Аномальные процессы массопереноса в резко-контрастных средах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.14, кандидат физико-математических наук Дворецкая, Ольга Александровна

• Дворецкая, Ольга Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дворецкая, Ольга Александровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Квазиодномерная гребешковая структура

1.1. Постановка задачи

1.2. Режимы переноса примеси

1.3. Полное число активных частиц

1.4. Обсуждение результатов и выводы

ГЛАВА 2. Обобщенная модель Дыхне

2.1. Постановка задачи

2.2. Квазидвумерная гребешковая структура

2.2.1. Режимы переноса и структура хвостов концентрации

2.3. Режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне

2.4. Обсуждение результатов и выводы

ГЛАВА 3. Влияние диффузионного барьера на процессы переноса примеси в регулярно-неоднородной среде

3.1. Постановка задачи и основные соотношения

3.2. Распределение концентрации активных частиц

3.3. Зависимость числа активных частиц от времени

3.4. Режимы переноса

3.5. Асимптотические профили концентрации

3.6. Обсуждение результатов и выводы

ГЛАВА 4. Аномальные режимы переноса примеси во фрактальных средах в присутствии случайно-неоднородного диффузионного барьера

4.1. Постановка задачи и основные соотношения

4.2. Безбарьерный прототип

4.3. Эффективная мощность источника

4.4. Режимы переноса в присутствии диффузионного барьера

4.5. Асимптотические профили концентрации

4.6. Обсуждение результатов и выводы

Заключение

Благодарности

Литература

АНОМАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ МАССОПЕРЕНОСА В РЕЗКО-КОНТРАСТНЫХ СРЕДАХ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аномальные процессы массопереноса в резко-контрастных средах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы

За последние десятилетия накоплен обширный массив данных, свидетельствующих о том, что во многих случаях массоперенос в сильно-неоднородных средах не описывается классическими закономерностями [1—3]. Вместо обычной для классической диффузии зависимости от времени ос yft, где R[t)— размер основной области локализации частиц примеси, часто встречается более общая зависимость

Я(0«'т (!)

с показателем степени у ф 1/2.

Режимы переноса с у < 1/2, более медленные, нежели классические, называют субдиффузионными, а более быстрые с у >1/2 — супер диффузионными. Показатель у >1 возникает при турбулентной диффузии [4—11]. Субдиффузия наблюдается при переносе зарядов в неупорядоченных полупроводниках [12—16], белков и липидов через клеточные мембраны [17—21], миграции частиц примеси в пористых средах [22—23]. В свою очередь, супердиффузионные режимы переноса возникают при движении бактерий [24—25], диффузии атомов и атомных кластеров на поверхности металлов [26, 27], частиц примеси в неоднородных скальных породах [28, 29]. Особый интерес представляет перенос примеси в геологических средах, т.к., согласно современным представлениям, именно они рассматриваются как наиболее безопасное место окончательной изоляции высокорадиоактивных отходов. В связи с этим, знание закономерностей миграции радионуклидов в таких средах исключительно важны для проведения оценок надежности и безопасности возможных захоронений.

Одним из факторов, приводящих к возникновению аномальных режимов переноса, является резкий контраст в распределении структурных характеристик среды, особенно свойственный геологическим формациям [30]. В настоящей работе будут исследованы несколько физических моделей переноса в сильно-неоднородных средах с резким контрастом свойств. По сравнению с предыдущими исследованиями таких систем [31—33], эти модели отличаются, бол ее общей и, соответственно, более реалистичной постановкой, как в отношении механизмов переноса, так и положения источника примеси в среде. В частности, в большинстве существующих неклассических моделей переноса источник примеси занимает

либо усредненное по неоднородностям среды положение, либо локализован в сильно проницаемой подсистеме. Между тем, интерес, в том числе и с точки зрения практических приложений, представляют ситуации, когда источник отделен от основной среды диффузионным (слабопроницаемым) барьером.

Всё сказанное выше позволяет считать тему диссертации актуальной и важной для практики.

Исторический обзор

Впервые отклонение от классического закона диффузии обнаружил Ричардсон в 1926 году [2]. Анализируя экспериментальные данные по переносу частиц в атмосфере, он пришел к выводу, что расстояние между двумя изначально близкими частицами увеличивается со временем ос tvl. На тот момент работа не вызвала интереса, и только спустя десятилетия его идеи привлекли внимание исследователей [5—11]. Теорией аномального переноса в твердых телах, по-видимому, впервые заинтересовались Шер и Монтролл [39], стимулом послужили эксперименты по измерению фотопроводимости аморфных полупроводников [12, 13]. В своих исследованиях они использовали предложенную в 1965 году Монтроллом и Вейсом модель случайных блужданий непрерывных во времени — «continuous time random walks» (CTRW) [40], в рамках которой перенос частицы происходит за счет последовательных прыжков произвольной длины, отделенных друг от друга некоторым, распределенным случайным образом, временем ожидания. Причем распределения вероятностей времен ожидания между двумя последовательными прыжками и/или длины свободного пробега частицы примеси являются степенными функциями. Впоследствии модель CTRW стала чрезвычайно популярной и нашла применение не только в физике [41, 42], но и в биологии [43, 44] и экономике [45—49]. Также были предложены и другие методы исследования аномальной диффузии, такие как дробное броуновского движение (англ.: fractional Brownian motion (FBM)) [50, 51], обобщенное уравнение диффузии (англ.: generalized diffusion equation) [52], уравнение Ланжевена (англ.: Langevin equation) [53—56] и обобщенное уравнение Ланжевена (англ.: generalized Langevin equation) [57—60], обобщенные кинетические уравнения (англ.: generalized master equations (GME)) [61, 62]. Преимущества и недостатки этих методов, а также их развитие широко обсуждаются в литературе (см. например [63—65]), поэтому мы не будем останавливаться на этом подробно, а отметим лишь несколько наиболее важных моментов. На наш взгляд, главный недостаток моделей CTRW и GME заключается в том, что в них достаточно проблематичен учет внешних сил и граничных условий. Кроме того, возникают трудности и при описании систем со сложной динами-

кой, где наблюдается весьма характерная для реальных физических объектов смена режимов переноса во времени. Для учета такого рода динамических эффектов было предложено обобщение модели CTRW [67], впоследствии названное aging CTRW (ACTRW) [68].

В настоящий момент большой популярностью пользуются феноменологические подходы, базирующиеся на уравнениях в дробных производных [69—76], наиболее известным из которых является уравнение Фоккера—Планка в дробных производных (англ.: fractional Fokker-Planck equations (FFPE)) [75, 76]. В отличие от CTRW, при использовании FFPE не возникает трудностей, обусловленных заданием начальных и граничных условий. Однако уравнение Фоккера-Планка в дробных производных не годится для описания процессов переноса в случае, когда потенциал (внешнее поле) зависит от времени [см. например 78]. В дальнейшем обобщение уравнения и на этот случай было получено в работе [77].

Помимо указанных выше математических способов описания аномальной диффузии существуют и альтернативные подходы, основанные на анализе физических моделей [31— 38], которые имеют наглядную интерпретацию и в предельных случаях допускают аналитическое решение.

Несмотря на столь продолжительные и интенсивные исследования аномальной диффузии, многие важные вопросы до сих пор остаются открытыми, некоторые из них будут рассмотрены в настоящей работе, их мы уже обозначали в разделе Актуальность.

Цель работы

Целью работы является теоретическое исследование закономерностей процессов переноса примеси в моделях резко-контрастной среды, демонстрирующих широкий набор неклассических режимов.

Основными задачами диссертации являются:

1. Установление режимов переноса примеси и асимптотических профилей концентрации в квазиодномерной и квазидвумерной гребешковых структурах.

2. Исследование закономерностей переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Исследование роли диффузионного барьера с однородной структурой в процессах переноса примеси в регулярно-неоднородной среде.

4. Анализ влияния случайно-неоднородного распределения параметров диффузионного барьера на процессы переноса примеси во фрактальной среде.

Научная новизна

В работе впервые:

1. Исследован перенос примеси в гребешковой структуре с зубцами конечной длины при наличии адвекции и диффузии в хребте.

2. Получены режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Исследовано влияние однородного диффузионного барьера на режимы переноса примеси и асимптотические профили концентрации в регулярно-неоднородной и фрактальной среде.

4. Проанализированы особенности процессов переноса примеси во фрактальной среде, обусловленные присутствием случайно-неоднородного диффузионного барьера.

Практическая ценность

1. Результаты работы могут быть положены в основу общей теории переноса в геологических средах.

2. Установленные в диссертации закономерности могут быть использованы оценки надежности захоронения радиоактивных отходов в геологических формациях.

3. Полученные результаты могут быть применены как для тестирования, так и для создания, различных численных кодов, предназначенных для моделирования процессов переноса примеси в резко-контрастных средах.

Личный вклад автора состоит в следующем:

1. Проведено исследование процессов переноса примеси в квазиодномерной и квазидвумерной гребешковой структуре.

2. Найдены режимы переноса примеси в обобщенной модели Дыхне в плоскопараллельной геометрии.

3. Проанализировано влияние диффузионного барьера с однородной структурой на процессы переноса примеси в регулярно-неоднородных средах.

4. Исследовано влияние случайно-неоднородного распределения параметров диффузионного барьера на процессы переноса примеси во фрактальной среде.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Резкий контраст в распределении характеристик среды при наличии адвекции в сильнопроницаемой подсистеме может приводить к значительной деформации распределения примеси, так что позади пика образуется степенной шлейф.

2. В обобщенной модели Дыхне окончательный по времени режим переноса зависит от величины скорости адвекции в сильно проницаемой подсистеме. При больших скоростях таким режимом является квазидиффузия, при малых — режим медленной классической диффузии.

3. Диффузионный барьер приводит не только к замедлению роста основной области локализации примеси и перенормировке мощности источника на относительно малых временах, но и к модификации асимптотического профиля концентрации на далеких расстояниях от источника как на малых, так и больших временах.

4. Случайно-неоднородная структура диффузионного барьера (присутствие проколов) приводит к возникновению предвестника в распределении концентрации и дополнительной модификации асимптотического профиля концентрации. В дополнение, при малых площадях поверхности источника возникает значительный статистический разброс эффективной мощности источника и концентрации.

Публикации и апробация работы

По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, 4 из них в изданиях из списка, рекомендованного ВАК Минобрнауки России.

Основные результаты работы были представлены на молодежной научной конференции "Физика и Прогресс" СПбГУ (Санкт-Петербург, 2009), ежегодных конференциях для молодых ученых ИБРАЭ РАН (Москва, 2007-2012), международной конференции "WM Symposia 2011" (Феникс, Аризона, США, 2011), 54-ой научной конференции МФТИ (Долгопрудный, 2011), VIII и IX Курчатовской молодежной школе НИЦ Курчатовский институт (Москва, 2010, 2011).

План работы

Глава 1 посвящена исследованию переноса частиц примеси в квазиодномерной гребешко-вой структуре с конечной длиной зубцов при наличии в хребте адвекции и диффузии, и только диффузии - в зубцах. Найдены режимы переноса примеси и асимптотические профили концентрации.

В Главе 2 рассмотрена задача о переносе примеси в обобщенной модели Дыхне, которая представляет собой плоскопараллельную трещину, окруженную слабопроницаемой матрицей. Приведен анализ вспомогательной задачи - квазидвумерной гребешковой модели. Получены режимы переноса примеси для этих моделей.

В Главе 3 исследовано влияние диффузионного барьера с однородной структурой на процессы переноса примеси в регулярно-неоднородной среде.

Глава 4 посвящена исследованию переноса примеси во фрактальной среде при наличии случайно-неоднородного диффузионного барьера. Проанализировано влияние случайных пространственных флуктуаций параметров барьера на процессы переноса.

Заключение диссертации по теме «Теплофизика и теоретическая теплотехника», Дворецкая, Ольга Александровна

Заключение

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. В квазиодномерной гребешковой структуре с конечной длиной зубцов возможны семь различных режимов переноса, три из которых являются аномальными. В квазидвумерной гребешковой структуре перенос примеси является сильно анизотропным. Вдоль направления скорости адвекции реализуются все режимы, присущие квазиодномерной модели, а в поперечном направлении — только два режима: классическая диффузия и субдиффузия.

2. В обобщенной модели Дыхне окончательным по времени режимом переноса может быть как аномальный режим квазидиффузии, так и режим медленной классической диффузии. Первый реализуется при больших скоростях адвекции, а второй — при малых.

3. В регулярно-неоднородных резко-контрастных средах может происходить значительная деформации распределения примеси: позади пика образуется степенной шлейф, который обусловлен временным уходом частиц в слабопроницаемую область с их последующим возвращением в сильно-проницаемую.

4. Диффузионный барьер на временах, меньших характерного времени диффузии через него, приводит как к перенормировке мощности источника и замедлению роста основной области локализации примеси, так и к модификации асимптотических профилей концентрации. На поздних временах наблюдается только модификация асимптотик.

5. При наличии у диффузионного барьера случайно-неоднородной структуры (проколов) в распределении примеси возникает предвестник. На самых далеких расстояниях от источника, поведение концентрации определяют «самые ранние» частицы, пришедшие через проколы. В результате появляется дополнительная (самая удаленная) ступень концентрационной асимптотики. Вследствие случайного распределения проколов при малых площадях поверхности источника возникает значительный статистический разброс эффективной мощности источника и концентрации.

Благодарности

Выражаю огромную благодарность моему научному руководителю Петру Сергеевичу Кондратенко. Хотелось бы поблагодарить Леонида Владимировича Матвеева за плодотворные дискуссии, советы и поддержку и Валентина Евграфовича Калантарова за помощь при решении организационных вопросов. Большое спасибо всем сотрудникам ИБРАЭ РАН, принимавшим участие в обсуждении полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дворецкая, Ольга Александровна, 2013 год

Литература

1. Isichenko М. В. // Rev. Mod. Phys. — 1992. —Vol. 64. — P. 961

2. Bouchaud J. P., Georges A. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications // Phys. Rep. — 1990. — Vol. 195. — P. 127

3. D. ben-Avraham, S. Havlin. Diffusion and Reactions in Fractals and Disordered Systems. - Cambridge University Press, 2000. P. 315

4. Richardson L. F. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbor graph // Proc. Roy. Soc. Ser. A. —1926. — Vol. 110(756). — P. 709

5. Batchelor G. K. Diffusion in a field of homogeneous turbulence // Proc. Cambridge Phil. Soc. — 1952 — 48(2), P. 345

6. Batchelor G. K. The application of the similarity theory of turbulence to atmospheric diffusion // Q.J.R. Meteorol. Soc. — 1952. — Vol. 76. — P. 133

7. Shlesinger M. F., West B. J., Klafter J. Levy dynamics of enhanced diffusion: application to turbulence // Phys. Rev. Lett. — 1987. — Vol. 58. — P.l 100

8. Sokolov I., Blumen A., Klafter J. Drude approach to anomalous diffusion: application to Richardson dispersion in turbulent flow // Europhys. Lett. — 1999. — Vol. 47. — P. 152

9. Balescu R., Anomalous transport in turbulent plasmas and continuous time random walks // Phys. Rev. E. — 1995. — Vol. 51. — P. 4807

10. Okubo A. A review of theoretical models for turbulent diffusion in the sea // J. Oceanogr. Soc. Jpn. — 1962. — Vol. 20. — P. 286

11. Hentschel H.G.E., Procaccia I. Relative diffusion in turbulent media: The fractal dimension of clouds // Phys. Rev. A. — 1984. — Vol. 29(3). — P. 1461

12. Scher H., Lax M. // J. Non-Crystalline Solids. — 1972. — Vol. 8 — P. 497

13. Scher H., Lax M. // Phys. Rev. B. — 1973. — Vol. 7. — P. 4491

14. Qing Gu et al. Non-Gaussian Transport Measurements and the Einstein Relation in Amorphous Silicon // Phys. Rev. Lett. — 1996. — Vol. 76. — PP. 3196-3199

15. Bernasconi J., Beyeler H. U., Strassler S., and Alexander S. // Phys. Rev. Lett. — 1979. — Vol. 42.— P. 819

16. Blom P. W. M., M.Vissenberg M. C. J. Dispersive hole transport in poly (p-phenylene vinylene) // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 80. — P. 3819

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25,

26,

27,

28,

29

30

31

32

33

34

Amblard F., Maggs A. C., Yurke B. Subdiffusion and anomalous local viscoelasticity

in actin networks // Phys. Rev. Lett. 1996. — Vol. 77. — P. 4470

Douglas S. Martin, Martin B. Forstner, Josef A. Kas. Apparent Subdiffusion Inherent to

Single Particle Tracking // Biophys. J. — 2002. — Vol. 83(4). — P.2109

Schuitz G. J., Schindler H., Schmidt Th. Single-Molecule Microscopy on Model

Membranes Reveals Anomalous Diffusion // Biophys. J. — 1997. — Vol. 73. — P.

1073

Weiss M. et al // Biophys J. — 2003. — Vol. 84(6). — P. 4043

Banks D. S., Fradin C. // Biophys. J. — 2005. — Vol. 89. — P. 2960

Klemm A., Mueller H.-P., Kimmich R. Nmr microscopy of pore-space backbones in

rock, sponge, and sand in comparison with random percolation model objects // Phys.

Rev. E.— 1997. — Vol. 55,—pp. 4413-4423

Drazer G., Zanette D. // Phys. Rev. E. — 1999. — Vol. 60(5). — P. 5858

Gregoire G., Chate H., Tu Y. Active and passive particles: Modeling beads in a

bacterial bath // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 64. — P. 011902.

Klafter J., White B.S., Levandowsky M. in: W. Alt, J. Hoffmann (Eds.) Biological

Motion, Lecture Notes in Biomathematics, Vol. 89, Springer, Berlin, 1990

Stolt K., Graham W. R., Ehrlich G. // J. Chem. Phys. — 1976. — Vol. 65. — P. 3206.

Luedtke W. D., Landman U. // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82. — P. 3835

Sahimi M. Non-linear and non-local transport processes in heterogeneous media: from

long-range correlated percolation to fracture and materials breakdown // Phys. Rep. —

1998, — Vol. 306, —P. 213

Ott A., Bouchaud J.-P., Langevin D., Urbach W. // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 65, — P. 2201

Bolshov L., Kondratenko P., Pruess K., Semenov V. Non-classical Transport Processes in Geologic Media: Review of Field and Laboratory Observations and Basic Physical Concepts // Vadose Zone J. — 2008. — Vol. 7(4). — pp. 1135-1144. Дыхне A. M., Кондратенко П. С., Матвеев Jl. В. // Письма в ЖЭТФ. — 2004. — Т. 80, —С. 46.

Dykhne A., Dranikov I., Kondratenko P., Matveev L. // Vadose Zone J. — 2008. — Vol. 7,— pp. 1181-1190

Dykhne A. M., Dranikov I. L., Kondratenko P. S., Matveev L. V. Anomalous diffusion in a self-similar random advection field // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 72. — P. 061104

Kondratenko P. S., Matveev L. V. // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 75. — P. 051102

35. Kondratenko P. S., Matveev L. V. // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 83. — P. 021106

36. Kondratenko P. S., Matveev L. V., Bolshov L. // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 84. — P.041140

37. Dykhne A. M., Dranikov I. L., Kondratenko P. S. // Journal of Hydraulic Research. — 2005. — Vol. 43(2). — pp. 346-349

38. Кондратенко П. С., Матвеев Л. В. // ЖЭТФ— 2007. — Т. 131. — Р. 494

39. Scher Н., Montroll Е. W. // Phys. Rev. В. — 1975 — Vol. 12. — P. 2455

40. Montroll E. W., Weiss G. H. // J. Math. Phys. — 1965. — Vol. 6. — pp. 167-181

41. Berkowitz В., Cortis A., Dentz M., and Scher H. Modeling non-Fickian transport in geological formations as a continuous time random walk // Rev. Geophys. — 2006, Vol. 44, P. 49

42. Schumer R., Meerschaert M., Baeumer B. Fractional advection-dispersion equations for modeling transport at the Earth surface // Journal of Geophysical Research. — 2009. — Vol. 114, P. F00A07

43. Fedotov S., Iomin A. Migration and proliferation dichotomy in tumor-cell invasion // Phys Rev Lett. — 2007. — Vol. 98(11). — P. 8101

44. Slutsky M. and Mirny L.A. Kinetics of protein-DNA interaction: Facilitated target location in sequence-dependent potential // Biophys J. —2004. —Vol. 87, P.4021

45. Hilfer R. Stochastische Modelle f'ur die betriebliche Planung // GBI-Verlag, Munich, 1984

46. Scalas E., Gorenflo R. and Mainardi F. Fractional calculus and continuous-time finance // Physica A. — 2000. — Vol. 284. — pp. 376-384

47. Mainardi F. et al. Fractional calculus and continuous-time finance II: the waiting-time distribution // Physica A. — 2000. — Vol. 287. — pp. 468481

48. Masoliver J., Montero M., Weiss G.H. Continuous-time random-walk model for financial distributions // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 67. — P. 021112

49. Sabatelli L. et. al. Waiting time distribution in financial markets // Eur. Phys. J. B. — 2002. — Vol. 27. — P. 273

50. Mandelbrot В., van Ness J.W. Fractional Brownian motions, fractional noises and applications // SIAM Review. — 1968. — 10(4). — pp. 422^137

51. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, UK, Chichester: John Wiley and Sons Ltd, 1990

52. O'Shaugnessy В., Procaccia I. // Phys. Rev. Lett. — 1985. — Vol. 54. — P. 455

53. Seshadri V., West B. J. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. — 1982. — Vol. 79. — P. 4501

54. Seshadri. V., West В. J. Linear-systems with levy fluctuation // Physica A. — 1982. — Vol. 113(1-2). —pp. 203-216

55. Peseckis F. Statistical dynamics of stable processes // Phys. Rev. A. — 1987. — Vol. 36,—pp. 892-902

56. Fogedby H. C. Levy Flights in Random Environments // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 73, —P. 2517

57. Kubo R., Toda M., Hashitsume N. Non equilibrium statistical mechanics, Springer Series in Solid state Sciences. — Vol. 31, Berlin: Springer, 1985

58. Muralidhar R., Ramkrishna D., Nakanishi H., Jacobs D. // Physica A. — 1990. — Vol. 167, —P. 539

59. Wang K. G. et al. // Physica A. — 1994. — Vol. 203. — P. 53

60. Wang K. G., Tokuyama M. // Physica A. — 1999. — Vol. 265. — P. 341

61. Kenkre V. M., Montroll E. W., Shlesinger M. F. Generalized Master Equations for Continuous-Time Random Walks // J. Stat. Phys. — 1973. — Vol. 9. — pp. 45-50

62. Oppenheim I., Shuler K. E., Weiss G. H. Stochastic Processes in Chemical Physics: The Master Equation. — Cambridge, Massachusetts: MIT Press, 1977

63. Metzler R., Klafter J. The Random Walk's Guide to Anomalous Diffusion: A Fractional Dynamics Approach // Phys. Rep. — 2000. — Vol. 339. — pp. 1-77

64. Sokolov I. M., Klafter J. From diffusion to anomalous diffusion: a century after Einstein's Brownian motion // Chaos. — 2005. — Vol. 15(2). — P. 026103

65. Barkai E., Fleurov V. N. Generalized Einstein relation: A stochastic modeling approach // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58(2). — P. 1296

66. Allegrini P. Generalized master equation via aging continuous-time random walks // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 68(5). — P. 056123

67. Bouchaud J. P., Monthus C. // J. Phys. A. — 1996. — Vol. 29(14). — P. 3847

68. Barkai E., Cheng Y. Aging Continuous Time Random Walks // J. Chem. Phys. — 2003, —Vol. 118, —P. 6167

69. Balakrishnan V., Anomalous diffusion in one dimension // Physica A. 1985. — Vol. 132, —P. 569

70. Wyss W., The fractional diffusion equation // J. Math. Phys. — 1986. — Vol. 27. — P. 2782

71. Compte A., Stochastic foundations of fractional dynamics // Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53, —P. 4191

72. Metzler R., Glockle W. G., Nonnenmacher T. F. Fractional model equation for anomalous diffusion // Physica A. — 1994. — Vol. 211. — P. 13

73. Gorenflo R., Mainardi F. Fractional Calculus and Stable Probability Distributions // Arch. Mechanics. — 1998. — Vol. 50 (3). — P. 377

74. Lutz E. Fractional transport equations for Levy stable processes // Phys. Rev. Lett. — 2001, —Vol. 86(11).—pp. 2208-2211

75. Kolwankar К. M., Gangal A. D. Local fractional fokker-planck equation // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 80. — P. 214

76. Metzler R., Barkai E., Klafter J. Anomalous diffusion and relaxation close to thermal equilibrium: a fractional Fokker-Planck equation approach // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82(18). —P. 3563

77. Heinsalu E., Patriarca M., Goychuk I., Hanggi P. Use and Abuse of a Fractional Fokker-Planck Dynamics for Time-Dependent Driving // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Vol. 99, —P. 120602

78. Sokolov M., Blumen A., Klafter J. Dynamics of annealed systems under external fields: CTRW and the fractional Fokker-Planck equations // Europhys. Lett. — 2001. — Vol. 56(2). —P. 175

79. Weiss G., Havlin S. // Physica A. — 986. — Vol. 134. — P. 474

80. Архинчеев В. E., Баскин Е. М. //ЖЭТФ. — 1991. — Т. 73. — Вып. 161. — С. 292

81. Забурдаев В. Ю., Попов П. В., Романов А. С., Чукбар К.В. Стохастический транспорт в сложных гребешковых структурах // ЖЭТФ. — 2008. — Т. 133. — Вып. 5. —С. 1140

82. Iomin A., Baskin Е. // Phys. Rev. Lett. — 2004. —Vol. 93. — P. 120603

83. Iomin A., Baskin E. // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 71. — P. 061101

84. Shlomo Havlin, James E. Kiefer, and George H. Weiss , Phys. Rev. A 36, 803 (1987)

85. Чукбар К. В. // ЖЭТФ. — 1995. — Т. 81. — С. 1025

86. Е. Raikh and I. М. Ruzin, in: Mesoscopic Phenomena in Solids, edited by В. I. Altshuler, P. A. Lee, and R. A. Webb, Elsevier Science, Amsterdam, Holland, 1991. — P. 315

87. M. Becker & A. Shapiro // Water Resource Research. — 2000. — Vol. 36. — P. 1677