Математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Королькова, Анна Владиславовна

• Королькова, Анна Владиславовна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Королькова, Анна Владиславовна

Список сокращений.

Список основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Механизмы и алгоритмы регулирования состояния потока в сетях передачи данных.

1.1. Исследования в области методов регулирования состояния потока и анализа процессов передачи трафика.

1.2. Классификация алгоритмов семейства RED.

1.3. Обзор алгоритмов на базе RED.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока»

Диссертация посвящена построению и анализу математической модели процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа Random Early Detection (RED) [lj динамической интенсивностью потока, в которой при некоторых значениях параметров алгоритма возникает автоколебательный режим.

Актуальность работы

При проектировании и эксплуатации сетей передачи данных большое значение имеют математические методы исследования моделей процесса передачи трафика, поскольку позволяют оценить потери трафика, определить способы улучшения качества обслуживания и соответственно повышения дохода операторов связи. Математические модели процесса передачи трафика, учитывающие в частности влияние процесса регулирования состояния потока на изменение его интенсивности, позволяют проанализировать поведение трафика во времени, оценить различные параметры качества функционирования сети, например, задержки передачи пакета по звену и др.

В современных пакетных сетях передачи данных доминирующим транспортным протоколом остаётся TCP (Transmission Control Protocol) [2], обладающий рядом особенностей, которые могут привести к неэффективной работе сети в следствие резкого увеличения интенсивности поступающего в сеть потока и соответственно возникновения перегрузок. Для регулирования интенсивности потока широко применяются механизмы управления перегрузкой, в частности, механизм Explicit Congestion Notification (ECN) — явное уведомление о перегруженности канала связи [3], — в совокупности с алгоритмами типа RED. Механизм ECN используется при возникновении перегрузки для маркировки пакетов и посылки сообщения отправителю о необходимости снижения интенсивности предложенной нагрузки. Алгоритм RED [1] и его модификации используют экспоненциально взвешенное скользящее среднее (Exponentially Weighted Moving Average, EWMA) для определения интенсивности сброса пакетов при превышении порогового значения заполненности очереди.

Алгоритм RED (и его многочисленные модификации) благодаря простоте своей реализации в сетевом оборудовании достаточно эффективен, но обладает рядом недостатков. В частности, при некоторых значениях параметров возникает устойчивый автоколебательный режим функционирования системы, что негативным образом сказывается на показателях качества обслуживания сети (пропускной способности, задержке передачи пакетов и т.д.). До сих пор нет чётких, обоснованных рекомендаций по выбору значений параметров RED, при которых система не входила бы в автоколебательный режим. Часто предлагается использовать предустановленные в сетевом оборудовании параметры или подстраивать их по результатам натурного эксперимента. Существующие на данный момент исследования в этой области направлены в основном на попытки уменьшения амплитуды осцилляций, но не на определение условий и области их возникновения.

Таким образом, актуальным представляется исследование эффекта возникновения автоколебательного режима процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока путём построения и анализа адекватной математической модели, которая позволит определить область возникновения автоколебаний и обосновать выбор значений параметров алгоритмов типа RED для избежания попадания в эту область.

На основании изложенной выше научной проблемы сформулированы следующие цель и задачи диссертации.

Цель диссертационной работы

Разработка математической модели, обеспечивающей обоснованный выбор значений параметров алгоритма RED или его модификации с целью избежания попадания в область возникновения автоколебательного режима.

Задачи диссертационной работы разработка математической модели процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока; качественный анализ разработанной математической модели с целью изучения характера и устойчивости особых точек; разработка метода анализа эффекта возникновения автоколебаний в построенной модели с целью корректного выбора значений параметров алгоритмов типа RED для избежания попадания в область возникновения автоколебаний; получение стационарных характеристик разработанной модели.

Результаты, выносимые на защиту

1. Разработана математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока.

2. Для предложенной модели проведён качественный анализ с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса программ. Показано, что модель имеет 2 положения равновесия — узел и предельный цикл, определяющие отсутствие или наличие автоколебательного режима соответственно, а также, что эти положения устойчивы.

3. Предложен новый метод определения области возникновения автоколебательного режима при воздействии процесса регулирования состояния потока на поведение TCP-подобного трафика.

4. Получено стационарное распределение вероятностей состояний и вероятностные характеристики двумерного марковского процесса, соответствующего разработанной модели.

Научная новизна

1. Отличительной особенностью предложенной математической модели процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока является применение для описания динамических переменных модели аппарата стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновским процессом и учёт по сравнению с жидкостной моделью из [4,5] дополнительных факторов, оказывающих влияние на возникновение автоколебательного режима.

2. Впервые для данного типа моделей применены методы теории нелинейных колебаний и качественной теории дифференциальных уравнений, получены и исследованы на устойчивость положения равновесия модели, определяющие отсутствие или наличие автоколебательного режима.

3. Впервые предложен новый метод определения области возникновения автоколебательного режима при воздействии процесса регулирования состояния потока на поведение TCP-подобного трафика.

4. Для нахождения стационарных характеристик двумерного марковского процесса, соответствующего разработанной в диссертации модели, в отличие от других известных работ [6, 7] впервые построена вложенная цепь Маркова и детально учтены принципы функционирования протокола TCP-Reno [8] и процесса регулирования состояния потока.

Методы исследования

В работе использовались методы теории нелинейных колебаний, теории стохастических дифференциальных уравнений, качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы, а также методы теории случайных процессов.

Обоснованность и достоверность результатов

Обоснованность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения поставленных задач использовались строгие и проверенные методы: методы качественного анализа (анализ фазовых и параметрических портретов), широко известные и хорошо себя зарекомендовавшие численные методы Ньютона и Рунге-Кутта 4-го порядка, метод точечных отображений, метод вложенной цепи Маркова.

Достоверность полученных в диссертации результатов численного анализа подтверждается их сравнением при одинаковых условиях проведения численного эксперимента с результатами имитационного моделирования на NS-2, полученными в работах [4,5].

Практическая значимость

Разработанная математическая модель и метод определения области возникновения автоколебательного режима при воздействии процесса регулирования состояния потока па поведение TCP-подобного трафика, вычислительные алгоритмы и комплекс программ могут быть использованы для решения следующих практических задач: определение способов улучшения качества обслуживания в современных сетях передачи данных; качественный анализ математической модели с различными алгоритмами регулирования состояния потока с целью оценки их эффективности функционирования; определение значений параметров алгоритма типа RED, при которых отсутствует автоколебательный режим с целью стабилизации работы системы; количественный анализ стационарных характеристик модели для оценки качества обслуживания в современных сетях передачи данных.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы из 104 наименований. Диссертация содержит 115 страниц текста, 1 таблицу и 44 рисунка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Королькова, Анна Владиславовна

Основные выводы и результаты диссертационной работы:

1. В диссертационной работе решены поставленные задачи по разработке, качественному анализу, получению стационарных характеристик математической модели процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока, а также по разработке метода анализа эффекта возникновения автоколебаний в построенной модели.

2. Разработана математическая модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока, отличительной особенностью которой является применение для описания динамических переменных модели аппарата стохастических дифференциальных уравнений с пуассоновским процессом и учёт факторов, оказывающих влияние на возникновение автоколебательного режима.

3. Впервые для данного типа моделей применены методы теории нелинейных колебаний и качественной теории дифференциальных уравнений; с помощью разработанного для вычислительного эксперимента комплекса программ получены положения равновесия модели, определяющие отсутствие или наличие автоколебательного режима, показано, что эти положения устойчивы.

4. Предложен новый метод определения области возникновения автоколебательного режима при воздействии процесса регулирования состояния потока на поведение TCP-подобного трафика. Метод позволяет корректно выбрать значения параметров алгоритмов типа RED для избежания попадания в область возникновения автоколебаний.

5. Получено стационарное распределение вероятностей состояний и вероятностные характеристики двумерного марковского процесса, соответствующего разработанной модели, что позволяет оценить количественные характеристики модели.

6. Проведены численные эксперименты по моделированию и определению области возникновения автоколебательного режима при воздействии процесса регулирования состояния потока на поведение ТСР-подобного трафика. Верификация результатов моделирования показала, что разработанная модель, метод и комплекс программ позволяют определять область возникновения автоколебательного режима, корректно выбирать значения параметров алгоритмов типа RED для избежания попадания в область возникновения автоколебаний.

По теме диссертации опубликовано 15 работ [16-18,82,83,95-104], из которых 4 (работы [83,96,101,102]) — в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определённых Высшей аттестационной комиссией.

Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором и состоят в следующем: по поставленным задачам определены методы исследований; проведено исследование и выявлены особенности алгоритма RED и его модификаций, для классификации определены общие признаки алгоритмов; построена улучшенная по сравнению с [4, 5] модель процесса передачи трафика с регулируемой алгоритмом типа RED динамической интенсивностью потока; разработан и реализован новый метод определения области возникновения автоколебательного режима при воздействии процесса регулирования состояния потока на поведение TCP-подобного трафика; получено стационарное распределение и вероятностные характеристики соответствующего модели двумерного марковского процесса.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Королькова, Анна Владиславовна, 2010 год

1. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance // IEEE/ACM Transactions on Networking. — 1993. — No 1(4). — Pp. 397-413.

2. Transmission Control Protocol. RFC 793 / Ed. by J. Postel. — Information Sciences Institute, 1981. —http://www.faqs.org/rfcs/rfc793. html.

3. Floyd S. Explicit Congestion Notification (ECN) Mechanism in the TCP/IP Protocol // ACM Computer Communications Review. — 1994. — Vol. 24.

4. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Stochastic Differential Equation Modeling and Analysis of TCP-Windowsize Behavior. —1999.

5. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. —2000. — Vol. 30, issue 4. — Pp. 151-160.

6. TCP Congestion Control. RFC-2581 / Ed. by M. Allrnan, V. Paxson, W. Stevens. — United States: RFC Editor, 1999.

7. Jacobson V. Congestion Avoidance and Control // SIGCOMM '88: Symposium Proceedings on Communications Architectures and Protocols. — New York, NY, USA: ACM, 1988. — Pp. 314-329.

8. Requirements for Internet Hosts — Communication Layers. RFC-1122 / Ed. by R. Braden. — United States: RFC Editor, 1989.

9. Definition of the Differentiated Services Field (DS Field) in the IPv4 and IPv6 Headers, RFC 2474 / K. Nichols, S. Blake, F. Baker, D. Black. — 1998. — http://tools.ietf.org/html/ rfc2474.txt.

10. An Architecture for Differentiated Services, RFC 2475 / S. Blake, D. Black, M. Carlson et al. — 1998. — http: //tools . ietf . org/html/ rfc2475.txt.

11. Assured Forwarding PHB Group, RFC 2597 / J. Heinanen, F. Baker, W. Weiss, J. Wroclawski. — 1999. — http://tools.ietf.org/html/ rfc2597.

12. Jacobson V., Nichols K., Poduri K. An Expedited Forwarding PHB, RFC 2598. — 1999. — http://tools.ietf.org/html/rfc2598.

13. Grossman D. New Terminology and Clarifications for Diff-serv, RFC 3260. — 2002. — http://tools.ietf.org/html/ rfc3260.

14. The Macroscopic Behavior of the TCP Congestion Avoidance Algorithm / M. Mathis, J. Semke, J. Mahdavi, T. Ott // SIGCOMM Corn-put. Commun. Rev. — 1997. — Vol. 27, No 3. — Pp. 67-82. — ISSN 0146-4833.

15. Floyd S., Fall K. Promoting the Use of End-to-End Congestion Control in the Internet // IEEE/ACM Transactions on Networking. — 1999. — Vol. 7, No 4. — P. 458-472.

16. Misra A., Ott T. J. The Window Distribution of Idealized TCP Congestion Avoidance with Variable Packet Loss // INFOCOM. — 1999. — Pp. 1564-1572.

17. Altman E., Avrachenkov K., Barakat Ch. A Stochastic Model of TCP/IP with Stationary Random Losses // SIGCOMM Comput. Commun. Rev. — 2000. — Vol. 30, No 4. — Pp. 231-242. — ISSN 01464833.

18. Altman E., Avrachenkov K., Barakat Ch. A Stochastic Model of TCP/IP with Stationary Random Losses // IEEE/ACM Trans. Netw. — 2005. — Vol. 13, No 2. — Pp. 356-369. — ISSN 10636692.

19. Mellia M., Stoica I., Zhang H. TCP Model for Short Lived Flows // IEEE Communications Letters. — 2002. — Vol. 6. — P. 85-87.

20. Misra A., Baras J., Ott T. Generalized TCP Congestion Avoidance and its Effect on Bandwidth Sharing and Variability // Proc. IEEE GLOBECOM. — Vol. 1. — San Francisco, CA, USA.: 2000. — Pp. 329-337.

21. Padhye J., Firoiu V., Towsley D. F. Modeling TCP Reno Performance: a Simple Model and its Empirical Validation // IEEE/ACM Trans. Networking. — 2000. — Vol. 8. — Pp. 133-145.

22. Roy R., Mudumbai R. C., Panwar S. S. Analysis of TCP Congestion Control using a Fluid Model // Proc. IEEE ICC 2001. — Vol. 8. — Helsinki, Finland: 2001. — P. 2396-2403.

23. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. — 2-е издание. — Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — 916 с.

24. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.

25. Теория бифуркаций / В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, JL П. Шильников // Динамические системы

26. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. — С. 5-218.

27. Floyd S. Recommandations on using the Gentle Variant of RED. — 2000. — http://www.aciri.org/floyd/red/gentle. html.

28. Iannaccone G., May M., Diot C. Aggregate Traffic Performance with Active Queue Management and Drop From Tail // SIGCOMM Comput. Commun. Rev. — 2001. — Vol. 31, No 3. — Pp. 4-13. — ISSN 01464833.

29. Ott Т., Lakshman Т., Wong L. SRED: Stabilized RED // Proceedings of INFOCOM'99. — 1999. — Pp. 1346-1355.

30. Techniques for Eliminating Packet Loss in Congested TCP/IP Network: Techrep CSE-TR-349-97 / W.-C. Feng, D. Kandlur, D. Saha, K. Shin / U. Michigan. — 1997.

31. A Self-Configuring RED Gateway / W.-C. Feng, D. Kandlur, D. Saha, K. Shin // Infocom. — 1999.

32. Floyd S., Gummadi R., Shenker S. Adaptive RED: An Algorithm for Increasing the Robustness of RED's Active Queue Management. — 2001. — http://www.icir.org/floyd/papers/ adaptiveRed.pdf.

33. POWARED for Non-Linear Adaptive RED / В. K. Ng, M. S. Ud-din, A. A. Y. M. Abusin, D. Chieng // Asia-Pacific Conference on Communications, Perth, Western Australia, 3-5 October 2005. —2005.

34. Kim T.-H., Lee K.-H. Refined Adaptive RED in TCP/IP Networks // SICE-ICASE International Joint Conference. — Bexco, Busan, Korea:2006.

35. Zheng В., Atiquzzarnan M. DSRED: A New Queue Management Scheme for the Next Generation Internet // IEICE TRANS. COM-MUN. — 2006. — Vol. E89-B, No 3.

36. Ryoo I., Yang M. A State Dependent RED: An Enhanced Active Queue Management Scheme for Real-Time Internet Services // IEICE Trans. Commun. — 2006. — Vol. E89-B, No 2. — Pp. 614-617.

37. Wu H.-M., Wu C.-C., Lin W. SF-RED — a Novel Server-based AQM to Provide Inter-server Fairness Service // Proceedings of the 12th International Conference on Parallel and Distributed Systems (ICPADS'06). — 2006.

38. Que D., Chen Z., Chen B. An Improvement Algorithm Based on RED and Its Performance Analysis // IEEE. — 2008. — Pp. 2005-2008.

39. Floyd S. RED: Discussions of Setting Parameters. — 1997. — http: //www.aciri.org/floyd/REDparameters.txt.

40. Dynamics of Random Early Detection / D. Lin, D. Lin, R. Morris, R. Morris // Proceedings of ACM SIGCOMM. — Sophia Antipolis, France: 1997. — Pp. 127-137.

41. Floyd S., Fall K., Tieu K. Estimating Arrival Rates from the RED

42. Packet Drop History. — 1998.

43. Reasons not to Deploy RED / M. May, J. Bolot, C. Diot, B. Lyles // Proceedings of IWQoS'99. — 1999. — Pp. 260-262.

44. Improving Fairness and Stability in Best Effort Service: a new Congestion Control Algorithm for SACK-TCP / Y. Atsurni, E. Kondoh, O. Al-tintas, T. Yoshida // IEICE Trans. Commun. — 1998. — Vol. E81-B. — Pp. 2023-2033.

45. Pazos С. M., Juan S. A., Gerla M. Using Back Pressure to Improve TCP Performance with Many Flows // Proc. INFOCOM99. — New York: 1999. — Pp. 431-438.

46. Ziegler Т., Fdida S., Brandauer C. A Quantitative Model of RED with TCP Traffic // IEEE/ACM IWQoS. — Karlsruhe: 2001.

47. Buffer Management Schemes for Supporting TCP in Gigabit Routers with Per-Flow Queuing / B. Suter, Т. V. Lakshman, D. Stiliadis, A. K. Choudhury // IEEE J. Sel. Areas Commun. — 1999. — Vol. 17. — P. 1159-1169.

48. Kim W.-J., Lee B. G. The FB-RED algorithm for TCP over ATM // IEEE GLOBECOM. — Sydney, Australia: 1998. — Pp. 551-555.

49. User Datagram Protocol. RFC 768 / Ed. by J. Postel. — Information Sciences Institute, 1980. — http: //www. f aqs . org/rf cs/rf c768. html.

50. Ziegler Т., Fdida S., Hofmann U. Red+ Gateways For Identification

51. And Discrimination Of Unfriendly Best-Effort Flows In The Internet // Flows in the Internet, Proceedings of IFIP Broadband Communications 99. — 1999. — Pp. 27-38.

52. Anjurn F., Tassiulas L. Fair Bandwidth Sharing among Adaptive and Non-Adaptive Flows in the Internet // INFOCOM. — 1999. — Pp. 1412-1420.

53. Anjum F. M., Tassiulas R. Balanced-RED: An Algorithm to Achieve Fairness in the Internet // Proc. IEEE INFOCOM '99. — 1999.

54. Athuraliya S., Low S. H., Lapsley D. E. Random Early Marking // QoflS. — 2000. — Pp. 43-54.

55. Feng W.-C., Kandlur D. D., Saha D., Shin K. G. BLUE: A New Class of Active Queue Management Algorithms. — 1999.

56. Stochastic Fair Blue: A Queue Management Algorithm for Enforcing Fairness / W.-C. Feng, D. D. Kandlur, D. Saha, K. G. Shin // INFOCOM. — Anchorage, Alaska, USA: 2001. — P. 1520-1529.

57. Clark D. D., Fang W. Explicit Allocation of Best-Effort Packet Delivery Service // IEEE/ACM Transactions on Networking. — 1998. — Vol. 6, No 4. — Pp. 362-373. — http://nms.lcs.mit.edu/ 6829-papers/p362-clark.pdf.

58. A Fairness Study of the Adaptive RIO Active Queue Management Algorithm / R. Cartas, J. Orozco, J. Incera, D. Ros // Proceedings of ENC 2004 5th Mexican International Conference on Computer Science. —

59. Colima, Mexico. — Pp. 57-63.

60. Orozco J. Adaptive RIO // Active Queue Management Algorithm. — 2003. — http://www.rennes.enst-bretagne.fr/~jorozco/aqm. htm.

61. Ranjan P., Abed E. H., La R. J. Nonlinear Instabilities in TCP-RED // Proc. IEEE INFOCOM 2002. — Vol. 1. — New York, NY, USA: 2002. — P. 249-258.

62. Ranjan P., La R. J., Abed E. H. Bifurcations of TCP and UDP traffic under RED // Proc. 10th Mediterranean Conference on Control and Automation (MED) 2002. — Lisbon, Portugal: 2002.

63. Ranjan P., Abed E. H., La R. J. Nonlinear instabilities in TCP-RED // IEEE/ACM Trans. Netw. — 2004. — Vol. 12, No 6. — Pp. 1079-1092. — ISSN 1063-6692.

64. Prycker M. D. Asynchronous Transfer Mode, Solution for Broadband ISDN. — Prentice Hall, 1995.

65. Schwartz M. Broadband Integrated Networks. — Upper Saddle River, NJ, USA: Prentice-Hall, Inc., 1996. — ISBN 0-13-5192404.

66. Roberts J. W., Massouli'e L. Bandwidth Sharing and Admission Control for Elastic Traffic // Telecommunication Systems. — 2000. — Vol. 15. — P. 185-201.

67. Kosten L. Stochastic Theory of a Multi-Entry Buffer, part 1 // Delft Progress Report. — 1974. — Vol. 1. — P. 10-18.

68. Anick D., Mitra D., Sondlii M. M. Stochastic Theory of a Data-Handling

69. System with Multiple Sources // Bell Sys. Tech. J. — 1982. — Vol. 61(8). — Pp. 1871-1894.

70. Kosten L. Stochastic Theory of Data Handling Systems, with Groups of Multiple Sources // Performance of Computer-Communication Systems / Ed. by H. Rudin, W. Bux. — Elsevier Science Publishers B.V., 1984. — P. 321-331.

71. Van Doom E. A., Jagers A. A., De Wit J. A Fluid Reservoir Regulated by a Birth-Death Process // Stochastic Models. — 1988. — Vol. 4(3). — Pp. 457-472.

72. Mitra D. Stochastic Theory of a Fluid Model of Producers and Consumers Coupled by a Buffer // Adv. Appl. Prob. — 1988. — Vol. 20. — Pp. 646-676.

73. Cooper R. В., Heyman D. P. Encyclopedia of Telecommunications. — Marcel Dekker, Inc., 1998. — Vol. 16. — P. 453-483.

74. Sericola В., Tuffin B. A Fluid Queue Driven by a Marko-vian Queue // Queueing Systems. — 1999. — Vol. 31. — Pp. 253-264.

75. Virtamo J., Norros I. Fluid Queue Driven by an M\M\1 Queue // Queueing Systems. — 1994. — Vol. 16. — Pp. 373-386.

76. Tucker R. Accurate Method for Analysis of a Packet-Speech Multiplexer with Limited Delay // IEEE Transactions on Communications. — 1988. — Vol. 36(4). — Pp. 479-483.

77. Sericola B. A Finite Buffer Fluid Queue Driven by a Mar коvian Queue // Queueing Systems. — 2001. — Vol. 38. — Pp. 213-220.

78. Ren Q., Kobayashi H. Transient Solutions for the Buffer Behavior in Statistical Multiplexing // Performance Evaluation. — 1995. — Vol. 23. — Pp. 65-87.

79. Tanaka Т., Hashida O., Takahashi Y. Transient Analysis of Fluid Model for ATM Statistical Multiplexer // Performance Evaluation. — 1995. — Vol. 23. — Pp. 145-162.

80. Королькова А. В., Кулябов Д. С., Черноиванов А. И. К вопросу о классификации алгоритмов RED // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2009. — № 3. — С. 34-46.

81. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. — 2 издание. — М.: Наука, Физматлит, 1996.

82. Клейнрок JL Теория массового обслуживания / под ред. В. И. Неймана. — М.: Машиностроение, 1979.

83. Колмогоров А. Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина // УМН. — 1938. — Вып. 5. — С. 52-56.

84. Башарин Г. П., Бочаров П. П., Коган Я. А. Анализ очередей в вычислительных сетях. Теория и методы расчёта. — М.: Наука, 1989.

85. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория массового обслуживания. — М.: Изд-во РУДН, 1995. С. 529.

86. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения: Пер. с англ. — М.: Мир, ООО «Из-дательсво ACT», 2003.

87. Эльсгольц J1. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — 3 издание. — М.: УРСС, 1998.

88. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986.

89. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. JI. Введение в теорию нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1976. — 384 с.

90. Горяченко В. Д. Элементы теории колебаний. Учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Издание второе переработанное и дополненное. — М.: Высшая школа, 2001.

91. Kella О., Stadje W. Exact Results for a Fluid Model with State-Dependent Flow Rates // Probab. Eng. Inf. Sci. — 2002. — Vol. 16, No 4. — Pp. 389-402. — ISSN 0269-9648.

92. Кулябов Д. С., Королькова А. В. Аналитическая модель для расчета вероятности сброса пакетов в алгоритме RED // Труды РНТОР-ЭС им. Попова. Серия: Научная сессия, посвященная Дню радио. — 2007. — Вып. LXII. — С. 233-234.

93. Королькова А. В. Метод расчета вероятности сброса пакетов в алгоритме RED // Вестник Российского университета дружбы народов, серия «Математика. Информатика. Физика». — 2007. — № 1-2. — С. 32-37.

94. Королькова А. В., Черноиванов А. И. Моделирование при помощи стохастических дифференциальных уравнений поведения ТСР-трафика при взаимодействии с узлом, работающим по алгоритму RED. — М.: МФТИ, 2009. Т. 1. - С. 130-133.

95. Королькова А. В., Черноиванов А. И. Использование стохастических дифференциальных уравнений для моделирования поведения

96. TCP-трафика при взаимодействии с узлом, работающим по алгоритму RED // «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы. — Дубна, 2010.

97. Королькова А. В. Определение области возникновения автоколебаний в системах типа RED // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 1. — С. 110-112.

98. Королькова А. В., Кулябов Д. С. Математическая модель динамики поведения параметров систем типа RED // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2010. — № 2. — С. 54-64.

99. Королькова А. В., С. Кулябов Д. Определение области возникновения автоколебаний в системах типа RED // XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. — М.: РУДН, 2010. — С. 68-69.