Анализ нелинейных колебаний тонких пластинок, находящихся в условиях внутреннего и внешнего резонансов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат наук Канду Владимир Валерьевич

• Канду Владимир Валерьевич
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Канду Владимир Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Нелинейные колебания пластинок

1.2. Явление внутреннего резонанса при нелинейных колебаниях

1.2.1. Внутренний резонанс

1.2.2. Висячие мосты и их роль в обнаружении внутреннего резонанса

1.3. Использование дробного исчисления в динамических задачах вязкоупругости

1.4. Уравнения Муштари-Власова для моделирования нелинейного динамического поведения оболочек и пластинок

1.5. Пластинка на упругом основании

1.6. Выводы по первой главе

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАТУХАЮЩИХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИНОК В УСЛОВИЯХ СОЧЕТАНИЯ ВНУТРЕННЕГО И ВНЕШНЕГО РЕЗОНАНСОВ

2.1. Постановка задачи

2.2. Метод решения

2.2.1. Вязкость порядка £

2.2.2 Вязкость порядка £

2.3. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов внутреннего резонанса порядка £

2.3.1. Резонанс два-к-одному

2.3.2. Внутренний резонанс 1:1:2

2.4. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов внутреннего резонанса порядка £2

2.4.1. Резонанс один-к-одному

2.4.2. Внутренний резонанс 1:1:1

2.4.3. Комбинационные резонансы аддитивно-разностного типа

2.5. Основные результаты и выводы по второй главе

3. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

3.1. Численные исследования внутреннего резонанса два-к-одному

2

3.3. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1:2

3.4. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1

3.5. Численные исследования внутреннего резонанса 1:1:1

3.5. Численные исследования комбинационных резонансов аддитивно-разностного типа

3.6. Основные результаты и выводы

4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ НА ВЯЗКОУПРУГОМ ОСНОВАНИИ

4.1. Постановка задачи

4.2. Метод решения

4.3. Численные исследования

4.4. Основные результаты и выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ нелинейных колебаний тонких пластинок, находящихся в условиях внутреннего и внешнего резонансов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследований. Необходимость в изучении динамического поведения пластинчатых элементов с каждым годом возрастает ввиду технологического прорыва во многих отраслях промышленности. Потребности современного мира диктуют направления развития техники, а значит, теоретические исследования должны способствовать экономии материалов при увеличении надежности элементов и объектов строительства, сокращая при этом время монтажа и стоимости.

Исследование вынужденных нелинейных колебаний пластин является неотъемлемой составляющей строительной механики, поскольку пластинки применяются в качестве конструктивных элементов при строительстве зданий и сооружений. На сегодняшний день существуют различные методы исследования вынужденных нелинейных колебаний пластинок: аналитические, экспериментальные и численные. Согласование результатов всех перечисленных методов между собой является первостепенной задачей, влекущей за собой возникновение новых методов, способов, теорий, на выходе которых получим достоверные результаты.

Актуальность исследований вынужденных затухающих нелинейных колебаний тонких пластинок обусловлена необходимостью достоверного определения различных динамических характеристик пластинчатых конструкций, которые напрямую связаны с формами колебаний и отношениями между амплитудами и частотами. Колебательный процесс пластинки может сопровождаться внутренним резонансом. Таким образом. возникновение внутреннего резонанса может привести к особому взаимодействию возбужденных форм колебаний, вследствие чего происходит перекачка энергии между определенными модами.

Для описания сил демпфирования среды, в которой колеблется пластинка, в

инженерном деле чаще всего используется вязкоупругая модель Кельвина-

Фойгта. Согласно этой модели, реологические свойства среды описываются

4

слагаемыми, пропорциональными производной первого порядка по времени от перемещений. Однако это не согласуется с модальным характером затухания и противоречит экспериментальным данным.

В настоящее время дробное исчисление широко используется для решения линейных и нелинейных динамических задач строительной механики, о чем свидетельствуют многочисленные исследования в этой области, обзор которых можно найти в работах проф. Россихина Ю. А. и проф. Шитиковой М. В. [199, 201], где приведены многочисленные примеры использования дробных производных в моделях Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела при изучении динамического поведения осцилляторов, стержней, балок, пластин и оболочек. Применение дробной производной позволяет получить результаты, находящиеся в хорошем соответствии с экспериментальными данными, в отличие от классической модели Кельвина-Фойгта, а также сократить время, необходимое для численной реализации поставленной задачи.

Нелинейные колебания конструкций, в отличие от линейных, обладают рядом характерных, присущих только им, особенностей. Одной из них является перекачка энергии между различными подсистемами при наступлении внутреннего резонанса, который можно определить как явление, имеющее необратимый характер для конструкции, устранение которого возможно только с изменением геометрии определенного элемента или граничных условий, что зачастую невозможно осуществить в натурных условиях. Описанный тип резонанса можно охарактеризовать как конструкционный резонанс, поскольку внешний резонанс, например, можно устранить путем простейшего изменения частоты возмущающей гармонической силы. Оба типа резонансов по отдельности являются крайне неблагоприятными явлениями, а их сочетание может привести к выходу из строя не только одного конструктивного элемента, но и всей конструкции в целом. Сочетания такого рода резонансов разнообразны, поэтому для начала необходимо детально рассмотреть по отдельности все возможные

случаи внутренних резонансов с последующими исследованиями их сочетаний.

5

Степень разработанности темы исследования. Разработке новых методов и подходов исследования нелинейных колебаний пластинок посвящены труды следующих ученых: В.Л. Агамиров, И.Д. Бреславский, А.С. Вольмир, Б.Г. Коренев, Ю.А. Россихин, F.O. Akinpelu, F. Alijani, M. Amabili, A. Leissa, M. Petyt и многие другие отечественные и зарубежные ученые.

Вопросу использования дробных производных в нелинейной динамике пластинок посвятили свои работы Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, W. Chen, K. Hedrih, W. Xu, M. C. Ray, J. T. Katsikadelis, L. Kou, R. Lewandowski, P.D. Spanos и другие исследователи.

Динамическое поведение пластинок на упругом или вязкоупругом основании рассмотрели в своих трудах А.Н. Динник, А.М. Доронин, В. А. Соболева, Б.Г. Коренев, Е.А. Палатников, А.П. Синицын, Г. С Шапиро, В.И. Колчунов, В. А. Гордон и другие авторы.

Научно-техническая гипотеза состоит в том, что при нелинейных колебаниях упругих тонких пластинок возможно проявление внутреннего резонанса, в том числе и в сочетании с внешним резонансом.

Объект исследования - тонкие нелинейные упругие прямоугольные пластинки.

Предмет исследования - модуляция амплитуд и фаз нелинейных колебаний тонких упругих прямоугольных пластинок при свободных и вынужденных затухающих колебаниях.

Цель диссертационной работы. Постановка и решение задачи о нелинейных затухающих колебаниях, вызванных внешним гармоническим воздействием в виде вертикальной сосредоточенной силы, приложенной перпендикулярно к срединной плоскости пластинки, с учетом сочетания внешнего и внутреннего резонансов при наличии демпфирования, которое описывается реологической моделью, содержащей дробную производную.

Задачи диссертации:

1) Разработать алгоритм определения амплитуд при помощи численного

метода и сравнить в дальнейшем с численно-аналитическим методом.

6

2) Изучить влияние параметра дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при затухающих нелинейных свободных и вынужденных колебаниях пластинок, находящихся в условиях внутреннего резонанса;

3) Исследовать влияния малой вязкости на характер колебательных режимов пластинки, движения которой описываются системой трех нелинейных уравнений, в условиях всех возможных внутренних резонансов.

4) Исследовать характер поведения амплитуд при наличии расстройки между частотами и оценить ее влияние на характер колебаний пластинки.

Научная новизна работы заключается в том, что

- решена задача о вынужденных нелинейных затухающих колебаниях тонких упругих пластинок в среде, демпфирующие свойства которой определяются дробными производными, в случае, когда колебательные движения описываются системой трех нелинейных уравнений со связанными линейными частями относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях;

- получена система разрешающих уравнений при помощи обобщенного метода многих временных масштабов, которая описывает модуляцию амплитуд и фаз нелинейных затухающих колебаний шарнирно опертой пластинки, и выполнено ее численное решение при помощи алгоритма Рунге-Кутта четвертого порядка и приближенное аналитическое решение методом вариации произвольной постоянной;

- изучено влияние параметра дробности и амплитуды внешнего гармонического воздействия на характер нелинейных колебаний пластинки и на механизм перекачки энергии между взаимодействующими нелинейными модами колебаний;

- проанализировано влияние расстройки между собственными частотами и частотой внешнего воздействия на характер поведения амплитуд на основе анализа систем шести связанных нелинейных дифференциальных уравнений для различных типов комбинационных резонансов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Явление внутреннего резонанса требует серьезного изучения, поскольку в тонкой пластине всегда присутствуют какие-либо из десяти найденных типов внутреннего резонанса. Полученные в диссертационной работе результаты и разработанный программный комплекс, который зарегистрирован в государственном реестре программ для ЭВМ, могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями при проектировании конструкций, которые в процессе колебаний могут оказаться не только в условиях различных внутренних резонансов, но и сопровождаться внешним резонансом. Применение данного программного комплекса позволит на стадии проектирования обнаружить спектр неблагоприятных собственных частот, которые могут привести к появлению комбинационных внутренних резонансов, и скорректировать спектр за счет изменения геометрических параметров пластинки.

При наличии возмущающей гармонической силы данный подход позволит избегать наложения внешнего резонанса на внутренний, поскольку такое наложение может привести к необратимым последствиям.

Положения, выносимые на защиту:

- постановка задачи о вынужденных нелинейных затухающих колебаниях пластинки в среде, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью с дробной производной по времени;

- алгоритм определения геометрических параметров, при которых возможно возникновение в пластинке различных типов внутреннего резонанса;

- алгоритм расчета нелинейных тонких упругих прямоугольных пластинок, шарнирно опертых по контуру и колеблющихся в среде, описанной реологической моделью, содержащей дробную производную;

- анализ результатов численных исследований модуляции амплитудно-частотных характеристик шарнирно-опертой пластинки для 10 типов внутреннего резонанса при свободных и вынужденных колебаниях;

- решение задачи о нелинейных колебаниях пластинки, лежащей на вязкоупругом основании, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью с дробной производной по времени.

Степень достоверности базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в работе результаты согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов.

Реализация работы:

- разработан программный комплекс численного исследования нелинейных колебаний прямоугольных пластинок в условиях сочетания внутреннего и внешнего резонансов и получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019616176;

- результаты выполненных исследований внедрены в проектной организации «ООО Группа Пятый Сезон».

Апробация работы. Основные положения работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: XLIV International Conference "Advanced Problems in Mechanics" (Санкт-Петербург, 2016); Х Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела (Самара, 2017); EURODYN 2017 - X International Conference on Structural Dynamics (Рим, 2017); VII международном симпозиуме «Актуальные проблемы компьютерного моделирования конструкций и сооружений» (APCSCE 2018) (Новосибирск, 2018); на юбилейной ХХХ международной инновационной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2018); на конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2018); 20-ой международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и архитектуры» (Тула, 2019); 2nd International Conference on Mathematical Modelling in Applied Sciences ICMMAS'19 (Белгород, 2019).

9

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 научных работ, в том числе 2 статьи в изданиях, рекомендуемых ВАК РФ, 5 статей в изданиях, индексируемых в научных базах данных Scopus и Web of Science, и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы и 2-х приложений. Полный объем работы составляет 164 страниц, в том числе 126 страниц основного текста, который иллюстрируется 41 рисунками и 1 таблицей. Список литературы содержит 269 источников, в том числе 220 иностранных.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе приводится обзор существующей литературы о нелинейных колебаниях пластинок, материал которых описывается различными моделями. Наряду с классическим использованием в динамических задачах производной первого порядка по времени применяется дробная производная, позволяющая варьировать не только свойствами материала, но и вязкостью среды. Приведены работы, в которых используются дробные производные в моделях Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела. Кратко описана история обнаружения явления внутреннего резонанса в висячих мостах. Рассмотрены экспериментальные и теоретические исследования свободных и вынужденных нелинейных затухающих колебаний пластинок в условиях внутреннего резонанса. Приведены определяющие уравнения Муштари-Власова. Также дан краткий обзор исследований пластинок на упругом и вязкоупругом основании.

Вторая глава посвящена вынужденным нелинейным затухающим колебаниям упругих пластин, шарнирно опертых по контуру, в среде, демпфирующие свойства которой определяются дробными производными по времени, в случае, когда колебательные движения описываются системой трех

нелинейных уравнений Муштари-Власова относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, линейные части которых взаимосвязаны. В качестве метода решения нелинейных уравнений используется обобщенный метод многих временных масштабов, который является одним из методов теории возмущений.

Приведена классификация типов внутреннего резонанса в зависимости от порядка малости вязкости, учитываемой в уравнениях колебаний. Получены системы разрешающих уравнений для амплитуд и фаз колебаний в случае сочетаний внутреннего и внешнего резонансов.

В третьей главе приведены результаты численных исследований всех случаев сочетания внешнего и десяти типов внутреннего резонанса при произвольном значении параметра дробности 0 < у < 1. Для случая два-к-одному проведено сравнение результатов, полученных численным и аналитическим методами. Найдены перемещения точек срединной поверхности и изгибающие моменты при свободных и вынужденных затухающих колебаниях, проанализированы стационарные колебания на фазовой плоскости. Исследовано влияние расстройки между собственными частотами и частотой внешней возмущающей силы. Для сочетания внешнего и внутреннего резонанса один-к-одному проведены численные исследования на фазовой плоскости.

В четвертой главе исследованы свободные и вынужденные нелинейные затухающие колебания упругой пластинки, шарнирно опертой по контуру на вязкоупругом основании, колеблющейся в среде, демпфирующие свойства которой описаны дробной производной по времени. Получена разрешающая система нелинейных дифференциальных уравнений, которая позволяют численно исследовать динамическое поведение пластинки в зависимости от варьирования параметром дробности как среды, так и вязкоупругого основания.

ГЛАВА 1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.1. Нелинейные колебания пластинок

Изучение динамических характеристик деформируемых систем зачастую связано с развитием мира технологий и техники, что влечет за собой увеличение скоростей и ускорений, например, транспорта, станков и т.д. Повышение производительности строительства и конструирования таких значимых объектов неотъемлемо связано с облегчением и усовершенствованием элементов: в строительстве сокращается время монтажа и стоимости, в авто-, судо- и авиастроении происходит увеличение мощностей и скоростей при одновременном уменьшении потребления топлива. Для грамотного уменьшения веса элемента или конструкции в целом необходимо досконально изучать задачу устойчивости и исследовать динамическое поведение объекта. Внедрение новых технологий требует более тщательного изучения способа приложения и характера изменения нагрузок во времени. Так, импульсивно приложенная нагрузка, быстро возрастающая с течением времени по нелинейному закону и затем убывающая с определенной скоростью, может встретиться в задачах проектирования металлургических заводов, взлетно-посадочных полос, где все чаще используют современные материалы, демонстрирующие нелинейное поведение. Таким образом, за последнее время возрос интерес к нелинейному динамическому поведению упругих [69, 260] пластин. Всесторонний обзор в этой области, включая экспериментальные результаты, можно найти в [65, 66, 69, 70, 94]. При этом демпфирующие силы обычно учитываются по гипотезе Рэлея [70, 208], что приводит к модальному демпфированию [18], то есть предполагается, что каждая собственная мода нелинейных колебаний обладает уникальным коэффициентом демпфирования, зависящим от его собственной частоты.

Литературный обзор нелинейных колебаний упругих пластинок приведен в СЫа [100,101], БаШуашоогШу [219]; изогнутые пластинки и оболочки были рассмотрены АшаЬШ и Ра1ёоивв1в [75] и А1уаш и АшаЬШ [61]. Свободные

колебания ортотропной пластинки Миндлина рассмотрены также в [154]. Для того чтобы уловить специфику нелинейных колебаний рассматриваемых пластинок, в работе [112] использовались различные типы закрепления пластин.

Любопытной особенностью тонких пластинок можно считать увеличение усилий в срединной плоскости до критического максимума во время значительной скорости возрастания нагрузки при незначительных прогибах. Данный феномен является причиной появления высших форм потери устойчивости. Теоретические и экспериментальные исследования поведения пластинок при быстром нагружении подтверждают данную особенность, так как при высоких скоростях нагружения происходит скачкообразное перемещение пластинки к новому равновесному положению. С данного момента начинаются нелинейные колебания вокруг новой установившейся равновесной формы с большим прогибом. Описанное явление называют динамическим выпучиванием или условно-динамической потерей устойчивости. Динамическая устойчивость пластинок и цилиндрических панелей в нелинейной постановке была впервые исследована В. В. Болотиным, А. С. Вольмиром и другими авторами [9]. В работе [181] исследовали взаимодействие различных мод колебаний оболочки и бифуркаций при параметрическом возбуждении с использованием моделей систем с четырьмя начальными модами.

Во время колебательного процесса перемещения срединной плоскости пластинки вызывают значительное изменение геометрии пластинки, так что уравнения равновесия необходимо составлять с учетом изменения формы и размеров пластины, т. е. проявляется геометрическая нелинейность. Прямоугольная пластинка с геометрической нелинейностью рассматривалась в [94], где учитывались две моды нерезонансных колебаний. Ранее в работах [188, 189] ШЬе1го и Ре1у1 более подробно изложили свои методы для вынужденных колебаний пластинки с геометрической нелинейностью [190]. Данное явление для свободных колебаний пластинки описали в работе [127] при помощи иерархического подхода [187], который сопоставлялся с методом продолжений в [192], используя за основу уравнения фон Кармана. ДшаЬШ в [65] рассмотрел

13

геометрически нелинейную защемленную изотропную пластинку Кирхгофа с концентрированными массами. Более подробно рассмотрено поведение свободно опертых и защемленных пластинок с геометрической нелинейностью в работе P.C. Dumir [111].

Pai и Nayfeh [173] представили общую теорию нелинейных колебаний упругих композитных пластинок с учетом геометрической нелинейности. Нерезонансное взаимодействие прямоугольных пластинок при их геометрически нелинейном деформировании исследовано в [6] с помощью нелинейных нормальных форм Каудерера-Розенберга.

Обзор изгибных колебаний упругих прямоугольных пластин со свободными краями дан в [24]. Нелинейный высокочастотный флаттер пластины рассматривался в [246]. Круглые в плане пластинки были рассмотрены в [238], где учитывались первые девять собственных мод колебаний. Нелинейные колебания тонких прямоугольных пластинок с учетом волн турбулентности рассмотрены в диссертационной работе Ducceschi [109].

В книге [236] были продемонстрированы способы моделирования контактных задач с пластинками и динамическое моделирование пластинчатых элементов в строительной конструкции при помощи метода конечных элементов (МКЭ [178]). МКЭ использовался также в [87], где применялся иерархический подход для описания свободных нелинейных колебаний пластинки [114]. Различные способы нагружения пластинок изучались методом конечных элементов в [269]. Нелинейные колебания пластинки Миндлина [96] с большой толщиной рассматривались в [151, 184].

Дискретно-континуальный подход применялся в определении собственных

значений и собственных функций краевой задачи расчета упругой ортотропной

пластины [3]. Авторы предыдущей работы численно реализовали дискретно-

континуальный метод конечных элементов для определения собственных частот

упругих изотропных тонких пластинок и конструкции в целом [4,5]. Свободные

колебания ортотропной пластинки также можно найти в [255]. В магистерской

диссертации [26] рассматривалась динамическая модель резонанса в нелинейных

14

системах при помощи математического пакета Maple. Описание различных осцилляторов и пластинок различной формы можно найти в [216].

Шарнирно опертую пластинку, подверженную распределенной гармонической нагрузке вдоль граней, параллельных оу, - p = p0 - p1 cos Q2t, а также вертикальной силе, рассматривают в [88], использовав уравнения фон Кармана и преобразование Галеркина. Перемещения и нагрузку авторы раскладывают по принципу Навье, а на выходе получают систему двух дифференциальных уравнений второго порядка. Были построены численные результаты в Matlab с варьированием коэффициентов демпфирования. Также рассмотрены как резонансные, так и нерезонансные случаи. Такой же набор внешнего возмущения использовали в [240] для пластинки из пьезоэлектрического материала, где учитывался субгармонический метод Мельникова относительно системы шести уравнений. Свободные колебания прямоугольных ортотропных пластин изучались в [254] для двух способов закрепления (свободное и жесткое по контуру пластины). Пластинки с консольным закреплением изучались в [160]. Вынужденные колебания дискретных систем рассматривались в [81], где сила представлена в следующем виде:

ql = A0 + A1cos Qt + A2cos2Qt + A3cos3Qt. (1.1)

Постановка задачи о свободных колебаниях пластинки была осуществлена в [113] при помощи смешанной конечно-элементной формулировки Ритца, а нелинейные колебания свободно опертой пластинки рассматривались в [53], где за основу взято одно из уравнений и функция напряжения.

В статье [10] рассматривается трехслойная пластинка прямоугольной формы из неоднородного ортотропного материала, к которой прикладываются сейсмические воздействия. Было получено решение задачи на собственные значения, а также уравнение для частоты собственных колебаний. Показано влияние ортотропности и неоднородности материала на характер колебаний и критические параметры пластинки. Balkan и Mecitoglu [85] нашли подход к

проблеме нелинейной динамики композитных многослойных пластинок путем воздействия взрывной нагрузки.

Двуслойная нанопластинка была рассмотрена в [250] при различных начальных условиях, а в [252] нелинейные вынужденные колебания шарнирно опертой многослойной пластинки рассматривались при помощи метода гармонического баланса.

В работе [263] рассмотрены различные неравномерные граничные условия многослойной пластинки умеренно большой толщины (см. рисунок 1.1). Композитные пластинки с использованием нанотрубок рассматривались в [104].

Рисунок 1.1 - Виды неоднородный частичных закреплений пластинок: а) угловое б) точечно центральное в) восьмиточечное г) х = 0 - а /2; у = 0 - Ь / 2 д)

х = а / 4- 3а /4;у = Ь / 4- 3Ь / 4.

В работе [35] рассматривалась модель жесткой прямоугольной тонкой пластинки, свойства которой в точности повторяли натурный объект, а именно элемент солнечной батареи, принадлежащей трансформируемой космической конструкции. Влияние внешней воздушной среды на частоты и декременты колебаний было смоделировано и оценено. Были изготовлены шесть моделей для экспериментальных исследований и выполнены в масштабе 1:10, различающихся

между собой лишь массово-инерционными характеристиками и варьированием жесткости подвески. В связи с небольшими размерами моделей и малыми скоростями движения для воспроизведения чисел Рейнольдса, близких к натурным, и особенными характеристиками воды, а именно кинематической вязкостью, которая в 15 раз меньше, чем у воздуха, было решено моделировать внешнюю среду при помощи воды. Благодаря испытаниям было обнаружено существенное снижение декрементов с уменьшением амплитуды колебаний для всех вариантов моделей, жесткостей подвески и видов окружающей среды. Результаты испытаний в воздушной среде показали, что независимо от жесткости подвески амплитудная зависимость декремента колебаний практически одинакова для всех моделей.

Отечественные экспериментальные исследования также многообразны в области нелинейных колебаний пластин. Обзор основных работ, посвященных изучению больших прогибов пластин, подверженных действию равномерно распределенной поперечной нагрузки можно найти в [29]. В математическом отношении эти задачи сводятся к решению нелинейных уравнений Кармана. Основные результаты показали, что для квадратной пластинки со свободно-смещающимися краями опасная зона при малых прогибах расположена в центре пластины, а при больших - в углах пластинки. Численные результаты подтвердили экспериментальные данные.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Канду Владимир Валерьевич, 2019 год

Список литературы

1. Амбарцумян, С. А.Теория анизотропных пластин: Прочность. Устойчивость и колебания / С. А. Амбарцумян. - Москва: Наука, 1967. - 266 с.

2. Агамиров, В. А. Динамические задачи нелинейной теории оболочек / В. Л. Агамиров. - М.: Наука, 1990. - 269 с.

3. Акимов, П. А. Операторная постановка проблемы определения собственных значений и собственных функций краевой задачи расчета упругой изотропной цилиндрической оболочки с кусочно- постоянными физико-геометрическими параметрами по основному направлению в рамках дискретно-континуального подхода / П. А. Акимов, М. Л. Мозгалева // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: сб. тр. / Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет. - Москва, 2012. - С. 72-78.

4. Акимов, П. А. Усовершенствованная вейвлет-реализация дискретно-континуального метода конечных элементов для локального решения двумерных задач расчета конструкций / П. А. Акимов, М. Л. Мозгалева, В. Н. Сидоров, А. Моджтаба, О. А. Негрозов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2014. - Т. 10, № 2. - С. 29-37.

5. Акимов, П. А. Многоуровневая вейвлет-реализация дискретно-континуальных методов локального расчета строительных конструкций. Часть 3: задача об изгибе тонкой пластины / П. А. Акимов, М. Л. Мозгалева, В. Н. Сидоров, В. А. Харитонов // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики: сб. тр. / Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет. - Москва, 2013. - С. 173-180.

6. Бреславский, И. Д. Нерезонансное взаимодействие двух мод колебаний прямоугольных пластин при их геометрически нелинейном деформировании / И. Д. Бреславский, К. В. Аврамов // Доповад Нащонально! Академи наук Украши. — 2013. — № 5. - С. 55-59.

7. Валеев, К. Г. Об опасности комбинационных резонансов / К. Г. Валеев //

127

Прикладная математика и механика. - 1963. - № 6. - С. 1134-1142.

8. Витт, А. А. Колебания упругого маятника как пример двух параметрически связанных линейных систем / А. А. Витт, Г. С. Горелик // Журнал технической физики. - 1933. Т. 3, № 2-3. - С. 294-307.

9. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А.С. Вольмир. -М.: Наука. 1972. - 432 с.

10. Гараисаев, С. Н. О собственных колебаниях и сейсмостойкости трехслойных неоднородных ортотропных прямоугольных пластинок / С. Н. Гараисаев // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2014. - № 3(7). - С. 4-7.

11. Голубков, А. В. Комбинационные параметрические резонансы нелинейных систем.: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06 / Голубков Александр Васильевич. - М., 1984. - 176 с.

12. Гордон В. А. Осесимметричные деформации круглой пластинки переменной толщины с центральным жестким включением / В. А. Гордон, В. И. Брусова // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. - 2008. -№1. - С. 124-136.

13. Гордон В.А. Осесимметричные колебания кольцевой пластинки при внезапном изменении условий опирания / В. А. Гордон, Н. В. Клюева, В. И. Брусова // Строительная механика и расчет сооружений. - 2009. - №1 (222). - С. 41-43.

14. Динник, А.Н. Круглая пластинка на упругом основании / А. Н. Динник // Изв. Киевск. политехн. ин-та. Отд. физ.-мат. и хим. - 1910. - Кн. 3. - С. 287-308.

15. Доронин, А.М. Собственные колебания круглой пластинки, лежащей на переменном упругом основании типа Винклера / А. М. Доронин, В. А. Соболева // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. - 2014. - № 1 (4). - С. 254-258.

16. Канду, В. В. Вывод определяющих уравнений, описывающих вынужденные

колебания нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего

резонанса 1:1:2 / В. В. Канду // Сборник трудов победителей конкурса научно-

исследовательских работ студентов и аспирантов ВГТУ по приоритетным

128

направлениям развития науки и технологий / Воронежский государственный технический университет. -Воронеж, 03-28 апреля 2017 г. - С. 30-31.

17. Канду, В.В. Численный анализ вынужденных колебаний нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего резонанса 1:1. / В. В. Канду // Труды конференции: Юбилейная XXX Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения / Изд-во ИМАШ РАН. - Москва, 20-23 ноября 2018 г. - С. 312-315.

18. Клаф, Р. Динамика сооружений / Р. Клаф, Д. Пензиен; пер. с англ. Л. Ш. Климник, А. В. Швецова. - М.: Стройиздат, 1979. - 320 с.

19. Ковалев, В. В. Нелинейные параметрические колебания гибкой вязкоупругой балки, лежащей на вязкоупругом основании / В. В. Ковалев, Ю. А. Россихин // Прикладные задачи статики и динамики мостов: межвузовский сб. науч. тр. / Воронежский государственный университет. - Воронеж, 1988. - С. 97-102.

20. Коренев, Б. Г. I. О расчете круглой пластины, лежащей на сплошном однородном упругом основании. II. Колебания круглой пластины с опорами точечного типа или присоединенными сосредоточенными массами. III. Колебания круглой пластины на упругом основании / Б. Г. Коренев // Труды Днепропетровского инженерно-строительного института. - Днепропетровск, 1940. - 40 с.

21. Коренев, Б. Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании / Б. Г. Коренев. - Москва: Гос. изд-во лит. по строительству и архитектуре, 1954. - 232 с.

22. Коренев, Б. Г. Расчет плит на упругом основании / Б. Г. Коренев, Е. И. Черниговская. - Москва: Госстройиздат, 1962. - 356 с.

23. Куликов, А.Н. Резонанс собственных частот в задаче о флаттере пластинки в сверхзвуковом потоке газа / А. Н. Куликов, Г. В. Пилипенко // Моделирование и анализ информационных систем. - 2011. - №18(1). - С. 56-67.

24. Мелешко, В. В. Изгибные колебания упругих прямоугольных пластин со свободными краями : от Хладни (1809) и Ритца (1909) до наших дней / В. В. Мелешко, С. О. Папков // Акустичний вюник. - 2009. Т. 12, № 4. - С. 34-51.

25. Милейковский, И. Е. К построению физических зависимостей

129

деформирования железобетонных пластин и оболочек при обобщенном плоском напряженном состоянии / И. Е. Милейковский, В. И. Колчунов, П. И. Оспищев // Сборник статей конференции: Нелинейные Методы Расчета Пространственных Конструкций / Московский инженерно-строительный институт им. В.В. Куйбышева. - Москва. - 1988. - С. 59-67.

26. Михайлов, К.В. Динамическая модель резонанса в нелинейных системах в математическом пакете Maple XVII.: магистерская диссертация / К. В. Михайлов. - Казань, 2014. - 44 с.

27. Найфэ, А. Х. Методы возмущений / А. Х. Найфэ; пер. с англ. А. А. Меликяна -М.: Мир, 1976. - 456 с.

28. Нгензи, Ж. К. Анализ нелинейных колебаний упругих прямоугольных пластинок в вязкой среде с изменяемой вязкостью при наличии внутренних резонансов: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.02.04 / Ж. К. Нгензи; [Место защиты: Воронежский государственный университет]. -Воронеж, 2016. - 147 с.

29. Нехотяев, В. В. Большие прогибы тонких упругих пластин / В. В. Нехотяев, А. В. Саченков // Исследования по теории пластин и оболочек: сб. тр. / Изд-во Казанского ун-та - Казань, 1972. - № 8 - С. 42-76.

30. Нигматулин, Р. Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация / Р. Р. Нигматулин // Теоретическая и математическая физика. - 1992. - Т. 90, № 3. - С. 354-368.

31. Овсянникова, Е. И. Анализ затухающих колебаний линейных и нелинейных вязкоупругих пластин, свойства которых определяются дробными производными: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 01.02.04. - Воронеж, 2002. - 120 с.

32. Палатников, Е.А. Прямоугольная плита на упругом основании / Е.А. Палатников - Издательство Стройиздат, 1964. - 236 с.

33. Палатников, Е.А. Расчет железобетонных плит покрытий аэропортов / Е.А. Палатников - Москва: Издательство Оборонгиз, 1961. - 96 с.

34. Пановко, Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем- современные

130

концепции, парадоксы и ошибки / Я.Г. Пановко, И.И. Губанова; под ред. И.К. Снитко. - Москва, 1967. - 420 с.

35. Присекин, В. Л. Моделирование затухающих колебаний пластинки в вязкой жидкости / В. Л. Присекин, В. А. Бернс, В. Н. Лушин, Д. А. Маринин // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. -2014. -Т. 57, №4. - С. 155-166.

36. Программный комплекс численного исследования нелинейных колебаний прямоугольных пластинок в условиях сочетания внутреннего и внешнего резонансов: свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2019616176 Российская Федерация / В. В. Канду, М. В. Шитикова. - № 2019614714; заявл. 26.04.2019; опубл. 20.05.2019, - 1 с.

37. Раев-Богословский, Б. С. Жесткие покрытия аэродромов / Б. С. Раев-Богословский, Г. И. Глушков, А. С. Ткаченко и др. - Москва: Автотрансиздат, 1961. - 322 с.

38. Россихин, Ю. А. Численный анализ вынужденных колебаний нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего резонанса 1:1:2 / Ю. А. Россихин, М. В. Шитикова, В. В. Канду // Материалы Х Всероссийской конференции по механике деформируемого твердого тела. - Самара, 18 - 22 сентября 2017 г. - С. 10-12.

39. Россихин, Ю.А. Затухающие колебания линейной вязкоупругой пластинки / Ю. А. Россихин, М. В. Шитикова, Е. И. Овсянникова // Научный вестник воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: современные методы статического и динамического расчета зданий и сооружений. - 2004. - № 1. - С. 34-37.

40. Россихин, Ю.А. Свободные затухающие нелинейные колебания вязкоупругой пластинки, находящейся в условиях внутреннего резонанса / Ю. А. Россихин, М. В. Шитикова, Е. И. Овсянникова // Математика. Компьютер. Образование: тезисы / Межрегиональная Общественная Организация "Женщины в науке и образовании". - Москва, 2002. - С. 146.

41. Самко, С. Г. Дробные интегралы и производные: Теория и приложения / С. Г.

131

Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. - Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

42. Сильницкий, Ю. М. Висячие мосты / Ю. М. Сильницкий. - Ленинград, 1969. -86 с.

43. Симвулиди, И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании (2-е издание) / И. А. Симвулиди. - Москва: Издательство Высшая школа, 1968. - 431 с.

44. Синицын, А. П. Расчет балок и плит на упругом основании за пределом упругости (2-е издание) / А. П. Синицын. - Москва: Стройиздат, 1974. - 176 с.

45. Шапиро, Г.С. Изгиб полубесконечной плиты, лежащей на упругом основании / Г. С. Шапиро // Прикладная математика и механика. - 1943. - Т. 7, № 4. - С. 316320.

46. Шитикова, М. В. Моделирование вынужденных колебаний нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего резонанса 1:1:1 / М. В. Шитикова, В. В. Канду // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сб. тр. / Издательство: научно-исследовательские публикации. - Воронеж, 17-19 декабря 2018. - С. 1295-1300.

47. Шитикова, М. В. Постановка задачи о свободно опертой по контуру вязкоупругой пластинки на вязкоупругом основании, колеблющейся в вязкой среде / М. В. Шитикова, В. В. Канду // Актуальные проблемы строительства, строительной индустрии и архитектуры / Издательство ТулГУ. - Тула, 28-29 июня 2019. - С. 330-334.

48. Шитикова, М. В. Численный анализ вынужденных колебаний нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего резонанса один к одному / М. В. Шитикова, В. В. Канду // Известия высших учебных заведений, Строительство. - 2018. - Т. 12, № 720. - С. 9-22.

49. Шитикова, М. В. Численный анализ вынужденных нелинейных колебаний

пластинок в вязкоупругой среде при наличии аддитивного комбинационного

резонанса / М. В. Шитикова, В. В. Канду // Актуальные проблемы компьютерного

моделирования конструкций и сооружений / Новосибирский государственный

архитектурно-строительный университет. - Новосибирск, 01-08 июля 2018. - С.

132

50. Abdel-Ghaffar, A. M. Nonlinear free vibrations of suspension bridges: Theory / A. M. Abdel-Ghaffar, A. M. Asce, L. I. Rubin // Journal of Engineering Mechanics. -1983. - Vol. 109. - Issue 1. - pp. 313-329. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1983)109:1(313)

51. Abdel-Ghaffar, A. M. Ambient vibration tests of suspension bridge / A. M. Abdel-Ghaffar, G. W. Housner // Journal of Engineering Mechanics. - 1978. - Vol. 104. -Issue 5. - pp. 983-999.

52. Abdel-Ghaffar, A. M. Nonlinear free vibrations of suspension bridges: Application / A. M. Abdel-Ghaffar, L. I. Rubin // Journal of Engineering Mechanics. - 1983. - Vol. 109. - Issue 1. - pp. 330-345. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1983)109:1(330)

53. Abdel-Ghaffar, A. M. Ambient vibration studies of Golden Gate bridge: I. Suspended structure / A. M. Abdel-Ghaffar, R. Scalar // Journal of Engineering Mechanics. - 1985. - Vol. 111. - Issue 4. - pp. 463-482. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1985)111:4(463)

54. Abe, A. One-to-one internal resonance of symmetric crossply laminated shallow shells / A. Abe, Y. Kobayashi, G. Yamada // Journal of Applied Mechanics. - 2001. Vol. 68. - Issue 4. -pp. 640-649. DOI: 10.1115/1.1356416

55. Aboudi, J. Dynamic stability analysis of viscoelastic plates by Lyapunov exponents / J. Aboudi, G. Cederbaum, I. Elishakoff // Journal of Sound and Vibration. - 1990. Vol. 139. - Issue 3. -pp. 459-467. DOI: 10.1016/0022-460X(90)90676-Q

56. Afkar, A. Analysis of free and forced vibration of FGM rectangular floating plates (in contact with fluid) using the theory of Mindlin / A. Afkar, M. N. Kamari // Journal of Materials and Environmental Science. - 2016. Vol. 7. - Issue 9. - pp. 3264-3277.

57. Aghayari, R. Homotopy analysis method for large-amplitude nonlinear vibration of flat plates / R. Aghayari, J. Sheikhi // Journal of Mechanical and Civil Engineering. -2016. Vol. 2. - Issue 10. - pp. 1-10.

58. Akinpelu, F.O. The nonlinear fractonally oscillator with strong quadratic damping force / F. O. Akinpelu // Research Journal of Applied Sciences. - 2011. Vol. 6. - Issue 7. - pp. 398-404. DOI: 10.3923/rjasci.2011.398.404

133

59. Alijani F., M. Damping for large-amplitude vibrations of plates and curved panels, part 1: Modeling and experiments / F. Alijani, M. Amabili, P. Balasubramanian, S. Carra, G. Ferrari, R. Garziera // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2016.

- Vol. 85. - pp. 23-40. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2016.05.003

60. Alijani, F. Non-linear static bending and forced vibrations of rectangular plates retaining non-linearities in rotations and thickness deformation / F. Alijani, M. Amabili // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - Vol. 67. - pp. 394-404. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2014.10.003

61. Alijani, F. Non-linear vibrations of shells: A literature review from 2003 to 2013 / F. Alijani, M. Amabili // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - pp. 125. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2013.09.012

62. Alijani, F. Nonlinear vibrations of laminated and sandwich rectangular plates with free edges. Part 1: Theory and numerical simulations / F. Alijani, M. Amabili // Composite Structures. - 2013. - Vol. 105. - pp. 422-436. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.05.034

63. Alijani, F. Nonlinear vibrations of laminated and sandwich rectangular plates with free edges. Part 2: Experiments & comparisons / F. Alijani, M. Amabili, G. Ferrari, V. D'Alessandro // Composite Structures. - 2013. - Vol. 105. - pp. 437-445. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.05.020

64. Alijani, F. Theory and experiments for nonlinear vibrations of imperfect rectangular plates with free edges / F. Alijani, M. Amabili // Journal of Sound and Vibration. -2013. - Vol. 332. - Issue 14. - pp. 3564-3588. DOI: 10.1016/j.jsv.2013.02.015

65. Amabili, M. Geometrically nonlinear vibrations of rectangular plates carrying a concentrated mass / M. Amabili // Journal of Sound and Vibration. - 2010. - Vol. 329.

- Issue 21. - pp. 4501-4514. DOI: 10.1016/j.jsv.2010.04.024

66. Amabili, M. Nonlinear damping in large-amplitude vibrations: modelling and experiments / M. Amabili // Journal of Sound and Vibration. - 2018. - Vol. 93. - Issue 1. - pp. 5-18. DOI: 10.1007/s11071-017-3889-z

67. Amabili, M. Nonlinear damping in nonlinear vibrations of rectangular plates: Derivation from viscoelasticity and experimental validation / M. Amabili // Journal of

134

the Mechanics and Physics of Solids. - 2018. - Vol. 118. - pp. 275-292. DOI: 10.1016/j.jmps.2018.06.004

68. Amabili, M. Nonlinear mechanics of shells and plates in composite, soft and biological materials / M. Amabili // Cambridge University Press. - 2018. 567 p. DOI: 10.1017/9781316422892

69. Amabili, M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates / M. Amabili // Cambridge University Press. - 2008. - 374 p. DOI: 10.1017/CB09780511619694

70. Amabili, M. Nonlinear vibrations of rectangular plates with different boundary conditions: Theory and experiments / M. Amabili // Computers and Structures. - 2004.

- Vol. 82. - Issue 31-32. - pp. 2587-2605. DOI: 10.1016/j.compstruc.2004.03.077

71. Amabili, M. Nonlinear vibrations of viscoelastic rectangular plates / M. Amabili // Journal of Sound and Vibration. - 2016. - Vol. 362. - pp. 142-156. DOI: 10.1016/j.jsv.2015.09.035

72. Amabili, M. curved panels, part 2: Identification and comparisons / M. Amabili, F. Alijani, J. Delannoy // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2016. - Vol. 85. - pp. 226-240. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2016.05.004

73. Amabili, M. Displacement dependent pressure load for finite deflection of doubly-curved thick shells and plates / M. Amabili, I. D. Breslavsky // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2015. - Vol. 77. - pp. 265-273. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2015.09.007

74. Amabili, M. Nonlinear vibrations of rectangular laminated composite plates with different boundary conditions / M. Amabili, K. Karazis, K. Khorshidi // International Journal of Structural Stability and Dynamics. - 2011. - Vol. 11. - Issue 4. - pp. 673695. DOI: 10.1142/S0219455411004294

75. Amabili, M. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid-structure interaction / M. Amabili, M. P. Païdoussis // Applied Mechanics Reviews. - 2003. - Vol. 56. - Issue 4.

- pp. 349-381. DOI: 10.1115/1.1565084

76. Anague Tabejieu, L. M. On the dynamics of Rayleigh beams resting on fractional-order viscoelastic Pasternak foundations subjected to moving loads / L. M. Anague

135

Tabejieu, B. R. Nana Nbendjo, P. Woafo // Chaos, Solitons & Fractals. -2016. - Vol. 93. - pp. 39-47. DOI: 10.1016/j.chaos.2016.10.001

77. Anlas, G. Nonlinear vibrations of a simply supported rectangular metallic plate subjected to transverse harmonic excitation in the presence of a one-to-one internal resonance / G. Anlas, O. Elbeyli // Nonlinear Dynamics. - 2002. - Vol. 30. - Issue 1. -pp. 1-28.

78. Ansari, M. Internal-external resonance of beams on non-linear viscoelastic foundation traversed by moving load / M. Ansari, E. Esmailzadeh, D. Younesian // Nonlinear Dynamics. - 2010. - Vol. 61. - Issue 1-2. - pp. 163-182. DOI: 10.1007/s11071-009-9639-0

79. Ari, M. Vibrations suppression of fractionally damped plates using multiple optimal dynamic vibration absorbers / M. Ari, R. T. Faal, M. Zayernouri // International Journal of Computer Mathematics. - 2019. - pp. 1-24. DOI: 10.1080/00207160.2019.1594792

80. Atanackovic, T.M. Fractional calculus with applications in mechanics: vibrations and diffusion processes / T. M. Atanackovic, S. Pilipovic, B. Stankovic, D. Zorica // Wiley: Series EditorNoël Challamel. -2014. - 315 p. DOI:10.1002/9781118577530

81. Avramov, K. V. Analysis of forced vibrations by nonlinear modes / K. V. Avramov // Nonlinear Dynamics. -2008. - Vol. 53. - Issue 1-2. - pp. 117-127.

82. Babouskos, N. Dynamic analysis of viscoelastic plates of variable thickness modeled with fractional derivatives / N. Babouskos, J. T. Katsikadelis // Conference: 7th GRACM International Congress on Computational Mechanics, Athens, 30 June -2 July, 2011. - 11 p.

83. Babouskos, N. Nonlinear vibrations of viscoelastic plates of fractional derivative type: An AEM solution / N. Babouskos, J. T. Katsikadelis // The Open Mechanics Journal. - 2010. - Vol. 4. - Issue 1. - pp. 8-20. DOI: 10.2174/1874158401004010008

84. Balasubramanian, P. Theoretical and experimental study on large amplitude vibrations of clamped viscoelastic plates / P. Balasubramanian, G. Ferrari, J. G. Zenon, M. Amabili // Proceedings Paper/ - 2017. - 10 p. DOI: 10.1115/IMECE2016-67560

85. Balkan, D. Nonlinear dynamic behavior of viscoelastic sandwich composite plates under non-uniform blast load: Theory and experiment / D. Balkan, Z. Mecitoglu //

136

International Journal of Impact Engineering. -2014. - Vol. 72. - pp. 85-104. DOI: 10.1016/j.ijimpeng.2014.05.003

86. Banerjee M.M. A review of methods for linear and nonlinear vibration analysis of plates and shells / M. M. Banerjee, J. Mazumdar // Procedia Engineering. - 2016. - Vol. 144. - pp. 493-503. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.05.160

87. Bardell, N.S. Free vibration analysis of a flat plate using the hierarchical finite element method / N. S. Bardell // Journal of Sound and Vibration. - 1991. - Vol. 151. -Issue 2. - pp. 263-289. DOI: 10.1016/0022-460X(91)90855-E

88. Bauomi, H. S. Active control of a rectangular thin plate via negative acceleration feedback / H. S. Bauomy, A. T. EL-Sayed // Journal of Computational and Nonlinear Dynamics. - 2016. Vol. 11. - Issue 4. 12 p. DOI: 10.1115/1.4033307

89. Bhimaraddi, A. Nonlinear flexural vibrations of rectangular plates subjected to inplane forces using a new shear deformation theory // Thin-Walled Structures. - 1987. -Vol. 5. - Issue 5. - pp. 309-327. DOI: 10.1016/0263-8231(87)90023-1

90. Bilasse, M. Complex modes based numerical analysis of viscoelastic sandwich plates vibrations / M. Bilasse, L. Azrar, E. M. Daya // Computers and Structures. -2011. - Vol. 89. - Issue 7-8. - pp. 539-555. DOI: 10.1016/j.compstruc.2011.01.020

91. Boumediene, F. Nonlinear forced vibration of damped plates coupling asymptotic numerical method and reduction models / F. Boumediene, L. Duigou, E. I. Boutyour, A. Miloudi, J. M. Cadou// Computational Mechanics. - 2011. - Vol. 47. - Issue 4. - pp. 359-377. DOI: 10.1007/s00466-010-0549-2

92. Boutyour, E. H. A harmonic balance method for the non-linear vibration of viscoelastic shells / E. H. Boutyour, E. M. Daya, M. Potier-Ferry // Comptes Rendus -Mecanique. - 2006. - Vol. 334. - Issue 1. - pp. 68-73. DOI: 10.1016/j.crme.2005.10.016

93. Breslavsky, I. Nonlinear vibrations of thin hyperelastic plates / I. Breslavsky, M. Amabili, M. Legrand // Journal of Sound and Vibration. - 2014. - Vol. 333. - Issue 19. - pp. 4668-4681. DOI: 10.1016/j.jsv.2014.04.028

94. Breslavsky, I. Physically and geometrically non-linear vibrations of thin rectangular

137

plates / I. Breslavsky, M. Amabili, M. Legrand // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - Vol. 58. - pp. 30-40. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2013.08.009

95. Breslavsky, I. D. Two modes nonresonant interaction for rectangular plate with geometrical nonlinearity / I. D. Breslavsky, K. V. Avramov // Nonlinear Dynamics. -2012. - Vol. 69. - Issue 1-2. - pp. 285-294. DOI: 10.1007/s11071-011-0264-3

96. Brockman, R.A. Dynamics of the bilinear Mindlin plate element / R. A. Brockman // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 1987. - Vol. 24. -Issue 12. - pp. 2343-2356. DOI: 10.1002/nme.1620241208

97. Burak Ozhan, B. A general solution procedure for the forced vibrations of a system with cubic nonlinearities: Three-to-one internal resonances with external excitation / B. Burak Ozhan, M. Pakdemirli // Journal of Sound and Vibration. - 2010. - Vol. 329. -Issue 13. - pp. 2603-2615. DOI: 10.1016/j.jsv.2010.01.010

98. Cai, W. Fractional modeling of Pasternak-type viscoelastic foundation / W. Cai, W. Chen, W. Xu // Mechanics of Time-Dependent Materials. - 2017. - Vol. 21. - Issue 1. - pp. 119-131. DOI: 10.1007/s11043-016-9321-0

99. Chang, S.I. Non-Linear vibrations and chaos in harmonically excited rectangular plates with one-to-one internal resonance / S. I. Chang, A. K. Bajaj, C. M. Krousgrill // Nonlinear Dynamics. - 1993. - Vol. 4. - Issue 5. - pp. 433-460. DOI: 10.1007/BF00053690

100. Chia, C. -Y. Geometrically nonlinear behavior of composite plates: a review / C. -Y. Chia // Applied Mechanics Reviews. - 1988. - Vol. 41. - Issue 12. - pp. 439-451. DOI: 10.1115/1.3151873

101. Chia, C. -Y. Nonlinear analysis of plates / C. -Y. Chia // New York: McGraw-Hill International Book Company. - 1988. - Vol. 41. - Issue 12. - 422 p.

102. Chien, R. -D. Nonlinear vibration of laminated plates on an elastic foundation / R. D. Chien, C. S. Chen // Thin-Walled Structures. - 2006. - Vol. 44. - Issue 8. - pp. 852860. DOI: 10.1016/j.tws.2006.08.016

103. Constanda, C. Boundary integral equation methods and numerical solutions: thin plates on an elastic foundation / C. Constanda, D. Doty, W. Hamill // Developments in Mathematics. - 2016. - 232 p. DOI: 10.1007/978-3-319-26309-0

138

104. Datta, P. Effect of carbon nanotube waviness on smart damping of geometrically nonlinear vibrations of fuzzy-fiber reinforced composite plates / P. Datta, M., M. C. Ray // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. - 2019. - Vol. 30. - Issue 7. -pp. 977-997. DOI: 10.1177/1045389X19828481

105. Datta, P. Fractional order derivative model of viscoelastic layer for active damping of geometrically nonlinear vibrations of smart composite plates / P. Datta, M., M. C. Ray // Computers, Materials and Continua. - 2015. - Vol. 49-50. - Issue 1. - pp. 47-80.

106. Datta, P. Three-dimensional fractional derivative model of smart constrained layer damping treatment for composite plates / P. Datta, M., M. C. Ray // Composite Structures. - 2016. - Vol. 156. - pp. 291-306. DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.10.021

107. Dill, E.H. The finite element method for mechanics of solids with ANSYS applications / E. H. Dill // Advances in engineering series. - 2011. - 492 p.

108. Dold, A. Fractional calculus and its applications / A. Dold, B. Eckmann // New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. - 1975. - Vol. 457. - 381 p. DOI: 10.1007/BFb0067095

109. Ducceschi, M. Nonlinear vibrations of rectangular plates: A numerical investigation with application to wave turbulence and sound synthesis / M. Ducceschi // ENSTA ParisTech. - 2014. - 154 p.

110. Ducceschi, M. Nonlinear dynamics of rectangular plates: Investigation of modal interaction in free and forced vibrations / M. Ducceschi, C. Touze, S. Bilbao, C. J. Webb // Acta Mechanica. - 2014. - Vol. 225. - Issue 1. - pp. 213-232. DOI: 10.1007/s00707-013-0931-1

111. Dumir, P.C. Damped response of thin plates to step loads including geometric nonlinearity / P. C. Dumir, A. Bhaskar // Ingenieur-Archiv. - 1988. - Vol. 58. - Issue 2. - pp. 81-88. DOI: 10.1007/BF00536226

112. Eftekhari, S.A. A mixed method for free and forced vibration of rectangular plates / S. A. Eftekhari, A. A. Jafari // Applied Mathematical Modelling. - 2012. - Vol. 36. -Issue 6. - pp. 2814-2831. DOI: 10.1016/j.apm.2011.09.050

113. Eftekhari, S.A. High accuracy mixed finite element-Ritz formulation for free vibration analysis of plates with general boundary conditions / S. A. Eftekhari, A. A.

139

Jafari // Applied Mathematics and Computation. - 2012. - Vol. 219. - Issue 3. - pp. 1312-1344. DOI: 10.1007/s00707-013-0931-1

114. Eisley, J.G. Nonlinear vibration of beams and rectangular plates / J. G. Eisley // Journal of Applied Mathematics and Physics. - 1964. - Vol. 15. - Issue 2. - pp. 167175. DOI: 10.1007/BF01602658

115. Eslami, H. Two-mode nonlinear vibration of orthotropic plates using method of multiple scales / H. Eslami, O. A. Kandil //AIAA Journal. - 1989. - Vol. 27. - Issue 7. - pp. 961-967. DOI: 10.2514/3.10205

116. Eyebe, G.J. Nonlinear vibration of a nonlocal nanobeam resting on fractional-order viscoelastic Pasternak foundations / G. J. Eyebe, B. Gambo, A. Mohamadou, T. C. Kofane // Fractal and Fractional. - 2018. - Vol. 21. - Issue 2. - pp. 1-17. DOI: 10.3390/fractalfract2030021

117. Fan, J. Exact solutions for forced vibration of completely free orthotropic rectangular nanoplates resting on viscoelastic foundation / J. Fan, D. Rong, C. Xu, X. Xu // European Journal of Mechanics, A/Solids. - 2019. - Vol. 73. - pp. 22-33. DOI: 10.1016/j.euromechsol.2018.06.007

118. Fyodorov, V. S. Nonlocal damping consideration for the computer modelling of linear and nonlinear systems vibrations under the stochastic loads / V. S. Fyodorov, V. N. Sidorov, E. S. Shepitko // IOP Conference Series: Materials Science and Engineeringvol. - 2018. Vol. 456. - pp: 12-40. DOI:10.1088/1757-899X/456/1/012040

119. Garrappa, R. Numerical solution of fractional differential equations: A survey and a software tutorial / R. Garrappa // Mathematics. - 2018. - Vol. 16. - Issue 6. - pp. 123. DOI: 10.3390/math6020016

120. Gazolla, F. Mathematical models for suspension bridges: Nonlinear structural instability / F. Gazolla // Springer International Publishing Switzerland. - 2015. - 259p. DOI: 10.1007/978-3-319-15434-3

121. Georgiev, S.G. Fractional dynamic calculus and fractional dynamic equations on time scales / S. G. Georgiev // Springer International Publishing AG, part of Springer Nature. - 2018. - 360 p. DOI: 10.1007/978-3-319-73954-0

122. Georgiev, S.G. Integral Equations on Time Scales / S.G. Georgiev // Atlantis

140

Studies in Dynamical Systems, Series Editors: H. Broer, B. Hasselblatt. - 2016. - Vol. 5. - 402 p. DOI: 10.2991/978-94-6239-228-1

123. Ghosh, S. S. On the disturbances in a thin elastic circular plate resting on a viscoelastic foundation of Pasternak type / S. S. Glosh // Pure and Applied Geophysics. - 1969. - Vol. 75. - Issue 1. - pp. 88-92 DOI: 10.1007/BF00875045

124. Gorman, D. J. Free vibration analysis of rectangular plates / D.J. Gorman // Amsterdam: Elsevier-NorthHolland. - 1982. - 324 p. DOI: 10.1121/1.388465

125. Guo, X.Y. A new kind of energy transfer from high frequency mode to low frequency mode in a composite laminated plate / X. Y. Guo, W. Zhang, Y.-C. He // Acta Mechanica. - 2013. - Vol. 224. - Issue 12. - pp. 2937-2953. DOI: 10.1007/s00707-013-0898-y

126. Hadian, J. Modal interaction in circular plates / J. Hadian, A. H. Nayfeh // Journal of Sound and Vibration. - 1990. - Vol. 142. - Issue 2. - pp. 279-292. DOI: 10.1016/0022-460X(90)90557-G

127. Han, W. Geometrically nonlinear vibration analysis of thin, rectangular plates using the hierarchical finite element method - I: The fundamental mode of isotropic plates / W. Han, M. Petyt // Computers & Structures. - 1997. - Vol. 63. - Issue 2. - pp. 295-308. DOI: 10.1016/S0045-7949(96)00345-8

128. Hedrih, K.R., Structural analogies on systems of deformable bodies coupled with non-linear layers / K. R. Hedrih, J. D. Simonovic // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2015. - Vol. 73. pp. 18-24. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2014.11.004

129. Hegazy, U.H. Internal-external resonance and saturation phenomenon in two coupled nonlinear oscillators / U. H. Hegazy // International Journal of Mechanics and Applications. - 2014. - Vol. 3. - Issue 4. - pp. 101-114. DOI: 10.5923/j.mechanics.20140403.04

130. Hegazy, U.H. Nonlinear vibrations of a thin plate under simultaneous internal and external resonances / U. H. Hegazy // Journal of Vibration and Acoustics. - 2010. -Vol. 132. - Issue 5. - pp. 051004. DOI: 10.1115/1.4001502

131. Hien, T.D. Vibration of functionally graded plate resting on viscoelastic elastic foundation subjected to moving loads / T. D. Hien, N. N. Lam // IOP Conference Series:

141

Earth and Environmental Science. - 2018. - Vol. 143. - Issue 1. -7 p. DOI: 10.1088/1755-1315/143/1/012024

132. Hilton, H.H. Implications and constraints of time-independent Poisson ratios in linear isotropic and anisotropic viscoelasticity / H. H. Hilton // Journal of elasticity and the physical science of solids. - 2001. - Vol. 63. - Issue 3. - pp. 221-251. DOI: 10.1023/A:1014457613863

133. Hosseinkhani, A. Dynamic analysis of a plate on the generalized foundation with fractional damping subjected to random excitation / A. Hosseinkhani, D. Younesian, S. Farhangdoust // Mathematical Problems in Engineering. - 2018. - Vol. 2018. - Article ID 3908371. - 10 p. DOI: 10.1155/2018/3908371

134. Ingman, D. Application of differential operator with servo-order function in model of viscoelastic deformation process / D. Ingman, J. Suzdalnitsky // Journal of Engineering Mechanics. - 2005. - Vol. 131. - Issue 7. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2005)131:7(763)

135. Ji, X. L. Nonlinear dynamic response of functionally graded rectangular plates under different internal resonances / X. L. Ji, Y. X. Hao, W. Zhang // Mathematical Problems in Engineering. - 2010. - Vol. 33. - Article ID 738648. - 12 p. DOI: 10.1155/2010/738648

136. Kandu, V. V. On nonlinear vibrations of an elastic plate on a fractional viscoelastic foundation / V. V. Kandu, M. V. Shitikova // 2nd International conference on mathematical modelling in applied sciences ICMMAS'19 / Belgorod, 19 - 25 august 2019. - pp. 91-92.

137. Karman, T. V. Festigkeits probleme im maschinenbau / T. V. Karman // Leipzig: [publisher not identified]. - 1910.

138. Karnaukhov, V.G. The influence of dissipative heating on active vibration damping of viscoelastic plates / V. G. Karnaukhov, I. F. Kirichok, M. V. Karnaukhov // Journal of Engineering Mathematics. - 2008. - Vol. 61. - Issue 2. - pp. 399-411. DOI: 10.1007/s10665-008-9217-3

139. Katsikadelis, J. T. Post-buckling analysis of viscoelastic plates with fractional derivative models / J. T. Katsikadelis, N. G. Babouskos // Engineering Analysis with

142

Boundary Elements. - 2010. - Vol. 34. - Issue 12. - pp. 1038-1048. DOI: 10.1016/j.enganabound.2010.07.003

140. Katsikadelis, J. T. The BEM for buckling analysis of viscoelastic plates modelled with fractional derivatives / J. T. Katsikadelis, N. G. Babouskos // WIT Transactions on Modelling and Simulation. - 2011. - Vol. 52. - pp. 35-46. DOI: 10.2495/BE110041

141. Khalifa, A. M. Winkler and Pasternak foundations effect on the free vibration of an orthotropic oval cylindrical shell with variable thickness / A. M. Khalifa // ZAMM Journal of applied mathematics and mechanics: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Mechanik. - 2015. - Vol. 95. - Issue 9. - pp. 966-981. DOI: 10.1002/zamm.201400097

142. Khodzhaev, D.A. Nonlinear vibrations of a viscoelastic plate with concentrated masses / D. A. Khodzhaev, B. Kh. Éshmatov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2007. - Vol. 48. - Issue 6. - pp. 905-914. DOI: 10.1007/s10808-007-0115-7

143. Kilbas, A.A. Theory and applications of fractional differential equations / A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo // North-Holland: Mathematics studies, Editor: J. van Mill. - 2006. - Vol. 204. - 540 p.

144. Kou, L. Dynamic response of rectangular plates on two-parameter viscoelastic foundation with fractional derivatives / L. Kou, Y. Bai // Zhendong yu Chongji: Journal of Vibration and Shock. - 2014. - Vol. 33. - Issue 8. - pp. 141-147. DOI: 10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.025

145. Lakes, R. Viscoelastic materials / R. Lakes // Cambridge University Press. - 2009. 461 p. DOI: 10.1017/CBO9780511626722

146. Lee, W. K. Combination resonances of a circular plate with three-mode interaction / W. K. Lee, C. H. Kim // Journal of Applied Mechanics. - 1995. - Vol. 62. - Issue 4. -pp. 1015-1022. DOI: 10.1115/1.2896037

147. Leissa, A. W. Vibrations of plates / A. W. Leissa // National Aeronautics and Space Administration. - 1969. - 362 p.

148. León, S. Analysis of thin plates on elastic foundations with boundary element method / S. de León, F. Paris // Engineering Analysis with Boundary Elements. - 1989.

143

- Vol. 6. - Issue 4. - pp. 192-196. DOI: 10.1016/0955-7997(89)90017-9

149. Lepoittevin, G. Composite laminates with integrated vibration damping treatments / G. Lepoittevin // ETH Library: Doctoral Thesis. - 2012. - 177 p. DOI: 10.3929/ethz-a-007566212

150. Lewandowski, R. Identification of the parameters of the Kelvin-Voigt and the Maxwell fractional models, used to modeling of viscoelastic dampers / G. Lewandowski, B. Chor^zyczewski // Computers & Structures. - 2010. - Vol. 88. -Issue 1-2. - pp. 1-17. DOI: 10.1016/j.compstruc.2009.09.001

151. Liew, K.M. Vibration of Mindlin plates: programming the p-version Ritz method / K.M. Liew, Y. Xiang, S. Kitipornchai, C.M. Wang // Elsevier Science. - 1998. - 412 p. DOI: 10.1016/B978-0-08-043341-7.X5000-6

152. Litewka, P. Steady-state non-linear vibrations of plates using Zener material model with fractional derivative / P. Litewka, R. Lewandowski // Computational Mechanics. -2017. - Vol. 60. - Issue 2. - pp. 333-354. DOI: 10.1007/s00466-017-1408-1

153. Litewka, P. Nonlinear harmonically excited vibrations of plates with Zener material / P. Litewka, R. Lewandowski // Nonlinear Dynamics. - 2017. - Vol. 89. -Issue 1. - pp. 691-712. DOI: 10.1007/s11071-017-3480-7

154. Liu, B. Exact solutions for free vibrations of orthotropic rectangular Mindlin plates / B. Liu, Y. Xing // Composite Structures. - 2011. - Vol. 93. - Issue 7. - pp. 1664-1672. DOI: 10.1016/j.compstruct.2011.01.014

155. Ma, N. Nonlinear dynamic response of a stiffened plate with four edges clamped under primary resonance excitation / N. Man, R. Wang, P. Li // Nonlinear Dynamics. -2012. - Vol. 70. - Issue 1. - pp. 627-648. DOI: 10.1007/s11071-012-0483-2

156. Mahmoudkhani, S. Nonlinear vibration of viscoelastic sandwich plates under narrow-band random excitations / S. Mahmoudkhani, H. Haddadpour // Nonlinear Dynamics. - 2013. - Vol. 74. - Issue 1-2. - pp. 165-188. DOI: 10.1007/s11071-013-0956-y

157. Mahmoudkhani, S. The effects of nonlinearities on the vibration of viscoelastic sandwich plates / S. Mahmoudkhani, H. Haddadpour, H. M. Navazi // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2014. - Vol. 62. - pp. 41-57. DOI:

144

10.1016/j.ijnonlinmec.2014.01.002

158. Makris, B.N. Fractional-derivative Maxwell model for viscous dampers / B. N Makris, M. C. Constantinou // Journal of Structural Engineering. - 1992. - Vol. 117. -Issue 9. - pp. 2708-2724. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1991)117:9(2708)

159. Malara, G. Nonlinear random vibrations of plates endowed with fractional derivative elements / G. Malara, P. D. Spanos // Probabilistic Engineering Mechanics. -2018. - Vol. 54. - pp. 2-8. DOI: 10.1016/j.probengmech.2017.06.002

160. Malatkar, P. Nonlinear vibrations of cantilever beams and plates / P. Malatkar // Dissertation submitted to the Faculty of the Virginia Polytechnic Institute. - 2003. - 132 p.

161. Manevich, A.I. The mechanics of nonlinear systems with internal resonances / A.I. Manevich, L.I. Manevitch // Imperial College Press. - 2005. - 276 p. DOI: 10.1142/p368

162. Mashrouteh, S. Nonlinear vibration analysis of viscoelastic plates with fractional damping / S. Mashrouteh // University of Ontario Institute of Technology: Thesis. -2017. - 104 p.

163. Meenen, J. A consistent deduction of von Kármán-type plate theories from three-dimensional nonlinear continuum mechanics / J. Meenen, H. Altenbach // Acta Mechanica. - 2001. - Vol. 147. - Issue 1-4. - pp. 1-17. DOI: 10.1007/BF01182348

164. Mei, C. A finite element method for non-linear forced vibrations of beams / C. Mei, K. Decha-Umphai // Journal of Sound and Vibration. - 1985. - Vol. 102. - Issue 3. - pp. 369-380. DOI: 10.1016/S0022-460X(85)80148-6

165. Melerski, E. S. Design analysis of beams, circular plates and cylindrical tanks on elastic foundations / E. S. Melerski // CRC Press. - 2006. - 284 p

166. Miller, K.S. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations / K. S. Miller, B. Ross // A Willey-Interscience Publication. - 1993. - 366 p.

167. Mitsi, S. Dynamics of nonlinear oscillators under simultaneous internal and external resonances / S. Mitsi, S. Natsiavas, I. Tsiafis // Nonlinear Dynamics. - 1998. -Vol. 16. - Issue 1. - pp. 23-39. DOI: 10.1023/A:1008264104238

168. Mukherjee, I. Localization induced base isolation in fractionally and hysteretically

145

damped nonlinear systems / I. Mukherjee // Department of Civil Engineering Indian Institute of Science Bangalore: Thesis. - 2007. - 79 p. DOI: 10.1115/DETC2007-34348

169. Nayfeh, A. H. Nonlinear interaction: analytical, computational and experimental methods / A. H. Nayfeh // Wiley Series in Nonlinear Science. - 2000. - 782 p.

170. Nayfeh, A. Applied nonlinear dynamics: analytical, computational and experimental methods / A. Nayfeh, B. Balachandran // Wiley. - 1995. - 700 p. DOI: 10.1002/9783527617548

171. Nayfeh, A. Experimental investigation of resonantly forced oscillations of a two-degree-of-freedom structure / A. Nayfeh, B. Balachandran // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 1990. - Vol. 25. - Issue 2-3. - pp. 199-209. DOI: 10.1016/0020-7462(90)90051-A

172. Nayfeh, A. H. Nonlinear Oscillations / A. H. Nayfeh, D. T. Mook // Wiley. - 1995.

- 704 p.

173. Nayfeh, A. H. Linear and nonlinear structural mechanics / A. H. Nayfeh, F. P. Pai // Wiley. - 2004. - 746 p.

174. Nayfeh, T. A. Subharmonic travelling waves in a geometrically non-linear circular plate / T. A. Nayfeh, A. F. Vakasis// International Journal of Non-Linear Mechanics. -1994. - Vol. 29. - Issue 2. - pp. 233-245. DOI: 10.1016/0020-7462(94)90042-6

175. Orsingher, E. Vibrations and fractional vibrations of rods, plates and Fresnel pseudo-processes / E. Orsingher, M. D'Ovidio // Journal of Statistical Physics. - 2011.

- Vol. 145. - Issue 1. - pp. 143-174. DOI: 10.1007/s10955-011-0309-5

176. Pasternak, P. Die praktische Berechnung biegefester Kugelschalen, kreisrunder Fundamentplatten auf elastischer Bettung und kreitzylindrischer Wandung in gegenseitiger monolither Verbindung / P. Pasternak // Zeitschrift auf Angewendte Mathematik und Mechanik. - 1926. - Vol. 6. - Issue 1. DOI: 10.1002/zamm.19260060102

177. Permoon, M.R. Nonlinear vibration of fractional viscoelastic plate: Primary, subharmonic, and superharmonic response / M. R. Permoon, H. Haddadpour, M. Javadi // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2018. - Vol. 99. - pp. 154-164. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2017.11.010

178. Petyt, M. Introduction to finite element vibration analysis (second edition) / M. Petyt // Cambridge University Press. - 2010. 500 p. DOI: 10.1017/CBO9780511761195

179. Pirbodaghi, T. Non-linear vibration analysis of laminated composite plates resting on non-linear elastic foundations / T. Pirbodaghi, M. Fesanghary, M. T. Ahmadian // Journal of the Franklin Institute. - 2011. - Vol. 348. - Issue 2. - pp. 353-368. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2010.12.002

180. Podlubny, I. Fractional Differential Equations / I. Podlubny // Academic Press. -1998. - Vol. 198. 340 p.

181. Popov, A.A. Bifurcation analyses in the parametrically excited vibrations of cylindrical panels / A. A. Popov, J. M. T. Thompson, J. G. A. Croll // Nonlinear Dynamics. - 1988. - Vol. 17. - Issue 3. - pp. 205-225. DOI: 10.1023/A:1008396603655

182. Qatu, M.S. Vibration of laminated shells and plates / M.S. Qatu // Academic Press. - 2004. - 426 p.

183. Rajasekar, S. Nonlinear Resonances / S. Rajasekar, M.A.F. Sanjuan // Springer Series in Synergetics. - 2016. - 417 p. DOI: 10.1007/978-3-319-24886-8

184. Raju, K.K. Nonlinear vibrations of thick plates using Mindlin plate elements / K. K. Raju, E. Hinton // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1980. - Vol. 15. - Issue 2. - pp. 249-257. DOI: 10.1002/nme.1620150208

185. Rashidi, M.M. Homotopy perturbation study of nonlinear vibration of Von Karman rectangular plates / M. M. Rashidi, A. Shooshtari, B. O. Anwar // Computers & Structures. - 2012. - Vol. 106-107. - pp. 46-55. DOI: 10.1016/j.compstruc.2012.04.004

186. Rega, G. Shear deformable composite plates with nonlinear curvatures: Modeling and nonlinear vibrations of symmetric laminates / G. Rega, E. Saetta // Archive of Applied Mechanics. - 2012 - Vol. 82. - Issue 10-11. - pp. 1627-1652. DOI: 10.1007/s00419-012-0674-9

187. Ribeiro, P. A hierarchical finite element for geometrically non-linear vibration of thick plates / P. Ribeiro // Meccanica. - 2003. - Vol. 38. - Issue 1. - pp. 117-132. DOI: 10.1023/A:1022027619946

188. Ribeiro, P. Geometrical non-linear, steady state, forced, periodic vibration of

147

plates, part I: model and convergence studies / P. Ribeiro, M. Petyt // Journal of Sound and Vibration. - 1999. - Vol. 226. - Issue 5. - pp. 955-983. DOI: 10.1006/jsvi.1999.2306

189. Ribeiro, P. Geometrical non-linear, steady state, forced, periodic vibration of plates, part II: stability study and analysis of multi-modal response / P. Ribeiro, M. Petyt // Journal of Sound and Vibration. - 1999. - Vol. 226. - Issue 5. - pp. 985-1010. DOI: 10.1006/jsvi.1999.2306

190. Ribeiro, P. Geometrical nonlinear vibration of beams and plates by the hierarchical finite element method / P. Ribeiro // Faculty of Engineering and Applied Science Institute of Sound and Vibration Research: Thesis submitted in fulfilment of the degree of Doctor of Philosophy: - 1998. - 181 p.

191. Ribeiro, P. Non-linear free vibration of isotropic plates with internal resonance / P. Ribeiro, M. Petyt // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2000. - Vol. 35. -Issue 2. - pp. 263-278. DOI: 10.1016/S0020-7462(99)00013-X

192. Ribeiro, P. Nonlinear vibration of plates by the hierarchical finite element and continuation methods / P. Ribeiro, M. Petyt // International Journal of Mechanical Sciences. - 1999. - Vol. 41. - Issue 4-5. - pp. 437-459. DOI: 10.1016/S0020-7403(98)00076-9

193. Rossikhin, Yu. A. A new approach for studying nonlinear dynamic response of a thin fractionally damped plate with 2:1 and 2:1:1 internal resonances / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Springer, Cham: Shell and Membrane Theories in Mechanics and Biology: From Macro- to Nanoscale Structures. Chapter 15. - 2015. -pp. 267-288. DOI: 10.1007/978-3-319-02535-3_15

194. Rossikhin, Yu. A. Analysis of damped vibrations of linear viscoelastic plates with damping modeled with fractional derivatives / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Signal Processing. - 2006. - Vol. 86. - Issue 10. - pp. 2703-2711. DOI: 10.1016/j.sigpro.2006.02.016

195. Rossikhin, Yu. A. Analysis of damped vibrations of thin bodies embedded into a

fractional derivative viscoelastic medium / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Journal

of the Mechanical Behaviour of Materials. - 2013. - Vol. 21. - Issue 5-6. - pp. 155148

159. DOI: 10.1515/jmbm-2013-0002

196. Rossikhin, Yu. A. Analysis of free non-linear vibrations of a viscoelastic plate under the conditions of different internal resonances / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2006. - Vol. 41. - Issue 2. - pp. 313-325. DOI: 10.1016/j.ijnonlinmec.2005.08.002

197. Rossikhin, Yu. A. Analysis of nonlinear free vibrations of suspension bridges / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Journal of Sound and Vibration. - 1995. - Vol. 186. -Issue 3. - pp. 369-393. DOI: 10.1006/jsvi.1995.0457

198. Rossikhin, Yu. A. Analysis of nonlinear vibrations of a two-degree-of-freedom mechanical system with damping modelled by a fractional derivative / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Journal of Engineering Mathematics. - 2000. - Vol. 37. -Issue 2. - pp. 343-362. DOI: 10.1023/A:1004689114479

199. Rossikhin, Yu. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges / Yu. Rossikhin, M. Shitikova // Journal of Engineering Mechanics. - 1998. - Vol. 124. - Issue 9. - pp. 1029-1036. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1998)124:9(1029)

200. Rossikhin, Yu. A. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. - 2010. - Vol. 63. - Issue 1. - pp. 1-52. DOI: 10.1115/1.4000563

201. Rossikhin, Yu. A. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. - 1997. - Vol. 50. - Issue 1. - pp. 15-67. DOI: 10.1115/1.3101682

202. Rossikhin, Yu. A. Fractional calculus in structural mechanics / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // In book: Applications in Engineering, Life and Social Sciences, Part A. - 2019. - pp. 159-192. DOI: 10.1515/9783110571905-009

203. Rossikhin, Yu. A. Free damped nonlinear vibrations of a viscoelastic plate under two-to-one internal resonance / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Materials Science Forum. - 2003. - Vol. 440-441 - pp. 29-36. DOI:

149

10.4028/www.scientific.net/MSF.440-441.29

204. Rossikhin, Yu. A. Nonlinear dynamic response of a thin plate embedded in a fractional viscoelastic medium under combinational internal resonances / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Applied Mechanics and Materials. - 2014. - Vol. 595. -pp. 105-110. DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMM.595.105

205. Rossikhin, Yu. A. Nonlinear dynamic response of a thin plate in a fractional viscoelastic medium under internal resonance 1:1:2 / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Applied Mechanics and Materials. - 2014. - Vol. 518. - pp. 60-65.

DOI: 10.4028/www.scientific.net/AMM.518.60

206. Rossikhin, Yu. A. Nonlinear free damped vibrations of suspension bridges with uncertain fractional damping / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Journal European des Systemes Automatises. - 2008. - Vol. 42. - Issue 6-8. - pp. 879-894.

207. Rossikhin, Yu. A. On fallacies in the decision between the Caputo and Riemann-Liouville fractional derivatives for the analysis of the dynamic response of a nonlinear viscoelastic oscillator / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // Mechanics Research Communications. - 2012. - Vol. 45. - pp. 22-27. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2012.07.001

208. Rossikhin, Yu. A. Thin bodies embedded in fractional derivative viscoelastic medium, dynamic response / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova // In: Encyclopedia of Continuum Mechanics: H. Altenbach, A. Öchsner (eds.), Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature. - 2019. DOI: 10.1007/978-3-662-53605-6_90-1

209. Rossikhin, Yu. A. Free and force driven vibrations of a nonlinear thin plate embedded into a fractional derivative medium / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, V. V. Kandu // Abstracts of XLIV International Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics": St. Petersburg, june 27 - July 01, 2016. - pp. 63-64.

210. Rossikhin, Yu. A. A new approach for studying nonlinear dynamic response of a thin plate with internal resonance in a fractional viscoelastic medium / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, J. C. Ngenzi // Shock and Vibration. - 2015. - Vol. 2015. Article ID 795606. - 28 p. DOI: 10.1155/2015/795606

211. Rossikhin, Yu. A. Nonlinear dynamic response of a fractionally damped thin plate

150

with 1:1:1 internal resonance / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, J. C. Ngenzi // Recent Advances on Mechanics, Materials, Mechanical Engineering and Chemical Engineering Nonlinear /International Conference on Mechanics, Materials, Mechanical Engineering and Chemical Engineering - Barcelona, April 7-9, 2015. - pp. 80-87.

212. Rossikhin, Yu. A. Phenomenological analysis of non-linear vibrations of a fractionally damped thin plate with 1:1 internal resonance / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, J. C. Ngenzi // Advanced in Mathematics and Statistical Sciences: MCSS. -2015. - pp. 180-189.

213. Rossikhin, Yu. A. Free damped vibrations of a nonlinear rectangular thin plate under the conditions of internal combinational resonance / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, E. I. Ovsjannikova // Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century. Moscow, 19-23 august, 2002. - pp. 693-696

214. Rossikhin, Yu. A. Forced vibrations of a nonlinear oscillator with weak fractional damping / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, T. Shcheglova // Journal of Mechanics of Materials and Structures. - 2010. - Vol. 4. Issue 9. - pp. 1619-1636 DOI: 10.2140/jomms.2009.4.1619

215. Rossikhin, Yu. A. Application of the fractional derivative Kelvin-Voigt model for the analysis of impact response of a Kirchhoff-Love plate / Yu. A. Rossikhin, M. V. Shitikova, P. T. Trung // WSEAS Transactions on Mathematics - 2016. - Vol. 15. - pp. 498-501.

216. Rossing, T.D. Principles of vibration and sound / T.D. Rossing, N.H. Fletcher // Springer-Verlag. - 1994. - 247 p. DOI: 10.1007/978-1-4757-3822-3

217. Salli, M. Calculation of rectangular plates on elastic foundation the finite difference method / M. Salli, F. Lontsi, O. Hamandjoda, D. Raidandi // The International Journal of Engineering and Science. - 2018. - Vol. 7. - Issue 8. pp. 32-38. DOI: 10.9790/1813-0708013238

218. Sassi, S. Effects of initial geometric imperfections on the interaction between forced and parametric vibrations / S. Sassi, G.L. Ostiguy // Journal of Sound and Vibration. - 1994. - Vol. 178. - Issue 1. - pp. 41-54. DOI: 10.1006/jsvi.1994.1466

219. Sathyamoorthy, M. Nonlinear Vibration Analysis of Plates: A Review and Survey

151

of Current Developments / M. Sathyamoorthy // Applied Mechanics Reviews. - 1987. -Vol. 40. - Issue 11. - pp. 1553-1561. DOI: 10.1115/1.3149544

220. Sayyad, A.S. On the free vibration analysis of laminated composite and sandwich plates: A review of recent literature with some numerical results / A.S. Sayyad, Y.M. Ghugal // Composite Structures. - 2015. - Vol. 129. - pp. 177-201. DOI: 10.1016/j.compstruct.2015.04.007

221. Schmidt, A. Finite element formulation of viscoelastic constitutive equations using fractional time derivatives / A. Schmidt, L. Gaul // Nonlinear Dynamics. - 2002. - Vol. 29. - Issue 1-4. - pp. 37-55. DOI: 10.1023/A:1016552503411

222. Shaw, S. Internal resonances in tiny structures: new results and practical applications Budapest / S. Shaw // Proceedings of the 9th European Nonlinear Dynamics Conference. - Budapest, June 25-30, 2017. - 2 p.

223. Sheng, G.G. The nonlinear vibrations of functionally graded cylindrical shells surrounded by an elastic foundation / G.G. Sheng, X. Wang, G. Fu, H. Hu // Nonlinear Dynamics. - 2014. - Vol. 78. - Issue 2. - pp. 1421-1434. DOI: 10.1007/s11071-014-1525-8

224. Shimizu, N. Fractional Calculus Approach to Dynamic Problems of Viscoelastic Materials / N. Shimizu, W. Zhang // JSME International Journal Series C. - 1999. -Vol. 42. - Issue 4. - pp. 825-837. DOI: 10.1299/jsmec.42.825

225. Shitikova, M. V. The fractional derivative expansion method in nonlinear dynamic analysis of structures / M. V. Shitikova // Nonlinear Dynamics. - 2019.- pp. 1-14.

226. Shitikova, M. V. Analysis of forced vibrations of nonlinear plates in a viscoelastic medium under the conditions of the different combinational internal resonances / M. V. Shitikova, V. V. Kandu // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2019. -Vol. 15. - Issue 3. - 18 p.

227. Shitikova, M. V. Analysis of thin nonlinear plates forced vibrations in a viscoelastic medium under the conditions of the additive combinational internal resonance / M. V. Shitikova, V. V. Kandu // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. - 2018. - Vol. 456. - Article ID 012047. - 6 p. DOI: 10.1088/1757-899X/456/1/012047

228. Shitikova, M. V. Force driven nonlinear vibrations of a thin plate with 1:1 internal resonance in a fractional viscoelastic medium / M. V. Shitikova, V. V. Kandu // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. - 2019. - Vol. 89. - Article ID 012043. - 8 p. DOI: 10.1088/1757-899X/489/1/012043

229. Shitikova, M. V. Force driven nonlinear vibrations of a thin plate with 1:1:1 internal resonance in a fractional viscoelastic medium / M. V. Shitikova, V. V. Kandu // Journal of Physics Conference Series. - 2019. - Vol. 1203. - Article ID 012003. - 11 p. DOI: 10.1088/1742-6596/1203/1/012003

230. Shitikova, M. V. Force driven vibrations of fractionally damped plates subjected to primary and internal resonances / M. V. Shitikova, V. V. Kandu // The European Physical Journal Plus. - 2019. - Vol. 134. - Article ID 423 - 18 p. DOI: 10.1140/epjp/i2019-12812-x

231. Shitikova, M. V. Interaction of internal and external resonances during force driven vibrations of a nonlinear thin plate embedded into a fractional derivative medium / M. V. Shitikova, Yu. A. Rossikhin, V. V. Kandu // Procedia Engineering. - 2017. -Vol. 199. - pp. 832-837. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.09.008

232. Shitikova, M. V. Fractional calculus application in problems of non-linear vibrations of thin plates with combinational internal resonances / M. V. Shitikova, Yu. A. Rossikhin, J. C. Ngenzi // Procedia Engineering. - 2016. - Vol. 144. - pp. 849-858. DOI: 10.1016/j.proeng.2016.05.099

233. Shitikova, M. V. Phenomenological analysis of the additive combinational internal resonance in nonlinear vibrations of fractionally damped thin plates / M. V. Shitikova, Yu. A. Rossikhin, J. C. Ngenzi // WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - 2015. - Vol. 10. - pp. 260-277.

234. Shooshtari, A. A multiple scale method solution for the nonlinear vibration of rectangular plates / A. Shooshtari // Scientia Iranica. - 2007. - Vol. 14. - Issue 1. - pp. 64-71.

235. Singh, B. N. Nonlinear bending response of laminated composite plates on nonlinear elastic foundation with uncertain system properties/ B.N. Singh, A. Lal, R. Kumar // Engineering Structures. - 2008. - Vol. 30. - Issue 4. - pp. 1101-1112. DOI:

153

10.1016/j.engstruct.2007.07.007

236. Stein, E. Adaptive finite elements in linear and nonlinear solid and structural mechanics / E. Stein// Springer Wien, New York / International centre for mechanical sciences: courses and lectures - 2005. - 363 p. DOI: 10.1007/3-211-38060-4

237. Stevanovic, H.K. Partial fractional differential equations of creeping and vibrations of plate and their solutions (First part) / H.K. Stevanovic // Journal of Mechanical Behavior of Materials. - 2005. - Vol. 16. - Issue 4-5. - pp. 305-314. DOI: 10.1515/JMBM.2005.16.4-5.305

238. Stoykov, S. Periodic geometrically nonlinear free vibrations of circular plates/ S. Stoykov, P. Ribeiro // Journal of Sound and Vibration. - 2008.-Vol. 315. - Issue 3. -pp. 536-555. DOI: 10.1016/j.jsv.2008.02.001

239. Sun, M. Nonlinear oscillations of rectangular plate with 1:3 internal resonance between different modes/ M. Sun, T. Quan, D. Wang // Results in Physics. - 2018. -Vol. 11. - pp. 495-500. DOI: 10.1016/j.rinp.2018.09.031

240. Sun, M. Subharmonic Melnikov method of six-dimensional nonlinear systems and application to a laminated composite piezoelectric rectangular plate/ M. Sun, W. Zhang, J. E. Chen // Nonlinear Dynamics. - 2014. - Vol. 75. - Issue 1-2. pp. 289-310. DOI: 10.1007/s11071-013-1066-6

241. Sun, Y.X. Chaotic dynamic analysis of viscoelastic plates/ Y. X. Sun, S.Y Zhang // International Journal of Mechanical Sciences. - 2001. - Vol. 43. - Issue 5. - pp. 11951208. DOI: 10.1016/S0020-7403(00)00062-X

242. Tang, Y.Q. Parametric and internal resonances of in-plane accelerating viscoelastic plates/ Y.Q. Tang, L.Q. Chen // Acta Mechanica. - 2012. - Vol. 223. - Issue 2. - pp. 415-431. DOI: 10.1007/s00707-011-0567-y

243. Tang, Y.Q. Primary resonance in forced vibrations of in-plane translating viscoelastic plates with 3:1 internal resonance/ Y.Q. Tang, L.Q. Chen // Nonlinear Dynamics. -2012. - Vol. 69. -Issue 1-2. - pp. 159-172. DOI: 10.1007/s11071-011-0253-6

244. Tripathi, A. Topology optimization and internal resonances in transverse vibrations of hyperelastic plates/ A. Tripathi, A.K. Bajaj // International Journal of Solids and

154

Structures. - 2016. Vol. 81. - pp. 311-328. DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2015.11.029

245. Tuwa, P.R. Chaotic vibrations of nonlinear viscoelastic plate with fractional derivative model and subjected to parametric and external excitations / P.R. Tuwa, C. Miwadinou, A. Monwanou, J.B. Chabiorou, P. Woafo // Mechanics Research Communications. - 2019. - Vol. 97. - pp. 8-15. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2019.04.001

246. Vedeneev, V. V. Nonlinear high-frequency flutter of a plate/ V. V. Vedeneev // Fluid Dynamics. - 2007. - Vol. 42. - Issue 5. - pp. 858-868. DOI: 10.1134/S0015462807050183

247. Ventsel, E. Thin plates and shells / E. Ventsel, Th. Krauthammer // The Pennsylvania State University Park, Pennsylvania. -2001. - 688 p.

248. Vyas, A. A Microresonator Design Based on Nonlinear 1:2 Internal Resonance in Flexural Structural Modes/ A.Vyas, D. Peroulis, A.K. Bajaj // Journal of Microelectromechanical Systems. - 2009. - Vol. 18. - Issue 3. - pp. 744-762. DOI: 0.1109/JMEMS.2009.2017081

249. Wang, Y. Nonlinear responses and stability analysis of viscoelastic nanoplate resting on elastic matrix under 3:1 internal resonances/ Y. Wang, F. Li, X. Jing, Y. Wang // International Journal of Mechanical Sciences. - 2017. - Vol. 128-129. - pp. 94104. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2017.04.010

250. Wang, Y. Nonlinear vibration analysis of double-layered nanoplates with different boundary conditions/ Y. Wang, F. Li, X. Jing, Y. Wang // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics. - 2015. - Vol. 379. - Issue 24-25. - pp. 15321537. DOI: 10.1016/j.physleta.2015.04.002

251. Wang, Y.H. Beams and plates on elastic foundations: A review / Y.H. Wang., L.G. Tham, Y.K. Cheung // Progress in Structural Engineering and Materials. - 2005. - Vol. 7.- Issue 4. - pp. 174-182. DOI: 10.1002/pse.202

252. Xia, Z. O. Nonlinear damped vibrations of simply-supported rectangular sandwich plates/ Z.O. Xia, S. Lukasiewicz // Nonlinear Dynamics. - 1995. - Vol. 8. - Issue 4. -pp. 417-433. DOI: 10.1007/BF00045706

253. Xia, Z. Q. Non-linear, free, damped vibrations of sandwich plates/ Z.Q. Xia, S.

155

Lukasiewicz // Journal of Sound and Vibration. -1994. - Vol. 175. - Issue 2. - pp. 219232. D01:10.1006/jsvi.1994.1324

254. Xing, Y.F. New exact solutions for free vibrations of thin orthotropic rectangular plates / Y.F. Xing, B. Liu // Composite Structures. - 2009. - Vol. 89. - Issue 4. - pp. 567-574. DOI: 10.1016/j.compstruct.2008.11.010

255. Xing, Y.F. Solution methods of exact solutions for free vibration of rectangular orthotropic thin plates with classical boundary conditions / Y.F. Xing, T.F. Xu // Composite Structures. - 2013. - Vol. 104. - pp. 187-195. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.04.030

256. Xu, Y.-L. Structural Health Monitoring of Long-Span Suspension Bridges / Y.-L. Xu, Y. Xia // Spon Press. - 2013. - 390 p.

257. Yeh, F.H. Nonlinear analysis of rectangular orthotropic plates / F.H. Yeh, W.H. Liu // International Journal of Mechanical Sciences. - 1991. - Vol. 33. - Issue 7. - pp. 563-578. DOI: 10.1016/0020-7403(91)90018-X

258. Younesian, D. Elastic and viscoelastic foundations: a review on linear and nonlinear vibration modeling and applications / D. Younesian, A. Hosseinkhani, H. Askari, E. Esmailzadeh // Nonlinear Dynamics. - 2019. - Vol. 97. - Issue 1. - pp. 853895. DOI: 10.1007/s11071-019-04977-9

259. Younesian, D. Analytical solutions for oscillation of rectangular plate on a nonlinear Winkler foundation / D. Younesian, Z. Saadatnia, H. Askari, E. Esmailzadeh // Science and Technology. - 2011. DOI: 10.1115/DETC2011-48043

260. Yu, Y.-Y. Vibrations of elastic plates: linear and nonlinear dynamical modeling of sandwiches, laminated composites, and piezoelectric layers / Y.-Y. Yu. // New Jersey Institute of Technology: Springer-Verlag New York. - 1996. - 228 p. DOI: 10.1007/978-1-4612-2338-2

261. Zenkour, A.M. Bending of a fiber-reinforced viscoelastic composite plate resting on elastic foundations / A.M. Zenkour, M.N.M. Allam, M. Sobhy // Archive of Applied Mechanics. - 2011. - Vol. 81. - Issue 1. - pp. 77-96. DOI: 10.1007/s00419-009-0396-9

262. Zhang, C. Theoretical investigation of interaction between a rectangular plate and fractional viscoelastic foundation/ Zhang, C., H. Zhu, B. Shi, L. Liu // Journal of Rock

156

Mechanics and Geotechnical Engineering. - 2014. - Vol. 6. - Issue 4. - pp. 373-379. DOI: 10.1016/j.jrmge.2014.04.007

263. Zhang, H. An improved Fourier series solution for free vibration analysis of the moderately thick laminated composite rectangular plate with non-uniform boundary conditions/ H. Zhang, D. Shi, Q. Wang // International Journal of Mechanical Sciences. - 2017. - Vol. 121. - pp. 1-20. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2016.12.007

264. Zhang, W. Global and chaotic dynamics for a parametrically excited thin plate/ W. Zhang // Journal of Sound and Vibration. - 2001. - Vol. 239. - Issue 5. - pp. 10131036. DOI: 10.1006/jsvi.2000.3182

265. Zhang, W. Analysis on nonlinear dynamics of a deploying composite laminated cantilever plate/ W. Zhang, S.F. Lu, X.D. Yang // Nonlinear Dynamics. - 2013. - Vol. 76. - Issue 1. - pp. 69-93. DOI: 10.1007/s11071-013-1111-5

266. Zheng, Y.F. Nonlinear free vibration for viscoelastic moderately thick laminated composite plates with damage evolution/ Y.F. Zheng, L.Q. Deng // Mathematical Problems in Engineering. - 2010. - Article ID 562539. - 15 p. DOI:10.1155/2010/562539

267. Zheng, Y. Analysis of nonlinear vibration for symmetric angle-ply laminated viscoelastic plates with damage / Y. Zheng, Y. Fu // Acta Mechanica Sinica. - 2005. -Vol. 21. - Issue 5. - pp. 459-466. DOI: 10.1007/s10409-005-0058-2

268. Zhu, H.-H. Response of a loaded rectangular plate on fractional derivative viscoelastic foundation / H.-H. Zhu, L. Liu, X. Ye // Journal of Basic Science and Engineering. - 2011. - Vol. 19. - Issue 2. - pp. 271-278. DOI: 10.3969/j.issn.1005-0930.2011.02.011

269. Zienkiewicz, O.C. The finite element method for solid and structural mechanics (7th edition) / O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, D. Fox // Elsevier- 2014. - pp. 215-233. DOI: 10.1016/C2009-0-26332-X

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Акты о внедрении результатов диссертационной работы

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Вспомогательные формулы к ГЛАВАМ 2 и 4

m-,rnm>-,n2 '*1 I*1

a111 2 2 =

1mn v (

1 1*1

am1n1m2n2 = 2 mn

m-,mm2n~ 1 **1

a311 2 2 =

3mn

m1n1m2n2 = 4mn

a.11 2 2 =

5 mn

m-,mm2n~ f 1 **1

g6 11 2 2 =

б mn

mnm^nо '*1 **1

anxx 2 2 =

Vmn

am1n1m2n2 = r1 r1 Smn

|o|o cos Tm x sin 7inx y sinTm2x sin 7in2y cos 7imx sin ^ny dxdy, |o|o sin Tm x cos 7 y cosTm2x cos 7n2y cos 7imx sin 7iny dxdy, |o|o sin T^x cos 7 y sinTm2x sin 7n2y sin 7mx cos7ny dxdy, |o|o cosT^x sin 7in1 y cos 7m2x cos жп2y sin 7imx cos 7iny dxdy, |o|o sin 7im1x sin 7n1 y sin 7im2x sin 7in2y sin 7imx sin 7iny dxdy, |o|o cos T^x cos 7 y cosTm2x cosTn2y sin 7mx sin 7ny dxdy, |o|o cosT^x sin 7in1 cos 7m2x sin Tn2y sin 7imx sin 7iny dxdy, |o|o sin T^x cos7n1 y sin7m2x cos жп2y sin 7imx sin 7iny dxdy.

(Б1)

a

1 au

S7 íí

ab/ \ s \

77 y

sin

00 Vм/

7im1x a

sin

v u J

m1 cos

r 2nnx y л

n4 cos

V u У

+ ■

r 2nmx x л

v a J

x

a

x sin

r 7rmx^

sin

r nny^

v a j

dxdy

v u J

(Б2)

a

1 au

S7 íí

ab / \

sin

00 v " У

7im2 x a

sin

r 7 yA

V u У

m2 cos