Аналитические методы исследования нелинейных краевых задач электромагитоупругости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Игболов Саймухаммад Иброхимович

• Игболов Саймухаммад Иброхимович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Игболов Саймухаммад Иброхимович

электродинамики

§1.2 Об исследовании гладкости обобщённых решений краевых

задач электродинамики

§1.3 Существование решений уравнения Максвелла для сред

характеризуемых нелинейным законом Ома

§1.4 О разрешимости краевых задач электромагнитоупругости.... 44 §1.5 Исследование гладкости обобщённых решений нелинейных

краевых задач электромагнитоупругости

§1.6 Доказательство существования и единственности решения начально-краевой задачи электромагнитоупургости,

характеризуемой нелинейным законом Гука

§1.7 Вопросы качественного исследования нелинейных краевых

задач электромагнитоупругости с памятью

ГЛАВА 2. ВОЛНЫ В ОДНОРОДНЫХ И НЕОДНОРОДНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ 65 СРЕДАХ

§2.1 Периодические во времени плоские электромагнитные поля

в полупространстве с общими материальными уравнениями. 65 §2.2 Плоские волны в ферромагнитных и сегнетоэлектрических

средах

§2.3 Бегущее электромагнитное поле в полупространстве с

общими материальными уравнениями

§2.4 Отражение и преломление волны в нелинейных средах

§2.5 Электромагнитные волны в неоднородном пространстве

§2.6 Периодические во времени плоские электромагнитоупругие

волны в полупространстве

§2.7 Периодические во времени плоские электромагнитоупругие

волны в пластине

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические методы исследования нелинейных краевых задач электромагитоупругости»

Актуальность темы.

Широкое применение и эффективное использование новых материалов в различных областях техники потребовало привлечения физических законов механики сплошных сред. Так, применение тонкостенных элементов конструкций-стержней, пластин и оболочек, наряду с рассмотрением геометрических нелинейностей, привело к необходимости рассмотрения физически нелинейных и наследственных законов, связывающих напряжения и деформации. В электродинамике проводящих сред в связи с решением практических задач электроэнергетики потребовалось заменить линейные материальные уравнения поля нелинейными гистерезисными зависимостями между векторами индукции и напряженностью электромагнитного поля. Уточнение линейных законов механики, связанных полей в материалах и элементах конструкций, предметом которой является исследование взаимодействия механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых телах, привело к учёту зависимости векторов индукции электрического, магнитного полей и тензора напряжённости механических полей, соответственно, с векторами напряжённостей электрического, магнитного полей и тензора деформации. Такое уточнение физических законов позволяет обнаружить более широкий круг явлений, происходящих в деформируемых твердых телах, точнее и полнее описать поведение материалов и элементов конструкций при электромагнитных, механических воздействиях, выявить ряд полезных для практики новых эффектов, оценить границы применимости теорий, пренебрегаемых связанностью полей.

Понятию математической модели физического процесса соответствуют некоторые вполне определенные дифференциальные или функциональные уравнения в совокупности с соответствующими краевыми и начальными условиями, то есть краевые или начально-краевые задачи математической физики, решения которых позволяют описать физический процесс с определенной точностью.

Так как законы сохранения вещества, энергии, законы электромагнитоупругого взаимодействия являются универсальными, то уточнение математических моделей реальных физических процессов всецело

основывается на принятии более сложных и точно отражающих суть процесса физических законов.

В то же время подход к рассмотрению задач с учётом нелинейностей приводит к нелинейным уравнениям с частными производными, исследование которых осложняется серьезными затруднениями, как в теоретическом плане, так и при доведении результатов исследований до практически реализуемых алгоритмов.

Нелинейные модели математической физики описывают явления в более широком диапазоне изменения физических параметров, обладают значительно большей емкостью информации об этих явлениях. Но, как показывают исследования, нелинейности изменяют не только количественные характеристики процесса, но и качественную картину их протекания.

В силу сказанного, основные уравнения теории упругости, электродинамики и электромагнитоупругости для нелинейных сред представляют собой нестационарную систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. При рассмотрении конкретных задач решения этих уравнений должны удовлетворять определенным краевым условиям на границе рассматриваемой области и условиям Коши в начальный момент или условиям периодичности.

Интерес к исследованию линейных дифференциальных уравнений линейной теории и нелинейных сред возник давно. Основы этой теории были заложены ещё в работах Л. Больцмана, В.Вольтера, Д.Максвелла, Ф.Фойхта. Фундаментальные результаты в линейной теории были получены в работах Н.Х. Арутюняна, Д.Бленда, А.Н.Герасимова, Э.И.Григолюка, Г.Дюво,

A.А.Ильюшина, М.А. Колтунова, Р.Кристенсена, М.И.Розовского, Ю.Н.Работнова, А.Р.Ржаницына, Б.Е.Победря, А.Н.Филатова и других авторов в работах [1]-[15]. Линейные модели в электродинамике и электромагнитоупругости рассматривались в работах А.К.Аркадьева,

B.Вольтерра, В.Г.Карнаухова, А.Н.Тихонова, Н.А.Шульги, Ю.А.Митропольского, А.А.Березовского, И.Курбанова и других авторов [13], [16] - [24]. В этих работах методом разделения переменных получены точные решения статических и динамических задач. Вариационными и асимптотическими методами получены приближенные решения.

В то время как линейные модели стержней, пластин и оболочек достаточно хорошо изучены, нелинейные модели, выдвигаемые запросами современной механики сплошной среды, разработаны недостаточно.

Исследованию геометрически или физически нелинейных систем с распределёнными параметрами, не допускающими точных решений даже в простейшем одномерном случае, посвящено сравнительно небольшое число работ [7], [8], [15], [25] - [27]. Причём, совместный учёт физической и геометрической нелинейностей не проводился. В этих работах для отыскания приближённых решений применялся метод Бубнова-Галеркина в сочетании с асимптотическими методами.

Но во многих задачах физики, техники важно знать не само решение, а характер поведения решения при изменении исходных данных. Этими вопросами занимается качественная теория дифференциальных уравнений. Качественной теории указанных задач в линейной постановке в теории упругости посвящены работы Г.Дюво, Ж.-Л.Лионса [28], [29] - [33], а в нелинейной постановке таких работ нет.

В отличие от упомянутых работ в настоящей диссертации рассматриваются задачи для нелинейных сред с электрической и магнитной проницаемостью, а также электромагнитоупругих сред с учётом геометрической, физической нелинейностей. Изучение этих систем базируется на разработке приближённых аналитических методов решения краевых и начально-краевых задач для нелинейных уравнений с частными производными. Для исследования таких нелинейных уравнений применяются вариационные методы, метод эквивалентной линеаризации, метод интегральных уравнений и асимптотические методы Крылова-Боголюбова-Митропольского.

В данной работе вопросы качественного исследования указанных классов задач в электродинамике и электромагнитоупругости проводятся впервые. Изложены новые подходы и математические методы для решения этих задач.

Целью диссертационной работы является: исследование нелинейных эффектов в электродинамике и электромагнитоупуругих системах, также, включая вопросы качественного исследования таких задач и разработку конструктивных методов их решения с доведением до алгоритмов.

Задачи работы.

В соответствии с целью выделим следующие задачи:

1. Установить априорные оценки нелинейных краевых задач электродинамики для различных нелинейных определяющих уравнений.

2. Доказательство существования решения и гладкости обобщений решений краевых задач электродинамики.

3. Доказательство существования и единственности решения начально-краевой задачи электромагнитоупругости с учётом нелинейных задач Гука.

4. Построение приближённых решений системы уравнений Максвелла в полупространстве с общими материальными уравнениями.

5. Распространение периодических во времени электромагнитоупругих волн в полупространстве и пластине.

Методы исследования.

В работе применяются вариационные методы, метод эквивалентной линеаризации и асимптотические методы Крылова-Боголюбова-Митропольского. При анализе вопросов разрешимости решений рассматриваемых задач используются метод компактности, монотонности, метод Фаэдо-Галеркина, метод интегральных неравенств и неравенства Гронуолла-Белмана.

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- рассмотрении новых по постановке задач для нелинейных уравнений электродинамики, электромагнитоупругости;

- применении метода эквивалентной линеаризации для приближённого интегрирования нелинейных уравнений с частными производными;

- применении метода эквивалентной линеаризация к решению краевых задач электродинамики и электромагнитоупругости в однородных и неоднородных средах;

- анализе влияния нелинейности на электромагнитные характеристики (поверхностные потери, глубина проникновения, фазовая скорость);

- обобщении формулы Френеля для ферромагнитной и сегнетоэлектрической сред;

- установлении априорных оценок для решений нелинейных начально-краевых задач электродинамики и электромагнитоупругости;

- доказательстве теорем существования и единственности решений нелинейных начально-краевых задач электродинамики, а также электромагнитоупругости;

- исследовании вопросов гладкости решений краевых задач электромагниооупругости.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказательство существования начально-краевых задач системы уравнений Максвелла для нелинейных сред (ферромагнитных, сегнетоэлектрических).

2. Доказательство существования решения электромагнитоупругости с учётом нелинейных задач Гука.

3. Применение метода эквивалентной линеаризации для получения приближенных решений краевых задач для системы уравнений

( эн _ тю,т ГРЛ

' _ дВ(Н)

< дг д1 '

определяющих однородные плоские электромагнитные волны в ферромагнитном, сегнетоэлектрическом полупространстве и пластине, для конкретных инвариантных во времени функционалов:

Б(Е) _ е(\е\)е В(Н) _ Н)Н ](Е) _ а(\Е\)Е.

4. Обобщение формулы Френеля для нелинейных сред.

Теоретическая и практическая ценность диссертации заключается в содержащихся в ней новых результатах и возможности применения их для решения многих насущных задач в разных областях естествознания, в частности, задачах механики, физики, геофизики, а также при теоретических исследованиях дифференциальных уравнений.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов, полученных в диссертационной работе, основана на строгой математической постановке начально-краевых задач и применении к их исследованию и решению теоретически обоснованных методов.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на

- апрельских научных конференциях и научных семинарах кафедры математического анализа Курган-Тюбинского государственного унивеситета имени Носира Хусрава (2009-2014гг.);

- международной научной конференции «Современные проблемы математического анализа и их приложений», посвящённой 60-летию академика К.Х. Бойматова, Академия наук РТ, Институт математики, Душанбе, 23-24.06. 2010;

- международной научной конференции «Современные проблемы математики и ее приложения», посвящённой 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан. Мухамадиева Э.М., Таджикский национальный университет РТ. Душанбе, 28-30 июня 2011 г.;

- международной конференции «Актуальные проблемы математики и её приложения», 2012, Курган-Тюбе;

- У1-ой международной научно-практической конференции «Перспективы

развития науки и образования», посвящённой 20-летию XVI Сессии

Верховного Совета Республики Таджикистан (16-17 ноября 2012г.)

Таджикский Технический университет имени академика М.С. Осими;

8

VII-ой международной научно-практической конференции

«Перспективы развития науки и образования», посвящённой 20-летию Конституции Республики Таджикистан и 90-летию города Душанбе, 23-24 октября 2014г.

Личный вклад автора. В диссертации изложены результаты, полученные автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, в том числе 3 статьи - в журналах из списка ВАК РФ. Список статей приведен в конце диссертации.

Объём и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, содержащего 74 источника. Объём диссертации составляет 108 страниц машинописного текста.

Краткое содержание работы.

В первый главе рассматриваются вопросы качественного о исследования краевых задач электродинамики и электромагитоупругости проводящих сред.

В §1.1, §1.2 сформулированы и доказаны теоремы существования, единственности и гладкости обобщенных решений данного класса задач соответственно для векторного уравнения Максвелла.

В §1.1 рассматривается краевая задача: найти решения уравнения Максвелла

rot H = ^ + №+ J,

дВ(Е) ^

rot E = , x ЕП,

(1)

div B(H) = 0, div D(E) = 0, t E]0, T[ ,

с общими материальными уравнениями вида:

D(t) = D(E(t), t < t), B(t) = В(Н(т), t < t), J(t)= J(E(t), x<t).

В частности, материальных уравнений вида:

9

В (H) = ¡iH,

D(E) = sE, (3)

J(E) = a(\E\)E,

при граничных и начальных условиях:

Ет \да = 0, (4)

Е(х, 0) = Е0(х), Н(х, 0) = Н0(х), (5)

где дП —граница области П, Q = П х]0, T[.

В дальнейшем обозначим:

X = [е\е Е Lpm, div Е = 0, Ет\да = 0}, Y = {Н\Н Е Ь2Ш), div H = 0,Нп\да = 0}.

Теорема 1. Пусть выполнены условия Н0 EY, Е0 Е X,

Jcr.E Lp'{0, Т; îTpn)).

Тогда задача (1)-(5) имеет единственное обобщённое решение и такое,

что

EELœ(0, Т; X)HLp{0, Т; Lp(n)), H Е Lœ(0, Т; Y).

В §1.2 рассматриваются вопросы гладкости обобщённых решений краевой задачи (1)-(5).

Теорема 2. Пусть в условиях теоремы 1

Н0, Е0ЕШ1(П), rot JCT, Е L2(Q). Тогда существует решение [Е, H}, притом единственное, задачи (1)-(5), удовлетворяющее условиям:

Е, НЕ Lœ(0, Т; W1(H)),

%ЕЬ»(0, Т; Ь2(П)),

д^ЕЬ™(0, Т; L2{ñ)) + W' ^ Т; Lpn)) .

В §1.3 рассматривается задача для диэлектрической среды, которая сводится к начально-краевой задаче:

Efiu'' — Au + ¡ia\и' \и' = — f (х, t), (6)

ди-п

Щ\аа = 0, \да = Р, 1Е]0, Т[, (7)

и(х, 0) = и0(х), и'(х, 0) = и±(х), х Е П. (8)

Теорема 3. Пусть £, д -положительные постоянные, кроме того,

ГЕЬ\Ф, Р, Р'ЕЬ?(0, Т; 1\дП)), о

щ Е Щ?(Л), щ Е 1\П).

Тогда существует вектор-функция и(х, 1) , удовлетворяющая следующим условиям:

иЕЬт ^0, Т; Щ(П)^, и'ЕЬ™(0, Т; 1\П))№ {0, Т; ),

и условиям (6) - (8).

В §1.4 рассматривается разрешимость краевой задач: требуется найти решение системы уравнений:

Р—*-ЕИ7* = + + ?(х, $ (9)

д2и р д2и дН ОТ1 д]ст г (9)

— = (х,ъ Е <*

при граничных и начальных условиях:

и\дп = 0, Н\да = 0, ЬЕ]0, Т[, (10)

и(х, 0) = и0(х), и'(х, 0) = и?(х), х Е П,

Н(х, 0) = Но(х), Н'(х, 0) = Н±(х), (11)

где = {(х, 1)\хеа, П = (0,1), 1Е]0, Т[ }, дП = [х = 0,х = I}.

Теорема 4. Предположим, что р, Е, д, £, ё, а, р, (1 — положительные постоянные, кроме того,

Н0, и0 Е Щ (П), и?, Н? Е ]} Т, дг ЕЬ(П).

(П),

При этих условиях существует единственное решение задачи (9) - (11) такое, что:

и,Н ЕЬт ЩНпу,

и',Н' ЕЬт(0,Т; Ь2(П)). В §1.5 этой же главы исследуются вопросы гладкости обобщённых решений краевой задачи:

дЕ_ _ дВ(Н)

с определяющими уравнениями вида:

_ р — ~ р _ ди

(Гх _ Ь £х £ Ь, £х _ ^ ^ ,

Б( Е)_£ Е + £ £х, (13)

В( Н) _ \1Н , КЕ)_а(\Е\)Е~ с\е\р,

при граничных и начальных условиях:

и(х, 0) _ и0(х), и'(х, 0) _ щ(х),

Н(х, 0) _ Н0(х), Е(х, 0) _ Е0(х) х (14)

и\да _0, Н\да _ 0 1Е]0,Т[ ,

Теорема 5. Пусть в условиях теоремы 4

о

и0,Н0 Е (П), щ Е (П(П).

Тогда существует решение [и,Е,Н}, притом единственное, задачи (12)-(14), удовлетворяющее условиям:

Е Е Ьт(0, Т; 1^2г(П)) + Ц>' {0, Т; Ьт(п)), Н ЕЬт (0, Т; Ш21 (Л)), и' Е Ьт ^0, Т; Щ1 (П)^,

иЕЬт ^0, Т; Щ1 (П)ПШ21(П)^,

Н', Е', и'' Е Ьт(0, Т; Ь\П)).

В §1.6 рассматривается краевая задача (12), (14) для сред, характеризуемых нелинейным законом Гука. Требуется найти решения краевой задачи (12), (14) с определяющими уравнениями вида:

ох = Е\ех\р-2£х-ёЕ, £х = ^, р> 2,

й(Е) = £Е + ££х, (15)

В(Н) = рН, ](Е) = аЕ.

Для краевой задачи (12), (14), (15) установлены априорные оценки:

иеЬт ^0, Т; (П)^,

НеЬ™(0, Т; у0), (16)

Е, и'еЬ™(0, Т; Ь2т),

с предположением, что:

о

и0 е (й), Ео, щ е 12т,

Но е Vо, f,]ст. е Ь(д).

Аналогичные теоремы существования и единственности справедливы для краевой задачи (12), (14), (15).

Установлены также теоремы существования и единственности решения краевой задачи (12), (14), если определяющие уравнения имеют вид:

Ох Е \£х £х ёЕ, £х , Б(Е) = еЕ,

в(н) =

](Е) = о(\Е\)Е - <г\Е\аЕ, а > 1,

а решение удовлетворяет условиям:

иеь™ ^0, Т;

неь™ (0, Т; Ро ),

и'еЬ">(0, Т; ЩЛ)),

Е, и'еь™(0, Т; 1?т)та(0, Т; ).

В §1.7 изучаются вопросы разрешимости и гладкости обобщённых решений краевых задач механики, связанных полей для сред с памятью. Доказаны теоремы существования и единственности решения, а также исследован вопрос о гладкости обобщённых решений указанных задач. При доказательстве теоремы существенно используется свойство связанных полей

и свойства операторов rot, div и △ , метод Фаедо-Галеркина, метод монотонности и обобщённые неравенства Гронуолла-Беллмана. Установлены априорные оценки.

1. Предположим, что среда является изотропной пьезоэлектрической с

памятью. Тогда определяющие уравнения:

(t) = е&х СО, Е(т), т < t), D(t) = D(E(t), sx(т), r<t), (17)

B(t) = В(Н(т), т < t), J(t)= J(E(t), r<t).

имеют вид [7]:

— _ Qu

or = Esx — £E — К * E, £r = —, x x x dx (18) D(E) = sE + <p * E, B(H) = ^H + y*H, J(E) = oE + x*E v У

где a*b, — интегральный оператор.

t

a* b = j a(t — r)b(r)dr, 0

s, д, s, E — электромагнитоупругие постоянные.

Теорема 6. Предположим, что р, Е, д, £, р., ё, а, Р — положительные постоянные, N(t, г), Nt(t, т), G(t, т, s), Gt(t, т, s) , f(x, t) — непрерывные и положительные функции при t >т > s > 0 кроме того,

щ, ЩЕЩ2 (П), щ, Н±, f, ^ EL2 (П) (19)

2. Рассмотрим определяющие уравнения вида:

ох = Ё£х — ёЕ, D(E) = £Е + (р*Е + ££х,

В(Н) = iiH + ф*Н, ](Е) = а(\Е\Е), ( )

где Е, £, £, д —электромагнитоупругие постоянные.

Лемма 1. Если р, д, £, £, Е, ф(0), 4*(0) — положительные постоянные,

и0 Е X, Н0, щ EY, Е0 Е L(q), Ег Е L(q), ty(t — г), ^(t — т) — непрерывные и

положительные функции, имеющие непрерывные положительные

производные первого порядка при t >т > 0 и выполняются условия:

С\Е\Р < J(E)Е < С\Е\Р, р > 2, С, С = const, (21)

0^)-¡Ш, Е± - Е2) > 0, УЕг> Е2 е Ь2Ш) , (22) то для решения краевой задачи (20) :

*Ч = Г(х, 1), (23)

дах д2и дН дБ(Е)

дх д1

дЕ дВ(Н)

+ КЕ) + Ых, г), (24)

(25)

дх

при граничных и начальных условиях:

и\дп = 0, Н\да = 0,

и(х, 0) = ио (х), и'(х, 0) = щ (х), х е й, (2б)

Н(х,0) = Но(х), Е(х, I) = Ео (0),

справедлива априорная оценка:

и еЬ™ (0, Т; У), Н, щ е I™ (0, Т; X),

Ееь™{0, Т; ЬР(П))пЬР{0, Т; ^ ) . (27)

Теорема 7. Если выполнены условия леммы 1, тогда существует тройка функций (и, Н, Е), являющаяся единственным решением задачи (20), (23) - (26), таких, что:

иеЬ™ ^0, Т; \У1(П)^, и' е Ь™(0, Т; ь2п))

Н е Ь™ (0, Т; У), ЕеЬ™(0, Т; Ь2(П)) П Ь™ {0, Т; Ьр(п)) .

3. Рассмотрим краевую задачу (23) - (26) для сред, характеризируемых нелинейным законом Гука. Требуется найти решения краевой задачи (23)-(26) с определяющими уравнениями вида:

ох = Е\ех\р-2ех-еЕ, £х = их, р> 2, В(Н) = + ф *Н, Б(Е) = еЕ + ££х + ф*Е, ](Е) = оЕ + х*Е. (

Для краевой задачи (23) - (26), (28) установлена аналогичная лемма -

лемма 1, которая приводит к априорным оценкам:

и еь™ ^0, Т; Щ1 (П)^, не V™ (0, Т; У), Е, и' е Ь™(0, Т; Ь2а)).

с предложением, что:

о

ио е (й), Ео, щ е ь2т,

ио е У, f, Iст. е Ь2(п).

4. Установлена также теорема существования и единственности решения краевой задачи (18), (23) - (26) с определяющими уравнениями вида (28),

= о(£хСО, Е(т), т < €), 0(1) = Б(Е(т), £х(т), т < г), (29)

В(1) = В(Н(т), т < О, ](1)= ](Е(т), т<1),

если определяющие уравнения имеют вид:

Ох Е\£\* £х £Е, £х их,

й(Е) = £Е + у*Е + ££х, В(Н) = уН + ф*н, (30) ](Е) = а(\Е\)Е~а\Е\аЕ, а> 2

и решение удовлетворяет условиям:

и еь™ (о, Т; (П)^, Н е Ь™ (0, Т; У), и' е Ь™(0, Т; 1\а)),

ЕеЬ™(0, Т; Ь2а))ПЬа(0, Т; Ь2а)).

5. Теперь исследуем вопросы гладкости обобщённых решений краевой задачи (23) - (26), (30).

Лемма 2. Если р, у,~ё, £, Е, ф(0), 4>(0), Ц>'(0), 4*'(0) — положительные постоянные, ф(Ь — т), ^(Ь — т) — непрерывные положительные функции, имеющие непрерывные положительные производные первого и второго порядка при 1>х> 0, то для решения краевой задачи (23)—(26), (30) справедлива априорная оценка

и еь™ (0, Т; ^(П)^, Н е Ь™ (0, Т; У), и[, Е, Ь™(0, Т; 1\П))

при предложении, что

о

и е Щ(Л), щ е ь2п), но е У

^о е Ь2П), f, ]ст. е Ь2(П).

Теорема 8. Путь в условиях теоремы 7 ф' (0), 4*'(0) — положительно постоянные и ф(Ь — т), ^(Ь — т) имеют непрерывные положительные производные включительно до второго порядка при, 1>х> 0 кроме того,

и0, н0, Е0 е (л), и1 е 1/У21(л)П1^22(л).

Тогда существует решение {и, Е, Н}, притом единственное, задачи (23) - (26), (30), удовлетворяющее условиям:

Неьт(0, Т; (Л)), щ е Ь™ ^0, Т; Щ (Л)^,

и еьт ^0, Т; Щ1 (Л) п Ш2 (Л)^,

Е е Ьт(0, Т; Ш1(П))и1Р' (0, Т; (Л)) Н,, Еъ, иаеи»(р, Т; Ь2(Л)) Доказательство теоремы 8 проводится аналогично теореме 7.

Во второй главе настоящей работы рассматриваются плоские и бегущие электромагнитные волны в однородных и неоднородных нелинейных средах с общими материальными уравнениями вида (2).

В §2.1, §2.2 методом эквивалентной линеаризации получены приближенные решения краевых задач для системы уравнений:

( _ дР(Е) (р)

_ дВ(Н) (31)

, ~дг _ дГ~,

определяющие однородные плоские электромагнитные волны в ферромагнитном, сегнетоэлектрическом полупространстве и пластине, для конкретных инвариантных во времени функционалов:

Б(Е) _ е(\Е\)Е

В(Н) _ Н)Н (32)

](Е) _ о(\Е\)Е.

В электродинамике метод эквивалентной линеаризации применяется впервые. Идея метода эквивалентной линеаризации восходит к работам Крылова-Боголюбова-Митропольского. Он позволяет свести исходную задачу к решению систем нелинейных алгебраических уравнений. Рассмотрены

17

ферромагнитные, сегнетоэлектрические, проводящие и непроводящие среды, характеризуемые различными линейными и нелинейными законами.

В частности, получены точные решения линейных задач о распространении линейно поляризованной плоской электромагнитной волны в полупространстве 2 >0 и пластине —1<г<1 с учётом магнитной и диэлектрической проницаемостей. Для ферромагнитного полупространства полученные приближённые решения приводят к формуле поверхностных потерь:

_ 1 Р = 2

Ч

™ 2ж

, У = _| I ^(\Н1е хсобт\) е 2хсоБ2тйтйх, (33) оо

где ш, а и у\Н1 \ — частота, электрическая проводимость, а Н± — амплитуда напряжённости магнитного поля. Численное интегрирование соответствующей нелинейной краевой задачи в этом случае дает практически совпадающие с (33) значения для потерь Р. На основании этого можно утверждать, что предложенный метод эквивалентной линеаризации, использующий конструкцию точного решения соответствующей линейной задачи, позволяет получить приближённое решение для электромагнитного поля и практически точные значения энергетических характеристик плоской волны. Из полученных приближённых решений следует, что учёт нелинейности и наследственности приводит к существенному изменению основных энергетических характеристик плоской волны: Р — поверхностных потерь, 8 — глубины проникновения, А — фазовой скорости. При этом поверхностные потери возрастают Рн > Р, глубина проникновения 8 > 8Н и фазовой скорости д > дн убывают, где Рн, 8Н, дн — поверхностные потери, глубина и фазовая скорость соответственно полупространства.

Методом эквивалентной линеаризации в §2.3 построены приближённые решения краевых задач определения однородного бегущего линейно поляризованного электромагнитного поля в полупространстве у >0 для уравнений:

дНу днх д D(E)

д t

дЕ _дВу _ л д Вх = JXT

д t '

дЕ + дВ, =

( J' ду dt (34)

djy = 0 (34)

ду 0 '

с общими материальными уравнениями:

D(t) = D(Е(т),т < t), J (t) =J(E(t),t < t),

B(t) = B(H(r), т< t), H = {Hx,Hy,0}. ( )

В явном виде получено первое приближение решения этой задачи, по

нему найдены поверхностные потери.

Метод эквивалентной линеаризации также применим при решении

краевых задач для неоднородных сред. С помощью этого метода получены

приближённые решения задачи отражения и преломления плоской

электромагнитной волны в нелинейных средах.

Задача отражения и преломления волны в нелинейных средах

сводится к определению электромагнитного поля:

H±(z,t) + Н[(x,t), z > 0

H2(z,t), z < 0 , ч

2V , J (36)

Н(г,1) = {

р( ,)-{Е[(х,г), г > 0 Ь{ Е2(г,1), г < 0

периодических по t решений уравнений Максвелла (31) с общими

материальными уравнениями (2), удовлетворяющими условиям регулярности

на бесконечности, и периодичности по t т.е.:

Н1 (0,1) = Н1 ( 0 = Н1 ( t + T)>

Н&Л 0, ( )

и условиям сопряжений на плоскости раздела полупространства г — 0: [Н1(г,г) + Н1 (г,1)]\ г=0 - Н2(г^)\г=-0;

[Е1(г,1) + Е1 (г,1)]\г=0 - ^Ои)г=-0.

Здесь для материального уравнения поля вида:

К: : <0, К: ' <0

Ш Ц)-\ И1 (IЩ) Н1: г>0,

В (Н> = { Ц2Н2, г<0,

19

(38)

характеризуемого ферромагнитной средой, получено обобщение формулы Френеля:

Я/ _ ßli\Hi 1)^22 ß2^21 и

1 —-^т,—г:—"1 ,

ß2k21+ßli\Hi\)k22

_ 2ßi(\Hi\)k22Hi М2 —

(39)

ß2^21+ßli\Hl\)k22

Обобщённые формулы Френеля также получены для сегнетоэлектрической среды:

£ — 2Si(\Ei\)k22 £ 2 Ei(\Ei\)к22+£2к21 1

g, — ^1(\Ei\)k22 + £2^21 £ 1 £l(\El\)k22 + £2^21 11

(40)

где

со 2п

£-1 QE^) — — j j £1(\E1e-xcosr\) e-2xcos2Tdrdx. 0 0

В §2.5 рассмотрена задача определения электромагнитного поля в полупространствах z <0 и z > 0, когда на поверхности их раздела z — 0 задан ленточный ток J — He-lMt. Методом эквивалентной линеаризации построены приближённые решения в виде:

Hj(z, t) — Re\tij exp^-kj\z\ — i^t)], Ej(z, t) — Re\Ej exp^—kj\z\ — i^t^],

где k1 — кц — ik21, k2 — к 12 — ik22, kij > ° i — i, j — 1—

Hj — \Hj\, Ej — \Ej\, <Pj — arg Щ, ф — arg Ej, Ho — \Ho\. Показана применимость метода эквивалентной линеаризации для решения краевых задач электромагнитоупругости. Построены приближённые решения краевых задач для уравнений:

дах д2и

— дн — дЩЕ)+ (41)

дЕ _ дВ(Е) дх~ dt ,

с общими определяющими уравнениями:

(О = о(£хСО, Е(т), т < г),

Б(Е) = Б(Е(т), £х (т), т < О, ](Е)= ](Е(т), т<€), В(Н) = В(Н(т), т < О,

определяющими однородные плоские электромагнитоупругие волны в

полупространстве и пластине. Приведены различные линейные и нелинейные

модели для описания поведения ферромагнетиков, сегнетоэлектриков,

магнитных и механических полей. На простейших задачах

продемонстрированы важнейшие эффекты связанных полей. Изложены новые

подходы и математические методы для решения этих задач. В частности, для

пластины (—1<х<1) решение представлено в виде:

Н(х, t) = Н0 + H±Re Е(х, t) = EtRe и(х, t) = utRe

sh kx

sh kl

2 i(vt-y)

ch кхё 1(М-ф)

sh kl

sh кхё i(ut-ip)

(42)

.sh kl

с постоянными параметрами к = kt — ik2, Ег, u±, ф, ф по принципу решения соответствующей линейной задачи. Параметры определяются по методу эквивалентной линеаризации.

В §2.6 изучаются периодические во времени плоские электромагнитоупругие волны в полупространстве.

1. Предположим, что в изотропном однородном полупространстве под действием электромагнитного поля находится полуограниченный вязкоупругий стержень, в нём распространяются волны. Требуется определить электромагнитное поле в полупространстве и движение вязкоупругого стержня, если задана напряжённость магнитного поля Н(0, t) и Н(0, t) = H(t) = H(t + Т), lim Н(х, t) = 0,

х^™ (43)

и(х, t + Т) = и(х, t), lim и(х, t) = 0,

х^><х)

где Т —период изменения во времени.

Определение Н(х, t), Е(х, t) и и(х, t) приводит к отысканию периодических по t решений следующей нелинейной краевой задачи [35]:

(1.4.1)-(1.4.6) при /(х,г) — 0, ]сг(х,г) — 0 с общими определяющими уравнениями:

°х( 0 = 0"ОхСО, Е(т), т < €),

й(Е) — й(Е(т), £х(т), т < О,

] (Е)—](Е(т), т< О,

в(н) — в(н(т), т < г),

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Игболов Саймухаммад Иброхимович, 2016 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д. К теории устойчивости вязкоупругих тел при конечных деформациях // ДАН СССР. -Т. 276. -1984. -5. -С. 1082-1086

2. Арутюнян Н.Х. Некоторые вопросы теории ползучести. -М.: Наука -1952. -271 с.

3. Арутюнян Н.Х., Колмоновский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. -М.: Наука. -1983. -336 с.

4. Бронский А.П. Явление последействия в твердом теле // ПММ. -1941. -Вып. I. -С. 31-56.

5. Вульфсон С.З. Некоторые вопросы нелинейной теории ползучести // Исследования по расчету оболочек, стержневых и массивных конструкций. -Госстройиздат, 1963. -С. 157-171.

6. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих стержней и оболочек // Известия АН СССР, ОТН. -1955. -№3. -С. 33-68.

7. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Квазилинейная теория вязко-упругости и метод малого параметра // Механика полиметров. -1966. -№2. -С.170-189.

8. Ильюшин А.А. и др. О некоторых методах исследования нелинейных задач теории вязко-упругости // ДАН СССР. -Т.206. -1972. -№I. -С. 59-61.

9. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории вязкоупругости. -М.: Наука. -1970. -280 с.

10. Ильюшин А.А., Москвитин В.В., Победря Б.Е. Исследования по теории термовязкоупругости // Механика полимеров. -1975. -№I. -С. 63-65.

11. Ишлинский Ю.А. Продольные колебания стержня при наличии линейного закона последействия и релаксации // ПММ. -Т. IV. -1940. -№I. -С. 79-92.

12. Ишлинский Ю.А. Линейные законы деформирования не вполне упругих тел // ДАН СССР. -Т. ХХУ! -1940. №I. -С. 22-26.

13. Карнаухов В.Г. , Киричок И.Ф. Термоэлектрическое поведение вязкоупругих тел при гармоническом возбуждении // Тепловые напряжения в элементах конструкций. -1980. -вып. 20. -С. 6-10.

14. Колтунов М.А. Введение в теорию вязкоупругости // Методич. сборник. -М.: Высшая школа. -1973. -1973. -№1. -С. 115-127.

15. Филатов А.Н. Асимптотические методы в нелинейной теории вязкоупругости // Механика полимеров. -1974. -№2. -С 221-229.

16. Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. -М. :Наука. -1964. -295с.

17. Карнаухов В.Г., Киричок И.Ф. Механика связанных полей в элементах конструкций. -Киев: Наук. думка, 1988. -319 с.

18. Розовский М.И. Распространение электромагнитного поля в диэлектрике с диэлектрическим последействием и в проводнике с магнитным последействием // ЖЭТВ. -1964. -Т. XVI. -Вып. 10. -С. 856-868.

19. Розовский М.И. Об интегро-дифференциальном уравнении распространения электромагнитных волн в среде с диэлектрической и магнитной вязкостью // ДАН СССР. -Т. IX. -1948. -№7. -С. 1265-1268.

20. Тихонов A.K О функциональных уравнениях типа Вольтерра и их применениях к некоторым задачам математической физики // Бюлл. МГУ, серия матем. мех. -1983. -№8. -С. 1-25.

21. Шульга НА. О волновых потенциалах электромагнитоупругости для пьезокерамических материалов // Теоретическая и прикладная механика. -1984. -вып. 15. -С. 73-76.

22. Шульга НА. Об электропуругих волнах в сплошном пьезокерамическом цилиндре с продольной поляризацией // Прикладная механика. -1986. -22. -№11. -С. 17-21.

23. Volterra V. Vibrazioni elastichenel casodellaeredita // Rend. R. Accad. deilinsei, 1912. -P. 3-12.

24. Volterra V. Sulleequazioni integro-differenziali // Rend. R. Accad. deiLincei, 1909 -P. 167-174.

25. Колтунов МА. К вопросу выбора ядер при решении задач с учётом ползучести и релаксации // Механика полимеров. -1966. -№4. -С. 483-497.

26. Работнов ЮА., Поперник Л.Х., Степаныевич Е.И. Приложение нелинейной теории наследственности к описанию временных эффектов в полимерных материалах // Механика полимеров. -1971. -№1. -С. 74-87.

27. Солдатов М.М. К нелинейной теории вязко-упругости //Механика полимеров. -1966. -№4. -С. 498-507.

28. Дюво Г., Лионс Ж.Л., «Неравенство в механике и физике» - М.. Мир , 1980- 382с.

29. Duvaut G., Lions J. -L. Nouvellesin equations variationnell esrecontrees en thermique et en thermoelasticite // C.R. Acad. Sc. Paris, 1969, v.269. -P. 11981201.

30. Duvaut G., Lions J. -L. Sur les equations de Maxwell des mileuxpolarisables et sur la magnetodynamique des fluide de Bingham // C.R. Acad. Sc. Paris, 1970. v. 270. -P. 1600-1603.

31. Duvaut G., Lions J. -L. Inequations en thermoelasticite et magneto-hudodynamiqul // Archive Rat. Mech. Anal., 1972. -115p.

32. Duvaut G. Problemes unilateraux en mecanique des milieu continius. -Jn: ActesCongr. int.mathematiciens. Nice, 1970. v.3. -Paris, 1971. -P. 71-77.

33. Duvaut G. Lois de comportement pour un milieu isotropemateriellement polarize de degree deux. -C.R.Acad. sci., 1964, 359, №19. -P. 3178-3179.

34. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. -М.: Физматгиз, 1959. -532с.

35. Курбанов И. Нелинейные краевые задачи электромагнитоупругости с памятью. -Киев, 1990. -48 с. -(Препр.АН УССР. Институт математики; 90.46).

36. Березовский A.A., Курбанов И. Периодические во времени плоские электромагнитные поля в полупространстве с общими материальными уоавнениями // Краевые задачи электродинамики проводящих сред. -Киев: Институт математики AR УССР, 1976, - С. 37-57.

37. Мартынюк A.A., Лакшмикатам В., Лила С. Устойчивость движения: метод интегральных неравенств. -Киев: Наук. думка, 1989. -271 с.

38. Лионс Ж. -Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир. -1972. -587 с.

39. Быховский Э.Б. Оценка вектора через его ротор и начально-краевая задача электродинамики в случае смешанных граничных условий // Вестник ЛГУ. -1961. -19. -С.П2-116.

40. Быховский Э.Б. Решение смешанной задачи для системы уравнений Максвелла в случае идеально проводящей границы // Вестник. ЛГУ. -1957. -13. -С. 50-66.

41. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. -М.:Наука, 1973. -407 с.

42. Ладыженская О.А. Смешанная задача для гиперболического уравнения. -М.: Гостехиздат, 1953. -345 с.

43. Ладыженская О.А., Солоников В.А. Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости // Труды МИ АН СССР, 1960. -59. -С. 115-173.

44. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1966. -493 с.

45. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. -М.: Мир. -1971. -371 с.

46. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. -Киев: Наук.думка, 1989. -277 с.

47. Короткина М.Р. Электромагнитоупругость. -М.: Изд-во Московского университета, 1988. -302 с.

48. Селезов И.Т. Некоторые приближенные формы уравнений движения магнитоупругих сред // Известия АН СССР. Механика твердого тела. -1957. -№5. -С. 86-91.

49. Гординский Л.Д., Курбанов И. Существование решений задачи об изгибе вязко-упругого стержня с учётом физической нелинейности // Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. -Киев: Институт математики АН УССР, 1977. -С. 89-94.

50. Курбанов И. Разрешимости нелинейных краевых задач электромагнитоупругости с общими определяющими уравнениями. -Киев, 1991. -38 с. -(Препр. /АН УССР. Институт математики; 91.11).

51. Курбанов И. О гладкости обобщенных решений нелинейных краевых задач электромагнитоупругости с памятью // Асимптотические решения нелинейных уравнений с малым параметром. -Киев: Институт математики АН УССР, 1991. -С. 71-78.

52. Митропольский Ю.А., Курбанов И. О разрешимости задачи электромагнитоупругости с памятью // Украинский Математический журнал. -1991. -43, №3. -С. 365-374.

53. Митропольский Ю.А., Курбанов И. О разрешимости краевых задач электромагниоупругости с памятью //ДАН СССР. -Т. 317. -1991. №1. -С. 3539.

54. Карнаухов В.Г. Связанные задачи термовязкоупругости. -Киев: Наук думка, 1982. -260 с.

55. Филатов А.Н., Шарова Л.В. Интегральные неравенства и теория колебания линейных упругих и вязкоупругих сред. -Ташкент: Фан. -236 с.

56. Курбанов И. Аналитические и качественные исследования нелинейных краевых задач математической физики с памятью: Автореф. дисс. д. физ.-мат. н. -Киев, АН УССР, Институт математики, 1991, 38с.

57. Курбанов И. -Краевые задачи электродинамики -Киев: Институт математики АН УССР, 1989, с. 3-23.

58. Березовский А.А., Курбанов И. Плоские электромагнитные волны в средах с общими материальными уравнениями // Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. -Киев: Институт математики АН УССР. -1977. -С. 111-113.

59. Березовский А.А., Курбанов И. Нелинейные интегро-дифференциальные уравнения распространения плоских электромагнитных волн // Прикладные вопросы математики. -Душанбе, 1978. -Вып. 2. -С. 16-24.

60. Курбанов И. Краевые задачи электродинамики. -Киев, 1989. -20 с. -(Препр. /АН УССР. Институт математики; 89.63).

61. Стреттон Дж.А. Теория электромагнетизма.-М.: Изд-во иностр. лит., 1948.-539 с.

62. Курбанов И. Электромагнитное поле ленточного тока в неоднородном пространстве // Всесоюз. конф. по линейным проблемам дифференциальных уравнений и математической физики, Тернополь, 12-15 сент. 1989 г.:Тез. докл.Тернополь: 1989. -Ч. I. -С. 229-230.

63. Курбанов И. Отражение и преломление волны в сегнетоэлектрическом полупространстве с учётом последействия // Изв. АН Тадж. ССР, Отд. Физ.-мат.наук. -1990. -№I. -C. 3-12.

64. Боголюбов Н.Н., Митрополский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. -501 с.

65. Курбанов И., Игболов С.И. Существование и единственность решения нелинейных краевых задач электродинамики // Вестник Института предпринимательства и сервиса. № 20. -Душанбе: ИПС, 2010, с. 49-53.

66. Курбанов И., Игболов С.И. Волны в однородных и неоднородных нелинейных средах // Известия Академии наук РТ, отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, №3 (140).-Душанбе: Дониш, 2010, с. 25-33.

67. Игболов С.И Приближенные методы решения краевых задач электромагнитного поля в пластине // Материалы Международной научной конференции, посвященной 60-летию академика К.Х. Бойматова «Современные проблемы математического анализа и их приложений», Академия наук РТ, Институт математики, Душанбе, 23-24.06. 2010, с. 38-39

68. Игболов С.И. Отражение и преломление волны в нелинейных средах Сборник научных трудов Харьковского политехнического института. Вып.19. Краевые задачи для дифференциальных уравнений (часть 2).- Черновцы: Прут, 2010, с. 3-8.

69. Курбанов И., Игболов С.И. Качественные исследования нелинейных краевых задач математической физики с памятью. Межд. научная

107

конференция, посвященная 70-летию члена-корреспондента АН Республики Таджикистан. Мухамадиева Э. М. «Современные проблемы математики и ее приложения». ТНУ РТ. Душанбе, 28-30 июня 2011 г., с.59-62.

70. Игболов С.И. Периодические во времени плоские электромагнитные поля в полупространстве с общими материальными уравнениями. Сборник научных трудов Харьковского политехнического института. Вып.20. Краевые задачи для дифференциальных уравнений.- Черновцы: Прут, 2011, с. 274-282.

71. Курбанов И., Игболов С.И. О гладкости решений краевых задач электродинамики для неоднородных сред. У1-я международная научно-практическая конференция «Перспективы развития науки и образования», посвященная 20-летию XVI Сессии Верховного Совета Республики Таджикистан (16-17 ноября 2012г.) Таджикский технический университет имени академика М.С. Осими. с. 7-11

72. Курбанов И., Игболов С.И. Вопросы качественного исследования нелинейных краевых задач электромагнитоупругости с памятью // Известия Академии наук РТ, отделение физико-математических, химических, геологических и технических наук, №1 (154).- Душанбе: Дониш, 2014, с. 4351.

73. Курбанов И., Игболов С.И. Отражение и преломление волны в нижнем ферромагнитном полупространстве. Материалы УП-ой международной научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования» 23-24 октября 2014 часть 2. Посвящается 20-летию Конституции Республики Таджикистан и 90-летию города Душанбе, с. 86-89.

74. Игболов С.И. Периодические во времени плоские электромагнитоупругие волны в пространстве с общими определяющими уравнениями // Вестник Таджикского технического университета, № 2 (30), 2015, с. 6-10.