Аналитические исследования нелинейных задач уравнения теплопроводности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Хакимова, Олима Хафизовна

• Хакимова, Олима Хафизовна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Хакимова, Олима Хафизовна

Оглавление

Введение

Глава 1. Классические и специальные постановки нелинейных задач

уравнения теплопроводности

§1.1. Общие характеристики задач по исследованию температурных полей

в теплопроводящих средах

§1.2. Априорные оценки

§ 1. 3. О разрешимости задач для некоторых нелинейных уравнений

теплопроводности

§ 1.4. О сильно нелинейных уравнениях параболического типа

Глава 2. Нелинейные задачи теплопроводности для ограниченных и

полуограниченных стержней в многослойных системах

§2.1. Периодические решения нелинейных задач уравнения

теплопроводности для ограниченных и полуограниченных стержней

§ 2.2. Распространение тепловых процессов в полуограниченных стержнях

для сред с памятью

§ 2.3. Решение нелинейных уравнений теплопроводности для слоистых сред

с использованием метода эквивалентной линеаризации

§2.4. Решение нелинейных задач уравнений теплопроводности в

многослойных системах

§2.5. Одномерные нестационарные задачи теплоизлучения в

полупространстве

§2.6. Решение задачи уравнения теплопроводности в массивных ферромагнитных телах при одновременном намапшчивании постоянным и

переменным магнитными полями

Литература

и

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитические исследования нелинейных задач уравнения теплопроводности»

Введение

Многие проблемы современных прикладных наук, в том числе технических и инженерных, должны трактоваться как существенно нелинейные, так как их линейная трактовка не в состоянии передать наиболее важные стороны явлений не только в количественном, но и в качественном отношении.

В то же время нелинейный подход усложняет математические модели реальных процессов, приводя к нелинейным дифференциальным уравнениям с частными производными. Исследование краевых, начально-краевых и периодических задач для таких уравнений, создание эффективныхметодов их решения представляют собой чрезвычайно важную и в настоящее время быстро развивающуюся область математической физики. Практическая ценность получаемых здесь результатов определяется, прежде всего, тем вкладом, который они вносят в решение конкретных насущных проблем естествознания. К последним относятся и рассматриваемые в данной работе проблемы тепловых и диффузионных расчетов широкого круга процессов и явлений, изучаемых теплофизикой высоких и низких температур,механикой.

Как известно, математической моделью процессов тепло-и массопереноса служит уравнение теплопроводности, выражающее баланс энергии или вещества. Его нелинейность обуславливается нелинейностью привлекаемых материальных уравнений, выражающих законы Фурье и Фика, зависимость внутренней энергии от температуры, а для активных сред-зависимость источников и стоков от искомых полей. При математической постановке конкретных задач здесь необходимо учитывать характер этих зависимостей, то есть рассматривать специальные нелинейные математические модели.

Простейшей, по-видимому, является математическая модель определения температурного поля и = и(р, £■) выпуклового теплоизлучающего тела £2, когда материальные уравнения линейны -

д = — А—, е = сри, а источники тепла известны - IV = IV (р, £), ре П,

I > 0. Это приводит к линейному уравнению теплопроводности -сИу{Адгас1и) — срщ = —IV, р Е П, I > 0. Нелинейным является только краевое условие - Ади/дп +д(и) = 0, р Е Б, Ь > 0, отражающее отвод потока тепла ц = ц(и) с поверхности 5 тела £2 по закону Стефана-Больцмана.

Математическая модель теплоизлучающего тела значительно усложняется, если часть его поверхности 5! с 5 вогнута. Учет переизлучения тепла на 5! приводит к нелинейному краевому условию

Л ди/дп + ¿¡(и) - еЕ = 0, ре5"1( I > 0, где Е = Е(р, С)~подлежащая определению интегральная полусферическая интенсивность падающего излучения, а е - степень черноты поверхности Аналогичные ситуации имеют место в случае радиационного теплообмена между диатермически разделенными теплопроводящими телами П^ I = /, N. В таких задачах кондуктивного и радиационного теплообмена привлекается еще и интегральное уравнение лучистого теплообмена, замыкающее систему уравнений для определения

и = и(р, С), рЕП, I > 0 и Е = Е(р, С), р 6 5£ > 0.

Следующим источником нелинейности являются материальные уравнения. Первое из них, в общем случае, устанавливает функциальную зависимость между потокам тепла или вещества, искомым полем и его производной в направлении потока - q = ц(и, ди/дп). Ее определение в каждом случае представляет отдельную очень сложную задачу. Широкое распространение получили более простые зависимости ц = — Л (и)ди/дп и ц = ц(ди/дп) при моделировании высокотемпературных процессов в твердых телах и турбулентных диффузионных, а также тепловых процессов.

Второе материальное уравнение определяет связь между внутренней тепловой энергией и температурной - е = е(гг). При исследовании процессов с фазовыми переходами эта связь является сложной, нелинейной и, более того, гистерезисной. Ее описание требует создания специальной

4

математическоймодели теплового гистерезиса, во многом подобной математическим моделям упругого и ферромагнитного гистерезиса.

Ввиду сложности, создание специальных математических моделей процессов тепло-и массопереноса не ограничивается описанной выше конкретизацией материальных уравнений. Для того, чтобы они были пригодны для изучения точными количественными методами, при математической постановке конкретных задач необходимо учитывать специфические свойства, которые могут иметь искомые поля. К последним относятся симметрия и квазистационарность, позволяющие понизить размерность задачи, монотонность, дающая возможность осуществить переход к практически более актуальным постановкам задач относительно поверхностей уровня, и другие.

»

Даже после разумного упрощения такие модели, как правило, приводят

I

к сложным малоисследованным краевым, начально-краевым и периодическим задачам для дифференциальных уравнений с частными производными, интегро-дифференциальным или функциональным уравнениям. Как показывает опыт исследования такого рода задач, к ним нельзя применить какой-либо универсальный метод. Значительного успеха в этом направлении можно достичь, сочетая приближенные аналитические и различные численные методы с использованием современной вычислительной техники.

В настоящей работе рассматриваются актуальные проблемы современной теплофизики высоких и низких температур, теплоэнергетики, связанные с созданием математических моделей основных тепловых и диффузионных процессов, разработкой новых эффективных методов исследования таких моделей, а также с внедрением полученных результатов в инженерную практику.

Интерес к исследованию нелинейных задач уравнения теплопроводности возник давно. Основы этой теории были заложены еще в

работах А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, Ю.А. Митропольского, A.A. Березовского. Фундаментальные результаты задачи тепло - и массопереноса в решении актуальных проблем были получены в работах С.Г. Богуславского, И.С. Березина, Г.М. Марчука, В.И. Агошкова и других авторов в работах [4- 6], [9], [11-15], [27-29], [ 33,34], [ 36-39], [41], [60-74]. Решения нелинейных уравнений теплопроводности рассматривались в работах Ю.А. Митропольского, A.A. Березовского, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, И. Курбанова и других авторов [4], [15], [19], [31], [32], [34], [35], [57], [58]. В этих работах для специальных классов ядер релаксации операционным методом в сочетании с методом разделения переменных получены точные решения статических и динамических задач.

Работа состоит из настоящего введения, двух глав и списка литературы. Используется тройной нумерация формул номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий — порядковый формул в данном параграфе

Первая глава диссертации состоит из четырех параграфов, и рассматриваются вопросы классических и специальных постановок задач нелинейных уравнений теплопроводности, априорные оценки, сформулированы и доказаны теоремы существования и единственности, а также вопросы однозначной разрешимости задач стационарного теплоизлучения.

В первом параграфе первой главы даются общие характеристики задач об исследовании температурных полей в теплопроводящих средах, условия сопряжения и краевые условия.

Явление теплопроводности в материальной среде, характеризуемой коэффициентом теплопроводности Я, теплоемкостью с и плотностью р описывается скалярным полем температуры и = и(р,£), зависящим от трёх пространственных координат х, у, z и времени t. Связь между временными и

пространственными изменениями температуры устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности

д

(Цу(Лдга(1и) — — (сри) = —IV, (1)

аЬ

где Ш - объемная плотность источников тепла.

Простейшие случаи теплофизических характеристик среды и источник тепла не зависят от температуры, и уравнение (1) становится линейным.

Если Л, с и р постоянное, то среда называется однородной и изотопной. Уравнение теплопроводности для такой среды преобразуется к стандартному виду

1 IV

где а2 = — - коэффициент температуропроводности. ср

Уравнение (1) предполагает выполнение основного закона теплопроводности - закона Фурье

ц = —Адгайи, (2)

выражающего коллинеарность векторов плотности теплового потока и градиента температуры с коэффициентом пропорциональности Л = Л(р, £, и).

В стратифицированных водной и воздушной средах механизм передачи тепла носит турбулентный характер и вместо (2) рассматривается сложная нелинейная зависимость с[ = (¡(дгас1и). В простейшем случае принимается

¿7 = —Л(\дга(1и\)дга<1и,

где Л - скалярная величина, называемая турбулентным коэффициентом теплопроводности. Такое обобщение закона Фурье, естественно, приводит к нелинейности уравнения (1).

Пусть Ф (х,у, 2, €) = 0 - некоторая поверхность, разделяющая две среды с различными теплофизическими характеристиками Л, с и р, а источники тепла сосредоточены только на этой поверхности с плотностью

IV = <7 • 5(Ф),

где ц - мощность источников, отнесенная к единице площади. Из дифференциального уравнения (1) в этом случае следует, что при переходе через поверхность раздела поток тепла терпит скачок, равный коэффициенту при дельта - функции, а сама температура непрерывна

= -Ч, Мп=о = и I п=+о - и I п=—о = 0. (3)

Здесь и | п=±0 - пределы функции и справа и слева от точки п — 0, лежащей на поверхности Ф(х,у,г, £) = 0. При неидеальном тепловом контакте, когда [гг]п=0 0, условия сопряжения записываются в виде условий теплообмена по закону Ньютона

ди | ди |

Л+ дп 'п=+0 = ~Я + Л~ д^ I л=° = аМп=0'

где а - коэффициент теплообмена Л+ и Л_- значения коэффициента теплопроводности справа и слева от поверхности раздела. Они согласованы с условием для потока тепла (3), выражающем баланс тепла на поверхности раздела.

Во втором параграфе первой главы рассматриваются вопросы априорных оценок нелинейной краевой задачи для уравнения диффузии

С* = схх ~ /(С), 0 <х<{, t > 0,

/(С) = С(х,0) = С0(х),

Сж(0,О = 0, 1>0, (4)

с(£, о = о, схое, О = о, t>ol

где С (0,0 = С(0 > 0.

Для краевой задачи (4) получаем такую априорную оценку € £

l|Ct||2 + (C^Ct) = j[Cxx(x,t)]2dx + J ClcP-4x>vA\\CX\\2]W2.

о 0

I

В третьем параграфе первой главы рассматривается вопрос разрешимости задачи для некоторых нелинейных уравнений теплопроводности. Установлены априорные оценки с помощью неравенства Гронуолла - Беллмана.

При решении ряда насущных проблем естествознания возникает необходимость исследования нового типа эволюционных задач для нелинейного уравнения

div(F(u)gradu) — щ = f(u).

Это уравнение рассматривается в области S2 с D с Rn,n = 1,2,3.

В общем случае требуется определить и(х, t) G П, t > 0,П = дП U Л так, что

V■ (F(u)Vu)—iit = f(ii), х en, t> О,

u(x, 0) = u0(x), x e il, (5)

F(u)Vnii — au = —(p(x, t), x 6 dil, t > 0, u = 0, F(u)Vnu = 0, хедП, t > 0.

Здесь мы ограничимся рассматриванием соответствующих одномерных задач вида (5), когда искомая функция зависит только от одной пространственной координаты и времени. В этом случае для определения функции и = u(x,t), 0 < х < I, t > 0 получаем следующую задачу для одномерного эволюционного уравнения

ди д ( „ ди\ а

и(х, 0) = и0(х), х 6 (0, /), (6)

где у,/? > 1 ди

иу — = ах, (и = 0, а -» оо), х = 0, Г > 0,

5л:

,, ди

и = 0, =0, л: = £ > 0.

ах

Теорема 1.3.1. Предположим, что а,р ии0 положительные постоянные, кроме того

и0(х, 0) 6 ^дгС^' 0) е Ь\оЛ ^

тогда уравнение (6) имеет решение и такое, что

их Е ¿°°(0,Т; ¿(о,/) п ^(о/))-

В четвертом параграфе первой главы рассматриваются вопросы о сильно нелинейных уравнениях параболического типа. Здесь же доказана теорема единственности. В цилиндре (? рассмотрим первую краевую задачу для параболического уравнения:

п

ди V"1 д

дЬ ¿-л дх{ ¿=1 1

ди

дх{

р-2

ди\

— 1 + я (и) = /О, О, р > 2, (7)

и = Она^ = Гх]0,Г[ (8)

и(х,0) = ио(х) (9)

и0 - заданная функция. Теорема 1.4.2. Пусть / (х, €) и и0 (х) удовлетворяют условиям

U0(x) G Ь2Ш fix, t) G Lp(0, T; V*), ^ +

тогда задача (7)-(9) имеет, no крайней мере, одно решение.

Установлена априорная оценка

и G L00 (О, Т; Ь2 (Л)) П Lp (О, Т; V).

Во второй главе настоящей работы рассматриваются вопросы распространения тепловых процессов в неограниченных стержнях для сред с памятью, а также распространения плоских электромагнитных волн в ферромагнитных, сегнетоэлектрических и электромагнитоупругих средах и изучено вопросы приближенных аналитических решения указанных классов задач для стержней в многослойных системах. Изложены новые подходы и математические методы для решения этих задач.

В первом параграфе второй главы рассматриваются вопросы периодических решений нелинейных задач уравнения теплопроводности для ограниченных и полуограниченных стержней.

Экспериментальные измерения позволили установить эмпирическую зависимость коэффициента теплопроводности от градиента температуры в виде

А0 ди

А ~ „ ди яг'

1 - а—ох дх

где Я0 и а - постоянные величины для данного стержня. При такой аналитической зависимости Я от проблема сводится к отысканию периодического решения нелинейной краевой задачи:

д

дх

ди

л ди

1 — а — ох

дх

ди

о<х<-е,

и(х,Ь + = и{х, £), и{ 0,0 = <p(t)-Лcosí^)t + Я,u(^,t) = О,

где А, В и а) - амплитуда переменной части, среднее значение и частота изменения температуры на поверхности деятельного слоя толщины € <оо. Пологая в (10)

$ (х, т) = аи{х, т) — х + -6, т = Л0

В = —- , а = аА, Ь = аВ + £, ерш

приходим к нелинейной краевой задаче относительно д(х, т)

д2д /дд\2 дд _ ^ дх2 \дх) дт ® — х —

д(х,т + 2тт) = д(х,т), 19(0, т) = а соб т + Ь, т) = 0.

Другой не менее важной проблемой физики стержня является определение количество теплоты Я как функции глубины х и времени Ь. Экспериментальные измерения показывают, что количество теплоты увеличивается с ростом глубины и на больших глубинах достигает своего постоянного максимального значения.

Процесс перераспределения количества теплоты по глубине аналогичен рассмотренному процессу распространения тепловых волн в толще стержня.

Коэффициент турбулентности Я здесь также зависит от градиента количества теплоты дБ/дх:

Я0 дБ 1 . дх

1 + у—ах

' дх

где Я0 и у - некоторые экспериментально определяемые постоянные величины.

Пусть Ч^х) есть начальное распределение количества теплоты Б(х, 0) = 0 < х < Тогда определение количества теплоты Б{х, £) в

любой момент времени Ь и в любой точке х сводится к отысканию решения следующей нелинейной начально-краевой задачи:

д_ дх

дБ

1 + у

Ё1дх

дх

1 дБ

- —-тг = о,

а2 дЬ

О < х < Г > 0,

0) = 4*00, 0<х<£, дБ( О, О Л5(0,0 О

(И)

дх Я0 — уИБ(0, £)'

Ь > 0,

дх

= о, £ > о,

2

где а = —. ср

Полагая в (11)

у£ х Я0

д = -2~Т> 2 = 1' = у = я?

ФМ =--7--г,

приходим к нелинейной начально-краевой задаче для определения новой функции £):

d2S /дд\2дв

i9(z,0) = i/^z), 0 < z < 1,

at9(o, о l

dz 1 + vt9(0, t)'

di9(l, t)

t > 0,

dz

= -1, t > 0.

Воспользовавшись нормальной формой квазилинейного параболического уравнения, для определения x(j9, т) получаем линейную задачу

— хт = 0, 0 <д < a cos т + b, т > 0, х(д,т + 2тг) = л:(т9,т);

х(0,т) = x(acosT + Ь,т) = 0.

Периодические решения этой задачи будем искать в виде комплексного ряда Фурье

оо 27Г

*(йт) = ]Г Хк We~ikT> = 2nS eikX(iT'

к=~ 00 о

И находим

00

п=-со со

+ £ aksh\Ke-^ + 4(d-§) ^ 4 ^ «пВКк-п(д,й>-1КХ, (12)

71(3

к=-00 к=-00 п=—00

Выражение (12) содержит две серии постоянных (к = 0, ±1, ±2, и ап(п = 0, ±1,±2,...). Для определения этих постоянных надлежит получить две серии уравнений. Эти системы записываются в виде

ии ш

^ А°пап+ ^ В°ап + а0Ь = -е,

П=—00 П=-00

оо оо

^ Ал1 ап + ^Г Вп^ + ао^О,

п=—00 п=—ОО

ОО 00

^ А?,агп+ ^ Вп ап + = О,

П=—оо 71=—ОО

00 00

^ А™сгп + В™ап = 0, т = ±2,±3,...,

П=—оо П=-оо

00

а0

71=1 71=—оо

00 00

«Ш+ ^ С™ ап + ^ 0™ап = 0,т = ±1, ±2,

71=-00 71= —оо

где

1 Г27г

А" = 26^] В°е'тЧт +

2ртг' ,0

00 , 1 V"1 Г27Г +5^2 2, ] Вк.к-п&Ю.Юе-'^ат,

К=-00 0

1 г27Г

В™ I БИ^О^Т)] е-^-^ат ,т = 0, ±1, ±2, 1 Г27г

е1тТ(1т +

00 ,

-2тг

1 Г1 Г^71

к--со 0

Я Г27Г

е-1(п-т)т^ т = 0, ±1, ±2,... .

Во втором параграфе второй главы рассматриваются вопросы построения приближенных решений линейных и нелинейных

дифференциальных уравнений, возникающих при распространении тепловых процессов в полуограниченных стержнях.

Задача распространения тепловых процессов сводится к отысканию периодической во времени краевой задачи

да у ди

а7-с"эГ = 0' (13)

где с - удельная теплоемкость, р - плотность.

и(0, О = и(0, и(х, г + Т) = и(х, О, Ит (х, 0=0 (14)

Х-*оо

с общими материальными уравнениями:

<?х = <гх(и(т),т < 0-

В простейшем случае ^(и) = Е ех = и уравнение (13)

трансформируются в уравнение теплопроводности

д2и 1 ди

где Е - модуль Юнга, а2 = ср/Е.

Решение уравнения (15) будем строить для четырёх случаев: Будем искать решение уравнения (15) на полупрямой х > 0, ограниченное для всех хи £ при граничных и начальных условиях

оо

и(оо, 0 = 0, и(х, Ь + Т) = и(х, 0> ^(0, 0 = ^4 С05(<рп — Пй)0 / (16)

П=1

где ип, а) и <рп- соответственно амплитуда, частота и фаза п - ой гармоники.

Получаем классические решения краевой задачи (15)

00

и(х, t) = ^ unexp —J

п=1

'ПО)

\П(й

cos I — nttít + (рп

Теперь рассмотрим полуограниченный стержень, обладающий свойствами памяти, то есть функциональной зависимости имеет вид

L

Аналогично предыдущему случаю, для определения к1п и к2п получаем систему алгебраических уравнений

па) А с

kin /с2п + а2[(1 + Лс)2+Л2] 720)1 + А,

О,

2/c1tlfc9„

m«-2n 2

а2[(1 + Ас)2 + А%]

= 0,

где Ас = /0°° к (s) cos ncosds, As = /0°° к (s) sin ncjsds. Разрешив эту систему, находим

uln,2n

N

7TÍÜ

+ ■

2а2 \J(l+Acy+Al (1 +ЛСУ+А*

Перейдем теперь к рассмотрению нелинейных краевых задач. Если а(и) = а0(1 + (Зи + уи2), то уравнение (15) примет вид

дил ди

— [(1 + /Зи + ги2)^]-+ J к(х - т) [(1 + /?и(х,т) + уи2(х,т)) с^т = 0 .

Его решение должно удовлетворять краевое и начальное условиям (16), изменяющимся по гармоническому закону

и(0, €) = и0 собОР —

Его периодическое по времени приближенное решение будем искать в таком же виде, как и в линейном случае

и(х, С) = и0ехр[—кгх] соб(к2х — шЬ + <р),

где к± и к2 подлежат определению. Определение параметров кг и к2 сводится к отысканию положительных решений системы алгебраических уравнений вида:

к1-к1+Н1(к1,к2) = 0, 2к1к2-П2(к1,к2) = 0.

Переписывая эту систему в эквивалентной форме

кг =

\ (^(к^к^ + ЩСк^к,) - нх (къ к2) V

к-? =

ШнКкМ + нКкМ + н± (к±, к2) V

можно воспользоваться методом последовательных приближенных для определения к± и к2.

Наряду с решением типа бегущей волны, затухающей по координате

и(рс, t) = и0ехр[—кгх] cos(к2х — a>t + (р),

уравнение (15) допускает решение типа бегущей затухающей во времени волны

и(х, t) = и0ехр[—к^] cos(k2t — Лх + (р),

где

р оо

к± = а2 Л2 + a2 I k(s)exp[—k±s] cos к2 sds, Jo

Г00

k2 = a2 I exp (—fcis)sin k2 sds.

Jo

Приближенные решения этой системы можно найти методом последовательных приближений.

В третьем параграфе второй главы рассмотрим систему, состоящую из трех слоев A,U и С, толщина двух из которых - А и С, намного превышает толщину промежуточного слоя U (рис. 1).

А оА(Ю 0 и с Ос(Ю ¿2

5а 4-й-► < ^ > Ч-—-И X

Рис.1. Трехслойная система (5и « SA и 8и « 8С).

Определение концентрации U(x, t) в такой системе сводится к нахождению решения квазилинейного уравнения Фика

dU д ( , dU\

с разрывным коэффициентом диффузии

Dm-\DCU, (0 < х < оо). (18)

Искомое решение должно удовлетворять начальному условию

i/(x,0) = 0, \х\>0, (19)

неоднородным условиям сопряжения на плоскости раздела х = О

U(+0, t) = ai/(—0, t), t > О, dU , Э1/ .

AttfO gj U-o ~ ^cOO^ L=+o = 2qr(t), t > 0, (20)

и условиям регулярности на бесконечности

, lim U(х, t) = 0, , lim (d (t/) = 0, t > 0. (21)

|х|->00 |*|->оо V OXJ

В случае <7 = 1/2 (параболический закон изменения интенсивности во времени) поставленная нелинейная начально-краевая задача

д ( , . дСк\ дСк

) = —, — оо < х < о, е > о.

д ( , ,дСк\ дСк

о < * < оо, с>о.

Ск(х,0-) = С*-\^ №, = 1,^ = 0, 1*к\ (22)

С*(+0,0 = акСк (-0,0, к = 1,2,

¿¡т = ^п (о»сад^) = о.

допускает решение вида

и(хЛ) = и(п), т] = х/лЦ.

После перехода от независимых переменных х и С к новой независимой переменной г] начально-краевая задача (17)-(21) и интегральное условие

СО £

I" и(х, ь)(1х = 21 (И, t>0,

—оо о

трансформируются в следующую нелинейную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения, на всей оси с неоднородными условиями сопряжения в точке т] = 0:

и(+0) = аи(- 0),

4400^- и=-о ~ ОсОП-щ и=+о = 2(7,

Ит = 0, Иш = 0.

Окончательно приближенное решение начально-краевой задачи (22) в я

случае ц{€) записывается в виде:

и(х, 0 = <

аГ/(-0)

1-Ф

2^ ' х

, х < о, о < г < , х > о, о < £ <

получаем систему двух нелинейных уравнении

Ф1У + -/2(г/(-0)) = о,

ФэсУ + <Р1И(-0))^ - <р2(а1/(-0)) = О,

где

,—2Х2

а(хе~2х2)

их

их,

X ¡Ол (г/(-0)(1 - Ф(-х))) [оА (иС-0)(1 - Ф(-дт))) Лг,

— 00

<^{/(-0)) = (аг/(-0)(1 - ФИ))) е-2*2 А (хе'^х,

о

6 /2 ^ <р2(аУ(-0)) = — аг/(-0) — [^(«[/(-0))] -

6л/2 -у/я

оо

J Ис (а{/(-0)(1 - Ф(-*))) в"*2 X

с*2

(а(/(-0)(1 - Ф(-*))) е"*2]

Уравнения при этом обращаются в тождества, и мы приходим к формулам:

и(- 0)=——, 1/(+0)= 4

В четвёртом параграфе второй главы рассматриваются постановки задач диффузии вещества к-го слоя в системе, состоящей из п различных идеально или неидеально контактирующих слоев (рис.2).

Ск0 1 = 0

1 = -0 Х. = +0

Ок1 »к2 0кк Окп-1 Окп

¿0 82 8к-1 8к ... $п-1 8п х

Рис. 2. Начальное распределение концентрации вещества к-го слоя в системе, состоящей из п плоских слоев.

Тогда концентрация Ск(х:,€) вещества, содержащегося в к - ом слое в момент времени £ удовлетворяет второму уравнения Фика

дСк д / дск\

* = 1'2.....п'

дСк | дСк |

Вы I х=5(-0 = 1 I *=5г+0>1 = 1»2, ..., 71 — 1.

В зависимости от характера диффузионного взаимодействия слоистой

системы с внешней средой на границах х = 50 = 0 и х = 8п концентрация Ск(х, О будет удовлетворять следующим краевым условиям: 1) условиям Дирихле (условиям 1-го рода)

если на границах х = 0 и х — 8п поддерживаются концентрации. Сд(0 и Сп (О соответственно;

2) однородным условиям Неймана (условия П-го рода)

соответствующим линейным законам сорбции или десорбции с границ х = 0 и х = 8п.

В пятом параграфе второй главы рассматриваются вопросы одномерных нестационарных задач теплоизлучения в полупространстве.

Практический интерес представляет задача о диффузии в полупространстве, когда на его поверхности поддерживается постоянная концентрация вещества В0:

Ск(О, О = С£(0, Ск(8п, О = ск(с),

дСк( 0,0 , ч Вы 4^(0,0 = 0,

дСк(8п, 0

+Ь2Ск(8п, 0 = 0,

В(х, 0) = 0, л: > О, Я(0,0 = #о> £>0,

г > о.

Её можно рассматривать как модельную в случае, когда пленка В обладает большим запасом вещества В или когда изучается диффузия в подложке в процессе напыления пленки В:

dB

dB1 1 dB

(23)

D(ß)— |,=0 = -q, lim B{7?) = 0, lim Ыв)-г-) = 0.

ат] ' tj-*oo Tj-wo \ ат] /

В этом случае получаем краевую задачу d г , dB] 1 dB

/ cLB\

ß(0) = ßo, limß(77) = 0, lim D(ß)— =0.

7J^oo T]->co \ (¿Г]/

Разыскивая ее приближенное решение в виде решения соответствующей линейной задачи

V

В (Л) = В0

1-Ф

2VD\

Приближенное решение нелинейной задачи (23) записывается в виде

B(x,t) = 5(0)

В{ 0) = В0,

где

D3 =

V2

л/2- 1

ии

D(B0)-j=J D[Bo(l-0(x))]e-2x2dx

В шестом параграфе второй главы рассматриваются вопросы решение уравнения теплопроводности в массивных ферромагнитных телах при одновременном намагничивании постоянными и переменными магнитными полями.

Определение электромагнитного поля в ферромагнитном полупространстве я > 0, характеризуемом проводимостью а и нелинейной зависимостью между индукцией В и напряженностью магнитного поля Н — В = /¿(|Н|)Н. По заданной на его поверхности г=0 линейно поляризованной тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля, содержащая постоянную Н0 и изменяющуюся во времени по

гг 2п

гармоническому закону с периодом Т = —, которая сводится к отысканию периодического по времени решения краевой задачи:

д2Н ав(н)

Н(0,0 = Н0 + Нх соб(<р - он), Н(оо, Ь) = Н0, (24)

с последующим определением напряженности электрического поля по формуле

1дН

Е =--—. (25)

а аъ

Полагая в (24), (25) ср — оуЬ = —т, НСг,т) = Н0 + и(г,т), приходим к краевой задаче

д2и ав(н0 + и)

— 0)0---=0, 0 < г <оо,

дг2 дт

17(0, т) = Н! соб т, и (со, т) = 0,

и формуле

1 ди

Е =

а дг'

Поверхностные потери определяются по формуле

_ 1

Н?,

2с2

где

■со г2п

В(Н0 + Н1е_х соб т)е~х соб т<1т<1х .

_ гонт Г°° Г

Глава 1. Классические и специальные постановки задач нелинейных

уравнений теплопроводности

§ 1.1. Общие характеристики задач по исследованию температурных

полей в теплопроводящих средах

1.1.1. Уравнение теплопроводности. ■^Явление

теплопроводности в материальной среде, характеризуемой коэффициентом теплопроводности Л, теплоемкостью с и плотностью р, описывается скалярным полем температуры и = и(р, £), зависящихот трёх пространственных координат х,у,г и времени Ь. Связь между временными и пространственными изменениями температуры устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности

д

(Цу(Лдгаии) — — (сри) = —IV, (1.1.1)

оС

где IV - объемная плотность источников тепла.

Простейшие случаи теплофизические характеристики среды и источники тепла не зависят от температуры, и уравнение (1.1.1) становится линейным. Если Л, с и р постоянны, то среда называется однородной и изотропной.

Уравнение теплопроводности для такой среды преобразуется к стандартному виду

1 IV

Аи--= —(1.1.2.)

а2 Л

где а2 ---коэффициент температуропроводности. Уравнение (1.1.2.) не

с р

охватывает все реальные среды и протекающие в них тепловые процессы. Уже в случае неоднородных, кусочно-однородных, а также анизотропных сред приходится обращаться к соответствующему (1.1.1) линейному

уравнению, полагая Я = Я (р, £), с = с (р, €), р = р (р, £) и рассматривая коэффициент теплопроводности Я как тензорную величину.

С повышением температуры коэффициент теплопроводности для большинства твердых тел увеличивается примерно по линейному закону [1], а в случае лучистого механизма передачи тепла его зависимость от температуры становится степенной - Я = Л0ик, к > 0 [2].

Более сложные зависимости теплофизических характеристик Я, си р от температуры привлекаются при рассмотрении низкотемпературных процессов и процессов, сопровождающихся фазовыми переходами. В перечисленных и некоторых других случаях уравнение теплопроводности (1.1.1) квазилинейно.

Источники тепла могут быть сосредоточены в точке на линии или на некоторой поверхности. В этих случаях их объемная плотность (производительность) IV выражается с помощью дельта - функции Дирака с носителем в точке, на линии или поверхности, умноженной на мощность источника, его линейную и соответственно поверхностную плотность. В частности, при процессах кристаллизации и плавления IV = ±р Ф15 (Ф), где р - скрытая теплота кристаллизации; 8 (Ф) - дельта-функция Дирака с носителем на подлежащей определению поверхности фазового перехода Ф (х,у,г,£) = 0. [1,3,4].

В некоторых случаях необходимо учитывать зависимость источников тепла от температуры, например, когда они порождаются протеканием электрического тока в электропроводящей среде или химическими реакциями в процессах с возгоранием.

1.1.2. Закон Фурье. Уравнение (1.1.1) предполагает выполнение основного закона теплопроводности - закона Фурье

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Хакимова, Олима Хафизовна, 2015 год

Литература

1. Лыков А. В. Теории теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967,599 с.

2. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: Наука, 1966,687 с.

3. Карелоу Х.С., Егер Д.К. Теплопроводность твердых тел. - М.: Наука,1964, -478 с.

4. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977.-736 с.

5. Богуславский С.Г. Температурное поле Тропической Атлантики. -Киев: Наук, думка, 1977. - 162 с.

6. Березовский A.A. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. - Киев; Наукова думка, 1974, ч.1.- 452с.; ч.2.-292 с.

7. Блох А.Г. Основы теплообмена излучением. М.- Л.: Госэнергоиздат, 196, -331 с.

8. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. - М.: Мир,1975, -934 с.

9. Березовский A.A. Нелинейные краевые задачи тепло излучающего тела. - Киев: Наукова думка, 1968, -165 с.

10. Мартинсон Л.К. О конечной скорости распространения тепловых возмущений в средах с постоянными коэффициентами теплопроводности//Мат. Заметки,-1974,т. 14, №4, - с. 891-905.

11. Харди Г.Г., Литлвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства.- М.: ИЛ, 1948,-456 с.

12. Березовский А.А, Жураев К.О., Юртин И.И. Нестационарные

задачи сферически-симметричной гипотермии биоткани. Задачи Стефана со свободными границами - Киев, 1990, - (Преп.//АН УССР.

Ин - т. математики; 90,27),- с.9-20.

102

13. Митропольский Ю.А., Березовский A.A., Шхануков М.Х. Пространственно-временная локализация в задачах со свободными границами для нелинейного уравнения второго порядка// Укр. мат. журн, 1996, т. 48, №2, - с.202-211.

14. Березовский A.A. Классические и специальные постановки задач Стефана// Нестационарные задачи Стефана. - Киев, 1988. (Препринт.//АН УССР. Ин - т. мат.; 66,49), - с. 3-20.

15. Калашников A.C. О характере распространения возмущений в задачах нелинейной теплопроводности с поглощением.//Журн. выч. математики и мат. физики, 1974, т. 14, №4, - с. 891-905.

16. Березовский A.A. Пространственная локализация крио воздействия на биологические ткани// Пространственная локализация в задачах Стефана. - Киев, 1987, (Препринт.// АН УССР. Ин-т. математики; 87.60),-с. 3-12.

17. Митропольский Ю.А., Березовский A.A., Шхануков-Лафишев М.Х. Стабилизация за конечное время в задачах со свободными границами для некоторых классов нелинейных уравнений второго порядка//Укр. мат. журн, 1999, т.51,№2.

18. Березовский A.A. Нестационарные задачи Стефана. - Киев, 1988, (препринт) АН УССР. Ин-т. мат., 88,49,- с. 3-20.

19. Березовский A.A. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики: в 2-х ч. - Киев: Ин - т мат, АН УССР, 1974, ч.1.- 444 с.

20. Митропольский Ю.А., Березовский A.A. /Задач! з вшьними межами та нелокальна задач! для нелшшних парабол1чних р!внянь// Укр.мат.журн.— 1997 —Т. 49, № 1.— 49, с. 84-97.

21. Митропольский Ю.А., .Березовский A.A., Плотницки й Т.А /Задачи со свободными границами для нелинейного эволюционного уравнения в проблемах металлургии, медицины, экологии// Укр.мат.журн.— 1992.—44, № 1.— с. 67-76.

22. Мартынюк А.А., Лакишмикантам В., Лила С. Метод интегральных неравенств. - Киев: Наукова думка, 1989, -271 с.

23. Вишик М.И. О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с быстро растущими коэффициентами в классах Орлича ДАН СССР, 1963, т. 151, №4, - с. 758-761.

24. Дубинский Ю.А. Некоторые теоремы вложения в классах Орлича.// Доклады АН СССР. 1963. - Т. 152, № 3. - с. 529 - 532.

25. Похожаев С.И. О теореме вложения С.Л Соболева в случае р£ = п.

Доклады научно-техн. конференции МЭИ, (секция матем.). 1965,- с. 158-170.

26. Ладыженская О.А., Солонников В. А., Уральцева И. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967. -736 с.

27. Лионе Ж - Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -М.: Мир, 1972. ,-588 с.

28. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в

I

математической физике. Л.: Изд-во. ЛГУ, 1950.-747 с.

29. Browder F.E. Existence theory for boundary value problems for boundary value problems for queasilynear elliptic systems with strongly nonlinear lower order terms, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, v. XXIII, AMS, Providence, 1973.

30. Hess P. A strongly nonlinear elliptic boundary value problem, Journal of Mathematical Analysis and applications. 1973,43, №1.

31. Hess P. On nonlinear mappings of monotone type with respect to two Banach spaces//J. Math. Puree set Appl., 1973, 52, pp. 13-26.

32. Курант P., Гильберт Д. Методы математической физики: в 2 т. - М.: Гостехиздат, 1951: т. 1.- 476 е.; т.2. - 544 с.

33. Березовский А.А., Богуславский С.Г. Задачи тепло - и массопереноса в решении актуальных проблем Черного моря. - Киев, 1984,- 56 с.-(Препринт.//АН УССР, Ин - т. математики: 84,49).

34. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами./ Подред. Абрамович М. Стеган П. - М.: Наука, 1979, - 832 с.

35. Курбонов И. Решение задачи Фурье для вязкоупругих стержней. Институт математики АН УССР, Киев, 1980. - с. 61-65.

36. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, - 24 с.

37. Березовский A.A., Курбонов И. Периодические во времени плоские электромагнитные материальные поля в полупространстве с общими материальными уравнениями. В кн.: Краевые задачи электродинамики проводящих сред. - Киев, 1976, - с. 37-57.

38. Березовский A.A., Курбонов И. Плоские электромагнитные волны в средах с общими материальными уравнениями. В кн.: Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. - Киев, 1977,

- с. 111 - 113.

> ».

39. Курбонов И. Распространение волн в полуограниченных вязкоупругих стержнях. В кн.: Физико-технические приложения краевых задач. -Киев: Наукова думка, 1978, - с. 150-157.

40. Бэррер Р. Диффузия в твердых телах. - М.: Мир, 1948, 504 с.

41. Березовский A.A., Бондарчук В.Т. Автомодельные решения задач интенсивной диффузии в плоскослоистой среде. - Киев, 1978. - 44 с. (Препринт / АН УССР; Ин - т математики АН УССР; 87:17).

42. Зайт В. Диффузия в металлах.- М.: Изд. иностр. лит, 1958, - 381 с.

43. Курбонов И.- Тезисы докл. Всесоюзной конф. по нелинейным проблемам дифференциальных уравнений мат. физики, Тернополь, 12 сент. 1989,ч.1,- с. 229-230.

44. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. -М.: Наука, 1964, - 228 с.

45. Беллман Р., Колоба Р. Квазилинейные и нелинейные краевые задачи. -М.: Мир, 1968,- 183 с.

46. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно - сеточное методы. - М.: Наука, 1981416 с.

47. Березовский A.A., Бондарчук В.Т. Взаимо диффузия системы двух металлических пластин // Нелинейные дифференциальные уравнения в прикладных задачах. - Киев: Ин - т математики АН УССР, 1977, -

с. 17-20.

48. Crank I. Mathematics of diffusion. - Oxford: At the Clarendon, 1956. 342p.

49. Белоус M.B., Волошка C.M., Сидоренко С.И. Низкотемпературная взаимная диффузия в тонкопленочной системе Си-№//Металлофизика, 1986, 8,№6,-с. 54-60.

50. Уивер К. Диффузия в металлических пленках// Физика тонких пленок. Т.6. - М.: Мир, 1973, - с .334-388.

51. Березовский A.A., Бондарчук В.Т., Сидоренко С.И. Решение задачи диффузии для системы, состоящей из п слоев конечной толщины//Математическое исследование процессов фильтрации и тепло - массопереноса. - Киев: Наукова думка, 1978, - с. 130-135.

•ч

52. Березовский A.A., Бондарчук В.Т., Сидоренко С.И. Математическое описание диффузионных процессов в многослойных металлических пленках; Киевский политех, ин - т.- Киев, 1979. - Рус. - Деп. В ВИНИТИ. - №1172, т.79, - 88 с.

53. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы нестационарной теплопроводности.-М.:Высш. Школа, 1978, - 328 с.

54. Курбонов И., Хакимова О.Х. Решение нелинейных уравнений теплопроводности для слоистых сред с использованием метода эквивалентной линеаризации. ДАН РТ, 2011, Т.54. №11, - с. 887-896.

55. Курбонов И., Хакимова О.Х. О разрешимости некоторых нелинейных уравнений теплопроводности. - Изв. АН РТ. Отд. физмат, хим., геол. и техн. н., 2011, №4 (145), - с. 52-65.

щ

56. Березовский A.A. О некоторых нелинейных краевых задачам математической физики. - Международный конгресс математиков, приклад, математ. и мат. физ., 1966. №1-2.-28 с.

57. Березовский A.A. Периодические решения нелинейных задач теплопроводности //Нелинейные задачи теплопроводности. Киев,1983,- (Препринт АН УССР. Ин -т математики: 83.28), - с. 3-8.

58. Митропольский Ю.А., Березовский A.A., Шхануков-Лавшиев М. X. / Нелинейные, нелокальные задачи для параболического уравнения в двумерной области // Укр. мат.журн.— 1997.— Т. 49, № 2.— с. 244— 254.

59. Калашников A.C. О характере распространения возмущений в задачах f с поглощением. Мат. заметки, 1974, т.14, №4, - с. 891-905.

60. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: ИЛ, 1954,-416 с.

61. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений" второго t порядка//Украина мат. наук, 1987, выпь. 2(254), - с. 135-164.

62. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа - М.: Мир, 1968, - 427 с.

63. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: ГИТЛ, 1950, -424 с.

64. Хакимова О.Х. Периодические решения нелинейных задач уравнений теплопроводности для ограниченных и полуограниченных стержней. Вестник. РТСУ. Научный журнал, 2013, №1(40), Душанбе, - с. 127-136.

65. Хакимова О.Х. Распространение тепловых процессов в полуограниченных стержнях для сред с памятью. //Вестник. РТСУ. Научный журнал, 2012, №3 (38), Душанбе, - с. 125-130.

66. Хакимова О.Х. Одномерные нестационарные задачи теплоизлучения в полупространстве. Материалы международной конференции

«Актуальные проблемы математики и ее приложения», 2012, Курган-Тюбе, - с. 126-129.

67. Петровский И.Г. Лекция об уравнениях с частными производными. -М., 1984,-360 с.

68. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. -М.: Наука, 1983,-424 с.

69. Бицадзе A.B. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1982, -336 с.

70. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1977,-430 с.

71. Владимиров В.Г. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981, -512 с.

72. Араманович И.Г., Левин В. И. Уравнения математической физики. - М. физмат литературы, 1969, -287 с.

73. Хакимова О.Х. О сильно нелинейных уравнениях параболического типа. Материалы международной научной конференции, специальный выпуск, часть 1,2014,2(29), Худжанд,- с. 267-268.

74. Курбонов И., Хакимова О.Х. Распространение тепловых процессов в массивных ферромагнитных телах. Материалы международной научно-практической конференции «Современные проблемах точных наук и их преподавания», 2014, Курган-Тюбе,- с. 15-18.