Анализ автоколебательных режимов непрерывно-дискретных динамических моделей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Велиева Татьяна Рефатовна

• Велиева Татьяна Рефатовна
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Велиева Татьяна Рефатовна

Список сокращений

Список основных обозначений

Введение

Глава 1. Непрерывно-дискретная модель процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом

типа RED динамической интенсивностью потока

1.1. Адаптивное управление перегрузками

1.2. Применение метода стохастизации одношаговых процессов к построению модели процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической

интенсивностью потока

1.3. Гибридная модель процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока

Глава 2. Адаптация метода Крылова—Боголюбова для линеаризации модели процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамиче-

ской интенсивностью потока

2.1. Линеаризация модели и приведение её к блочно-линейному виду

2.2. Гармоническая линеаризация линеаризованной модели

2.3. Исследование параметров колебаний методом определения границы устойчивости линейных систем

Глава 3. Программные реализации модели

3.1. Программная реализация модели в комплексе символьных вычислений

3.2. Программная реализация модели в комплексе для проведения численного эксперимента

3.3. Имитационное моделирование процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока

Заключение

Приложение A. Аннотированный программный код

A.1. Линеаризация модели

A.2. Генерация кода для численного эксперимента

A.3. Метод Рауса-Гурвица

A.4. Имитационная модель

А.5. Обработка результатов имитационного эксперимента

Список иллюстраций

Список литературы

Список сокращений

ACK Acknowledge

AQM Active Queue Management

ARED Adaptive RED

DWRED Distributed WRED

ECN Explicit Congestion Notification

EWMA Exponentially Weighted Moving-Average

FB-WRED Flow-Based WRED

GRED Gentle RED

MPSD Multiple Program Single Data

NAM Network Animator

RED Random Early Detection

RFC Request for Comments

RTT Round-Trip Time

SS Segment Size

TD ACK Triple Duplicate ACK

TCP Transmission Control Protocol

UML Unified Modeling Language

WRED Weighted Random Early Detection

ОДУ обыкновенное дифференциальное уравнение

Список основных обозначений

В работе использованы следующие основные обозначения и соглашения.

C интенсивность обслуживания пакетов в очереди,

измеряемая в пакетах в секунду Q(t) функция текущего размера очереди

Q(t) функция экспоненциально взвешенной скользящей

средней длины очереди p(Q) функция алгоритма RED сброса (или отметки на

сброс) пакетов

pmax параметр максимально возможного уровня сброса

пакетов в алгоритме RED Qmin минимальное пороговое значение для Q(t)

Qmax максимальное пороговое значение для Q(t)

R ёмкость буфера

T(t) общее время двойного оборота пакета (RTT),

/

T(t) = <

T+Щ' Q(t) >0

ть, Я(г) = о

Ть время на передачу и подтверждение приёма пакета

без учёта задержки в оборудовании

wq, 0 < wq < 1 весовой коэффициент EWMA

W(t) функция изменения размера TCP-окна

t время

N(t) пуассовновский случайный процесс

V(t) винеровский случайный процесс

L преобразование Лапласа

Pred линеаризованная функция RED

H(s) передаточная функция в блочном представлении

Hi линейное звено в линеаризованой модели в блочном представлении

Hni нелинейное звено в линеаризованой модели в блочном представлении

ко, к, К коэффициенты гармонической линеаризации

A амплитуда колебания

ш частота колебания

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Анализ автоколебательных режимов непрерывно-дискретных динамических моделей»

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена анализу автоколебательных режимов непрерывно-дискретных динамических моделей.

Объектом моделирования выступает система взаимодействия потока трафика, передаваемого по протоколу TCP [1], и модуля управления очередью в сетевом устройстве типа маршрутизатор (router) или шлюз (gateway) гетерогенной компьютерной сети. Управление поступающим в очередь маршрутизатора трафиком осуществляется по алгоритму типа Random Early Detection (RED), предложенному Сали Флойд (Sally Floyd) и Ван Якобсоном (Van Jacobson) в работе [2] с целью борьбы с перегрузками в сетях передачи данных с коммутацией пакетов.

Устройство обнаруживает зарождающуюся перегрузку, вычисляя средний размер очереди. При этом в случае возникновения такого события источник перегрузки уведомляется о нём либо путём удаления поступающих в очередь устройства пакетов, либо путём установки специальных бит маркировки на удаление пакета в его заголовке [3]. Удаление или маркировка на удаление поступающих в устройство пакетов происходит при достижении задаваемого порогового значения среднего

размера очереди и осуществляется с некоторой вероятностью, задаваемой функцией среднего размера очереди. Таким образом делается попытка удержания среднего размера очереди на низком уровне и избежания взрывного увеличения потока поступающих пакетов. Функция вероятности сброса пакета в период перегрузки (после достижения порогового значения) линейно возрастает с увеличением значения средней длины очереди и примерно пропорциональна доле занимаемой конкретным соединением ширины полосы пропускания устройства. Фактически устройства с модулем управления очередью по алгоритму типа RED предназначены для сопровождения протокола контроля перегруженности транспортного уровня, такого как TCP. Они позволяют избежать глобальной синхронизации многих подключений, одновременно уменьшая их окно передачи.

Из-за особенностей функционирования TCP-подобных протоколов и алгоритма случайного раннего обнаружения перегрузки на устройствах управления в сетях передачи данных возникают проблемы с поддержанием на приемлемом уровне пропускной способности сети (см. работы [48]). Эта проблема стала одной из причин появления ряда публикаций с предложениями как по улучшению самого протокола TCP [9-16], так и по совершенствованию алгоритма управления [17-42].

Также много работ посвящено исследованиям моделей сети на базе TCP-подобного протокола передачи данных с алгоритмом активного управления очередью на маршрутизаторах [43-63].

В такой системе при некоторых параметрах алгоритма управления возникает автоколебательный режим поведения размера окна перегрузки протокола TCP и длины очереди маршрутизатора.

Предметом исследования является непрерывно-дискретная динамическая модель процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока.

Актуальность темы исследования

Протокол TCP остаётся основным транспортным протоком для передачи данных между различными приложениями, работающими через сеть Интернет. С ростом числа интернет-приложений и их разнообразия ключевой проблемой остаётся контроль перегрузок. Взаимодействие протокола TCP и механизма активного управления очередями (Active Queue Management, AQM) на маршрутизаторах (или сетевых шлюзах) существенно влияет на производительность интернет-приложений. Одним из наиболее известных алгоритмов AQM, управляющего перегрузкой в сетевом шлюзе, является алгоритм случайного раннего обнаружения (Random Early Detection, RED). Хотя этот алгоритм и разработан довольно давно [2], но до сих пор он используется в современном оборудовании в вариантах Weighted RED (WRED), Distributed WRED (DWRED), Flow-Based WRED (FB-WRED), Class-Based WRED и т.п. (подробнее см. в документации по настройке соответствующего класса оборудования, например, на сайте компании Cisco — https://www.cisco.com).

Сложностью в работе с алгоритмами типа RED остаётся подбор правильных параметров для его эффективной работы. Точная модель взаимодействия TCP с механизмом управления по алгоритму RED может помочь понять и предсказать динамическое поведение сети. Кроме того, модель может помочь определить границы области стабильной работы системы, что, в свою очередь, предоставит возможность проектировщикам выработать рекомендации по выбору параметров алгоритма управления и сети в целом. Это важно для обеспечения надёжности работы сети и сетевых приложений.

Сказанное выше говорит об актуальности диссертационного исследования.

Цель диссертационной работы

Исследование нелинейных явлений и определение границы области возникновения автоколебательного режима, а также параметров возникновения автоколебаний в непрерывно-дискретной динамической модели процесса передачи данных с управлением интенсивностью TCP-подобного потока по алгоритму типа RED.

Задачи диссертационной работы

1. Определение аналитического метода линеаризации непрерывно-дискретной динамической модели процесса передачи данных с управлением интенсивностью TCP-подобного потока по алгоритму типа RED (п.1 паспорта специальности 05.13.18);

2. Разработка алгоритмов и программного комплекса для линеаризации непрерывно-дискретной динамической модели процесса передачи данных с управлением интенсивностью TCP-подобного потока по алгоритму типа RED (п.2 паспорта специальности 05.13.18);

3. Разработка алгоритмов и программного комплекса для численного исследования линеаризованной непрерывно-дискретной динамической модели процесса передачи данных с управлением интенсивностью TCP-подобного потока по алгоритму типа RED с целью определения границ области возникновения автоколебательного режима и определения значений параметров автоколебаний (п.4 паспорта специальности 05.13.18).

Результаты, выносимые на защиту

1. Проведена адаптация метода Крылова-Боголюбова и метода гармонической линеаризации для их применения к непрерывно-дискретной динамической модели процесса передачи данных с управлением интенсивностью TCP-подобного потока по алгоритму типа RED. (п.1 паспорта специальности 05.13.18);

2. Разработан программный комплекс для проведения символьных вычислений с целью получения линеаризованной системы ОДУ и автоматизации генерации программного кода для проведения численного эксперимента (п.2 паспорта специальности 05.13.18);

3. Разработан программный комплекс на языке Julia для проведения численного эксперимента с целью определения границ области возникновения автоколебательного режима и определения значений параметров автоколебаний (п.4 паспорта специальности 05.13.18).

Научная новизна

1. Исследуемая в работе непрерывно-дискретная динамическая модель процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока построена с помощью метода стохастизации одношаговых процессов, предложенного в работах [64-68] и позволившего получить формализованное математическое описание предмета исследований из первых принципов, базируясь на виде основного кинетического уравнения, полученного из него приближённого уравнения Фоккера-Планка и соответствующего ему уравнения Ланжевена. При построении моделей подобного рода другими исследователями (например, см. работы [4449; 55; 57]) такой подход не применялся.

2. Линеаризация исследуемой непрерывно-дискретной динамической модели процесса передачи данных с управлением интенсивностью потока по алгоритму типа RED проведена с использованием адаптированного к этой модели метода Крылова-Боголюбова [69] и метода гармонической линеаризации, позаимствованными из теории автоматического управления (см., например, [70]), которые ранее к подобного рода моделям не применялись.

3. Для проведения аналитико-численного исследования полученной модели разработаны программные комплексы символьных и численных вычислений, причём реализована автоматическая генерация кода для численного эксперимента. В результате это позволило определить границы области возникновения автоколебательного режима, получить значения параметров автоколебаний, построить их спектральный портрет.

Практическая значимость

Разработанные методики позволяют формализовать задачи проектирования модулей активного управления очередями, что, в свою очередь, позволяет выделять подзадачи и алгоритмизировать их решение при реализации на компьютере. Метод определения граница области возникновения автоколебательного режима позволяет предоставить рекомендации проектировщикам телекоммуникационных сетей по выбору параметров сети для более оптимального использования ширины полосы пропускания, снижения латентности и джиттера при передаче информации. Кроме того, разработанные в работе методы и алгоритмы можно использовать в разнообразных системах с управлением потоком, таких как автомобильный трафик и т.д. Всё это позволяет реализовать процесс проектирования модулей активного управления трафиком в форме вычислительного эксперимента, включающего этап верификации с экспериментальными измерениями.

Следует отметить, что полученные в диссертации результаты были использованы при реализации грантов РФФИ № 15-07-08795 «Разработка методики компьютерного проектирования стохастических моделей систем методом вычислительного эксперимента» и № 16-07-00556 «Программный комплекс для численных и символьных расчётов в распределённой среде для работы статистических и стохастических моделей на основе операторного метода».

Методы исследования

В работе использовались методы теории нелинейных колебаний, теории стохастических дифференциальных уравнений, стохастизации одношаговых процессов, метод Крылова-Боголюбова, метод гармонической линеаризации из теории автоматического управления, критерий Найквиста-Михайлова определения устойчивости замкнутой системы автоматического управления по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, метод качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы, а также методы теории случайных процессов.

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения поставленных задач использовались строгие и проверенные методы: метод гармонической линеаризации, критерий Найквиста-Михайлова определения

устойчивости замкнутой системы автоматического управления по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы, методы качественного анализа (анализ фазовых и параметрических портретов), быстрое преобразование Фурье.

Достоверность результатов исследования вытекает из совпадения полученных автором численных результатов с результатами имитационного моделирования при тех же условиях в ns-2 — эталонном средстве моделирования сетевых протоколов.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

— Научная сессия НИЯУ МИФИ, Москва, Россия (2014 г., 2015 г., 2016 г.);

— Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», ОИЯИ, г. Дубна, Россия (2014 г., 2016 г.);

— International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT) (2014 г., 2015 г.);

— Научно-практический семинар молодых ученых и студентов «Системы управления, технические системы: устойчивость, стабилизация, пути и методы исследования», Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина, Елец, Россия (2016 г.);

— International Scientific Conference Convergent Cognitive Information Technologies, Convergent, Moscow, Russia (2016 г., 2017 г.);

— Международная научная конференция «Распределённые компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь» (DCCN), Москва, Россия (2016 г.);

— International conference "Problems of Mathematical Physics and Mathematical Modelling", NRNU MEPhI, Moscow, Russia (2017 г.);

— Международная конференция «Компьютерная алгебра», ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», Москва, Россия (2017 г.);

— Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем, РУДН, Москва, Россия (2015 г., 2016 г., 2017 г., 2018 г.);

— European Conference on Modelling and Simulation, Germany (2016 г., 2018 г.);

— International Conference on Dependability and Complex Systems (DepCoS-RELCOMEX), Brunow, Poland (2016 г., 2017 г., 2018 г.);

Также основные результаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:

— Семинар «Компьютерная алгебра» факультета ВМК МГУ и ВЦ РАН.

— Семинар «Математическое моделирование» кафедры прикладной информатики и теории вероятностей РУДН.

Публикации

Основные положения диссертации опубликованы в 39 печатных работах, из них 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ [71; 72], 4 — статьи в рецензируемых журналах [67; 73— 75], рекомендованных ВАК, 12 — работы в изданиях, индексируемых WoS/Scopus [60; 63; 68; 76-84].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причём вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, приложения и списка литературы из 126 наименований. Диссертация содержит 141 страницу текста, 42 рисунка.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулированы цель и задачи, аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов.

В первой главе приведено описание объекта моделирования — системы взаимодействия TCP-источника трафика и модуля управления очередью в сетевом устройстве типа маршрутизатор (или шлюз) гетерогенной компьютерной сети.

В разделе 1.1 дано описание механизма адаптивного управления перегрузками в сетях на базе транспортных протоколов типа TCP. Рассмотрены фазы протокола TCP Reno, его механизмы предотвращения перегрузок. Также рассмотрено адаптивное управление перегрузками в алгоритме RED, применяемом в сетевом оборудовании.

В этом же подразделе проведён обзор работ, посвящённых методам моделирования и анализа моделей взаимодействия TCP и RED. Предложена схема проведения исследований по теме диссертационного исследования.

В разделе 1.2 с помощью метода стохастизации одношаговых процессов проведено построение модели взаимодействия TCP и RED. Модель формализована в виде системы трёх дифференциальных уравнений, описывающих изменение размера окна TCP, изменение размера очереди и уравнения их связывающего через функцию экспоненциально взвешенного скользящего среднего размера очереди, используемого алгоритмом RED для управления очередью.

В разделе 1.3 показано, что полученная в разделе 1.2 модель является гибридной (непрерывно-дискретной) моделью. Построены UML-диаграммы состояний TCP и RED на основе описания их функционирования.

Во второй главе проведено аналитическое исследование модели.

В разделе 2.1 проведена линеаризация модели в окрестности точки равновесия и через варьирования правых частей полученных уравнений линеаризованная система приведена к блочно-линейному виду.

В разделе 2.2 проведена гармоническая линеаризация линеаризованной модели с целью сохранения свойств наличия автоколебательного режима в исходной модели. Выписаны выражения для коэффициентов гармонической линеаризации. Выписаны выражения для постоянной и периодической составляющих линеаризованной модели.

В разделе 2.3 проведено аналитическое исследование с целью определения параметров автоколебаний. Для определения границ области возникновения автоколебаний применён метод Найквиста-Михайлова. Также приведено описание метода Рауса-Гурвица, позволяющего определить амплитудно-фазовые частотные характеристики системы.

В третьей главе приведено описание разработанных для исследуемой в работе модели программных комплексов.

В разделе 3.1 дано описание принципов реализации модели в комплексе символьных вычислений. Алгоритмы работы программного комплекса представлены в форме диаграмм деятельности UML (UML Activity Diagram).

В разделе 3.2 дано описание принципов реализации модели в разработанном комплексе для проведения численного эксперимента. Алгоритмы работы программного комплекса приведены также в форме диаграмм

деятельности UML. По результатам работы двух программных комплексов программ построены параметрические портреты зависимости параметров автоколебаний от свободного параметра модели.

В разделе 3.3 дано описание принципов реализации модели в системе имитационного моделирования ш-2. Построены графики поведения средней длины очереди для заданных значений интенсивности обслуживания (выбран в качестве свободного параметра системы). Показаны случаи наличия и отсутствия автоколебательного режима. Получены значения параметров автоколебаний, построен спектральный портрет автоколебаний мгновенной длины очереди при заданном значении свободного параметра. Показано совпадение с результатами как аналитического исследования, так и результатами проведённого с помощью разработанных комплексов программ эксперимента.

В приложении приведён аннотированный программный код разработанных в диссертационном исследовании программных комплексов.

В заключении перечислены основные выводы и результаты, полученные в диссертации.

Глава 1. Непрерывно-дискретная модель процесса передачи TCP-подобного трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока

Объектом моделирования выступает система взаимодействия потока трафика, передаваемого по протоколу TCP, и модуля управления очередью в сетевом устройстве типа маршрутизатор или шлюз гетерогенной компьютерной сети.

1.1. Адаптивное управление перегрузками

В современных компьютерных сетях, работающих на базе протоколов стека TCP/IP, основным транспортным протоколом передачи данных с обеспечением надёжности их доставки остаётся TCP. Основными элементами сети, управляющими передаваемыми потоками данных, обычно являются маршрутизаторы (router) и (или) шлюзы (gateway). В сетевых устройствах управление поступающим трафиком осуществляется специально настраиваемыми политиками (алгоритмами) обработки поступающих в очередь устройства пакетов. Одна из целей использования

политик управления трафиком в сетевых устройствах — предотвращение перегрузок в сети и, как следствие, предотвращение снижения пропускной способности узлов сети.

1.1.1. Управление перегрузками в TCP Reno

TCP включает в себя широкий набор механизмов, обеспечивающих надёжную, последовательную и своевременную доставку данных от источника к месту назначения. Ключом к его работе в этом отношении является система подтверждения доставки данных и реализация механизма скользящего окна. Такой подход обеспечивает возможности буферизации передаваемых пакетов и, как следствие, управления потоком данных между устройствами путём сглаживания неравномерности скоростей доставки данных.

RFC 793 [1] является определяющим стандартом для TCP, но в нём не отражены усовершенствования основных механизмов TCP [9-13], реализованные в последствии. Различные версии TCP отличаются способами реализации механизма предотвращения перегрузок. В частности, в версии TCP Reno [11] механизм управления перегрузками имеет четыре фазы (рис. 1.1) — медленный старт, предотвращение перегрузок, быстрая передача и быстрое восстановление.

На каждой фазе TCP Reno задан алгоритм изменения размера так называемого окна перегрузки (cwnd).

В фазе медленного старта рост окна перегрузки cwnd (congestion window) зависит получения источником сообщений о доставке

cwnd

SS: Slow Start

CA: Congestion Avoidance

TO: Timeout

TO

ssthresh1 ssthresh2

Рис. 1.1. Фазы функционирования TCP

(Acknowledge, ACK) определённого числа сегментов (Segment Size, SS): cwnd = cwnd + 1. Причём можно считать, что подтверждения приходят не на каждый отправленный пакет, а на группу пакетов (сегмент) по истечении времени двойного оборота (Round-Trip Time, RTT) от источника до получателя, т.е. фактически размер окна перегрузки удваивается через время RTT.

Переход в фазу предотвращения перегрузки происходит при достижении объявленного приёмником размера окна перегрузки, после чего для каждого полученного ACK за время RTT окно увеличивается на один пакет (cwnd = cwnd + 1/cwnd).

При возникновении в сети потерь пакетов протокол может перейти или в фазу быстрой передачи или в фазу быстрого восстановления.

Фаза быстрой передачи наступает при получении тройного дублирования подтверждений (Triple Duplicate ACK, TD) для каждого пакета,

доставленного в нарушение очерёдности. В этом случае размер окна перегрузки уменьшается до порогового значения фазы медленного старта (cwnd ^ cwnd/2), затем увеличивается, как в фазу предотвращения перегрузки.

Если же потеря пакетов происходит по тайм-ауту, то размер окна устанавливается в начальное значение.

Таким образом, алгоритм управления перегрузкой TCP Reno аддитивно увеличивает размер окна перегрузки и мультипликативно его уменьшает.

1.1.2. Адаптивное управление перегрузками в алгоритме RED

Другой способ управления перегрузками в TCP/IP-сети — использование алгоритма активного управления очередью (Active Queue Management, AQM) на маршрутизаторе или шлюзе. К таким алгоритмам, в частности, относится алгоритм случайного раннего обнаружения (Random Early Detection, RED) [2] и различные его модификации [1738].

Классический алгоритм RED работает со средневзвешенным значением длины очереди, помечая поступающие в очередь пакеты на удаление (или удаляя их) с некоторой вероятностью, если это вычисленное значение достигает заданного порога (рис. 1.2):

0, 0 < Q(t) ^ Qmin,

p(Q(t)) = ^ Q(t) - Qmin pmax, Qmin < Q(t) ^ Q

Qmax Qmin

max?

(1.1)

1,

Q(t) > Q

max

Здесь р(^)^)) — функция сброса пакета, — функция среднего значения длины очереди, 0(£) — функция средневзвешенного значения длины очереди, ^тш и Qmax — пороговые значения значения длины очереди, pmax — максимальный уровень сброса пакетов.

Ртах

Рис. 1.2. Функция сброса RED

Алгоритм RED работает с TCP-подобным трафиком, следовательно наличие уведомления источника о явной перегрузке (Explicit Congestion Notification, ECN) [3] или потери пакетов вынуждают источник снижать

интенсивность своей передачи путем уменьшения окна передачи.

1.1.3. Проблемы моделирования TCP и RED

В данной работе моделируется простая сеть, показанная на рис. 1.3.

TCP source N TCP Receiver N

Рис. 1.3. Схема моделируемого элемента сети

В сети имеется нескольких TCP-источников и соответствующие им пункты назначения, и два узла, выполняющих роль маршрутизатора. Алгоритм RED используется в первом маршрутизаторе. Предполагается, что данные проходят от источника до получателя по протоколу TCP Reno через два маршрутизатора, но обратно идут только сообщения ACK. Считаем, что сообщения ACK не теряются. Кроме того, предполагается, что RTT между источником и пунктом назначения и размер пакета данных постоянны.

В любом исследовании естественно возникает вопрос выбора способа моделирования и анализа, в зависимости от стоящих перед исследователем задач [85].

С момента разработки и внедрения алгоритма RED в сетевые устройства появилось достаточно много работ, посвящённых анализу его работы, в том числе и выбору его настроек при конфигурировании

политик управления на маршрутизаторах, а также построению и анализу как дискретных, так и непрерывных моделей, связанных с его функционированием.

В работах [46; 49; 57] предложена усреднённая модель взаимодействия TCP и RED, описываемая системой непрерывных дифференциальных уравнений.

В работах [48; 49] авторы с помощью классических методов из теории систем управления проводят линеаризацию, построенной в работе [46] нелинейной модели и сравнивают результаты с моделью, реализованной в средстве имитационного моделирования ns-2, а также анализируют недостатки алгоритма RED в сравнении с PI-контроллерами. В дальнейшем в работе [86] авторы предлагают самонастраивающийся в зависимости от пропускной способности алгоритм управления очередями на маршрутизаторе, опять же проводят сравнение результатов с имитационной моделью в ns-2. В работе авторы изучают влияние источников трафика, не реагирующих на обратную связь от AQM-алгоритма на долгоживущий TCP-трафик. В этой работе объединены модели динамики TCP/AQM с моделями невосприимчивого трафика для анализа влияния на производительность AQM. В основу также положена непрерывная нелинейная модель передачи TCP-трафика из работы [46].

В работе [57] предложен метод определения области возникновения автоколебаний динамических переменных модели — размера окна TCP и средней длины очереди. В этой же работе проведён качественный анализ

параметрических и фазовых портретов для систем с несколькими RED-подобными алгоритмами. Для исследования использовались численные методы.

В работах [46; 49; 57] в модели фигурируют два случайных одношаго-вых процесса в непрерывном времени — процесс изменения размера окна TCP и процесс изменения размера очереди. Интерес вызывает желание провести построение модели из так называемых «первых принципов». Сделать это можно, применив метод стохастизации одношаговых процессов.

Метод стохастизации одношаговых процессов предложен в работе [64], описание применения метода для построения систем, которые возможно описывать одношаговыми процессами, дано также в работе [87]. Метод получил развитие в работах [62; 67; 84; 88-90].

TCP Reno демонстрирует низкую производительность с точки зрения использования канала связи всякий раз, когда из одного окна данных отбрасывается несколько пакетов, что было показано в работе [10]. Но следует учитывать, что протокол TCP лежит в основании сети Интернет, и любая его модификация сталкивается с большим противодействием. И при том, что для протокола TCP разработано большое количество улучшений, глобальное внедрение их является делом не сегодняшнего дня. Так что вариант TCP Reno и его модификации всё ещё используется в узлах сети Интернет.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Велиева Татьяна Рефатовна, 2019 год

Список литературы

1. Transmission Control Protocol. RFC 793 / ed. by J. Postel. — Information Sciences Institute, 1981.

2. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance // IEEE/ACM Transactions on Networking. —

1993. — Vol. 1, no. 4. — P. 397-413. — DOI: 10.1109/90.251892.

3. Floyd S. Explicit Congestion Notification (ECN) Mechanism in the TCP/IP Protocol // ACM Computer Communications Review. —

1994. — Oct. — Vol. 24, issue 5. — DOI: 10.1145/205511.205512.

4. Jacobson V. Congestion Avoidance and Control // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. — 1988. — Vol. 18, no. 4. — P. 314-329. — DOI: 10.1145/52325.52356. — arXiv: arXiv : 1011.1669v3.

5. Romanow A., Floyd S. Dynamics of TCP traffic over ATM networks // IEEE Journal on Selected Areas in Communications. — 1995. — Vol. 13, issue 4. — P. 633-641. — DOI: 10.1109/49.382154.

6. Floyd S. RED: Discussions of Setting Parameters. — 11em-ber/1997. —URL: http://www.aciri.org/floyd/REDparameters. txt.

7. Floyd S., Fall K. Promoting the use of end-to-end congestion control in the Internet // IEEE/ACM Transactions on Networking. — 1999. — Vol. 7, issue 4. — P. 458-472. — DOI: 10.1109/90.793002.

8. Mahajan R., Floyd S., Wetherall D. Controlling high-bandwidth flows at the congested router // Proceedings Ninth International Conference on Network Protocols. ICNP 2001. — IEEE, 11./2001. — DOI: 10.1109/ICNP.2001.992899.

9. Jacobson V., Braden R., Borman D. TCP Extensions for High Performance, RFC-1323 / IETF. — 05/1992. — DOI: 10.17487/ rfc1323. —URL: https://www.rfc-editor.org/info/rfc1323.

10. Fall K., Floyd S. Simulation-Based Comparisons of Tahoe, Reno and SACK TCP // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. — 1996. — Vol. 26, no. 3. — P. 5-21. — DOI: 10.1145/ 235160.235162.

11. Allman M., Paxson V., Blanton E. TCP Congestion Control : tech. rep. — 09/2009. — DOI: 10.17487/rfc5681.

12. Borman D., Braden B., Jacobson V. TCP Extensions for High Performance, RFC 7323 : tech. rep. — 09/2014. — DOI: 10.17487/ RFC7323.

13. Lautenschlaeger W., Francini A. Global Synchronization Protection for Bandwidth Sharing TCP Flows in High-Speed Links // Proc. 16-th International Conference on High Performance Switching and

Routing, IEEE HPSR 2015. — Budapest, Hungary, 2015. — arXiv: 1602.05333.

14. TCP Incast Avoidance Based on Connection Serialization in Data Center Networks / S. Osada, R. Miyayama, Y. Fukushima, T. Yokohira1 // International Journal of Computer Networks & Communications (IJCNC). — 2016. — July. — Vol. 8, no. 4. — P. 83-102.

15. Peng J. Performance of TCP Congestion Control in UAV Networks of Various Radio Propagation Models // International Journal of Computer Networks & Communications (IJCNC). — 2016. — Mar. — Vol. 8, no. 2. — P. 1-12.

16. Luabc Y., Fana X, Qian L. Dynamic ECN marking threshold algorithm for TCP congestion control in data center networks // Computer Communications. — 2018. — Vol. 129. — P. 197-208. — DOI: 10.1016/j.comcom.2018.07.036.

17. Estimating Arrival Rates from the RED Packet Drop History / S. Floyd, K. Fall, K. Tieu ; ICSI. — 4il/1998.

18. Floyd S. Recommendations on using the Gentle Variant of RED / ICIR. — 3ch/2000. — URL: http://www.aciri.org/floyd/red/ gentle.html.

19. Dynamics of Random Early Detection / D. Lin, D. Lin, R. Morris, R. Morris // Proceedings of ACM SIGCOMM. — Sophia Antipolis, France, 9tember/1997. — P. 127-137.

20. Techniques for Eliminating Packet Loss in Congested TCP/IP Network : tech. rep. / W.-C. Feng, D. Kandlur, D. Saha, K. Shin ; U. Michigan. — 11ember/1997. — CSE-TR-349-97.

21. A Self-Configuring RED Gateway / W.-C. Feng, D. Kandlur, D. Saha, K. Shin // Infocom'99, New York, USA. — IEEE, 3s/1999. — DOI: 10.1109/INFC0M.1999.752150.

22. Anjum F. M., Tassiulas R. Balanced-RED: An Algorithm to Achieve Fairness in the Internet // Proc. IEEE INFOCOM '99. — 1999.

23. BLUE: A New Class of Active Queue Management Algorithms : tech. rep. / W.-C. Feng, D. D. Kandlur, D. Saha, K. G. Shin. — 4il/1999. — CSE-TR-387-99.

24. Athuraliya S., Low S. H., Lapsley D. E. Random Early Marking // QofIS. — 2000. — P. 43-54.

25. Ott T., Lakshman T, Wong L. SRED: Stabilized RED // Proceedings of INFOCOM'99, New York, USA. — IEEE, 1999. — P. 13461355. — DOI: 10.1109/INFC0M.1999.752153.

26. Iannaccone G., May M., Diot C. Aggregate Traffic Performance with Active Queue Management and Drop From Tail // SIGCOMM Comput. Commun. Rev. — New York, NY, USA, 2001. — Vol. 31, no. 3. — P. 4-13. — DOI: http://doi.acm.org/10.1145/505659. 505661.

27. Stochastic Fair Blue: A Queue Management Algorithm for Enforcing Fairness / W.-C. Feng, D. D. Kandlur, D. Saha, K. G. Shin // INFOCOM. — Anchorage, Alaska, USA, 4il/2001. — P. 1520-1529.

28. Floyd S., Gummadi R., Shenker S. Adaptive RED: An Algorithm for Increasing the Robustness of RED's Active Queue Management / AT&T Center for Internet Research at ICSI. — 8ust/2001. — URL: http://www.icir.org/floyd/papers/adaptiveRed.pdf.

29. PI-PD Controller for Adaptive and Robust Active Queue Management for Internet Congestion Control / S. Ryu, B. Ryu, M. Jeong, S. Park // SIMULATION. — 2005. — June. — Vol. 81, no. 6. — P. 437-459. — DOI: 10.1177/0037549705056202.

30. POWARED for Non-Linear Adaptive RED / B. K. Ng, M. Uddin, A. Malik Abusin, D. Chieng // Asia-Pacific Conference on Communications, Perth, Western Australia, 3-5 October 2005. — 2005.

31. Kim T.-H, Lee K.-H. Refined Adaptive RED in TCP/IP Networks // SICE-ICASE International Joint Conference. — Bexco, Busan, Korea, 10. 18-21/2006.

32. Zheng B., Atiquzzaman M. DSRED: A New Queue Management Scheme for the Next Generation Internet // IEICE TRANS. COMMUN. — 2006. — Mar. — Vol. E89-B, no. 3.

33. Ryoo I., Yang M. A State Dependent RED: An Enhanced Active Queue Management Scheme for Real-Time Internet Services // IEICE Trans. Commun. — 2006. — Vol. E89-B, no. 2. — P. 614-617.

34. Wu H.-M., Wu C.-C, Lin W. SF-RED — a Novel Server-based AQM to Provide Inter-server Fairness Service // Proceedings of the 12th International Conference on Parallel and Distributed Systems (ICPADS'06). — 2006.

35. Que D, Chen Z, Chen B. An Improvement Algorithm Based on RED and Its Performance Analysis // 9th International Conference on Signal Processing. — IEEE, 2008. — DOI: 10.1109/IC0SP.2008. 4697538.

36. Королькова А. В., Кулябов Д. С., Черноиванов А. И. К вопросу о классификации алгоритмов RED // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — М., 2009. — № 3. — С. 34— 46.

37. Chrost L, Chydzinski A. On the Evaluation of the Active Queue Management Mechanisms // First International Conference on Evolving Internet, Cannes/La Bocca, France. — 2009. — P. 113-118. — DOI: 10.1109/INTERNET.2009.25.

38. Winstein K., Balakrishnan H. TCP ex Machina: Computer-Generated Congestion Control - Annotated // Proc. ACM Conference on

Communications Architectures, Protocols and Applications (SIG-COMM'13). —2013. — P. 123-134. — DOI: 10.1145/2486001. 2486020.

39. Jamali S., Alipasandi B., Rafe V. On the Use of Economical Theories and Metrics to Design an Intelligent Active Queue Management in the Internet // Indian Journal of Science and Technology. — 2014. — Oct. — Vol. 7, no. 10. — P. 1690-1698.

40. Comparative Analysis and Comparison of Various AQM Algorithm for High Speed / U. R. Pujeri, V. Palaniswamy, P. Ramanathan, R. Pujeri // Indian Journal of Science and Technology. — 2015. — Dec. — Vol. 8, no. 35. — P. 1-12. — DOI: 10.17485/ijst/2015/ v8i35/81476.

41. Baklizi M., Ababneh J. A Survey in Active Queue Management Methods According to Performance Measures // International Journal of Computer Trends and Technology (IJCTT). — 2016. — Aug. — Vol. 38, no. 3. — P. 145-152.

42. Murthy H., Farhana N., Sreenivasa Rao C. H. Priority Station Based Queuing Approach to Improve Quality of Service in IEEE 802.11e EDCF // Indian Journal of Science and Technology. — 2017. — May. — No. 19. — P. 1-7. — DOI: 10.17485/ijst/2017/v10i19/ 112375.

43. Modeling TCP Throughput / J. Padhye, V. Firoiu, D. Towsley, J. Kurose // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. —

1998. — Vol. 28, no. 4. — P. 303-314. — DOI: 10.1145/285243. 285291.

44. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Stochastic Differential Equation Modeling and Analysis of TCP-Windowsize Behavior // Proceedings of PERFORMANCE. — 1999. — Vol. 99.

45. Brockett R. W. Stochastic Analysis for Fluid Queueing Systems // Proceedings of the 38th IEEE Conference on Decision and Control (Cat. No.99CH36304). Vol. 3. — IEEE, 1999. — P. 3077-3082. — DOI: 10.1109/CDC.1999.831407.

46. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. —

2000. — Oct. — Vol. 30, no. 4. — P. 151-160. — DOI: 10.1145/ 347057.347421.

47. Fixed and Adaptive Model-Based Controllers for Active Queue Management / Y. Chait, C. V. Hollot, V. Misra, S. Oldak, D. Towsley, W.-B. Gong // Proceedings of the 2001 American Control Conference,

2001. Vol. 4. — 2001. — P. 2981-2986.

48. On Designing Improved Controllers for AQM Routers Supporting TCP Flows / C. V. V. Hollot, V. Misra, D. Towsley, Wei-Bo Gong // Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213).

Vol. 3. — IEEE, 2001. — P. 1726-1734. — DOI: 10.1109/INFC0M. 2001.916670.

49. Hollot C. V. V., Misra V., Towsley D. A Control Theoretic Analysis of RED // Proceedings IEEE INFOCOM 2001. Conference on Computer Communications. Twentieth Annual Joint Conference of the IEEE Computer and Communications Society (Cat. No.01CH37213). Vol. 3. — IEEE, 2001. — P. 1510-1519. — DOI: 10.1109/INFC0M.2001. 916647.

50. Bohacek S., Lee J. Analysis of a TCP Hybrid Model // Proc. of the 39th Annual Allerton Conference on Communication, Control, and Computing. — 2001. — P. 1-10.

51. Bohacek S., Hespanha J. P., Lee J. A hybrid systems framework for TCP congestion control: a theoretical model and its simulation-based validation // Hybrid Systems: Computation and Control. — 2001. — P. 291-304.

52. Ziegler T., Fdida S., Brandauer C. A Quantitative Model of RED with TCP Traffic // IEEE/ACM IWQoS. — Karlsruhe, 05/2001.

53. Kilduff R. J. Analysis of Congestion Models for TCP Networks : PhD thesis / Kilduff Robert J. — 2003.

54. Yanfie F., Fengyuan R., Chuang L. Design a PID controller for active queue management // Proceedings of the Eighth IEEE Symposium on Computers and Communications. ISCC 2003. Vol. 2. — IEEE

Comput. Soc, 2003. — P. 985-990. — DOI: 10.1109/ISCC. 2003. 1214244.

55. Ren F., Lin C, Wei B. A Nonlinear Control Theoretic Analysis to TCP-RED System // Computer Networks. — 2005. — Vol. 49, no. 4. — P. 580-592. — DOI: 10.1016/j.comnet.2005.01.016.

56. Modelling TCP Congestion Control Dynamics in Drop-Tail Environments / R. Shorten, C. King, F. Wirth, D. Leith // Automatica. — 2007. — Mar. — Vol. 43, no. 3. — P. 441-449. — DOI: 10.1016/j. automatica.2006.07.026.

57. Королькова А. В., Кулябов Д. С. Математическая модель динамики поведения параметров систем типа RED // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — М., 2010. — № 1. — С. 54—64.

58. AU Ahammed G. F., Banu R. Analyzing the Performance of Active Queue Management Algorithms // International Journal of Computer Networks & Communications (IJCNC). — 2010. — Mar. — Vol. 2, no. 2. — P. 1-19.

59. Adams R. Active Queue Management: a Survey // IEEE Communications Surveys & Tutorials. — 2013. — Vol. 15, no. 3. — P. 14251476. — DOI: 10.1109/SURV.2012.082212.00018.

60. Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. Designing Installations for Verification of the Model of Active Queue Management

Discipline RED in the GNS3 // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 570-577. — DOI: 10.1109/ICUMT.2014.7002164. — arXiv: 1504.02324.

61. Congestion Control Scheme Performance Analysis Based on Nonlinear RED / C.-W. Feng, L.-F. Huang, C. Xu, Y.-C. Chang // IEEE Systems Journal. —2015. —P. 1-8. —DOI: 10.1109/JSYST.2014. 2375314.

62. Korolkova A. V., Kulyabov D. S., Sevastianov L. A. Combinatorial and Operator Approaches to RED Modeling // Mathematical Modelling and Geometry. — 2015. — Vol. 3, no. 3. — P. 1-18.

63. Hybrid Simulation of Active Traffic Management / A. V. Korolkova, T. R. Velieva, P. A. Abaev, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov // Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation / ed. by Thorsten Claus; Frank Herrmann; Michael Manitz; Oliver Rose. — Regensburg, Germany, 2016. — June. — P. 685-691. — DOI: 10.7148/2016-0685.

64. The Method of Stochastization of One-Step Processes / A. V. Demi-dova, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastianov // Mathematical Modeling and Computational Physics. — Dubna : JINR, 2013. — P. 67.

65. Влияние стохастизации на одношаговые модели / А. В. Демидова, М. Н. Геворкян, А. Д. Егоров, Д. С. Кулябов, А. В. Королько-ва, Л. А. Севастьянов // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — М., 2014. — № 1. — С. 71—85.

66. Использование системы компьютерной алгебры SymPy для реализация метода стохастизации одношаговых процессов / М. Н. Геворкян, А. В. Демидова, Т. Р. Велиева, А. В. Королькова, Д. С. Кулябов, Л. А. Севастьянов // Компьютерная алгебра / под ред. С. А. Абрамова, Т. М. Садыкова. — М. : ФГБОУ ВО «РЭУ им. Г. В. Плеханова», 10.2017. — С. 75—81.

67. Реализация метода стохастизации одношаговых процессов в системе компьютерной алгебры / М. Н. Геворкян, А. В. Демидова, Т. Р. Велиева, А. В. Королькова, Д. С. Кулябов, Л. А. Севастьянов // Программирование. — 2018. — № 2. — С. 18—27. — arXiv: 1805.03190.

68. Implementing a Method for Stochastization of One-Step Processes in a Computer Algebra System / M. N. Gevorkyan, A. V. Demidova, T. R. Velieva, A. V. Korol'kova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevast'yanov // Programming and Computer Software. — 2018. — Vol. 44, no. 2. — P. 86-93. — DOI: 10. 1134/S0361768818020044. —arXiv: 1805.03190.

69. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Символические методы Нелинейной Механики в их приложениях к исследованию резонанса в

электронном генераторе // Известия Академии наук СССР. VII серия. Отделение математических и естественных наук. — 1934. — № 1. — С. 7—34.

70. Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления / под ред. Ю. И. Топчеев. — М. : Машиностроение, 1970. — 570 с.

71. Реализация критерия Найквиста для линеаризированной модели модуля управления трафиком типа RED : Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2018619148 / Т. Р. Велиева ; Ф. государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет дружбы народов» (РУДН). — Заявл. 2018.

72. Программный комплекс для анализа работы алгоритмов DSRED, ARED, RARED, POWARED в NS-3 : Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2016616209 / А. В. Королькова, А. В. Камнев, Т. Р. Велиева ; Ф. государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Российский университет дружбы народов» (РУДН). — Заявл. 2016.

73. Велиева Т. Р. Параметрическое исследование системы с модулем активного управления трафиком // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — М., 2018. — Т. 26, № 3. — С. 272—284. — DOI: 10.22363/2312-9735-2018-26-3-272-284.

74. Кулябов Д. С., Королькова А. В., Велиева Т. Р. Применение метода гармонической линеаризации к исследованию автоколебательного режима систем с управлением // Вестник РУДН. Серия: Mатематика. Информатика. Физика. — M., 2017. — Т. 25, № 3. — С. 234—252. — DOI: 10.22363/2312-9735-2017-25-3-234-252.

75. Mодель управления очередями на маршрутизаторах / Т. Р. Велиева, А. В. Kоролькова, Д. С. Kулябов, Б. А. Сантуш // Вестник РУДН. Серия: Mатематика. Информатика. Физика. — M., 2014. — Т. 2. — С. 81—92.

76. Software Package Development for the Active Traffic Management Module Self-oscillation Regime Investigation / T. R. Velieva, A. V. Korolkova, A. V. Demidova, D. S. Kulyabov // Contemporary Complex Systems and Their Dependability: Proceedings of the Thirteenth International Conference on Dependability and Complex Systems DepCoS-RELCOMEX, July 2-6, 2018, Brunów, Poland. Vol. 761 / ed. by W. Zamojski, J. Mazurkiewicz, J. Sugier, T. Walkowiak, J. Kacprzyk. — Cham : Springer International Publishing, 2019. — Chap. 48. P. 515-525. — (Advances in Intelligent Systems and Computing). — DOI: 10.1007/978-3-319-91446-6_48.

77. The Methodology of Studying of Active Traffic Management Module Self-oscillation Regime / D. S. Kulyabov, A. V. Korolkova, T. R. Velieva, E. G. Eferina, L. A. Sevastianov // DepCoS-RELCOMEX 2017. Advances in Intelligent Systems and Computing. Vol. 582 /

ed. by W. Zamojski, J. Mazurkiewicz, J. Sugier, T. Walkowiak, J. Kacprzyk. — Cham : Springer International Publishing, 2018. — P. 215-224. — (Advances in Intelligent Systems and Computing). — DOI: 10.1007/978-3-319-59415-6_21.

78. The approach to investigation of the the regions of self-oscillations / T. R. Velieva, D. S. Kulyabov, A. V. Korolkova, I. S. Zaryadov // Journal of Physics: Conference Series. —2017. —Dec.—Vol. 937. — P. 012057.1-8. — DOI: 10.1088/1742-6596/937/1/012057.

79. Modelica-based TCP simulation / T. R. Velieva, E. G. Eferina, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastianov // Journal of Physics: Conference Series. — Moscow, 2017. — Jan. — Vol. 788, no. 100. — P. 012036.1-7. — DOI: 10.1088/1742-6596/788/1/012036.

80. The Criteria for the Study of Occurrence of Self-Oscillation Mode of Active Traffic Management Module / T. R. Velieva, I. S. Zaryadov, A. V. Korolkova, D.S. Kulyabov // 2nd International Scientific Conference "Convergent Cognitive Information Technologies", Convergent 2017. Vol. 2064 / ed. by M. Shneps-Shneppe, V. Sukhomlin, E. Zubareva. — Moscow : CEUR-WS, 11/2017. — P. 70-78. — (CEUR Workshop Proceedings).

81. Velieva T. R., Korolkova A. V., Kulyabov D. S. About Linearization of Active Traffic Management Module Model // Proceedings of the Selected Papers of the 7th International Conference "Information and

Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of HighTech Systems" (ITTMM-2017), Moscow, Russia, April 24, 2017. Vol. 1995 / ed. by D. S. Kulyabov, K. E. Samouilov, L. A. Sevastianov. — Moscow, 04/2017. — P. 114-124. — (CEUR Workshop Proceedings).

82. Stochastic Runge-Kutta Software Package for Stochastic Differential Equations / M. N. Gevorkyan, T. R. Velieva, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastyanov // Dependability Engineering and Complex Systems. Vol. 470. — Springer International Publishing, 2016. — P. 169-179. — DOI: 10.1007/978-3-319-39639-2_15. — arXiv: 1606.06604.

83. Diagram Representation for the Operator Approach of One-Step Processes Stochastization / E. G. Eferina, T. R. Velieva, A. V. Korolkova, M. Hnatich, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastianov // 1st International Scientific Conference Convergent Cognitive Information Technologies, Convergent 2016. Vol. 1763 / ed. by E. Zubareva, M. Shneps-Shneppe, V. Sukhomlin. — Moscow : CEUR-WS.org, 11/2016. — P. 28-34. — (CEUR Workshop Proceedings).

84. Diagram Representation for the Stochastization of Single-Step Processes / E. G. Eferina, M. Hnatich, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastianov, T. R. Velieva // Distributed Computer and Communication Networks. DCCN 2016. Communications in Computer and Information Science. Vol. 678 / ed. by V. M. Vishnevskiy, K. E.

Samouylov, D. V. Kozyrev. — Cham : Springer International Publishing, 2016. — P. 483-497. — (Communications in Computer and Information Science). — DOI: 10.1007/978-3-319-51917-3_42.

85. Математическое моделирование процессов, явлений и структур в сложных системах / Ю. В. Елисеева, О. А. Казаков, Л. А. Уварова, В. А. Федирко, Е. Ю. Щетинин // Вестник МГТУ Станкин. — 2008. — № 1. — С. 44—59.

86. A self-tuning structure for adaptation in TCP/AQM networks / H. Zhang, C. V. Hollot, D. Towsley, V. Misra // GLOBECOM '03. IEEE Global Telecommunications Conference (IEEE Cat. No.03CH37489). — IEEE, 2003. — DOI: 10 . 1109/GL0C0M. 2003 . 1258913.

87. The Method of Constructing Models of Peer to Peer Protocols / A. V. Demidova, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastyanov // 6th International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT). — IEEE Computer Society, 2015. — P. 557-562. — DOI: 10 . 1109 / ICUMT . 2014 . 7002162. — arXiv: 1504.00576.

88. Диаграммное представление операторного формализма одношаго-вых процессов / Е. Г. Еферина, Т. Р. Велиева, А. В. Королькова, М. Гнатич, Д. С. Кулябов, Л. А. Севастьянов // Современные информационные технологии и ИТ-образование. — М., 2016. — Т. 12, № 1. — С. 28—34.

89. Stochastization of One-Step Processes in the Occupations Number Representation / A. V. Korolkova, E. G. Eferina, E. B. Laneev, I. A. Gudkova, L. A. Sevastianov, D. S. Kulyabov // Proceedings 30th European Conference on Modelling and Simulation. — Regensburg, Germany, 2016. — June. — P. 698-704. — DOI: 10.7148/20160698.

90. Operator Approach to the Master Equation for the One-Step Process / M. Hnatic, E. G. Eferina, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastyanov // EPJ Web of Conferences / ed. by G. Adam, J. Busa, M. Hnatic. — Stara Lesna, 2016. — Vol. 108. — P. 58-59. — DOI: 10.1051/epjconf/201610802027. — arXiv: 1603.02205.

91. Aweya J., Ouellette M., Montuno D. Y. A linear system analysis of RED // Computer Communications. — 2002. — Vol. 25, no. 18. — P. 1736-1750.

92. Quet P.-F., Ozbay H. On the design of AQM supporting TCP flows using robust control theory // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2004. — Vol. 49, no. 6. — P. 1031-1036. — DOI: 10.1109/TAC.2004.829643.

93. Zhang K, Fu C. P. Dynamics analysis of TCP Veno with RED // Computer Communications. — 2007. — Vol. 30, no. 18. — P. 37783786. — DOI: 10.1016/j.comcom.2007.09.004.

94. Suzera M. H., Kyoung-DonKang, Basaran C. Active queue management via event-driven feedback control // Computer Communications. — 2012. — Vol. 35, no. 4. — P. 517-529. — DOI: 10.1016/j.comcom.2011.12.001.

95. Kun H., Beibei W., Yongmei L. Study of AQM Congestion Control Algorithm Based on Control Theory // Journal of Convergence Information Technology (JCIT). — 2013. — Vol. S, no. S. — P. 600605. — DOI: 10.4156/jcit.vol8.issue8.72.

96. Alaouia S. B., Tissira E. H., Chaibi N. Active queue management based feedback control for TCP with successive delays in single and multiple bottleneck topology // Computer Communications. — 201S. — Vol. 117. — P. 5S-70. — DOI: 10 . 1016/j . comcom. 2018.01.003.

97. Wanga X., Eun D. Y. Local and global stability of TCP-newReno/RED with many flows // Computer Communications. — 2007. — Vol. 30, no. 5. — P. 1091-1105. — DOI: 10. 1016/j . comcom.2006.11.007.

9S. Suthaharan S. Reduction of queue oscillation in the next generation Internet routers // Computer Communications. — 2007. — Vol. 30, no. 1S. — P. 3SS1-3S91. — DOI: 10.1016/j.comcom.2007.10.002.

99. Parametric study of the control system in the TCP network / T. R. Velieva, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, S. A. Abramov // 10th

International Congress on Ultra Modern Telecommunications and Control Systems. — Moscow, 2018. — P. 334-339.

100. Пенроуз Р. Структура пространства-времени. — М. : Мир, 1972.

101. Penrose R., Rindler W. Spinors and Space-Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields. Vol. 1. — Cambridge University Press, 1987. — 478 p. — DOI: 10 . 1017 / CB09780511564048.

102. Пенроуз Р., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля. Т. 1. — М. : Мир, 1987. — 527 с.

103. Синицын И. Н., Дружинина О. В., Масина О. Н. Аналитическое моделирование и анализ устойчивости нелинейных широкополосных миграционных потоков // Нелинейный мир. — 2018. — Т. 16, № 3. — С. 3—16.

104. Дружинина О. В., Масина О. Н. Системный подход к исследованию устойчивости моделей, описываемых дифференциальными уравнениями различных типов // Вестник РАЕН. — 2015. — Т. 15, № 3. — С. 24—30.

105. Дружинина О. В., Масина О. Н., Петров А. А. Разработка подхода к решению задач управления движением технических систем, моделируемых дифференциальными включениями //

Информационно-измерительные и управляющие системы. — 2017. — Т. 15, № 4. — С. 64—72.

106. Maler O. Hybrid Systems and Real-World Computations // Workshop on Theory of Hybrid Systems. — Lyndby, Denmark : Springer-Verlag, 1992.

107. Maler O. Control from Computer Science // Annual Reviews in Control. — 2002. — Jan. — Vol. 26, no. 2. — P. 175-187. — DOI: 10.1016/S1367-5788(02)00030-5.

108. Hybrid Modeling of Communication Networks Using Modelica / D. Färnqvist, K. Strandemar, K. H. Johansson, J. P. Hespanha // The 2nd International Modelica Conference. — 2002. — P. 209-213.

109. Hybrid Modeling of TCP Congestion Control / J. P. Hespanha, S. Bohacek, K. Obraczka, J. Lee // Lncs. — 2001. — P. 291-304. — DOI: 10.1007/3-540-45351-2_25.

110. The Stochastic Processes Generation in OpenModelica / M. Gevorkyan, M. Hnatich, I. M. Gostev, A. V. Demidova, A. V. Korolkova, D. S. Kulyabov, L. A. Sevastianov // Communications in Computer and Information Science. Vol. 678. — Springer, 2016. — P. 538-552.

111. Гибридное имитационное моделирование модуля активного управления трафиком / Т. Р. Велиева, А. В. Королькова, Д. С. Кулябов,

Л. А. Севастьянов // Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь (DCCN-2016). Т. 3. — М. : РУДН, 11.2016. — С. 427—434.

112. Aström K. J., Murray R. M. Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. — Princeton University Press, 2008. — 408 p.

113. Велиева Т. Р., Королькова А. В., Кулябов Д. С. Гармоническая линеаризация модели системы с управлением // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем». — М. : РУДН, 04.2017. — С. 249—251.

114. Nyquist H. Regeneration Theory // Bell System Technical Journal. — 1932. — Vol. 11, no. 1. — P. 126-147. — DOI: 10.1002/j.1538-7305.1932.tb02344.x.

115. Сю Д. С., Мейер А. У. Современная теория автоматического управления и ее применение. — М. : Машиностроение, 1972. — 552 с.

116. Routh E. J. A Treatise on the Stability of a Given State of Motion: Particularly Steady Motion. — Cambridge : Macmillan, Co., 1877.

117. Hurwitz A. Ueber die Bedingungen, unter welchen eine Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Theilen besitzt // Mathematische

Annalen. — 1895. — Июнь. — Т. 46, № 2. — С. 273—284. — DOI: 10.1007/BF01446812.

118. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М. : Физматлит, 2010.

119. Issariyakul T., Hossain E. Introduction to Network Simulator NS2. — Boston, MA : Springer US, 2012. — 510 p. — DOI: 10.1007/9781-4614-1406-3.

120. Altman E., Jiménez T. NS Simulator for Beginners // Synthesis Lectures on Communication Networks. — 2012. — Jan. — Vol. 5, no. 1. — P. 1-184. — DOI: 10.2200/S00397ED1V01Y201112CNT010.

121. Welch B., Jones K. Practical Programming in Tcl and Tk. — 4th ed. — Prentice Hall, 2003. — 960 p.

122. Nadkarni A. P. The Tcl Programming Language: A Comprehensive Guide. — CreateSpace Independent Publishing Platform, 2017. — 668 p.

123. Joshi A., Lakhanpal R. Learning Julia. — Packt Publishing, 2017. — 316 p.

124. Rao K. R., Kim D. N., Hwang J. J. Fast Fourier Transform - Algorithms and Applications. — Springer, 2010. — 426 p. — (Signals and Communication Technology).

125. Software Package For The Active Queue Management Module Model Verification / T. R. Velieva, A. V. Korolkova, M. N. Gevorkyan, S. A. Vasilyev, I. S. Zaryadov, D. S. Kulyabov // Proceedings 32st European

Conference on Modelling and Simulation, ECMS 2018 / ed. by L. Nolle, A. Burger, C. Tholen, J. Werner, J. Wellhausen. — Wilhelmshaven : European Council for Modelling, Simulation, 05/2018. — P. 498504. — DOI: 10.7148/2018-0498.

126. Darema F. The SPMD model: past, present and future // Lecture Notes in Computer Science. — 2001. — Vol. 2131. — P. 1. — DOI: 10.1007/3-540-45417-9_1.