный коэффициент Тимошенко, учитывающий искажения поперечных сечений во время изгиба стержня (обычно |). В статье [ ] приводятся значения этого коэффициента для разных материалов и форм поперечного сечения стержней.

Для упрощения дальнейших выкладок будем предполагать, что стержень жестко закреплен на концах:

Щг (0) = щг Щ = 0, иах(0) = иах(Ь) = 0, ^(0) = 9(Ь) = 0.

X

Другие случаи краевых условий могут быть рассмотрены аналогичным образом. Отметим, что характеристики материала стержня и его поперечное сечение могут быть переменными по его длине.

Энергетический функционал для данной задачи выглядит следующим образом:

L

J(uax,utr, 0) = \j (еА (и'ах + ^)2 + kGA (u'tr + в - ^dx+ о

L L

+ 2 Eis0'2dx - (FtrUfr + Faxuax + mO) dx.

Перейдем к постановке задачи в слабой (интегральной) форме: найти тройку функций (иах,щг,9) £ H^(X) х Hq(X) х H^(X) таких, что

L L L

J ЕА (и'ах + v 'dx -J (u'tr + в — ^jp) vdx = J Faxvdx,

0 0 0 L L L

J (u'ax + wdx + J kGA (u'tr + 0 — w'dx = J Ftrwdx,

0 0 0 L L L

J Elsв'ф'йх + J kGA (u'tr + в — 4*dx = J m<ftdx, 0 0 0

где (v, w, ф) - произвольные функции из пространстваУ = H0(X), W = H0(X), G = H\(T), соответственно, a H0(Z) обозначает подпространство функций из стандартного Соболевского пространства H1(X), обращающихся в ноль в смысле оператора следа при х = 0 и х = L.

Рассмотрим произвольную конформную аппроксимацию решения поставленной задачи (1.5): (иах,щг,9). Нашей целью будет оценить энергетическую норму ошибки, связанной с разностью значений соответствующего функционала на приближенном и точном решениях:

е2 = 2 (J (иах,щг, 0) - J (uax,utr,9)) =

^ЁА (е'а

+ RJ

+

s ¿в

+

VkGÄ( e'tr

etr + ев -

R

2

2

2

ах

где сах иах иаХ) Cfr Ufr Ufa) 6q О 0.

Для упрощения выкладок произведем следующую замену переменных:

Ч = ЕА [и'ах + ^) ,

t = kGA (u'tr + Vf) , ф = EIS О'.

Эти соотношения могут быть представлены в слабой форме:

L

J (7 - ЕА (и'ах + rdx = 0, Vr G L2(X);

L

J - kGA (u'tr + в - udx = 0, Vu G L2(X);

L

(ф - EIS0') vdx = 0, Vv G L2(X),

К 0

где Ь2(Х) — стандартное пространство Лебега функций, суммируемых с квадратом.

Тогда мера ошибки может быть представлена как сумма следующих квадратов: „

е2 =

1

л/ЁА

+

1

VETS

еф

+

1

VkGA

где е^ = 7 - 7, е^ = £ - еф = ф - ф., а слабая постановка задачи принимает вид

L

L

С

L

7v'dx - —vdx = Faxvdx Vv G V;

L

L

L

<

^wdx + £w'dx = Ftrwdx Vw G W;

(1.2)

0

0

0 L

L L

J фф^х + J ^dx = j m$dx Чф G 6. ^ 0 0 0

1

Будем оценивать каждое слагаемое с2. Из системы (1.2) следует, что

ь

ь

ь

ь

J ефф'йх = — J фф'ё,х — J ^фйх + у тфйх. 0 0 0 0

Пусть ф = ее:

ь

ь

ь

л/ЁТ8

еф

Е13

фвф ¿х — £ее Ах + тее б,х.

Аналогичным образом представим второе слагаемое:

ь

ь

л/кСА

1

кСА

И третье слагаемое:

л/ЁА

ь

ь

ЕА

(1х — I ^х =

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Чистякова Ольга Игоревна, 2019 год

Список литературы

1. Babuska I., Rheinboldt W. С. Error estimates for adaptive finite element computations //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1978. - T. 15. - №. 4. - C. 736-754.

2. Babuska I., Rheinboldt W. C. A posteriori error analysis of finite element solutions for one-dimensional problems //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1981. - T. 18. - №. 3. - C. 565-589.

3. Clement P. Approximation by finite element functions using local regularization //Revue française d'automatique, informatique, recherche opérationnelle. Analyse numérique. - 1975. T. 9. №. R2. - С. 77-84.

4. Braess D., Klaas, O., Niekamp, R., Stein, E., Wobschal, F. Error indicators for mixed finite elements in 2-dimensional linear elasticity //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1995. - T. 127. - №. 1-4. - C. 345-356.

5. Bangerth W., Rannacher R. Adaptive finite element methods for differential equations. - Birkháuser, 2013.

6. Hansbo P., Larson M. G. Energy norm a posteriori error estimates for discontinuous Galerkin approximations of the linear elasticity problem //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2011. - T. 200. - №. 45-46. - C. 3026-3030.

7. Barrios T. P., Behrens E. M., González M. Low cost a posteriori error estimators for an augmented mixed FEM in linear elasticity //Applied Numerical Mathematics. - 2014. - T. 84. - C. 46-65.

8. Carstensen C., Thiele J. Partition of unity for localization in implicit a posteriori finite element error control for linear elasticity //International journal for numerical methods in engineering. - 2008. - T. 73. - №. 1. - C. 71-95.

9. Ainsworth M., Rankin R. Guaranteed computable error bounds for conforming and nonconforming finite element analyses in planar elasticity //International journal for numerical methods in engineering. - 2010. - T. 82. - №. 9. - C. 1114-1157.

10. Lonsing M., Verfiirth R. A posteriori error estimators for mixed finite element methods in linear elasticity //Numerische Mathematik. - 2004. - T. 97. - №. 4. - C. 757-778.

11. Оганесян Л. А., Руховец Л. А. Исследование скорости сходимости вариационно-разностных схем для эллиптических уравнений второго порядка в двумерной области с гладкой границей //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1969. - Т. 9. - №. 5. - С. 1102-1120.

12. Ainsworth М., Oden J. Т. A posteriori error estimation in finite element analysis. - John Wiley & Sons, 2011. - T. 37.

13. Zienkiewicz О. C., Zhu J. Z. The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates. Part 1: The recovery technique //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1992. - T. 33. - №. 7. -C. 1331-1364.

14. Zienkiewicz О. C., Zhu J. Z. The superconvergent patch recovery and a posteriori error estimates. Part 2: Error estimates and adaptivity //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1992. - T. 33. - №. 7. - C. 1365-1382.

15. Zienkiewicz О. C., Zhu J. Z. The superconvergent patch recovery (SPR) and adaptive finite element refinement //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1992. - T. 101. - №. 1-3. - C. 207-224.

16. Kvamsdal Т., Okstad К. M. Error estimation based on superconvergent patch recovery using statically admissible stress fields //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1998. - T. 42. - №. 3. - C. 443-472.

17. Diez P., José Rôdenas J., Zienkiewicz 0. C. Equilibrated patch recovery error estimates: simple and accurate upper bounds of the error //International journal for numerical methods in engineering. - 2007. - T. 69. - №. 10. - C. 2075-2098.

18. Wiberg N. E., Abdulwahab F. Patch recovery based on superconvergent derivatives and equilibrium //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1993. - T. 36. - №. 16. - C. 2703-2724.

19. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Finite element method. Vol. 1: The basis. -Oxford : Butterworth-Heinemann, 2000.

20. Moitinho de Almeida J. P., Maunder E. A. W. Recovery of equilibrium on star patches using a partition of unity technique //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2009. - T. 79. - №. 12. - C. 1493-1516.

21. Beckers P., Zhong H. G., Maunder E. Numerical comparison of several a posteriori error estimators for 2D stress analysis //Revue européenne des éléments finis. - 1993. - T. 2. - №. 2. - C. 155-178.

22. Beckers P. Extension of dual analysis to 3-D problems: evaluation of its advantages in error estimation //Computational Mechanics. - 2008. - T. 41. -№. 3. - C. 421-427.

23. Kempeneers M., Debongnie J. F., Beckers P. Pure equilibrium tetrahedral finite elements for global error estimation by dual analysis //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2010. - T. 81. - №. 4. - C. 513-536.

24. Babuska I., Strouboulis T., Upadhyay C.S., Gangaraj S.K., Copps K. Validation of a posteriori error estimators by numerical approach //International journal for numerical methods in engineering. - 1994. - T. 37. - №. 7. - C. 1073-1123.

25. Babuska I., Strouboulis T., Upadhyay C.S., Gangaraj S.K. A model study of element residual estimators for linear elliptic problems: The quality of the

estimators in the interior of meshes of triangles and quadrilaterals //Computers & structures. - 1995. - T. 57. - №. 6. - C. 1009-1028.

26. Brink U., Stein E. A posteriori error estimation in large-strain elasticity using equilibrated local Neumann problems //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1998. - T. 161. - №. 1-2. - C. 77-101.

27. Castellazzi G., De Miranda S., Ubertini F. Adaptivity based on the recovery by compatibility in patches //Finite Elements in Analysis and Design. - 2010.

- T. 46. - №. 5. - C. 379-390.

28. Ladeveze P., Oden J. T. (ed.). Advances in adaptive computational methods in mechanics. - Elsevier, 1998. - T. 7.

29. Verfiirth R. A review of a posteriori error estimation techniques for elasticity problems //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1999.

- T. 176. - №. 1-4. - C. 419-440.

30. Mali O., Neittaanmaki P., Repin S. Accuracy Verification Methods: Theory and Algorithms. - Dordrecht: Springer Science & Business Media, 2013. - T. 32.

31. Prager W., Synge J. L. Approximations in elasticity based on the concept of function space //Quarterly of Applied Mathematics. - 1947. - T. 5. - №. 3. -C. 241-269.

32. Synge J. L. The hypercircle method //Stud. Numer. Anal. - 1974. - C. 201-217.

33. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Мир, 1970. 512 стр.

34. Neittaanmaki P., Repin S. R. Reliable Methods for Computer Simulation: Error Control and Posteriori Estimates. - Amsterdam: Elsevier, 2004. - T. 33.

35. Repin, S. A Posteriori Estimates for Partial Differential Equations. Radon Series on Computational and Applied Mathematics. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2008. - T. 4.

36. Repin S. I., Xanthis L. S. A posteriori error estimation for elasto-plastic problems based on duality theory //Computer methods in applied mechanics and engineering. - 1996. - T. 138. - №. 1-4. - C. 317-339.

37. Muzalevsky A. V., Repin S. I. On two-sided error estimates for approximate solutions of problems in the linear theory of elasticity //Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling rnam. - 2003. - T. 18. - №. 1. - C. 65-85.

38. Repin S., Frolov M. E. Estimates for deviations from exact solutions to plane problems in the Cosserat theory of elasticity //Journal of Mathematical Sciences. - 2012. - T. 181. - №. 2. - C. 281-291.

39. Frolov M. Y. Functional a posteriori estimates of the error in the solutions of plane problems in Cosserat elasticity theory //Journal of Applied Mathematics and Mechanics. - 2014. - T. 78. - №. 4. - C. 425-431.

40. Churilova M. A., Frolov M. E. Comparison of adaptive algorithms for solving plane problems of classical and Cosserat elasticity //Materials Physics & Mechanics. - 2017. - T. 32. - №. 3.

41. Churilova M. A., Frolov M. E. A posteriori error estimates for linear problems in Cosserat elasticity //Journal of Physics: Conference Series. - IOP Publishing, 2019. - T. 1158. - №. 2. - C. 022032.

42. Фролов M. E. Функциональная апостериорная оценка погрешности решения задачи об изгибе стержня Эйлера-Вер пул л и //Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2010. Т. 3. №. 104. - С. 81-84.

43. О. Mali, Analysis of errors caused by incomplete knowledge of material data in mathematical models of elastic media. Ph.D. thesis. Jyvaskyla Studies in Computing, 2011 - T. 132.

44. Frolov M. E. Functional a posteriori error estimates for certain models of plates and beams //Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2010. - T. 25. - №. 2. - C. 117-129.

45. Болотин В. В. Вибрации в технике: Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем. М.: Машиностроение, 1978. 352 стр.

46. Weaver Jr W., Timoshenko S. P., Young D. H. Vibration problems in engineering. - John Wiley & Sons, 1990.

47. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Семерикова Н. П. Волны в стержнях: Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2002. 208 стр.

48. Slivker V. Mechanics of structural elements: theory and applications. Berlin, Springer Science & Business Media, 2006.

49. Gruttmann F., Wagner W. Shear correction factors in Timoshenko's beam theory for arbitrary shaped cross-sections //Computational Mechanics. - 2001.

- T. 27. - №. 3. - C. 199-207.

50. Жилин П. А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. СПб: Изд-во Политехи, ун-та, 2007. 100 стр.

51. Frolov М., Chistiakova О. A new functional a posteriori error estimate for problems of bending of Timoshenko beams //Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2016. - T. 37. - №. 5. - C. 534-540.

52. da Veiga L., Mora D., Rivera G. Virtual elements for a shear-deflection formulation of Reissner-Mindlin plates //Mathematics of Computation. - 2019.

- T. 88. - №. 315. - C. 149-178.

53. Pechstein A. S., Schoberl J. An analysis of the TDNNS method using natural norms //Numerische mathematik. - 2018. - T. 139. - №. 1. - C. 93-120.

54. Song S., Niu C. A mixed finite element method for the Reissner-Mindlin plate //Boundary Value Problems. - 2016. - T. 2016. - №. 1. - C. 194.

55. Frolov M., Chistiakova O. A functional-type a posteriori error estimate of approximate solutions for Reissner-Mindlin plates and its implementation //IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - IOP Publishing, 2017. - T. 208. - №. 1. - C. 012043.

56. Repin S. I., Frolov M. E. Estimation of deviations from the exact solution for the Reissner-Mindlin plate problem //Journal of Mathematical Sciences. -2006. - T. 132. - №. 3. - C. 331-338.

57. Frolov M. E., Neittaanmaki P., Repin S. I. Guaranteed functional error estimates for the Reissner-Mindlin plate problem //Journal of Mathematical Sciences. - 2006. - T. 132. - №. 4. - C. 553-561.

58. Frolov, M.: Reliable a posteriori error control for solutions to problems of Reissner-Mindlin plates bending //: Proc. of 10th Int. Conf. Mesh methods for boundary-value problems and applications (Kazan, Russia). - 2014. - C. 610-615.

59. Raviart P. A., Thomas J. M. A mixed finite element method for 2-nd order elliptic problems //Mathematical aspects of finite element methods. - Springer, Berlin, Heidelberg, 1977. - C. 292-315.

60. Arnold D. N., Boffi D., Falk R. S. Quadrilateral #(div) finite elements //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2005. - T. 42. - №. 6. - C. 2429-2451.

61. Bathe K. J., Dvorkin E. N. A formulation of general shell elements^the use of mixed interpolation of tensorial components //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1986. - T. 22. - №. 3. - C. 697-722.

62. Simo J. С., Armero F. Geometrically non-linear enhanced strain mixed methods and the method of incompatible modes //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1992. - T. 33. - №. 7. - C. 1413-1449.

63. Киселев К. В., Фролов М. Е., Чистякова О. И. Вычислительный эксперимент и верификация реализаций апостериорной оценки для пластин Рейсснера-Миндлина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки - 2019. - Т. 12. - №. 1. - С. 128-141.

64. Frolov М., Chistiakova О. Adaptive algorithm based on functional-type a posteriori error estimate for Reissner-Mindlin plates // Advanced Finite Element Methods with Applications: Selected Papers from the 30th Chemnitz Finite Element Symposium 2017. - Springer, 2019. - C. 131-141.

65. Dorfler W. A convergent adaptive algorithm for Poisson's equation //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 1996. - T. 33. - №. 3. - C. 1106-1124.

66. Mekchay K., Nochetto R. H. Convergence of adaptive finite element methods for general second order linear elliptic PDEs //SIAM Journal on Numerical Analysis. - 2005. - T. 43. - №. 5. - C. 1803-1827.

67. Carstensen C. et al. A priori and a posteriori analysis for a locking-free low order quadrilateral hybrid finite element for Reissner-Mindlin plates //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2011. - T. 200. - №. 9-12. -C. 1161-1175.

68. Wu С. Т., Wang H. P. An enhanced cell-based smoothed finite element method for the analysis of Reissner-Mindlin plate bending problems involving distorted mesh //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2013. - T. 95. - №. 4. - C. 288-312.

69. Cen S., Shang Y. Developments of Mindlin-Reissner plate elements //Mathematical Problems in Engineering. - 2015. - T. 2015.

70. Ко Y., Lee P. S., Bathe K. J. A new 4-node MITC element for analysis of two-dimensional solids and its formulation in a shell element //Computers & Structures. - 2017. - T. 192. - C. 34-49.

71. Sirignano J., Spiliopoulos K. DGM: A deep learning algorithm for solving partial differential equations //Journal of Computational Physics. - 2018. -T. 375. - C. 1339-1364.

72. Winovich N., Ramani K., Lin G. ConvPDE-UQ: Convolutional neural networks with quantified uncertainty for heterogeneous elliptic partial differential equations on varied domains //Journal of Computational Physics. - 2019.

73. Pang G., Lu L., Karniadakis G. E. fpinns: Fractional physics-informed neural networks //SIAM Journal on Scientific Computing. - 2019. - T. 41. - №. 4. -С. A2603-A2626.

74. Фролов M. E., Чурилова M. А. Адаптация сеток на основе функциональных апостериорных оценок с аппроксимацией Ривьяри Томи //Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2012. - Т. 52. -№. 7. - С. 1277-1288.

75. Фролов М. Е. Применение функциональных оценок погрешности со смешанными аппроксимациями к плоским задачам линейной теории упругости //Журнал вычислительной математики и математической физики. -2013. - Т. 53. - №. 7. - С. 1178-1191.

76. Verfiirth, R. A review of a posteriori error estimation and adaptive mesh-refinement techniques. - John Wiley & Sons Inc; B.G. Teubner Verlag, Stuttgart, - 1996.

77. Чурилова M. А. Влияние выбора критерия маркировки на работу адаптивного алгоритма с апостериорным контролем точности //Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки. - 2015. - №. 4 (230).

78. Churilova M. Analysis of marking criteria for mesh adaptation in Cosserat elasticity //MATEC Web of Conferences. - EDP Sciences, 2018. - T. 245. - C. 08004.

79. Караваев А. С., Копысов С. П. Перестроение неструктурированных четырехугольных и смешанных сеток //Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. - 2013. - №. 4. - С. 62-78.

80. Караваев А. С., Копысов С. П., Пономарёв А. Б. Алгоритмы построения и перестроения неструктурированных четырехугольных сеток в многосвязных областях //Вычислительная механика сплошных сред. - 2012. - Т. 5.

- №. 2. - С. 144-150.

81. Da Veiga L. В. et al. A-priori and a-posteriori error analysis for a family of Reissner-Mindlin plate elements //BIT Numerical Mathematics. - 2008. - T. 48. - №. 2. - C. 189-213.

82. Vetyukov Y. Finite element modeling of Kirchhoff-Love shells as smooth material surfaces //ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. - 2014. -T. 94. - №. 1-2. - C. 150-163.

83. Bernadou M., Ciarlet P. G., Miara B. Existence theorems for two-dimensional linear shell theories //Journal of elasticity. - 1994. - T. 34. - №. 2. - C. 111-138.

84. Ciarlet P. G., Miara B. On the ellipticity of linear shell models //Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik ZAMP. - 1992. - T. 43. - №. 2. - C. 243-253.

85. Moreno A. V. Analytical and numerical study of some variants of Koiter's linear model of thin shells //Publicacions Matematiques. - 1996. - C. 215-228.

86. Chapelle D., Bathe K. J. Fundamental considerations for the finite element analysis of shell structures //Computers & Structures. - 1998. - T. 66. - №. 1.

- C. 19-36.

87. Mardare C. Two-dimensional models of linearly elastic shells: error estimates between their solutions //Mathematics and Mechanics of Solids. - 1998. - T. 3. - №. 3. - C. 303-318.

88. Han C. S., Wriggers P. A simple local a posteriori bending indicator for axisymmetric membrane and bending shell elements //Engineering Computations. - 1998. - T. 15. - №. 7. - C. 977-988.

89. Cirak F.. Ramm E. A posteriori error estimation and adaptivity for linear elasticity using the reciprocal theorem //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1998. - T. 156. - №. 1-4. - C. 351-362.

90. Gratsch T., Bathe K. J. A posteriori error estimation techniques in practical finite element analysis //Computers & structures. - 2005. - T. 83. - №. 4-5. -C. 235-265.

91. Okstad K. M., Mathisen K. M. Towards automatic adaptive geometrically nonlinear shell analysis. Part I: Implementation of an h-adaptive mesh refinement procedure //International journal for numerical methods in engineering. - 1994.

- T. 37. - №. 15. - C. 2657-2678.

92. Oden J. T., Cho J. R. Adaptive hpq-finite element methods of hierarchical models for plate-and shell-like structures //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1996. - T. 136. - №. 3-4. - C. 317-345.

93. Cho J. R. A posteriori error estimator for hierarchical models for elastic bodies with thin domain //Structural Engineering and Mechanics. - 1999. - T. 8. -№. 5. - C. 513-529.

94. Lackner R., Mang H. A. A posteriori error estimation in non-linear FE analyses of shell structures //International journal for numerical methods in engineering.

- 2002. - T. 53. - №. 10. - C. 2329-2355.

95. Lee C. K., Xu Q. X. Automatic adaptive FE analysis of thin-walled structures using 3D solid elements //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2008. - T. 76. - №. 2. - C. 183-229.

96. Stein E., Riiter M., Ohnimus S. Adaptive finite element analysis and modelling of solids and structures. Findings, problems and trends //International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2004. - T. 60. - №. 1. - C. 103-138.

97. Blouza A., Le Dret H. Existence and uniqueness for the linear Koiter model for shells with little regularity //Quarterly of Applied Mathematics. - 1999. -T. 57. - №. 2. - C. 317-337.

98. Blouza A., Le Dret H. An up-to-the boundary version of Friedrichs's Lemma and applications to the linear Koiter shell model //SIAM journal on mathematical analysis. - 2001. - T. 33. - №. 4. - C. 877-895.

99. da Veiga L. B. Asymptotic study of the solution for pinched cylindrical shells //Computer methods in applied mechanics and engineering. - 2005. - T. 194.

- №. 9-11. - C. 1113-1139.

100. Ciarlet P. G. An introduction to differential geometry with applications to elasticity //Journal of Elasticity. - 2005. - T. 78. - №. 1-3. - C. 1-215.

101. Canic S., Mikelic A., Tambaca J. A two-dimensional effective model describing fluid-structure interaction in blood flow: analysis, simulation and experimental validation //Comptes Rendus Mecanique. - 2005. - T. 333. - №. 12. - C. 867-883.

102. Canic S. et al. Modeling viscoelastic behavior of arterial walls and their interaction with pulsatile blood flow //SIAM Journal on Applied Mathematics.

- 2006. - T. 67. - №. 1. - C. 164-193.

103. Chistiakova O. A functional-type a posteriori error estimate for a linear Koiter's shell // Journal of Physics: Conference Series. - 2019. - T. 1236. -C. 1065.

104. Destuynder P., Moguen Y., Salan M. Adaptive mesh refinements for thin shells whose middle surface is not exactly known //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2008. - T. 197. - №. 51-52. - C. 4789-4811.

105. Bechet F.. Sanchez-Palencia E., Millet O. Singular perturbations generating complexification phenomena for elliptic shells //Computational mechanics. -2009. - T. 43. - №. 2. - C. 207-221.

106. Blouza A., El Alaoui L., Mani-Aouadi S. A posteriori analysis of penalized and mixed formulations of Koiter's shell model //Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2016. - T. 296. - C. 138-155.

Список рисунков

1.1 Теория стержней: модель Эйлера-Бернулли и модель Тимошенко 16

1.2 Прямолинейный стержень малой толщины: деформация .... 25

1.3 Прямолинейный стержень малой толщины: локальное распределение ошибки и функциональный индикатор...... 26

1.4 Криволинейный стержень малой толщины: деформация..... 27

1.5 Криволинейный стержень средней толщины: деформация .... 28

1.6 Вычисление балансировочной константы..........................30

2.1 Круглая пластина: решение в пакете А^УБ (исходная сетка, смещение и повороты)........................ 38

2.2 Круглая пластина: свободные переменные............. 39

2.3 Ь-образная пластина: решение в пакете А^УЗ (исходная сетка, смещение и повороты)........................ 40

2.4 Ь-образная пластина: свободные переменные........... 41

2.5 Верификация реализации оценки (2.6): Ь-образная пластина . . 42

2.6 Верификация реализации оценки (2.6): Квадратная пластина с круглым отверстием......................... 42

2.7 Косоугольная пластина Раззака: равномерная сетка 32x32 ... 43

2.8 Косоугольная пластина Раззака: локальный индикатор ошибки функционального типа........................ 46

2.9 Косоугольная пластина Раззака: маркирование элементов. Верхний ряд маркирование по уровню с различными порогами (1/4, 1/2, 3/4), нижний ряд элементы, выбранные

для последующего разбиения........................................48

2.10 Косоугольная пластина Раззака: сравнение разных стратегий маркирования элементов для последующего разбиения..........49

2.11 Шаблоны разбиения четырехугольных элементов ................50

2.12 Круглая пластина: адаптивное перестроение сетки в соответствии с функциональным апостериорным индикатором ошибки ................................ 51

2.13 Косоугольная пластина Раззака: этапы адаптации сетки на

основе функционального апостериорного индикатора ошибки . . 52

2.14 Ь-образная пластина (закрепленный угол, £ = 0.0001м): этапы адаптации сетки на основе функционального апостериорного индикатора ошибки ......................... 54

2.15 Ь-образная пластина (свободный угол, £ = 0.01м): этапы адаптации сетки на основе функционального апостериорного индикатора ошибки ......................... 55

3.1 Модель оболочки: срединная поверхность, ковариантный и контравариантный базисы [83] ................... 58

3.2 Модель оболочки: линейная модель Койтера [83]......... 60

Список таблиц

1 Прямолинейный стержень малой толщины: апостериорная

оценка погрешности......................... 25

2 Криволинейный стержень малой толщины: апостериорная

оценка погрешности......................... 26

3 Криволинейный стержень малой толщины: результаты адаптивного алгоритма....................... 27

4 Криволинейный стержень средней толщины: апостериорная оценка погрешности......................... 29

5 Криволинейный стержень средней толщины: результаты адаптивного алгоритма....................... 29

6 Круглая пластина: ошибка и индекс эффективности оценки . . 37

7 Ь-образная пластина: ошибка и индекс эффективности оценки . 38

8 Косоугольная пластина Раззака: сравнение решателя на элементах М1ТС4 в центральной точке, ошибки и индекса эффективности оценки с результатами, представленными в

статье [67]............................... 44

9 Косоугольная пластина Раззака: эффективность разных стратегий маркировки элементов для последующего разбиения . 50

10 Косоугольная пластина Раззака: ошибка и индекс эффективности оценки........................ 51

11 Ь-образная пластина (закрепленный угол): ошибка и индекс эффективности оценки........................ 53

12 Ь-образная пластина (свободный угол): ошибка и индекс эффективности оценки........................ 56