Аномальная диффузия в простых физических моделях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Драников, Илья Леонидович

• Драников, Илья Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Драников, Илья Леонидович

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1 МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОЙ АДВЕКЦИИ.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Масштабный анализ.

Макроскопическое уравнение переноса.

Масштабные размерности.

1.3. Общие закономерности поведения концентрации. h> 1. h< 1. h = 1.

1.4. Асимптотические профили концентрации.

Глава 2 СЛУЧАЙНАЯ АДВЕКЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ДИФФУЗИИ И ДРЕЙФА.

2.1. Формулировка задачи.

2.2. Диаграммная техника. h< 1. h = 1.

2.3. Роль случайной диффузии.

2.4. Случайная адвекция при наличии дрейфа.

Поляризационный оператор. к» к. к «к.

Поведение концентрации. t»U, -<h< 1. t»U, 0<h<-. t»U, h = 1.

Глава3 ДИФФУЗИЯ В РЕГУЛЯРНО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ: ЗАДАЧА ДЫХНЕ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Качественный анализ.

3.3. Одиночная трещина. Количественный анализ.

1 = 1.

1 = 2.

3.4 Системы трещин.

М = 2.

М» 1, t»tb, 1 = 1.

М» 1, t»tb, 1 = 2.

Плоская периодическая цепочка М трещин.

Объёмная периодическая система М трещин.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аномальная диффузия в простых физических моделях»

Актуальность темы. Многочисленные исследования показали, что перенос примеси в сильно неоднородных средах часто не описываются классическим уравнением диффузии [1]. При этом показатель степени в зависимости от времени размера области локализации частиц

R(t)oztr отличается от классического значения у = 1/2. Такие процессы называют аномальной диффузией. В случае, когда у > 1/2, мы имеем дело с супердиффузией, а при у < 1/2 - с субдиффузией. В последние десятилетия интерес к процессам аномального переноса продолжает расти в связи с неклассическими задачами, возникающими в физике полупроводников, физике плазмы, астро- и биофизике, медицине, гидрогеологии, экономике и др. [1-24]. Супердиффузия, например, встречается при турбулентной диффузии [25-28], в неоднородных скальных породах [29-31] и в плазме [32]; ею описывается даже движение бактерий [33] и полет альбатроса [34].

Несмотря на столь широкую распространённость и сравнительно давнюю историю исследований, в аномальной диффузии остается еще множество нерешенных вопросов. Во многих случаях не выявлена связь между характеристиками среды и типом режима переноса. Не ясен вопрос и о структуре асимптотик ("хвостов") концентрации на больших расстояниях от источника (при r»R(t)). Например, в некоторых математических постановках задач об аномальной диффузии они являются степенными. Между тем, знание структуры концентрационных хвостов бывает исключительно важно для практических приложений, например, для оценок надежности радиоактивных захоронений в геологических средах. Разница степенного и гауссова хвоста в удаленной от источника области, существенной для жизнедеятельности людей, может достигать многих порядков величины. Поэтому исследование аномальных процессов переноса в физических моделях является актуальным как с научной, так и практической точки зрения.

Цель работы. Целью работы является теоретическое исследование закономерностей аномального переноса примеси в простых физических моделях. Основными задачами диссертации являются:

1. Установление закономерностей переноса в модели случайной адвекции-диффузии в зависимости от корреляционных свойств среды (в отсутствие и при наличии дрейфа).

2. Исследование режимов переноса примеси в регулярно-неоднородной контрастной среде в различных интервалах времени (задача Дыхне).

Научная новизна работы. Автором впервые

1. Развита строгая аналитическая теория переноса в модели случайной адвекции-диффузии с дальнодействующими корреляциями скорости.

2. Показано, что асимптотики концентрации примеси в модели случайной адвекции-диффузии носят экспоненциальный характер, в отличие от степенных асимптотик в модели дробной диффузии.

3. Установлено, что пространственные флуктуации коэффициента классической диффузии не влияют на тип режима переноса примеси в модели случайной адвекции-диффузии.

4. Установлено, что в модели резко контрастной среды с одиночной трещиной существует широкий интервал времени, в котором перенос примеси происходит в режиме субдиффузии.

5. Выявлены режимы диффузии в контрастной системе, моделирующей множество трещин в слабопроницаемой среде.

Практическая ценность работы состоит в следующем:

1. Полученные в диссертации результаты могут стать элементами для построения общей теории переноса примеси в геологических средах.

2. Установленные закономерности дают основу для проведения качественных оценок надежности захоронений радиоактивных отходов в геологических структурах.

3. Полученные результаты могут быть использованы для модернизации компьютерных кодов, предназначенных для моделирования процессов переноса в геологических средах.

Личный вклад автора. Соискателем лично проведены:

1. Масштабный анализ (скейлннг) в макроскопической формулировке задачи о стохастической адвекции.

2. Диаграммное разложение и его анализ в задаче о случайной адвекции-диффузии.

3. Исследование процессов переноса примеси в резко контрастной системе, моделирующей одиночную сильнопроницаемую трещину в слабопроницаемой среде.

4. Анализ процессов переноса в модели системы трещин с различными пространственными характеристиками.

Защищаемые положения. На защиту выносится:

1. В модели случайной адвекции асимптотика концентрации примеси на больших расстояниях в режиме супердиффузии определяется экспонентой, убывающей быстрее, чем в классической диффузии.

2. Пространственные флуктуации коэффициента диффузии не приводят к изменению режима переноса.

3. В модели случайной адвекции при наличии дрейфа с ростом времени может происходить смена режимов переноса от супердиффузии к менее быстрому анизотропному режиму супердиффузии или анизотропной классической диффузии. Во всех случаях асимптотики концентрации на больших расстояниях имеют экспоненциальный характер.

4. В регулярно неоднородной контрастной среде перенос примеси на ранних временах идет в режиме быстрой классической диффузии, в интервале промежуточных времен - в режиме субдиффузии, а на самых поздних временах - медленной классической диффузии. При достаточно сильном контрасте свойств среды верхняя граница субдиффузионного интервала времени может оказаться практически недостижимой, и тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на международном симпозиуме "International Groundwater Symposium" (Беркли, США,

2002), международной конференции "Groundwater in Fractured rocks" (Прага, Чешская Республика, 2003), международном конгрессе "World Water & Environmental Resources Congress" (Филадельфия, США, 2003), на ежегодных научных конференциях стипендиатов ИБРАЭ РАН (2002,2003).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, Заключения и Списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Драников, Илья Леонидович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты диссертации.

1. На основе представлений о масштабной инвариантности, без использования упрощающих предположений, построена теория переноса примеси в модели случайной адвекции с дальнодействующими корреляциями скоростей. Режим переноса определяется масштабной размерностью скорости адвекции h, которая связана с показателями в степенном убывании корреляционных функций на далеких расстояниях. При значениях h > 1 перенос идет в режиме классической диффузии, при h< 1 - супердиффузии, а при h = 1 - логарифмически модифицированной классической диффузии. В супердиффузионном режиме показатель степени у в зависимости от времени размера области локализации примеси R(t)cctr равен у = \/(\ + h). При этом асимптотика концентрации на больших расстояниях (при г » R(t)) имеет вид экспоненты, убывающей даже быстрее, чем при классической диффузии. Этот вывод резко контрастирует с моделью дробной диффузии (основанной на уравнении с дробной пространственной производной), где хвосты ведут себя степенным образом.

2. На основе диаграммной техники разработана теория переноса примеси в модели, которая наряду со случайной адвекцией учитывает в качестве механизма переноса классическую диффузию и дрейф примеси с постоянной скоростью. Установлено, что случайная диффузия не приводит к изменению режимов переноса. Она дает лишь перенормировку эффективного коэффициента диффузии при масштабной размерности случайной скорости h> 1. При h< 1 наличие дрейфа с постоянной скоростью й приводит к возникновению характерного времени /*, при котором длина дрейфа становится сравнимой с размером области локализации примеси, ut,~R(t,). В этот момент при h < 1 происходит смена режимов переноса. В интервале ранних времен t<t, перенос идет в режиме супердиффузии, свойственном данной модели в отсутствие дрейфа. На поздних временах, t>t*, тип режима зависит от значения масштабной размерности h. При 1/2</г<1 он соответствует анизотропной классической диффузии, при 0<h<1/2 - анизотропной супердиффузии (менее быстрой, чем при / </♦) с показателем степени ^ = 1-/г, а при h = 1/2 -логарифмически модифицированной анизотропной классической диффузии. Во всех случаях асимптотики концентрации на больших расстояниях являются экспоненциальными.

3. Проанализированы режимы переноса примеси в сильно контрастной регулярно-неоднородной системе (задача Дыхне), состоящей из среды с высокой проницаемостью, которая занимает область I ("трещина") и ограниченна в одном (/ = 1, плоскопараллельный слой) или в двух измерениях (1 = 2, прямой цилиндр), и среды с низкой проницаемостью, которая заполняет оставшуюся часть пространства (область II - "матрица"). В качестве физического механизма переноса была принята классическая диффузия. Между коэффициентами диффузии в трещине (D) и в матрице (d) выполняется соотношение D»d. Вычислялась дисперсия cr(t), определяющая среднеквадратичное смещение частицы вдоль среды I в зависимости от времени. Выделены три интервала времени по типу режимов переноса. На ранних временах t«/, перенос примеси идет в режиме быстрой классической диффузии: cr(t) ~ Dt. В промежуточном интервале г, «t«t2 реализуется режим субдиффузии: a(t) ~ D^tt[ при 1 = 1 и a(t) ~ Dt{ при 1 = 2. Наконец, на самых поздних временах /»/2 перенос идет в режиме медленной классической диффузии: cr(t)~dt. Характерные времена определены как tx~a2/Ad, t2~tx{D/df для 1 = 1 и t2 ~tx{D/d)\n(D/d) для 1 = 2; а - поперечный размер трещины. В реальных ситуациях отношение коэффициентов диффузии двух сред D/d бывает достаточно большим, чтобы время /2 оказалось практически недостижимым; тогда субдиффузия будет играть роль асимптотического режима.

4. Исследованы характеристики переноса примеси в задаче Дыхне, когда сильнопроницаемая среда занимает многосвязную область I и соответствует периодической системе М параллельных друг другу трещин. Если расстояние между трещинами Ъ таково, что переход к режиму медленной классической диффузии произойдет раньше, чем область локализации примеси достигнет соседней трещины (/2 «tb), то перенос происходит как у одиночной трещины. В противоположном случае t2»tb влияние трещин на перенос примеси коллективизируется, и тогда при конечном М» 1 в дополнение к режиму субдиффузии, который был найден для одиночной трещины, возникают дополнительные промежуточные режимы. Среди них, в зависимости от конфигурации и соотношения между параметрами задачи, могут быть ослабленная классическая диффузия и усиленная степенная или логарифмическая субдиффузия. Самым поздним режимом, как и для одиночной трещины, является медленная классическая диффузия. Если количество трещин бесконечно (М —> со), то для системы плоскопараллельных слоев и объемной системы прямых цилиндров конечным режимом становится ослабленная присутствием матрицы классическая диффузия. Для плоской же системы прямых цилиндров, как и для М* оо, самым поздним режимом является медленная классическая диффузия.

БЛАГОДАРНОСТИ

Эту диссертацию я посвящаю светлой памяти Александра Михайловича Дыхне, который много лет был моим наставником и научным руководителем, определил мою траекторию и заразил своим отношением и к жизни, и к науке. Александру Михайловичу непосредственно принадлежит идея, развиваемая в Главе 3. Спасибо Вам за всё, Александр Михайлович

Невозможно переоценить влияние на меня моего нынешнего научного руководителя Петра Сергеевича Кондратенко. Я сердечно благодарю его за терпение и доброту, требовательность и научную щедрость, за знания, которыми он меня обогатил. Петру Сергеевичу принадлежат почти все идеи первых двух Глав, не говоря об их развитии.

Мне приятно выразить признательность моему научному руководителю в студенческие годы Алексею Максимовичу Фридману, которому я обязан за решающую роль, сыгранную им в моей судьбе, а также за воспринимавшееся от него понимание физики. Под руководством Алексея Максимовича я сделал работу по астрофизике, которую исключительно ценю. (Ключевую роль в её инициации сыграл Олег Владимирович Хоружий.) Я благодарю A.M. за неизменную поддержку, сотрудничество и желаю ему окончательного выздоровления.

На протяжении долгих лет я нахожусь под личным обаянием Самуила Акивовича Рыбака, от которого я многому научился - и в научном, и в человеческом смысле. Самуилу Акивовичу я выражаю самую тёплую признательность.

Всегда большое удовольствие для меня работать вместе с Леонидом Владимировичем Матвеевым. Я благодарен ему за постоянную дружескую поддержку, готовность помочь и часто определяющее участие в решении рассматриваемых в диссертации задач.

Огромное спасибо не перечисленным выше людям, у которых я учился. Среди них Юрий Робертович Аланакян, Юрий Ефремович Лозовик, Игорь Владимирович Новобранцев, Дмитрий Александрович Терёшин на Физтехе и Л.П.Говорова, А.Н.Дубинина, А.П.Кирьянов, Е.П.Кузнецов, Т.С.Пиголкина, С.С.Самарова, М.В.Свиридов, С.Г.Шальнова в школе.

Спасибо тем, чьи лекции и экзамены мне очень многое дали - А.А.Абрамову, С.П.Аллилуеву, Л.И.Бородкину, С.Н.Вергелесу, В.Г.Веселаго, Вл.П.Визгину, А.П.Виноградову, С.С.Герштейну, В.А.Головиной, В.Н.Горелкину, В.Н.Диесперову, Л.М.Зелёному, М.Ф.Иванову, Н.А.Кириченко, А.А.Лавровой, Г.А.Лобову, Ю.Е.Лозовику, И.В.Лупандину, В.П.Михайлову, М.Л.Насоновой, Р.А.Насонову,

А.А.Николаеву], Л.В.Паниной, М.И.Пергаменту, А.А.Печёнкину, А.В.Пименову, Е.С.Пятницкому, С.В.Резниченко, С.А.Рыбаку, А.А.Саркисову, А.К.Сарычеву, Ю.В.Сидорову, К.А.Скворчевскому, А.М.Фридману, |Т.В.Чередниченко, В.И.Чехлову, Г.Н.Яковлеву. Спасибо С.А.Гордюнину, Л.Б.Дубовскому, В.П.Кузнецову,

С.И.Петровой, С.С.Самаровой, |А.С.Фохту|, О.Н.Целиковой.

Отдельное спасибо Виктору Николаевичу Баграташвили и Виктору Васильевичу Зосимову.

За плодотворное сотрудничество я благодарю Ивана Александровича Короткина, Владимира Александровича Лапина, Алексея Валерьевича Попова, Степана Геннадьевича Янченко. Магистерские диссертации первых трёх из них имеют прямое отношение к теме настоящей диссертации.

Большое значение для меня имели обсуждения различных вопросов с Дмитрием Борисовичем Балагуровым и Александром Михайловичем Мерзликиным. Неоценимую помощь в повседневной работе оказывали Дмитрий Владимирович Никольский и Дмитрий Геннадьевич Григорук, а также Сергей Борисович Мартынов. Всем им я выражаю искреннюю признательность.

Я благодарен коллективу и администрации Института проблем безопасного развития атомной энергетики за моральную поддержку, комфортные условия работы и её финансирование, а также US DOE (Project No. RG0-20101-RW40 of CRDF Grant Assistance Program) и РФФИ (проект № 06-08-00176a) за финансовую поддержку. Спасибо Президиуму РАН, отметившему часть опубликованных материалов работы премией и медалью.

Невозможно перечислить людей, которым я обязан, никогда или почти никогда не видев их в жизни. Низкий поклон им.

И наконец, самое большое спасибо Насте, Диме и всем родным, а особенно маме.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Драников, Илья Леонидович, 2007 год

1. М. В. 1.ichenko, Percolation, statistical topography, and transport in random media

2. Rev. Mod. Phys. 64,961 (1992)

3. J.-P. Bouchaud, A. Georges, Anomalous diffusion in disordered media: statisticalmechanisms, models, and physical applications // Phys. Rep. 195,127 (1990)

4. Ю. А. Дрейзин, A. M. Дыхне, Аномальная проводимость неоднородных сред всильном магнитном поле // ЖЭТФ 63,242 (1972)

5. А. М. Дыхне, А. П. Напартович, Перенос резонансного излучения внеоднородной плазме. М.: Инст. Ат. Эн., 1970

6. A. Blumen, J.Klafter, G. Zumofen, Models for reaction dynamics in glasses // in:

7. Optical spectroscopy of glasses in optical spectroscopy of glasses", ed. by I. Zschokke.- Dordrecht: Reidel, 1986

8. H. Scher, M.F.Shlesinger, J.T.Bendler, Time-scale invariance in transport andrelaxation // Phys. Today 44,26 (1991)

9. B. Berkowitz, H. Scher, Theory of anomalous chemical transport in fracturenetworks // Phys. Rev. E 57,5858 (1998)

10. S. Alexander, J. Bernasconi, W.R. Schneider, R. Orbach, Excitation dynamics inrandom one-dimensional systems // Rev. Mod. Phys. 53,175 (1981)

11. S. Havlin, D. ben-Avraham, Diffusion in disordered media // Adv.Phys. 36, 6951987)

12. В. E. Архинчеев, Э. M. Баскин, Аномальная диффузия и дрейф в гребешковоймодели перколяционных кластеров // ЖЭТФ 100,292 (1991)

13. J.W. Haus, K.W. Kehr, Diffusion in regular and disordered lattices // Phys. Rep.150, 263(1987)

14. P. Hanggi, H. Thomas, Stochastic processes: time evolution, symmetries and linearresponse // Phys. Rep. 88,207 (1982)

15. M. Grifoni, P. Hanggi, Driven quantum tunneling // Phys. Rep. 304,229 (1998)

16. B.J. West, W. Deering, Fractal physiology for physicists: Levy statistics // Phys.1. Rep. 246,1 (1994)

17. R. Balesku, Statistical dynamics, matter out of equilibrium. London: Imperial1. College Press, 1997

18. M.F. Shlesinger, G.M. Zaslavsky, J. Klafter, Strange kinetics // Nature 363, 311993)

19. G.H. Weiss, Aspects and applications of the random walks. Amsterdam: North1. Holland, 1994

20. M.F. Shlesinger, G.M. Zaslavsky, U. Frish (Eds.), Levy flights and related topics inphysics. Berlin: Springer, 1995 (Lecture Notes in Physics, Vol. 450)

21. J. Klafter, M.F. Shlesinger, G. Zumofen, Beyond Brownian motion // Phys. Today49,33 (1996)

22. R. Kutner, A. Pekalski, K. Sznajd-Weron (Eds.), Anomalous diffusion, from basicsto applications. Berlin: Springer, 1999 (Lecture Notes in Physics, Vol. 519)

23. Jl. M. Зеленый, А. В. Милованов, Фрактальная топология и странная кинетика:от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН, 174, 809 (2004)

24. В. В. Учайкин, Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы //1. УФН 173,847 (2003)

25. G.M. Zaslavsky, S. Benkadda (Eds.), Chaos, kinetics and nonlinear dynamics influids and plasmas. Berlin: Springer, 1998 (Lecture Notes in Physics, Vol. 511)

26. Г. M. Заславский, Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск:

27. Инст. компьютерных иссл., 2004

28. L.F. Richardson, Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbour graph // Proc. Roy. Soc. 110,709 (1926)

29. G.K. Batchelor, The application of the similarity theory of turbulence to atmosphericdiffusion//Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 76,133 (1950)

30. M.F. Shlesinger, B.J. West, J. Klafter, Levy dynamics of enhanced diffusion:application to turbulence // Phys. Rev. Lett. 58,1100 (1987)

31. I. Sokolov, A. Blumen, J. Klafter, Drude approach to anomalous diffusion:application to Richardson dispersion in turbulent flow // Europhys. Lett. 47, 152(1999)

32. J. Klafter, A. Blumen, G. Zumofen, M.F. Shlesinger, Levy walks approach toanomalous diffusion // Physica A 168,637 (1990)

33. A. Ott, J.-P. Bouchaud, D. Langevin, W. Urbach, Anomalous diffusion in "livingpolymers": a genuine Levy flight? // Phys. Rev. Lett. 65,2201 (1990)

34. M. Sahimi, Non-linear and non-local transport processes in heterogeneous media:from long-range correlated percolation to fracture and materials breakdown // Phys. Rep. 306,213(1998)

35. R. Balescu, Anomalous transport in turbulent plasmas and continuous time randomwalks // Phys. Rev. E 51,4807 (1995)

36. J. Klafter, B.S. White, M. Levandowsky, Microzooplankton feeding behaviour andthe Levy walks // in: "Biological motion", ed. by W. Alt, J. Hoffmann. -Berlin: Springer, 1990 (Lecture Notes in Biomathematics, Vol. 89)

37. G.M. Viswanathan, V. Afanasyev, S.V. Buldyrev, E.G. Murphy, P.A. Prince, H.E.

38. Stanley, Levy flight search patterns of wandering albatrosses // Nature 381, 413 (1996)

39. G.I. Taylor, Diffusion by continuous movements // Proc. London Math. Soc. Ser. 220,196(1921)

40. О.Г. Бакунин, Корреляционные и перколяционные свойства турбулентнойдиффузии // УФН 173,757 (2003)

41. B.I. Shraiman, E.D. Siggia, Scalar turbulence // Nature 405,639 (2000)

42. G. Falkovich, K. Gawedzki, M.Vergassola, Particles and fields in fluid turbulence //

43. Rev. Mod. Phys. 73,913 (2001)

44. E. W. Montroll, G. Weiss, Random walks on lattices II // J. Math. Phys. 6, 1671965)

45. E.W. Montroll, H.Scher, Random walks on lattices IV: continuous-time randomwalks and influence of absorbing boundary conditions, // J. Stat. Phys. 9, 101 (1973)

46. G. Pfister and H. Scher, Time-dependent electrical transport in amorphous solids:

47. As2Se3 // Phys. Rev. В 15,2062 (1977)

48. G. Pfister and H. Scher, Dispersive (non-Gaussian) transient transport in disorderedsolids //Adv. Phys. 27,747 (1978)

49. G. Zumofen, A. Blumen, J. Klafter, Current flow under anomalous-diffusionconditions: Levy walks // Phys. Rev. A 41,4558 (1990)

50. P.W.M. Blom, M.C.J.M. Vissenberg, Dispersive hole transport in Poly (p-phenylenevinylene) II Phys. Rev. Lett. 80,3819 (1998)

51. E. Scalas, R. Gorenflo, F. Mainardi, Uncoupled continuous-time random walks:solution and limiting behavior of the master equation // Phys. Rev. E 69, 011107(2004)

52. R. Metzler, J. Klafter, The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractionaldynamics approach // Phys. Rep. 339,1 (2000)

53. H. Scher, E.W. Montroll, Anomalous transit-time dispersion in amorphous solids //

54. Phys. Rev. В 12,2455 (1975)

55. E.W. Montroll, M.F. Shlesinger, A wonderful world of random walks // in:

56. Nonequilibrium phenomena II: from stochastic to hydrodynamics", ed. by J.L. Lebowitz, E.W. Montroll. Amsterdam: North-Holland, 1984 (Studies in Statistical Mechanics, Vol. 11)

57. H. Scher, M. Lax, Stochastic transport in a disordered solid. I. Theory // Phys. Rev.

58. В 7, 4491 (1972); см. тж. H. Scher, М. Lax, Stochastic transport in a disordered solid. II. Impurity conduction // Phys. Rev. В 7,4502 (1972)

59. А. С. Монин, Доклады АН СССР 105,256 (1955)

60. A. Khintchine, P. Levy, Sur les lois stables // C. R. Acad. Sci. Paris 202,374 (1936)

61. V. Balakrishnan, Anomalous diffusion in one dimension // Physica A 132, 5691985)

62. W. Wyss, The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. 27,2782 (1986)

63. W.R. Schneider, W. Wyss, Fractional diffusion and wave equations // J. Math. Phys.30,134 (1989)

64. A. Compte, Stochastic foundations of fractional dynamics // Phys. Rev. E 53, 41911996)

65. R. Hilfer, L. Anton, Fractional master equations and fractal time random walks //

66. Phys. Rev. E 51, R848 (1995)

67. R. Sanchez, B.A. Carreras, B.Ph. van Milligen, Fluid limit of nonintegrablecontinuous-time random walks in terms of fractional differential equations // Phys. Rev. E 71,011111 (2005)

68. К.В. Чукбар, Стохастический перенос и дробные производные // ЖЭТФ 108,1875 (1995); см. тж. В.Ю Забурдаев, К.В. Чукбар // ЖЭТФ, 121, 299 (2002); K.V. Chukbar, V.Yu. Zaburdaev И Phys. Rev. E 68,033101(R) (2003)

69. R.-A. El-Nabulsi, Fractional description of super and subdiffiision. // Phys. Lett. A340, 361 (2005)

70. Б.В. Гнеденко, A.H. Колмогоров, Предельные распределения для суммнезависимых случайных величин. M.-JI.: Гостехиздат, 1949

71. Ф. Барду, Ж.-Ф. Бушо, А. Аспе, К. Коэн-Таннуджи, Статистика Леви илазерное охлаждение. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006

72. В.В. Mandelbrot, J.W. van Ness, Fractional Brownian motion, fractional noises andapplications // SIAM (Soc. Ind. Appl. Math.) Rev. 10,422 (1968)

73. B. O'Shaugnessy, I. Procaccia, Analytical solutions for diffusion on fractal objects //

74. Phys. Rev. Lett. 54,455 (1985)

75. J. Klafter, R. Silbey, Derivation of the Continuous-Time Random-Walk equation //

76. Phys. Rev. Lett. 44,55 (1980)

77. J. Klafter, A. Blumen, M.F. Shlesinger, Stochastic pathway to anomalous diffusion

78. Phys. Rev. A 35,3081 (1987)

79. E. Barkai, V. Fleurov, Levy walks and generalized stochastic collision models //

80. Phys. Rev. E 56,6355(1997)

81. R. Kutner, P. Maass, Levy flights with quenched noise amplitudes // J. Phys. A :1. Math. Gen. 31,2603 (1998)

82. J. Bernasconi, W.R. Schneider, W. Wyss, Diffusion and hopping conductivity indisordered one-dimensional lattice systems // Zeitschrift fur Physik В Cond. Mat. 37,175 (1980)

83. V. Seshadri, B.J. West, Fractal dimensionality of Levy processes // Proc. Natl. Acad.1. Sci. USA 79,4501 (1982)

84. B.J. West, V. Seshadri, Linear systems with Levy fluctuations // Physica A 113,2031982)

85. F. Peseckis, Statistical dynamics of stable processes // Phys. Rev. A 36,892 (1987)

86. H.C. Fogedby, Levy flights in random environments // Phys. Rev. Lett. 73, 25171994)

87. H.C. Fogedby, Langevin equations for continuous time Levy flights // Phys. Rev. E50,1657(1994)

88. R. Muralidhar, D. Ramkrishna, H. Nakanishi, D. Jacobs, Anomalous diffusion: adynamic perspective // Physica A167,539 (1990)

89. K.G. Wang, L.K. Dong, X.F. Wu, F.W. Zhu, Т. Ко, Correlation effects, generalized

90. Brownian motion and anomalous diffusion // Physica A 203,53 (1994)

91. K.G. Wang, M. Tokuyama, Nonequilibrium statistical description of anomalousdiffusion // Physica A 265,341 (1999)

92. V.M. Kenkre, E.W. Montroll, M.F. Shlesinger, Generalized master equations forcontinuous-time random walks // J. Stat. Phys. 9,45 (1973)

93. V.M. Kenkre, Generalization to spatially extended systems of the relation betweenstochastic Liouville equations and Generalized master equations // Phys. Lett. A 65,391 (1978)

94. D. Bedeaux, K. Lakatos-Lindenberg, K.E. Shuler, On the relation between masterequations and random walks and their solutions // J. Math. Phys. 12, 2116 (1971)

95. I. Oppenheim, K.E. Shuler, G.H. Weiss (Eds.), Stochastic processes in chemicalphysics: the master equation. Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1977

96. C. Tsallis, S.V.F. Levy, A.M.C. Souza, R. Maynard, Statistical-mechanicalfoundation of the ubiquity of Levy distributions in nature // Phys. Rev. Lett. 75,3589 (1995)

97. С. Tsallis, D.J. Bukman, Anomalous diffusion in the presence of external forces:exact time-dependent solutions and their thermostatistical basis // Phys. Rev. E 54, R2197 (1996)

98. L. Borland, Microscopic dynamics of the nonlinear Fokker-Planck equation: aphenomenological model // Phys. Rev. E 57, 6634 (1998)

99. A. Compte, D. Jou, Non-equilibrium thermodynamics and anomalous diffusion // J.

100. Phys. A: Math. Gen. 29,4321 (1996)

101. D.H. Zanette, P.A. Alemany, Thermodynamics of anomalous diffusion // Phys. Rev.1.tt. 75,366(1995)

102. G. Matheron, G. de Marsily, Is transport in porous media always diffusive? Acounter example // Water Resour. Res. 16,901 (1980)

103. B.M. Финкельберг, Распространение волн в случайной среде. Методкорреляционных групп // ЖЭТФ 53,40 (1967)

104. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ 35, 1158 (1958)

105. А. А. Абрикосов, Л.П. Горьков, ЖЭТФ 36,319 (1959)

106. А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский, Методы квантовой теорииполя в статистической физике. М.: ИФМЛ, 1962

107. В.И. Татарский, М.Е. Герценштейн, Распространение волн в среде с сильнымифлуктуациями показателя преломления // ЖЭТФ 44,676 (1963)

108. В.И. Татарский, Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука,1967

109. С.М. Рытов, Ю.А. Кравцов, В.И. Татарский, Введение в статистическуюрадиофизику, Часть 2 Случайные поля. М.: Наука, 1978

110. В.И. Кляцкин, Динамика стохастических систем. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 (иссылки там); он же: Стохастические уравнения глазами физика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 (и ссылки там)

111. И.М. Лифшиц, М.И. Каганов, В.М. Цукерник, Распространениеэлектромагнитных колебаний в неоднородных анизотропных средах // Учен. Зап. Харьковского университета 35, Труды физ. отделения физ.-мат. факультета 2, 41 (1950)

112. D.S. Fisher, Random walks in random environments // Phys. Rev. A 30, 960 (1984)

113. В. E. Кравцов, И. В. Лернер, В. И. Юдсон, Классическая диффузия в средах сослабым беспорядком //ЖЭТФ 91, 569 (1986)

114. M.W. Deem, Field-theoretic approximations for normal diffusion in random velocityfields // Phys. Rev. E 51,4319 (1995)

115. D.S. Fisher, D. Friedan, Z. Qiu, S.J. Shenker, S.H. Shenker, Random walks in twodimensional random environments with constrained drift forces // Phys. Rev. A 31,3841 (1985)

116. J.A. Aronovitz, D.R. Nelson, Anomalous diffusion in steady fluid flow through aporous medium // Phys. Rev. A 30,1948 (1984)

117. B. Derrida, J.M. Luck, Diffusion on a random lattice: Weak-disorder expansion inarbitrary dimension // Phys. Rev. В 28,7183 (1983)

118. Zh.S. Gevorkian, Yu.E. Lozovik, Classical diffusion in random fields with longrange correlations // J. Phys. A: Math. Gen. 20, L659 (1987)

119. Ж. С. Геворкян, Ю. E. Лозовик Классическая диффузия в случайном поле сдальними корреляциями. М.: ФИАН, Отд. теорет. физики, 1986; см. тж. Физ. Тв. Тела, 27,1800 (1985)

120. D.L. Koch, J.F. Brady, Anomalous diffusion in heterogeneous porous media // Phys.1. Fluids 31,965 (1988)

121. D.L. Koch, J.F. Brady, Anomalous diffusion due to long-range velocity fluctuationsin the absence of a mean flow // Phys. Fluids A 1,47 (1989)

122. A.3. Паташинский, B.JT. Покровский, Флуктуационная теория фазовыхпереходов. -М.: Наука, 1975

123. М.В. Федорюк, Метод перевала. М.: Наука, 1977

124. Ж. Зиин-Жюстен, Континуальный интеграл в квантовой механике. М.:1. ФИЗМАТЛИТ, 2006

125. М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе, Методы теории волн в средах с дисперсией. М.:1. ФИЗМАТЛИТ, 2007

126. A.M. Дыхне, П.С. Кондратенко, Л.В. Матвеев, Перенос примеси вперколяционных средах // Письма в ЖЭТФ 80,464 (2004)

127. П.С. Кондратенко, Л.В. Матвеев, Асимптотические режимы и структурахвостов" концентрации в модели Дыхне // ЖЭТФ 131,494 (2007)

128. P.S. Kondratenko, L.V. Matveev, Random advection in a fractal medium with finitecorrelation length // Phys. Rev. E 75,051102 (2007)

129. M. Абрамович, И. Стиган (Ред.), Справочник по специальным функциям. М.:1. Наука, 1979

130. СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

131. А.М.Дыхне, И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, А.В.Попов, Аномальнаядиффузия в регулярно-неоднородных средах. М: ИБРАЭ, 2001

132. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, A.V.Popov, Anomalous diffusion inregular fractured media. M: NSIRAS, 2002

133. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, A.V.Popov, Anomalous diffusion inregularly non-uniform media // Proceedings of the International Groundwater Symposium, p. 408-411. Berkeley, 2002

134. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, A.V.Popov, Anomalous diffusion inregular fractured media // Proceedings of the International Conference "Groundwater in Fractured rocks", p. 403-404. Prague, 2003

135. А.М.Дыхне, ИЛ.Драников, П.С.Кондратенко, A.B. Попов, Субдиффузия вкусочно-однородной среде // Изв. Акад. Наук (2004) № 4 с. 123-126

136. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, Anomalous diffusion in regularlynon-uniform media // Journal of Hydraulic Research 43, No 2 (2005)

137. И.Л. Драников, Аномальная диффузия в регулярных трещиноватых средах // всборнике: "Сборник трудов III научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН: 18-19 апреля 2002 г". М.: ИБРАЭ, 2002

138. И.Л. Драников, Стохастический адвективно-диффузионный перенос примесейв сборнике: " Сборник трудов IV научной конференции стипендиатов ИБРАЭ РАН: 24-25 апреля 2003 г ". М.: ИБРАЭ, 2003

139. I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, L.V.Matweev. Anomalous contaminant transport instochastic advection model. M: NSI RAS, 2003

140. И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, Л.В. Матвеев, Аномальный переноспримесей в модели стохастической адвекции // Докл. Акад. Наук 394, 187 (2004)

141. И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, Л.В. Матвеев, Режимы аномального переносав модели стохастической адвекции-диффузии // ЖЭТФ 125, 1082-10912004)

142. И.Л.Драников, П.С.Кондратенко, Л.В. Матвеев, Скейлинг в задачах переносарадионуклидов во фрактальных средах // Изв. Акад. Наук (2004) № 4 с. 127-134

143. I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, L.V.Matweev, Are the heavy tails in superdiffusiontheory well justified physically? // Laser Physics (2004) №3

144. A.M.Dykhne, I.L.Dranikov, P.S.Kondratenko, L.V.Matveev, Anomalous diffusionin a self-similar random advection field // Physical Review E 72, 0611042005)