Анализ нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при наличии комбинационных внутренних резонансов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Басем Аджарма Халиль Мохаммед

• Басем Аджарма Халиль Мохаммед
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Басем Аджарма Халиль Мохаммед

Введение

Глава 1. Обзор литературы по нелинейным колебаниям цилиндрических

оболочек

1.1 Современные теории цилиндрических оболочек

1.2 Применение моделей вязкоупругости с дробными производными

в динамических задачах механики

1.3. Свободные затухающие колебания цилиндрических оболочек в среде, демпфирующие свойства которой описываются

реологической моделью с дробной производной

Глава 2. Анализ вынужденных нелинейных колебаний цилиндрических

оболочек в вязкоупругой среде с использованием обобщенного метода многих временных масштабов

2.1. Постановка задачи

2.2. Вязкость порядка е

2.3. Вязкость порядка е2

2.4. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов комбинационного внутреннего резонанса порядка е

2.5. Нелинейные разрешающие дифференциальные уравнения, описывающие амплитудно-фазовую модуляцию для различных типов комбинационного внутреннего резонанса порядка е2

Глава 3. Численные алгоритмы решения нелинейных дифференциальных

уравнений дробного порядка

3.1. Дискретный метод решения систем нелинейных дифференциальных уравнений дробного порядка

3.2. Обобщений метод Рунге-Кутта четвертого порядка

3.3. Метод определения параметров цилиндрической оболочки для любого

из случаев комбинационного внутреннего резонанса

Глава 4. Численный анализ свободных и вынужденных нелинейных колебаний цилиндрических оболочек в условиях комбинационных внутренних резонансов

4.1. Параметры оболочки при комбинационных резонансах первого рода

4.2. Численный анализ комбинационного внутреннего резонанса

Ц=Ц+Ц первого рода

4.3. Численный анализ комбинационного внутреннего резонанса

Ц = Ц + 2Ц второго рода

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при наличии комбинационных внутренних резонансов»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Изучение явления внутренних резонансов, сопровождающих нелинейные колебания оболочек, является важной областью прикладной механики, так как оболочки используются в качестве конструктивных элементов во многих отраслях промышленности и техники.

Внутренний резонанс — это такое явление, когда одна, две, три или более собственных частот находятся в некотором соответствии друг с другом. Если одна из частот равна другой частоте, мы имеем резонанс один-к-одному. Если одна из собственных частот в два раза больше, чем любая другая частота, имеет место резонанс два-к-одному и так далее. Помимо резонансов один-к-одному, два-к-одному и три-к-одному могут существовать и комбинационные резонансы, когда три или более частот находятся в некоторой взаимосвязи между собой. Различные типы комбинационных резонансов изучались в работах К.Г. Валеева [9], А.В. Голубкова [13], Н.Н. Денцова [17], Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [120,121], где отмечалось, что они являются наиболее неблагоприятными режимами при нелинейных колебаниях механических систем.

Изучение свободных затухающих нелинейных колебаний является важной составляющей для определения динамических характеристик системы, зависящих от амплитудно-частотных соотношений и форм колебаний. Кроме того, нелинейные колебания могут сопровождаться явлениями внутреннего резонанса, приводящими к сильному взаимодействию возбужденных мод колебаний [22,108-110,127-130], и, как следствие, к перекачке энергии между взаимодействующими модами. Внутренний резонанс может наблюдаться в случае некоторой комбинации собственных частот одного и того же типа колебаний, например, вертикальных [117], или в случае взаимодействия мод различных типов колебаний, например, вертикальных и крутильных [28,132].

Виды внутреннего резонанса в случае взаимодействия мод, принадлежащих различным типам колебаний, приводят к перекачке энергии между двумя или тремя подсистемами соответственно в случае внутреннего резонанса и комбинационного резонанса. Исследования в этом направлении были начаты А.А. Виттом и Г.С. Гореликом [14], которые были одними из первых, кто теоретически и экспериментально показали явление внутреннего резонанса два-к-одному с перекачкой энергии от одной подсистемы (вертикальные колебания) в другую (маятниковые колебания), используя в качестве примера самую простую механическую систему с двумя степенями свободы.

Обзоры последних достижений в области динамики тонких оболочек, приведенные в работах М. Amabili [48,50,52], Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [121,123], показывают, что нелинейные колебания оболочек в вязкой среде осложнены наличием резонансных явлений, которые не были достаточно изучены.

В данной работе изучаются нелинейные свободные и вынужденные колебания тонких оболочек в вязкой среде, движение которых описывается системой трех связанных нелинейных дифференциальных уравнений, в случае, когда оболочка находится в условиях комбинационного резонанса, приводящего к взаимодействию собственных форм колебаний, соответствующих взаимно ортогональным перемещениям.

Так как внутренний резонанс является конструкционным резонансом в отличие от внешнего резонанса, от которого можно избавиться, изменив частоту внешнего воздействия, то внутренний резонанс зачастую неустраним, поскольку готовую конструкцию уже не переделать, а при конструировании невозможно предугадать наличие в конструкции того или иного резонансного сочетания собственных частот. Поскольку таких сочетаний очень много, то их необходимо детально исследовать. Таким образом, явление комбинационного

5

внутреннего резонанса требует очень тщательного изучения, поскольку в тонких оболочках всегда присутствуют какие-либо из типов комбинационного внутреннего резонанса.

Объект исследования - тонкие упругие цилиндрические оболочки, колеблющиеся в вязкоупругой среде, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью с дробной производной.

Предмет исследования - нелинейное динамическое поведение цилиндрических оболочек в условиях внутреннего комбинационного резонанса, на который может накладываться внешний резонанс от воздействия гармонической возмущающей силы.

Целью данного исследования является анализ свободных и вынужденных затухающих колебаний упругих цилиндрических оболочек в вязкой среде, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью, содержащей дробную производную, при наличии условий комбинационного внутреннего резонанса.

Для достижения поставленной цели необходимо:

- разработать алгоритм поиска возможных типов комбинационных резонансов в цилиндрической оболочке;

- разработать методику решения нелинейных дифференциальных уравнений с дробными производными, описывающих динамическое поведение цилиндрической оболочки, в случае наличия внутреннего комбинационного резонанса и его сочетания с внешним резонансом;

- исследовать влияние параметра дробности на процесс перекачки энергии, происходящий при нелинейных колебаниях цилиндрической оболочки, находящейся в условиях комбинационного внутреннего резонанса;

- изучить влияние малой вязкости и амплитуды возмущающей гармонической силы на характер колебательных режимов оболочки, движения

которой описываются системой трех нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих производные дробного порядка, в условиях всех возможных вариантов комбинационных внутренних резонансов;

- провести качественный и количественный анализ полученных численных результатов.

Тематика работы. Содержание диссертации соответствует п. 2 «Теория моделей деформируемых тел с простой и сложной структурой», п. 5 «Теория упругости, пластичности и ползучести», п. 8. «Математические модели, численные методы анализа применительно к задачам, не допускающим прямого аналитического исследования» области исследования паспорта специальности 01.02.04 «Механика деформируемого твердого тела».

Научная новизна работы заключается в следующих результатах, выносимых на защиту:

- решена задача о вынужденных нелинейных колебаниях упругих оболочек в вязкой среде, демпфирующие свойства которой определяются дробными производными в случае, когда колебательные движения описываются системой трех нелинейных уравнений со связанными линейными частями относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях;

- дана классификация возможных типов комбинационных резонансов для исследуемой нелинейной динамической модели цилиндрической оболочки и разработан алгоритм их определения;

- разработана методика численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с дробными производными, описывающих динамическое поведение цилиндрической оболочки, в случае наличия внутреннего комбинационного резонанса и его сочетания с внешним резонансом;

- проведен сравнительный анализ численных и аналитических исследований свободных и вынужденных затухающих колебаний с аддитивным и разностным типами комбинационных внутренних резонансов первого и второго рода с использованием двух различных численных методов;

- изучены все двенадцать возможных случаев комбинационного внутреннего резонанса.

Методы исследования, использованные в работе:

- общепринятые фундаментальные законы механики деформируемого твердого тела;

- обобщенный метод многих временных масштабов;

- дискретный метод решения дифференциальных уравнений К. Дитхеьма;

- численный метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

Достоверность полученных результатов базируется на корректной математической постановке задач. Полученные в данной работе решения с использованием двух различных методов дали близкие результаты во всех изученных случаях, которые согласуются с общими физическими представлениями. Правильность полученных результатов определяется корректностью математических выкладок и сопоставлением с известными результатами других авторов. При стремлении параметра дробности к единице полученные решения переходят в известные решения для производных целого порядка.

Теоретическая и практическая значимость работы. Явление комбинационного внутреннего резонанса требует очень тщательного изучения, поскольку в тонких цилиндрических оболочках всегда присутствуют какие-либо из двенадцати найденных типов комбинационного внутреннего резонанса. Полученные в ходе исследования результаты могут быть использованы проектными и научно-исследовательскими организациями при проектировании

конструкций, которые в процессе колебаний могут оказаться в условиях различных внутренних комбинационных резонансов.

При наличии возмущающей гармонической силы данный подход позволит избегать наложения внешнего резонанса на внутренний, поскольку такое наложение может привести к необратимым последствиям.

Данные научные исследования выполнялись в рамках государственного задания Министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности «Новый подход к изучению нелинейных колебаний тонких вязкоупругих тел, демпфирующие свойства которых определяются дробными операторами (проект No. 9.5138.2017/8.9)

Разработан «Программный комплекс численного исследования нелинейных колебаний цилиндрических оболочек в условиях внутреннего комбинационного резонанса», который был зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ под номером №: 2019615163 9 апреля 2019 г.

Этот алгоритм был апробирован палестинской проектной компанией при расчете цилиндрического трубопровода, о чем свидетельствует акт о внедрении, приведенный в Приложении.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава Воронежского государственного технического университета в 2016-2019гг.; на семинарах международного научного центра по фундаментальным исследованиям в области естественных и строительных наук ВГТУ; на международной научной конференции International Conference on Engineering Vibration ICoEV (София, Болгария, 2017); на международной конференции по дробному исчислению и его приложениям ICFDA (Амман, Иорданское Хашимитское Королевство, 2018); на международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2018); на юбилейной XXX

9

международной инновационной конференции молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения (Москва, 2018); на международной научной конференции «The First International Nonlinear Dynamics Conference» NODYCON (Рим, Италия, 2019).

Публикации. По теме диссертационного исследования опубликовано 11 научных работ, в том числе 4 статьи в изданиях, проиндексированных в научных базах данных Web of Science и Scopus, и 1 свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ.

Личное участие автора. Основные результаты исследований по теме диссертации были получены лично автором о опубликованы в соавторстве с научным руководителем, который определил основные направления исследования в рамках выполнения государственного задания Министерства образования и науки РФ в сфере научной деятельности.

В диссертации отсутствует заимствованный материал без ссылок на автора или источник заимствования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из 4х глав, заключения, списка литературы и 3х приложений. Диссертация изложена на 136 страницах, содержит 37 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 162 источников.

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В первой главе приводится обзор литературы о нелинейных колебаниях цилиндрических оболочек. Приведены работы, в которых для описания демпфирующих свойств используются реологические модели с дробными операторами, которые позволяют варьировать не только свойствами материала оболочки, но и вязкостью окружающей среды.

Кратко приведена постановка задачи о свободных нелинейных

колебаниях упругих цилиндрических оболочек в вязкой среде, демпфирующие

10

свойства которой определяются дробными производными, в случае, когда колебания оболочки описываются тремя нелинейными дифференциальными уравнениями относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях, линейные части которых взаимосвязаны [122]. Описывается новый подход, предложенный Россихиным Ю.А. и Шитиковой М.В. [121], позволяющий развязать линейные части нелинейных уравнений цилиндрических оболочек, используя свойства эрмитовых матриц.

Именно этот подход будет обобщен в данной диссертационной работе на анализ вынужденных колебаний цилиндрических оболочек под действием гармонической силы.

Вторая глава посвящена решению задачи о вынужденных нелинейных колебаниях упругих оболочек в вязкой среде, демпфирующие свойства которой определяются дробными производными в случае, когда колебательные движения описываются системой трех нелинейных уравнений со связанными линейными частями относительно трех перемещений в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Приводится классификация возможных типов комбинационных резонансов для исследуемой нелинейной динамической модели цилиндрической оболочки.

В третьей главе описаны алгоритмы, которые будут использоваться для получения численных результатов. Разработан алгоритм нахождения условий возникновения комбинационных резонансов. Разработана методика численного решения нелинейных дифференциальных уравнений с дробными производными, описывающих динамическое поведение цилиндрической оболочки, в случае наличия внутреннего комбинационного резонанса и его сочетания с внешним резонансом.

В четвертой главе приведены результаты численных исследований всех случаев сочетания внешнего и двенадцати типов внутреннего комбинационного

резонанса при изменении параметра дробности в пределах 0 <у< 1.

11

Исследовано влияние малой вязкости и амплитуды возмущающей гармонической силы на характер колебательных режимов оболочки, движения которой описываются системой трех нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих производные дробного порядка.

Проведен сравнительный анализ численных и аналитических исследований свободных и вынужденных затухающих колебаний с аддитивным и разностным типами комбинационных внутренних резонансов первого и второго рода с использованием двух различных численных методов. Изучены все двенадцать возможных случаев комбинационного внутреннего резонанса.

Глава 1. Обзор литературы по нелинейным колебаниям цилиндрических оболочек

1.1. Современные теории цилиндрических оболочек

Исследованию нелинейного динамического поведения тонких цилиндрических оболочек посвящено большое количество работ [3,15,21,53,93,109,147,155]. В последние десятилетия внимание авторов, занимавшихся теорией тонких оболочек, было привлечено, главным образом, к задачам статики [30-32,148] или классической динамики [15,21,35,52,63,90,116].

В настоящее время центр исследований в теории оболочек перемещается в область динамики с учетом различных свойств материла, из которого они изготовлены, и учетом свойств окружающей среды. Это объясняется прежде всего требованиями авиационной и космической техники, промышленного и гражданского строительства. Изучение динамического поведения оболочечных конструкций также имеет большое значение для судостроения, инженерных сооружений и сетей и т.д. [3,10,12].

Наиболее опасным для тонкостенных конструкций оболочечного типа является комбинация статических нагрузок с различными типами динамических воздействий [21,48,77,86,90,96,113,117], а также возникновение внутреннего резонанса [49,56,64,84,106,118]. Такие комбинированные нагрузки особенно часто влекут за собой отклонения от нормальной работы оболочки, а периодическое или циклическое воздействие таких нагрузок часто приводит к образованию усталостных трещин. Разрушение конструкции происходит в этом случае иногда за короткий срок [158].

Описание процесса колебаний оболочки чаще всего выполняется с использованием положений теории геометрической нелинейности [11,18,21,47,48,54,57,58]. Но снижение несущей способности оболочек часто объясняется накоплением пластических деформаций, и поэтому изучение физически нелинейных систем также важно. Таким образом, нелинейные задачи

13

динамики оболочек представляют большой практический интерес [1,11,15,88,97,160].

При изучении колебаний оболочек в имеющейся литературе речь идет, как правило, о малых колебаниях упругих оболочек, когда подразумеваются линейные соотношения между деформациями и перемещениями с одной стороны и деформациями и усилиями с другой [10,11,15]. Деформации могут лежать за пределами применимости закона Гука и нелинейно зависеть от усилий, тогда как деформация, возникающая в упругом теле пропорциональна приложенной к этому телу силе. Поэтому решение задач теории оболочек должно исходить из нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями, а также изучения скоростей изменения этих величин и характеристик упругих материалов со временем [15].

Основной целью теории оболочек является определение напряжений и перемещений, возникающих в упругой оболочке в ответ на заданные силы. Такое вычисление делается либо путем решения системы уравнений в частных производных, либо путем минимизации функционала, который может быть определен либо в трехмерном виде, либо в двумерном виде, в зависимости от того, задается ли оболочка в ее эталонной конфигурации, как трехмерное или как двумерное тело (последнее представляет собой абстрактную идеализацию физической оболочки, когда ее толщина мала) [3,21,52,62].

При деформации тонкостенной круговой цилиндрической оболочки прямолинейный элемент, перпендикулярный к срединной поверхности, остаётся прямолинейным и перпендикулярным к деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины. Это обстоятельство приводит к выполнению следующих допущений [1,15]:

- напряжения, нормальные по отношению к площадкам, параллельным срединной поверхности, считаются пренебрежимо малыми по сравнению с остальными напряжениями;

- материал оболочки работает в области линейной упругости;

- силы внутреннего трения при колебаниях не учитываются.

Эти допущения позволяют решать задачу колебаний оболочки в линейной

- П - и

постановке с малой погрешностью порядка — в сравнении с единицей, где п -

К

толщина оболочки, К - радиус срединной поверхности. Уравнения движения в этом случае выводятся из условий динамического равновесия её элемента, представленного на рисунке 1.

Рисунок 1 - Элемент оболочки под действием изгибающих и крутильных

моментов и поперечных сил

Известно, что изучение нелинейных колебаний оболочек является важной областью прикладной механики, так как оболочки используются в качестве конструктивных элементов во многих отраслях промышленности и техники.

Для исследования нелинейных колебаний оболочек применяют различные методы: аналитические [3,15,21,55,57,109,112], численные [33,89] и экспериментальные [33,53,110]. Обзор недавних достижений в данной области можно найти в работах Amabili [48,49], Kumar [90], Lee [93], Ahmadi [40-42], Gao [82], Gonfalves [83], Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой [25-27], В.Д. Кубенко и П.С. Ковальчука [21].

Одним из явлений, которое присуще нелинейным динамическим системам, является внутренний резонанс, который приводит к перекачке энергии между подсистемами, связанными условиями внутреннего резонанса.

Внутренний резонанс — это такое явление, когда одна, две, три или более собственных частоты находятся в некотором соответствии друг с другом. Если частота одной моды колебаний равна частоте другой моды, мы имеем резонанс один-к-одному. Если одна из собственных частот в два раза больше, чем любая другая частота, имеет место резонанс два-к-одному и так далее [108].

Помимо резонансов один-к-одному, два-к-одному и три-к-одному могут существовать и комбинационные резонансы [5,9,16,17,19,103], когда три или более частот находятся в некоторой взаимосвязи между собой.

Сначала это явление изучалось для простейших механических систем с двумя и более степенями свободы [4,5,7,8,14,103], а затем в балках, струнах, пластинках, оболочках и висячих комбинированных системах [19,28,37,49,56,64,78,84,106,107,118,119,129,132, 156,159,161]. Следует также упомянуть современные статьи [33,48,57,102,109,113,127] и монографии [108,110], включающие обширный обзор литературы в области внутренних резонансов в различных механических системах.

Было выявлено, что явление внутреннего резонанса может быть очень

критичным, особенно для круглых цилиндрических оболочек, для которых

обсуждались различные типы внутреннего резонанса: один-к-одному [121,157],

два-к-одному [84,109,159], три-к-одному [128], а также различные

16

комбинационные резонансы при взаимодействии трех и более собственных частот [85,120].

1.2. Применение моделей вязкоупругости с дробными производными в динамических задачах механики

За последние два десятилетия большое внимание уделяется демпфирующим свойствам механических систем, подвергающихся различным внутренним резонансам. Чаще всего в инженерных расчетах демпфирующие свойства нелинейных систем описываются слагаемым, пропорциональным производной по времени первого порядка от перемещения [20,108].

Так, вынужденные колебания круглой цилиндрической оболочки в вязкой среде исследовались соответственно в [51,112] с помощью нелинейной теории Доннелла, а внутренние резонансы разных типов были проанализированы в [56, 113].

Однако, как было показано Ю.А. Россихиным и М.В. Шитиковой [124], которые проанализировали свободные затухающие колебания висячих мостов в условиях внутреннего резонанса один-к-одному и два-к-одному, для хорошего соответствия теоретических исследований экспериментальным результатам демпфирующие свойства нелинейных механических систем следует описывать с помощью производных дробного порядка по времени [127].

Так, анализ нелинейных колебаний механической системы с двумя степенями свободы, демпфирующие свойства которой описываются дробной производной, показал [134], что в случае, когда система находится в условиях внутреннего резонанса «один-к-одному» или «два-к-одному», вязкость может оказывать двоякое влияние на систему: дестабилизирующее влияние, вызывающее нестационарную перекачку энергии, и стабилизирующее влияние,

приводящее к затуханию механизма обмена энергией.

Следует отметить, что история дробных производных восходит к классическому исчислению, которое было обобщено на дробное исчисление в работах Абеля, Римана и Лиувилля. Становление дробного исчисления описано в историческом очерке в знаменитой монографии С.Г. Самко, А.А. Килбаса и О.И. Марчева «Теория и приложения дробных интегралов и производных» [29].

Что же касается истории приложений дробного исчисления в динамических задачах механики деформируемого твердого тела, то она приведена в ретроспективной статье профессора Ю.А. Россихина [131], который был одним из пионеров в этой области и высоко цитируемым ученым по данным международной базы данных Web of Science, опубликовавшим большое количество научных работ с использованием дробного исчисления в механике [23-26,120-145,153].

В ретроспективе [131] описано два пути развития приложений дробного исчисления в механике: результаты ученых бывшего СССР и западных ученых, приведена хронология публикаций в этой области до 1980 года и показан приоритет российских исследователей в создании реологических моделей на основе дробных производных и других дробных операторов, таких как обобщенные модели Кельвина-Фойгта, Максвелла и стандартного линейного тела.

Известно, что свойства вязкоупругих материалов находятся между вязкими и упругими, поэтому логично моделировать их поведение с использованием дробных производных. Приемлемый диапазон для порядка дробности у можно рассматривать от значения y = 0, которое описывает закон Гука, до значения y =1, которое соответствует закону Ньютоновской вязкой жидкости.

В работах [124,139] было показано, что такой подход в моделировании

затухающих нелинейных колебаний тонких тел обеспечивает хорошее

18

согласование между теоретическими результатами и экспериментальными данными через соответствующий выбор дробного параметра (порядок дробной производной) и коэффициента вязкости.

Все современные достижения в области применения дробного исчисления при решении динамических задач механики деформируемого твердого тела и строительной механики можно найти в обзорных статьях Ю.А. Россихина и М.В. Шитиковой, опубликованных в журнале Applied Mechanics Reviews в 1997 [140] и 2010 годах [125], а также в их статье, включенной в справочник по дробному исчислению, изданный издательством DeGryter в 2019 году [126].

1.3 Свободные затухающие колебания цилиндрических оболочек в среде, демпфирующие свойства которой описываются реологической моделью с дробной производной

Следуя Ю.А. Россихину и М.В. Шитиковой [127], рассмотрим

динамическое поведение шарнирно-опёртой нелинейной тонкой упругой

цилиндрической оболочки в вязкоупругой среде.

Колебания оболочки в цилиндрической системе координат будем

моделировать тремя дифференциальными уравнениями в соответствии с

теорией Донелла-Муштари-Власова [15]:

д2u 1 -v 1 д2u 1 + v 1 д2v 1 dw dw д2w

—т +--г"—^ +----v--+--г +

дх 2 R дт 2 R дхдр R дх дх дх

(1)

1 + v 1 8w д2w 1 -v 1 д/w д2w_ p(1 )д2u

2 R2 дт дхдт 2 R2 дх др2 E Ы2 '

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Басем Аджарма Халиль Мохаммед, 2020 год

Список использованных источников

1. Аврамов К.В. Нелинейная динамика упругих систем. Том 1. Модели, методы, явления / К.В. Аврамов, Ю.В. Михлин. - Ижевск: Издательство РХД, Институт компьютерных исследований, 2010. - 704 с.

2. Аджарма Б. Численный анализ нелинейных колебаний цилиндрических оболочек в вязкоупругой среде при наличии комбинационного внутреннего резонанса / Б. Аджарма, М.В. Шитикова // Юбилейная XXX Международная инновационная конференция молодых ученых и студентов по проблемам машиноведения, 20-23 ноября 2018, Москва. -2019. - С. 274-227.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек / С.А. Амбарцумян. - Москва: Наука, 1974. - 448 с.

4. Антипов В.И. Динамика вибрационных машин с параметрическим возбуждением: дис. ... д-ра техн. наук: 01.02.06 / Антипов Василий Иванович. - Нижний Новгород, 2001. - 246 с.

5. Антипов В.И. Энергетические соотношения в вибрационной машине на многократном комбинационном параметрическом резонансе / В.И. Антипов, Н.Н. Денцов, А.В. Кошелев // Москва: Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - 2013. - № 5(1). -С. 188-194.

6. Биргер И.А. Расчет на прочность деталей машин: Справочник / И.А. Биргер, Б. Ф. Шорр, Г.Б. Иосилевич. — 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1993. - 640 с: ил.

7. Бутиков Е.И. Маятник с модулируемой длиной. I. Параметрический резонанс / Е.И. Бутиков // Компьютерные инструменты в образовании. -2013. -№ 3. -С. 33 - 44.

8. Бутиков Е.И. Параметрический резонанс / Е.И. Бутиков // Компьютерные

инструменты в образовании. - 2009. - № 3. - С. 22 - 40.

82

9. Валеев К.Г. Об опасности комбинационных резонансов / К.Г Валеев // Прикладная математика и механика. - 1963. -Том 27, № 6. - С. 1134-1142.

10. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1978 — Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. 1978. - 352 c.

11. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / Ред. совет: В.Н. Челомей (пред.). — М.: Машиностроение, 1979 — Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И. И. Блехмана. 1979. - 351 с.

12. Вильде М.В. Влияние параметра степени дробно-экспоненциального ядра на дисперсию гармонических волн в наследственно-упругом сплошном цилиндре / Вильде М.В., Сергеева Н.В. // В сборнике: Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Материалы XXIII международного симпозиума им. А.Г. Горшкова. -2017. - С. 48-51.

13. Вильде М.В. Развитие асимптотических методов анализа дисперсионных соотношений для наследственно-упругого сплошного цилиндра / Вильде М.В., Сергеева Н.В. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. - 2017. -Т. 17, № 2. - С. 183-195.

14. Витт А.А. Колебания упругого маятника как пример двух параметрически связанных линейных систем / А.А. Витт, Г.С. Горелик // Журнал технической физики. - 1933. - Т. 3, № 2-3. - С. 294-307.

15. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. - Москва: Наука, 1972. - 432 с.

16. Голубков А.В. Комбинационные параметрические резонансы нелинейных систем: дис. ... канд. техн. наук: 01.02.06 / Голубков Александр Васильевич. - Москва, 1984. - 178 с.

17. Денцов Н.Н. Динамика вибрационного грохота на многократном комбинационном параметрическом резонансе / Н.Н. Денцов // Фундаментальные исследования. - 2015. - №4. - С. 55-60.

18. Заславский Г.М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев. - Москва: Наука, 1988. - 368 с.

19. Кочуров Р.Е. Параметрические колебания цилиндрических оболочек в области комбинационных резонансов при геометрически нелинейном деформировании / Р.Е. Кочуров, К.В. Аврамов // Математичш методи та фiзико-механiчнi поля. - 2009. - №52(4). - С. 130-137.

20. Клаф Р. Динамика конструкций: Пер. с англ./Р. Клаф, Дж. Пензен. -М.: Строй-издат, 1979. - 320с.

21. Кубенко В.Д. Нелинейные задачи о вибрации тонких оболочек(обзор) / В.Д. Кубенко, П.С. Ковальчук // Международная прикладная механика. -1978. - Том 34, № 8. - С. 703-728.

22. Найфэ А.Х. Методы возмущений: монография / А.Х. Найфэ. - Москва, 1973. -474 с.

23. Огородников Е.Н. Математическое моделирование наследственно-упругого деформируемого тела на основе структурных моделей и аппарата дробного интегро-дифференцирования Риммана-Лиувилля / Е.Н. Огородников, В.П. Радченко, Л.Г. Унгарова // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2016. - Т. 20, N 1. - С. 167194.

24. Огородников Е.Н. Реологические модели вязкоупругого тела с памятью и дифференциальные уравнения дробных осцилляторов / Е.Н. Огородников, В.П. Радченко, Н.С. Яшагин // Вестник Самарского государственного технического университета. - 2011. - Т. 1, N 22. - С. 255-268.

25. Россихин Ю.А. Анализ затухающих колебаний упругой круговой цилиндрической пологой оболочки, погруженной в вязкую жидкость / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, Е.И. Овсянникова // В сборнике: Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций, Воронеж. - 2000. - С. 114-122.

26. Россихин Ю.А. Математическое моделирование демпфирующих свойств цилиндрической оболочки / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, Е.И. Овсянникова // В сборнике: Математика. Образование. Экология. Гендерные проблемы, Материалы международной конференции под редакцией И.С. Гудович, С.О. Стрыгиной. - 2000. - С. 230-231.

27. Россихин Ю.А. Затухающие колебания упругой цилиндрической круговой оболочки, погруженной в вязкую жидкость / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова, Е.И. Овсянникова // В сборнике: Современные проблемы механики и прикладной математики, Материалы школы-семинара, посвященной 70-летию профессора Д.Д. Ивлева. - 2000. - С. 400-405.

28. Россихин Ю.А. Нелинейные свободные пространственные колебания висячих комбинированных систем / Ю.А. Россихин, М.В. Шитикова // Прикладная математика и механика. - 1990. - Том 54, № 6. - С. 825-832.

29. Самко С.Г. Теория и приложения дробных интегралов и производных / С.Г. Самко, А.А. Килбас, О.И. Маричев. - Минск: Наука и Техника, 1988. -688 с.

30. Трещев А.А. Расчет напряженно-деформированного состояния железобетонной оболочки положительной гауссовой кривизны / Трещев А.А., Теличко В.Г. // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2010. - № 2 (8). - С. 506-512.

31. Трещев А.А. Модель термомеханического деформирования оболочек в связанной постановке, выполненных из дилатирующих материалов /

85

Трещев А.А., Теличко В.Г., Делягин М.Ю. // В сборнике: Устойчивое развитие региона: архитектура, строительство, транспорт. Материалы 5-й Международной научно-практической конференции Института архитектуры, строительства и транспорта. - 2018. - С. 43-49.

32. Трещев А.А. Моделирование Расчет напряженно-деформированного состояния толстых цилиндрических оболочек из материалов с усложненными свойствами / Трещев А.А., Теличко В.Г., Ходорович П.Ю. // Materials Physics and Mechanics. - 2014. - Т. 21. - № 1. - С. 38-50.

33. Чешко К.Ф. Экспериментальный и численный анализ свободных колебаний пологой оболочки / К.Ф. Чешко, О.Ф. Полищук, К.В. Аврамов // Динамка i мщнють машин. - 2017. - № 40. - С. 81-85.

34. Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров / Р.В. Хемминг. - М.: Наука, 1968. - 400 с.

35. Чигарев А.В. Анализ собственных частот и форм колебаний свободно опертой упругой цилиндрической оболочки / А.В. Чигарев, А.Р. Покульницкий // Теоретическая и прикладная механика: международный научно-технический сборник. - Вып. 32. - 2017. - С. 141 - 146.

36. Шитикова М.В. Численный анализ нелинейных колебаний цилиндрических оболочек в вязкоупругой среде при наличии разностного комбинационного внутреннего резонанса / М.В. Шитикова, Б. Аджарма // Материалы международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики», Воронеж, 17 - 19 декабря 2018 г. - 2019. - C. 997-1002.

37. Abe A. Nonlinear dynamic behaviors of clamped laminated shallow shells with one-to-one internal resonance / A. Abe, Y. Kobayashi, G. Yamada // Journal of Sound and Vibration.- 2007. - Vol 304 (3-5). - P. 957-968.

38. Abu-Arqub O. Numerical solutions for the Robin time-fractional partial

differential equations of heat and fluid flows based on the reproducing kernel

86

algorithm / O. Abu-Arqub // International Journal of Numerical Methods of Heat and Fluid Flow. -2018. - Vol.28, No. 4. - P. 828-856.

39. Achar B.N.N. Damping characteristics of a fractional oscillator / B.N.N Achar, J.W. Hanneken, T. Clarke // Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications. -2004. - Vol. 339 No. 3-4. - P. 311-319.

40. Ahmadi H. Nonlinear primary resonance of imperfect spiral stiffened functionally graded cylindrical shells surrounded by damping and nonlinear elastic foundation / H. Ahmadi // Engineering with Computers. -2018. - P. 1-15.

41. Ahmadi H. Nonlinear primary resonance of spiral stiffened functionally graded cylindrical shells with damping force using the method of multiple scales / H. Ahmadi, K. Foroutan // Thin-Walled Structures. - 2019.- Vol 135. - P. 33-44.

42. Ahmadi H. Combination resonance analysis of FG porous cylindrical shell under two-term excitation / H. Ahmadi, K. Foroutan // Thin-Walled Structures. - 2019.- Vol 32(2). - P. 253-264.

43. Ajarmah B. Numerical analysis of nonlinear forced vibrations of a cylindrical shell with combinational internal resonance in a fractional viscoelastic medium / B. Ajarmah, M.V. Shitikova // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. - 2019. - Vol. 489 No. 1. - P. 8.

44. Ajarmah B. Numerical analysis of non-linear vibrations of a fractionally damped cylindrical shell under the additive combinational internal resonance / B. Ajarmah, M.V. Shitikova // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. - 2018. - Vol. 14. - P. 42-58.

45. Ajarmah B., Shitikova M.V. Программный комплекс численного исследования нелинейных колебаний цилиндрических оболочек в условиях внутреннего комбинационного резонанса / №: 2019615163 Правообладатель: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный технический университет» (RU)// Заявка No 2019613622,

87

Дата поступления 05 апреля 2019г., Дата государственной регистрации в Реестре программ для ЭВМ 9 апреля 2019 г.

46. Ajarmah B. Nonlinear vibrations of a cylindrical shell in a fractional viscoelastic medium with combinational internal resonances of the second order / B. Ajarmah, M.V. Shitikova // Journal of Physics: Conference Series.-2019.- Vol. 1203. -P.8.

47. Alijani F. Nonlinear vibrations of shells: A literature review from 2003 to 2013 / F. Alijani, M. Amabili //International Journal of Non-Linear Mechanics. -2014. - Vol. 58. - P. 233-257.

48. Amabili M. Review of studies on geometrically nonlinear vibrations and dynamics of circular cylindrical shells and panels, with and without fluid-structure interaction / M. Amabili, M. Paidoussis // Applied Mechanics Reviews. - 2003. - Vol. 56 No. 4. -P. 349-381.

49. Amabili M. Internal resonances in non-linear vibrations of a laminated circular cylindrical shell / M. Amabili // Nonlinear Dynamics. - 2012. - Vol. 69 No. 3. -P. 755.

50. Amabili M. Nonlinear vibrations of laminated circular cylindrical shells: Comparison of different shell theories / M. Amabili // Composite Structures. -2011. - Vol. 94, No. 1. - P. 207-220.

51. Amabili M. Reduced-order models for nonlinear vibrations, based on natural modes: The case of the circular cylindrical shell / M. Amabili / /Philosophical Transactions of the Royal Society A Mathematical Physical and Engineering Sciences. - 2013. - Vol. 371, No. 1993. - P. 1-17.

52. Amabili M. Nonlinear vibrations and stability of shells and plates. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. - 374 p.

53. Amabili M. Nonlinear dynamics and stability of circular cylindrical shells containing flowing fluid. Part III: truncation effect without flow and

experiments / M. Amabili, F. Pellicano, M. Paidoussis // Journal of Sound and Vibration. - 2000. - Vol. 237, No. 4. - P. 617-640.

54. Asnafi A. Dynamic stability recognition of cylindrical shallow shells in Kelvin-Voigt viscoelastic medium under transverse white noise excitation / A. Asnafi // Nonlinear Dynamics. - 2017. - Vol. 90, No. 2. - P. 1-11.

55. Atluri S.A. Perturbation analysis of non-linear free flexural vibrations of a circular cylindrical shell / S. Atluri // International Journal of Solids and Structures. - 1972. - Vol. 8, No. 4. - P. 549-569.

56. Avramov K.V. Nonlinear forced vibrations of a cylindrical shell with two internal resonances / K.V. Avramov // International Applied Mechanics. -2006. - Vol. 42, No. 2. - P. 169-175.

57. Avramov K.V. Asymptotic analysis of nonlinear dynamics of simply supported cylindrical shells / K.V. Avramov, Y.V. Mikhin, E. Kurilov // Nonlinear Dynamics. - 2012. - Vol. 47. - P. 331-352.

58. Avramov K.V. Periodic, quasi-periodic, and chaotic geometrically nonlinear forced vibrations of a shallow cantilever shell / K.V. Avramov, S.E. Malyshev // Acta Mechanica. - 2018. - Vol. 229, No. 4. - P. 1619-6937.

59. Bagley R.L. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures / R.L. Bagley, P.J. Torvik // AIAA Journal. - 2008. - Vol. 23, No. 6. - P. 918-925.

60. Baleanu D. Fractional calculus: models and numerical methods / D. Baleanu, K. Diethelm, E. Scalas, J.J. Trujillo. - Singapore: World Scientific, 2012. -114 p.

61. Belhocine A. Similarity solution and Runge-Kutta method to a thermal boundary layer model at the entranceregion of a circular tube / A. Belhocine, W.Z. Wan Omar // Revista Cientifica. - 2018. - Vol. 31, No. 1. - P. 6-18.

62. Bich D.H. Nonlinear vibration of functionally circular cylindrical shells based on improved Donnell equations / D.H. Bich, N.X. Nguyen // Journal of Sound and Vibration. - 2012. - Vol. 331. - P. 5488-5501.

63. Breslavsky I.D. Nonlinear modes of cylindrical panels with complex boundaries. R-function method / I.D. Breslavsky, K. Avramov // Meccanica. -2011. - Vol. 46, No. 4. - P. 817-832.

64. Breslavsky I.D. Nonlinear vibrations of a circular cylindrical shell with multiple internal resonances under multi-harmonic excitation / I.D. Breslavsky, M. Amabili // Nonlinear Dynamics. - 2018. - Vol. 93, No. 1. - P. 53-62.

65. Byrne G. RK Methods prove popular / G. Byrne, K. Hindmarsh // IMA Conference on Numerical ODE's, SIAM News. - 1990. - Vol. 23. - P. 14-15.

66. Chang T.K. Impact response of a fractionally damped spherical shell / T. K. Chang, Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, C.K. Chao // Journal of Mechanics.

- 2015. - Vol. 31, No. 1. - P. 47-53.

67. Dabiri A. Stable fractional Chebyshev differentiation matrix for the numerical solution of multi-order fractional differential equations / A. Dabiri, E.A. Butcher // Nonlinear Dynamics. - 2017. - Vol. 90, No. 1. - P. 185-201.

68. Di Paola M. Visco-elastic behavior through fractional calculus: an easier method for best fitting experimental results / M. Di Paola, A. Pirrotta, A. Valenza // Mechanics of materials. - 2011. - Vol. 43, No. 12. - P. 799-806.

69. Diethelm K. An algorithm for the numerical solution of differential equations of fractional order / K. Diethelm // Electronic Transactions on Numerical Analysis. - 1997. - Vol. 5. - P. 1-6.

70. Diethelm K. The analysis of fractional differential equations / K. Diethelm. -Berlin-Heidelberg: Springer, 2004. - 186 p.

71. Diethelm K. Efficient solution of multi-term fractional differential equations using P(EC)mE methods / K. Diethelm // Computing. - 2003. - Vol. 71, No. 4.

- P. 305-319.

72. Diethelm K. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations / K. Diethelm, N.J. Ford, A.D. Freed // Nonlinear Dynamics. - 2002. - Vol. 29, No. 1-4. - P. 3-22.

73. Diethelm K. Multi-order fractional differential equations and their numerical solution / K. Diethelm, N.J. Ford // Applied Mathematics and Computation. -2004. - Vol. 154, No. 3. - P. 621-640.

74. Diethelm K. An efficient algorithm for the evaluation of convolution integrals / K. Diethelm, A.D. Freed // Computers and Mathematics with Applications. -2006. - Vol. 51, No. 1. - P. 51-72.

75. Diethelm K. Numerical solution of fractional order differential equations by extrapolation / K. Diethelm, G. Walz // Numerical Algorithms. - 1997. - Vol. 16, No. 3-4. - P. 231-253.

76. Diethelm K. Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods / K. Diethelm, N.J. Ford, A.D. Freed, Y. Luchko // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2005. - Vol. 194, No. 6-8. - P. 743773.

77. Du C.C. Nonlinear forced vibration of functionally graded cylindrical thin shells / C.C. Du, Y.H. Li, X.S. Jin // Thin-Walled Structure. - 2014. - Vol. 78. -P. 26-36.

78. Du C.C., Li Y. Nonlinear internal resonance of functionally graded cylindrical shells using the Hamiltonian dynamics / C.C. Du, Y.H. Li // Acta Mechanica Solida Sinica. - 2014. - Vol 27 (6). - P. 635-647.

79. Du M. Measuring memory with the order of fractional derivative / M. Du, Z. Wang, H. Hu // Scientific reports. -2013. - Vol. 3. - P.3.

80. Edwards J.T. The numerical solution of linear multi-term fractional differential equations: systems of equations / J.T Edwards., N.J. Ford, A.C. Simpson // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2002. - Vol. 148. - P. 401-418.

81. Ford N.J. An algorithm for the numerical solution of two-sided space-fractional partial differential equations / N.J. Ford, K. Pal, Y. Yan // Computational Methods in Applied Mathematics. - 2015. - Vol. 15. - P. 497514.

82. Gao K. Nonlinear primary resonance of functionally graded porous cylindrical shells using the method of multiple scales / K. Gao, W. Gao, B. Wu, D. Wu, C. Song // Thin-Walled Structures. - 2018. - Vol. 125. - P. 281-293.

83. Gonfalves P.B. Effect of nonlinear modal interaction on the dynamic instability of axially excited cylindrical shells / P.B. Gonfalves, Z.J.G.N. Del Prado // Computers and Structures. - 2004. - Vol 82. - P. 2621-2634.

84. Hao Y.X. Nonlinear dynamics of cantilever FGM cylindrical shell under 1:2 internal resonance relations / Y. X. Hao, W. Zhang, J. Yang // Mechanics of Advanced Materials and Structures. - 2013. - Vol. 20. - P. 819-833.

85. Hosseini S.A.A. Combination resonances in a rotating shaft / S.A.A. Hosseini, S.E. Khadem // Mechanism and Machine Theory. - 2009. - Vol.44, No. 8. - P. 1535-1547.

86. Hu Y.C. The frequency response and damping effect of three-layer thin shell with viscoelastic core / Y.C. Hu, S.C. Huang // Computers & Structures. -2000. - Vol. 76, No. 5. - P. 577-591.

87. Korjakin A. Free damped vibrations of sandwich shells of revolution / A. Korjakin, R. Rikards, H. Altenbach, A. Chate // Composite Structures. - 2001. - Vol. 41, No. 1. - P. 39-47.

88. Krysko A.V. Nonlinear dynamics and contact interactions of the structures composed of beam-beam and beam-closed cylindrical shell members / A.V. Krysko, J. Awrejcewicz, O.A. Saltykova, S.S. Vetsel, V.A. Krysko // Chaos, Solitons and Fractals. - 2016. - Vol. 91. - P. 622-638.

89. Kumar P. An approximate method for numerical solution of fractional differential equations / P. Kumar, O.P. Agrawal // Signal Processing. - 2006. -Vol. 86, No. 10. - P. 2602-2610.

90. Kumar P. Review on non-linear vibrations of thin shells / P. Kumar, J.V. Subrahmanyam, P.A. RamaLakshmi // International Journal of Engineering. -2013. - Vol. 3. - P. 181-207.

91. Lambert D.J. Numerical methods for ordinary differential systems: the initial value problem / D.J. Lambert. - New York: Wiley, 1991. - 304 p.

92. Lázaro M. Nonviscous modes of nonproportionally damped viscoelastic systems / M. Lázaro // Journal of Applied Mechanics. - 2015. - Vol. 82, No. 12. - P. 9.

93. Lee Y.S. Review on the cylindrical shell research / Y.S. Lee // Transactions of the Korean Society of Mechanical Engineers. - 2009. - Vol. 33, No. 1. - P. 126.

94. Leversha G. Numerical methods for partial differential equations / G. Leversha, G. Evans, J. Blackledge, P. Yardley // The Mathematical Gazette. -2007. - Vol. 84. - P. 567-568.

95. Li C. Numerical approaches to fractional calculus and fractional ordinary differential equation / C. Li, A. Chen, J. Ye // Journal of Computational Physics. -2011. - Vol. 230, No. 9. - P. 3352-3368.

96. Liu Y. Nonlinear vibrations of rotating thin circular cylindrical shell / Y. Liu, F. Chu // Nonlinear Dynamics. - 2012. - Vol. 67, No. 2. - P. 1467-1479.

97. Liu Y.Z. Nonlinear dynamics of initially imperfect functionally graded circular cylindrical shell under complex loads / Y.Z. Liu, Y.X. Hao, W. Zhang, J. Chen, S.B. Li // Journal of Sound and Vibration. - 2015. - Vol. 348. - P. 294-328.

98. Lubich C. Discretized Fractional Calculus / C. Lubich // SIAM Journal on Mathematical Analysis. - 1986. - Vol.17. - P. 704-719.

99. Lynch V.E. Numerical methods for the solution of partial differential equations of fractional order / V.E. Lynch, B.A. Carreras, D. del-Castillo-Negrete, K.M. Ferreira-Mejias, H.R. Hicks // Journal of Computational Physics. - 2003. - Vol. 192. - P. 406-421.

100. Mahdy A.M.S. Numerical studies for solving fractional integro-differential equations / A.M.S. Mahdy // Journal of Ocean Engineering and Science. - 2018. - Vol. 3(2). - P. 127-132.

101. Mahmoudkhani S. An analytical study of the non-linear vibrations of cylindrical shells / S. Mahmoudkhani, H.M. Mavazi, H. Haddadpour // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2011. - Vol. 46. - P. 13611372.

102. McRobie F.A. Auto-parametric resonance in cylindrical shells using geometric averaging / F.A. McRobie, A.A. Popov, J. Thompson // Journal of Sound and Vibration. - 1999. - Vol. 227. - P. 65-84.

103. Mendes R. Modal balancing using parametric combination resonance / R. Mendes, F. Dohnal // Springer: Proceedings of the 10th International Conference on Rotor Dynamics - IFToMM. - 2019. - Vol. 4. - P. 129-143.

104. Mokhtari M. Dynamic analysis of isotropic sandwich cylindrical shell with fractional viscoelastic core using Rayleigh-Ritz method / M. Mokhtari, M.R. Permoon, H. Haddadpour // Composite Structures. - 2018. - Vol. 186. - P. 165-174.

105. Momenzadeh A. Comparison between numerical solutions to fractional differential equations: Adams-type predictor-corrector and multi-step generalized differential transform method / A. Momenzadeh, A. Sarv, A. Sima // arXiv e-prints. - 2017. - 1710.04183.

106. Mook D.T. The influence of an internal resonance on non-linear structural vibrations under combination resonance conditions / D.T. Mook, N.

HaQuang, R.H. Plaut // Journal of Sound and Vibration. - 1986. - Vol. 104, No. 2. - P. 229-241.

107. Mook D.T. The influence of an internal resonance on non-linear structural vibrations under subharmonic resonance conditions / D.T. Mook, R.H. Plaut, HaQuang N. // Journal of Sound and Vibration. - 1985. - Vol. 102, No. 4. - P. 473-492.

108. Nayfeh A. Modal interactions in dynamical and structural systems / A. Nayfeh, B. Balachandran // Applied Mechanics Reviews. - 1989. - Vol. 42. -P. 175-201.

109. Nayfeh A. Non-linear oscillation of circular cylindrical shells systems / A. Nayfeh, A.R. Raouf // International Journal of Solids and Structures. -1987. - Vol. 23, No. 12. - P. 1625-1638.

110. Nayfeh A. Nonlinear interactions: analytical, computational, and experimental methods / A. Nayfeh. - New York: John Wiley & Sons, 2000. -782 p.

111. Permoon M.R. Free vibration analysis of sandwich conical shells with fractional viscoelastic core / M.R. Permoon, M. Shakouri, H. Haddadpour // Composite Structures. - 2019. - Vol. 214. - P. 62-72.

112. Popov A.A. Low dimensional models of shell vibrations. Parametrically excited vibrations of cylinder shells / A.A. Popov, J. Thompson, McRobie F.A. McRobie // Journal of Sound and Vibration. - 1998. - Vol. 209. - P. 163-186.

113. Popov A.A. Auto-parametric resonance in thin cylindrical shells using the slow fluctuation method / A.A. Popov // Thin-Walled Structures. - 2004. -Vol. 42, No. 3. - P. 475-495.

114. Press W.H. Numerical recipes in C: The art of scientific computing, Runge-Kutta method / W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. - New York: Cambridge University Press, 2007. -1235 p.

115. Rafiee M. Nonlinear free and forced thermo-electro-aero-elastic vibration and dynamic response of piezoelectric functionally graded laminated composite shells, Part I: Theory and analytical solutions / M. Rafiee, B.S. Aragh, B.S. Mohammadi, H. Yaghoobi // Composite Structures. - 2013. - Vol. 103. - P. 179-187.

116. Raouf R.A. Non-linear free vibrations of symmetrically laminated, slightly compressible cylindrical shell panels / R.A. Raouf, A.N. Palazotto // Composite Structures. - 1992. - Vol. 20 No. 4. - P. 249-257.

117. Ribeiro P. Non-linear modes of vibration of thin cylindrical shells in composite laminates with curvilinear fibres / P. Ribeiro // Composite Structures. - 2015. - Vol. 122. - P. 184-197.

118. Rodrigues L. Internal resonances in a transversally excited imperfect circular cylindrical shell / L. Rodrigues, P.B. Gonfalves, F.M.A. Silvab // Procedia Engineering. - 2017. - Vol. 199. - P. 838-843.

119. Rodrigues L. Effects of modal coupling on the dynamics of parametrically and directly excited cylindrical shells / L. Rodrigues, F.M.A. Silvab, P.B. Gonfalves, Z.J.G.N.D. Prado // Thin-Walled Structures. - 2014. -Vol. 81. - P. 210-224.

120. Rossikhin Yu.A. Numerical solution of non-linear vibrations of a fractionally damped cylindrical shell under the conditions of combinational internal resonance/ Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, B. Ajarmah // MATEC Web of Conferences. - 2018. - Vol. 148. - 6 P.

121. Rossikhin Yu.A. A new approach for studying nonlinear dynamic response of a thin fractionally damped cylindrical shell with internal resonances of the order of s / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Advanced Structured Materials. - 2015. - Vol. 45. - P. 301-321.

122. Rossikhin Yu.A. Analysis of damped vibrations of a cylindrical shell embedded into a fractional derivative viscoelastic medium / Yu.A. Rossikhin,

96

M.V. Shitikova // Proceedings of the 10th International Conference on Vibration Problems. - 2011. - P. 485-490.

123. Rossikhin Yu.A. Analysis of non-linear vibrations of a fractionally damped cylindrical shell under the conditions of combinational internal resonance / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Computational Problems in Science and Engineering. - 2015. - Vol. 343. - P. 59-107.

124. Rossikhin Yu.A. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Journal of Engineering Mechanics. - 1998. - Vol. 124, No. 9. - P. 1029-1036.

125. Rossikhin Yu.A. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. - 2010. - Vol. 63. - P. 52.

126. Rossikhin Yu.A. Fractional calculus in structural mechanics / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applications in Engineering, Life and Social Sciences, Part A. - 2019. - Vol. 7. - P. 159-191.

127. Rossikhin Yu.A. Free non-linear vibrations of an elastic cylindrical shell under the conditions of the internal resonance / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Proceedings of the 18th International Congress on Sound and Vibration Rio de Janeiro. - 2011. - Vol. 4. - P. 2775-2782.

128. Rossikhin Yu.A. Nonlinear dynamic response of a fractionally damped cylindrical shell with a three-to-one internal resonance / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Journal of Applied Mathematics and Computing. - 2015. - Vol. 257. - P. 498-525.

129. Rossikhin Yu.A. Soliton-like solutions in the problems of vibrations of nonlinear mechanical systems: Survey / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Nonlinear Systems - Modeling, Estimation, and Stability. London: InTechOpen Publisher. - 2018. - P. 65-87.

130. Rossikhin Yu.A. Computational analysis of the new approach for studying non-linear dynamics response of a thin fractionally damped cylindrical shell with combinational internal resonance of the second order / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, B. Ajarmah // SSRN Electronic Journal. - 2018.- 6 P.

131. Rossikhin Yu.A. Reflections on two parallel ways in the progress of fractional calculus in mechanics of solids / Yu.A. Rossikhin //Applied Mechanics Reviews. -2010. - Vol. 63, No. 1.

132. Rossikhin Yu.A. Analysis of nonlinear free vibrations of suspension bridges / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Journal of Sound and Vibration. -1995. - Vol. 186, No. 3. - P. 369-393.

133. Rossikhin Yu.A. Application of fractional derivatives to the analysis of damped vibrations of viscoelastic single mass systems / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Acta Mechanica. - 1997. - Vol. 120(1-4). - P. 109-125.

134. Rossikhin Yu.A. Analysis of nonlinear vibrations of a two-degree-of-freedom mechanical system with damping modelled by a fractional derivative / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Engineering Mathematics. - 2000. - Vol. 37, No. 4. - P. 343-362.

135. Rossikhin Yu.A. New method for solving dynamic problems of fractional derivative viscoelasticity / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // International Journal of Engineering Science. - 2001. - Vol. 39, No. 2. - P. 149176.

136. Rossikhin Yu.A. Analysis of damped vibrations of linear viscoelastic plates with damping modeled with fractional derivatives / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Signal Processing. - 2006. - Vol. 86, No.10. - P. 2703-2711.

137. Rossikhin Yu.A. Analysis of free non-linear vibrations of a viscoelastic plate under the conditions of different internal resonances / Yu.A. Rossikhin,

M.V. Shitikova // International Journal of Non-Linear Mechanics. - 2006. -Vol. 41, No. 2. - P. 313-325.

138. Rossikhin Yu.A. Free damped vibrations of a viscoelastic oscillator based on Rabotnov's model / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Mechanics of Time-Dependent Materials. - 2008. - Vol. 12, No. 2. - P. 129-149.

139. Rossikhin Yu.A. Nonlinear free damped vibrations of suspension bridges with uncertain fractional damping / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Journal Europeen des Systemes Automatises. - 2008. -Vol. 42, No. 6-8. - P. 879-894.

140. Rossikhin Yu.A. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Applied Mechanics Reviews. - 1997. - Vol. 50, No. 1. - P. 15-67.

141. Rossikhin Yu.A. New approach for the analysis of damped vibrations of fractional oscillators / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Shock and Vibration. - 2009. -Vol. 6, No. 4. - P. 365-387.

142. Rossikhin Yu.A. Analysis of two colliding fractionally damped spherical shells in modelling blunt human head impacts / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Central European Journal of Physics. - 2013. - Vol. 11, No. 6. - P. 760-778.

143. Rossikhin Yu.A. On fallacies in the decision between the Caputo and Riemann-Liouville fractional derivatives for the analysis of the dynamic response of a nonlinear viscoelastic oscillator / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova // Mechanics Research Communications. - 2012. - Vol. 45. - P. 2227.

144. Rossikhin Yu.A. Analysis of free vibrations of a viscoelastic oscillator via the models involving several fractional parameters and relaxation/retardation times / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, T.A. Shcheglova // Computers and Mathematics with Applications. - 2010. - Vol. 59, No. 5. - P. 1727-1744.

145. Rossikhin Yu.A. Forced vibrations of a nonlinear oscillator with weak fractional damping / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, T.A. Shcheglova // Journal of Mechanics of Materials and Structures. - 2010. -Vol. 4, No. 9. - P. 1619-1636.

146. Saadatmandi A. A new operational matrix for solving fractional-order differential equations / A. Saadatmandi, M. Dehghan // Computers and Mathematics with Applications. - 2010. -Vol. 59, No. 3. - P. 1326-1336.

147. Sainsbury M.G. Vibration damping of cylindrical shells using strain-energy-based distribution of an add-on viscoelastic treatment / M.G. Sainsbury, R.S. Masti // Finite Elements in Analysis and Design. - 2007. - Vol. 43, No. 3. - P. 175-192.

148. Shafigullin L.N. Calculation of reinforced concrete shell of positive Gaussian curvature, given different resistance of concrete and cracking / Shafigullin L.N., Treschev A.A., Telichko V.G., Erofeev V.T. // Astra Salvensis. - 2017. Vol. 2017. - P. 77-91.

149. Shen H.S. Nonlinear vibration of shear deformable FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium / H.S. Shen // Composite Structures. -2012. - Vol. 94. - P. 1144-1154.

150. Shen H.S. Postbuckling of shear deformable FGM cylindrical shells surrounded by an elastic medium / H.S. Shen // International Journal of Mechanical Sciences. - 2009. - Vol. 51. - P. 372-383.

151. Shi M.X. Instability in the transformation between extensional and flexural modes thin-walled cylindrical shells / M.X. Shi, Q.M. Li // European Journal of Mechanics - A/Solids. - 2011. - Vol 30, No. 1. - P. 33-45.

152. Shitikova M.V. Nonlinear vibrations of fractional damped cylindrical shells under the additive combinational internal resonance / M.V. Shitikova, B. Ajarmah // Books of Abstracts of the First International Nonlinear Dynamics

Conference NODYCON'2019. - 2019. - P. 451-452.

100

153. Shitikova M.V. Interaction of internal and external resonances during force driven vibrations of a nonlinear thin plate embedded into a fractional derivative medium / Yu.A. Rossikhin, M.V. Shitikova, V. Kandu // Procedia Engineering. -2017. - Vol. 199. - P. 832-837.

154. Siddiqi S.S. Numerical solution of time-fractional fourth-order partial differential equations / S.S. Siddiqi, S. Arshed // International Journal of Computer Mathematics. - 2015. - Vol. 92, No. 7. - P. 1496-1518.

155. Taherzadeh H. Linear vibrations of cylindrical cantilever shells without imperfections / H. Taherzadeh, K.V. Avramov / /Вюник Нац. техн. ун-ту "ХПГ : зб. наук. пр. Сер. : Динамжа i мщнють машин = Bulletin of the National Technical University "KhPI": coll. works. Ser.: Dynamics and Strength of Machines. - 2017. - Vol. 39 (1261). - P. 99-103.

156. Wang Y.Q. Internal resonance of axially moving laminated circular cylindrical shells / Y. Q. Wang, L. Liang, X.H. Guo // Journal of Sound and Vibration. - 2013. - Vol. 332. - P. 6434-6450.

157. Wang Y.-Q. Study on 1:1 internal resonance of thin laminated circular cylindrical shells / Y.-Q. Wang, L. Liang, X.-H. Guo, K. Yang // Vibration and Shock. - 2011. -Vol. 30, No. 9. - P. 10-14.

158. Yang J. Nonlinear dynamic response of a functionally graded plate with a through-width surface crack / J. Yang, Y.X. Hao, W. Zhang, S. Kitipornchai // Nonlinear Dynamics. - 2010. - Vol. 59. - P. 207- 219.

159. Yang S.W. Nonlinear vibrations of carbon fiber reinforced polymer laminated cylindrical shell under non-normal boundary conditions with 1:2 internal resonance / S.W. Yang, W. Zhang, J.J. Mao // European Journal of Mechanics, A/Solids. - 2019. - Vol. 74. - P. 317-336.

160. Zhang W. Nonlinear dynamics of FGM circular cylindrical shell with clamped clamped edges / W. Zhang, Y.X. Hao, J. Yang // Composite

Structures. - 2012. - Vol. 94. - P. 1075-1086.

101

161. Zhang Y. Nonlinear dynamical responses of rotary cylindrical shells with internal resonance / Y. Zhang, J. Liu, B. Wen // Acta Mechanica Solida Sinica. - 2019. - Vol. 32, No. 2. - P. 186-200.

162. Xie K. Free and forced vibration analysis of non-uniformly supported cylinder ical shells through wave-based method / K. Xie, M. Chen, L. Zhang, D. Xie // International Journal of Mechanical Sciences. - 2017. - Vol. 128. - P. 512-526.

ПРИЛОЖЕНИЕ А Акты о внедрении результатов диссертационной работы

ПРИЛОЖЕНИЕ Б Вспомогательные формулы к ГЛАВАМ 1 и 2

Коэффициенты, входящие в уравнения (28)-(30):

( 1 \

Дт1п1т2п2 =

mn т1

1-У

1 + у q2 mñm2n2

2 2 /12 2 'm n rf^r^ ' r /")2 rmi"i i

nm2 + ^~Px"2 <n--— P1 nim2n2a2in

V 2 )

= pini \p¡nl + —-— ^г" ^ЗТ"2"2 -1—pymim2n2a4mn

\

2

1 + —

)

mnm n 2 mnm n

2 "

C'^"2 = ,"2 (n"2 + уР2"2 ) йЗ'"2"2 + (1 - —)p'nmlnln^

9 9 1-У ^ 9 1 n n 1 + У n n

n m2 + — р1 "2 la7 —n 22--pi ,nim2n2a""

nmx

V

mnm n 2 2 2 2 mnm n 2 mnm n

Dm—limn2 = Pi"2 m—2 + Pi2"!2)a5 n1"2 2 + С - y)PntLmWm1a¿T 2 2

- I/ ifi t m vi rii / i -

1+У pxn2 mm^m!"2" - Pi"— [—— n2m2+pi2"22

mnm n

а8гяп '

mnm n 2 2 2 2 mnm n P 2 mnm n 2 mnm n

im2n2 = Pi —"l + Pi2"2)<1 2 2 - у—""a"—— 2 2 + PiVa—o—T2 2),

и коэффициенты a"1"1"2"2 (k=1,2,3,..,10), зависящие от комбинаций функций синуса и косинуса, входящих в собственные функции ц (x , p), имеют вид

a"—"lt"2"2 = J J sin nmxx sin — p cos nm2x sin—p cos nmx sin np dxdp, a"1—1"2"2 = J J cos nmx cos nxp sin nm2x cosn2p cos nmx sin np dxdp, a""—"1"2"2 = J J sin n"x cos nxp sin nmx sin n2 p sin nmx cos np dxdp,

mTimr f1 f2n • • j j

a4 —— 2 2 = jj cos nmx sin —p cos n"x cos n2 p sinnmx cos np dxdp, a""—"1"2"2 = J J sin nmx sin nxp sin nmx sin—p sin nmx sin np dxdp, a"—"1"2"2 = J J cos nmx cos "p cos nmx cos n2 p sin nmx sin np dxdp,

v 0 v 0

a"—I1"2"2 = J J cos nmx sin nxp cos nmx sin n2 p sin nmx sin np dxdp,

v 0 v 0

а""—"1"2"2 = J J sin nmx cos nxp sin nmx cos n2 p sin nmx sin np dxdp,

v 0 v 0

a

9mn

a

10mn

pi r 2n

J J cos nmxx sin np cos nm2x sin n2(p sin nmx sin np dxdp,

pi pin

J J sin nmxx cos np sin nm2x cos n2p sin nmx sin np dxdp.

При этом интегралы могут быть вычислены при помощи следующих формул:

sin« sin Psiny = j[sin(tf + P-y) + sin(P + y-а) + sin(y + а- P) - sin(« + P + y)] sin« cos Pcos y = ^[sin(a + P-y) - sin(P + y - а) + sin(y + а - P) - sin(a + P + y)] sina sin Pcos y = 1[- cos(a + P - y) + cos(P + y - а) + cos(y + а - P) - cos(a + P + y)] cosa cos Pcos y = |[^(а + P - y) + cos(P + y - а) + cos(y + а - P) + cos^ + P + y)]

Коэффициенты, входящие в уравнения (4i)-(43):

a

limn

a,

22 mn

a

33mn

7{( ^ )2 (

Lа AY2

i mn mn

+ LI B'1'2

2 mn mn

+ l E1212) +

3mn mn

+ I L C -1-2-1-2 + tJ

i mn 2

Dv2v2 il1 L 1

mn I 3mn j '

i Akik2kik2 + Та Bkik2kik2 + Та Ekik2kik2 ) +

imn mn 2mn mn 3mn mn

L А/1/2/1/2 + L В/1/2/1/2 + Lа Е11121112

3mn mn

7T{( ^ ) (

-I- I T^I ^-ikik2kik2 jll рк1к2к1к2 \ tII та I

+ I Liklk2Cmn + L2klk2Dmn )L3^^L3mn Í'

* -тННи )2 (

(tIII fhhhh , jIII тлЧгЧгХ тШ та I

Li\12 Cmn ^ L2\12 Dmn ) Т3Ц2 L3mn Í '

( AS1S21112 + A1112S1S2 )L2 +

\ mn mn J lmn

■¥2 ) т

+

13mn

- ^

12 12

+ (B-1-2/1/2 + B1112S1S2 )Та + (ES1S21112 + E)Та

I mn mn I 2 mn I mn mn / 3 mn

+

+

rl TIIIrSiS2l1

III л

L ,, ,, L 7 7 12 + L 7 7 L „ „ C

JJ,

ГГГ2

^3 ^^ 11^2 mn

'31j 12 mn

+

+ L LIIID-1-21112 + iJ11L D1112S1S2

3-j-2 21^12 mn 31-^2 2 ^^ mn

L

3mn

I

mn m n

mn m n

а

а

а

а

23 тп

+

+

- к11 ьш

1 3к,к0 31,1г. Я \ 12 12

( Дк1к21112 + Д1112к1к2 )у* +

тп тп 1 тп

(Вк1к21112 + в1112к1к2 ) уа + ( Ек1к21112 + Е11 1 2к1к2 )

тп тп I 2тп I тп тп I ^

^11 уШ Ск1к21112 + ^ПП 1/1 С 1112к1к2 +

3к к 1 тп 3 1к к т

г11 гШ пк1к21112 + тШт11 п1

1 2 к1 к2

3 21^2 тп

3 2к к тп

В

3тп

+

аа = - (4

12тп 1 3к,кп,

Я

Т2

( Аз1з2к1к2 + Лк1к2'¥2 ) тп тп

та +

1 тп

1к2^1^2 ) та +( Е^1х2к1к2 + Ек1к23132 )

т I 2 тп I тп тп I

+ ( &\з2к1к2 + В

у тп

Л ТП I Т11 Т! /^Т2'Т2

4,, ,, Аи, С— + Ви1, 4 ,, ,, С

+

тэк1к2^2\ та

ч + Втп ) В2,

г! тПП ^^Зк.к» ТПП Г1

В

3тп

+

"/3^2 тп

^3к-к2 тп

+

Л ^ПП ТЛя1я2к1к2 \ ТПП Л ТЛк1к2з1з2 + к-к2тп + В3к-к22 з^^тп

В

3тп

I'

которые позволяют вычислить все коэффициенты, входящие в уравнение (41), при а = П, т = з и п = з2, в уравнение (42) при а = ПП, т = к1 и п = к2 и в уравнение (43) при а = ППП, т = 1 и п = 12.

Коэффициенты, входящие в уравнения (81)-(83):

к = аи

1 3Ц2

к = к2 ~ 2

ц2

к3

а

22

4Ц - о2

аП

Ь _ а22 к4 ~ 2

Ц2

к5 =

а

33

4Ц2 - Ц

аП

к = _ а3. к6 ^2

Ц2

ку

а

12

(Ц+Ц )2 -Ц2

к8 =

а

12

(Ц -Ц2)2

к9 =

а

13

(Ц + Ц )2 - Ц

к10 =

а

13

(Ц-Ц )2 -Ц2

к11 =

а

23

(Ц+Ц )2 -Ц2

=

а

23

(Ц -Ц3)2 -Ц2

2

а,

.пп 11

4 Ц2 -Ц

_ а£

Ц2

аПП а22

3 Ц

2

аПП а22

Ц

2

g5

a