Анализ многомасштабных структур и моделирование динамики их формирования на основе иерархического диффузионного подхода тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Постников, Евгений Борисович

• Постников, Евгений Борисович
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Постников, Евгений Борисович

Введение

Глава 1. Среднеполевое описание диффузионно-ограниченной агрегации.

1.1. Введение: диффузионно-ограниченная агрегация (БЬА) как универсальная модель фрактального структурообразования

1.2. Среднсполевая модель роста БЬА-кластера [1-3]

1.3. Диффузионно-ограниченная агрегация в системе с двумя сортами невзаимодействующих частиц [4, 5]

1.4. Обсуждение перспектив среднеполевого подхода для моделирования диффузионно-ограниченной агрегации

1.5. Выводы по моделированию БЬА-процесса

Глава 2. Моделирование бегущих автоволн в среде с автокаталитической реакцией и затрудненным массопереносом

2.1. Введение: проблема описания реакционно-диффузионных автоволи в конденсированной среде при контактных процессах

2.2. Локальные автоколебания и автоволны в ячейках конечного размера [6-8].

2.3. Математическая модель автоволны, распространяющейся в однородной среде при затрудненном массопереносе и контактной квадратичной автокаталитичесой реакции [9-12].

2.4. Сравнение аналитических результатов с результатами моделирования методом Монте-Карло [10]

2.5. Апробация на реальных эпидемиологических данных [9, 11]

2.6. Обсуждение и перспективы применеиия модели контактных процессов

2.7. Выводы по метематическому моделированию автоволн с среде с затрудненным массопереносом.

Глава 3. Непрерывное вейвлет-преобразование с точки зрения дифференциальных уравнений в частных производных и его приложение к анализу структурообразования

3.1. Введение

3.2. Действительнозначные вейвлеты гауссова семейства и их приложения в обработке изображений.

3.3. Комплексное непрерывное вейвлет-преобразование с вейвлетом Морле как задача Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных [13-19].

3.4. Непрерывное вейвлет-преобразования с вейвлетами семейств Гаусса и Морле как суперпозиция решений системы уравнений в частных производных [13, 19, 20]

3.5. Исследование волновых структур вещества главных колец Сатурна [21-25]

3.6. Выводы и перспективные направления приложения разработанных методов для исследования физико-химических и биофизических конденсированных сред [3, 26].

Глава 4. Исследование хаотической синхронизации и аномальной диффузии путем решения диффузионных уравнений с иерархией переменных коэффициентов диффузии.

4.1. Введение: проблемы детектирования и описания хаотической синхронизации.

4.2. Задача Коши для непрерывного вейвлет-преобразования с переменным разрешением [13, 15, 27, 28, 28, 29]

4.3. Введение: сетевые структуры типа "small world" и случайные блуждания на них.

4.4. Средиеполевое описание аномальной диффузии в сети типа "small world" [12, 29-31].

4.5. Выводы и и перспективы.

Глава 5. Использование вейвлетного базиса для анализа неупорядоченных многомасшабных структур с использованием интегрального преобразования Ганкеля.

5.1. Введение: применение преобразования Ганкеля в современных задачахд

5.2. Известные методы приближенного и численного вычисления преобразования Ганкеля

5.3. Использование дискретного вейвлет-преобразования для проведения преобразования Ганкеля [32-37]

5.4. Выводы и перспективы применения вейвлетов для расчета преобразования Ганкеля

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ многомасштабных структур и моделирование динамики их формирования на основе иерархического диффузионного подхода»

Актуальность работы. Одной из актуальных проблем математического моделирования является изучение нелинейных процессов "реакция-диффузия", ведущих к возникновению структур и распространению автоволн в сплощной среде. Использование единого математического аппарата позволяет унифицированным способом подойти к постановке и решению задач физической [38], химической [39] и биофизической кинетики [40].

В частности, одной из важных примеров является процесс "диффузионно-ограниченной агрегации" (Diffusion-Limited Aggregation, DLA), предложенный Т. Виттеном и JL Сандером, который служит универсальной моделью формирования фрактальных структур при электро- и химической депо-зиции микрочастиц из раствора, образования дендритных включений в минералах, электрического пробоя и других [41]. Наличие иерархии пространственных масштабов в конденсированных средах и описываемых по аналогии с ними, является предпосылкой одного из новейших подходов к их описанию - сетевого представления [42], в рамках которого также отмечен аномальный динамический скейлинг.

Характерной чертой подобных процессов является возникновение распространяющихся фронтов реакции, формирующих бегущие автоволны. Классический подход к их описанию, заложенный работами А.Н. Колмогорова, И.Г. Петровского, Н.С. Пискунова и Р.Э. Фишера, базируется на сосуществовании двух процессов - локальной реакции в любой точке пространства и переносе реагентов за счет свободной неограниченной диффузии. Однако он неприменим в случае плотной среды с затрудненным массопереносом, а также взаимодействий, происходящих только на границе взаимно непроницаемых компонентов реакции. К подобным задачам реакционно-диффузионной кинетики конденсированных сред примыкают также и задачи о распространении контактных инфекций, в которых роль физико-химических реагентов играют маломобильные здоровые и инффицированные индивиды.

Эти факты привели ряд авторов к гипотезе о невозможности построения на основе дифференциальных уравнений в частных производных моделей процессов, происходящих в средах с существенными ограничениями на случайные блуждания, и необходимости введения феноменологических параметров обрезания функции плотности или использования интегро-диффе-ренциальных уравнений [43], которые гораздо сложнее для качественного и количественного исследования.

Поэтому актуальной является задача детального исследования перехода от микроскопического стохастического описания (управляющее уравнение) к макроскопическому усредненному (уравнения типа Чепмена-Колмогорова-Фоккера-Планка) в подобных средах, а также методов решения полученных таким образом нелинейных диффузионных уравнений.

Не менее важной является и обратная к рассмотренной проблема: выявление локальной структуры уже сформированных сложных пространственных и временных распределений. В настоящее время одним из мощных инструментов для ее решения является непрерывное вейвлет-преобразование, которое нашло применение в самом широком круге задач физики и смежных наук [44-46]. Существующие методы расчета основаны на его непосредственном определении как интегрального преобразования свертки. Однако, такой подход содержит существенные трудности при обработке экспериментальных и модельных данных, представленных существенно неоднородными выборками, что требует выработки альтернативных подходов, базирующихся на теории многомасштабных диффузионных процессов.

Структуры, обладающие радиальной симметрией, требуют для анализа применения интегрального преобразования Ганкеля [47]. Однако существующий математический аппарат зачастую является недостаточным в случае данных, которые обладают выраженной иерархией пространственных или временных масштабов, на которых проявляются существенно различные свойства. В этом случае, вейвлет-преобразование, позволяющее проводить эффективную кратномасшабную декомпозицию выборки, представляется перспективным инструментом для проведения интегрального преобразования Ганкеля при его использовании для математического моделирования задач физики и- обработки сигналов.

Цель и диссертационной работы. Анализ и моделирование сложных многомасштабных структур и динамики их формирования на основе последовательного комплексного подхода, основанного на решении систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений диффузионного типа.

В рамках данной цели выделены следующие задачи: 1) построение новых математических моделей контактных многомасштабных процессов роста фрактальных агрегатов, распространения автоволн в средах с ограниченным массопереносом и аномальной диффузии; 2) разработка новых методов анализа многомасштабных структур на основе вейвлет-преобразования и 3) разработка, тестирование и приложения численных алгоритмов на основе данных методов и их реализация в виде комплекса программ.

Научная новизна. Разработан переход от микроскопического описания к среднеполевому диффузионному на основе последовательного учета иерархии пространственных и/или временных масштабов исследуемых структур, позволяющий единым образом получить новые:

• математические модели автокаталитических контактных процессов (формирование фрактальных кластеров и бегущих автоволн в средах с ограниченным массопереносом) и аномальной диффузии (супердиффузии), основанные на введении иерархии операторов диффузии, действующих на областях, доступных для процессов переноса и реакциях, определенных на их границах, а также аналитические аппроксимации и результаты вычислительного эксперимента, полученные на основе разработанных оригинальных программных решений; разработанные модели, в отличие от существующих, не требуют введения феноменологических подгоночных дробно-степенных функций и параметров обрезания для воспроизведения скейлинга, характерного для роста фракталов и аномальной диффузии, а также впервые в явном виде учитывают разделение масштабов полного перемешивания и контактного взимодействия в задачах о моделировании реального химического реактора конечной толщины и распространения эпидемии в маломобильной популяции.

• методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования с практически-значимыми вейвлетами (семейства Морле и Гаусса), основанные на его сведении к решению задачи Коши и начально-граничной задачи для системы диффузионных уравнений, расчета интегрального преобразования Ганкеля, базирующиеся на дискретном вейвлет-преобразовании;

• алгоритмы численного расчета предложенных вейвлет-методов, тестирование которых показало их преимущество по существующими (использованными, в частности, в MATLAB Wavelet Toolbox, WaveLab) реализованные в виде программного комплекса http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/), и успешно примененные к задачам выделения нестационарных периодических структур в конденсированных средах.

Практическая значимость состоит в разработке новых методов моделирования и анализа многомасштабных структур, которые применимы для решения актуальных задач физики и смежных отраслей наук, в частности:

• формирование фрактальных и сетевых структур с заданными масштабными и динамическими свойствами в физико-химической технологии и биофизике;

• анализ структур и сигналов на основе высокопроизводительных и высокоточных вейвлет-алгоритмов, в том числе при помощи реализованного программного продукта.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту.

1. Метод перехода от микроскопического к средпеполевому диффузионному описанию, общий для моделирования широкого круга структур, порождаемых контактными автокаталическими процессами.

2. Расчет фрактальной размерности Б ЬА-кластеров на основе диффузионной модели их роста, согласующийся с данными эксперимента и результатами прямого микроскопического численного моделирования.

3. Модели формирования бегущих волн автокаталитических контактных реакций в сплошной среде с затрудненным массопереносом, их аналитические и численные решения, подтвержденные прямым численным моделированием и сравнением с экспериментальными эпидемиологическими данными.

4. Диффузионные методы расчета непрерывного вейвлет-преобразования на основе вейвлетов семейств Гаусса и Морле, обоснование их преимуществ применительно к анализу сложных многомасштабных структур и реализованный на основе данных методов программный продукт.

5. Анализ нестационарных структур в гранулярных газах на примере анализа фотоизображений высокого разрешения главных колец Сатурна, полученных космическим аппаратом "Кассини".

6. Выявление физического смысла синхронизации масштабов вейвлетных фаз связанных хаотических осцилляторов на основе диффузионного подхода к вейвлет-преобразованию.

7. Среднеполевой расчет релаксационных процессов в сети типа "small world", объясняющий супердиффузионное поведение в натурном эксперименте и при прямом микроскопическом численном моделировании.

8. Метод вычисления интегрального преобразования Ганкеля на основе дискретного вейвлет-преобразования и обоснование его преимуществ на тестовых примерах.

Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором на научных конференциях: SampTA'03: International Workshop on Sampling Theory and Applications (Austria, Salzburg, Strobl, May 26-30, 2003); VII International Symposium on Orthogonal Polynomial, Special Functions and Applications. (Denmark, Copenhagen, August 18-22, 2003) (грант Оргкомитета); Нелинейные волны - 2004 (Н.Новгород, 29 февраля -7 марта 2004); VII международная школа "Хаотические автоколебания и образование струк-тур"(Саратов, 1-6 октября 2004); III Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 24-26 января 2005); ApplMath05: Applied Mathematics and Scientific Computing (Croatia, Brijuni, June 19-24, 2005); WavE2006: Wavelet and Applications Conference (Switzerland, Lausanne, July 10-14, 2006) (грант Оргкомитета)\ XVIII сессия Российского акустического общества (Таганрог, 11-14 сентября 2006) (диплом РАО за лучшую научную работу молодого ученого); ESF-Workshop "PDE Approaches to Image Processing" (Germany, Koln, Oktober 7-10, 2006) (приглашенный пленарный доклад); IV Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике" (Москва, 29-31 января 2007); NBIC-ISBN 2007: Netherlands Bioinformatics Conference / Internationall Symposium on Networks in Bioinforma

10 tics (The Netherlands, Amsterdam, April 16-19, 2007); The Benelux Bioinformatics Conference (Belgium, Leuven, November 12-13, 2007); XV Международная конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Дубна, 28 января - 2 февраля 2008); 72. Jahrestagung der Deutsche Physikalische Gesellschaft und DPG Frühjahrstagung des Arbeitskreises Festkörperphysik mit anderen Fachverbänden und den Arbeitskreisen der DPG (Germany, Berlin, February 24-29, 2008); Dynamics Days Berlin - Brandenburg 2008 (Germany, Postdam, October 8-10, 2008) (участие поддержано грантом РФФИ; 08-01-09297-моб-з)\ XVI Международная-конференция "Математика. Компьютер. Образование" (Пущино, 19-24 января 2009); Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frühjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Dresden, March 22-27, 2009). Die Deutsche Physicalische Gesellschaft Frühjahrstagung der Sektion Kondensierte Materie (Germany, Regensburg, March 21-26, 2010).

Помимо этого, результаты работы докладывались на семинарах кафедр статистической физики, нелинейной динамики и стохастических процессов Берлинского университета имени Гумбольдтов, кафедры нелинейной динамики Института динамики и самоорганизации имени Макса Планка (Геттинген, Германия), Института высокопрозводительных вычислений Штуттгартского университета (Германия), Института математики Любекского университета (Германия), Пущинской радиоастрономической обсеватории Астрокосмиче-ского центра ФИ АН, кафедры функционального анализа Воронежского государственного университета.

Исследования были поддержаны грантами DAAD по программе "Михаил Ломоносов" (2005, 2007) и грантом РФФИ 09-01-12133-офи-м (2009).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 40 работах, из них 18 статей в журналах, рекомендованных ВАК [1, 4-7, 9, 10, 16, 20, 22, 23, 27-29, 32, 34, 48, 49], монография [14], главы в двух коллективных монографиях [13, 21], 14 статей в прочих журналах, сборниках научных трудов и трудах конференций [2, 3, 8, 11, 12, 15, 17-19, 30, 31, 33, 35, 36, 50, 51], 3 препринта [24-26]. Кроме того, разработанный программный комплекс размещен в репозитории открытого программного обеспечения: http://sourceforge.net/projects/wxmorlet/.

Личный вклад автора. Все результаты, изложенные в диссертации, получены либо автором самостоятельно, либо при его непосредственном, активном и творческом участии. В работах, имеющих междисциплинарный характер и выполненных с соавторами, автору принадлежит основная разработка вопросов, связанных с методами математического моделирования.

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Текст изложен на 290 страницах, включая 82 рисунка и 2 таблицы. Для сохранения последовательности изложения, обзоры существующих подходов, относящихся к каждому из направлений исследований, вынесены во вводные параграфы каждой из глав. Список цитируемой литературы состоит из 312 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Постников, Евгений Борисович

5.4. Выводы и перспективы применения вейвлетов для расчета преобразования Ганкеля

Таким образом, использование дискретного вейвлет-преобразования в качестве вычислительного базиса представляется перспективным в расчетах, связанных с моделями, представимых в виде диференциальных и интегральных уравнений в аксиально-симметричной геометрии, так как оператор диф

0.4

Л (р*)

0.2 О

О 5 10' 15 20 25 30 р*

Рис. 5.5. Точное преобразование Ганкеля и абсолютная погрешносгь его приближенного расчета. фузии преобразованием (5.1) сводится к простому алгебраическому виду (см., например, обзоры в книгах [305, 306]).

Высокая адаптивность вейвлет-разложения к свойствам сигналов, обладающих различным локальным поведением на различных интервалах области определения, обеспечивает эффективное удаления стохастической компоненты при использовании экспериментальных входных данных и сжатие выборки для более быстрого проведения расчетов.

В заключение можно отметить, что вейвлет-подход, предложенный с статьях автора [32, 34], получил продолжение в цитирующих их недавних работах [307-311], в которых рассмотрены другие типы вейвлетов, введены усовершенствования алгоритма, использующего в качестве промежуточного шага базис Хаара, а также нашел приложение в физике конденсированного состояния при проектировании твердотельных дифракционных устройств [312].

Заключение

Построены следующие принципиально новые модели:

Динамическая модель диффузионно-ограниченной агрегации, которая впервые позволила получить корректное значение фрактальной размерности DLA-кластера и промоделировать его рост на основе диффереци-альных уравнений в частных производных типа "реакция-диффузия".

Модель автоколебаний в химическом реакторе конечного объема, разделяющая основные факторы, обуславливающая их существование, на однонаправленную автокаталитическую реакцию в толще среды и петлю обратной связи (потокам обмена реагентами с внешеней средой), вынесенную в граничные условия, что соотвествует реалистичным условиям физико-химического эксперимента. Данная модель позволила впервые объяснить формирование сходящихся гликолитических автоволн, наблюдаемых экспериментально и показать существование автоколебаний в системах с однонаправленной химической реакцией.

Модель распространешш контактной инфекции в маломобильной популяции, позволишая объяснить все типы эпидемических волн Кендалла в данной системе и подтвержденная сравнением с микроскопическим моделированием и воспроизводящая природные эпидемиологические данные.

Среднеполевая модель релаксации и аномальной диффузии на сети типа "small world", впервые позволившая воспроизвести данные процессы в такой структуре на основе дифференциальных уравений в частных производных без привлечения аппарата дробных производных с фепо-менолочическими степенными показателями.

Разработаны новые методы:

• Метод вторичного огрубления, впервые позволивший учесть конечный объем частиц, формирующих фрактальные агрегаты, что позволяет получить дробную фрактальную размерность с модели, основанной на переходе к дифференциальным уравениям в частных производных.

• Метод расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанный на его сведении к задаче Коши для дифференциальных уравнений в частных производных, показавший свою эффективность как на тестовых примерах, так и при обработке современных экспериментальных данных о структуре колец Сатурна, полученных аппаратом "Кассини".

• Метод использования дискретного вейвлет-преобразования в качестве промежуточного шага при расчете преобразования Ганкеля, обоснованный на тестовых примерах и заложивший основу для дальнейших современных исследований в данном направлении.

Реализованы новые алгоритмы:

• Алгоритм численного расчета вейвлет-преобразования с вейвлетом Мор-ле, основанный на дискретизации системы уравнений метода расчета непрерывного вейвлет-преобразования, основанного на его сведении к задаче Коши, и его программная реализация в виде программного комплекса (http ://sourceforge.net/projects/wxmorlet/).

В заключение я хочу поблагодарить за постоянную поддержку и сотрудничество А.Ю. Лоскутова, И.М. Соколова, А.И. Лаврову, Ю.М. Романовского, М. Хаазе, И.Я. Новикова, А. Пиковского, сотрудников группы нелинейной динамики и хаоса физического факультета МГУ, кафедр нелинейной динамики, статистической физики и стохастических процессов Берлинского университета им. Гумбольдтов и коллег по физико-математическому факультету КГУ.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Постников, Евгений Борисович, 2011 год

1. А. В. Рябов, Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Модель DLA в континуальном среднеполевом приближении // ЖЭТФ.— 2005,— Т. 128, № 2. — С. 292-299.

2. Е. В. Postnikov, А. В. Ryabov, A. Loskutov. Generalization of the DLA process with different immiscible components by time-scale coarse graining // J. Phys. A. 2007. - Vol. 40. - Pp. 12033-12042.

3. E. B. Postnikov, A. B. Ryabov, A. Yu. Loskutou. Analysis of patterns formed by two-component diffusion limited aggregation // Phys. Rev. E. — 2010,-Vol. 82,- P. 051403.

4. E.B. Postnikov, A. Yu. Verisokm, D. V. Verveyko, A. I. Lavrova. Self-sustained biochemical oscillations and waves with a feedback determined only by boundary conditions // Phys. Rev. E. 2010. - Vol. 81.- P. 052901.

5. A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geier, E. B. Postnikov. Phase reversal inthe Selkov model with inhomogeneous influx // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79. P. 057102.

6. A. Yu. Verisokin, D. V. Verveyko, E. B. Postmkov, A. I. Lavrova. Model of Glycolytic Traveling Waves Control in 3D Spatial Reactor // IEEE Control Applications, (CCA) & Intelligent Control, (ISIC). — 2009. — Pp. 194-198.

7. E. B. Postmkov, I. M. Sokolov. Continuum description of a contact infection spread in a SIR model // Mathematical Biosciences. — 2007. — Vol. 208. — Pp. 205-215.

8. U. Naether, E. B. Postnikov, I. M. Sokolov. Infection fronts in contact disease spread // Eur. Phys. J. B. 2008. - Vol. 65. - Pp. 353-359.

9. E. В. Постников. Модифицированная континуальная SIR-модель распространения контактной инфекции // Сборник материалов научного семинара программы "Михаил Ломоносов"2005/2006 гг. (Москва, 24-25 апреля 2006). — М.: DAAD, 2006,- С. 159-162.

10. Е. В. Postnikov. Partial Differential Equations as a Tool for Evaluation of the Continuous Wavelet Transform // Mathematical Physics Research Developments / Ed. by M. B. Levy. — Nova Science Publishers, 2009.— Pp. 1-36.

11. E. В. Постников. Методы математической физики в обработке сигналов и изображений. — Miinchen: GRIN Verlag, 2009.

12. Е. Б. Постников. Вейвлет-преобразование с вейвлетом Морлс: методы расчета, основанные на решении диффузионных дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование — 2009. — Т. 1, № 1 С. 5-12.

13. Е. Б Постников. Вычисление непрерывного вейвлет-преобразования как решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных // Журн. выч. мат. и мат. физики. — 2006. — Т. 46, № 1. С. 77-82.

14. Е. Б. Постников. Непреывное вейвлет-преобразование сигналов, пред- * ставленных выборкой с неравноотстоящими узлами: применение диффузионных дифференциальных уравнений // Математика. Компьютер.

15. Оборазование: Сб. научных трудов. Т. 2/ Под ред. Г.Ю.Рнзниченко и А.Б.Рубина.— М.-Ижевск:: РХД, 2008. С. 211-218.

16. Е. Б. Постников. Представление вейвлет-преобразования с вейвлетами гауссова семейства суперпозицией решений дифференциальных уравнений в частных производных // Вычислительные методы и программирование. — 2008. Т. 9. - С. 84-89.

17. Е. В. Postnikov, A. Yu. Loskutov. Continuous Wavelet Transform as an Effective Tool for the Detecting of Saturn Rings' Structure // Space Exploration Research / Ed. by J. H. Denis, P. D. Aldridge. — Nova Science Publishers, 2009. Pp. 341-360.

18. E. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Анализ мелкомасштабных волновых структур кольца А Сатурна по данным межпланетного аппарата "Кассини" // ЖЭТФ. 2005. - Т. 128, № 4. - С. 752-759.

19. Е. Б. Постников, А. Ю. Лоскутов. Вейвлет-анализ тонкой структуры колец В и С Сатурна но данным аппарата "Кассини" // ЖЭТФ.— 2007. Т. 131, № 3. - С. 752-759.

20. Е. В. Postnikov, A. Loskutov. Wavelet transform and diffusion equations: applications to the processing of the "Cassini" spacecraft observations // arXiv:astro-ph/0502375. 2005. - Pp. 1-9.

21. E. B. Postnikov, A. Loskutov. Analysis of Saturn main rings by continuous wavelet transform with the complex Morlet wavelet // arX-iv:astro-ph/0502375. 2006. - Pp. 1-23.

22. E. B. Postnikov, A. Y. Loskutov, S. A. Larionov et al. Analysis of DNA structure as a 2D random walk by complex wavelet transform // Nature Precedings <http://dx.doi.org/10.1038/npre.2007.1461J>. 2007.

23. Е. Б. Постников. О точности синхронизации вейвлетной фазы хаотических сигналов // ЖЭТФ. 2007. - Т. 132, № 3. - С. 742-745.

24. Е. В. Postnikov, Е. A. Lebedeva. Decomposition of strong nonlinear oscillations via modified continuous wavelet transform // Phys. Rev. E. — 2010. — Vol. 82.-P. 057201.

25. E. B. Postnikov. Hierarchical mean-field model describing relaxation in a small-world network // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 80,- P. 062105.

26. Е. В. Postnikov. The hierarchical system of PDE ana a diffusive anomalous spread in media with multiscale connections // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. — 2009. — Vol. 44, no. 5.- P. 233.

27. E. В. Postnikov. About calculation of the Hankel transform using preliminary wavelet transform // J. Appl. Math. — 2003. — no. 6,— Pp. 319-325.

28. E. B. Postnikov. Using Wavelets Based on B-splines for Calculation of the Hankel Transform // WSEAS Trans. Math.— 2004,- Vol. 3, no. 1,-Pp. 250-253.

29. П. С. Зыков, E. В. Постников. Применение вейвлет-преобразования с кусочно-линейным базисом для вычисления преобразования Ганкеля // Журн. выч. мат. и мат. физики. — 2004. — Т. 44, № 3. — С. 421-425.

30. Е. Б. Постников. Современные методы численнного вычисления преобразования Ганкеля // Ультразвук и термодинамические свойства вещества.— Т. 34-35.— Курск: Изд-во КГУ, Российское Акустическое общество, 2008,- С. 148-158.

31. Е. В. Postnikov. Using Wavelets for Calculation of the Hankel Transform // Seventh International Symposium on Orthogonal Polynomial, Special Functions and Applications. Conference book. — Copenhagen, 2003. — Pp. 64-65.

32. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Основы теории сложных систем.— М: РХД, 2007.

33. P. Gray, S. К. Scott. Chemical Oscillations and Instabilities: Non-linear Chemical Kinetics. — Oxford University Press, 1994.

34. J. D. Murray. Mathematical Biology II. — Springer, 2003.

35. Т. C. Halsey. Diffusion-Limited Aggregation: A Model for Pattern Formation // Physics Today. — 2000. — Vol. 53.- Pp. 36-41.

36. M. Newman, a.-L. Barabasi, D. J. Watts. The Structure and Dynamics of Networks. — Princeton University Press, 2006.

37. V. A. Bogoyavlenskiy, N. A. Chernova. Diffusion-limited aggregation:

38. A revised mean-field approach // Phys. Rev. E.— 2000.— Vol. 61.— Pp. 5422-5428.

39. S. Mallat. A Wavelet Tour of Signal Processing. — Academic Press, 1999.

40. S. Jaffard, Y. Meyer, R. D. Ryan. Wavelets. Tools for Science & Technology.- SI AM, 2001.

41. Wavelets in Physics, Ed. by J. C. van den Berg. — Cambridge University Press, 1999.

42. The Transforms and Applications Handbook, Ed. by A. D. Poularikas. — CRC Press, 2000.

43. E. B. Postmkov. Wavelet phase synchronization and chaoticity // Phys. Rev. E. 2009. - Vol. 80. - P. 057201.

44. А. И. Лаврова, E. Б. Постников, Ю. M. Романовский. Брюсселятор — абстрактная химическая реакция? // УФН.— 2009.— Т. 179. — С. 1327-1332.

45. Е. В. Postnikov, I. М. Sokolov. Anomalous lateral diffu-sion in a layered medium // Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft. Reihe VI. 2010. - Vol. 45, no. 3. - P. 281.

46. T. A. Witten, L. M. Sander Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon // Phys. Rev. Lett. — 1981, —Nov. — Vol. 47, no. 19.— Pp. 1400-1403.

47. D. L. Turcotte. Self-organized complexity in geomorphology: Observations and models // Geomorphology. — 2007. — Vol. 91. — Pp. 302 310.

48. H. Imai. Biomineralization I. — Springer, 2007.

49. M. Pooyandeh, S. A. Mesgari, Alimohammadi, , R. Shad. Computational Science and Its Applications ICCSA 2007. — Springer, 2007. — Vol. 4706 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 308-321.

50. G. Greenfield. Applications of Evolutionary Computing. — Springer, 2008. — Pp. 402-411.

51. P. W. Anderson. Nishina Memorial Lectures. — Springer, 2008. — Vol. 746 of Lecture Notes in Physics. — Pp. 1616-6361.

52. B. Mandelbrot. Fractals and Chaos. The Mandelbrot Set and Beyond. — Springer, 2004.

53. E. Ben-Jacob. From snowflake formation to growth of bacterial colonies II: Cooperative formation of complex colonial patterns // Contemp. Phys. — 1997. Vol. 38. - Pp. 205-241.

54. T. Vicsek. Fractal growth phenomena. — World Scientific, 1989.

55. P. Meakin. Progress in DLA research // Physica D.— 1995.— Vol. 86.— Pp. 104-112.

56. P. Meakin. Fractals, Scaling and Growth Far from Equilibrium. — Cambridge University Press, 1998.

57. C. Amitrano, P. Meakin, H. E. Stanley. Fractal dimension of the accessible perimeter of diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. A. — 1989. — Vol. 40,- Pp. 1713-1716.

58. A. Arneodo, J. Elezgaray, M. Tabard, F. Tallet. Statistical analysis of off-lattice diffusion-limited aggregates in channel and sector geometries // Phys. Rev. E. 1996. — Vol. 53. - Pp. 6200-6223.

59. E. Somfai, R.C. Ball, J.P. DeVita, L.M. Sander. Diffusion-limited aggregation in channel geometry // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 68. — P. 020401.

60. D. Tillberg, J. Machta. Structural and computational depth of diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. E. 2004. — Vol. 69. — P. 051403.

61. A. Erzan, L. Pietronero, A. Vespignani. The fixed-scale transformation approach to fractal growth // Rev. Mod. Phys. — 1995. — Vol. 67. — Pp. 545-604.

62. M.B. Hastings. Renormalization theory of stochastic growth // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 55. - Pp. 135-152.

63. T. A. Witten, L. M. Sander. Diffusion-limited aggregation // Phys. Rev. B. 1983. - Vol. 27. - Pp. 5686-5697.

64. R. Ball, M. Nauenberg, T. A. Witten. Diffusion-controlled aggregation in the continuum approximation // Phys. Rev. A.— 1984.— Vol. 29.— Pp. 2017-2020.

65. E. Brener, H. Levine, Y. Tu. Mean-field theory for diffusion-limited aggregation in low dimensions // Phys. Rev. Lett.— 1991.— Vol. 66.— Pp. 1978-1981.

66. G. Tripathy, A. Rocco, J. Casademunt, W. van Saarloos. Universality Class of Fluctuating Pulled Fronts // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol. 86.— Pp. 5215-5218.

67. K. Oh.no, K. Kikuchi, H. Yasuhara. Continuous mean-field theory of the diffusion-limited-aggregation model // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 46. — Pp. 3400-3404.

68. H. Levine, Y. Tu. Mean-field diffusion-limited aggregation in radial geometries // Phys. Rev. A.— 1992.- Vol 45. Pp. 1053-1057.

69. H. Sakaguchi. A Mean-Field Lattice Model for the Diffusion-Controlled Aggregation // J. Phys. Soc. Ja,p. — 1999, — Vol. 68,— Pp. 61-63.

70. A. Loskutov, D. Andrievsky, V. Ivanov et al. Fractal growth of rotating DLA-clusters // Macromol. Symp. 2000. — Vol. 160, — Pp. 239-248.

71. E.T. Whittaker, G.N. Watson. A Course of Modern Analysis. — Cambridge University Press, 1996.

72. H. Roder, E. Hahn, H. Brune et al. Building one- and two-dimensional-nan ostructures by difTusion-controlled aggregation at surfaces // Nature.— 1993,-Vol. 366.- Pp. 141-143.

73. P. Jensen, A.-L. Barabasi, H. Larralde et al. Controlling nanostructures // Nature 1994. - Vol. 368. - P. 22.

74. F.-J. Meyer zu Henngdorf, M. C. Reuter, R. M. Tromp. Growth dynamics of pentacene thin films // Nature. — 2001. — Vol. 412. — Pp. 517-520.

75. M. Murr, D. E. Morse. Fractal intermediates in the self-assembly of sili-catein filaments // PNAS. 2005. - Vol. 102. - Pp. 11657-11662.

76. M. N. Yousaf, B. T. Houseman, M. Mrksich. Using electroactivc substrates to pattern theattachment of two different cell populations // PNAS.— 2001. — Vol. 98. — Pp. 5992-5996.

77. J. Turner, M. L. Becker, X. Li et al. PNA-directed solution- and surface-assembly of shell crosslinked (SKL) nanoparticles conjugates // Soft Matter. 2005. - Vol. 1. - Pp. 69-78.

78. A. Khademhosseini, R. Langer, J. Borenstein, J. P. Vacanti. Microscale technologies fortissue engineering and biology // PNAS. — 2006. — Vol. 103. Pp. 2480-2487.

79. P. Suci, M. T. Klem, M. Young, T. Douglas. Signal amplification using nanoplatform cluster formation // Soft Matter. —- 2008. — Vol. 4. — Pp. 2519-2523.

80. T. Nagatani, F. Sagues. Phase transition in diffusion-limited aggregation with two immiscible components // Phys. Rev. A.— 1991.— Vol. 44.— Pp. 6723-6729.

81. V. Tchijov, S. Rodriguez-Romo, S. Nechaev. Interface structure in colored DLA model // JETP Letters. 1996. - Vol. 64. - Pp. 549-555.

82. S. Rodriguez-Romo, V. Tchijov, O. Ibanez-Orozco, V. M. Castano. Growth probability in bicolored diffusion limited aggregation // Physica A. — 2005. Vol. 347. - Pp. 301-313.

83. S. Redner. Nonequilibrium Statistical Mechanics in One Dimension // Ed. by V. Privman. — Cambridge University Press, 1997.

84. C. Evertsz. Self-affine nature of dielectric-breakdown model clusters in a cylinder // Phys. Rev. A. 1990. - Vol. 41. - Pp. 1830-1842.

85. J. Nittmann, H. Stanley. Tip splitting without interfacial tension and dendritic growth patterns arising from molecular anisotropy // Nature.— 1986. — Vol. 321. Pp. 663-668.

86. M.T. Batchelor, B.I. Henry. Branching in the zero-noise limit of discrete Laplacian growth processes // Phys. Rev. A.— 1992,— Vol. 45.— Pp. 4180-4183.

87. M. T. Batchelor, В. I. Henry. Fractal dimensions of zero-noise diffusion-limited aggregation // Physica A. — 1992. — Vol. 191. — Pp. 113-116.

88. P. Manneville. Cellular Automata and Modeling of Complex Physical Systems. — Springer, 1989.

89. А. Ю. Лоскутов, А. С. Михайлов. Введение в синергетику, — М.: Наука, 1990.

90. S. Ulam. On Some Mathematical Problems Connected with Patterns of Growth of Figures // Mathematical Problems in the Biological Sciences / Ed. by R. Bellman. AMS, 1962,- P. 215.

91. S.C. Fu, G. Milne. A Flexible Automata Model for Disease Simulation // Lecture Notes m Computer Science. — Springer, 2004. — Vol. 3305. — Pp. 642-649.

92. Angel Sánchez, M. J. Bernal, J. M. Riveiro. Multiparticle aggregation model for dendritic growth applied to experiments on amorphous Co-P alloys // Phys. Rev. E.~ 1994,— Vol. 50,- Pp. R2427-R2430.

93. K.-H. Roh, D. C. Martin, J. Lahann. Biphasic Janus particles with nanoscale anisotropy // Nature Materials. — 2005. — Vol. 4. — Pp. 759-763.

94. S.-M. Yang, S.-H. Kim, J.-M. Lim, G.-R. Yi. Synthesis and assembly of structured colloidal particles //J. Mater. Chem. — 2008. — Vol. 18. — P. 2177-2190.

95. Mathematics of Random Media, Ed. by W. E. Kohler, B. S. White. AMS, 1989.

96. N. Konno. Phase Transitions of Interacting Particle Systems. — World Scientific, 1995.

97. M. Liggett. Stochastic Interacting Systems: Contact, Voter, and Exclusion Processes. — Springer, 1999.

98. Nonequilibrium Statistical Mechanics in One Dimension, Ed. by V. Priv-man. — Cambridge University Press, 1999.

99. R. Durrett. Stochastic Spatial Models // SI AM Rev. — 1999.- Vol. 41.— Pp. 677-718.

100. R. A. Fischer. The wave of advance of advantageous genes // Annals of Eugenics. 1937. - Vol. 7. — Pp. 355-369.

101. A. Kolrnogorov, I. Petrovski, N. Piskunov. Etude de équation de la diffusion avec croissance de la quantité de matmre et son application a un problème biologique // Moscow University Bulletin of Mathematics. — 1937.— Vol. l.-Pp. 1-25.

102. J. Boissonade. Simple Chemomechanical Process for Self-Generation of Rhythms and Forms // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 90, — P. 188302.

103. S. Bagyan, T. Mair, E. Dulos et al. Glycolytic oscillations and waves in an open spatial reactor: Impact of feedback regulation of phosphofructokiinase // Biophys. Chem. 2005. - Vol. 116. — Pp. 67-76.

104. S. Vermeer (geb. Bagyan). Spatio-temporal dynamics of glycolysis in an open spatial reactor: Ph.D. thesis / Magdeburg Univ.— 2008.— The full e-text is free available through Deutschen Nationalbibliothek. http://d-nb.info/995027714.

105. J. Wolf, R. Heinrich. Dynamics of two-component biochemical systems in interacting cells; Synchronization and desynchronization of oscillations and multiple steady states // BioSystems. — 1997. — Vol. 43. — Pp. 1-24.

106. M. Fuentes, M. N. Kuperman, J. Boissonade et al. Dynamical effects induced by long range activation in a nonequlibrium reaction-diffusion system // Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 66. - P. 056205.

107. X. Shao, Y. Wu, J. Zhang et al. Inward Propagating Chemical Waves in aj Single-Phase Reaction-Diffusion System // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Vol.100.- P. 198304.

108. A. I. Lavrova, S. Bagyan, T. Mair et al. Modeling of glycolytic wave propagation in an open spatial reactor with inhomogeneous substrate influx // BioSystems. — 2009. Vol. 97. — Pp. 127-133.

109. A. I. Lavrova, L. Schimansky-Geier, E. B. Postnikov. Phase reversal inthe Selkov model with inhomogeneous inlux // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79. P. 057102.

110. A.A. Harms, O. E. Hileman. Chemical clocks, feedback, and nonlinear behaviour // Am. J. Phys. 1985. - Vol. 53. — P. 578.

111. L. F. Lopez, F. A. V. Coutinho, M. N. Burattini, E. Massad. Modelling the spread of infections when the contact rate among individuals is short ranged:

112. Propagation of epidemic waves // Mathematical and Computer Modelling. —s1999. — Vol. 29. Pp. 55-69.i 122. P. P. J. M. Schram. Kinetic Theory of Gases and Plasmas. — Springer,1991.

113. M. N. Kuperman, Wio H. S. Front propagation in epidemiological models with spatial dependence // Phisica A.— 1999, — Vol. 272, — Pp. 206-.

114. M. Kardar, G. Parisi, Y. C. Zhang. Dynamic scaling of growing inter; faces // Phys. Rev. Lett. 1986. - Vol. 56. - Pp. 889-892.li

115. P. Grassberger. On the critical behavior of the general epidemic process and dynamical percolation // Math. Biosciences.— 1982,— Vol. 63.— Pp. 157-172.

116. A. Cliff, P. Haggett. Atlas of disease distributions : analytic approaches to epidemiological data. — Blackwell, 1993.

117. D. A. Kessler, Z. Ner, L. M. Sander. Front propagation: Precursors, cutoffs, and structural stability // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58. — Pp. 107-114.

118. L. M. Sander, C. P. Warren, I. M. Sokolov et al. Percolation on heterogeneous networks as a model for epidemics // Mathematical Biosciences. — 2002. Vol. 180. - Pp. 293-305.

119. J. Mai, I.M. Sokolov, A. Blumen. Discreteness effects on the front propagation in the A + B 2A reaction in 3 dimensions // Europhys. Lett. — 1998. Vol. 44. - Pp. 7-12.

120. C. P. Warren, G. Mikus, E. Somfai, L. M. Sander. Fluctuation effects in an epidemic model // Phys. Rev. E.— 2001. — Vol. 63. — P. 056103.

121. E. Moro. Internal Fluctuations Effects on Fisher Waves // Phys. Rev. Lett. 2001. — Vol. 87. - P. 238303.

122. C. R. Doering, C. Mueller, P. Smereka. Interacting particles, the stochastic Fisher-Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov equation, and duality // Physica A. 2003. - Vol. 325. - Pp. 243-259.

123. E. Brunet, B. Derrida. Shift in the velocity of a front due to a cutoff // Phys. Rev. E. 1997. - P. 2597.

124. F. Brauer, Castillo-Chavez. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. — Springer, 2001.

125. Mathematical Epidemiology, Ed. by F. Brauer, P. van den Driessche, J. Wu. — Springer, 2008.

126. W. 0. Kermack, A. G. McKendrick. A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics // Proc. R. Soc. Lond. A. — 1927,— Vol. 115.— Pp. 700-721.

127. S. Winkle Geißeln der Menschheit. Kulturgeschichte der Seuchen. — Artemis & Winkler Verlag, 1997.

128. W. Otten, J. A. N. Filipe, C. A. Gilhgan. An empirical method to estimate the effect of soil on the rate for transmission of damping-off disease // New Phytologist. — 2004. Vol. 162. - Pp. 231-238.

129. D. G. Kendall. Mathematics and Computer Science in Biology and Medicine.-M.R.C., H.M.S.O., 1965.-Pp. 213-225.i

130. D. Molhson. Spatial contact models for ecological and epidemic spread // J. R. Stat. Soc. B.~ 1977,- Vol. 39,- Pp. 283-326.

131. J. Medlock, M. Kot. Spreading disease: integro-differential equations old and new // Mathematical Biosciences.— 2003. — Vol. 184,— Pp. 201-222.

132. T. Härkönen, R. Dietz, P. Reijnders et al. A review of the 1988 and 2002 phocine distempervirus epidemics in European harbour seals // Dis. Aquat. Org. 2006. - Vol. 68. - P. 115-130.j

133. A. D. Koeijer, O. Diekmann, P. Reijnders. Modelling the spread of phocine distemper virus among harbour seals // Bull. Math. Biol— 1998.— Vol. 60. — Pp. 585-596.

134. J. Swinton, J. Harwood, B. T. Grenfell, G. A. Gilligan. Persistence threshold for phocine distemper virus infection in harbour seal Phoca vituli-na metapopulations // Journal of Animal Ecology. — 1998. — Vol. 68. — Pp. 54-68.

135. T. J. Hsu, Mou C. Y., Lee D. J. Effects of Macromixmg on the oregona-tor model of the belousov — zhabotinsky reaction in a stirred reactor // Chemical Engineering Science. — 1994. — Vol. 49. — Pp. 5291-5305.

136. A. Grossman, J. Morlet. Decomposition of Hardy functions into square integrable wavelets of constant shape // SIAM J Math Anal. — 1984. — Vol. 15. Pp. 723-736.

137. B. Walczak. Wavelets in Chemistry. — Elsevier Science & Technology, 2000.

138. Wavelets in the Geosciences, Ed. by R. Klees, H. N Haagmans. — Spinger, 2000.

139. W. Keller. Wavelets in Geodesy and Geodynamics. — de Gruyter, 2004.

140. Wavelets in Medicine and Biology, Ed. by A. Aldroubi, M. A. Unser. — CRC Press, 1996.

141. P. Lió. Wavelets in biomformatics and computational biology: state of art and perspectives // Bioinformatics. — 2003. — Vol. 19,— Pp. 2-9.

142. M. Holschneider. Wavelets. An Analysis Tool. — Oxford University Press, 1995.

143. IEEE Trans. Pattern Analysis, Machine Intelligence. Characterization of signals from multiscale edges // Mallat, S. and Zhong, S. — 1992. — Vol. 14 Pp 710-732.

144. S. Mallat, W. L. Hwang. Singularity detection and processing with wavelets // IEEE Trans. Inform. Theory. — 1992. — Vol. 38 — Pp. 617-643.

145. E. Bacry, J. F. Muzy, Arneodo A. Singularity spectrum of fractal signals from wavelet analysis: Exact results // J. Stat. Phys.— 1993. — Vol. 70.— Pp. 635-674.

146. D. Marr. Vision. A computational Investigation into the Human Representation and Processing of Visual Information. — W.H. Freeman and Company, 1982.

147. J. J. Koenderink. The structure of images // Biological Cybernetics. — 1984,- Vol. 50. Pp. 363-370.

148. P. Kestener, A. Arneodo. Three-Dimensional Wavelet-Based Multifractal Method: The Need for Revisiting the Multifractal Description of Turbulence Dissipation Data // Phys. Rev. Lett. 2003. — Vol. 91. — P. 194501.

149. P. Mräzek, J. Weickert, G. Steidl. Scale Space Methods in Computer Vision. — Springer, 2003. — Vol. 2695 of Lecture Notes in Computer Science. — Pp. 101-116.

150. M. Haase. Paradigms of Complexity. Fractals and Structures in the Sciences // Ed. by M. Novak.- World Scientific, 2000.— Vol. 2695.— Pp. 287-288.

151. Я. Б. Зельдович, А. Д. Мышкис. Элементы математической физики.— М.: Наука, 1973.

152. A. Dutt, V. Rokhlin. Fast Fourier Transforms for Nonequispaced Data, II // Appl. Сотр. Harm. Anal — 1995, — Vol. 2. — Pp. 85-100.

153. G. Steidl. A note on fast Fourier transforms for nonequispaced grids // Adv. Сотр. Math. 1998. — Vol. 9. — Pp. 337-352.

154. A. F. Ware. Fast Approximate Fourier Transforms for Irregularly Spaced Data // SI AM Rev. 1998. - Vol. 40. - Pp. 838-856.

155. S. Bagchi, S. K. Mitra. The Nonuniform Discrete Fourier Transform and Its Applications in Signal Processing. — Springer, 1999.

156. L. Greengard, J.-Y. Lee. Accelerating the Nonuniform Fast Fourier Transform // SI AM Rev. 2004. - Vol. 46. - Pp. 443-454.

157. C. Torrence, G. P. Compo. A practical guide to wavelet analysis // Bull. Am. Meteorol. Soc. 1998. - Vol. 79. - Pp. 61-78.

158. C. S. Cho, S.-W. Ha, J. H. Kim et al. Optoelectronic difference-of-Gaus-sian wavelet transform system // Optical Engineering. — 1997. — Vol. 36. — Pp. 3471-3475.

159. Справочник по специальным функциям, Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган, — М.: Наука, 1979.

160. L. W. Esposito. Planetary rings // Rep. Prog. Phys.— 2002,— Vol. 65.— Pp. 1741-1783.

161. L. Esposito. Planetary Rings. — Cambridge University Press, 2006.

162. E. D. Miner, R. R. Wessen, J. N. Cuzzi. Planetary ring systems. — Springer, 2006.

163. Saturn: Overview and Abstracts, Ed. by J. L. Martin — Nova Publishers, 2004.

164. F. H. Shu, J. N. Cuzzi, J. J. Lissauer. Bending Waves in Saturn's Rings // Icarus. 1983. - Vol. 53. — Pp. 185-206.

165. F. H. Shu, C. Yuan, J. J. Lissauer. Nonlinear spiral density waves: an inviscid theory // Astroph. J. — 1985, — Vol. 291. — Pp. 356-376.

166. F. H. Shu, L. Dones, J. J. Lissauer et al. Nonlinear spiral density waves -Viscous damping // Astroph. J. — 1985. — Vol. 299. — Pp. 542-573.

167. L. J. Spilker, S. Pilorz, L. A. Lane et al. Saturn A ring surface mass densities from spiral density wave dispersion behaviour // Icarus. — 2004. — Vol. 171.- Pp. 372-390.

168. L. J. Horn, J. N. Cuzzi. Charactistic Wavelengths of Irregular Structure in Saturn's B Ring // Icarus. 1996. - Vol. 119. - Pp. 285-310.

169. K.-U. Thiessenhusen, L. W. Esposito, J. Kurths, F. Spahn. Detection of Hidden Resonances m Saturn's B Ring // Icarus. — 1995.— Vol. 113. — Pp. 206-212.

170. C. D. Murray. Solar and Extra-Solar Planetary Systems. — Springer, 2001, — Vol. 577 of Lecture Notes in Physics. Pp. 91-152.

171. E. Griv, M. Gedalin. The fine-scale spiral structure of low and moderately high optical depth regions of Saturn's main rings: A review // Planetary and Space Science. — 2003. — Vol. 51. — Pp. 899-927.

172. U. Schm.it, W. M. Tscharnuter. On the Formation of the Fine-Scale Structure in Saturn's B Ring // Icarus. 1999. — Vol. 138. - Pp. 173-187.

173. С. С. Porco, Е. Baker, J. Barbara et al. Cassini Imaging Science: Initial Results on Saturn's Rings and Small Satellites // Science. — 2005. — Vol. 307. — Pp. 1226-1236.

174. M. S. Tiscareno, J. A. Burns, P. D. Nicholson et al. Cassini imaging of Saturn's rings. II. A wavelet technique for analysis of density waves and other radial structure in the rings // Icarus. — 2007. — Vol. 189. — Pp. 14-34.

175. P. K. Shukla, B. Eliasson. Fundamentals of dust-plasma interactions // Rev. Mod. Phys. 2009. - Vol. 81. - Pp. 25-44.

176. Initial sequencing and analysis of the human genome // Nature. — 2001. — Vol. 409.-Pp. 860-921.

177. M. A. Gates. Simple DNA sequence represenations // Nature.— 1985,— Vol. 316.- P. 219.

178. C. L. Berthelsen, J. A. Glazier, M. H. Skolnick. Global fractal dimension of human DNA sequences treated as pseudorandom walks // Phys. Rev. A. — 1992. — Vol. 45. Pp. 8902-8913.

179. T.-H. Hsu, S.-L. Nyeo. Diffusion coefficients of two-dimensional viral DNA walks // Phys. Rev. E. 2003. - May. - Vol. 67. - P. 051911.

180. С. В. Ларионов, А. Ю. Лоскутов, E. В. Рядченко. Геном как двумерное блуждание // Доклады Российской академии наук. — 2005. — Т. 405. — С. 755-759.

181. S. Larionov, A. Loskutov, Е Ryadchenko. Chromosome evolution with naked eye: Palindromic context of the life origin // Chaos. — 2008. — Vol. 18. P. 013105.

182. C.-K. Peng, S. V. Buldyrev, A. L. Goldberger et al. Long-range correlations in nucleotide sequences // Nature. — 1992. — Vol. 256. — Pp. 168-170.

183. A. Arneodo, E. Bacry, P. V. Graves, J. E. Muzy. Characterizing Long-Range Correlations in DNA Sequences from Wavelet Analyis // Phys. Rev. Lett. 1995. — Vol. 64. — Pp. 3293-3296.

184. A. Arneodo, Y. d'Aubenton Carafa, E. Bacry et al. Wavelet based fractal analysis of DNA sequences // Physica D. — 1996. — Vol. 96. — Pp. 291-320.

185. S. Nicolay, F. Argoul, et al. Low Frequency Rhythms in Human DNA Sequences: A Key to the Organization of Gene Location and Orientation? // Phys. Rev. Lett. — 2004. Vol. 93. - P. 108101.

186. S. Nicolay, E. B. Brodie of Brodiea, M. Touchon et al. From scale invariance to deterministic chaos in DNA sequences: towards a deterministic description of gene organization in the human genome // Physica A. — 2004,— Vol. 342. Pp. 270-280.

187. T. Allen, N.D. Price, B. 0Joyce, A. R. Palsson. Long-Range Periodic Patterns in Microbial Genomes Indicate Significant Multi-Scale Chromosomal Organization // PLoS Comput. Biol.— 2006.— Vol. 2, no. 1.— Pp. e2:0013-0021.

188. A. A. Tsonis, P. Kumar, J. B. Eisner, P. A. Tsonis. Wavelet analysis of DNA sequences // Phys. Rev. E.- 1996. Vol. 53,- Pp. 1828-1834.

189. G. Abramson, H.A. Cerdeira, C. Bruschi. Fractal properties of DNA walks // BioSystems. — 1999. Vol. 49. — Pp. 63-70.

190. J. A. Berger, Mitra S. K., M. Carli, A. Neri. Visualization and analysis of

191. DNA sequences using DNA walks // Journal of the Franklin Institute. — 2004. — Vol. 341. Pp. 37-53.

192. C. Cattani. Bioinformatics Research and Development. — Springer, 2008.— Pp. 528-537.

193. J.-P. Antoine, R. Murenzi, P. Vandergheynst, S. T. Ah. Two-Dimensional Wavelets and Their Relatives. — Cambridge University Press, 2004.

194. A. Pikovsky, M. Rosenblum, J Kurihs. Synchronization: An Universal Concept in Nonlinear Sciences.— Cambridge University Press, 2001.

195. S. Boccaletti, J. Kurths, G. Osipov et al. The synchronization of chaotic systems // Phys. Rep. 2002. - Vol. 366,- Pp. 1-101.

196. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J Kurths. Phase Synchronization of Chaotic Oscillators // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76 - Pp 1804-1807.

197. D. J. DeShazer, R. Breban, E Ott, R. Roy. Detecting Phase Synchronization in a Chaotic Laser Array // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol 87.— P. 044101.

198. W. Wang, I. Z. Kiss, J. L. Hudson. Clustering of Arrays of Chaotic Chemical Oscillators by Feedback and Forcing // Phys. Rev. Lett.— 2001.— Vol. 86. Pp. 4954-4957.

199. D.-S. Lee, J. R. Ryu, Y.-J. Park et al. Stabilization of a chaotic laser and quenching // Appl. Phys. Lett. 2005. - Vol. 86.- P. 181104.

200. M. G. Rivera, G. Martinez Mekler, P. Parmananda. Synchronization phenomena for a pair of locally coupled chaotic electrochemical oscillators: A survey // Chaos. 2006. - Vol. 16. - P. 037105.

201. J. M. Cruz, M. Rivera, P. Parmananda. Experimental observation of different types of chaotic synchronization in an electrochemical cell // Phys. Rev. E. 2007. — Vol 75. — P. 035201.

202. E. Mosekilde, Y. Maistrenko, D. Postnov. Chaotic synchionization: applications to living systems. — World Scientific, 2002.

203. A. C.-L. Chian, Y. Kamide, Е. L. Rempel, W. М. Santana. On the chaotic nature of solar-terrestrial environment: Interplanetary Alfven intermitten-cy // J. Geophys. Res. 2006. - Vol. 111. - P. A07S03.

204. M. Palus, J. Kurths, U. Schwarz et al. The solar activity cycle is weakly synchronized with the solar inertial motion // Phys. Lett. A. — 2007. — Vol. 365.-Pp 421-428.

205. T. Kreuz, F. Morrnann, R. G. Andrzejak et al. Measuring synchronization in coupled model systems: A comparison of different approaches // Physica D. 2007. - Vol. 225. - P. 29-42.

206. M. G. Rosenblum, A. S. Pikovsky, J. Kurths et al. Locking-Based Frequency Measurement and Synchronization of Chaotic Oscillators with Complex Dynamics // Phys. Rev. Lett. 2002. — Vol. 89. — P. 264102.

207. А. А. Короповский, Храмов A. E. Анализ хаотической синхронизациидинамических систем с помощью вейвлетного преобразования // Письма в ЖЭТФ. 2004. - Т. 79. - С. 391-395.

208. А. Е. Hramov, A. A. Koronovskii. Time scale synchronization of chaotic oscillators // Physica D. — 2005. — Vol. 206. — Pp. 252-264.

209. I. De Moortel, S. A. Munday, A. W. Hood. Wavelet Analysis: the effect of varying basic wavelet parameters // Solar Physics. — 2004.— Vol. 222.— Pp. 203-228.

210. P. S. Addison, J. N. Watson, T. Feng. Low-oscillation complex wavelets // Journal of Sound and Vibration. — 2002. — Vol. 254. — Pp. 733-762.

211. A. E. Hramov, A. A. Koronovskii, V. I. Ponomarenko, M. D. Prokhorov. Detection of synchronization from univariate data using wavelet transform // Phys. Rev. E. 2007. - Vol 75. - P. 056207.

212. D. Ghosh, A. Ray, A. R. Chowdhury. Generalized and Phase Synchronization Between Two Different Time-Delayed Systems // Modern Physics Letters B. 2008. - Vol. 22. - Pp. 1867-1878.

213. T. D. Tsankov, R. Gilmore. Strange Attractors are Classified by Bounding Tori // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 134104.

214. C. Letelher, E. Roulm, О. E. Rossler. Inequivalent topologies of chaos in simple equations // Chaos, Solitons and Fractals.— 2006.— Vol. 28.— Pp. 337-360.

215. H. Giacommi, S. Neukirch. Intergals of motion and the shape of the at-tractor for the Lorenz model // Phys. Lett. A. — 1997.— Vol. 227. — Pp. 309-318.

216. C. Chandre, S. Wiggins, T. Uzer Time-fiequency analysis of chaotic systems 11 Physica D. 2003. — Vol. 181. — P. 171-196.

217. J. S. Golan. Foundations of linear algebra. — Kluwer Academic Publ, 1995.232. 0. E. Rossler. An equation for continuous chaos // Phys. Lett. — 1976. — Vol. 57. Pp. 397-398.

218. J. Crutchfield, D. Farmer, N. Packard et al. Power spectial analysis of a dynamical system // Phys. Lett. — 1980. — Vol. 76A. — Pp. 1-4.

219. S.G. Mallat, Z. Zhang. Matching pursuits with time-frequency dictionaries // IEEE T. Signal. Proces. 1993. - Vol. 41. - Pp. 3397-3415.

220. M. M. Goodwin, M. Vetterli. Matching pursuit and atomic signal models based on recursive filter banks // IEEE T. Signal. Proces.— 1999.— Vol. 47,- Pp. 1890-1902.

221. H. Yang, S. T. Bukkapatnam, R. Komanduri. Nonlinear adaptive wavelet analysis of electrocardiogram signals // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 76. — P. 026214.

222. V. A. Gusev, A. A. Koronovskii, A. E. Khramov. Adaptive wavelets applied to the analysis of nonlinear systems with chaotic dynamics // Tech. Phys. Lett. 2003. - Vol. 29. - Pp. 775-778.

223. D. J. Watts, S. H. Strogatz. Collective dynamics of'small-world' networks // Nature. 1998. - Vol. 393. - Pp. 440-442.

224. J. W. Clark, A. T. Eggebrecht. The small world of the Nobel Nematode Caernorhabditis elegans // Condensed Matter Theories. Vol. 19. / Ed. by M. Belkacem, P. M. Dinh. Nova Science Publishers, 2005. - Pp. 321-328.

225. A. R. Atilgan, P. Pelin Akan, C. Canan Bay sal. Small-World Communication of Residues and Significance for Protein Dynamics // Biophys. J. — 2004, —Vol. 85. — Pp. 85-91.

226. T. 0. Yeates, M. Beeby. "BIOCHEMISTRY: Proteins in a Small World-// Science. — 2006. — Vol. 314. Pp. 1882-1883.

227. M. G. Grigorov. Global properties of biological networks // Drug Discov. Today. — 2005. — Vol. 10. — Pp. 365-372.

228. H. Yi, M.-S. Choi. Effect of quantum fluctuations in an Ising system on small-world networks // Phys. Rev. E. — 2003. — Vol. 67. — P. 056125.

229. P. K. Das, P. Sen. Zero temperature dynamics of Ising model on a densely connected small world network // Eur. Phys. J. B. — 2005. — Vol. 47. — Pp. 391-396.

230. A. Chatterjee, P. Sen. Phase transitions in an Ising model on a Euclidean network // Phys. Rev. E.- 2006 Vol. 74,- P. 036109.

231. C. P. Herrero. Zero-temperature Glauber dynamics on small-world networks // J. Phys. A — 2009. —Vol. 42. P. 415102.

232. S. Jespersen, I. M. Sokolov, A. Blumen. Relaxation properties of small-world networks // Phys. Rev. E.— 2000. Vol. 62,- Pp. 4405-4408.

233. E. Almaas, R. V. Kulkarni, D. Stroud. Scaling properties of random walks on small-world networks // Phys. Rev. E. 2003. — Vol. 68. - P. 056105.

234. Anomalous Transport: Foundations and Applications, Ed. by R. Klages, G. Radons, I. M. Sokolov. Wiley-VCH, 2008.

235. I. M. Sokolov. Statistics and the single molecule // Physics. — 2008. — Vol. l.-P. 8.

236. R. D. Skeel, M. Berzins. A Method for the Spatial Discretization of Parabolic Equations in One Space Variable / / SI AM J. Sci. and Stat. Comput. — 1990,-Vol. 11.— Pp. 1-32.

237. J. Schuster, F. Cichos, C. von Borzcyskowski. Diffusion in ultrathin liquid films // European Polymer Journal. — 2004. — Vol. 40. — Pp. 993-999.

238. V. P. Shkilev. Model of superdiffusion // JETP.— 2008,— Vol. 107.— Pp. 892-898.

239. S. Petrovskii, A. Morozov, B.-L. Li. On a possible origin of the fat-tailed dispersal in population dynamics // Ecological Complexity. — 2008. — Vol. 5. — Pp. 146-150.

240. A. Cliff, P. Haggett. Time, travel and infection // British Medical Bulletin. — 2004. Vol. 69. - Pp. 87-99.

241. S. Riley. Large-Scale Spatial-Transmission Models of Infectious Disease // Science. 2007. - Vol. 316. - Pp. 1298-1301.

242. L. A. Rvachev, I. M. Longini. A Mathematical Model for the Global Spread of Influenza // Math. Biosc. 1985. - Vol. 75. - Pp. 3-23.

243. V. Colizza, M. Barthélémy, A. Barrat, A. Vespignam. Epidemic modeling in complex realities // Comptes Rendus Biologies. — 2007. — Vol. 330. — Pp. 364-374.

244. L. Sattenspiel, K. Dietz. A Structured Epidemic Model Incorporating Geographic Mobility Among Regions // Math. Biosc. — 1995.— Vol. 128.— Pp. 71-91.

245. D.J. Watts, R. Muhamad, D.C. Medina, P.S. Dodds. Multiscale, resurgent epidemics in a hierarchical metapopulation model // PNAS. — 2005. — Vol. 102,-Pp. 11157-11162.

246. D. Brockmann, L. Hufnagel, T. Geisel. The scaling laws of human travel //

247. Nature. 2006. - Vol. 439. - Pp. 462-465.j

248. R. Barakat, E. Par shall, B. H. Sandler. Zero-order Hankel transformation algorithms based on Filon quadrature philosophy for diffraction optics and beam propagation // J. Opt. Soc. Am. A. — 1998. — Vol. 15. — Pp. 652-659.fR

249. D. Subbarao. Paraxial lens approximation and self-focusing theory //J.

250. Opt. Soc. Am. B. 2004. - Vol. 21. - Pp. 323-329.ft

251. N. Bonod, E. Popov, M. Neviure. Differential theory of diffraction by finite cylindrical objects //J. Opt. Soc. Am. A. — 2005. — Vol. 22. Pp. 481-490.

252. J. L. Horner, R. Lions. Approximation for modal coupling in scattered fields from orifices //J. Acoust. Soc. Am. — 2000. — Vol. 108. — Pp. 488-493.

253. S. E. Sherer. Scattering of sound from axisymetric sources by multiple circular cylinders // J. Acoust. Soc. Am. — 2004. Vol. 115. - Pp. 488-496.

254. P. J. Morris. The scattering of sound from a spatially distributed axisym-metric cylindrical source by a circular cylinder // J. Acoust. Soc. Am.— 1995, —Vol. 97 Pp. 2651-2656.

255. К. H. Jun, H. J. Eom. Acoustic scattering from a circular aperture in a thick hard screen // J. Acoust. Soc. Am. — 1995. — Vol. 98. — Pp. 2324-2327.

256. J. S. Seo, H. J. Eom, H. S. Lee. Acoustic scattering from two circular apertures in a thick hard plane // J. Acoust. Soc. Am. — 2000. — Vol. 107. Pp. 2338-2343.

257. J. Cao, S. He. Reconstruction of the velocity and density in a stratified acoustic half-space using a short-pulse point source // J. Acoust. Soc. Am. —1997. Vol. 102. - Pp. 815-824.

258. A. Cheng, T. W. Murray, J. D. Achenbach. Simulation of laser-generated ultrasonic waves in layered plates // J. Acoust. Soc. Am.— 2001.— Vol. 110.- Pp. 848-855.

259. J. Cao, S. He. Closed-form solution for the transient reflected pressure for a point source above an acoustic half-space with an exponentially stratified density // J. Acoust. Soc. Am. 1994. - Vol. 96, — Pp. 2516-2525.

260. A. R. Krommer, C. W. Ueberhuber. Computational Integration.— SIAM,1998.

261. D. G. Duffy. Transform Methods for Solving Partial Differential Equations. CRC Press, 2004.

262. Я. M. Жилейкин, А. Б. Кукаркин. Об алгоритме быстрого преобразования Фурье-Бесселя // Журн. выч. мат. и мат. физ.— 1995. — Т. 35, № 7.- С. 1128-1133.

263. K. LePage, PL. Schmidt. Spectral integral representations of monostatic backscatttering from three-dimensional distributions of sediment volume inhomogeneities // J. Acoust. Soc. Am.— 2003 — Vol 113, no. 2,— Pp. 789-899.

264. D. W. Zhang, X.-C. Yuan, N. Q. Ngo, P. Schum. Fast Hankel transform and its application for studying the propagation of cylindrical electromagnetic fields // Opt. Express. 2002 — Vol. 10, no. 12. — Pp 521-525.

265. B. W. Suter. Foundations of Hankel transform algorithms // Q. Appl. Math. 1991. - Vol. 49. - Pp. 267-279.

266. M. J. Cree, P. J. Bones. Algorithms to numerically evaluate the Hankel transform // Comput. Math. Appl — 1993. —Vol. 26, no 1-12.

267. W. L. Anderson. Computer piogiam Numerical integration of related Hankel transform of orders 0 and 1 by adaptive digital filtering // Geophysics. — 1979 Vol 44, no. 7. - Pp. 1287-1305.

268. W. L. Anderson. Computation of Green's tensor integrals for three-dimensional electromagnetic problems using fast Hankel transform // Geophysics. — 1984. — Vol. 49, no. 10. — Pp. 1754-1759.

269. A. E. Sicgman. Quasi fast Hankel transform // Optics Lett. — 1977. — Vol. 1, no. 1 Pp. 13-15.

270. A. J. S. Hamilton. Uncorrelated modes of the nonlinear power spectrum // Monthly Not. Roy. Astron. Soc. — 2000. — no. 312.

271. Q. H. Liu, B. Tian, X. Xu, Z. Q. Zhang. Recent progress on nonuniform fast Fourier transform algorithms and their applications // J. Acoust. Soc. Am. — 1999. — Vol 106, no. 4. P. 2135.

272. J. Benedetto, P. Ferreira. Modern Sampling Theory. — Boston: Birkhauser, 2003.

273. В. V. Suter, R. A. Fledges. Understanding fast Hankel transforms //J. Opt. Soc. Am. A. — 2001. — Vol. 18, no. 3.- Pp. 717-720.

274. J. Markham, J.-A. Conchello. Numerical evaluation of Hankel transforms for oscillating functions // J. Opt. Soc. Am. A. — 2003. — Vol. 20, no. 4.— Pp. 621-630.

275. J. D. Secada. Numerical evaluation of the Hankel transform // Сотр. Phys. Comm. 1999. - Vol. 116. - Pp. 278-294.

276. L. Yu, M. Huang, M. Chen et al. Quasi-discrete Hankel transform // Opt. Lett. — 1998. — Vol. 23, no. 6.

277. M. Guizar-Sicairos, J. C. Gutierrez- Vega. Computation of quasi-discrete Hankel transforms of integer order for propagating optical wave fields // J. Opt. Soc. Am. A — 2004,- Vol. 21, no 1,- Pp. 53-58.

278. К. Дж. Трантер. Интегральные преобразования в математической физике.— М : Гос. издат. техт. теор. лит., 1956.

279. A. Jerri. The Shannon Sampling Theorem Its Various Extensions and Applications: A Tutorial Review // Proc. IEEE. — 1977, — Vol. 65, no. 11.— Pp. 1565-1596.

280. L. Filon. On a quadrature formula for trigonometric integrals // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1928-1929. - Vol. 49. - Pp. 38-47.

281. R. Barakat, E. Parshal. Numerical Evaluation of the Zero-Order Hankel Transform Using Filon Quadrature Philosophy // Appl. Math. Lett. — 1996. Vol. 9, no. 5. - Pp. 21-26.

282. R. Barakat, В. H. Sandler. Evaluation of First-Order Hankel Transforms Using Filon Quadrature Philosophy // Appl. Math. Lett. — 1998. — Vol. 11, no. 1.— Pp. 127-131.

283. R. Barakat, В. H. Sandler. Filon Trapezoidal Schemes for Hankel Trams-forms of Order Zero and One // Сотр. Math. Appl — 2000.— Vol. 40.— Pp. 1037-1041.

284. И. H. Дремип, О. В. Иванов, В. А. Нечитайло. Вейвлеты и их использование // Усп. физ. наук.— 2001,— Т. 171, № 5. — С. 465-501.

285. Ч. Чуй. Введение в вэйвлеты. — М.: Мир, 2001.

286. И. Я. Новиков, С. Б. Стечкин. Основы теории всплесков // Усп. ма-тем. наук. 1998. - Т. 53, № 6. - С. 53-129.

287. W. Sweldens. The lifting scheme: A new philosophy in biorthogonal wavelet construction // Proceedings of Wavelet Applications in Signal and Image Processing III / SPIE. — Vol. 2569 of SPIE Proceedings Series.- SPIE, 1995.- Pp. 68-79.

288. G.-P. Bonneau, S. Hahmann, G. M. Nielson. BlaC Wavelets: a multiresolution analysis with non-nested spaces // Proceedings of VIS'96 / ACM. — ACM, New York, 1996,- Pp. 43-48.

289. H. L. Resnikoff, R. О'Neil Wells. Wavelet Analysis: The Scalable Structure of Information. — Springer, 1998.

290. K. Urban. Wavelets in Numerical Simulation: Problem Adapted Construction and Applications. — Springer, 2002.

291. V. K. Singh, 0. P. Singh, P. K. Pandey. Numerical evaluation of the

292. Hankel transform by using linear Legendre multi-wavelets // Comp. Phys. Comm. 2008. - Vol. 179. - Pp. 424-429.

293. V. K. Singh, O. P. Singh, P. K. Pandey. Efficient algorithms to compute Hankel transforms using wavelets // Comp. Phys. Comm. — 2008. — Vol. 179.- Pp. 812-818.

294. P. K. Pandey, 0. P. Singh, V. K. Singh. An Efficient Algorithm for Computing Zero-Order Hankel Transforms // Applied Mathematical Sciences. — 2008. Vol. 2. - Pp. 2991 - 3000.

295. P. K. Pandey, V. K. Singh, 0. P. Singh. An improved method for computing Hankel transform // J. Franklin I. — 2009. — Vol. 346. — Pp. 102-111.

296. V. K. Singh, P. K. Pandey, S. Singh. A stable algorithm for Hankel transforms using hybrid of Block-pulse and Legendre polynomials // Comp. Phys. Comm. 2010. - Vol. 181. - Pp. 1-10.

297. O. Komenda. — Synteticke difraktivni elementy pro tvarovani svazku. — Master's thesis, Ceske vysoke uceni technicke v Praze, 2006.